概率论与数理统计(第三版)课后答案习题4
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计》课后习题答案第四章
习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。
概率论与数理统计课后习题答案 第四章
(2) ρxy.
(1)
(2)(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
-1
0
1
习题 4.1 1. 设随机变量 X 的概率密度为
(1) 求 E(X)
其他
(2)
解: (1)
(2) 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
试确定常数 a,b,并求 E(X). 解:
(1)
其他
又因当
时
(2) 3. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为
的导数为 的导数为
即 即
求 E(X). 解:
4. 设 X1, X2,….. Xn 独立同分布,均值为 ,且设
D. (X,Y)~N(
)
解: 与 不相关 ρ
5. 设二维随机变量(X,Y)~N(
A.
B. 3
C. 18
解: ρ
),则 Cov(X,Y)= B . D. 36
6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则 E(XY)= A .
A. 3
B. 6
C. 10
解: Cov(X,Y)=0
2. 设随机变量 X 的分布律为 3 .
X
-1
0
1
2
P
0.1 0.2 0.3 0.4
令 Y=2X+1,则 E(Y)=
3
.
解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=3
3. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 P{X=1}=
《概率论与数理统计》(第三版)课后习题答案
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计 第三版课后答案
∴
4 6 12 3
15．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回 抽样。求下列事件的概率。
（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。 解 设以 Ai(i=1,2)表示事件“第 i 次取出的是正品“，因为不放回抽样，故
(2) 不成立，因为 AB A B AB 。
(3) 成立， B A, B AB,又AB B, B AB 。
(4) 成立。 (5) 不成立，因左边包含事件 C，右边不包含事件 C，所以不成立。 (6) 成立。因若 BC≠φ，则因 CA，必有 BCAB，所以 AB≠φ与已知矛盾，
C51C82 C52 C140
13 0.619 21
11．将 3 鸡蛋随机地打入 5 个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为 1，2，3 的概 率。
解 依题意知样本点总数为 53 个。
以 Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为 i”，则 A1 表示每杯最多放一只鸡
蛋，共有 A53 种放法，故
（2） ( A B)(A B ) A AB BA BB ， 因为 AB BA A A ，
BB 且 C C ，所以 (A B)(A B ) A 。
（3）( A B)(A B )(A B) A( A B) AB AB 。 5．设 A，B，C 是三
1 P( AB) P(BC) 0, P( AC) 1 ,
事件，且 P（A）＝P（B）＝ P（C）＝ 4 ，
8 求 A，
B，C 至少有一个发生的概率。 解 ∵ABCAB ∴0∠P(ABC)∠P(AB)=0，故 P(ABC)=0 ∴所求概率为
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题4
--WORD 格式--可编辑--专业资料-------学习资料分享----lea di ng ca dr es ' aw ar en e s s o f ri g h t i n pl a c e , st u d y t h e p a rt y C o n s ti t ut io n a n d p ar ty r u l e s , s e ri e s o f s p e e c h e s c a n m a k e pr op er eff ect . Pa rty ca dr e s t o "t w o " le a d b y e x a m p l e , t o le ad by ex a m pl e w e mu st cha nge our min d, rec ogn i zing that "tw o" is imp orta nt. Firs t, l e a r n t h e C o m m u n i st P a rt y C o n st i t u t i o n P ar ty ru le s, le ar ni n g le ar ni n g se ri es im po rta nt sp e ec h by Ge n er al S e cr et ar y c a n e n h a n c e t h e o r y . W it h t h e "t h i r d re v ol ut io n " t h e ri s e o f r a pi d c h a n g e s i n o ur lif e ar e fe eli ng , th e C o m m un ist s s h o u l d ad he re to th e th eo ry of c o nf id e n c e w i l l c o n t i n u e t o le ar n fr o m t he voi ce s of the tim es, t h e ti m e s, in t u r n , w i l l h a v e n e w r e q u i r e m e n t s f o r l e a di n g p a rt y c a d r e s. "T w o " is t h e m o s t ba sic m ea ni ng of m e m be r s al l m a s t e ri n g t h e c o r e t h e o r y a n d t h e m o st a d v a n c e d w e a p o n s t h e o r y , c o m pl e m en t th e sp irit of ca l ciu m. S ec on dly , t he Co m mu ni s t P a rt y C o n s ti t u ti o n P a rt y r u l es , le ar ni n g l ea rn i n g s e r ies im po rta nt sp ee ch by Ge ne ral S ec ret ar y be abl e to fir m ly b ui ld t h e i d e o lm u lt i p l e v a l u e s, th e "t w o " is to he l p cu lti va te i nd e p e n d e n t ju d g m e nt in nu mer ous mis cell ane ous mul tipl e c o n c e p t s , so tha t t he ma jori ty co ns en su s of par ty me mb ers , the im po rta n t m a gi c w e a p o n o f t h e p a rt y w it h t h e r e s o n a n c e f r e q u e n c y . F i n a ll y, th e C o n st it ut i on of the Co m mu nis t Par t y , p a r t y r u l e s , l e a r n i n g l e a r nin g seri es imp ort ant spe e ch ca n sta nd cr ow ds, Ge n e r al S e c r et a r y p o s i t i on. N o w, s o m e gr a s s -r o o t s w o r k i n t h e "t h e o l d w a y d i d n't w or k, h ar d w a y c a n n ot , th e n e w a p p r o a c h w o ul d not" phenom enon, sometim es due to a mass of party member s a nd ca dr es no t un de rst a ndi ng, does not meet. In fact, the mass "convi nci ng " an d "i de nti ty "B e hi n d ar e li k el y to b e p a rt y m e m b e r s a n d l e a d i ng ca dr e s th e m se lv e s ig n or in g be lie fs he l d, r e s ul ti n g in la c k o f p e r s u a s i o n a n d s e n s e o f i d e n t i t y . "T wo " is in fa ct gu ar an te e d p a r t y c a dr es w or k, an im p o r t a n t pre req uisi te for con vin cin g t h e m a s s e s . B ac o n sa id it w ell : "p r a c ti c a l m e n c a n h a ndl e indi vid ual mat ter s, but l ooki ng at the whol e oper ation glob ally,b u t o n ly m a nc a nd o t o k n o w le d g e . "Givi ng up" two "effec tive, must first raise aware n e s s of l e a d i ng c a d r e s of part y me mbe rs, as part y me mbe r s l e a r n r e a l r e spo nsib ility" to kno w "to" mus i c "," g o o d "ch a n g e s, in p ar al le l w it h t h e g r o u n d, d o not for get to als o an sw er the a n t e n n a , d r a w ca tc he s on m et eo ro l o g y , w hi c h s it b e t w e e n h e a v e n a nd Ea rt h wh i ch me l ds tog et he r th e dr ea m s of pr a c t i c i n g C o m m u ni st. M e m b e r s c a d r e s s h o ul d i n "t w o le ar n a d o " in th e b a s e d p o s t d o co ntr ibu tio n i n all me mb ers i n t h e c a rr i e d o u t "l e a r n C o n s t i t u t i o n P a r t y r ul e s, a n d le ar n seri e s spe ech , do qua lifie d me m b er s" le ar ni n g e d u c a ti o n , t h i s i s f o ll o w ing pa rty of ma ss lin e e d u c a ti o n p r a c ti c e a c ti v it i e s an d "t hr ee st ric t t hr e e re al " to pi c e d u c a t i o n z h i h o u , d e e p e n i n g p a rt y e d u c a ti o n o f a n d on ce im po rt an t pr a c ti c e , i s p r o m o t e d "t h r e e s tr i ctt h r e e r e al " t o pi c e d u c a t i on fr o m "k ey mi no rit y" to a ll m e m b e r s e x p a n d , a nd fr o m co nc en tr at ed e du ca tio n to re gu lar e du cat ion ext en ds of im po rta nt ini tia tiv es . Va st n u mb e r s o f pa rty m e m be rs an d ca dr e s in th ec o ur s e o f t w o , s h o u ld be第四章 随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000 件产品所出的次品数分别用，表示，经过一段时间的考察，知， 的分布律如下：0 1 230 1 2 p0.70.10.10.1p0.50.30.2试比较两台车床的优劣。
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
第三版详细《概率论与数理统计》课后习题答案._
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计课后答案第4章
概率论与数理统计课后答案第第4章大数定律与中心极限定理4.1设D(x)为退化分布:讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？1 1 卄亠(1){D(x n)}; (2){D(x )}；(3){D(x 0},其中n =1,2;n n解：(1) (2)不是；(3)是。
4.2设分布函数F n(x)如下定义：‘0x 兰-nl /、x + nF n (x)=」---- 一n c x 兰n2n1 x > n问F(x) =lim F n(x)是分布函数吗？n_)pC解：不是。
4.3设分布函数列{ F n(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{F n(x)}在(」：，：：)上一致收敛于F(x)。
证：对任意的；.0,取M充分大，使有1 —F(x) ：：；, —x _ M; F(x) ：：；,—x^ -M对上述取定的M，因为F(x)在［-M,M］上一致连续，故可取它的k分点：捲- -M :: X2 ：…X k4 ：：X k = M ，使有F(X j .J - F(xJ ：：；,1 一i ：：k ，再令x° - - ：：, X k 1 =：:，则有F(X i J —FW) ：：：；,0 G ：：k 1(1)这时存在N，使得当n • N时有| F n(X i) —F(X i)|：：；,0 叮牛 1(2)成立，对任意的X •(-：：,：：)，必存在某个i(0 _i 一k)，使得x・(X i,X i 1)，由(2) 知当n •N时有F n (X)— F n (X i i ) ：：： F(X j .J ；F n (X)_ F n (X i ) . F(X i )-；(4) 由( 1), (3), (4)可得F n (x) -F(x)：：： F(X i 1)-F(x) , F(X i i )-F(X i )； ：：：2；,F n (x) - F (x) F (X i ) - F (x) - ； _ F (X i ) - F (X i .1)- ； -2 ；,即有F n （x ）-F （x ） 名成立，结论得证4.5设随机变量序列「鳥同时依概率收敛于随机变量 •与，证明这时必有P （二）二1。
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计课后习题答案习题第四章
y 2 i4e −4 y dy =
00
3
1 2 E ( X ) = ∫ xi2 xdx = , 0 3
圣才统计学习网
tj
圣才学习网
求 E（XY）. 【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值
.c
⎧ 2 x, 0 ≤ x ≤ 1, 其他; ⎩0,
5.设随机变量 X 的概率密度为
N
∑ kP{ X = k}
k =0
N
求 E（X） ，D（X）. 【解】 E ( X ) =
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = ∫ x 2 dx + ∫ x(2 − x)dx
0 1
1
2
w.
1 2 0 1
3 ⎡1 3 ⎤ ⎡ 2 x ⎤ = ⎢ x ⎥ + ⎢ x − ⎥ = 1. 3 ⎦1 ⎣ 3 ⎦0 ⎣
12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取 出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
2
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
计
【解】 （1） E[U ] = E (2 X + 3Y + 1) = 2 E ( X ) + 3E (Y ) + 1
= 2 × 5 + 3 × 11 + 1 = 44.
因Y , Z 独立E (Y )i E ( Z ) − 4 E ( X )
= 11× 8 − 4 × 5 = 68.
概率论与数理统计(第三版)第四章习题
1 5 1 1 15 E( X ) 2 3 4 9 8 8 8 8 4
5. 设在某一规定的时间间隔里,某电 1 0 x 1500 气设备用于最大负荷的时间X(以分计) 15002 x , 1 f ( x ) 15002 ( x 3000),1500 x 3000 是一个随机变量,其概率密度为 求E(X). 0, 其它 解 E( X ) xf ( x )dx 1500 1 2 x 2dx 3000 1 2 ( x 2 3000 x )dx
2 0 xd (e x )
0
x x 2[ xe 0 0 e dx]
2(e x ) 2 0
E (e
2 X
)
2 x e
f ( x)dx
2 x x e e dx 0
1 3 x 3 x e dx e 0 0 3
xf ( x )dx 0
2 x 2 2 2 x e 0
2
x 2 2 2 xe dx 0
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
4 2 2
2 x 2 2 2 0 2 e 0
2 2
法二:利用函数的定义及性质
1448 676 964 D( A) E ( A ) [ E ( A)] 21.42( m 2 ) 15 9 45
2 2
法二:利用已知均匀分布的数学期望和方差的结果和性质求解
0 2 ( 2 0) 2 1 E( X ) 1, D( X ) , 2 12 3
2 2
,x0 x0
解 法一:利用
概率论与数理统计习题解答(第4章)
第4章习题答案三、解答题1. 设随机变量X求)(X E ，)(2X E ，)53(+X E ．解：E (X ) =∑∞=1i ixp= ()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯= -0.2E (X 2) =∑∞=12i i p x= 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 = 4.42. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为6,,2,1,6/1}{ ===i i X P记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=283. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．(2) 某天恰有n 个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B (n , p 1),所以E (X )= n p 1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B (n , p ),记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B ｝= p 1+ p 2 - p 1 p 2 所以E (Y )= n (p 1+ p 2 - p 1 p 2 )4. 将n 个考生的的录取通知书分别装入n 个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X 表示n 个考生中收到自己通知书的人数，求E (X )．解：依题意，X~B (n ，1/n )，所以E (X ) =1.5. 设)(~λP X ，且}6{}5{===X P X P ，求E (X )．解：由题意知X ～P （λ），则X 的分布律P{}k X ==λλ-e k k!，k = 1,2,...又P {}5=X =P {}6=X , 所以λλλλ--=e e!6!565解得 6=λ，所以E (X ) = 6.6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6}{22 --===k kk X P π问X 的数学期望是否存在？解：因为级数∑∑∑∞=+∞=+∞=+-=-=⨯-11212112211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k kk k k πππ， 而 ∑∞=11k k 发散，所以X 的数学期望不存在.7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.0,0,91)(3/其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．解：E (X ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞∞-==03/203/9191)(dx e x dx xe xdx x f x x x =6.8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-=.0,5,251)(2其它x x x F求这种家电的平均寿命E (X )．解：由题意知，随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=当x >5时，=)(x f 3350252xx =⨯--，当x ≤5时，=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-53=-==∞++∞∞+∞⎰⎰xdx x x dx x xf 所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.0,10,)1(42)(5其它x x x x f 求X 的数学期望E (X )．解：E (X ) =dx x x dx x xf ⎰⎰+∞∞-=-152)1(42)(=1/410. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.010,)1(2301)1(23)(22其它，，，，x x x x x f解：0)1(1023)1(0123)()(22=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E .111. 设),4(~p B X ，求数学期望)2(sinX E π． 解：X 的分布律为k n kk n p p C k X P --==)1(}{， k = 0，1，2，3，4，X 取值为0，1，2，3，4时，2sinX π相应的取值为0，1，0，-1，0，所以)21)(1(4)1(1)1(1)2(sin13343114p p p p p C p p C XE --=-⨯--⨯=π12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =，（k > 0，常数），求W 的数学期望．解：V 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,00 ,1)(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=⎰⎰aa v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(231ka13. 设随机变量(X ,求E (X )，E (Y )，E (X – Y )．解：E (X )=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度⎩⎨⎧≤+≤≤≤≤=其它,01,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求E (X )，E (Y )，E (XY )解：E (X )=⎰⎰⎰⎰-=⋅11022424xDydydx x xydxdy x dx x x ⎰-⋅=1022)1(2124dx x x x ⎰+-=10432)2412(52)51264(1543=+-=x x x.152)34524638()1(31242424)(5/22424)(1654311010322210102=-+-=-⋅==⋅===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x x x dx x x dydx y xxydxdy xy XY E xdxdy y xydxdy y Y E DxDy15.所得利润（以元计）为)12(1000X Y -=,求E (Y )，D (Y )．解： E (Y) = E ［1000(12-X )］=1000E ［(12-X )］=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400E (Y 2) = E ［10002(12-X )2］=10002E ［(12-X )2］=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106D (Y )=E (Y 2)-［E (Y )］2=1.6×106- 4002=1.44×10616. 设随机变量X 服从几何分布 ，其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中0 < p < 1是常数，求E (X )，D (X )．解：令q=1- p ,则∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞==⨯=⨯==⨯=111111)()}{()(k kk k k k k dqdq p qk p p qk k X P k X Ep q dq d p q dq d p k k /1)11(0∑∞==-==∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=⨯+⨯-=⨯==⨯=1111112122])1([)()}{()(k k k k k k k q k qk k p p qk k X P k X Ep qk k pq k k /1)1(12+⨯-=∑∞=-p qdq d pq p q dqd pq k k kk /1)(/1012222∑∑∞=∞=+=+=p p q p q pq p q dq d pq /1/2/1)1(2/1)11(2322+=+-=+-= D (X ) = E (X 2)- E (X ) =2q /p 2+1/p -1/p 2 = (1-p )/p 217. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01||,11)(2x x x f π，试求E (X )，D (X )．解：E (X )=011)(112=-=⎰⎰-∞∞-dx xxdx x f x πD (X )=E (X 2)=⎰⎰⎰--∈-∞∞-=-=2/2/2]2/,2/[11222cos sin sin 11)(ππππππdt tt tx dx xxdx x f x t2122cos 122/0=-=⎰ππdt t 18. 设随机变量(X ，Y )具有D (X ) = 9，D (Y ) = 4，6/1-=XY ρ，求)(Y X D +，)43(+-Y X D ． 解：因为)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ，所以)()(),(Y D X D Y X Cov XY ρ==-1/6×3×2=-1,11249),(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y D X D Y X D51)1(6369)3,(2)(9)()43(=--+=-++=+-Y X Cov Y D X D Y X D19. 在题13中求Cov (X ，Y )，ρXY ． 解：E (X ) =1/2, E (Y ) =3/4, E (XY )=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E (X 2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E (Y 2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D (X )= E (X 2) -［E (X )］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D (Y )= E (Y 2)- ［E (Y )］2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov (X ，Y )= E (XY )- E (X ) E (Y ) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ρXY = Cov (X ，Y ) /()(X D )(Y D )=-9/56 ÷ (28/9112/45)= -5/520. 在题14中求Cov (X ，Y )，ρXY ，D (X + Y )．解：52)()(==Y E X E ,,)(152=XY E 752)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov )(5124)(2101032Y E dydx y x X E x ===⎰⎰-[])(25125451)()()(22Y D X E X E X D ==-=-= 752),(2)()()(32)()(),(=++=+-==Y X Cov Y D X D Y X D Y D X D Y X Cov XYρ21. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.0,1,1),(22其它y x y x f π试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：0/12/)(112111122=-==⎰⎰⎰-----dx x x dydx x X E x xππOx2x20/)(111122==⎰⎰----x x dydx y Y E π 0/)(111122==⎰⎰----x x dydx xy XY E π，所以Cov (X ，Y )=0，ρXY =0，即X 和Y 是不相关.⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122y y y dx dx y x f y f y y Y ππ 当x 2 + y 2≤1时，f ( x,y )≠f X ( x ) f Y (y ),所以X 和Y 不是相互独立的22. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=.010,2||,2/1),(其它x x y y x f 验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：由于f ( x,y )的非零区域为D : 0 < x < 1, | y |< 2x32221102212====⎰⎰⎰⎰⎰-dx x xdydx dxdy y x xf X E xx D ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dydydx dxdy y x yf Y E ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dxydydx dxdy y x xyf XY E ),()(,所以Cov (X ，Y )=0，从而0)()(),(==y D x D y x Cov xy ρ，因此X 与Y 不相关 .⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-其他,010,221),()(22Xx x dy dy y x f x x x f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-=<<-+===⎰⎰⎰-∞+∞-其他,020,421202,42121),()(1212Y y y dx y y dx dx y x f y y y f所以，当0<x <1, -2<y<2时，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不是相互独立的 .⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=⎩⎨⎧≥<<--==-0,00,0,1)(,0),()(y y e y f Y x Y mx xY Y x n mY Y Q Q y Y θθθ的密度函数为[]()()()取最大值时，当又则令)(n ln 0n m )(d n ln,n 0)(1)()(d )()()()(1.1.)()(.)()( 20000000Q E n m x e dx Q E n m x n m e n e n m n e n m dx Q E nxn m e n m m xenx nxe e n m xe n m m xe nxe dy n m e ye n m m xde de nx yde n m dye m x dy e y x n m y dy Yf Y Q Q E x xxx x x x x y x xyx y x y x y x y x y y x x y x y Y +-=∴<+-=+-=∴+==-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+++-=+-++-+-=-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=-++-=+--==---------∞+----∞+---∞+--∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失，再者，他们预测销售量Y （件）服从参数θ的解：设生产x 件产品时，获利Q 为销售量Y 的函数2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X 服从参数为λ的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m 元，卖不掉而退回则每日赔偿n 元，若每日卖报人买进r 份报，求其期望所得及最佳卖报数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000件产品所出的次品数分别用ξ，η解：因为E ξ=0⨯0.7+1⨯0.1+2⨯0.1+3⨯0.1=0.6;E η=0⨯0.5+1⨯0.3+2⨯0.2=0.7。
故就平均来说，甲机床要优于乙机床。
2. 连续型随机变量ξ的概率密度为f x kx x k a a()(,)=<<>⎧⎨⎩0100其它又知E ξ=0.75，求k , a 之值 。
解：首先由密度函数性质知11,1,1)(=+∴==⎰⎰∞+∞-∞+∞-a kdx kx dx x f a 即； 又 E ξ=0.75，即有 75.02,1,75.0)(1=+∴==⎰⎰∞+∞-+∞+∞-a k dx kx dx x xf a 即；由上述两式可求得k =3, a =2。
3.求解：E ξ=(-1)⨯(1/8)+0⨯(1/4)+2⨯(3/8)+3⨯(1/4)=11/8; E ξ2=(-1)2⨯(1/8)+02⨯(1/4)+22⨯(3/8)+32⨯(1/4)=31/8;E (1-ξ)2=(1-(-1))2⨯(1/8)+(1-0)2⨯(1/4)+(1-2)2⨯(3/8)+(1-3)2⨯(1/4)=17/8 或者， E (1-ξ)2=E (1-2ξ+ξ2)=1- (E 2ξ)+E ξ2=17/8。
4. 若ξ的概率密度为f x e x ()||=-12。
求(1)E ξ，(2)E ξ2 。
解：(1)dx xe E x ⎰∞∞--=||21ξ中因e -|x |为偶函数，x 为奇函数，故x e -|x |为奇函数，且积分区间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上+∞<=Γ===⎰⎰⎰∞+--∞∞-∞∞-1)2(||21)(||0||dx xe dx e x dx x f x x x故 E ξ=0。
(2)dx x f x E )(22⎰∞∞-=ξ2!2)3(2102||2==Γ===-∞+-∞∞-⎰⎰dx e x dx e x x x 。
5. 轮船横向摇摆的随机振幅ξ的概率密度为f x Axex x x ()()=>≤⎧⎨⎪⎩⎪>-2220000σσ求(1)确定系数A ；(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少？解：(1)由密度函数性质知221,1,1)(22σσ=∴==⎰⎰∞+∞--∞+∞-A dxAxedx x f x 即,即⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2222x x e x x f x σσ (2)dxexedx exxdx x xf E x x x ⎰⎰⎰∞+--∞+-∞+∞---∞+-===0220222220][)(σσσσξσππσσσσ222)2(20)2(2=⋅==⎰∞+-x d e x ，4/22222][}{2222πσπσσπσσξξ-∞+-∞+-=-==>⎰e e dx exE P x x 。
6. 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度ξ和η为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表：解：因为 E ξ=9⨯0.3+10⨯0.5+11⨯0.2=9.9，E η=6⨯0.4+7⨯0.6=6.6， 故 E (ξ+η)=E ξ+E η=9.9+6.6=16.5；又ξ和η为两个相互独立的，因此有E (ξη)=E ξ·E η=9.9⨯6.6=65.34。
7. 已知(ξ，η)的联合概率密度为f x y xyx y (,)=<<<<⎧⎨⎩401010其它试求E (ξ2+η2)。
解：E (ξ2+η2)=14)(),()(10102222⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-=+=+xydxdy y x dxdy y x f y x 。
8. 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。
以ξ表示停车的次数，求E ξ (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)。
解：引入随机变量⎩⎨⎧=.,1,,0站有人下车在第站没有人下车在第i i i ξ 易知，1021ξξξξ+++= ，现在求E ξ由题设，任一游客在第i 站不下车的概率为9/10，因此，20位游客都不在第i 站下车的概率为(9/10)20，在第i 站下车的概率为1-(9/10)20。
也就是P {ξ i =0}=(9/10)20， P {ξ i =1}=1-(9/10)20(10,,2,1 =i )，因此，E ξ i =1-(9/10)20(10,,2,1 =i )。
故E ξ=E784.8))10/9(1(10)(2010211021=-⨯=+++=+++=ξξξξξξξE E E E (次) 9. 圆的直径用ξ度量，而ξ且在[a ，b ]上服从均匀分布，试求圆的周长和圆的面积的数学期望和方差。
解：由于ξ服从[a ，b ]上的均匀分布，因此ξ的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,,1)(b x a ab x f .12/)(,2/)(2a b D a b E -=+=ξξ 而圆的周长L=πξ，圆的面积A =πξ2/4，故有E L=E (πξ)=πE ξ=2/)(b a +π，DL =D (πξ)=π2D ξ=12/)(22a b -π；EA =πξ2/4=⎰++=-=ba b ab a dx a b xE )(121442222ππξπ，又 4ξE =⎰++++=-b a b ba a b ba a dx a b x)(5114322344，因此DA =EA 2-(EA )2=2222422222)(14416)](12[)4(b ab a E b ab a E ++-=++-πξππξπ=22224322342)(144)(5116b ab a b ba a b ba a ++-++++⋅ππ)474()(7202222b ab a a b ++-=π10. 设随机变量ξ，η相互独立，其概率密度分别为：f x x x xx ξ()=≤≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪012120其它，f y e y yη()=≥⎧⎨⎩-00其它试求E (ξη)，D (ξ+η)。
解：因为⎰⎰⎰=-+==+∞∞-211021)2()(dx x x dx x dx x xf E ξξ，⎰⎰⎰=-+==+∞∞-212103226/7)2()(dx x x dx x dx x f x E ξξ，⎰⎰+∞-+∞∞-===01)(dy ye dx y yf E y ηη，⎰⎰+∞-+∞∞-===02222)(dy e y dx y f y E y ηη， 又ξ与η是独立的，故有 E (ξη)=E ξ⨯E η=1⨯1=1；D (ξ+η)=D ξ+D η=6/71216/7])([])([2222=-+-=-+-ηηξξE E E E 。
11. 设随机变量ξ与η相互独立，且E ξ=E η=0，D ξ=D η=1，求E (ξ+η)2 。
解： E (ξ+η)2= E (ξ2+2ξη+η2)= E ξ2+2E (ξη)+E η2，又ξ与η相互独立，因此E (ξη)= E ξ⨯E η，而D ξ=2222)(,)(ξξξξξE D E E E +=∴-，同理 22)(ηηηE D E +=故有 E (ξ+η)2=E (ξ2+2ξη+η2)= E ξ2+2 E ξ⨯E η+E η2=2)(ξξE D ++2 E ξ⨯E η+2)(ηηE D +=1+1=2。
12. 若连续型随机变量的概率密度是f x ax bx c x ()=++<<⎧⎨⎩2010其它且已知E ξ=0.5，D ξ=0.15，求系数a , b , c 。
解：因为⎰+∞∞-=1)(dx x f ，即有 12/3/,1)(102=++=++⎰c b a dx c bx ax 即 ① 又E ξ=0.5，故5.02/3/4/,5.0)(102=++=++⎰c b a dx c bx ax x 即 ②又E ξ=0.5，D ξ=0.15，因而E ξ2=0.4，因此4.03/4/5/,4.0)(1022=++=++⎰c b a dx c bx ax x 即 ③解①、②、③组成的方程组，解得a =12，b =-12，c =3。
13. 设随机变量ξ有分布函数⎩⎨⎧≥-=-.,0,0,1其它）（x e x F x λ求E (2ξ+1)，D (4ξ) 。
解：先求ξ的分布密度函数⎩⎨⎧≥==-.,0,0,)(其它）（x e dx x dF x f x λλ故 λλλξλλλ1|1|)()(000=--===∞+-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰x x x e xe dx e x dx x xf E ，202222)(λλξλ⎰⎰∞+-∞+∞-===dx e x dx x f x E x ,因此2221)(λξξξ=-=E E D 。
从而有E (2ξ+1)=2E ξ+1=12+λ，D (4ξ)=16D ξ=216λ。
14. 证明：当k =E ξ时，E (ξ-k )2的值最小，且最小值为D ξ。
解：E (ξ-k )2=E [(ξ-E ξ)+(E ξ-k )]2= E (ξ-E ξ)2+2E (ξ-E ξ)(E ξ-k )+E (E ξ-k )2 = E (ξ-E ξ)2+E (E ξ-k )2=D ξ+ E (E ξ-k )2≥ D ξ。
即当k = E ξ时，E (ξ-k )2取得最小值D ξ。
15. 如果ξ与η相互独立，不求出(ξη)的分布，直接用ξ的分布和η的分布能否计算出D (ξη)，怎样计算？解：因为ξ与η相互独立，故D (ξη)=E (ξη)2-[ E (ξη)]2= E (ξ2η2)-(E ξE η)2 = E ξ2E η2)-(E ξ)2(E η)2。
16. 一台仪器有10个独立工作的元件组成，每一个元件发生故障的概率为0.1，试求发生故障的元件数的方差。
解：引入随机变量⎩⎨⎧=.,1,,0个元件发生故障在第个元件不发生故障在第i i i ξ 易知， 1021ξξξξ+++= ， 09.0)1.01(1.0=-⋅=i D ξ，故ξ9.009.010)(10211021=⨯=+++=+++=ξξξξξξD D D D 。
17. 设随机变量ξ服从瑞利(R ay le i gh)分布，其概率密度为)0(000)(2222>⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-σσσx x e x x f x求E ξ，D ξ。
解：()⎰⎰∞+∞-∞+-==02222dx e x dx x xf E x σσξdx e xe x x ⎰∞+-+∞---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=02022222σσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰∞+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-σσ22022x d ex σππσ222==()dx e x x dx x f x E x 22220222.σσξ-∞+∞+∞-⎰⎰==x d x e e x x x 202.02222⎰∞+-+∞---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=σσ=202.22222σσσ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+∞-x e∴[]222222422σπσπσξξξ-=-=-=E E D 。