第08章 约束优化方法(1)
约束优化方法
约束优化方法
约束优化方法是一种常用的数学方法，用于解决在一定条件下优化问题的方法。
其核心思想是将优化问题中的约束条件纳入考虑范围，从而得出最优解。
这种方法在实际应用中具有广泛的适用性，如在工程设计、经济决策、物流规划等领域都有着重要的应用。
约束优化方法的具体实现包括线性规划、非线性规划、动态规划等多种方法。
其中，线性规划是最为常用的一种方法，其基本思想是在满足一定的约束条件下，最大化或最小化目标函数。
非线性规划则是在约束条件下，求解非线性目标函数的最优解。
动态规划则是一种递推算法，通过将大问题分解为小问题，逐步求解最优解。
约束优化方法的优点在于能够考虑到实际问题中的各种限制条件，从而得出更加符合实际的解决方案。
然而，这种方法也存在着一些局限性，如在求解复杂问题时，计算量较大，需要较高的计算能力和时间成本。
综上所述，约束优化方法是一种重要的数学方法，其应用范围广泛，能够解决各种实际问题。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的约束优化方法，并结合实际情况进行调整和优化，以得出更加符合实际的解决方案。
约束问题的最优化方法
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI
Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r
(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x
求解约束优化问题的几种智能算法
求解约束优化问题的几种智能算法求解约束优化问题是现代优化领域中的一个重要研究方向。
约束优化问题存在多个约束条件的约束，如不等式约束和等式约束。
在实际应用中，约束优化问题广泛存在于工程、经济、生物、物理等领域，如最优化生产问题、投资组合优化问题和机器学习中的优化问题等。
对于约束优化问题的求解，传统的数学优化方法往往面临着维数高、非线性强等困难。
因此，智能算法成为了求解约束优化问题的重要手段之一。
智能算法是通过模仿生物进化、神经系统或社会行为等自然现象来解决问题的一类方法。
常见的智能算法包括遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。
这些算法通过自适应搜索的方式，能够在解空间中寻找全局最优解或接近最优解的解。
下面将介绍几种常见的智能算法在求解约束优化问题中的应用。
首先是遗传算法。
遗传算法是基于生物演化理论的一种优化算法。
它通过模拟自然遗传的过程，包括选择、交叉和变异等操作，来搜索解空间中的最优解。
在求解约束优化问题中，遗传算法通过将问题的解表示为染色体编码，并利用适应度函数评估每个个体的适应度，然后根据选择、交叉和变异等操作，在搜索空间中寻找最优解。
遗传算法能够有效克服问题的维数高、非线性强等困难，适用于求解复杂的约束优化问题。
其次是粒子群优化算法。
粒子群优化算法是基于鸟群觅食行为的一种优化算法。
它通过模拟多个粒子在解空间中搜索目标的过程，来寻找最优解。
在求解约束优化问题中，粒子群优化算法通过将问题的解表示为粒子的位置，并利用适应度函数评估每个粒子的适应度，然后根据粒子的速度和位置更新规则，在搜索空间中寻找最优解。
粒子群优化算法具有收敛速度快、易于实现等优点，适用于求解中等规模的约束优化问题。
再次是模拟退火算法。
模拟退火算法是基于固体退火原理的一种全局优化算法。
它通过模拟固体退火时渐冷过程中原子的运动来进行优化。
在求解约束优化问题中，模拟退火算法通过随机选择初始解，并利用目标函数评估解的质量，然后接受较差的解以避免陷入局部最优，并逐渐降低温度以使搜索逐渐趋向全局最优解。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
运筹学第15讲 约束最优化方法 (1)
第六章 约束最优化方法
6.1 Kuhn-Tucker 条件
一、等式约束性问题的最优性条件： 考虑 min f(x) s.t. h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值： 问题 求z=f(x,y) 在ф(x,y)=0 条件下的极 值。 即 min f(x,y) S.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ
充要条件是
⎧ min ∇ f ( x ) T d ⎪ A 1d ≥ 0 ⎪ ⎨ Ed = 0 ⎪ ⎪ | d j |≤ 1 , j = 1 , L n ⎩ 0。
的目标函数最优值为
第六章
6.2 既约梯度法
显 然 d = 0 是 可 行 解 , 所 以 P1的 最 优 值 必 ≤ 0 。 1 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 < 0 , 则 d 为 ( P )的 下 降 可 行 方 向 ； 2 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 = 0， 则 x 为 K − T 点 。 < 确定一维搜索的步长： 设 x( k )是 可 行 解 , d ( k ) 为 下 降 可 行 方 向 , 求 λ k 使 x( k + 1 ) = x( k ) + λ k d ( k ) . ⎧ m in f ( x( k ) + λ d ( k ) ) ⎪ ⎪ s .t . A ( x( k ) + λ d ( k ) ) ≥ b λk满 足 : ⎨ ⎪ E ( x( k ) + λ d ( k ) ) = e ⎪ ⎩ λ ≥ 0 $ = b − A x( k ) , d $ = A d (k), 显 然 b $ < 0. 令b 2 2 2 利 用 定 理 1可 得 λ 的 上 限 λ m a x $i ⎧ b $ i < 0} ⎪ m in { $ | d = ⎨ di ⎪ +∞ ⎩ $< 0 d $≥ 0 d
《约束优化方法》课件
牛顿法
01 总结词
基本原理、优缺点
02
基本原理
牛顿法基于泰勒级数展开，通 过迭代更新参数，构造出目标 函数的二次近似模型，并利用 该模型求解最优解。在约束优 化问题中，牛顿法通常用于处 理等式约束或非线性不等式约 束。
03
优点
04
收敛速度快，通常只需要较少的 迭代次数就能找到最优解。
缺点
对初值选择敏感，如果初值选择 不当，可能无法收敛到最优解； 同时计算量较大，需要存储和计 算Hessian矩阵。
物流配送问题旨在在满足客户需求和运输能力等约束 条件下，合理安排货物的配送路线和运输方式，以最 小化运输成本或最大化运输效率。
详细描述
物流配送问题需要考虑客户分布、运输网络、运输能 力、时间限制等多个约束条件，通过优化配送路线和 运输方式，提高物流效率和客户满意度。
2023
REPORTING
THANKS
非线性规划的解法包括梯度法、牛顿 法、共轭梯度法等，这些方法可以用 于解决函数优化、机器学习、控制系 统等领域的问题。
整数规划
整数规划是约束优化方法中的一种特殊类型，它要求所有决策变量均为整数。
整数规划的解法包括分支定界法、割平面法等，这些方法可以用于解决车辆路径问题、背包问题、布局问题等具有整数约束 的问题。
REPORTING
线性规划
线性规划是最早的约束优化方法之一 ，它通过寻找一组变量的最优解来满 足一系列线性不等式约束和等式约束 ，并最大化或最小化某个线性目标函 数。
线性规划的解法包括单纯形法、分解 法、网络流算法等，这些方法可以用 于解决生产计划、资源分配、运输问 题等实际应用。
非线性规划
非线性规划是约束优化方法的一个重 要分支，它研究的是目标函数和约束 条件均为非线性的优化问题。
运筹学 第八章 约束最优化方法
第八章 约束最优化方法无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。
但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束最优化方法。
由于约束最优化问题的复杂性，无论是在理论方面的研究，还是实际中的应用都有很大的难度。
目前关于一般的约束最优化问题还没有一种普遍有效的算法。
本书重点介绍几种常用的算法，力求使读者对这类问题的求解思路有一个了解。
8.1 约束优化方法概述一、约束优化问题的类型根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下： 1）等式约束优化问题 考虑问题l1,2,...,j x h t s x f j ==0)(..)(min其中，l 1,2,...,j x h x f j =),(),(为R R n→上的函数。
记为)(fh 问题。
2）不等式约束优化问题 考虑问题m1,2,...,i x g t s x f i =≤0)(..)(min其中，m 1,2,...,i x g x f i =),(),(为R R n→上的函数。
记为)(fg 问题。
3）一般约束优化问题()()()⎩⎨⎧===≤l ,1,2,j x h m ,1,2,i x g t s x f j i L L 00..min其中，l 1,2,...,j m i x h x g x f j i ==;,2,1),(),(),(L 为R R n→上的函数。
记为)(fgh 问题。
二、约束优化方法的分类约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
1）直接法只能求解不等式约束优化问题的最优解。
其根本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目标函数的最优解。
如：约束坐标轮换法、复合形法等。
其基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。
可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足m i x g i ,...,2,1,0)(=≤适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点的目标函数值是下降的，即满足)()()()1(k k x F x F <+2）间接法该方法可以求解不等式约束优化问题、等式约束优化问题和一般约束优化问题。
约束优化法
约束优化法约束优化法分为两种，一种是线性规划，另一种是非线性规划。
线性规划问题中，约束条件和目标函数都是线性的，求解方法较为简单；非线性规划问题中，约束条件和目标函数均为非线性的，求解方法相对复杂，需要使用数值方法进行近似求解。
在约束优化法中，约束条件是对决策变量的限制，而目标函数则是我们所期望最大化或最小化的指标。
例如，一个企业决定购买机器时，它需要考虑到各种成本，如购买成本、运输成本、维修成本等等。
它需要最小化这些成本，同时确保机器的质量符合要求。
这就是一个典型的约束优化问题，它的决策变量是机器的数量和型号，约束条件是成本和质量要求，目标函数是成本的最小化。
数学上，约束优化法可以形式化地表达为：\begin{aligned} \max_{x} \qquad & f(x)\\ \text{s.t.} \qquad & g_i(x) \leq 0, \; i=1,\dots,m \\ & h_j(x) = 0, \; j=1,\dots,p \\ \end{aligned}其中，x是决策变量向量，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束条件，h_j(x)是等式约束条件，m和p分别是不等式约束条件和等式约束条件的个数。
通常情况下，决策变量向量包含多个变量，而不等式和等式约束条件则限制了这些变量的取值范围，使其满足某些条件。
目标函数则是根据实际需求确定的指标，它的取值与决策变量有关。
线性规划问题可以通过线性规划算法求解，常见的有单纯形法、内点法等。
这些算法的核心思想是在变量的可行域中不断移动到更优值，直到找到最优的值；这就要求问题满足某些性质，如线性性、可凸性等。
非线性规划问题比较困难，通常需要使用近似求解方法，如牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
不管是线性规划还是非线性规划，约束优化方法在实际问题中广泛应用。
例如，企业生产和分配问题中需要优化各种资源的利用，以获得最大的利润；金融领域中需要优化投资组合，以获得最大的收益且风险最小化；交通规划中需要优化城市道路布局，以达到最小的通行成本和最大的交通流量等等。
约束优化方法
机械优化设计
X
( k 1)
k 步长
X
(k )
k S
k
(k 0,1,2, )
S
k
可行搜索方向
可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时， 目标函数值将下降，且不会越出可行域。 （2）间接法（可解各类问题） ---通过变换,将约束优化问题转化为无 约束优化问题求解.
常用方法有: 罚函数法,拉格朗日乘子法等.
begin setlength(y,n); for i:=low(x)to high(x) do y[i]:=2*x[i]-1; end;
yi y 1 i S n ... 2 yi i 1 yn
矢量 S 模为？1
12
机械优化设计
3.迭代过程 ①在初始点处产生一随机方 向，若该方向适用、可行， 则以定步长前进；
X (1)
X (2)
X ( 4) X (k)
5
机械优化设计
2. 迭代步骤
X1(1) X (0) e1 F ( X 1(1) ) F ( X (0) )?
X1(1) D ?
X (0)
X (3)
X (1)
X (2)
若满足适用性和可行性
2 X 2(1) X (0) e1 ... 2 , Xi (1) X (0) e1
X ( 4) X (k)
Hale Waihona Puke X 不满足可行性条件X (1) X 2(1)
(1) 3
X
(2) …1
X
(1)
e2
迭代终止条件： X (k) 邻近4个点均不能同时满足适用性和可行性条件
X * X (k) , F * F ( X ( k ) )
约束优化方法的讲解共45页
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
约束优化方法的讲解4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
约束最优化方法-43页PPT精选文档
s.t.
g1(x1, x2 ) x12 x22 5 0
g2 (x1, x2 ) x1 2x2 4 0
g3(x1, x2 ) x1 0
g4 (x1, x2 ) x2 0
g3=0
x2
▽g2(x*) -▽f(x*)
(3,2)T
2 1
x*
▽g1(x*)
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
f ( x)
m
uig i ( x) 0
i
u i 0, i 1,2, , m
ui g i (x) 0
2(x1 3) u1 2x1 u2 u3 0(1)
2(x2 2) u1 2x2 2u2 u4 0(2)
f T ( x ) B f T ( x ) B 1 N 为既约梯度
一、解线性约束问题的既约梯度法 （续）
寻找下降可行方向：
d
(1) d 为可行方向
Ad 0
d
j
0,当 x j
0时 .
proof . :" " d 为可行方向，即
0 , 当 （ 0， ）时，
i
g
i
(x
)
i1
l
v
j
h
j
(
x
)
0
j1
u
i
0
i 1,2 , , m
u
i
约束优化.ppt
初始复台形的形成
复合形法是在可行域内直接搜索最优点，因此， 要求初始复合形在可行域内生成，即复合形的k个定 点必须是可行点。
生成初始复合形法的算法原理
1)由设计者决定k个可行点，构成初始复合形。当设 计变量较多或约束函数复杂时，由设计者决定k个可 行点常常很困难。只有在设计变量少，约束函数简单 的情况下，这种方法才被采用。
事实上，只要可行域为凸集，其中心点必为可 行点，用上述方法可以成功地在可行域内构成初始 复合形。如果可行域为非凸集，中心点不一定在可 行域之内，则上述方法可能失败。此时可以通过改 变设计变量的下限和上限值，重新产生各项点。经 过多次试算，有可能在可行域内生成初始复合形。 3)由计算机自动生成初始复合形的全部顶点。其方 法是首先随机产生一个可行点，然后按第二种方法 产生其余的(k—1)个可行点。这种方法对设计者来 说最为简单，但因初始复合形在可行域内的位置不 能控制，可能会给以后的计算带来困难。
约束优化方法
工程问题中绝大部分问题是约束问题。只要由
约束条件决定的可行域是凸集，同时目标函数也是 凸函数，否则将由于选择的初始点不同，而搜索到 不同的局部最有点上。
约束优化的模型，通常如下：
min f x f x1, x2 ,, xn s.t. g j x g j x1, x2 ,, xn 0 ( j 1,2,, m)
在可行域内生成初始复合形后，将采用不同的搜 索方法来改变其形状，约束最优点趋近。改变复合 形形状的搜索方法主要有以下几种： 1．反射 反射是改变复合形形状的一种主要策略，计算步骤：
1)计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小， 求出最好点、坏点。计算除去最坏点外的(k—1)个顶点 的中心xc
约束问题最优化方法
且 对 满 足 下 述 (9-7) 、(9-8) 、(9-9) 三 条 件 的 任 意 非 零 向 量 z 有 (9-10) 成 立 ， 则 x* 是 问 题 (9-1) 的 严 格 局 部 极 小 点 ．
第9章
约束问题最优化方法
9.1 约束优化问题的最优牲条件
约束条件下求极小值的非线性规划问题的数学模 型如下：
min f ( x) s.t hi ( x) 0(i 1, 2,, m) g j ( x) 0( j 1, 2,, l )
（ 9-1 ）
9． 1． 1 基 本 概 念 1． 起 作 用 约 束 设 非 线 性 规 划 问 题 （ 9.1.1 ） 的 可 行 域 为 H
*
9.1.4 二阶充分条件
1. 二 阶 充 分 条 件 对 非 线 性 规 划 问 题 （ 9-1 ） 而 言 ， 若 f ( x) 、 gi ( x)( j 1, 2,, l ) 、
hi ( x)(i 1, 2,, m) 二 次 连 续 可 微 ， x* 是 可 行 点 ， 又 存 在 向 量
2 ．正则点
对 于 非 线 性 规 划 问 题 (9-1) ， 如 果 可 行 点 x (1) 处 ， 各 起 作 用 约 束 的 梯 度 线 性 无 关 ， 则 x (1) 是 约 束 条 件 的 一 个 正 则 点，特别地，严格内点也是约束条件的正则点．
3 ．可行下降方向的判定条件 在 7.4 节，我们给出了可行下降方向的定义，在这里 我们推导可行下降方向的判定条件． 设x
(1)
约束优化
约束优化问题的分类
•线性规划 (LP) 目标和约束均为线性函数 •非线性规划 (NLP) 目标或约束中存在非线性函数 •二次规划 (QP) 目标为二次函数、约束为线性 •整数规划 (IP) 决策变量为整数
求解线性规划的基本原理
max(or min) z = c T x, x ∈ R n s.t. Ax ≤ b, x ≥ 0 c∈ R , A∈R ,b∈ R
x=(6.4286,4.2857),z=102.8571 lag.ineqlin=(1.5714,0.0571,0) lag.lower= (0,0)
若投资0.8万元可增加原料 1公斤，问应否作投资？
lag.ineqlin(1)=1.5714
约束条件1(资源)右端改变1个单位时目标函 数(利润)的变化量，它度量了该资源的价值
影子 价格
max z = 10 x 1 + 9 x 2 s . t . 6 x 1 + 5 x 2 ≤ 60 10 x 1 + 20 x 2 ≤ 150 x1 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0
6
x
4 c↑
x1 z=c
2 4 6
2
x2
8
x1,x2为整数 x⇒x1=(6,4),z1=96 x2=(8,2),z2=98
−x1 + x2 + x3 = 2
x2 P O R Q
= [ p1 p2 p3 p4 p5 ]
xN = 0 ⇒ xB = B−1b
B = [ p 3 p 4 p5 ] ⇒ x = ( 0,0,2,2 ,14 )T O点
x1
B = [ p1 p3 p5 ] ⇒ x = (2,0,4,0,8)T Q点
B = [ p2 p3 p5 ] ⇒ x = (0,−1,3,0,16)T R点
约束优化-惩罚函数法
( p) 1
,r
( p) 2
f x r G g x r H h x
( p) 1 m j 1 j ( p) 2 l k 1 k
的无约束最优化问题。
min x, r1( p ) , r2( p ) f x r1( p ) G g j x r2( p ) H hk x
k 1 l
对于每次迭代的 M ( p )，都可以求得相应的惩 罚函数最小 值和最优解X ( M ( p ) )。
当M为足够大的值时，惩罚 函数最小值将收敛于一 个有 限的极限值 *，且满足hk ( x) 0，而序列｛X ( M ( p ) )｝将 收敛于某一点X *。 *即为原问题f ( x)在等式约束hk ( x) 0 条件下的最小值， X *即为原问题的最优解。 即： lim M ( p ) lim M
2 另外，惩罚项形式 M h ( x ) k k 不是唯一的， k 1 l
任何仅仅当约束条件得 到满足时才等于零的 非负函数都可以当作惩 罚项，可以根据具体情 况选择。
四、惩罚函数法
将约束最优化问题 min f x f x1 , x2 , , xn s.t. g j x g j x1 , x2 , , xn 0 hk x hk x1 , x2 , , xn 0 转化为形如： min x, r ( j 1,2, , m) (k 1,2, , l )
为便于在计算机上用直 接寻优的方法进行迭代 计算， 可以构造一个新的函数 ： F F Z x i 1 k 1 i k
n l 2 l F 2 x hk ( x) i 1 k 1 i n 2 2
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约束优化方法概述
2、等式约束优化问题（EP型） 、等式约束优化问题（ 型 min F ( x) n x∈D ⊂ R s.t. hv ( x) = 0, v = 1, 2,..., q 3、一般约束优化问题（GP型） 、一般约束优化问题（ 型
约束优化问题的最优解及其必要条件
三、约束优化问题极小点的条件 约束优化问题极小点的条件， 约束优化问题极小点的条件，是指在满足约 束条件下，目标函数局部极小点的存在条件。 束条件下，目标函数局部极小点的存在条件。 约束问题最优解的存在条件有两种：一是极 约束问题最优解的存在条件有两种： 小点在可行域内部， 小点在可行域内部，二是极小点在可行域的一个 或几个边界交汇处。 或几个边界交汇处。 1、不等式约束问题解的必要条件 、 第一种情况：如图所示， 第一种情况：如图所示， g1(x*)=0， g2(x*)<0， ， ， g3(x*)<0。所以 1(x)为起作用约束， g2(x)、 g3(x) 为起作用约束， 。所以g 为起作用约束 为不起作用约束。 为不起作用约束。 由于约束最优点是目标函数与约束g 边界 由于约束最优点是目标函数与约束 1(x)边界 的切点，故目标函数与约束函数的梯度必共线， 的切点，故目标函数与约束函数的梯度必共线， 而且方向相反。 而且方向相反。
约束优化问题的最优解及其必要条件
若取非负乘子λ1*≥ 0，则在 处存在如下关系 ，则在x*处存在如下关系 ∇ F(x*)+ λ1*∇ g1(x*)=0
g2(x) g3(x)
∇ F(x*)
-∇ g1(x*) x* g1(x)
约束优化问题的最优解及其必要条件
第二种情况：如图所示， 第二种情况：如图所示，若最优点位于两约 束的交点上， 束的交点上，则目标函数的负梯度矢量夹于两约 束函数梯度矢量之间。 束函数梯度矢量之间。则目标函数的梯度可以表 示为约束函数梯度的线性组合， 示为约束函数梯度的线性组合，若取非负乘子 λ1*≥ 0， λ2*≥ 0，则在 处存在如下关系 ， ，则在x*处存在如下关系 -∇ F(x*)= λ1*∇ g1(x*)+ λ2*∇ g2(x*)=0
约束优化问题的最优解及其必要条件
库恩-塔克条件的几何意义是， 库恩 塔克条件的几何意义是，在约束极小 塔克条件的几何意义是 点处， 点处，目标函数的负梯度一定能表示为所有起作 用约束在该点梯度的线性组合。 用约束在该点梯度的线性组合。
g1(x)
∇ F(x*)
g2(x) -∇ g1(x*)
-∇ g2(x*)
T 2 x = [ x1 x2 ] ∈ D ⊂ R s.t. g ( x) = − x2 − 2 ≤ 0 2 2 h( x) = ( x1 − 2) − x2 − 9 = 0
2 2 2
min F ( x) = ( x1 − 1) + x
约束优化问题的最优解及其必要条件
该优化问题的最优点如下图所示， 该优化问题的最优点如下图所示，对于这两个局部 其函数值不同， 最小点 x1*=[-1 0 ]T, x2*=[5 0 ]T ，其函数值不同， F(x1*)=4, F(x2*)=16 。全局最优点为 x1*=[-1 0 ]T F*=4
m
约束优化问题的最优解及其必要条件
2、等式约束问题解的必要条件 、
如图所示， 如图所示，目标函数梯度矢量与约束函数梯度矢量 共线。因此，一定存在一个乘子，使得下式成立： 共线。因此，一定存在一个乘子，使得下式成立： ∇ F(x*)+µ*∇ h(x*)=0 对于一般等式约束优化问题， 对于一般等式约束优化问题，其最优解必要条件为
优化设计方法(Optimization Method)
约束优化方法
交通与车辆工
• • • • • • 概述 Kuhn－Tucker条件 转换法 直接搜索方法 线性化方法 序列二次规划法
约束优化方法概述
无约束优化方法是优化方法中最基本最核 心的部分。但是，在工程实际中， 心的部分。但是，在工程实际中，优化问题大 都是属于有约束的优化问题， 都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的 取值要受到一定的限制， 取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问 题最优解的方法称为约束优化方法。 题最优解的方法称为约束优化方法。 一、约束优化问题的类型 根据约束条件类型的不同可以分为三种， 根据约束条件类型的不同可以分为三种， 其数学模型分别如下： 其数学模型分别如下： 1、不等式约束优化问题（IP型） 、不等式约束优化问题（ 型
约束优化问题的最优解及其必要条件
一、局部最优解与全局最优解
对于具有不等式约束的优化问题， 对于具有不等式约束的优化问题，若目标函数是凸 集上的凸函数，则局部最优点就是全局最优点。 集上的凸函数，则局部最优点就是全局最优点。如左图 所示，无论初始点选在何处， 所示，无论初始点选在何处，搜索将最终达到唯一的最 优点。否则，目标函数或可行域至少有一个是非凸性的， 优点。否则，目标函数或可行域至少有一个是非凸性的， 则可能出现两个或更多个局部最优点，如右图所示， 则可能出现两个或更多个局部最优点，如右图所示，此 时全局最优点是全部局部最优点中函数值最小的一个。 时全局最优点是全部局部最优点中函数值最小的一个。
惩罚函数法
惩罚函数法是一种使用很广泛、 惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间 接解法。 接解法。它的基本原理是将约束优化问题
min F ( x) x ∈ D ⊂ Rn s.t. gu ( x) ≤ 0, u = 1, 2,..., p hv ( x) = 0, v = 1, 2,..., q
n x∈D ⊂ R s.t. gu ( x) ≤ 0, u = 1, 2,..., p hv ( x) = 0, v = 1, 2,..., q min F ( x)
使服从……，使遭受 注：subject to 使服从 ，使遭受…...
约束优化方法概述
二、约束优化方法的分类
p q k k ∇F ( x ) + ∑ λu ∇gu ( x ) + ∑ µv ∇hv ( x k ) = 0 u =1 v =1 λu gu ( x k ) = 0 λu ≥ 0 u = 1, 2,..., p
上式也称为Kuhn-Tucker条件。在优化实用计算中， 条件。在优化实用计算中， 上式也称为 条件 为判断可行迭代点是否是约束最优点， 为判断可行迭代点是否是约束最优点，可以检查其是否满 条件。 足K-T条件。 条件
g1(x)
∇ F(x*)
g2(x) -∇ g1(x*)
-∇ g2(x*)
约束优化问题的最优解及其必要条件
结论：对于不等式约束优化问题， 结论：对于不等式约束优化问题，其最优解 的必要条件为
* * ∇f (x ) + ∑ ui ∇g i (x ) = 0 i =1 ui ≥ 0 u g = 0 i i
约束优化问题的最优解及其必要条件
结论： 结论： 1、约束优化问题的最优解不仅与目标函数 、 有关，而且与约束集合的性质有关。 有关，而且与约束集合的性质有关。 2、在可行设计点x(k)处， 起作用约束在该 、在可行设计点 点的邻域内不但起限制可行域范围的作用， 点的邻域内不但起限制可行域范围的作用，而且 还可以提供可行搜索方向的信息。 还可以提供可行搜索方向的信息。 3、由于约束最优点一般发生在起作用约束 、 不起作用约束在求解最优点的过程中， 上，不起作用约束在求解最优点的过程中，可以 认为是无任何影响，所以可以略去不起作用约束， 认为是无任何影响，所以可以略去不起作用约束， 把所有起作用约束当作等式约束问题求解最优点。 把所有起作用约束当作等式约束问题求解最优点。
约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接 法和间接法两类。 法和间接法两类。 1、直接法 、 只能求解不等式约束优化问题的最优解。 只能求解不等式约束优化问题的最优解。其根 本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目 标函数的最优解。 标函数的最优解。 其基本要点：选取初始点、 其基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适 当步长。 当步长。 搜索原则： 搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性 与适用性两个条件。 与适用性两个条件。 可行性： 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行 域内，即满足 域内， gu(x) ≤0, u=1,2,…,p
h(x) x2 h(x)
x1* -2 g(x)
x2* 2 4 6
x1
约束优化问题的最优解及其必要条件
二、起作用约束与不起作用约束
对于一般约束优化问题，其约束分为两类：等式约束和不等式约束。 对于一般约束优化问题，其约束分为两类：等式约束和不等式约束。 在可行设计点x 对于不等式约束， 在可行设计点 (k)处，对于不等式约束，若gi (x(k))=o，则称第 个约 ，则称第i个约 为可行点的起作用约束； 则称g 束gi (x)为可行点的起作用约束；否则，若gi (x(k))<o ，则称 i (x)为可行点 为可行点的起作用约束 否则， 为可行点 的不起作用约束。即只有在可行域的边界上的点才有起作用约束，所有 的不起作用约束。即只有在可行域的边界上的点才有起作用约束， 约束对可行域内部的点都是不起作用约束。 约束对可行域内部的点都是不起作用约束。 对于等式约束，凡是满足该约束的任一可行点， 对于等式约束，凡是满足该约束的任一可行点，该等式约束都是 起作用约束。 起作用约束。
即将介绍的主要方法
– 转换方法：借助于惩罚函数将约束优化问题转 转换方法： 化为无约束优化问题。 化为无约束优化问题。 • 外点法，内点法，乘子法 外点法，内点法， – 直接搜索方法：直接考虑约束条件，但仅借助 直接搜索方法：直接考虑约束条件， 目标函数和约束函数信息进行搜索。 目标函数和约束函数信息进行搜索。 • 复形法，随机试验法 复形法， – 线性化方法：将约束优化问题转化为一系列线 线性化方法： 性规划问题进行求解， 性规划问题进行求解，或者紧紧利用线性规划 求解探索方向，而利用一维搜索确定搜索步长。 求解探索方向，而利用一维搜索确定搜索步长。 • 序列线性规划法，可行方向法 序列线性规划法， – 序列二次规划法：将约束优化问题转让为一系 序列二次规划法： 列二次规划问题进行求解。 列二次规划问题进行求解。