2010年高考理科数学试卷全国1

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)复数3223i i+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A)(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种（7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A323（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为（10）已知函数()|lg |f x x =,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙ 的最小值为(A) 4-+3- (C) 4-+3-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3。

第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)(13)1x ≤的解集是 .(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，cot cot a b a A b B +=+且BF 2FD =uu r uu r ，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．)已知ABC+=+，求内角C．a b a A b BV的内角A，B及其对边a，b满cot cot(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数()(1)ln1=+-+.f x x x x（Ⅰ）若2'()1≤++，求a的取值范围；xf x x ax（Ⅱ）证明：(1)()0-≥ .x f x（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，过点(1,0)K-的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设89FA FB=，求BDK∆的内切圆M的方程 .（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==- . （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题1. A2. B3. B4. A5. C6. A7. D 8. C 9. B 10. C 11. D 12. B二、填空题13. {|02}x x ≤≤ 14. 17- 15. 5(1,)4 三、解答题17. 解：由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得sin sin cos cos sin cos cos sin A B A BA AB B +=+-=-从而sin cos cos sin cos sin sin cos 4444A A B B ππππ-=-sin()sin()44A B ππ-=- 又0A B π<+<故44A B ππ-=-2A B π+=所以2C π=18. 解：(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用.则 D=A+B·C,()0.50.50.25,()20.50.50.5,()0.3,P A P B P C =⨯==⨯⨯==()()P D P A B C =+=()()P A P B C +=()()()P A P B P C +=0.25+0.5×0.3=0.40.(Ⅱ)~(4,0.4)X B ，其分布列为：4(0)(10.4)0.1296,P X ==-=134(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-=2224(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-=334(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==⨯⨯-=4(4)0.40.0256.P X ===期望40.4 1.6EX =⨯=.19. 解法一：(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,由此知1,DG GC BG===即ABC∆为直角三角形，故BC BD⊥.又ABCD,BC SDSD⊥⊥平面故,所以，BC⊥⊥平面BDS,BC DE.作BK⊥EC,EDC SBCK⊥为垂足，因平面平面，故,BK EDC BK DE DE⊥⊥平面，与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SBSBSD DBDESB==-33EB SE SB EB====所以，SE=2EB(Ⅱ) 由1,2,,SA AB SE EB AB SA====⊥知1,AD=1AE==又.故ADE∆为等腰三角形.取ED中点F,连接AF,则,AF DE AF⊥==.连接FG，则//,FG EC FG DE⊥.所以，AFG∠是二面角A DE C--的平面角.连接AG,AG=FG=,2221cos22AF FG AGAFGAF FG+-∠==-,所以，二面角A DE C--的大小为120°.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz-，设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（Ⅰ）(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC==设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)由,n SC n BC⊥⊥，得0,0n SC n BC==故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)又设SE EBλ=(0)λ>，则2(,,)111Eλλλλλ+++2(,,),(0,2,0)111DE DCλλλλλ==+++设平面CDE的法向量m=(x,y,z)由,m DE m DC⊥⊥,得m DE⊥=，0m DC⊥=故20,20111x y zyλλλλλ++==+++.令2x=，则(2,0,)mλ=-.由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-==故SE=2EB（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(,,)333E ，取DE 的中点F ，则111211(,,),(,,)333333F FA =-- ， 故0FA DE = ，由此得FA DE ⊥又242(,,)333EC =-- ，故0EC DE = ，由此得EC DE ⊥， 向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角于是 1cos(,)2||||FA EC FA EC FA EC ==- 所以，二面角A DE C --的大小为12020.解：（Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x λ+'=+-=+， ()ln 1xf x x x '=+,题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤.令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤，1x =是()g x 的最大值点， ()(1)1g x g =-≤综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤；当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x=++- 11ln (ln 1)x x x x =--+ 0≥所以(1)()0x f x -≥21. 解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠. （Ⅰ）将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而12124,4y y m y y +==直线BD 的方程为212221()y y y y x x x x +-=-- 即222214()4y y y x y y -=-- 令0y =，得1214y y x == 所以点F(1,0)在直线BD 上（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uu r ，212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-uu r uu r故 28849m -=， 解得 43m =± 所以l 的方程为3430,3430x y x y ++=-+= 又由（Ⅰ）知 21y y -==故直线BD 的斜率214y y =-， 因而直线BD 的方程为330,330.x x -=-= 因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)(11)M t t -<<，(,0)M t 到l 及BD 的距离分别为3131,54t t +-. 由313154t t +-=得19t =，或9t =（舍去）， 故 圆M 的半径31253t r +==. 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=. 22. 解：（Ⅰ）12512222n n n na a a a +--=--=，112142,42222n n n n n n a b b a a a ++==+=+---即 11112214(),1,1332n n b b a b a ++=+===--又故 所以2{}3n b +是首项为13-，公比为4的等比数列， 121433n n b -+=-⨯ 112433n n b -=-⨯- （Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，2111a c a a =->，命题成立； （ⅱ）设当n=k 时，1k k a a +<，则当n=k+1时，21111k k k ka c c a a a +++=->-= 故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c>2时1n n a a +<当c>2时，令a =，由111n n n n a a c a a ++<+=得n a a < 当102,33n c a a <≤<≤时 当103c >时，3a >，且1n a a ≤< 于是111()()3n n n n a a a a a a a a +-=-≤- 11(1)3n na a a +-≤-当31log 3a n a ->-时，113,3n n a a a a ++-<-> 因此103c >不符合要求 所以c 的取值范围是10(2,]3。