高中数学 1.2 角的概念的推广基础巩固 北师大版必修4
高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广学案北师大版必修4
1.2 角概念推广1．角概念角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成图形．2．角分类(1)按旋转方向可将角分类：(2)按角终边位置分类预习交流1(1)终边与始边重合角一定是零角吗？(2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．3．终边一样角表示一般地，所有与角α终边一样角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边一样角，都可以表示成角α与周角______倍与．注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋〞号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边一样角不一定相等，但相等角终边一定一样，终边一样角有无数个，它们相差周角整数倍．预习交流2(1)以下各角中与330°角终边一样角是( )．A．510°B．150°C．－150°D．－390°(2)在－360°到360°范围内，与412°角终边一样角是______．答案：1．一条射线端点旋转2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边与始边重合角，但终边与始边重合角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角终边与始边也重合．(2)一三四3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数预习交流2：(1)D (2)52°，－308°1．角概念辨析问题判断以下说法是否正确，并说明理由：(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，那么有P＝Q；(2)角α与角2α终边不可能一样；(3)假设α是第二象限角，那么2α一定是第四象限角；(4)不相等角其终边位置必不一样．思路分析：解答此题首先要明确角范围不再局限于0°～360°，角度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边一样角概念．A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.对推广后角概念理解．(1)紧紧抓住“旋转〞二字，用运动观点来看角．(2)结合实际意义明确角概念经过推广后，角范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角与零角．(3)正确理解正角、负角与零角概念，既要注意始边位置与旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边一样角及象限角α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边一样，且－720°≤θ＜0°.思路分析：利用终边一样角关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．将以下各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)形式，并指出是第几象限角．(1)－1 840°；(2)1 690°.终边一样角相差360°整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边一样0°～360°范围内角，这个0°～360°范围内角所在象限即为所求．3．区域角表示如下图，写出终边落在阴影局部(实线包括边界，虚线不包括边界)角集合．思路分析：观察图形，找出边界上角，用不等式形式表示出阴影局部内角集合．如下图，写出终边落在图中阴影局部(实线包括边界，虚线不包括边界)角集合．区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系某个区域内角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针方向找到区域起始与终止边界；(2)按由小到大分别标出起始与终止边界对应－360°到360°范围内角α与β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}；(3)根据旋转观点把起始、终止边界对应角α、β加上k ·360°(k ∈Z )．特别地，如“活动与探究3”中，假设是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n ×180°(n ∈Z )即可；假设区域包括了x 轴非负半轴，那么可由负角到正角，如图③，两边再加上k ×360°(k ∈Z )．4．α角所在象限，判断角α2终边所在位置 角α是第二象限角，试判断角α2是第几象限角． 角α是第三象限角，试判断角α2是第几象限角．(1)各象限角集合如下角k·360°，k∈Z}第三象限角{α|180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z}第四象限角{α|270°＋k·360°＜α＜360°＋k·360°，k∈Z}答案：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上P＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q.(2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边一样．(3)不正确．由90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°(k∈Z)知180°＋2k×360°＜2α＜360°＋2k×360°，k∈Z，故2α是第三或第四象限角，也可能终边在y轴非正半轴上．(4)不正确．不相等角其终边位置也可能一样，如30°与390°.迁移与应用：解：A∩B＝{α|0°＜α＜90°}，A∪C＝{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z}，C∩D＝{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z，k≤0}，A∪D＝{α|α＜90°}．活动与探究2：解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.迁移与应用：解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°，故－1 840°是第四象限角．(2)1 690°＝4×360°＋250°，故1 690°是第三象限角．活动与探究3：解：(1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边一样角有60°角，与l2终边一样角有310°角．∴图①阴影局部中角集合为S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．(2)由图②知，第一象限内阴影局部中角集合为S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．第三象限内阴影局部中角集合为S 2＝{α|225°＋k ×360°≤α≤270°＋k ×360°，k ∈Z }． ∴所求阴影局部中角集合为S ＝S 1∪S 2＝{α|45°＋2k ×180°≤α≤90°＋2k ×180°，k ∈Z }∪{α|45°＋(2k ＋1)×180°≤α≤90°＋(2k ＋1)×180°，k ∈Z }＝{α|45°＋n ×180°≤α≤90°＋n ×180°，n ∈Z }．(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l 2旋转至l 1，与l 2终边一样角有－30°角，与l 1终边一样角有30°角．∴图③阴影局部中角集合为S ＝{α|－30°＋k ×360°＜α＜30°＋k ×360°，k ∈Z }． 迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影局部中角集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°，k ∈Z }，终边落在第四象限内阴影局部中角集合可表示为{x |k ×360°－15°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }，∴终边落在阴影局部角集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°或－15°＋k ×360°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }．活动与探究4：解法一：(分类讨论法)∵角α是第二象限角，∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z.∵k ×180°＋45°＜α2＜k ×180°＋90°，k ∈Z ， ∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ×360°＋45°＜α2＜n ×360°＋90°，即角α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， n ×360°＋225°＜α2＜n ×360°＋270°， 即角α2是第三象限角．∴角α2终边落在第一或第三象限． 解法二：(几何法)先将各象限二等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2区域即为角2α终边所在区域，如下图，故角2α是第一、三象限角．迁移与应用：解法一：(分类讨论法)∵α是第三象限角，∴k ×360°+180°＜α＜k ×360°+270°，k ∈Z ，∴k ×180°+90°＜2α＜k ×180°+135°，k ∈Z.∴当k=2n ，n ∈Z 时，n ×360°+90°＜2α＜n ×360°+135°，即角 2α是第二象限角； 当k =2n +1，n ∈Z 时，n ×360°+270°＜2α＜n ×360°+315°，即角2α是第四象限角． ∴角2α是第二或第四象限角． 解法二：(几何法)仿照“活动与探究4”“解法二〞即可知角 是第二或第四象限角．1．以下命题中正确是( )．A ．三角形内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等角终边一定不一样D ．假设β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，那么α与β终边一样2．给出以下四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．与405°角终边一样角是( )．A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·360°－405°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z4．(1)一个30°角，将其终边按逆时针方向旋转三周，那么旋转后角是________．(2)假设时针走过2小时40分，那么分针转过角度是________．5．终边在第一、三象限角平分线上角集合为________；终边在第二、四象限角平分线上角集合为________．答案：1．D 解析：90°角可以是三角形内角，但它不是第一、二象限角，故A 错；390°角是第一象限角，但它不是锐角，故B 错；390°角与30°角不相等，但终边一样，故C 不正确；对于D ，由终边一样角概念可知正确．2．C 解析：①②③正确，④错误．3．C4．(1)1 110° (2)－960° 解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过角度为360°×3＝1 080°.再加上原来角度30°，所以旋转后角是1 110°.(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°. 5．{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z }{|＝×180°＋135°，∈Z }。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广讲义2 北师大版必修4
【知识探究】 知识点1 角的概念的推广 观察图形,回答下列问题:
问题1:构成角的要素有哪几个? 问题2:用旋转观点定义角会出现哪几类角?旋转时,要注意哪些要素?
【总结提升】 角的概念的四个关注点 (1)三个要素:顶点、始边、终边. (2)运动观点下的定义:抓住“旋转”两个字,它有正负之分,与初中学 习的静止观点下的角是有区别的.
2.α ,2α , 等角的终边位置的确定方法 2
不等式法
①利用象限角的概念或已知条件,写出角α 的范围.
②利用不等式的性质,求出2α , 等角的范围. 2
③利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.
例如,如果得到k×120°< <k×120°+30°,k∈Z,可画出0°<
3
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<30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图
第二象限角 {α |90°+k·360°<α <180°+k·360°,k∈Z}
第三象限角 {α |180°+k·360°<α <270°+k·360°,k∈Z}
第四象限角 {α |270°+k·360°<α <360°+k·360°,k∈Z}
3.对于终边相同的角的认识 所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内可以用式子k·360°+α , k∈Z表示,在运用时需注意以下三点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉. (2)α 是任意角. (3)k·360°与α 之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成 k·360°+(-30°),k∈Z.
D.第一或第二象限角
3.已知角的顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指
数学北师大版必修4课前导引：1.2角的概念的推广 含解析 精品
§2 角的概念的推广课前导引问题导入【问题】 已知α为第一象限角，请你探求2α、2α、3α所在的象限. 思路分析:因为α为第一象限角，即k·360°＜α＜k·360°+90°，k ∈Z ，则(1)2α是第一或第二象限角，或终边在y 轴非负半轴上的角；(2)k·180°＜2α＜k·180°+45°，k ∈Z ,当k 为偶数时，2α为第一象限角；当k 为奇数时，2α为第三象限角；所以，2α为第一、第三象限角； （3）336033360︒∙<<︒∙k k α+30°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，3α为第一象限角； 当k=3n+1(n ∈Z )时,3α为第二象限角； 当k=3n+2(n ∈Z )时，3α为第三象限角. 所以，3α为第一、第二、第三象限角. 对2α、3α，还有一种方法——八卦图法：(1)2α所在象限的判断方法： 第一步：画出直角坐标系（如右图）将每一象限分成两等份；第二步：标号.从靠近x 轴非负半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；第三步：选号.α为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示；第四步：定象限.阴影部分在哪一象限，2α的终边就落在哪一象限. 由以上步骤可知，若α为第一象限角，则2α为第一、三象限角.(2)3α所在象限的判断方法: 第一步：画出直角坐标系(如右图)，将每一象限分成三等份；第二步：标号.从靠近非负半轴的第一象限内开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4；第三步：选号.α为第一象限角，在图中将数字1的范围画出，可用阴影表示； 第四步：定象限.阴影部分在哪一象限，3α的终边就 落在哪一象限.由以上步骤可知，若α为第一象限角，则3α为第一、二、三象限角. 知识预览1.象限角、轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，那么（1）如果角的终边（除原点外）在第几象限，则就说这个角是第几象限角.比如60°、420°、-300°都是第一象限角；120°、480°、-240°都是第二象限角；210°、570°、-150°都是第三象限角；300°、660°、-60°都是第四象限角.特别注意的是：如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x 轴的非负半轴重合，则不能判断角在哪一象限，也就是它不能称作象限角.（2）如果终边落在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称之为轴线角（或称为象限界角）. 比如0°、90°、180°、270°、360°、-90°、-180°、-270°、-360°、-1 080°等都是轴线角.2.终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k·360°,k ∈Z }，即任一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.(3)明确以下几点：①k 为整数；②α为任意角；③k·360°与α之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+（-30°）；④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，如120°与-240°是终边相同的角，但它们不相等；⑤终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.。
【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练1.2角的概念的推广 Word版含答案
课后训练1．设A＝{锐角}，B＝{小于90°的角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()．A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D2．在四个角－20°，－400°，－2 000°，600°中，第四象限的角的个数是()．A．0个B．1个C．2个D．3个3．将－885°化为α＋k×360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()．A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是()．A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k×360°－45°≤α≤k×360°＋120°，k∈Z}D．{α|k×360°＋120°≤α≤k×360°＋315°，k∈Z}5．若角α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在象限为()．A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第一、四象限6．α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－240°，则β＝()A．－240°B．－60°C．k×180°－60°(k∈Z)D．k×360°－60°(k∈Z)7．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第__________象限角．8．(1)角α终边上一点的坐标是(3，－3)，则角α的集合是__________．(2)把25°角的终边按顺时针方向旋转4.5周，所得的角是__________．9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．10．如图所示：(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．参考答案1答案：D2答案：C3答案：B4答案：C5答案：C6答案：D7答案：一或三8答案：(1){α|α＝315°＋k×360°，k∈Z}(2)－1 595°9答案：(1)－190°(2)170°10答案：(1)终边落在OA上的角的集合为{α|α＝k×360°＋135°，k∈Z}，终边落在OB 上的角的集合为{β|β＝k×360°＋330°，k∈Z}(2){α|k×360°－30°≤α≤k×360°＋135°，k∈Z}。
高中数学 1.2角的概念的推广课件 北师大版必修4
2.象限角的表示 (1)终边在第一象限内的角为{α|α=k×360°+β,0°＜β＜ 90°,k∈Z}，即将不等式0°＜β＜90°的两边同时加上 k×360°，可得终边在第一象限的角的表示为 {α|k×360°＜α＜k×360°+90°,k∈Z}. (2)终边在第二象限的角的表示为 {α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°,k∈Z}.
【误区警示】解答此题时，一定要注意角的旋转方向是逆时针 还是顺时针，以免出现错误.
【补偿训练】25°角的始边是x轴的非负半轴，把终边按顺时 针方向旋转4.5周，所得的角是________. 【解析】所求角为25°+(-360°×4.5)=-1 595°. 答案：-1 595°
类型二 象限角
【典例2】
【补偿训练】1.若角α的终边经过点(-1,-3)，则角α是第 ________象限角. 【解析】因为点(-1,-3)在第三象限，所以角α的终边落在第三 象限，即它是第三象限角.
2.已知角α是第一象限角，则 a 是第几象限角？
2
【解析】因为角α是第一象限角，
所以角α的集合是{α|k×360°＜α＜90°+k×360°,k∈Z}，
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的区域内.
【变式训练】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的 非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角. (1)-75°.(2)855°.(3)-510°.
【解析】作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图可知：-75°是第四象限的角. (2)由图可知：855°是第二象限的角. (3)由图可知：-510°是第三象限的角.
【即时练】 有下列说法: ①第一象限角都为锐角； ②第一象限角一定不是负角； ③第四象限角大于第一象限角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角. 其中错误说法的序号为_________.
高中数学必修四1.2_角的概念的推广教案北师大版Word版
通过学生观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法。
3.情感、态度与价值观：
通过本节的学习，使学生对角的概念有一个新的认识并让学生在学习过程中体会类比、数形结合等思想方法，激发学生学习数学积极性，培养学生分析问题、解决问题的能力，为今后的学习奠定良好的基础。
4.终边相同的角的集合表示方法，应当包括两种基本情况：
（1）象限角
（2）终边落在x轴和y轴上的角
二、学情分析
学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S=﹛β|β=α﹢k·360°，k∈Z﹜的含义.如果借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边的位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义.
1.角的概念的推广
（1）旋转形成“角”
一条射线由原来的位置 ，绕着它的端点 按逆时针方向旋转到终止位置 ，就形成角 .旋转开始时的射线 叫做角的始边， 叫终边，射线的端点 叫做叫 的顶点.
（2）“正角”“负角”与“零角”
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角.(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)。
2跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？
3工人师傅在拧紧或宁松螺丝时，扳手转动的角度如何表示才比较合适？
4你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表块了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当调整准确后，分针转过了多少度角？
高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广学案 北师大版必修4
§2角的概念的推广学习目标 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.答案 (1)－150° 210° (2)－60° 题型二 终边相同的角 【例2】 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ×360°(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°.规律方法 将任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k .可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值． 【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．答案195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与 －950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解 与25°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋25°，k ∈Z }． 令k ＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令k ＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析∵α、β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)．∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．答案x轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．解析∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.解因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k ∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：(1)α、β的终边关于原点对称；(2)α、β的终边关于y轴对称．解(1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)．两式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．。
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必修4
[解析]
题号 正误
[针对训练]
1．下列说法正确的是 A．锐角不一定是第一象限的角 B．终边相同的角一定相等 C．终边与始边重合的角是零角 D．钟表的时针旋转而成的角是负角
()
解析：选 D 锐角大于 0°且小于 90°，一定是第一象限角， A 不正确；30°与 390°角的终边相同，但不相等，B 不正确； 360°角的终边也与始边重合，C 不正确；只有 D 正确．
考点二 求与角 α 终边相同的角
[典例] 写出与 25°角终边相同的角的集合，并求出该集 合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角 β.
[解] [法一 赋值法] 与 25°角终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令 k＝－3，则有 β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令 k＝－2，则有 β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令 k＝－1，则有 β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件； 故符合条件的角有－1 055°，－695°.
复习课件
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广课件北师大版必 修4
§2 角的概念的推广 一、预习教材·问题导入
1．正角、负角、零角是如何定义的？ 2．象限角的含义是什么？ 3．终边相同角的含义是什么？
高中数学北师大版必修4 1.2 教学设计 《角的概念的推广》(数学北师大高中必修4)
《角的概念的推广》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析本节内容从角大于周角的非负角开始扩充到任意角，使有正角、负角、零角之分。
在平面直角坐标系建立适当的坐标系，根据角的终边在哪一个象限，把角划分为四个象限角和特殊角若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。
再由特殊到一般进行归纳总结。
◆教学目标【知识与能力目标】（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
【过程与方法目标】类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
【情感态度价值观目标】通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
◆教学重难点【教学重点】理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
【教学难点】把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
◆课前准备多媒体课件◆教学过程一、情境导学同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
[推荐学习]高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广教案北师大版必修4
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1.2 角的概念的推广整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)可由学生所熟悉的游戏引入,激起学生的探求兴趣.如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广,进而引入角的概念的推广的问题.图1思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课知识探究提出问题①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.如图2.图2我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,记作α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 260°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.如图3.图3②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?提出问题①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S 的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.教师适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.应用示例例1 判定下列各角是第几象限角:(1)-60°;(2)585°;(3)-950°12′.解:(1)因为-60°角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因为585°=360°+225°,所以585°与225°角的终边重合,而225°的终边在第三象限,所以585°是第三象限角.(3)因为-950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的终边在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.变式训练在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.例2 在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集合.(用0°—360°的角表示)活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°和270°角,如图4.图4因此,所有与90°的终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.3.写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是:60°-1×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.变式训练写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:如图5,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合图5S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合:①第一象限; ②第二象限; ③第三象限; ④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练课本习题1—2 1、2.课堂小结提问的方式与学生一起回顾顺理本节所学内容并简要总结.让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法,也是我们学习本章知识的常用思想方法,要细心领悟.作业①习题1—2 3.②预习下一节:弧度制.设计感想1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是充分利用实际背景加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.习题详解习题1—21.点拨:由锐角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,锐角是第一象限角,而第一象限角不一定是锐角,对于直角不属于任何象限,轴线角不一定是直角.钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为305°42′,第四象限角.②395°8′=1×360°+35°8′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为35°8′,第一象限角.③-1 190°30′=-4×360°+249°30′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为249°30′,第三象限角.④1 563°=4×360°+123°,故0°到360°范围内与其终边相同的角为123°,第二象限角.点拨:把角化为k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z},当-720°≤β＜360°时,β为-300°,-660°,60°②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝,当-720°≤β＜360°时,β为-405°,-45°,315°.③｛β|β=k·360°+1 303°18′,k∈Z ｝,当-720°≤β＜360°时,β为-136°42′,223°18′,-496°42′.④｛β|β=k·360°-225°,k∈Z ｝,当-720°≤β＜360°时,β为-225°,-585°,135°.点拨:利用终边相同的角的定义写出β的集合,再取k 的值,求出符合条件的角.备课资料备用习题1.若角α与β终边相同,则一定有( )A.α+β=180°B.α+β=0°C.α-β=k·360°(k∈Z )D.α+β=k·360°(k∈Z )2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z },B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B 等于( )A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是( )A.β=α+90°B.β=α±90°C.β=α+90°+k·360°(k∈Z )D.β=α±90°+k·360°(k∈Z )4.集合Z={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z },Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z }之间的关系是( ) A.Z Y B.Z YC.Z=YD.Z 与Y 之间的关系不确定5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与3θ角的终边相同的角是_____________________.6.若集合A={α|k·180°+30°＜α＜k·180°+90°,k∈Z },集合B={β|k·360°+315°＜β＜k·360°+405°,k∈Z },求A∩B.7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.参考答案:1.C2.C3.答案:D点拨:将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后,知α±90°与角β的终边重合.4.答案:C点拨:先分别将n 和k 赋以不同的整数值,找出角x 的终边,然后再比较.5.答案:56°,176°,296°点拨:根据已知条件有θ=k·360°+168°,k∈Z ,3θ=k·120°+56°,k∈Z .又0≤k·120°+56°＜360°,满足条件的k 为0,1,2.6.解:B={β|k·360°-45°＜β＜k·360°+45°,k∈Z }.采用数形结合法,在直角坐标系内,分别寻找集合A 和集合B 中的角的终边所在的区域,终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B,可以求得A∩B={x|30°+k·360°＜x ＜45°+k·360°,k∈Z }.7.解:终边在四个象限角平分线上的角的集合为{β|β=n·90°-45°,n∈Z }.。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象1.2角的概念的推广知识导航学案北师大版必修4(2021学年)
高中数学第一章三角函数１.１周期现象 1.２角的概念的推广知识导航学案北师大版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数１.１周期现象 1.２角的概念的推广知识导航学案北师大版必修４)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§1周期现象 2 角的概念的推广知识梳理1．周期现象某种动作或现象每隔“一段”就会重复出现,这种现象被称为周期现象.2。
任意角（1)角的定义①静态定义:具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.②动态定义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,所旋转射线的端点叫做顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
（2）在平面内,一条射线绕它的端点旋转时，有顺时针和逆时针两个相反的方向。
习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;当射线没有旋转时,也把它看成一个角,称为零角；旋转生成的角又常称为转角．这样就形成了任意大小的角，即任意角。
(3）角的记法用一个希腊字母；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”）.(４)角的分类按旋转方向分为正角、零角、负角;按终边所在位置分为象限角和轴线角.3.象限角、轴线角(1）定义:将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,那么就把角放在了平面直角坐标系中。
如果角的终边(除原点外）在第几象限,则就说这个角是第几象限角；如果角的终边落在坐标轴上,则这个角不属于任何象限，称之为轴线角（或称为象限界角）。
高中数学 第一章 三角函数 1-2 角的概念与推广课件 北师大版必修4
解决此类问题，关键是抓住该现象每隔相同时间就重复出现．
1．如图所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常． 解析：观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的．因此心脏跳动正常．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
解析：由 α＝n·360°＋θ，n∈Z 可知 α 与 θ 是终边相同的角，由 β＝m·360°－θ，m∈Z
可知 β 与－θ 是终边相同的角．因为 θ 与－θ 两角终边关于 x 轴对称，所以 α 与 β 两角
终边关于 x 轴对称． 答案：C
探究三 区域角的表示 [典例 3] 如图，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线 OM 上； (2)终边落在直线 OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)．
3．(1)已知角 α 的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那 么 α∈________. (2)已知集合 A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°，k∈Z}，B＝{β| －45°＋k×360°<β<45°＋k×360°，k∈Z}． ①试在平面直角坐标系内画出集合 A 和 B 中的角的终边所在的区 域； ②求 A∩B.
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探究二 终边相同的角与象限角 [典例 2] 在 0°到 360°之间，找出与下列各角终边相同的角 α，并指出它们分别为第几 象限角． (1)－1 154°18′；(2)2 428°
[解析] (1)∵－1 154°18′÷360°＝－4 余 285°42′， ∴－1 154°18′＝－4×360°＋285°42′， 相应 α＝285°42′，从而－1 154°18′为第四象限角． (2)∵2 428°÷360°＝6 余 268°， ∴2 428°＝6×360°＋268°， 相应 α＝268°，从而 2 428°为第三象限角．
高中数学必修4北师大版1.2角的概念的推广教案
1.2角的概念推广一、新旧知识连接：初中已学过命题的知识，请同学们回顾什么叫角？角的范围？长跑运动员在操场长跑可以用角360、两圈可以是多少？顺时针与逆时针有区别吗？引入角的定义和相关概念；度来恒量吗？一圈0二、我能自学：1.认识角的概念：①如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)。
②象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．三、范例分析例1.判断下列各角是第几象限角. （借助多媒体课件展示）(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵—950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二象限角.例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.四．归纳小结1、通过范例分析讲解理解概念及公式；2、反思角定义的合理性？同时还有其它方法表示角吗分析特点和缺点。
高中数学 1.2角的概念的推广教学案 北师大版必修4
例1在0°～360°间，找出下列终边相同角，并判断它们是第几象限角？
（1）－150°；（2）1040°；（3）－940°.
变式1：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角.
（1）120°；（2）－270°；（3）1020°（2）直线y=x.
年级高一
学科数学
课题
角的概念推广
授课时间
撰写人
学习重点
任意大小的角、正角、负角和零角概念；
学习难点
终边相同的角的集合表示和符合语言正确地表示
学习目标
1.理解任意大小的角、正角、负角和零角概念；
2.掌握终边相同的角的表示；
3.了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示.
教学过程
一自主学习
1、正角：；
变式：终边在坐标轴上呢？第一象限呢？
学习小结
1.角的推广；2.象限角的定义；3.终边相同角的表示；4.终边落在坐标轴时等；5.区间角表示.
第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z
第三象限角:｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z
5.集合M＝{α=k ，k∈Z}中，各角的终边都在.
6.如图，终边落在OA位置时的角的集合是__；
终边落在OB位置，且在－360°～360°内的角的集合是_ _；
终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是。
7.写出终边在直线y=－x的角的集合.
8.集合 ︳ ，R }中，属于集合 ︳ 的角是
。
四课后反思
五课后巩固练习
1.在0°～720°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广 帮你认识角素材 北师大版必修4(2021年整理)
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帮你认识角角是平面几何中的一个基本图形，对角的图形特点，一般有以下两种认识：（1)角可以看成是平面内一点引出的两条射线所组成的图形，(2）平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角．下面我们通过几个例子理解角的概念.一。
任意角规定:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
β—2100,γ=—例1。
画图表示下列各角：α=3900, =3300。
分析：α为正角,将射线绕其端点逆时针旋3900,β、γ为负角，将射线绕其端点顺时针分别旋转2100和3300。
解：如图.点评: 画图表示一个大小为定值的角，先要画一条射线作为角的始边（一般画成水平向右的射线）,再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量,画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注．二.象限角和轴线角为了便于讨论角,我们常常将角放到直角坐标系中,并且使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，这样就出现了象限角和轴线角．（1)象限角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角．（2）轴线角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上,称做轴线角，这个角不属于任何一个象限．例如00，900,1800,2700，3600，-900，—1800，-2700，-3600,-10800等都是轴线角．例2 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的正半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）2250;（2）—3000；（3）-4500。
1.2角的概念的推广 课件(共49张PPT)—高一数学北师大版必修4第一章三角函数
于是，终边在直线y＝－x的图像上的角的集合为： S＝S1∪S2＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k ＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
α 2
<2n·180°＋270°，n
∈Z，
此时，α2是第三象限角．
综上知，α2是第一或第三象限角．
②3k·360°＋30°<α3<3k·360°＋60°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，n·360°＋30°<α3<n·360°＋60°，n∈Z，
此时，α3是第一象限角； 当k＝3n＋1，n∈Z时，n·360°＋150°<α3<n·360°＋180°，n∈Z， 此时，α3是第二象限角； 当k＝3n＋2，n∈Z时，n·360°＋270°<α3<n·360°＋300°，n∈Z， 此时，α3是第四象限角．
[分析解答]
∵0°<θ<180°，且180°＋k·360°<2θ<270°＋
k·360°，则必有k＝0，于是90°<θ<135°.
又因14θ＝n·360°(n∈Z)，所以θ＝
n·1780°，从而90°<
n·180° 7
<135°，72<n<241≈5.25.
∴n＝4或5，∴θ＝7270°或θ＝9070°.
1．终边相同角常用的两个结论 (1)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (2)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．表示区间角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
高中数学 1.2角的概念的推广课时作业 北师大版必修4
高中数学 1.2角的概念的推广课时作业北师大版必修4一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·榆林高一检测)与-263°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α=k×360°+250°,k∈Z}B.{α|α=k×360°+197°,k∈Z}C.{α|α=k×360°+63°,k∈Z}D.{α|α=k×360°-263°,k∈Z}【解析】选D.与-263°角终边相同的角的集合是{α|α=-263°+k×360°,k∈Z}.2.(2014·临沂高一检测)已知α=-130°,则α的终边落在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.α=-130°的角的终边处在-180°和-90°之间,所以其终边落在第三象限,故选C.3.(2014·唐山高一检测)下列各组角中,终边相同的是( )A.390°与690°B.-330°与750°C.480°与-420°D.3000°与-840°【解题指南】化简各角,再判断终边是否相同.【解析】选B.因为-330°=30°-360°,750°=30°+2×360°,所以这两个角都与30°角的终边相同.4.(2014·北京高一检测)若角α与角β的终边关于y轴对称,则必有( )A.α+β=90°B.α+β=k×90°+360°,k∈ZC.α+β=k×360°,k∈ZD.α+β=(2k+1)·180°,k∈Z【解析】选D.与角β的终边关于y轴对称的角为k×360°+180°-β,k∈Z,所以α+β=k×360°+180°,k ∈Z.5.α是第四象限角,则180°-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选 C.α是第四象限角,所以k×360°-90°<α<k×360°,k∈Z,所以k×360°<-α<k×360°+90°,k∈Z,故有k×360°+180°<180°-α<k×360°+270°,k∈Z.所以180°-α是第三象限角.【举一反三】题中条件不变,90°-α是第象限的角.【解析】α是第四象限角,所以k×360°-90°<α<k×360°,k∈Z,所以k×360°<-α<k×360°+90°,k∈Z,故有k×360°+90°<90°-α<k×360°+180°,k∈Z.所以90°-α是第二象限的角.答案:二6.(2014·西安高一检测)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是( )A.B=A∩CB.B∪C=CC.A⊂B⊂CD.A=B=C【解析】选A.由于A={第一象限角}={α|k×360°<α<k×360°+90°,k∈Z};B={锐角}={α|0°<α<90°};C={小于90°的角}={α|α<90°}.由集合间的关系可得A∩C=B.故选A.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·哈尔滨高一检测)与-2015°角终边相同的最小正角是.【解析】-2015°=145°-6×360°,所以-2015°与145°角的终边相同,且145°是最小正角.答案:145°8.已知α是第二象限角,则应是第象限角.【解题指南】先表示出的范围,再分三种情况讨论确定所在象限.【解析】因为k×360°+90°<α<k×360°+180°,k∈Z,所以×360°+30°<<×360°+60°,k∈Z,当k=3n(n∈Z)时,n×360°+30°<<n×360°+60°,n∈Z,此时为第一象限角.当k=3n+1(n∈Z)时,n×360°+150°<<n×360°+180°,n∈Z,此时为第二象限角.当k=3n+2(n∈Z)时,n×360°+270°<<n×360°+300°,n∈Z,此时为第四象限角.所以为第一或第二或第四象限角.答案:一或二或四9.(2014·武汉高一检测)若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),则角α与β的终边的位置关系是.【解析】由题意知角α与角θ的终边相同,角β与角-θ的终边相同,又角θ与角-θ的终边关于x轴对称,所以角α与角β的终边关于x轴对称.答案:关于x轴对称三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平面直角坐标系中,画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示).(1){α|k×360°≤α≤135°+k×360°,k∈Z}.(2){α|k×180°≤α≤135°+k×180°,k∈Z}.【解析】【变式训练】已知角α的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角α的取值范围.【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k×180°,k∈Z},终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k×180°,k∈Z},因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°+k×180°≤α<105°+k×180°,k∈Z}.11.(2014·重庆高一检测)已知α=-1910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角.(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.【解析】(1)设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-,k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°.所以α=250°-6×360°.α是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.250°-360°=-110°,250°-720°=-470°,故θ=-110°或-470°.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·乌鲁木齐高一检测)与405°角的终边相同的角α的集合是( )A.B.C.D.【解析】选C.与405°角的终边相同的角α的集合可以写成或{α+k×360°,k∈Z}等.要点是需要加上周角的整数倍,排除D;然后再确定是否与405°相差周角的整数倍,可知405°=45°+360°,故选C.2.(2014·呼伦贝尔高一检测)若角α的终边经过点P(0,-3),则α是( )A.第三象限角B.终边在x轴的非正半轴上的角C.第四象限角D.终边在y轴的非正半轴上的角【解析】选D.因为点P(0,-3)在y轴的非正半轴上,所以角α的终边落在y轴的非正半轴上,故选D.【举一反三】若角α的终边经过点P(-3,0),则α是.【解析】因为点P(-3,0)在x轴的非正半轴上,所以角α的终边落在x轴的非正半轴上.答案:终边在x轴的非正半轴上的角3.(2014·衡水高一检测)角α为锐角,则k×180°+α(k∈Z)所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第一、三象限D.第一、四象限【解析】选C.若角α为锐角,则角α的终边在第一象限,k×180°+α(k∈Z)表示把角α的终边旋转180°的整数倍,终边落在第一或第三象限.4.(2014·济南高一检测)如图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|k×360°-45°≤α≤k×360°+120°,k∈Z}D.{α|k×360°+120°≤α≤k×360°+315°,k∈Z}【解析】选C.当-180°<α<180°时,-45°≤α≤120°.又α∈R,所以k×360°-45°≤α≤k×360°+120°,k∈Z.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知-990°<α<-630°,且α与120°角终边相同,则α= .【解析】α与120°角终边相同,则α=k×360°+120°,k∈Z且-990°<k×360°+120°<-630°.即-1110°<k×360°<-750°,所以k=-3.当k=-3时,α=(-3)×360°+120°=-960°.答案:-960°6.(2014·威海高一检测)若α是第一象限角,则①90°+α是第象限的角;②90°-α是第象限的角;③180°+α是第象限的角;④360°-α是第象限的角.【解析】若α是第一象限角,则90°+α的终边是把α的终边逆时针旋转90°得到的,显然应该在第二象限;180°+α的终边是把α的终边逆时针旋转180°得到的(或与α的终边互为反向延长线),显然应该在第三象限.若α是第一象限角,-α是第四象限角,所以90°-α是把-α的终边逆时针旋转90°得到的,应该在第一象限;360°-α与-α的终边相同,是第四象限角.答案:①二②一③三④四【一题多解】特例法,比如取α=30°,可知①90°+α=120°在第二象限;②90°-α=60°在第一象限;③180°+α=210°在第三象限;④360°-α=330°在第四象限.答案:①二②一③三④四【拓展延伸】确定角的终边位置的两种方法(1)旋转法:任意角的概念是利用旋转法推广得到的,讨论角所在的象限,就应学会用旋转的方法找角所在的象限,如α+90°,即将角α的终边逆时针旋转90°;α-90°,即将α的终边顺时针旋转90°.(2)终边对称法:α与-α的终边关于x轴对称;90°+α与90°-α的终边关于y轴对称;180°+α与α的终边关于原点对称.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·赣州高一检测)已知角的集合M={α+k×90°,k∈Z},回答下列问题:(1)集合M有几类终边不相同的角?(2)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个?【解析】(1)集合M的角可以分成四类,即终边分别与-150°角,-60°角,30°角,120°角的终边相同的角.(2)令-360°<30°+k×90°<360°,则-<k<,又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,即集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个,分别是-330°,-240°,-150°,-60°,30°,120°,210°,300°.8.(2014·成都高一检测)若角β的终边落在直线y=-x上,写出角β的集合,当β∈(-360°,360°)时,求角β.【解题指南】根据直线的斜率,计算直线的倾斜角写出角的集合,再求符合条件的角.【解析】因为角β的终边落在直线y=-x上,所以在0°到360°范围内的角为150°和330°,所以角β的集合为{β|β=150°+k×180°,k∈Z},当角β∈(-360°,360°)时,角β为-210°,-30°,150°,330°.【变式训练】设点P(m,n)(n≠0)是600°角的终边上的一点.(1)试求的值.(2)写出终边落在过原点O且垂直于OP的直线l上的角的集合.【解题指南】解答本题(1)应先在0°到360°范围内找出与600°角的终边相同的角,作直角三角形求.解答本题(2)时可先根据直线l过原点O且垂直于OP,在0°到360°范围内找出终边落在l上的角,再写出角的集合.【解析】(1)在0°到360°范围内与600°角的终边相同的角为240°,故点P(m,n)(n≠0)是240°角的终边上的一点,过P作PA⊥x轴,垂足为A.在Rt△PAO中,∠POA=60°,=tan60°=,又点P在第三象限,所以n=-|PA|,m=-|AO|,所以=.(2)由题意得:在0°到360°范围内终边落在直线l上的角有240°-90°=150°和240°+90°=330°,所以终边落在直线l上的角的集合为:S={α|α=k×360°+150°,k∈Z}∪{α|α=k×360°+330°,k∈Z}={α|α=2k×180°+150°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)×180°+150°,k∈Z}={α|α=n×180°+150°,n∈Z},所以终边落在直线l上的角的集合为S={α|α=n×180°+150°,n∈Z}.。
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【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.2 角的概念的推广基础巩固北师大版必修4一、选择题1．与600°终边相同的角可表示为(k∈Z)( )A．k·360°＋220°B．k·360°＋240°C．k·360°＋60°D．k·360°＋260°[答案] B[解析] 与600°终边相同的角α＝k·360°＋600°＝k·360°＋360°＋240°＝(k ＋1)·360°＋240°，k∈Z.∴选B.2．已知S＝{α|α＝k·360°－175°，k∈Z}，则集合S中落在－360°～360°间的角是( )A．185°B．－175°C．185°，－175°D．175°，－175°[答案] C[解析] k＝1,0时，α＝185°，－175°.3．下列说法中正确的是( )A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等[答案] C[解析] －330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角、360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．4．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第二、四象限[答案] D[解析] 当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，则k·180°＋α＝n·360°＋α为第二象限角；当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则k·180°＋α＝n·360°＋180°＋α为第四象限角，故选D.5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z[答案] B[解析] 特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.6．判断下列角的集合的关系：设集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则( )A．A B B．B AC．A∩B＝∅D．A＝B[答案] D[解析] 因为集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}∪{α|α＝2k·90°，k∈Z}＝{α|α＝m·90°，m∈Z}，而集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}．所以A＝B，故选D.二、填空题7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝____________________.[答案] {α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}[解析] 点P在y轴的负半轴上，又270°的终边是y轴的负半轴，则S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________.[答案] k·360°＋60°，k∈Z[解析] 先求出β的一个角为α＋180°＝60°.再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.三、解答题9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解析] 与530°终边相同的角为k×360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°<k×360°＋530°<0°，k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°<k×360°＋530°<360°且k∈Z可得k ＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°<k ×360°＋530°<－360°且k ∈Z 得k ＝－3，故所求的角为－550°.一、选择题1．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] B[解析] ∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，即φ2是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角．2．设集合M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z}，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z}，则必有( )A ．M ＝NB ．N MC ．M ND ．M ∩N ＝∅[答案] C[解析] 因为M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z}＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z}，N ＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z}，因为2k ＋1表示奇数，k ＋2表示整数，所以M N .故选C.二、填空题3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.[答案] 270°[解析] 因为5α与α的始边、终边分别相同，所以5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ， 所以α＝k ·90°，k ∈Z ，又因为180°<α<360°，所以α＝270°.4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界)，那么角α的集合是________．[答案] {α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}[解析] 当角的终边在一，三象限角平分线上时α1＝k·360°＋45°，α2＝k·360°＋180°＋45°，而α1＝2k·180°＋45°，α2＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z，∴α1，α2表示为α＝n·180°＋45°，n∈Z，同理角的终边在二，四象限角平分线上时，β＝n·180°＋135°，n∈Z.∴角α的范围为{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．三、解答题5．(1)写出与－1840°角终边相同的角的集合M；(2)把－1840°角写成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，并指出其是第几象限角；(3)若角α∈M且α∈(－360°，0°)，求角α.[解析] (1)由终边相同的角的概念得：M＝{β|β＝k·360°＋(－1840°)，k∈Z}＝{θ|θ＝k·360°＋320°，k∈Z}．(2)∵－1840°＝－6×360°＋320°，而320°是第四象限角，∴－1840°是第四象限角．(3)M＝{θ|θ＝k·360°＋320°，k∈Z}，又α∈M且－360°<α<0°，∴取k＝－1得，α＝－40°.6.如图所示，写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°是否是该集合中的角．[解析] 由图可知，满足条件的角α的集合为{α|120°＋k ·360°≤α≤250°＋k ·360°，k ∈Z}，∵－950°＝－3×360°＋130°，∴－950°是该集合中的角． 7．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z}中， (1)有几种终边不相同的角？(2)有几个属于区间(－360°，360°)内的角？ (3)写出其中是第三象限的角的一般表示法．[解析] (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°<k ·90°＋45°<360°， 得－92<k <72.又k ∈Z ，故k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.所以在给定的角的集合中属于区间(－360°，360°)的角共有8个．(3)其中是第三象限的角可表示成k·360°＋225°，k∈Z.。