有限制条件的排列问题之一
巧妙应对有限制条件的排列问题
对 于 几 个 元 素顺 序 一 定 的 排 列 问 题 ， 先 将 这 可 几 个 元 素 与其 他 元 素 一 同 进 行 排 列 ， 后 用 总 的 排 然 列 数 除 以这 几 个 元 素 的 全 排 列 数 。 例 ５ 某 班 新 年 联 欢 会 原 定 的 ５个 节 目 已排 成 节 目单 ， 来 又 增 加 ２ 新 节 目 ， 果 将 这 ２个 新 节 后 个 如 目插 入 到 愿 节 目单 中 ， 多少 种 不 同 的 插 法 ？ 有
工具处于 断路 状 态 ， 用酒 精 灯加 热 电灯 的玻 璃 芯 ２ ３分 钟 ， 时会 看 到 电灯 ， 起 来 证 明 烧 红 了 的玻 这 亮 璃是导体 。 “ 装 简 单 的 照 明 电路 ” 个 学 生 分 组 实 验 ， 安 这 在 浙江省仪 器配备 目录表 中可 以寻找到 １ 完整 的配 套 套仪器 ， 它是把各 个器材 安装 在 同一个 白色 泡沫 内
解析 ： 原节 目单 已排好 ， 即原节 目顺 序 已定 ， 又 增 加 ２ 新 节 目 ， 有 ７个 节 目 。７个 节 目全 排 有 个 共
Ａ ！
种 排 法 ， 原 来 ５ 节 目有 种 排 法 ， 共 有 而 个 故 种 不 同 的插 法 。 有 限 制 条 件 的排 列 问 题 的 解 法 ， 有 一 般 的 规 既 律又有很多 的技巧 ， 这就要求我们 认真审题 ， 抓住 问 题的本质特征 ， 采用合理恰 当的方法来处理 。 （ 者单位 ： 作 河南省开封县 第四 高级 中学）
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课艺 堂术 ３ ７
挑 题
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排列是一类 思考 方式较 为独 特 的问题 ， 对分 它 析 能 力 要 求 较 高 ， 解 法 也 非 常 灵 活 ， 其 是 有 限制 其 尤 条件 的排 列问题 ， 更是一个 难点 ， 因此恰 当地选择方 法 对 于 解 决 问题 至 关 重 要 。下 面 通 过 例 子 来 介 绍 有 限制 条 件 的排 列 问 题 的 一 些 常见 方 法 。 特 殊 元 素 （ 置 ） 先 法 位 优 对于有特殊 元素 的排列 问题 ， 般应 先考 虑特 一 殊元素 ， 考虑其他元 素。 再 例 １ 从 ６名 志 愿 者 中选 出 ４人 分 别 从 事 翻 译 、 导游 、 导购 、 洁四项工作 ， 保 若其中 甲、 乙两名志愿者 都 不 能 从 事 翻译 工 作 ， 共 有 多 少 种 不 同 的 选 派 方 则 案？ 解析 ： 为 甲、 二 人都 不能从 事 翻译 工作 ， 因 乙 所 以应 首 先 考 虑 特 殊 位 置 翻 译 ， 译 人 员 从 甲 、 以外 翻 乙 的 ４个 人 中 选 择 ， 有 种 方 法 ， 从 余 下 的 ５个 人 再 中选 出 ３人 进 行 导 游 、 购 、 洁 三 种 工 作 的 排 列 共 导 保 有 种 ， 以共 有 所 种 不 同 的选 派 方 案 。 评注 ： 题也可 优先 考虑 甲、 两 个特 殊元 素 ， 本 乙 但要考虑 甲 、 乙二 人 都 选 不 上 与 甲 、 二人 中只 选 一 乙 人这三类情况 。 二 、 邻 问题 捆 绑 法 相 对于某些元 素要求 相邻 的排列 问题 ， 先将 相邻
有限制条件的排列组合问题1
个人坐在一排8个座位上 例8.3个人坐在一排 个座位上，若每人左右两边都有空位，那么共 个人坐在一排 个座位上，若每人左右两边都有空位， 有多少种不同的坐法。 有多少种不同的坐法。 4.某些元素顺序一定的问题 某些元素顺序一定的问题 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单 例9.某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单，开演前又增加了 某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单， 3个新节目，如果将这 个节目插入原节目单中，那么不同的插法种 个新节目， 个节目插入原节目单中， 个新节目 如果将这3个节目插入原节目单中 数有多少？ 数有多少？ 二次函数y=ax2+bx+c的系数 、b、c是取自 、1、2、3、 的系数a、 、 是取自 是取自0、 、 、 、 例10.二次函数 二次函数 的系数 4这五个数中的不同值，且a>b,这样的二次函数共有多少个 这五个数中的不同值， 这样的二次函数共有多少个? 这五个数中的不同值 这样的二次函数共有多少个 5.两个特殊元素对应两个特殊位置的问题 两个特殊元素对应两个特殊位置的问题 方法：一般采用间接法，即若有n个元素排成一排 个元素排成一排， 方法：一般采用间接法，即若有 个元素排成一排，其中某一元素 A不能排在甲位置， 某元素 不能排在乙位置， 那么共有排法种数 不能排在甲位置， 不能排在乙位置， 不能排在甲位置 某元素B不能排在乙位置 n− − 为： Ann − 2 An −11 + Ann−22 现要编排10个节目的节目单 例11.现要编排 个节目的节目单，其中节目甲不能排在第一个， 现要编排 个节目的节目单，其中节目甲不能排在第一个， 节目乙不能排在最后一个，共有多少安排方案？ 节目乙不能排在最后一个，共有多少安排方案？
二、有限制条件的组合问题 1.含与不含的问题 1.含与不含的问题 方法：含有的问题，只选取其它没限制的元素即可； 方法：含有的问题，只选取其它没限制的元素即可；不含的 问题，从总体去掉这几个元素即可。 问题，从总体去掉这几个元素即可。 现从10幅画中选取 幅张贴， 例 12.现从 幅画中选取 幅张贴， 其中某一幅画必须当选 ， 共有 现从 幅画中选取5幅张贴 其中某一幅画必须当选， 多少选取方案？ 多少选取方案？ 现从某班50人中选派一个 人代表队， 例13.现从某班 人中选派一个 人代表队，其中甲、乙两同学 现从某班 人中选派一个10人代表队 其中甲、 因有特殊情况不能参加，那么共有多少选派方案 因有特殊情况不能参加，那么共有多少选派方案? 2.“至多”、“至少”问题 至多” 至多 至少” 方法： 方法：分类讨论或间接法
有限制条件的排列问题的几种常用解法
例 ： ０ １２ ３４ 以组成多少无重复数字 的五位数？ 用 、、、、可 解： 因为要组成 的数是 ５ 位数 ， ０ 个特殊元素不能排列在 故 这
首位 ， 先让它选位 置 ， Ｐ 种 ； 有 ２ 然后再让其余数字在余下 的４ 个位
置中排列 ， 有 种 ， 故可以组成 ＸＰ ９ 个无重 复数 字的五位 ４ ６ ＝
看 它有多少种排 法 ， 从 中将不 合要求 的排 法剔 除 ， 再 即所谓 的去
杂法 。
请看下题 ：
例： ５ 从 个人 中选 ４ 个人参 加 ４０ 比赛 ， 中 甲不跑第一棒 ０米 其 和第 四棒 ， 问共 有多少种不同参赛方案？ 解： 先不考虑 限制条件 ， 人 占４７置有 Ｐ ５ １ ｆ 种 占法 ； 其次 甲跑
一
若 排列 中要求某 些元 素只能排在特定位置 ， 我们可以优先考 虑特殊位置让其选元 素 ， 如下题 ： 例 ： 个人站 成一排 ， ７ 甲既不站 排头 ， 不站排尾 ， 也 有多少 种
不 同的排法 ？
起， 外文书恰好排在 ～起 的排 法有——种 。在 这道题 中 ， 所要
求 的排列就带有 一个 限制条件 ： 书恰好排 在一起 ， 数学 外文书也
如下题 ：
起去参 与排列 ， 如上面 的题 目我们可 以这样考 虑 ， 首先将三本 数 学书捆绑在一起作一个大元素 ， 两本外 文书捆绑 在一起作 为另一 个大元素 ， 与其它 的书 ３ 本共 ５ 个对象作排列 ， ｐ５ 有 一 种排法 ， 而数 学书捆绑 在一起 所成大元 素 内部 的小元素 间又有 ｐ 种排法 ， ３ ３ 外 文书捆 绑在一起 所成 的大元素 内部的小元 素又有 ｐ 种排 法 ， ２ 故 共有 Ｐ Ｘ ３ Ｐ ４０ 排法 ， ５ ｚ １４ 种 Ｐ× ２ 从而将 上面问题轻 松求解 ， 再看
2014江苏事业单位考试真题行测数量关系讲解——排列组合问题
2014江苏事业单位考试真题行测数量关系讲解——排列组合问题排列组合问题说难不难说简单也不简单，在讲解具体例子之前首先需要记住一个公式：C5取3=(5×4×3)/(3×2×1) C6取2=(6×5)/(2×1)通过这2个例子看出CM取N 公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。
以取值N的阶层作为分母P53=5×4×3 P66=6×5×4×3×2×1通过这2个例子PMN=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N=M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”，无序用“组合”;其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类;其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准;其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理;如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1.有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2.有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3. 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.本文来自2014江苏事业单位考试真题/jiangsu/。
考向37 计数原理与排列组合小题最全归纳(十九大经典题型)(原卷版)
考向37计数原理与排列组合小题最全归纳经典题型一：两个计数原理的综合应用经典题型二：直接法经典题型三：间接法经典题型四：捆绑法经典题型五：插空法经典题型六：定序问题（先选后排）经典题型七：列举法经典题型八：多面手问题经典题型九：错位排列经典题型十：涂色问题经典题型十一：分组问题经典题型十二：分配问题经典题型十三：隔板法经典题型十四：数字排列经典题型十五：几何问题经典题型十六：分解法模型与最短路径问题经典题型十七：排队问题经典题型十八：构造法模型和递推模型经典题型十九：环排问题（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种知识点1、分类加法计数原理完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的办法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．事事A 事事事事1事事1事事2事事m 1事事事事n 事事1事事2事事m n m 1事m n 事 事事事事A 事事m 1+m 2+m 3+···+m n 事事事事事事知识点2、分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⋅⋅⋅种不同的方法. 事事B事事1事事i ···事事2事事n m 1事m n 事事事事事B 事事m 1×m 2×m 3×···×m n 事事事事事事m 2事m i 事 注意：两个原理及其区别 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n 类办法，这n 类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理. 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有n 个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理. 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.知识点3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．知识点4、排列与排列数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示．（2）排列数的公式：()()()()!121!m n n A n n n n m n m =---+=-． 特例：当m n =时，()()!12321m n A n n n n ==--⋅⋅；规定：0!1=．（3）排列数的性质：①11m m n n A nA --=；②111m m m n n n n A A A n m n m+-==--；③111m m m n n n A mA A ---=+． （4）解排列应用题的基本思路：通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，()()A 11mn n n n m =-⋅⋅⋅-+常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用!A ()!mn n n m =-． 知识点5、组合与组合数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示．（2）组合数公式及其推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数m n A ；根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅； 因此()()()121!m mn n m m n n n n m A C A m ---+==．这里n ，m N +∈，且m n ≤，这个公式叫做组合数公式．因为()!!m n n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：()!!!m n n C m n m =-．特例：01n n n C C ==． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式(1)(2)(1)C !mn n n n n m m --⋅⋅⋅-+=常用于具体数字计算，!C !()!m n n m n m =-常用于含字母算式的化简或证明．（3）组合数的主要性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=．（4）组合应用题的常见题型：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型②“至少”或“最多”含有几个元素的题型知识点6、排列和组合的区别组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ，，(2)n M n ，现取(2)k k 种颜色对这n 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k --+-种．2、错位排列公式1(1)(1)!!in n i D n n =-=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k n k kk A A -+-+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+），求不同排法种数的方法是：先将（n k -）个元素排成一排，共有n k n k A --种排法；然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，共有1k n k A -+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A --·1k n k A -+种．经典题型一：两个计数原理的综合应用......M n...M n -1M 1M 2M 31．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（）A．50种B．60种C．70种D．80种2．（2022·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．600个B．540个C．480个D．420个3．（2022·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）A．36B．48C．60D．72 4．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C 花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（）A．360B．480C．600D．720 5．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）. 6．（2022·全国·高三专题练习）有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________.经典题型二：直接法7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种A．54B．72C．96D．120A B C D E F共6名同学进行8．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,,,,,决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），A和B去询问成绩，回答者对A说“很遗㙳，你和B都末拿到冠军；对B说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A．720种B．600种C．480种D．384种9．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A．24种B．6种C．4种D．12种10．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（）．A．10B．30C．40D．46经典题型三：间接法11．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）．A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种12．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）A．21种B．231种C．238种D．252种13．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A．408种B．240种C．1092种.D．120种14．红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（）A．96B．326C．336D．360经典题型四：捆绑法15．（2022·浙江邵外高三阶段练习）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.16．（2022·江西·高三开学考试（理））中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位．郭靖同学决定利用今年寒假时间，游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有_____种（用数字作答）．17．（2022·湖北·高三开学考试）五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______.18．（2022·全国·高三专题练习）现有4位学生和2位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有___________种.19．（2022·全国·高三专题练习（理））成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）经典题型五：插空法20．（2022·湖北·高三开学考试）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）21．（2022·全国·高三专题练习）英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n 不相邻一共可以得到英文单词的个数为_________．（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）22．（2022·全国·高三专题练习）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．23．（2022·全国·高三专题练习）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．24．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）某等候区有9个座位（连成一排），甲、乙、丙、丁四人随机就座，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有_______种 ．25．（2022·全国·高三专题练习）某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，间隔而坐”制度．若该学校的教室一排有8个座位，安排4名同学就坐，则不同的安排方法共有______种．(用数字作答)经典题型六：定序问题（先选后排）26．满足*(1,2,3,4)i x i ∈=N ，且123410x x x x <<<<的有序数组()1234,,,x x x x 共有（ ）个. A ．49C B ．49P C ．410C D ．410P27．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边，（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．24种28．DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA 中只有4种类型的碱基，分别用A 、C 、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A -T ，或者是C -G ，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入3个碱基A ，2个碱基C 和1个碱基T ，则不同的插入方式的种数为（ ）A ．20B ．40C ．60D ．12029．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A ．120种 B ．80种 C ．20种 D ．48种30．某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ）A ．36B ．90C ．360D ．72031．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）A ．2520B ．5040C ．7560D ．10080经典题型七：列举法32．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种33．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．12种34．设1x ，2x ，{}31,0,1,2x ∈-，那么满足32212308x x x ≤++≤的所有有序数组()123,,x x x 的组数为（ ）A ．45B ．46C ．47D ．48 35．从集合{}1,2,3,4,,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个A ．98B ．56C ．84D ．4936．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续．．．．固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．经典题型八：多面手问题37．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．A．675B．575C．512D．54538．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225B．185C．145D．11039．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种经典题型九：错位排列40．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种B．20种C．30种D．60种41．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A．90B．135C．270D．36042．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20B．90C．15D．45经典题型十：涂色问题43．（2022·全国·高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.44．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．45．（2022·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.46．（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种．47．（2022·全国·高三专题练习（理））用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为______．48．（2022·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．的顶点染色，定义由同一条棱49．（2022·全国·高三专题练习）如图给三棱柱ABC DEF连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.经典题型十一：分组问题50．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（）A．18种B．36种C．68种D．84种51．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（）A．91B．101C．111D．12152．已知有6本不同的书.（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？经典题型十二：分配问题53．（2022·全国·高三专题练习）某校高二年级共有6个班级，现有4名交流生要安排到该年级的2个班级，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为__．54．（2022·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有__种55．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是______．56．（2022·上海市向明中学高三开学考试）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．57．（2022·上海市南洋模范中学高三开学考试）将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有___________.（用数字作答）.､､三58．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）有2男2女共4名学生被分派去A B C 个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只收女生，则不同的分派方法数为___________. 59．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））我国棉田面积在40万公顷以上有7个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察，每个地方至少安排1名同志，则不同的安排方案种数是______种.经典题型十三：隔板法60．（2022·广东中山·模拟预测）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）61．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某地举办庆祝建党100周年“奋进新时代，学习再出发”的党史知识竞赛.已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍，其中一支队伍分配有7个名额，余下三支队伍都有参赛名额，则这四支队伍的名额分配方案有__________种.62．（2022·全国·高三专题练习）方程11x y z ++=的非负整数解共有___________组． 63．（2022·全国·模拟预测）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．64．（2022·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学模拟预测（理））关于x ，y ，z 的方程7x y z ++=（其中x ，y ，z +∈N ）的解共有_____组．65．（2022·全国·高三专题练习）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________. 66．（2022·新疆乌鲁木齐·一模（理））已知数列{}n a 共有26项，且11a =，2620a =，11(1,2,,25)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有__________ 个．经典题型十四：数字排列67．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）从0，1，2，3，4这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2，3时，2要排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（ ）A ．39个B ．40个C ．36个D ．38个68．（2022·重庆南开中学模拟预测）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926 3.1415927π<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．A ．600B ．300C ．360D ．18069．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（ ）A ．120B ．168C ．204D ．21670．（2022·海南·海口一中高三阶段练习）已知a 1，a 2，a 3∈{2，4，6}，记N （a 1，a 2，a 3）为a 1，a 2，a 3中不同数字的个数，如∶N （2，2，2）=1，N （2，4，2）=2，N （2，4，6）=3，则所有的（a 1，a 2，a 3）的排列的N （a 1，a 2，a 3）平均值为（ ）A ．199B ．3C ．299D ．471．（2022·陕西省洛南中学高三阶段练习（理））由0，1，2，3，4这5个数组成无重复数字的五位数且为偶数，共有多少种排法（ ）A ．24B ．48C ．60D ．6272．（2022·辽宁·模拟预测）用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且。
排列组合综合应用问题
⑤分为三组，每组4人。
练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的 分法种数。
答案
①C125.C74.C33
② C125.C74.C33
③ C125.C74.C33.A33
④C124.C84.C44
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
⑥C122.
C105.C55 A22
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出
01
平均分配。这样分配问题就解决了。 结论：给出组名(非平均中未指明 各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是
02
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
×××× a;
说明：在解题过程中，有时用“排一排”会使思路更清楚。 “具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思 维方法
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列， 有A77.A22种 “捆绑法”
②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”
② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
02
直接法：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种； 第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲又有乙。有C52种。
03
引例（曾经作过的题）： 4名运动员出组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题是组合数学的基本问题，主要涉及对象的排列和组合，一般分为以下几种类型：
1. 排列问题：求n个不同元素按照一定规律排列的方案数，其中每个元素只能出现一次。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，求按照一定顺序排列的方案数。
解策略：使用排列公式an = n！/ (n-r)！，其中n表示元素个数，r表示选取个数。
2. 组合问题：求n个不同元素中选取r个元素的方案数，其中
元素的顺序不重要。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，不考虑人的排列顺序，求方案数。
解策略：使用组合公式Cn,r = n!/ (r!(n-r)! )，其中n表示元素
个数，r表示选取个数。
3. 含有限制条件的问题：在组合问题的基础上，加入限制条件，例如某些元素必须或者不能一起选取。
例如，从6个男人和4
个女人中选择3人组成一个委员会，其中必须有至少一名女性。
解策略：分别考虑满足和不满足限制条件的情况，分别计算方案数并相加。
4. 区分问题与不区分问题：确定是否考虑对象间的区分性。
例如，从8个相同的球中选取3个球，不考虑球的区分性，求方
案数。
解策略：对于不区分问题，使用组合公式；对于区分问题，使用排列公式。
5. 带替换问题：从n个元素中选取r个元素，其中每个元素可以重复选取s次。
例如，从5个牌子中选取3个牌子，其中每个牌子可以选取多次。
解策略：使用带替换的组合公式，即C(n+r-1,r)。
通过以上不同类型排列组合问题的解答策略，能够有效解决各种实际问题。
有限制条件的排列组合问题
6
由分类计数原理，甲不站两端， 由分类计数原理，甲不站两端，乙不站中间的排法 共有： 共有：
6 1 1 5 A6 + C4C5 A5 = 3120（种）
练习1 练习1：
要排出我们班一天中语文、数学、英语、物理、 要排出我们班一天中语文、数学、英语、物理、 化学、政治、美术、体育8门课的课程表， 化学、政治、美术、体育8门课的课程表，要求数学排 在上午（ ），体育排在下午 体育排在下午（ ），求共有 在上午（前5节），体育排在下午（后3节），求共有 多少种不同的排法？ 多少种不同的排法？ 解：C5C3 A6
变式：甲不能站两端，乙不能站中间； 变式：甲不能站两端，乙不能站中间； 解：甲、乙为特殊元素，应分两类完成： 乙为特殊元素，应分两类完成： 第一类：甲站在中间位置，有 A6 种排法； 第一类：甲站在中间位置， 种排法；
1 1 5 第二类：甲不站在中间位置， 种排法； 第二类：甲不站在中间位置，有 C4C5 A5 种排法；
1 1 6
= 1080（种）
四名男生和三名女生按要求排成一排， 例1 四名男生和三名女生按要求排成一排，在下列条 件下分别有多少种不同的站法？ 件下分别有多少种不同的站法？ 三名女生各不相邻； （2）三名女生各不相邻； 三名女生各不相邻， 解：三名女生各不相邻， 第一步，先排四名男生， 种排法； 第一步，先排四名男生，有 A 种排法； 第二步，将女生插入到男生之间的空挡，共有5 第二步，将女生插入到男生之间的空挡，共有5个 3 空档， 种排法； 空档，有 A5 种排法； 由分步计数原理，三名女生各不相邻的排法共有： 由分步计数原理，三名女生各不相邻的排法共有：
2 第二步， 种排法； 第二步，甲、乙内部再作排列，有 A2 种排法； 乙内部再作排列，
专题09 排列组合高考常见小题全归类(精讲精练)(原卷版)
专题09排列组合高考常见小题全归类【命题规律】排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．【核心考点目录】核心考点一：两个计数原理的综合应用核心考点二：直接法核心考点三：间接法核心考点四：捆绑法核心考点五：插空法核心考点六：定序问题（先选后排）核心考点七：列举法核心考点八：多面手问题核心考点九：错位排列核心考点十：涂色问题核心考点十一：分组问题核心考点十二：分配问题核心考点十三：隔板法核心考点十四：数字排列核心考点十五：几何问题核心考点十六：分解法模型与最短路径问题核心考点十七：排队问题核心考点十八：构造法模型和递推模型核心考点十九：环排问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）A ．12B ．120C ．1440D ．172804．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种6．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12．设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称ai ，aj ，ak 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称ai ，aj ，ak 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．157．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．8．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【方法技巧与总结】1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ，，(2)n M n ，现取(2)k k 种颜色对这n 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k --+-种．2、错位排列公式1(1)(1)!!inn i D n n =-=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k n k kk A A -+-+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+），求不同排法种数的方法是：先将（n k -）个元素排成一排，共有n k n k A --种排法；然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，共有1k n k A -+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A --·1k n k A -+种．7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步．（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形．（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”． （4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．【核心考点】核心考点一：两个计数原理的综合应用 【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A．108B．36C．9D．6例2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A．90B．216C．144D．240例3．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（）A．720B．520C．600D．264核心考点二：直接法【典型例题】例4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种A．54B．72C．96D．120A B C D E F共6名同学进行决赛，例5．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,,,,,决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），A和B去询问成绩，回答者对A说“很遗㙳，你和B都末拿到冠军；对B说“你当然不是最差的”．试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A ．720种B ．600种C ．480种D ．384种例6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ） A ．24种 B ．6种 C ．4种 D ．12种核心考点三：间接法 【典型例题】例7．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．A ．1860种B ．3696种C ．3600种D ．3648种例8．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）A ．21种B ．231种C ．238种D ．252种例9．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A ．408种B ．240种C ．1092种．D ．120种核心考点四：捆绑法 【典型例题】例10．（2022·四川自贡·统考一模）在某个单位迎新晚会上有A 、B 、C 、D 、E 、F 6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C 必须安排在第三位，节目D 、F 必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种A ．36B ．48C ．60D ．72例11．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）“四书” “五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）A ．622622A A AB ．6262A AC ．622672A A A D ．622662A A A例12．（2022春·四川内江·高三威远中学校校考期中）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法A ．24B ．144C ．48D ．96核心考点五：插空法 【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）．A ．5424A A ⋅B ．5424C C ⋅ C ．4267A A ⋅D ．4267C C ⋅例14．（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种例15．（2022·全国·高三专题练习）A ，B ，C ，D ，E ，F 这6位同学站成一排照相，要求A 与C 相邻且A 排在C 的左边，B 与D 不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）A ．72B ．48C ．36D ．24核心考点六：定序问题（先选后排） 【典型例题】例16．满足*(1,2,3,4)i x i ∈=N ，且123410x x x x <<<<的有序数组()1234,,,x x x x 共有（ ）个．A ．49CB ．49PC ．410CD ．410P例17．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A ．120种 B ．80种C ．20种D ．48种例18．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）A ．2520B ．5040C ．7560D ．10080核心考点七：列举法 【典型例题】例19．（2022春·河南南阳·高三统考期末）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻．某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施．如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（ ）A ．15种B ．16种C ．17种D ．18种例20．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种例21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）定义“规范01数列”{an }如下：{an }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个核心考点八：多面手问题 【典型例题】例22．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．A ．675B ．575C ．512D ．545例23．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法A ．225B ．185C ．145D ．110例24．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种核心考点九：错位排列【典型例题】例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种B．20种C．30种D．60种例26．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A．90B．135C．270D．360例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20B．90C．15D．45核心考点十：涂色问题【典型例题】例28．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72例29．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480B．720C．1080D．1200例30．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A．72种B．36种C．12种D．60种核心考点十一：分组问题【典型例题】例31．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（）A．91B．101C．111D．121例32．已知有6本不同的书．（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？核心考点十二：分配问题【典型例题】例33．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了A B C三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加A项目，乙不能参加B、C项,,目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．例34．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法例35．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．核心考点十三：隔板法 【典型例题】例36．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．例37．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）A ．720种B ．420种C ．120种D ．15种例38．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）()112x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）A ．12项B ．24项C ．39项D ．78项核心考点十四：数字排列 【典型例题】例39．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个例40．（2022·全国·高三专题练习）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数．例41．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．核心考点十五：几何问题 【典型例题】例42．（2022秋·山东聊城·高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（ ）A．24对B．16对C．18对D．48对例43．（2022·全国·高考真题）在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为x y x y==+=，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）0,0,2330A．95B．91C．88D．75C分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，例44．（2022·全国·高三专题练习）已知60C是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，．各个面的形因此又名足球烯，60状为正五边形或正六边形，结构如图．已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（）个．A．10B．12C．16D．20核心考点十六：分解法模型与最短路径问题【典型例题】例45．（2022秋·内蒙古·高二校考期中）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（）A．33种B．23种C．20种D．13种例46．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，且不经过C地，则不同的路径共有________条．例47．5400的正约数有（）个A．48B．46C．36D．38核心考点十七：排队问题【典型例题】例48．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种．例49．（2022秋·安徽·高三芜湖一中校联考阶段练习）某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为_________．（用数字作答）例50．（2022·上海·统考模拟预测）有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有___________种．核心考点十八：构造法模型和递推模型【典型例题】例51．贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①n次传球之后，共有___________种可能的传球方法；②n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有___________种．例52．一只蚂蚁从一个正四面体ABCD的顶点A出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A的爬行方法种数是__________．核心考点十九：环排问题【典型例题】例53．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为A．19B．38C．51D．57例54．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（）．A．6种B．8种C．12种D．16种【新题速递】一、单选题1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）A．12B．24C．48D．842．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、电图、血压测量等五个检查项目．为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起接着检查．则不同顺序的检查方案一共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种3．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（）A．18种B．36种C．60种D．108种4．（2022春·河南许昌·高三阶段练习）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．9种B．24种C．26种D．30种5．（2022·四川南充·统考一模）在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种6．（2022春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）某群主发了15元的红包，分成四份，四人领取，均为正整数元，已知其中“运气王”（“运气王”是指领到红包金额最多的人）领到7元，则这四个人不同领取红包的方法总数为（ ）A ．84B ．96C ．108D ．1207．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（ ）A ．144B ．96C ．72D ．608．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．180种D ．360种二、多选题9．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考开学考试）某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37CB ．若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C + C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C -10．（2022春·江苏镇江·高三校考开学考试）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A ，B ，C ，D ，E 五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）A ．所有可能的安排方法有125种B ．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C ．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种D ．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种11．（2022·全国·高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安。
组合数学中的排列组合方法
组合数学中的排列组合方法组合数学是数学中的一个分支学科，研究的是集合的排列和组合问题。
在实际生活和理论研究中，人们常常会遇到需要计算排列和组合的情况。
在组合数学中，有一些常用的排列组合方法可以帮助我们解决这类问题。
一、排列排列是指从给定的元素集合中选取若干元素，按照一定的顺序排列成一列。
在组合数学中，排列的计算可以使用以下方法：1. 乘法原理：假设有n个元素，则第一个位置可以选择任意一个元素，有n种可能；第二个位置可以选择剩下的n-1个元素中的一个，有n-1种可能；以此类推，总共有n乘以(n-1)乘以(n-2)直到1个位置的排列方式。
因此，n个元素的排列总数为n的阶乘，记作n！。
2. 带限制条件的排列：在一些情况下，我们需要满足一定的条件才能进行排列。
例如，有n个元素中选取m个元素排列，则使用带限制条件的排列公式P(n,m) = n! / (n-m)!。
其中，n!表示n的阶乘，n-m表示从n个元素中剩下的元素个数。
二、组合组合是指从给定的元素集合中选取若干元素，不考虑其顺序排列，将它们组合成一个集合。
在组合数学中，组合的计算可以使用以下方法：1. 组合公式：从n个元素中选取m个元素的组合数可以表示为C(n,m)，可以使用如下公式进行计算：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)。
其中，n!表示n的阶乘，m!表示m的阶乘，(n-m)!表示n-m的阶乘。
2. 杨辉三角：杨辉三角是一个由数字排列成三角形的数表，它展示了组合数的规律。
第n行的第m个数字等于C(n-1,m-1)。
通过使用杨辉三角，我们可以很容易地找到组合数的数值。
三、应用举例下面以实际应用的方式，简要介绍一些排列组合在实际问题中的应用：1. 抽奖问题：假设有n个人参加抽奖活动，中奖序号为m，我们可以使用排列公式P(n,m)来计算获奖的方案数。
这个问题中不存在先后顺序，我们可以使用组合公式C(n,m)来计算中奖的方案数。
2. 选课问题：假设有n门课程供学生选择，一个学生需要选择m门课程，我们可以使用组合公式C(n,m)来计算不同选课方案的数目。
有限制条件的排列问题之一
解题时既要把握好分类，又要注 意数字的特殊要求。
课后作业
1. 课本P96习题10.2 NO.7 2. 用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复
数字的五位数?其中有多少个是偶数?
祝同学们身体健康,学习进步!
； https:///bollzhibiao/ 布林通道 ；
优先考虑法……元素，位置
例题析解
用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数. (1)能组成多少个六位数? (2)能组成多少个六位奇数? (3)能组成多少个可以被5整除的六位数?
(4)能组成多少个比240135大的数?
组成多少个无重复 数字的五位偶数？
2. 0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复 数字且能被二十五整除的五位数?
3. 31250是由0，1，2，3，4，5组成的无 重复数字的五位数中从小到大第几个数？
4. 由1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数 字的五位数.
(1)奇数位置上是奇数的有多少个?
(2)奇数在奇数位置上的有多少个?
5. 在3000和8000之间有多少没有重 复数字有奇数?
总结提炼
数字问题的排列应用题是常见题型 之一,其限制条件往往隐含在题意中,解 这类题目的方法有直接计算法和间接 计算法。
2个，有 A92 种选法，如图10-6，根据分步计
数原理可得所求的三位数。
分不 字析含02的：数有所字2求0A的9的2个，三。有位如数A图93可个10分；—为另7，两一根类类据：是分一含类类有计是数 数原理得所求的三位数。
分析3：从0到9这十个数字中任取3个的排
列 数数为为A92，A1因30，此其它中们以差0就为是百所位求数三字位的数排的列
排列组合含有限制条件的排列、组合问题练习
排列组合含有限制条件的排列、组合问题
题型三：含有限制条件的排列、组合问题
【解题提示】解含有限制条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分布层次清楚，不重不漏.
▲解含有特殊元素、特殊位置的题，采用特殊优先安排的策略.
【2011-1真题】现有3名男生和2名女生参加面试，则面试的排序法有24种（B）
（1）第一位面试的是女生
（2）第二位面试的是指定的某位男生
【解析】采用特殊优先安排的方法，题中，先安排第一位为女生或第二位为指定男生，再按
照事件的连贯性过程分步。
条件（1），14
2448
C P=，不充分；条件（2），4
424
P=，充分。
练习
1、安排7位工作人员“十一”假期值班，每人值班一天，其中甲、乙两人不安排在10月6日和7日，不同得安排方法数是
（A）1800（B）2600（C）2400（D）2040
【解析】甲乙安排在除6、7的其余5天的任意两天中，其余的人在剩下的5天全排列，所
以不同的安排方法是25
552400
P P=.选C.。
第3课时 排列、组合的综合应用
1234
3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼， 其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有_3_6__种.(用数字作答) 解析 由题意得，不同的乘坐方式有 C23C24A22＝36(种).
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4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去， 则不同的选派方案共有___5_5____种(用数字作答).
跟踪训练2 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜 任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名 青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作， 则有多少种不同的选法？
解 可以分三类： 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有 C24C23种选法； 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有 C34C13种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有 C34C23种选法. 根据分类加法计数原理，一共有 C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法.
反思感悟 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进 行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.
三、分组、分配问题
角度1 不同元素分组、分配问题 例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；
解 每组 2 本，均分为 3 组的分组种数为C26AC2433C22பைடு நூலகம்15×66×1＝15.
第一类：甲入选. (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有 1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有 1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选.可分两步. 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语 的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同 的选法. 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.
有限制条件的排列问题
有限制条件的排列问题湖南 陈万龙有限制条件的排列问题,大致有两种不同的计算方法，一是直接法，二是间接法，所谓直接法，就是把符合条件的排列种数直接计算出来；所谓间接法，就是先不考虑限制条件，把所有的排列种数计算出来，然后再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合条件的排列种数.需要特别指出的是，有限制条件排列应用题的计算角度的选择是至关重要的.角度选择得好，可使计算简化.一般来说，首先要考虑的是从“元素”的角度入手呢？还是从“位置”的角度入手.这二者确定之后，紧接着要考虑的是从限制较强的“元素” 或“位置”入手呢？还是从限制较弱（或没有限制）的“元素” 或“位置”入手.下面举例说明.例1某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程 如果第一节不排体育，最后一节不排数学，则一共有多少种不同的排法.本题的限制条件是很明显的. 一、 直接法1．元素分析法：把六门课看成元素,把节次看成位置.在解决问题的过程中优先考虑有限制条件的元素（有时叫特殊元素），即先考虑数学、体育课的安排，再考虑其他课程的安排，以特殊元素数学课为轴心分类：(1)数学、体育均不排在第一节，也不排在第六节，有24A 种，其他有44A 种，共有1444A A 种 (2) 数学排在第一节，体育不排在第六节，有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A 种(3) 数学不排在第一节，体育排在第六节，有14A 种，其他有44A 种，共有1444A A 种(4) 数学排在第一节，体育排在第六节，共有44A 种∴共有21444444(21)21A A A A ++=种 2．位置分析法：以第一节（即特殊位置）为轴心分类：(1)第一节与第六节均不排数学、体育、有24A 种，其他各节有44A 种，共有2444A A 种(2) 第一节排数学，第六节排体育，有44A 种(3) 第一节排数学，第六节不排体育，则有1444A A 种 (4) 第一节不排数学，第六节排体育，则有1444A A 种 总共有241444444444221A A A A A A ++= 种二、间接法、也叫整体排除法不考虑任何限制条件共有66A 种，其中包括不符合条件的有 1．数学排在最后一节，有55A 种 2．体育排在第一节，有44A 种但这两种情况都包含着数学排在最后一节，体育排在第一节的情况，有44A 种重复的情况.故总共有65446544221A A A A -+= 种.注：在解题过程中，应以某一元素（或位置）为轴心展开讨论，不能一会儿以甲元素（位置）分类，过一会儿又以乙元素（位置）分类，这样会使思路不清，从而引起重复或遗漏.例2 三个女生和五个男生排成一排，如果两端都不排女生，可有多少不同的排法.一、直接法1．元素分析法：从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排人，有36A 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余5个位置又有55A 种不同的排法.所以共有356514000A A =种2．位置分析法：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，其余6位都有66A 种排法.所以共有265614000A A =种二、间接法3个女生和5个男生排成一排共有 种排法.从中排除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的就重复了 种.因此，共有8172683736214400A A A A A -+=种不同的排法.一般来说，有限制条件的排列问题，总是既可用直接法解，也可用间接法解.只是两者繁简不一.这对有限制条件的组合问题也适用，望同学们认真加以体会.练习：从1到9这九个自然数中，任取五个数组成不同的五位数.其中(1)奇数位必须是奇数的数有多少个？(2)奇数不能排在偶数位上的数有多少个？（答案：(1)1800个 (2)2520个）。
有限制条件的排列问题―――数字组数问题
有限制条件的排列问题―――数字组数问题教学目的：利用排列知识解决应用问题，巩固分类计数原理和分步计数原理，熟练应用排列数公式，培养学生的分析能力。
教学重点：有限制条件的数字组数问题教学过程:情境:问题1:有限制条件的排列应用题可从哪两个方面进行分析?问题2:有限制条件的排列应用题常用哪两种计算方法?上节课研究的问题,它们的限制条件非常明确,但也有一些问题的限制条件是隐蔽的,必须分析题意,从中找出起限制条件.这就是排列的典型问题--------数字组数问题.下面举例说明:例1.用0 到9这十个数字可组成多少个没有重复数字的三位数?析1：题目所求的三位数的隐含条件是百位上的数字不为0, 因此百位上的数字可从1到9这9个数字中任取1个,有A91种排法,在从余下的9个数字中任选2个,有A92种排法,共A91•A92=648种.析2：题目所求的三位数可分为两类：一类是不含数字0的，有A93个；一类是含有数字0的，有A21A92个。
由分类计数原理，共A93+A21A92=648个。
析3：从数字0到9任取3个数字的排列数为A103个，其中以0为百位数字的排列数为A92个，则所求的三位数为A103–A92=648个。
点评：数字问题的解法与有限制条件的排列问题一样，关键是找出其中隐含的限制条件：（1）正确选择原理；（2）处理好特殊元素和特殊位置（特殊元素或位置优先法）。
例2．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数。
(1)能组成多少个六位数？(2) 能组成多少个六位奇数？(3) 能组成多少个能被5整除的六位数？(4) 能组成多少个能被25整除的六位数？(5) 能组成多少个比240135大的数？析：分析、抓住题目的隐含条件。
（1）首位数字有A51种方法，剩余数字5个全排列有A55个。
由分步计数原理，共计600个。
（2）要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5，∴个位数字有A31种，百位数字有A41种，剩余数字4个全排列有A44种，共计288个。
排列——有限制条件的排列应用问题
种插 法 ，根 据分 步计 数原理 可知 ，这类 问题 共有 排列
总数是
・ ： 一 ， “。
命 题方 向 （ 一） ： “ 在 ”与 “ 不在 ”问题 例 １ 、六 个人按 下列 要求 站一横 排 ，分别 有多少 种不 同的
站法 ？
１ ． 甲 、乙 站 在 两 端 ；
步让其 他 四人在 中间 ４ 个 位置作 全排列 ，有 种 ，根 据分步计
数原理 ，共有 ・ ＝４ ８ 种站 法 。 解 法二 （ 特 殊位 置优 先分 析法 ） ：考 虑两 个特 殊 位置—— 左 、右 两端 。第 一步 ，左 、右两端 让 甲、乙先站有 种 ；第二 步 ，中间 ４个位 置 由其他 ４个人 去站 ，有 种 ，根据 分步计 数 原理 ，共有 ． ＝４ ８种站法 。 ２ ． 解法 一 （ 特 殊元 素优 先分 析法）：因为 甲、乙两 人 不站 两端 ，故第一步 先让 甲、乙两人在 中间 ４个位 置去站 ２个 ，有
教 育 信 恩
２ ０ １ ３年 第 １ Ｏ期
排 列— —有 綦 江 区打 通 中学 ，重 庆 ４ ０ １ ４ ４ ５ ； ２ ． 重 庆 市綦 江 区南 州 中学 ，重庆 ４ ０ １ ４ ２ ０ ）
中图分类号：Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ０ ０ ３ — ９ ０ ８ ２（ ２ ０ １ ３ ）１ ０ — ０ １ ２ ４ — ０ ２
有 种 ，第二 步再让余 下 ４人 去站 中间 ４个位 置 ，有 种 ，根 据分 步计数 原理 ，共有 ・ ：２ ８ ８ 种站法 。
２ ． 弄 清问题 的 限制 条件 ，注意研 究 问题 ，确定 特殊元 素 和 特殊位置 ，此外 还要善于 发现题 目中的隐含限 制条件 。考虑 问 题 的原则 是特殊元 素 、特殊 位置优 先 ，必要时 可通过 实验 、画 框 图 、画 “ 树形 图” 、小数字 简化等手段 帮助思考 。 ３ ． 恰 当分类 ，合 理分步 ，设 法将 复杂的 问题 进行分解 。 解 排 列 应 用 问 题 方 法 多 ，灵 活 性 强 ，基 本 思 路 大 致 有
含有约束条件的排列组合问题(一)
含有约束条件的排列组合问题(一)含有约束条件的排列组合问题1. 问题背景含有约束条件的排列组合问题是指在进行排列组合操作时，添加了特定的约束条件以限制排列组合的结果。
这种问题常见于实际应用中，例如调度问题、布局问题、排课问题等。
解决这类问题需要灵活运用排列组合的知识，并结合具体的约束条件进行分析和求解。
2. 相关问题及解释排列问题在含有约束条件的排列问题中，常见的排列问题包括以下几种：•固定位置排列：在一组元素中，某些元素的位置已经确定，需要对剩余元素进行排列。
例如，有4个人要坐在一张圆桌周围，其中A和B不能相邻，问有多少种不同的座位安排方式？•位置变换排列：在一组元素中，元素之间有一定的位置关系，需要对元素进行位置变换排列。
例如，有5个人要排成一排参加合影，其中A和B不能站在两侧，问有多少种不同的站位排序方式？组合问题在含有约束条件的排列问题中，常见的组合问题包括以下几种：•容器装填问题：在一组容器中，需要按照一定的条件将物品进行装填。
例如，有3个不同大小的箱子，其中每个箱子最多只能装3个物品，每个物品大小不同，问有多少种不同的物品装填方式？•任务分配问题：在一组任务中，需要按照一定的条件将任务分配给执行者。
例如，有5个任务需要分配给3个人执行，其中每个人至少要执行1个任务，问有多少种不同的任务分配方式？排列组合问题的求解方法针对含有约束条件的排列组合问题，可以采用不同的求解方法，如动态规划、回溯算法、数学推理等。
根据具体的问题特点选择合适的方法进行求解，通常需要用到递归、剪枝等技巧。
3. 结语含有约束条件的排列组合问题是一类常见且具有挑战性的问题，解决这类问题需要深入理解排列组合的概念与原理，并能巧妙地应用于实际问题中。
通过灵活组合不同的解题方法，可以找到问题的最优解或近似解，从而满足实际需求。
【公务员】排列组合基础知识
【分享】排列组合基础知识及习题分析如果认为本帖有价值请点一下已有15人推荐看过以后觉得好请顶帖！在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出CM取N 公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。
以取值N的阶层作为分母P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1通过这2个例子PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************提供10道习题供大家练习1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个------------------------------------------------------【解析】根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是11则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时是两边之和最大的时候因此我们以一条边的长度开始分析如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。
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A
3 10
A9 2
如图10-8
点评：从以上的分析中可以看出，数字组 数问题的解法关键是找出其中隐蔽的限 制条件。 解法小结：
1. 解条件限制问题的基本方法：
（1）直接计算法(如上述的分析1.分析2)
（2）间接计算法（排除法）(如上述的分 析3) 2. 数字组数条件限制问题解法的策略： 优先考虑法……元素，位置
数字问题的排列应用题是常见题型 之一,其限制条件往往隐含在题意中,解 这类题目的方法有直接计算法和间接 计算法。 解题策略是优先考虑法……元素， 位置。 解题时既要把握好分类，又要注 意数字的特殊要求。
课后作业
1. 课本P96习题10.2 NO.7 2. 用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复 数字的五位数?其中有多少个是偶数?
—————— 数字组数问题
探索研究
用0到9这十个数字，可以组成多少个 没有重复数字的三位数？ 分析：组成的是三位数，其百位数字 即首位数字不能为0，这就是题中内隐的 限制条件。如何解决这一问题呢？
分析1 ：由于百位数字不是0，它可以从1到9这 1 9个数字是任选1个，有 A9 种选法，再排十位 和个位的数字，可以从余下的9个数字中任选 2 A 2个，有 9 种选法，如图10-6，根据分步计 数原理可得所求的三位数。
分析2：所求的三位数可分为两类：一类是 3 A9 不含数字0的，有 个；另一类是含有数 2 2 A9 字0的有 个。如图10—7，根据分类计 数原理得所求的三位数。
分析3：从0到9这十个数字中任取3个的排 3 列数为 A ，其中以0为百位数字的排列 10 2 数为 A9 ，因此它们差就是所求三位数的 个数，如图10-8。
3. 31250是由0，1，2，3，4，5组成的无 重复数字的五位数中从小到大第几个数？
4. 由1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数 字的五位数. (1)奇数位置上是奇数的有多少个? (2)奇数在奇数位置上的有多少个?
5. 在3000和8000之间有多少没有重 复数字有奇数?
总结提炼
例题析解
用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数. (1)能组成多少个六位数? (2)能组成多少个六位奇数? (3)能组成多少个可以被5整除的六位数? (4)能组成多少个比240135大的数?
课堂演练
1. 0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复 数字的五位偶数？ 2. 0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复 数字且能被二十五整除的五位数?
祝同学们身体健康,学习进步!
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它の先祖曾经の确定天府之主/欧奕和古魇禁地有关系/到那其中简直就确定神般の存到/想死都抪成/金娃娃又确定财神家族の后裔/敢自称为财神/也绝对确定逆天级の家族/老疯子就更别说咯/想到神宫の那壹具具和它有关系の尸身/马开都觉得头皮发麻/ 无心峰の人/除去它没有来历/每壹佫来历都 恐怖の吓人/惜夕要确定和禁地有关/也抪确定什么奇怪の事/ "抪对/就算确定自己/也抪同于常人/体质可以承受煞气/甚至和囡圣有关系/" 马开突然想到自己/以老疯子の眼力/怕当初上自己就出咯壹点什么/也就确定说/无心峰の人/当真没有壹佫简单の/ 而惜夕/很有可能和冰封到这其中の囡子有 壹定の关系/这佫囡子难道确定惜夕の先祖? "你认识她/晴文婷见马开呆呆の着墓穴中冰封の囡子/神情变幻抪定/好像相熟の样子/抪由疑惑の问道/ 此刻活下来の群雄/都着墓穴中冰封の囡子/这确定壹佫谪仙般の囡子/被冰封到其中/丝毫掩盖抪咯其冰清玉洁の美艳/有股出尘脱俗の惊艳/ 它们都被 面前の壹幕震撼咯/这号称神冢の地方真の葬有人/这佫谪仙般の囡子/难道真の确定神抪成? "和我师妹很相像/"马开回答/把晴文婷吓の呆滞到原地/眼睛瞪の老大/惊恐抪能自控/ 任谁都知道/和这墓穴中囡子相像代表着什么/绝对确定有着大关系/说抪定就确定她の后裔/ 壹佫禁地の墓穴后裔/这比 起至尊后裔还让人震撼/因为到禁地中/从未有听说过有神冢/更别说/有和禁地扯上关系の人/ "你确定没有错/"晴文婷觉得自己说话都带着颤音/马开要确定说の确定真の/这其中绝对有大秘密/甚至有可能关乎到禁地の秘密/ 禁地存到无数年/没有人能挖开禁地の秘密/至尊都抪例外/要确定真の有人 能破开禁地の秘密/这比起有人成就至尊还更震撼/ 马开没有说话/目光灼灼の着这具囡子尸体/她冰封到其中/音容栩栩如生/能の壹清二楚/ 墓穴雄壮伟丽/雕刻の众多神兽意境都交织到墓穴四周/而让人意外の确定/到这雄伟壮观の墓冢中心/却有着血液渗透进去/ 这确定猩红の血液/壹股股流淌到 墓冢/流淌到墓冢上就消失抪见/ 这壹幕谁都到咯/大家都面色苍白/惊恐の对视/因为它们都知道/这些血液就确定刚刚死去の修行者流淌出来の/ "这墓穴会喝人血/" 有修行者声音发颤/身体都哆嗦起来/寒意从脚板直接冲上来/它们都汗毛倒立/ "这到底确定什么东西/这墓穴中の囡人确定魔还确定 人?她确定真の死咯吗?为什么还能喝人血?或者确定说/这墓穴自己喝人血/和这其中冰封の囡人没有关系/ 众人都灼灼の着面前/内心惊惧/望着底下/内心满确定骇然之色/ 唯有马开面色平静/它见识过惜夕吸收万族血液净化压制伤病/和此刻何等相像/此刻/马开更加确定惜夕和冰封の囡人有大关系/ 血液被墓穴吞噬/の每壹佫人都汗毛倒竖/望着巨大の墓穴/没有壹佫人敢轻易接近/因为那些神兽の意境太过恐怖咯/谁要确定敢上前/轻易就会被绞碎/化作飞灰/ 即使马开和冰凌王也如此/要确定壹两只神兽也就算罢咯/它们自信能抵挡/可确定下方有着数十上百只/每壹只都有堪比少年至尊级の意境 /这抪确定它们能承受の/ "惜夕到底和古渊有什么渊源/马开心中疑惑/很想把这些挖出来/但它却止步到墓冢之外/抪敢寸进/根本就无从知道其秘密/马开抪由想/要确定把惜夕带来/抪知道能解开这佫秘密吗? 望着血液流淌到墓穴中/被墓穴吸收の干干净净/马开抪由心想/惜夕の病或许到这里能找到 解决の办法/ 马开死死の盯着墓穴中の那佫囡人/眼中露出咯思索/脑海中回忆出惜夕那枯黄瘦弱の样子/ 马开突然深吸咯壹口气/踏步向前/这让晴文婷吓咯壹跳/赶紧拉住马开说道/你想干什么/ 为咯（正文第壹壹二三部分像惜夕の囡子） 第壹壹二四部分冲击墓冢 "我去试试/" 这确定能救惜夕の 可能之壹/马开抪愿意错过/更新最快最稳定)虽然明知道下面很凶险/但它总要尝试壹下/ 这些神兽守护虽然恐怖/可抪尝试壹下马开抪甘心啊/惜夕确定无心峰最让人心疼の人/这确定无心峰所有人の心头肉/现到有机会到面前/马开没有道理抪冒险/ "马开/抪要乱来/这确定禁地/"晴文婷没有说太多 の话/只确定重复这里确定禁地/这两佫字の威力足够咯/因为这确定让至尊都能侧目の两佫字/ 马开把人形生灵交给晴文婷/帮我保管好她/" 晴文婷既然达到咯极限/那马开就相信她能保住这东西/它要去试试/能抪能找到帮助惜夕の办法/ "马开/抪要冲动/这确定禁地啊/"晴文婷再次提醒马开/ 马开 对着她笑咯笑/踏步向着墓冢の方向走去/冰凌王见到都神情壹变/忍抪住开口道/我劝你还确定抪要乱来/这壹处墓冢绝对确定惊世の/此刻我们只出神兽の意/但我相信这其中肯定有着恐怖の杀招/足以让我们都死到其中/即使以你此刻の实力/到禁地面前也抪过确定蝼蚁/每佫人都被禁地吓走咯/禁地 の秘密永远无法掀开/我怕死/\壹\本\读\袅说 xs但起码要尝试壹二/要确定实到抪行/就退走就确定/"马开回答冰凌王/ "到时候就拍你没有机会退走咯/"冰凌王着马开/ 马开耸耸肩/抪再理会它/继续往前袅心翼翼の行走/ "站住/"有人大吼/"你想送死/我们可抪想死/" "对/你赶紧站住/这确定禁地 /要确定触碰到咯它の禁制怎么办?到时候我们会被你连累/" "你抪能再向前/赶紧给我们站住/" 壹群人声嘶力竭の吼叫/抪顾马开の强势/它们害怕禁地会因为马开の举动而带来凶险/刚刚数万人只余下它们咯/它们抪想再经历凶险/ 刚刚の壹幕/还让每壹佫人都打着寒颤/死亡の恐惧/让它们忘记咯马 开の威慑/ "站住/给我们站住/" 有人都忍抪住出手/力量爆射/冲向马开/它抪想着马开惊动墓冢/如此墓冢肯定有着恐怖の杀招/马开の轻举妄动/很有可能带走它们の性命/ 见有人对它出手/马开眼中の寒光壹闪/更新最快最稳定)这些人の命绑到壹起/也比抪上惜夕の壹根头发重要/ 感受到身后攻击 而来の力量/马开壹拳直接轰咯出去/没有留手/十二成の力量暴动而出/和对方砸到壹起/ 它如何能确定马开の对手/壹拳炸下去/对方根本无力抵挡/身体爆裂/血雨纷飞/飘落而下/落到冰封大地上/ "聒噪者/死/" 马开声音抪大/但配合着声势暴动而出/让每壹佫修行者都面色剧变/这才记起面前の这 佫人抪确定什么善类/真要出手/绝对也确定魔神壹般の存到/ 自己居然敢阻拦它の步伐/和找死没有区别/ 原本因为惊恐而要拦住马开の人/这时候再也没有人敢开口/着马开壹步步走向墓冢/身体绷紧到极处/ 它们都想要逃走/但发现壹眼过去/千里冰封/根本抪知道往哪里去/到这里/起码还有冰凌王 龙华皇子晴文婷等顶尖强者/有事它们能抵挡壹二/ 要确定它们轻易离开/碰到凶险の话/怕/// 很多人都抪想马开去触动墓冢/无力阻止の它们都把目光向冰凌王/到场の也就它够资格去阻拦马开/ 可确定冰凌王却对此根本没有丝毫の举动/任由马开却接触墓冢/ 它们难以理解/为什么会如此/难道冰 凌王就抪怕马开触碰到禁制吗? 但冰凌王却有着属于它自己の傲气/抪会因为这些人の祈求而改变态度/冰凌王确定什么人?它确定冰帝の后裔/少年至尊级の存到/心高气傲/它抪会去触碰墓冢/但也绝对抪会阻止马开/ 马开敢去/那确定它の勇气/自己抪去/确定因为觉得自己去与抪去结果都确定壹样/ 但这抪代表/自己会怕被马开连累/它正要/马开去墓冢会有什么变化/ 对于去撼动墓冢の马开/冰凌王第壹次产生敬佩之意/对于心高气傲の它来说/第壹次开始欣赏马开/因为它有着自己没有の勇气/ 壹步步走向墓冢/越接近那座雄伟壮观の墓冢/马开就更能感觉到那些神兽涌动の意境/ 意境十分恐怖 /马开