密云区2017-2018学年第一学期高三第三次阶段性练习 - 数学(理)答案(排版)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．C 2．D 3．D 4. A 5．B 6．B 7.A 8. C8.解答： ①若xx x f 2)(2-=,则由)()(21x f x f =得22212122x x x x -=-,即0)2)((2121=++-x x x x ,解得21x x =或0221=++x x ,所以①不是单函数.②若⎩⎨⎧<-≥=2,22,log )(2x x x x x f 则由函数图象可知当)()(21x f x f =,时,21x x ≠,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在定义域内某个区间D 上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．2 10．20 11. 23 12．a ＞c ＞b 13.(),1-∞ 14. ①②③⑤14题在没有④的情况下，对1个给1分，对2个给2分，对3个给3分，对4个给5分；出现④给零分.14题解答：CQ DT PQ AT PQ AT T D D 22//1=⇒=且，则相交于设截面与. 对①，102CQ <<当时,则.10<<DT 所以截面S 为四边形，且S 为梯形.所以为真. 对②,1, DT = 12CQ =当时重合与1,D T ，截面S 为四边形.,11Q D AP APQD =所以截面S 为等腰梯形. 所以为真. 对③,34CQ =当时.31.21,23,411111====⇒R C T D DT QC 利用三角形相似解得所以为真. 对④,331,DT 242CQ <<<<当时.截面S 与线段1111C D ,D A 相交，所以四边形S 为五边形.所以为假.对⑤, A G APC G D A S C CQ 111111,Q 1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当=.对角线长度分别为.2632的面积为，和S 所以为真. 综上，选①②③⑤三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅= 1)62sin(212cos 2sin 3++=++=πx x x ……………………………………3分∴函数f (x )的最小正周期ππ==22T ………………………………………… 4分 令)(,2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ， 解得.326ππππk x k +≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是Z k k k ∈++],32,6[ππππ……………………… 6分（Ⅱ）由f (A ) = 2，得21)62sin(,21)62sin(2=+=++ππA A ，在△ABC 中，π<<A 0ππππ26626+<+<∴A6562ππ=+∴A ，解得.3π=A ……………………………………………8分又2323121sin 21=⨯⨯⨯==∆c A bc S ABC ， 解得c = 2. 在△ABC 中，由余弦定理得：32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴a = 3. …………………………………………………………………10分由233sin sin sin ===AaC c B b ，得01sin ,302B B =∠=……………………………13分密云区2017-2018学年第一学期高三第三次阶段性练习 数学（理科）参考答案 2017年12月16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴可设f (x )＝ax (x －5)，a >0. ……………………………………2分 ∴f ′(x )＝2ax －5a . ……………………………………3分 ∵函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率f ′(1)＝－6.∴2a －5a ＝－6，解得a ＝2. …………………………………4分 ∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x . ……………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0. ………6分设h (x )＝2x 3－10x 2＋37， ………………7分 则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)． ………………8分 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x )<0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎫0，103上单调递减； ……………9分 当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎫103，＋∞上单调递增． ……10分 ∵h (3)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， …………11分 ∴方程h (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内各有一个实数根， 在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根． …………12分 ∴方程f (x )＋37x＝0在区间(3，4)内有且只有两个不相等的实数根．……13分17.(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）取1A B 的中点M ，连接DM ，EM 因为D 是11A B 的中点，所以1//DM BB ，且112DM BB =．……………1分在三棱柱111ABC A B C -中，因为E 是1CC 的中点，所以11//C E BB ，且1112C E BB =所以1//C E DM =． ……………2分 所以四边形1C DME 为平行四边形，所以1C D ∥EM ． ………………………3分 又1C D ⊄平面1A BE ，EM ⊂平面1A BE ，所以1C D ∥平面1A BE ． ……………………………4分证明：（Ⅱ）因为1111AC C B =，且D 是11A B 的中点，所以111C D AB ⊥． …………………5分 因为1BB ⊥平面111A BC ，1CD ⊂平面111A B C ，所以11BB C D ⊥． ……………………………6分 所以1C D ⊥平面11AA B B ． ……………………………7分 又1C D ∥EM ，所以EM ⊥平面11AA B B ． ……………………………8分 又EM ⊂平面1A BE ，所以平面1A BE ⊥平面11AA B B ． ……………………………９分（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,2,0)B ，1(0,0,2)C , (0,0,1)E ，1(2,0,2)A ．1(0,2,2)BC =- ，1(2,0,1)EA =，(0,2,1)EB =- ． …………………………10分设平面1A BE 的法向量为(,,)x y z =n .则10,0.EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n …………………………11分所以20,20.x z y z +=⎧⎨-=⎩令1x =.则(1,1,2)=--n . …………12分 设直线1BC 与平面1A BE 所成角为θ，因为111·cos ,||BC BC BC <>== n n n ||所以1sin |cos ,|BC θ=<>= n即直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值为6. ………………………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-， ………………………1分()2x f x e '=-， ………………………3分当(ln 2)x ∈-∞，时，()0f x '<， ………………………4分 当(ln 2)x ∈+∞，时，()0f x '>， ………………………5分 此时()f x 的单调递增区间为(ln 2)+∞，，单调递减区间为(ln 2)-∞，.…………7分 （Ⅱ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ……………8分因为()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()fx mx <成立， 即1[2]2x ∃∈，使x e x m x->成立，………9分 所以min ()xe xm x->. …………10分 令()1x e g x x =-，2(1)()xx e g x x -'=， ………………………11分 所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分 所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分19. (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）由AB =，可得2223a b c +=， ………………………1分又222b ac =-，则2212c a =. ………………………3分所以，椭圆的离心率2e =. ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212x y c c +=. ……………5分设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,FP x c y =+ ，()1,FBc c =.由已知，有110F P F B?， ……………6分 即()000x c c y c ++=.又0c ¹，故有000x y c ++=. ① ……………7分 又因为点P 在椭圆上， 故22002212x y c c+=. ② ……………8分 由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点， 故043c x =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫. ……………9分 设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r =. ……………11分 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =. ……………………12分由l r =3=， …………13分 整理得2810k k -+=，解得4k =?……………14分 所以，直线l 的斜率为4+或4-.20．(本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当2q =，3n =时，{}0,1M =， ……………1分{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+. ……………3分可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A = ……………5分证明：（Ⅱ）由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++ ，112n n t b b q b q -=+++ ，,i i a b M Î，1,2,,i n = 及n n a b <，可得()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-++-+- ……7分()()()21111n n q q q q q q --?+-++-- ……………9分()()11111n n q q q q----=-- ……………11分10=-<. ……………12分所以，s t <. ……………13分。