高中数学必修1知识点总结：第二章 基本初等函数
高中数学必修1第二章知识点总结
第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：m na=)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(；（3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数.2（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x=⇔=log ；③注意对数的书写格式．两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ； ②自然对数：以 71828.2=e 为底的对数N ln ． 指数式与对数式的互化（如右图） （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；② =NMalog M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结
( a ,c ( 0 ,1 ) U ( 1 , ) ,b 0 )
c
2) 对数恒等式
a lo g a N N ( a 0 且 a 1 , N 0 )
3) 四个重要推论
①logabllggabllnnab; ②logamNnm nlogaN;
③logablog1ba;
④ lo g ab lo g bc lo g ac.
由f x是奇函数,图像关于原点对称.
所以f x在( ,- a )是增函数,
在(- a ,0)是减函数.
综上,函数 f x x a(a>0)的单调
区间是
x f x在(- a ,0),(0, a )是减函数.
在( ,- a ),( a ,+)是增函数,
单调区间的分界点为: a的平方根
5.函数f x x a (a>0)的值域
①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，很 多考生不知道求其定义域．
②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的 底数中含有参数，一般要进行分类讨论.
一般地，函数 y x x 是 自 变 量 ， 是 常 数
叫做幂函数
y
y x, y x2, y x3,
1
y x2, y x1
的图象.
O
x
幂函数的性质
当x1x2 >a时,由x1,x2是任意的,知x1,x2可 无限接近.而x1,x2在同一个区间取值, 知x1,x2 ( a,+)时,x1x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f (x1). 所以x ( a,+)时,f(x)是增函数.
同时可知,x (0, a )时,f(x)是减函数.
⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
高中数学必修一 第二章 函数 知识点整理
第二章函数2.1 函数1. 函数（1）函数的定义传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。
两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。
这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。
（2）函数概念的理解①A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。
②在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数y=x2+1可称为实数集R到实数集R的函数，但值域为[1,+∞)。
③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。
④函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则（或运算），如f(x)=x2-2x+3，当x=2时，可看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当“x”为某个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如f(2x-1)=(2x-1)2-2(2x-1)+3，f[g(x)]=[g(x)]2-2g(x)+3等，f(a)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。
（3）函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。
高一数学必修一二知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素;2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素;3集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样;4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性;3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法;注意啊：常用数集及其记法：非负整数集即自然数集记作：N正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a A列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上;描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法;用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法;①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R|x-3>2}或{x|x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能1A是B的一部分,；2A与B是同一集合;反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系5≥5,且5≤5,则5=5实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即：A=B①任何一个集合是它本身的子集;AíA②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA③如果AíB,BíC,那么AíC④如果AíB同时BíA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集;三、集合的运算1．交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B读作”A交B”,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}．2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集;记作：A∪B读作”A并B”,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}．3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集1补集：设S是一个集合,A是S的一个子集即,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集或余集记作：CSA即CSA={x|x S且x A}2全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集;通常用U来表示;3性质：⑴CUCUA=A⑵CUA∩A=Φ二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=fx,x∈A．其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域．注意：2如果只给出解析式y=fx,而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必须大于零；4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域;构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关;相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致两点必须同时具备见课本21页相关例2值域补充1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础;3.函数图象知识归纳1定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点Px,y 的集合C,叫做函数y=fx,x∈A的图象．C上每一点的坐标x,y均满足函数关系y=fx,反过来,以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x,y,均在C上.即记为C={Px,y|y=fx,x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线或直线,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成;2画法A、描点法：根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以x,y为坐标在坐标系内描出相应的点Px,y,最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法请参考必修4三角函数常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变3作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路;提高解题的速度;发现解题中的错误;4．快去了解区间的概念1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2无穷区间；3区间的数轴表示．5．什么叫做映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映像;记作“f：AB”给定一个集合A到B的映像,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说,则应满足：Ⅰ集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的；Ⅱ集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个；Ⅲ不要求集合B中的每一个元素在集合A 中都有原象;常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征．注意啊：解析法：便于算出函数值;列表法：便于查出函数值;图象法：便于量出函数值补充一：分段函数参见课本P24-25在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数;在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式;分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况．1分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；2分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集．补充二：复合函数如果y=fu,u∈M,u=gx,x∈A,则y=fgx=Fx,x∈A称为f、g的复合函数;例如:y=2sinXy=2cosX2+17．函数单调性1．增函数设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有fx1<fx2,那么就说fx在区间D上是增函数;区间D称为y=fx的单调增区间睇清楚课本单调区间的概念如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有fx1＞fx2,那么就说fx在这个区间上是减函数.区间D称为y=fx的单调减区间.注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2;2图象的特点如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.3.函数单调区间与单调性的判定方法A定义法：1任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方；4定号即判断差fx1－fx2的正负；5下结论指出函数fx在给定的区间D上的单调性．B图象法从图象上看升降_C复合函数的单调性函数的单调性注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗8．函数的奇偶性1偶函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f－x=fx,那么fx就叫做偶函数．2．奇函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f－x=—fx,那么fx就叫做奇函数．注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数;2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称．3具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f－x与fx的关系；3作出相应结论：若f－x=fx或f－x－fx=0,则fx是偶函数；若f－x=－fx或f－x＋fx=0,则fx是奇函数．注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,1再根据定义判定;2有时判定f-x=±fx比较困难,可考虑根据是否有f-x±fx=0或fx/f-x=±1来判定;3利用定理,或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式1.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法；已知复合函数fgx的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时,也可用凑配法；若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出fx10．函数最大小值定义见课本p36页1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值2利用图象求函数的最大小值3利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx 在x=b处有最大值fb；如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx在x=b处有最小值fb；第二章基本初等函数一、指数函数一指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地,如果,那么叫做的次方根nthroot,其中>1,且∈．当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数．此时,的次方根用符号表示．式子叫做根式radical,这里叫做根指数radicalexponent,叫做被开方数radicand 当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数．此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±>0．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作;注意：当是奇数时,,当是偶数时,2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．二指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数叫做指数函数exponential,其中x是自变量,函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．图象特征函数性质1.向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R2.图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数3.函数图象都在x轴上方4.函数的值域为R+5.函数图象都过定点0,16.自左向右看图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢；注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出：1在a,b上,值域是或；2若,则；取遍所有正数当且仅当；3对于指数函数,总有；4当时,若,则；二、对数函数一对数1．对数的概念：一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作：—底数,—真数,—对数式两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数；2自然对数：以无理数为底的对数的对数．二对数函数1、对数函数的概念：函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是0,+∞．注意：1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别;图象特征,函数性质1.函数图象都在y轴右侧函数的定义域为0,＋∞2.图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数3.向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R4.函数图象都过定点1,0自左向右看,图象逐渐上升,自左向右看,图象逐渐下降三幂函数1、幂函数定义：一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数．2、幂函数性质归纳．1所有的幂函数在0,+∞都有定义,并且图象都过点1,1；2时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数．特别地,当时,幂函数的图象下凸；当时,幂函数的图象上凸；3时,幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．第三章函数的应用、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点;2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标;即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、函数零点的求法：求函数的零点：1代数法求方程的实数根；2几何法对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数．1△＞0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点．2△＝0,方程有两相等实根二重根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点．高一数学必修43△＜0,方程无⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角,确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=,1180π=,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()0r r =>,则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0yx xα=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变,符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：奇变偶不变,符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左右平移ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长缩短到原来的1ω倍纵坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长缩短到原来的A 倍横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长缩短到原来的1ω倍纵坐标不变,得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左右平移ϕω个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长缩短到原来的A 倍横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ,当1x x =时,取得最小值为min y ；当2x x =时,取得最大值为max y ,则()max min 12y y A =-,()max min 12y y B =+,()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：图象定义域 值域最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时,min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时,min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在 ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴16、向量：既有大小,又有方向的量．数量：只有大小,没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：函 数 性 质a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时,0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=． 设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+．不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时,a b a b ⋅=；当a 与b 反向时,a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =,()22,b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =,则222a x y =+,或2a x y =+设()11,a x y =,()22,b x y =,则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量,()11,a x y =,()22,b x y =,θ是a 与b 的夹角,则121cos x x a ba b x θ⋅==+．24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+,其中tan ϕB =A ． 实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点．特殊几何体表面积公式c 为底面周长,h 为高,为斜高,l 为母线柱体、锥体、台体的体积公式球体的表面积和体积公式：V=；S=空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义：平面是无限延展的2三个公理：1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.符号表示为A ∈LB ∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.2公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,使A∈α、B∈α、C∈α;公理2作用：确定一个平面的依据;3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点;2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行;符号表示为：设a、b、c是三条直线a ∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用;公理4作用：判断空间两条直线平行的依据;3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈0,；③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b；④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;—空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：1直线在平面内——有无数个公共点2直线与平面相交——有且只有一个公共点3直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α.直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为：线线平行,则线面平行;符号表示：aαbβ=>a∥αa∥b平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;符号表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：1用定义；2判定定理；3垂直于同一条直线的两个平面平行;—∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题;2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行;符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行直线、平面垂直的判定及其性质⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面;如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足;PaL2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点：a定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;梭lβBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直;—2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直;第三章直线与方程1直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角;特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度;因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°2直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率;直线的斜率常用k表示;即;斜率反映直线与轴的倾斜程度;当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.当时,；当时,；当时,不存在;②过两点的直线的斜率公式：P1x1,y1,P2x2,y2,x1≠x2注意下面四点：1当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；2k与P1、P2的顺序无关；3以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；4求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到;3直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1;当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1;②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
〖2.1〗指数函数根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数〖2.2〗对数函数负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1aa =，logb a a b =．常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()na a n M Mn R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且换底公式的推论： （5）对数函数〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且(1,1)． 图象都通过点0α>，③单调性：如果则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x=下方．。
高一数学必修1-2知识点总结
高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）空集的特性①空集是不含任何元素的集合.②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.③空集单独使用时当集合的，但是放在集合里面又可以当元素使用,如｛Φ｝【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇Φ=A C U UA C U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．o⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法增；若y f =则[()]y f g x =为减．（2）函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[0)、上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作m x f =)(min ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．若0)0(≠f ，则0=x 必不在)(x f 的定义域上③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对． (0,)+∞上为减函p,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b qa->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =．高中数学必修1知识点总结第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
高中数学必修1复习 PPT课件 图文
(4)已知f(幂 2)8 ， 函求 数 f(x)函 的数 解析
函数单调性
y
f(x2)
f(x1)
在给定区间上任x取 1, x2,
x1 x2
f(1x)f(2x)
函数f (x)在给定区间
O
x1 x2 x
上为增函数。
注意
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。
y
在给定区间上任x取 1, x2,
真数 自变量
函数 y=logax 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
指数函数与对数函数
y
1
0
x
R
y
y
y
1
1
o
1
x
o
x
0
x
单调性
(0, ) 相同
(0, )
(0, 1)
在R上是增函数 在R上是减函数
R
(1, 0)
在( 0 , + ∞ )上是 在( 0 , + ∞ )上是
增函数
减函数
指数函数与对数函数
x3,2
5 4 3 2 1
0 1 3 -8 -6 -4 -2
2 4 6 810
-1
x=2
-2
-3
-4
-5
二、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法
例10 (1)已f知 (x)x24x3,求 f(x1)
(2)已f知 (x1)x22x,求 f(x)
x23 x0 (3)已知 f(x) 1 x0，求 f[f(4)]
(3) loaM g nnloaM g (n R ).
几个重要公式
(1)logabllooggccballggba
高中数学必修1第二章 基本初等函数
整数指数幂 有理指数幂
定义
指数
对数
运算性质
无理指数幂
定义
定义
指数函数
图象与性质
对数函数
图象与性质
指数函数与对数函数
函数
y = ax ( a＞0 且 a≠1 )
a＞1 0＜a＜1
y
= log a x ( a＞0 且 a≠1 )
0＜a＜1
y
图 象
a＞1
对数函数y=logax与指数函数y= ax互为反函数， y y=logax的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称. y
函数模型解决问题的基本过程即一般 步骤是： （1）分析问题，作假设.为简化问题 一般要对有关陈述作假设，使问题明确， 分析问题包括变量设置、单位的选用等； （2）建立函数模型或者确定已知函 数模型； （3）求解函数模型（包括画图、列 表、证明、制作软件）； （4）讨论验证和修正模型.
二.应用举例
a
M log
a
N
a
n log
M
9.换底公式 log
log a b 注意换底公式在对数运算中的作用：
①公式 log b N
log a N log a b
b
N
log a N
顺用和逆用；
②由公式和运算性质推得的结论
log
a
m
b
n
n m
log a b
的作用.
特别注意
1.研究指数、对数问题时尽量要为同底， 另外，对数问题中要重视定义域的限制.
2.根式的性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 n a 表示. (2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反 数，这时，正数的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次 方根用符号 n a 表示.正负两个n次方根可以合写为 n a (a＞0) (3)
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高中数学 必修1知识点1 第一章 函数概念2 （1）函数的概念3 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在4 集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对5 应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．6 ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．7 ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 8 （2）区间的概念及表示法9 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足10 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合11 叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记12 做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．13注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须14 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． 15 （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：16 ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．17②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．18 ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．19 ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． 20 ⑤tan y x =中，()π⑥零（负）指数幂的底数不能为零．22 ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初23 等函数的定义域的交集．24 ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数25 [()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．26 ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． 27 ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 28 （4）求函数的值域或最值29 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中30 存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质31 是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：32 ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．33 ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围34 确定函数的值域或最值．35 ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程36 2()()()0a y x b y x c y ++=37则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值38 域或最值．39 ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．40 ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问41 题转化为三角函数的最值问题．42 ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． 43 ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． 44 ⑧函数的单调性法．45（5）函数的表示方法4647表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．48解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两49个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．50（6）映射的概念51①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B52中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫53做集合A到B的映射，记作:f A B→．54②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元素b对应，那么我们把a Ab B55元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．56（6）函数的单调性57①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一58 个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．59 ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =60 为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，61则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．62 （7）打“√”函数()(0)af xx a x=+>的图象与性质63()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，64 分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． 65 （8）最大（小）值定义66 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存67在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；68 （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．69②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都70 有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作71 max ()f x m =．72 （9）函数的奇偶性73 ①定义及判定方法74函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函数．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=f(x)．．．．．．．,那么函数f(x)叫做偶函．．数．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．75 ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相76 反．77 ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个78 偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 79 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 80 〖2.1〗指数函数81 【2.1.1】指数与指数幂的运算 82 （1）根式的概念83 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次84 n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 负的n 次方根用符85号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．86 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；87 当n 为偶数时，0a ≥．88 ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，89 (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． 90（2）分数指数幂的概念91 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于92 0．93②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数94 指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 95 （3）分数指数幂的运算性质96 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ 97③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 98 【2.1.2】指数函数及其性质 99 （4）指数函数100101 〖2.2〗对数函数102 【2.2.1】对数与对数运算 103 （1）对数的定义104 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N105叫做真数． 106 ②负数和零没有对数．107 ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 108 （2）几个重要的对数恒等式109 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．110 （3）常用对数与自然对数111 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 112（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么113①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= 114③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =115⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a bN N b b a =>≠且 116【2.2.2】对数函数及其性质 117 （5）对数函数118(6)反函数的概念119 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果120 对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式121 子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯122 上改写成1()y f x -=． 123 （7）反函数的求法124 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=； 125③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． 126 （8）反函数的性质127 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．128②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． 129③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． 130 ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 131 〖2.3〗幂函数 132 （1）幂函数的定义133一般地，函数y xα134=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象157 分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点158 对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．159 ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．160③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函161 数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．162④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中163 ,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则164 qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．165 ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，166 其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直167 线y x =下方．168 〖补充知识〗二次函数 169 （1）二次函数解析式的三种形式170 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：171 12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法172 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．173 ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． 174 ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． 175 （3）二次函数图象的性质176①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是177 24(,)24b ac b a a--． 178②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，179 2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，180当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．181③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点182 ********(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． 183（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布184 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但185 尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）186 的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．187 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从188以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函189 数值符号． 190 ①k ＜x 1≤x 2 ⇔191192 ②x 1≤x 2＜k ⇔193194 ③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0195196 ④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔ 197198199 ⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑200 f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合201202203⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 204 此结论可直接由⑤推出．205 （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值206 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．207 （Ⅰ）当0a >时（开口向上） 208 ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2b q a ->，则()m f q = 209210 211 212 213 214 215 216 217 ①若02b x a -≤，则()M f q =b ()f p 218 219 220 221 2222230x 0x225226 (Ⅱ)当0a <时(开口向下) 227 ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=- ③若2bq a ->，则()M f q = 228229 230 231 232 233 234235 236 237 ①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b xa->，则()m f p =．238 239 240 241 242 243244ff fx246 第三章 函数的应用247 一、方程的根与函数的零点248 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数249 ))((D x x f y ∈=的零点。
高中数学人教版必修一基本初等函数
必修1 第二章基本初等函数2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算：①我们已经知道了指数幂的运算关系为，422=、823=、4121222-==、aa-21a 2=为正整数）（等； ②根式：如果a x 2=，那么x 叫做a 的平方根，例如±2就是4的平方根；如果3x =a ，那么x 叫做a 的立方根，例如2就是8的立方根； ③类似地，由于（±2）4=16，那么就把±2叫做16的四次方根；25=32，就把2叫做32的五次方根；④如果x n =a ，那么x 就叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n ∈N*(正整数)； 当n 为奇数时，正数的n 次方根为一个正数，负数的n 次方根为一个负数，此时a 的n 次方根用n a 表示，如2(325=（奇数）正数），2-(32-5=（奇数）负数）；当n 为偶数时，正数的n 次方根有2个，一正一负对称，而负数的无意义（因为没有一个数的偶次方结果还是负数）；例如16的4次方根为±2164±=.（0的任何次方都是0）⑤式子n a 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
所以a a nn =）（，例如5522=）（，3-3-55=）（ ⑥分数指数幂：如下例子2552510a a a ==）（、5335315a a a ==）（，通过以上例子我们在数学中推算出nmn ma a =（a>0，m ，n ∈N*，且n>1)此式为分子的指数幂关系。
所以如上面表示2133=。
❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀The stupid speak of the past, the wise of the present, and fools of the future！！⑦0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义；理解一下定理：⎪⎩⎪⎨⎧∈>>=∈>=∈>=⨯+),0,0()(3)),,0())(2(),,0()1(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a rr r rs s r s r s r （;(结合例题自己去验算）如：252212a aa a ==⨯+，352131021342342a a a a a a==⨯=）（）（无理数指数幂的解法：一般的，无理数指数幂n a （a>0,a 是无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
高中数学必修一必修二知识点总结
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U AA U =逻辑语言1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
高一必修一基本初等函数知识点总结归纳
高一必修一函数知识点（）〖〗指数函数（1）根式的概念n叫做根指数，a叫做被开方数．②当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．③根式的性质：n a=；当n为奇数时，a=；当n为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈（4）指数函数例：比较〖〗对数函数（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（3）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-=③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6) 反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=； ③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=即，若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题一、函数奇偶性的概念：①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。
高中数学必修1知识点总结：第二章 基本初等函数
高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N，即log eN （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a an M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．(图象关．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a>时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a<时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a=-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =02a )q()f p) ②若③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．xxxx xxfx。
(2020-1-8)高中数学必修1第二章-基本初等函数告知知识点小结
下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． y 3x
B． y x
C． y 3 x
D． y x0
幂函数的图像过点
2,
1 4
，则它的单调递增区间是（
）
A． (0, )
B．[0, )
C． (, 0)
D． (, )
B
在 y 2 x , y log 2 x, y x 2 , 这三个函数中，
方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 n a 表示.
(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反
数，这时，正数的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次 方根用符号 n a表示.正负两个n次方根可以合写为 n a
(a＞0)
(3) n a n a (4)当n为奇数时，n a n a ；当n为偶数时，
1
y=x3 y x 2
y=x-1
R [0,+∞) {x|x≠0}
R [0,+∞) {y|y≠Leabharlann }奇 非奇非偶 奇增
(0,+∞)减
增
(-∞，0)减
(1,1)
图 2.3-1 是幂函数 y x 在第一象限的图像，
已知 取 2, 1 四个值， 则相应于曲线 2
C1, C2 , C3, C4 的 的值依次是_______________．
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二次函数 y ax2 bx c
1、定义域 2、值域 3、单调性
4、图象
a>0
a<0
R
4ac b2
[
, )
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结计划
第二章根本初等函数知识点整理 〖〗指数函数指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念,, x,1 n N x an n ann a①如果，且 ，那么 叫做 的 次方根．当 是奇数时， 的 次方根用符号表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号 n a 表示，负的n 次方根用符号 na 表示；0 的n 次方根是 0；负 数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当 n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，a 0．③根式的性质：(na)n a ；当n 为奇数时，na n a ；当n 为偶数时， n a n |a| a (a 0) ．a (a 0)〔2〕分数指数幂的概念a m n a m ( a mn N n 1)①正数的正分数指数幂的意义是： n0, ,且 ．0的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数 ,m m n (1)m (a指数幂的意义是： a n (1)n 0,m,n N,且n 1)．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底a a数取倒数，指数取相反数．〔3〕分数指数幂的运算性质①a r a s a rs(a0,r,sR)②(a r )s a rs(a0,r,sR)③(ab)ra rb r(a0,b0,rR)指数函数及其性质〔4〕指数函数函数名称指数函数定义函数y a x(a0且a 1)叫做指数函数a 10 a1yya xya x y图象 y1y1 (0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域 〔0,+∞〕过定点 图象过定点〔0,1〕，即当x=0时，y=1． 奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数的y＞1(x＜0),y=1(x=0),0＜y＜1(x＞0) y＞1(x＞0),y=1(x=0),0＜y＜1(x＜0)化情况a化a越大象越高，越靠近y；在第一象限内，a越小象越高，越靠近y；在第一象限内，象的影a越大象越低，越靠近x．在第二象限内，a越小象越低，越靠近x．在第二象限内，响〖〗对数函数【】对数与对数运算〔1〕数的定①假设a x N(a0,且a1)，x叫做以a底N的数，作xlog a N，其中a叫做底数，N叫做真数．②数和零没有数．③数式与指数式的互化：x log a Na x N(a0,a1,N0)．〔2〕几个重要的数恒等式:log a10，log a a1，log a a b b．〔3〕常用数与自然数：常用数：lgN，即log10N；自然数：lnN，即log e N〔其中e⋯〕．〔4〕数的运算性如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：log a Mlog a Nlog a(MN)M ②减法：log a Mlog a Nlog aN③数乘：nlog a M log a M n(n R)④a log a N N⑤lognnlog(0,)⑥底公式：logaN logb N且b1) b M n(b0,a b a Mb R log b a】对数函数及其性质5〕对数函数函数名称定义y图象O定义域值域过定点奇偶性单调性对数函数函数y log a x(a 0且a1)叫做对数函数a10a1 x1yx1log a x ylog a x y(1,0) (1,0)x O x(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数log a x0(x1)log a x0(x1)函数值的log a x0(x1)log a x0(x1)变化情况log a x0(0x1)log a x0(0x1) a变化对图在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴象的影响在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f1(y)，习惯上改写成y f1(x)．〔7〕反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f(x)中反解出x f1(y)；③将x f1(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域．〔8〕反函数的性质①原函数y f(x)与反函数y f 1x对称．(x)的图象关于直线y②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f1(x)的值域、定义域．③假设P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，那么P'(b,a)在反函数y f1(x)的图象上．④一般地，函数y f(x)要有反函数那么它必须为单调函数．〖〗幂函数〔1〕幂函数的定义一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．〔2〕幂函数的图象〔3〕幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，那么幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，那么幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q〔其中p,q互质，p和q Z〕，pq q假设p为奇数q为奇数时，那么y x p是奇函数，假设p为奇数q为偶数时，那么y x p是偶函数，假设p为偶数q为奇数时，q那么y x p是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数y x,x(0,)，当1时，假设0x1，其图象在直线yx下方，假设x1，其图象在直线yx 上方，当 1时，假设0 x 1，其图象在直线 y x 上方，假设x 1，其图象在直线 yx 下方．〖补充知识〗二次函数〔1〕二次函数解析式的三种形式①一般式： f(x) ax 2bx c(a0)②顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0)③两根式： f(x) a(x x 1)(x x 2)(a 0)2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常使用顶点式．③假设抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求f(x)更方便．〔3〕二次函数图象的性质①二次函数f(x)ax2bx c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,顶点坐标是( b,4acb 2 )2a2a 4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,b]上递减，在[b , )上递增，当xb 时，2a2a2af min (x)4acb 2；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,b]上递增，在[b , )上递减，当4a2a2axb 时，f max (x)4ac b 22a．4a③二次函数f(x)ax 2 bx c(a0)当b 2 4ac0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0),|M 1M 2||x 1x 2|．|a|〔4〕一元二次方程ax 2 bx c0(a 0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理〔韦达定理〕的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax 2bxc 0(a 0)的两实根为x 1,x 2，且x 1x 2．令f(x)ax 2bx c ，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：ab ③判别式：④端点函数值符号．②对称轴位置：x2a〔5〕二次函数f(x)ax 2bx c(a 0) 在闭区间[p,q]上的最值设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m ，令x 01 (pq)．2〔Ⅰ〕当a 0时〔开口向上〕①假设b p ，那么mf(p)②假设pb q，那么mf(b)③假设b q ，那么mf(q)2a2a2a2afff(q)(p)(q)OxOxfb )f((p)b)f(2a2abbf(p)①假设x 0，那么Mf(q)②x 0，那么M2a2aff(p)x (q)ggOxObff f(b ))(q)2af((p)2a(Ⅱ)当a0时(开口向下)①假设b p ，那么Mf(p)②假设pb q ，那么Mf(b )2a2a2af(b)f(b)2a2aff(p)(p)O xOxff(q)(q)bb①假设x 0，那么mf(q)②x 0，那么mf(p)．2a2af(bb)f f ( 2a )f2a(q)(p)x 0x 0gOgxOff(q)(p)f (p)Of f(b)2a(q)x③假设b q ，那么Mf(q)2abf f( 2a)(q)Of (p)xxx。
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高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符na 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a 0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．na 这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：)n na a =；当n n n a a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m naa a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O1y =定义域 R值域(0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．xyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关y ．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a>时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O•ab x 2-=0)(>k f kxy1x 2x O•ab x 2-=k<a 0)(<k②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O•ab x 2-=k 0)(>k fxy1x 2x O•ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O•kxy1x 2x O•k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1<k f 0)(2<k f a b x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =02b x a -≤()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2b p a -<，则()M f p =②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()mf p =．x>O-=f(p) f (q)()2b f a -x>O-=f (p)f (q)()2bf a -x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x >O -=f(p)f (q)()2b f a-0x x>O-=f(p) f (q) ()2b f a -0x x<O-=f (p)f(q)()2b f a -x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f(p)f (q)()2b f a-高考试题来源：/zyk/gkst/。