推荐学习年高中数学复习课一解三角形学案新人教A版必修
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
2021_2022学年高中数学第1章解三角形1.2第2课时角度问题课件新人教A版必修5
灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，
则灯塔 A 在灯塔 B 的( )
A．北偏东 5°
B．北偏西 10°
C．南偏东 5°
D．南偏西 10°
B [由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°.]
A [结合题图可知∠DAC＝β－α.
在△ACD中，由正弦定理得
sin D∠CDAC＝sAinCα，
∴AC＝sina
∠sinDαAC＝sin
a sin α （β－α）.
在Rt△ABC中，
AB＝AC
sin
β＝sian
sin αsin β （β－α）.]
您好，谢谢观看！
Thank you for watching !
思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出 BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD?
[解] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t，
在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2×( 3－ 1)×2×cos 120°＝6，
即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船．
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际 问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦 定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求 角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不 是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在0，π2上时，用正、 余弦定理皆可．
高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5
高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学复习课一解三角形新人教A版必修
学 习 资 料 汇编复习课(一) 解三角形其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选 A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π33．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．[考点精要] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sinA cosB .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cosA －sinB cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．解：(1)因为|m ＋n |＝3，所以|m ＋n |2＝3，即m 2＋n 2＋2m ·n ＝3.又因为m 2＝n 2＝1，所以m ·n ＝12，所以cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝12，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b ＋c ＝3a ，所以sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.所以sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32. 因为0<B <2π3，0<B ＋π6<5π6，所以B ＋π6＝π3或2π3，所以B ＝π6，C ＝π2或B ＝π2，C ＝π6，所以△ABC 为直角三角形．题以解答题为主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． (2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 故sin α的值为3314.[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，如图，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°， 所以∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30(m)．答案：303.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米． 在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米． 在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°， 则DC ＝BD 2＋BC 2＝200米，所以客车的速度v ＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， 又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°， 所以∠CEB ＝45°.在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212C ．28D ．6 3解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S△ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a2a 2＝72. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝58.因为a <b ，所以B 有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×398<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7.∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×85＝45， 所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.答案：7259．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb，则边c 的值为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B＝cb cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°，所以c ＝2 2.答案：2 210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53， 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的范围．解：(1)∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，金戈出品 ∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ， 即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B .又在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－cos 2A －12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋32sin 2A －32cos 2A ＝1＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3. ∵0<A <2π3，－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1＋3. 敬请批评指正。
高中数学第1章解三角形课件新人教A版必修5(2024)
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin C}$，解得$a = \frac{2\sqrt{6}}{3}, b = \sqrt{2}$。再根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$，代入已知条件可得$S = \frac{\sqrt{3} + 1}{3}$。
例2
已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的 点，且AD/AB=AE/AC，求证： △ADE∽△ABC。
例3
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， 若AD=3，BD=4，求CD的长。
28
06
2024/1/28
三角函数在解三角形中的应用
29
三角函数基本概念回顾
2024/1/28
角度与弧度的定义及转换 正弦、余弦、正切函数的定义域、值域及 性质 诱导公式及周期性质 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
19
利用面积公式解决实际问题
2024/1/28
01
在测量工程中，经常需要计算不 规则地块的面积，可以通过测量 地块边界的长度，利用海伦公式 或向量叉积计算面积。
02
在建筑设计中，计算房间面积或 建筑物占地面积时，也可以利用 三角形面积公式进行计算。
20
面积公式在几何中的应用
在几何证明题中，有时需要计算某个 三角形的面积，以证明两个三角形面 积相等或成比例等关系。
解决几何问题中的最值问题
通过正弦定理可以解决一些几何问题中的最值问题，如求三角形中的最大角或最 小角等。
高中数学新人教版A版精品教案《解三角形（专题课）重难点教学方法设计》
解三角形（专题课）教学设计一、教材分析本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。
可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。
是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。
二、学情分析学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。
学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。
通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。
三、教学目标知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。
过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。
培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。
让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。
情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。
四、教学重难点重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。
难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理》优质课教案_2
§1.1.2余弦定理一、教学内容分析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。
第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。
本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。
正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。
余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。
纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。
在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。
1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。
“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。
”从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。
旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。
基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。
新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。
在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。
人教A版高中数学必修5《一章解三角形复习参考题》优质课教案_28
1 , 公比为 b ,
复习错位相减 法求和的步骤， 并总 结几个 易 错的地方。
（Ⅱ）当 b
2 时， an
(b 1)b n 1
2n
1
,
bn
n1 4 an
n1 4 2n 1
n1 2n 1
则 Tn
相减 ,得
1 Tn 2 1 Tn 2
所以 Tn
23 4 22 23 24
2 34 23 24 25
2111 22 23 2 4 25
（2n
+1)
2
=1
1
1
=
(1-
1
)，
1 4 n(n+1) 4 n n+1
所以 Tn = 1 (1- 1 + 1 1 + + 1 - 1 ) = 1 (1- 1 )= n ，
4 223
n n+1 4 n+1 4(n+1)
即数列 bn 的前 n 项和 Tn = n . 4(n+1)
课后 作业
完成直击高考环节剩下的 2 道题目，复习书上数列求和对应的作业 .
4an
解:（Ⅰ）因为对任意的 n N ,点 (n, Sn) ，均在函数 y bx r (b 0 且 b 1,b, r 均为常数 )的图像上 .所以得 Sn b n r ,
当 n 1 时, a1 S1 b r ,
当n
2 时 , an
Sn
Sn 1
bn r
(b n 1
r)
bn bn 1
(b
1)bn
1
,
又因为 { an } 为等比数列 , 所以 r 所以 an (b 1)b n 1
为 c ，且前 n 项和 Sn 满足 Sn － Sn 1 = Sn + Sn 1 （ n 2 ）.
新人教A版必修5期中复习(1)《解三角形》
高二数学期中复习（1）《解三角形》 选择题（每小题5分，满分60分）1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或1202.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =，2A B =，则c o s B =（ ）A.3B.4C.5D.63.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°4.不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A =,有两解B.30a =,25b =,150A =,有一解C.6a =,9b =,45A =,有两解D.9b =,10c =,60B =,无解 5. 已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为（ ）A ．15a <<B ．17a << C5a < D7a <<6.在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C =，则ABC ∆是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7. 在ABC ∆中，A ∠＝600，AB ＝2，且ABC S ∆=，则BC 边的长为（ ）AB ．3 CD ． 8.ABC ∆ 中,1,2==c a 则C 角的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛ππ,29. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A 13B 12C 34 D 010.如果满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k11.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（ ）A.)33B π++B.)36B π++C.6sin()33B π++ D.6sin()36B π++12．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a二、填空题(每小题4分，满分16分)13、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________14、在ABC ∆中，2,3,AB BC AC ===ABC ∆外接圆半径R = 15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,B =ABC ∆的面积为32，则b =____.16、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与 塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060, 则塔高AB= 米。
新人教A版必修5高中数学第一章解三角形学案
高中数学 第一章 解三角形学案新人教A 版必修5学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．学法重难点测量距离的实际应用一：知识链接（本课时的主要知识展示）问题1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形； ②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角； ②知道两边及这两边的夹角解三角形．问题2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．二：试一试（课前演练）练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变.则斜坡长变为___ ．新课探究探究1 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小 及△ABC 最短边的长．探究2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30， 相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到1）？探究3 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值．※ 模仿练习 练1. 练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，北 20 10 A B • •C 30°60°B C 北海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．练2. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是： =()()()abcR p p a p b p c --- ( 内切圆半径 ()()()S p a p b p c r p p---==) 当堂检测A 级：1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）. A ．9 B ．18 C ．93 D ．1832.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的B 级：4. 在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3C =，求ABC S ∆；5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，求A 。
高中数学 第一章 解三角形教学设计 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案
（新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 本章我们共学习了哪些内容？ 生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和类型（3）在有解时只有一解，R CcB b A a 2sin sin sin === 一边（4）已知两边及其中一边的对角类型（4）可有解、一解和无解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C (5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan 12tan2tan 2-=-=-=C CC ． 师 思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？ 生 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式． 生 还有余切的二倍角公式． 师 你能总结这类题目的解题思路吗？生 拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口． 师 对，你讲得很好．生 正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】 将一块圆心角为120°，半径为20 c m 的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值. 师 本题是应用题，怎么处理？生 由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论. 解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设∠M OA =θ，则|MP|=20sinθ,|OP |=20co sθ, 从而S=400sinθco sθ=200sin2θ， 即当4πθ=时，S m a x =200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ 与弦AB 平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q 中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin 2340120sin sin 20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到0.1°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为104.5°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为104.5°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．8.2C ．10.3D ．9.83.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） A.d 1＞d 2B.d 1=d 2C.d 1＜d 2D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：1.C 2.D 3.C 4.等腰5.70°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值X 围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。
高中数学 第1章《解三角形》函数的单调性问题教案 新人教A版必修5
湖北省浠水县团陂高级中学高中数学 第1章《解三角形》函数的单调性问题教案 新人教A 版必修5一、教学目的理解函数单调性的概念，既要从函数图象上直观理解函数的增减性，更要从数学本质上理解即从函数表达式中去体现 ，并能运用函数单调性的几个等价关系解决相应的数学问题。
1．以（1）函数()x f 在定义域D 上单调递增；（2）任意12,x x D ∈且12x x <；（3）12()()f x f x <三个论断中的任何两个作为条件，都能推出第三结论。
递减函数类似得出。
2．函数单调性的的等价表达式：()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦或()()12120f x f x x x ->-； 3．函数单调性问题往往会与函数的奇偶性及周期性相结合。
4．掌握导函数在研究函数单调性时的方法。
二、举例分析思路分析：因为()()x f x f ->-312且()x f 是偶函数，得()()213fx f x ->-；由()x f 在[)+∞,0递增可得213x x ->-，从而得到结论。
例2．已知函数()228,2231,2mx m x f x x mx m x -+≤⎧=⎨++->⎩在区间(),-∞+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是 。
选题目的：指导学生如何研究分段函数的单调性；思路分析：()8g x mx m =-+在(],2-∞上单调递增，即0m ->，得0m <；()2231h x x mx m =++-在()2,+∞上单调递增，则222m -≤，得2m ≥-； 又由()()22g h ≤即484431m m m m -+≤++-，得1m ≥-；综上述得：10m -≤<例3．设2()12f x x kx k =-++，若函数()f x 在区间(0,1)上不单调，求k 的取值范围。
选题目的：研究函数在区间上不单调的一些特点，是为了更好的理解函数单调性的特征。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(二)学案新人教A版必修5(2021学年)
2018版高中数学第一章解三角形1.1.2 余弦定理(二)学案新人教A版必修5编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2018版高中数学第一章解三角形１．１．２余弦定理（二）学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1．2 余弦定理（二)［学习目标］ 1。
熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形。
2。
能应用余弦定理判断三角形形状.３。
能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1.ａ２=b2＋c2-２bc cos__A，b２＝ｃ2+ａ2－2ｃa cos_＿B，c２=ａ2+b2－2aｂcos＿＿C．2.cos A=错误!,ｃos B＝错误!,coｓC＝错误!.３．在△AＢC中,ｃ２=a2＋ｂ2⇔C为直角,ｃ2＞a2＋ｂ2⇔Ｃ为钝角;c2＜a2+ｂ2⇔C为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是＿＿＿___＿＿.（1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；（3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形;（４）已知一个三角形的三条边,解三角形.答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△AＢC中,cｏs２错误!＝错误!,其中a,b，c分别是角A，B，C的对边，则△ＡBＣ的形状为（ )A.直角三角形B．等腰三角形或直角三角形Ｃ．等腰直角三角形D．正三角形答案 A解析方法一在△ABC中，由已知得＼f(1＋ｃoｓＢ,2)=＼f(１，2）+错误!，∴cｏｓB=ac=错误!,化简得c２=a2+ｂ2。
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推荐学习年高中数学复习课一解三角形学案新人教A版必修————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:复习课(一）解三角形利用正、余弦定理解三角形对于解三角形的考查,命题多利用正、余弦定理，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主,以解三角形与三角函数的结合为命题热点,试题多以大题的形式出现，难度中等.错误!解三角形的常见类型及方法(１)已知三边：先由余弦定理求出两个角,再由A＋B＋C=π,求第三个角．(２)已知两边及其中一边的对角:先用正弦定理求出另一边的对角，再由A+Ｂ＋C＝π,求第三个角,最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角:先用余弦定理求出第三边,然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角.(4)已知两角及一边:先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．［典例] 设锐角△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,ｂ，c，且有a＝2ｂｓiｎA.(１）求B的大小；（2）若a=３3，ｃ＝5,求b.［解] (1）由ａ＝2b sin A，根据正弦定理得siｎＡ=２siｎB sin A，所以sin Ｂ＝错误!,由于△AＢC是锐角三角形，所以Ｂ＝错误!.（2)根据余弦定理，得ｂ２=a2＋c２-2ac cｏs B=27+25－4５=7，所以b=７.[类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时,一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化,而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．错误!1．在△ABC中，内角A，B,Ｃ的对边分别是a,b，ｃ，若ａ２-ｂ2＝错误!bc,ｓin C＝２错误!ｓi ｎ B ,则Ａ=( )A ．3０°B.6０°C ．120°ﻩＤ．１50°解析：选Ａ 由正弦定理可知c =２错误!b ，则ｃos Ａ＝错误!=错误!＝错误!＝错误!，所以Ａ＝３0°，故选A.2.在△ＡBC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ，c .已知A =错误!，a =1,b ＝错误!,则B ＝_____＿__.解析：依题意得，由正弦定理知:错误!＝错误!，sin B =错误!,又0<B <π,b >a ,可得B ＝π３或错误!．答案：错误!或错误!３．△ＡBC 的内角A ，Ｂ，C 所对的边分别为a ,b ，ｃ.(1)若a ，b ,c 成等差数列,证明:sin A +s ｉｎ C =2sin （Ａ+Ｃ)； (２）若ａ,b ,c 成等比数列,求c ｏs Ｂ的最小值. 解：（1）证明:∵a ，b ，c 成等差数列,∴ａ＋c =２b . 由正弦定理得ｓin A +sin Ｃ=２s ｉn B . ∵si ｎ B ＝ｓi ｎ[π－(A ＋Ｃ)］=sin(A ＋C ）, ∴sin Ａ＋ｓｉｎ C =2ｓin(A +C )． （2)∵a ，b ，c 成等比数列,∴b 2＝ac . 由余弦定理得 cos B ＝错误!=错误!≥错误!＝错误!，当且仅当ａ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为＼f(１，2).三角形形状的判定判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系,题型多为选择题、解答题,难度中等．错误!三角形中的常用结论(1）Ａ+B =π－C ,＼f(A +B,2)=＼f(π,2)－错误!.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(３）任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.[典例] 在△AB Ｃ中，a ,ｂ，ｃ分别表示三个内角A ,B ，C 的对边，如果（a 2＋b 2)sin(A -B ）=(a ２－b ２)·sｉn(A +B ),试判断该三角形的形状.［解] ∵（a 2+b 2)ｓin(A －B )=(a ２－b 2)·siｎ(Ａ+B )，∴a ２[ｓin(Ａ－B )-ｓｉn(Ａ+B )]=b 2[－ｓin(A ＋Ｂ)－sin(Ａ-B )],∴２a ２ｃｏs A sinＢ＝2b ２s ｉn Ａｃos B .由正弦定理得2si ｎ２A c ｏs ＡsinB ＝2ｓi ｎ2B ｓｉn Ａcos Ｂ， 即ｓi ｎ 2A ·sin Ａｓi ｎ B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0＜A <π,０<B <π,∴s ｉn ２A =ｓin ２B ,∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝Ｂ或A +B =π２．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． ［类题通法］根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．（2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化; ③通过三角变换找出角之间的关系;④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．错误!1．在△AB Ｃ中,内角A ，B ，C 所对的边长分别是ａ,ｂ，c .若ｃ－ａｃｏｓ B ＝(2ａ-ｂ)c ｏs A ,则△ABC 的形状为（ )Ａ．等腰三角形ﻩ B ．直角三角形 C.等腰直角三角形Ｄ．等腰或直角三角形解析:选Ｄ ∵c -a ｃos B ＝（２a －ｂ)co ｓ A ,Ｃ＝π-(A ＋Ｂ),∴由正弦定理得sinＣ-sin A cos Ｂ=２sin A cos Ａ－ｓin B ｃo ｓ A ,∴sin A cos B +cos Ａｓｉn B －ｓin A cos B ＝2s ｉn Ａｃos A -s ｉn B cos Ａ，∴ｃｏs A （sin Ｂ-s ｉn Ａ)=0,∴c ｏs A =0或ｓｉｎ B ＝sin A ，∴Ａ=错误!或B =A 或B ＝π－A (舍去).故△ABC 为直角三角形或等腰三角形.2.在△ABC 中，已知3b =2＼r(3)ａｓin B ,且A ,Ｂ,C 成等差数列，则△ＡB Ｃ的形状为（ )A.直角三角形B.等腰三角形 Ｃ．等边三角形D.等腰直角三角形解析:选C ∵A ,B ,Ｃ成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π,解得B ＝错误!．∵3b＝２３ａsin Ｂ，∴根据正弦定理得3sin B ＝２3si ｎ A ｓin B ．∵si ｎ B ≠0，∴3＝２＼ｒ(3)s ｉn A ，即sin A =＼f(3,2),即A =π3或＼f （２π,3)，当A ＝＼ｆ（２π,3)时,A +B ＝π不满足条件.∴A ＝错误!，C =错误!.故A ＝Ｂ=C ,即△ABC 的形状为等边三角形．３.在△ABC 中，角A ，B ,Ｃ的对边分别为a ,b ，c ，已知向量m ＝错误!,n ＝错误!,且满足|ｍ+n |＝３．(1)求角Ａ的大小；（２）若b +c =３a ，试判断△ABC 的形状.解：(１)因为|m ＋ｎ|=3，所以｜m ＋n ｜2＝3，即m ２＋n 2+2ｍ·n ＝3.又因为m 2=n 2=1,所以m ·n ＝1２，所以co ｓ错误!c ｏs 错误!+sin 错误!s ｉn 错误!＝12，所以cos A ＝错误!,又0<A <π,所以A ＝错误!.(2)因为b +c =错误!a ，所以ｓin B +sin C =错误!sin A =错误!.所以sin B ＋ｓi ｎ错误!＝错误!,化简得sin错误!=错误!.因为０<Ｂ<错误!,0<B ＋错误!<错误!,所以B ＋＼ｆ(π，6)=错误!或错误!,所以B =错误!，Ｃ＝错误!或B ＝错误!,Ｃ=错误!，所以△ＡBC 为直角三角形．正、余弦定理的实际应用正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题,试题以解答题为主，难度一般．错误!(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．（2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置． [典例] 如图,渔船甲位于岛屿A 的南偏西６0°方向的B 处,且与岛屿Ａ相距12海里，渔船乙以1０海里／小时的速度从岛屿Ａ出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上．(1）求渔船甲的速度； (2)求s ｉn α的值．[解] （１)依题意,∠ＢAC =１２0°,ＡB ＝１2海里,AC ＝10×２＝20（海里)，∠ＢCA =α.在△ＡB Ｃ中,由余弦定理，得BC 2＝AB 2+AC 2－２AB ×AC ×cos ∠BA Ｃ=122＋202-2×12×20×cｏs 1２0°=7８4.解得ＢC =２８海里.∴渔船甲的速度为BC2＝1４（海里/小时）．(２)在△ＡB Ｃ中，ＡB ＝12海里，∠B ＡＣ＝１20°，BC =２8海里，∠BCA =α，由正弦定理，得错误!=错误!．即ｓin α=错误!=错误!＝错误!．故sin α的值为错误!.[类题通法］应用解三角形知识解决实际问题的步骤（1)读题．分析题意,准确理解题意,分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;（4）验证．检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍，得出正确答案．错误!1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,如图,在Ｃ点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶Ａ的仰角是30°，并测得水平面上的∠ＢCD=1２0°，CD=40 m，则电视塔的高度为( )A.１0错误!ｍB.20 mC．20错误! m D.40 ｍ解析:选D 设电视塔的高度为xｍ，则ＢC=ｘ,BD=错误!x.在△BCＤ中,根据余弦定理得3x2=x2+40２-2×4０x×ｃｏｓ１２0°,即x2-20ｘ-８0０＝0,解得x=４0或x＝-2０(舍去）.故电视塔的高度为4０ m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和3０°,且第一排和最后一排的距离为10错误! m，则旗杆的高度为_＿＿___＿_ｍ.解析：设旗杆高为h m,最后一排为点A，第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC=＼f（ｈ，sin 60°)=错误!h.在△ＡBC中,ＡB=1０＼r(6)，∠ＣAＢ=45°,∠ABC＝10５°,所以∠ACB＝3０°,由正弦定理，得错误!=错误!,故h=30（ｍ)．答案:30３.某高速公路旁边B处有一栋楼房,某人在距地面1００米的3２楼阳台Ａ处,用望远镜观测路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上,且俯角为３0°的C处，１0秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上,且俯角为４5°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速８0千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远?解:(１）在Ｒt△ABC中，∠BＡC=60°,AB=1０0米,则BC＝1０03米．在Rt△ＡＢD中，∠BAＤ＝４５°，AB＝100米,则BD=10０米．在△BＣD中，∠DBC=7５°+1５°＝90°，则DＣ=错误!＝200米，所以客车的速度ｖ=错误!=2０米/秒＝７２千米/小时，所以该客车没有超速.(2）在Ｒｔ△ＢCD中，∠ＢＣＤ＝30°，又因为∠ＤＢE＝１5°，所以∠CBＥ=１０５°，所以∠ＣＥB=45°.在△ＢCＥ中，由正弦定理可知错误!=错误!，所以ＥＢ＝错误!=50错误!米，即此时客车距楼房50错误!米.１.在△ABＣ中,若a＝7,b＝３，c=8,则其面积等于( )A.1２Ｂ.＼f(21,2）C.28 D．６ 3解析：选Ｄ由余弦定理得ｃｏｓＡ＝＼f(b2＋c2-a２,2bc)＝错误!=＼ｆ(１,２)，所以sin Ａ=错误!,则S△ＡＢC=错误!bｃsｉn A=错误!×3×8×＼r(3)2＝6＼ｒ(3).2．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a，b,c．若3a＝2b,则错误!的值为( )A.＼f（１,９)B.１３C.１ﻩ D．＼f(7，２)解析:选D由正弦定理可得2sin2B-sｉn２Aｓin２A=＼f(２b2-a２，a2）＝错误!=错误!.3.在△ABＣ中，已知AＢ＝２，BC=5,△ＡBC的面积为4,若∠ABC=θ,则coｓθ等于( ）Ａ.错误!ﻩ B.－错误!C.±错误!Ｄ．±错误!解析：选 C ∵S△ABC＝错误!AB·ＢC siｎ∠ＡＢC=错误!×2×5×sin θ＝4.∴sｉｎθ=错误!.又θ∈(0,π),∴cos θ＝±错误!=±错误!．4．某人从出发点Ａ向正东走x m后到B,向左转1５0°再向前走３ m到C,测得△ABC的面积为错误! m２,则此人这时离开出发点的距离为( )Ａ.3 m ﻩB.错误!ｍC．2错误! m Ｄ.错误!ｍ解析：选Ｄ在△ABＣ中,S=错误!AB×BＣsin B，∴错误!＝错误!×x×３×sin ３0°，∴x=错误!.由余弦定理，得AC＝＼r(AB2+BC2-2ＡB×BＣ×cｏs Ｂ)＝＼r（3＋9－9)＝3（m).5．在△ＡBC中,Ａ=６０°,AB=２,且△ＡBC的面积Ｓ△ABC=错误!，则边ＢＣ的边长为（）A.错误!Ｂ．3C.＼r（７）ﻩ D．7解析:选A ∵S△ＡBC＝错误!AB·AC sｉｎＡ＝错误!，∴AC＝1,由余弦定理可得BC2=AＢ2＋AＣ2-2ＡB·AＣcos A=4＋1－2×2×1×cos 60°＝3,即ＢC＝ 3.６．已知△ABＣ的内角A,B，C所对的边分别为ａ，ｂ，c，ａ＝80，b＝100,A＝3０°，则此三角形( )A.一定是锐角三角形B．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C.一定是钝角三角形D.一定是直角三角形解析：选C 由正弦定理错误!=错误!得错误!=错误!，所以sin B=＼ｆ（5,8).因为a＜b,所以B有两种可能：锐角或钝角．若Ｂ为锐角时, ｃos C＝-cos (A＋B)=sin A sin Ｂ-ｃoｓAｃoｓB=错误!×错误!-错误!×错误! <0，所以Ｃ为钝角,即△ＡBC为钝角三角形；若B为钝角时,则△AＢC是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形.故选C.７．在△ABC中,a=b＋2,ｂ=c+２，又知最大角的正弦等于＼ｆ(3，2），则三边长为_＿_＿＿___.解析:由题意知ａ边最大，sin Ａ=错误!,∴A=１20°，∴ａ2=ｂ2＋c2－2bc cos A．∴a2＝(a－2)2+(ａ-4）2＋(a－２)(a-４)．∴a2－９a＋14=0,解得a＝２(舍去)或ａ=7.∴b=a-2＝5，c=ｂ－２=3．答案:a＝７,b＝5，ｃ＝3８．在△ＡBC中，内角A，Ｂ，C所对的边分别为ａ,b,c.已知8b＝５ｃ，C＝2B,则cos Ｃ=_＿＿_____．解析:因为C=２B，所以ｓｉn C=sin ２B＝2siｎB·ｃos B,所以cos B=错误!＝c＝错误!×错误!=错误!,２b所以cos Ｃ＝2cos2B-1=2×错误!2-1＝错误!.答案：＼f（７,２５）9.在△ＡBC中,角A,Ｂ,C所对的边分别为a,b，c.已知a=2错误!，C=45°，1＋错误!＝错误!,则边c的值为＿_＿_＿_＿_．解析：由1＋＼f（ｔａn A,taｎＢ)=2cb,得1+ｓｉn Ａｃｏs ＢcoｓA sin B=siｎA cos B+cos Aｓin BcoｓAｓin B=＼f(sin A+B,cos A siｎB)=错误!=错误!＝错误!,所以coｓA=错误!，故Ａ=60°.由正弦定理得＼f(23）sin ６0°=＼ｆ(ｃ,ｓiｎ4５°),所以c＝2错误!.答案：2＼r(2)10.在△ABC中,内角A，B,C的对边分别为a，b，c.已知cｏs A＝错误!,sｉn B=＼r(5)cos C.（1)求taｎＣ的值；(2)若ａ＝错误!,求△AＢC的面积．解:（1）因为0＜A<π,cos A＝＼ｆ(２,３),所以sｉn Ａ=１－cos2A=错误!,又＼r(5)ｃos C=siｎB＝ｓin(Ａ+C)=sin Aｃos C+cos A sｉn Ｃ＝错误!ｃos C+＼ｆ(2，3)sin C，所以错误!cｏs Ｃ＝错误!sｉn C,ｔａn C=错误!．(２)由ｔan C＝5得ｓin Ｃ＝错误!,cｏｓC＝错误!,于是sin Ｂ=5cos C＝错误!.由a=２及正弦定理错误!＝错误!得c=错误!,所以△ABC的面积S△ABC＝12ac si ｎ Ｂ=错误!×错误!×错误!×错误!=错误!.11．如图，在△ABC 中,∠Ｂ=＼f(π,3),AB ＝8,点D 在B Ｃ边上，且CD＝2，co ｓ∠A ＤＣ=＼f(1,7).（1)求ｓin ∠B ＡD ；(２)求BD ,ＡＣ的长.解:(1)在△ＡDC 中,因为cos ∠A ＤＣ＝错误!,所以si ｎ∠ＡDC =错误!.所以si ｎ∠BA Ｄ＝sin(∠AD Ｃ－∠B ）＝ｓin ∠AD Ｃco ｓ B -ｃos ∠ＡDC sin Ｂ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!．(2）在△AB Ｄ中,由正弦定理得 BD ＝错误!=错误!＝3. 在△ABC 中,由余弦定理得A Ｃ2＝AB 2+BC 2－２A Ｂ·BC ·cｏs B=82+５２－2×8×5×错误!＝4９． 所以AC ＝7.1２.在△AB Ｃ中，A ，B ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，c 且a co ｓ C ,b c ｏs B ，c cos A 成等差数列.(1)求B 的值;(2)求２sin ２ Ａ＋co ｓ(A －Ｃ)的范围．解:(1)∵a ｃos C ，b cos B ,c ｃos A 成等差数列，∴a cos Ｃ＋c c ｏs A ＝2b ｃｏs B .由正弦定理，得s ｉn Ａｃo ｓ Ｃ+sin C ｃos A =2s ｉn Ｂｃos B ，即s ｉn （A ＋Ｃ)=s ｉn B =2sin B c ｏs B .又在△ＡBC 中，sin B ≠０，∴c ｏs B =１２. ∵0<B <π,∴Ｂ＝错误!.(2)∵Ｂ=＼ｆ(π，3)，∴A +C =2π3， ∴2s ｉn ２A ＋ｃos(A －C )＝1-co ｓ 2A +c ｏs 错误! =1－c ｏs 2A －＼f(1,2)ｃos 2A ＋＼ｆ(3，2)sin 2A ＝1+错误!s ｉn 2A -错误!cos 2A＝1+＼r(3)s ｉn错误!. ∵0<A <2π3，－π３<２A －＼ｆ(π,3）<π， ∴-错误!<sin 错误!≤1.∴2ｓin 2Ａ+cos(A -C ）的范围是错误!.。