第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数

α α α cos ＝－cos ，则角 属于 2 2 2
(2)设角α属于第三象限，且 ( )
A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
高考总复习•数学（文科） 解析：(1)由已知得，
解得α∈
.故选D.
(2)由α是第三象限角，得2kπ＋π＜α＜2kπ＋ (k∈Z)，则 kπ＋ ＜kπ＋ (k∈Z)．
由于k∈Z，从而k＝－2或k＝－1，
高考总复习•数学（文科） 代回得角β＝－675°或角β＝－315°. (2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z} 表示的是终 边落在四个象限的平分线上的角的集合，集合N ＝ {x|x ＝
(k ＋ 1)×45°， k∈Z} 表示终边落在坐标轴或四个象限平
的取值范围，再根据范围确定其所在象限．此外本题也可用 几何法来确定 ， 所在的象限．
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自主解答：
解析：(1)①因为角α是第二象限角， 所以k×360°＋90°<α<k×360°＋180°(k∈Z)，
则 k×180°＋45°< ＋90°(n∈Z), 可知
<k×180°＋90°(k∈Z)．
函数值sin α，cos α，tan α. (2)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为 射线4x＋3y＝0(x>0)，求sin α ＋cos2α的值．
解析：(1)因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)， 所以x＝a，y＝2a，r＝ ①当a>0时，sin α＝ cos α＝ ，tan α＝ =2 ； |a|. ，
分线上的角的集合，因此M 形式，应注意： N. 点评： 与角 α 终边相同的角可以表示为 β ＝ 2kπ ＋ α(k∈Z) 的
(1)α是任意角；
(2)相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等； (3)角度制与弧度制不能混用．
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变式探究
1．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表 示为( )
，
S扇＝ αR2＝ α2 当且仅当α＝
＝
，
时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最
大值为
.
高考总复习•数学（文科） 点评：(1)弧长公式l＝|α|R，面积公式S＝ lR＝ |α|R2，其
中α必须是弧度制单位，而S＝
lR类似于三角形的面积公式，
弧长相当于三角形的底、半径相当于三角形的高； (2)扇形的圆心角θ、半径R、弧长l、面积S之间有下列比例 关系： .
Ⅲ象限的符号所表示的区域即为 的终边所在的区域．
由图可知， 是第一或第三或第四象限角．
高考总复习•数学（文科） 点评：(1)已知角α的范围或所在的象限，求 所在的象限是
常考题型之一，一般解法有直接法和几何法．
若α是第k(k取1,2,3,4之一)象限的角，利用单位圆判断 (n∈N*)
是第几象限角的方法：把单位圆上每
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②当a<0时，sin α＝
cos α＝ 综上所述，sin α＝± ＝2. ，cos α＝± ，tan α＝2.
(2)在射线4x＋3y＝0上取一点P(3，－4)，则r＝5，依三角函数 的定义有sin α＝－ (法一)∴sin α = (法二)sin α ＝sin2α＋sin α· . ＋cos2α ＋cos2α＝1＋cos α＝ . ，cos α＝ ，tan α＝－ ，
个象限的圆弧n等分，并从x轴正半轴 开始，沿逆时针方向依次在每个区域 标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，
高考总复习•数学（文科） 则有标号k的区域就是角 (n∈N*)终边所在的范围．
如：k＝2，则角 是第一或第二或第四象限角．上图中标有
号码2的区域就是 终边所在位置．
(2) 确定角所在的象限是确定函数值符号的关键，故必
当k＝2n(n∈Z)时，θ在第一象限，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，θ在第三象限，
故θ在第一或第三象限．
(法三)若令θ＝ 代入sin θcos θ>0，可以验证知，
只有θ＝
，满足条件，所以θ在第一或第三象限．
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点评： (1) 单位圆中的三角函数线是实现数形结合的
重要工具，利用单位圆中的三角函数线可以研究同角三 角函数关系、诱导公式以及三角函数的图象，要注意三
A．2kπ＋β(k∈Z)
C．kπ＋β(k∈Z)
B．2kπ－β(k∈Z)
D．kπ－β(k∈Z)
解析： 因为角 α 和角 β 的终边关于 x 轴对称，所以 α ＋ β ＝2 kπ(k∈Z)．所以α＝2 kπ－β(k∈Z)． 答案：B
高考总复习•数学（文科） 象限角的确定 【例2】 (1)若角α是第二象限角，则：① 是第几象限角？ 是第几象限
高考总复习•数学（文科） 变式探究
3．已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，
该扇形的周长C有最小值？并求出最小值．
解析：因为S＝
R≥
Rl ， 所 以 Rl ＝ 2S ， 所 以 周 长 C ＝ l ＋ 2
， ， .
当且仅当l＝2 R时，C＝
所以当α＝ ＝2时，周长C有最小值
高考总复习•数学（文科） 利用定义求三角函数值 【例4】 (1) 已知角 α 的终边过点 (a,2a)(a≠0) ，求 α 的三角
，x＝－ ，
.
∴cosm＝－ 时，r＝2 ，x＝－ ，
∴cos α＝
，tan α＝
.
高考总复习•数学（文科） 根据三角函数值的符号确定角所处象限 取值范围 【例5】 若sin θcos θ>0，试确定角θ所在的象限． 思路点拨：(1)首先确定sin θ与cos θ的符号，再判断θ所 在的象限． (2)先化简关系式再确定θ的范围．
根据整数k的奇偶性可知， 是第二或第四象限角，再由cos
≤0可得，
只能是第二象限角．故选B.
答案：(1)D (2)B
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该
扇形的面积有最大值？并求出这个最大值． 解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， 因为α＝60°＝ ，R＝10 cm，所以l＝ cm，
S弓＝S扇－SΔ＝ ×10×
－ ×100×sin 60°＝50
cm2.
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(2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝
(3) 因判断 θ所在的象限，故本题可以用特殊值 ( 各个象
限各取一个)来判断．
高考总复习•数学（文科） 解析：(法一)由sin θcos θ>0知 由上可知θ在第一或第三象限． (法二)由 sin θcos θ>0有sin 2θ>0，即sin 2θ>0， 所以2kπ<2θ<2kπ＋π⇒kπ<θ<kπ＋ 或
须掌握已知角α的范围，求与α有运算关系的角的范围这一
类问题的解法．
高考总复习•数学（文科） 变式探究 2 ． (2014· 黑龙江双鸭山一中第一次月考 ) 若 α ＝ k· 180° ＋45°(k∈Z) ，则α的终边在( A．第一或第三象限 )
B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
高考总复习•数学（文科）
解析： k 为偶数时，角 α的终边在第一象限， k 为奇数时， 角α的终边在第三象限，故选A. 答案：A
高考总复习•数学（文科） 扇形弧长、面积的计算
【例3】 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓 形的面积；
高考总复习•数学（文科） 变式探究 4．已知角α的终边上一点P(－ cos α，tan α的值． 解析：由题设知x＝－ ，y＝m， ，m)(m≠0)，且sin α＝ ，求
∴r2＝|OP|2＝(－
sin α＝
)2＋m2(O为原点)，得r＝
，
.从而
∴r＝
当m＝ 时，r＝2
，于是3＋m2＝8，解得m＝±
高考总复习•数学（文科）
第三章
第一节 角的概念与弧度制及任意 角的三角函数
高考总复习•数学（文科）
终边相同的角的表示 【例1】 已知角α＝45°， (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α终边相同的角β.
(2)设集合M＝
，
N＝
，那么两集合的关系是什么？
高考总复习•数学（文科） 思路点拨：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先
<n×360°
当k是偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则n×360°＋45°<
在第一象限；
当k是奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则n×360°＋225°< <n×360°＋270°(n∈Z)，可知 综上所述，若角α是第二象限角，则 角． 在第三象限． 是第一象限角或第三象限
高考总复习•数学（文科） ②因为 2k×360°＋ 180°<2α<2k×360°＋ 360°，可知角 2α 的终边应在第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴上．
表示出所有与角α终边相同的角，然后列出一个关于k的不等
式，找出相应的整数k，代回求出所有角； (2)可对整数k的奇、偶数情况展开讨论． 自主解答： 解 析 ： (1) 所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 可 表 示 为 45° ＋ k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°， 解得－ ≤k≤－ ，
角？②2α是第几象限角？ (2)已知α是第三象限角，则
思路点拨：对于(1)，由角α是第二象限角，可得到角α的
范围，即 k×360°＋ 90°<α<k×360°＋ 180°(k∈Z) ，进而 可得到 ，2α的取值范围，再根据范围确定其象限；对于(2)，
同理由角 α 是第三象限角，可得到角 α 的范围，进而可得到