截长补短在几何中的应用(教师版)
第13讲.线段之截长补短Ⅰ(教师)
第十三讲.线段之截长补短Ⅰ【教学目标】1.学习基本的几何证明思路，并能寻找已知与求证之间的关系；2.培养观察能力，并能从动态图形中寻找线段间的和差关系；3.学习“截长”或“补短”的方法来进行求解线段之间的关系，并能进行简单的应用；4.培养处理动态几何的思维能力。
【知识、方法梳理】：一.截长补短解题法简介有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
二．几种截长补短解题法类型1.我们大致可把截长补短分为下面几种类型：±=类型①a b c±=类型②a b kc对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
±与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，对于②，可以将a b如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30o的直角三角形等。
2.截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……3.补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……【典例精讲】例1.如图，AD BC ∥，点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠，DCE BCE ∠=∠。
求证：CD AD BC =+。
【分析】：结论是CD AD BC =+，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF CB =，只要再证DF DA =即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
【证明】：在CD 上截取DF DA =，如图2。
(几何证明Ⅱ：倍长中线法及截长补短法专题C)(教师版)
学科教师辅导讲义 年 级： 科 目：数学 课时数：3课 题 几何证明教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题.教学内容【例题讲解】题型一：截长补短法【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明）ABDC【提示】截长补短，2种方法‘方法一：方法二：【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC ，∠B =60°.求证：∠ACB =90°.【提示】截长补短（两种方法）方法一：方法二：【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法.题型二：倍长中线法（一）求线段取值范围【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围.【提示】倍长中线（二）证明线段不等【例4】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．【提示】延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ．易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ．在△ACE 中，因为AC +EC ＞AE =2AD ，所以AB +AC ＞2AD ．（三）证明线段相等.求证：AC=BF. 【例5】已知：如图，AD为△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段.（如下题）【例6】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．【分析】可以把FE看作△FBC的一条中线．延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．由此得CH=CG．所以BF=CG．方法二：延长GE到H使得EH=EG（四）证明线段倍分【例7】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．CAD B E【分析】延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD（五）证明两直线垂直【例8】如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．FEB CDAMHG【分析】设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN．则由△FMN≌△HMA可得FN=AH=AC，FN//AH，所以∠AFN+∠F AH=180°．因为∠BAC+∠F AH=180°，所以∠AFN=∠BAC．又因为AF=AB，所以△AFN ≌△BAC，得∠1=∠2．因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．【借题发挥】1．已知：如图，DA⊥AC，FC⊥AC，ADB BDF∠=∠，CFB DFB∠=∠.求证：DF AD CF=+.【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：2．已知：如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，点P在DC边上，且AP AB CP=+.求证：2BAP BAM∠=∠.AD CBMP【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：3．已知：如图，C是AB的中点，点E在CD上，且AE BD=.求证：AEC BDC∠=∠.【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：+=. 4．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，作DH⊥BC于点H.求证：DC CH BH【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：【课堂总结】【课后作业】1．已知D为EC的中点，EF∥AB，且EF=AC，求证：AD平分∠BAC【提示】倍长中线法：延长FD至G，使FD=DG，联结CG2．已知如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB BD DC+=.求证:∠2B=∠C.【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：二、综合提高训练1．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。
“截长补短法”在一类几何证明题中的运用
“截长补短法”在一类几何证明题中的运用探究线段的和、差、倍、分是平面几何中常见的问题，“截长补短法”是解决这一类问题的一种常用的特殊方法，“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
例1 已知：△ABC是⊙O的内接等边三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC。
分析：直接证明PA=PB+PC，困难较大。
可用截长法：在PA上截取PD=PB，再证明PC=DA即可（或用补短法：在BP或CP上各补上与CP或BP相等的线段，再证明PA与这条线段相等）。
证明（截长法）：在PA上截取PD=PB，连接BD，∵△ABC是圆O的内接等边三角形，∴ BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵∠BPA=∠BCA，∴∠BPA=60°。
∴△BPD是等边三角形。
∴ BD=BP，∠DBP=60°。
∴∠ABD=∠CBP。
∴△ABD≌△CBP。
∴ PC=DA。
又∵ PA=PD+DA，∴ PA=PB+PC。
证明（补短法）：延长BP到D使PD=PC，连接CD，∵△ABC是圆内接等边三角形，∴ AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵∠BPA=∠BCA，∠ABC=∠APC，∴∠BPA=60°=∠APC。
∴∠CPD=60°。
∴△CPD是等边三角形。
∴ CD=CP ∠DCP=60°。
∴∠ACP=∠BCD。
∴△ACP≌△BCD。
∴ PA=BA。
又∵ BD=PD+BP，∴ PA=PB+PC。
例2 已知：四边形ABCD是☉O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+■PB。
分析一：要证明PA=PC+■PB，我们可以在PA上取AD=PC，连接BD，再想办法证明PD=■PB，问题可以解决。
证明：在AP上截取AE=PC，连接BE。
∵四边形ABCD是圆内接正方形，∴ AB=CB，∠BPA=45°。
截长补短法(初中数学经典例题和方法选讲)
变式练习
练习3.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC， ∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD．
A D
B
C
变式练习
练习4.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°
求证：AE=AD+BE．
C
D
A
EB
变式练习
练习5.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD， 点E为AB上一点，点F为AD上一点，∠BCD=2∠ECF， 求证：EF=BE+DF
证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F． ∵CE⊥BD∴∠BEF=∠BEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠CAF=∠BAD=90°
∵∠3=∠4∴∠1=∠5
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF∵BE平分 ∠ABC∴∠1=∠2 在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC（ASA） ∴EF=EC∴2CE=CF ∴2CE=BD
变式练习
练习7.如图所示，在D ABC是边长为1的正三角形，DBDC 是顶角为120°的等腰三角形， Ð MDN=60°，点M、N分 别在AB、AC上，求的DAMN的周长。
典型例题
例4.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平
分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：2CE=BD
分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起， 让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此 题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且 PD⊥BC∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)13 全等模型-倍长中线与截长补短模型(教师版)
专题13全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE .若连结BE ，则BDE CDA ；若连结EC ，则ABD ECD ；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC ，连结AF ，则BCE ACF ;若延长DC 至点G ，使得CG DC ，连结BG ，则ACD BCG .3、中点+平行线型：如图3,//AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF .例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若8AB ，5AC ，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF ；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，180B D ，CB CD ，100BCD ，以C 为顶点作一个50 的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．同（1）可得出CF BM ，∵,FD MD FD DE ∴EF EMEF ；（3）EF BE DF ，理由如下：延长AB 至N ，使BN=DF ，连接CN ，∵180,180ABC D ABC NBC ∴NBC D∴NBC FDC ∴,CF CN NCB FCD∵100,50BCD FCE ∴50ECN ECF∴NCE FCE （SAS ）∴EN EF∴EF EN BE BN BE DF ∴EF BE DF ．【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC 中，若AB =5，AC =3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 干E ，交AD 于F ，且AE =EF ．请判昕AC 与BF 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC =BF ，理由见解析【解析】（1）解：如图，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中∵AD DE ADC EDB CD DB，∴△ADC ≌△EDB （SAS ）．∴BE =AC =3．∵AB -BE <AE <AB +BE ∵2<AE <8．∵AE =2AD ∴1<AD <4．（2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，在△ADC和△GDB中，AD DGADC GDBBD CD，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF DE，连接CF，证明ADE CFE≌，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD是ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE EF，求证：AC BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD FD，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD 的数量关系，并给出证明．【答案】（1）证明见解析；（2）2AD DF ，证明见解析【分析】(1)延长AD 至M ，使MD FD ，连接MC ，证明BDF CDM △≌△，结合等角对等边证明即可．(2)延长DF 至点M ，使DF FM ，连接BM 、AM ，证明(SAS)ABM ACD △≌△，△ABM 是等边三角形，代换后得证．【详解】（1）证明：延长AD 至M ，使MD FD ，连接MC ．在BDF 和CDM V 中，BD CD BDF CDM DF DM，∴BDF CDM △≌△，∴MC BF ，M BFM ，∵AE EF ，∴EAF EFA ，∵EFA BFM ，∴M MAC ，∴AC MC ，∴AC BF ．（2）线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF ．证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM ，连接BM 、AM ，如图2所示：∵点F 为BE 的中点，∴BF EF在BFM 和EFD △中，∵BF EF BFM EFD FM DF，∴(SAS)BFM EFD △≌△∴BM DE ，MBF DEF ，∴BM DE ∥∵线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ∴CD DE BM ，120 BDE ，∴18012060MBD∵ABC 是等边三角形∵AB AC ，60ABC ACB ，∴6060120ABM ABC MBD ∵180********ACD ACB ，∴ABM ACD在ABM 和ACD △中，∵AB AC ABM ACD BM CD，∴(SAS)ABM ACD △≌△∴AM AD ，BAM CAD ，∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ∴AMD 是等边三角形，∴2 AD DM DF ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；【答案】(1)见解析(2)线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明见解析；【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论．（2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论．（1）证明：如图，延长AD至M，使MD＝FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，∵BD CDBDF CDMDF DM，∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠MAC，∴AC＝MC，∴AC＝BF；（2）解：线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图所示：∵点F为BE的中点，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，∵BF EFBFM EFDFM DF，∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，∵AB ACABM ACDBM CD，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等边三角形，∴AD＝DM＝2DF；【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上，综合运用相关知识是解题的关键．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
中考数学几何模型之截长补短模型(解析版)
中考数学几何模型之截长补短模型(解析版)中考数学几何模型：截长补短模型名师点睛有一类几何题，主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目可以采取“截长”或“补短”的方法来求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的题目采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
典题探究例题1：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上。
求证：（1）BE⊥CE；（2）XXX。
解答：1）因为BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，所以∠1=∠2，∠3=∠4.又因为AB∥CD，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，因此∠2+∠3=90°，所以∠BEC=90°，因此BE⊥CE。
2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF。
在△ABE和△FBE中，因为∠A=∠5，而且AB∥CD，所以∠A+∠D=180°，因此∠5+∠D=180°。
又因为∠5+∠6=180°，所以∠6=∠D。
因此△ABE≌△FBE（SAS）。
在△CDE和△CFE中，因此CF=CD。
因为BC=BF+CF，所以XXX。
因此△CDE≌△CFE（AAS）。
例题2：已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O。
试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由。
解答：在BC上取点G使得CG=CD。
因为∠BOC=180°−（∠ABC+∠ACB）=180°−（180°−60°）=120°，所以∠BOE=∠COD=60°。
因为在△COD和△COG中，所以△COD≌△COG（SAS）。
人教版初中数学 小专题 截长补短、倍长中线法构造全等三角形(等腰)
1、已知：如图，在ABC 中，AB AC ，D、E在BC上，
且DE=EC，过D作
交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分
7．已知：如图，AD，AE 分别是△ ABC 和△ ABD 的中线，且 BA＝BD.求证：AE＝12AC.
证明：延长 AE 至 F，使 EF＝AE，连接 DF. ∵AE 是△ABD 的中线，∴BE＝DE. ∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝ DF. ∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF. ∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF ＝∠ADC. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD. ∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即 AE＝12AC.
如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为 BC的中点，求证：DE＝2AM. 解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN， ∵点M为BC的中点，∴BM＝CM. 又∵∠BMN＝∠CMA， ∴△AMC≌△NMB(SAS)． ∴AC ＝ BN ， ∠ C ＝ ∠NBM ， ∠ ABN ＝ ∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. 又 ∵BN ＝ AC ＝ AD ， AB ＝ EA ， ∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA. 又AM＝MN，∴DE＝2AM.
小专题 截长补短、倍长中线法构造全等三角形
方法 利用“截长补短法”构造全等三角形 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是 把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段 ，补短就是在一条边上延长，使其等于一条已知边。 例1 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE
全等三角形辅助线 - 角平分线截长补短倍长中线三垂直半角模型-教师
全等三角形辅助线的作法一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC∆底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA知识精讲题模一：角平分线类例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ． ∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．例1.1.1-2如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，若E 在AD 上。
第3讲 截长补短 教师版
图 7-1
图 2
【解析】（1） AM MN CN ，理由如下： 在 AM 上截取 AH CN ，连接 EH， △ ABC 、 △DEF 均是等腰直角三角形，E 为 AB 中点， AE CE ， A NCE 45 ，
———让学习更有效！ 25
初中数学领先中考培优班 五边形 ABCDE 中，AB AE ，BC DE CD ，ABC AED 180 ．求证：AD 平分 CDE ．
【解析】延长 DE 至 F，使得 EF BC ，连接 AC，AF． ∵ ABC AED 180 ， AEF AED 180 ，∴ ABC AEF ， ∵ AB AE ， BC EF ，∴ △ABC ≌△AEF ，∴ AC AF ， ∵ BC DE CD ，∴ CD DE EF DF ， ∴ △ ADC ≌△ ADF ，∴ ADC ADF ，即 AD 平分 CDE ．
截长补短
第三讲 截长补短
1．截长补短指的是两种方法：截长法和补短法． （1）截长法：在**上，截取**＝**，连接**； （2）补短法：延长**到*，使**＝**，连接**． 2．目的：实现三条线段或者多条线段的关系到两条线段的关系转化，而全等是处理 两条线段关系的重要手段． 3．适用：这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 若题目条件或求证结论中含有“ a b c ”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长 补短”．
【教师备课提示】例 2——例 5 主要是想告诉学生们，当题目中出现线段的和差倍分时， 要选用截长补短的方法，但是不一定两种方法都可以，要尝试，一般用 补短的方法要多些．
如图， △ABC 是等边三角形， △BDC 是顶角 BDC 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作 一个 60 角，角的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于 N，连接 MN，求证： MN BM CN ．
数学的截长补短法
数学的截长补短法在数学的广阔领域中，解题策略多种多样，其中“截长补短法”以其灵活性和实用性在数学解题中占据了一席之地。
本文将详细阐述这一方法的基本原理、应用场景以及解题步骤，旨在帮助读者更深入地理解并掌握这一数学工具。
一、截长补短法的基本原理截长补短法，顾名思义，包含两个基本动作：“截”和“补”。
“截”指的是在复杂的数学问题中，通过截取一部分来简化问题，使之变得更容易处理；“补”则是在截取后，为了保持问题的完整性，对剩余部分进行适当的补充。
这两个动作相互配合，共同构成了截长补短法的基本框架。
在具体应用中，“截”和“补”的操作并非随意进行，而是需要遵循一定的原则。
首先，“截”的部分应该是问题中相对独立且易于处理的部分，这样才能确保截取后的问题能够得到有效的简化。
其次，“补”的部分应该与截取部分相互关联，且补充后的问题应该与原问题在本质上保持一致，这样才能确保解题的正确性。
二、截长补短法的应用场景截长补短法作为一种解题策略，可以广泛应用于数学的各个领域。
以下是一些典型的应用场景：1. 几何问题：在几何问题中，截长补短法常常用于处理复杂的图形。
例如，在面对一个复杂的几何图形时，我们可以通过截取其中的一部分来简化问题，然后再通过补充适当的辅助线或图形来恢复问题的完整性。
2. 代数问题：在代数问题中，截长补短法可以用于简化复杂的代数式。
例如，在面对一个包含多个项的代数式时，我们可以通过截取其中的一部分项来简化问题，然后再通过补充适当的项来保持等式的平衡。
3. 概率问题：在概率问题中，截长补短法可以用于处理复杂的概率事件。
例如，在面对一个包含多个独立事件的复杂概率问题时，我们可以通过截取其中的一部分事件来简化问题，然后再通过补充适当的事件来保持问题的完整性。
三、截长补短法的解题步骤虽然截长补短法在具体应用时需要根据问题的具体情况进行灵活调整，但其基本步骤可以归纳为以下几点：1. 分析问题：首先，我们需要对问题进行深入的分析，明确问题的主要难点和关键点。
截长补短(教案)
-例如：在截长补短后，引导学生利用几何定理和性质，简化计算过程，如应用勾股定理、相似三角形的性质等。
（4）培养学生在操作过程中的观察能力和空间想象力：学生在进行截长补短操作时，需要具备较强的观察能力和空间想象力。
五、教学反思
在本次截长补短的教学中，我发现学生们对这一概念的理解程度有所不同。有的学生能够迅速掌握截长补短的基本方法，并将其应用于解决实际问题；而有的学生则在理解和应用上存在一定困难。针对这种情况，我认为在今后的教学中需要注意以下几点：
1.加强直观教学：在讲授截长补短的过程中，应充分利用教具、实物等辅助手段，让学生更直观地感受图形的变换过程，帮助他们更好地理解截长补短的本质。
-例如：在操作过程中，鼓励学生仔细观察图形变化，培养空间想象力，以便更好地理解截长补短的方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分பைடு நூலகம்）
同学们，今天我们将要学习的是《截长补短》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个较大的物品分割成合适大小的情况？”（例如：将一张大纸剪裁成合适的尺寸）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索截长补短的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了截长补短的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对截长补短的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
专题：截长补短法-角平分线
13.13专题8.1：截长补短法-角平分线一．【知识要点】1.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法:有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
二．【经典例题】1．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．2.如图，∠A=60°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，求证：BD+CE=BC3.如图,△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线，点P是线段AD上异于A，D的任意一点,则AB+PC与AC+PB的大小关系是( )A. AB+PC>AC+PBB. AB+PC<AC+PBC.AB+PC=AC+PBD.不确定4.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D、E分别在CA的延长线和AC 的延长线上,AD=CE,F为BA延长线上的一点,且∠CFA=∠DFA,求证:DF十BE=CF.5.如图,△ABC中,∠BAC、∠BCA的平分线相交于点P,若∠CBA=40°,BC=AP+AC.（1）求∠PBC的度数;（2）求∠BCA的度数.三．【题库】【A】1.已知：AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC。
2.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE恰好平分∠ABC，判断AB的长与AD＋BC的大小关系并证明.3.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于D,求证:BC=CD +AB.【B】1.如图,已知△ABC中,∠A=60∘，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点，求证：BD+CE=BC.2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA. (1)求证：AE⊥BE:(2)求证：AB=AD+BC ；(3)若AE=4,BE=6,则四边形ABCD 的面积3.如图,在△ABC 中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD 是∠ABC 的平分线,延长BD 至E,使DE=AD,连 接EC,求证:BC=AB+CE.【C 】1.已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．2.如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.3.如图,在等腰Rt △ABC 中,AB=AC,过点C 作BC 的垂线CD,点E 为BC 上一点,且∠1=∠2,求证:BE+CD=DE.DOECBA【D】1.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。
几何证明的好方法——截长补短
几何证明的好方法——截长补短几何证明是数学中一种非常重要的方法，常用于证明几何定理和推导几何性质。
在证明过程中，使用截长补短的方法可以帮助我们更加简化和明确证明的步骤。
截长补短是一种证明方法，即通过添加或截取一些辅助线或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且使得证明更加直观和明了。
下面以几何证明中常见的一些问题为例，介绍截长补短的应用方法。
一、证明两线段相等当我们需要证明两条线段相等时，可以考虑添加一条辅助线段，从而将问题转化为两个三角形的相等性质。
具体步骤如下：1.观察题目中给出的线段，设需要证明的线段为AB和CD。
2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的线段相关的线段，设为EF。
3.添加辅助线段，连接AE和CF，构建出两个三角形，如△AEB和△CFD。
4.利用已知的几何定理或条件，证明两个三角形的相等性质，如SSS （边-边-边）相等性质或SAS（边-角-边）相等性质。
5.根据三角形的相等性质，得出AB=CD的结论。
通过添加辅助线段，将原来需要证明的问题转化为证明两个三角形的相等性质，更加直观和易于操作。
二、证明两角相等当我们需要证明两个角相等时，可以考虑添加一条辅助线段或辅助点，从而改变原有角的性质，并且使得证明更加明确和简洁。
具体步骤如下：1.观察题目中给出的角度，设需要证明的两个角为∠ABC和∠DEF。
2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的两个角相关的角，设为∠GHI。
3.添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质。
如我们可以添加辅助线段IJ，使得∠GHI=∠ABC。
4.利用已知的几何定理或条件，证明新构建的几何形状的一些性质。
如垂直角、平行线、共线等。
5.根据已知的性质和构建的几何形状，得出∠ABC=∠DEF的结论。
通过添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质，并利用已知的几何定理和条件，可以更加明确和简洁地证明两个角的相等性质。
三、证明两图形全等当我们需要证明两个图形相等时，可以考虑添加一些辅助线段或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且将问题转化为相似三角形或平行四边形的性质。
2018年初三中考专题复习几何问题之线段截长补短教案
2018年初三中考专题复习几何问题之线段截长补短教案一、教学目标1.掌握线段截长补短的基本概念和相关性质；2.能够熟练应用线段截长补短的方法解决几何问题；3.提高学生的逻辑推理和空间想象能力；4.培养学生的实际问题解决能力。
二、教学内容1.线段相等原理；2.线段截长补短问题；3.应用线段截长补短解决几何问题。
三、教学步骤与方法步骤一：引入在开始教学之前，教师可以通过展示一些生活中的实际例子，引导学生思考线段截长补短的问题。
例如，两个人约定在某个地点见面，但其中一个人迟到了，另一个人不想等待太久，可以通过线段截长补短的方法计算出来两人的见面点。
步骤二：线段相等原理1.教师通过讲解线段相等的定义，引导学生了解线段相等的概念；2.教师通过示例演示线段相等的判断方法，包括使用直尺量取线段长度和通过图形的位置关系判断等方法；3.学生进行练习，巩固线段相等的概念及判断方法。
步骤三：线段截长补短问题1.教师通过示例向学生介绍线段截长补短的概念；2.教师与学生一起探讨线段截长补短的性质，如截长补短后的两个线段是否相等等；3.学生进行练习，熟练掌握线段截长补短的方法。
步骤四：应用线段截长补短解决几何问题1.教师给出一些实际例子，引导学生运用线段截长补短的方法解决几何问题；2.学生在教师指导下，逐步解决几何问题，学会将抽象的几何问题转化为线段问题；3.学生独立解决几何问题，并与同学讨论解题思路和方法。
步骤五：总结与拓展1.教师与学生一起总结线段截长补短的概念和性质；2.提醒学生在日常生活中积极运用线段截长补短的方法解决实际问题；3.鼓励学生进一步拓展线段截长补短的应用，如三角形和四边形的线段截长补短等。
四、教学资源1.教师准备的黑板或白板；2.学生课本、练习册等。
五、教学评估1.教师根据学生理解情况和参与度进行教学评估；2.学生完成课堂练习和作业的情况进行教学评估；3.教师与学生共同评估教学效果，总结教学经验。
六、拓展与延伸线段截长补短作为几何学中重要的概念，对于学生的几何学习和实际问题解决能力的培养都非常重要。
几何证明的好方法——截长补短【范本模板】
几何证明的好方法—-截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短"的方法来进行求解.所谓“截长"，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
截长法:（1)过某一点作长边的垂线(2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等.……补短法（1）延长短边。
（2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型；类型①a±b=c类型②a±b=kc类型③±a b c类型④c²=a·b对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。
或者化为类型②证明。
对于②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。
对于类型③,一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。
实际上是求类型②中的k值。
对于类型④，将c²=a·b化为ca=bc的形式,然后通过相似三角形的比例关系进行证明。
在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。
例：B A在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG,GH，CH的数量关系方法一（好想不好证)B A方法二（好证不好想）B AM例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页）E（1)正方形ABCD中,点E在CD上，点F在BC上,∠EAF=45o.求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形ABCD中,点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。
讲义：截长补短法
F
A
B
D
C
E
变形 c 正 三 角 形 ABC 中 ， E 在 AB 上 ， F 在 AC 上 EDF=45 o 。 DB=DC， BDC=120 o 。请问现在 EF、BE、CF 又有什么数量关系？
A
E B
F jC
D
变形 d
正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，点 F 在 BC 上， EAD=15 o ， FAB=30 o 。
A
D
E
一个三角形有一个角为 30°，那么说这个角的对边等于邻边的一半就是错误的。 ②在证题时，如果只知道一个三角形中的一角所对的边等于另一边的一半，那么 说这个角等于 30°，这得三角形是直角三角形也是错误的。
3. 等边三角形的判定方法 （1）运用定义：三条边相等 （2）三个角相等 （3）有一个角是 60°的等腰三角形
二、善于总结解题规律 规律 1：经过等腰三角形一腰上的点作底边平行线分得三角形 ADE 为
等腰三角形。经过等腰三角形腰上一点作另一腰的平行线分得△BDF 为等腰三 角形。如图所示，AB=AC，DE//BC，则△ADE 为等腰三角形。DF//AC，则△BDF 为等腰三角形。
规律 2：将图中的等腰三角形换成等边三角形，则△ADE、△BDF 均为等 边三角形。
截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量 关系。
截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边 相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……
例 1：在正方形 ABCD 中，DE=DF，DG CE，交 CA 于 G，GH AF，交 AD
倍长中线与截长补短.提高班.教师版
【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ． 则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．例题精讲思路导航2倍长中线 与截长补短题型一：倍长中线EAB C DAB CD【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ． 【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中AE BE AEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．典题精练ABE DC B A FCA EB DNM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD =∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．GFEDCBA FE D C BANABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ，∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS)易证△PCN 为等腰直角三角形，又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．思路导航例题精讲题型二：截长补短。
谈谈“截长补短”在几何证明中的运用
谈谈“截长补短”在几何证明中的运用作者：冯军来源：《新一代》2009年第09期摘要:几何证明题是数学试题中必不可少的题型,其数量成千上万,但不少题目之间还是存在一定的方法和技巧可以运用的,其中“截长补短”就是一种非常重要的几何证明手段。
关键词:几何证明;截长补短中图分类号:G622 文献标识码:A文章编号: 1003-2851(2009)09-0066-01几何证明题是数学试题中必不可少的题型,其数量成千上万,但不少题目之间还是存在一定的方法和技巧可以运用的,其中“截长补短”就是一种非常重要的几何证明手段。
例1:如图,已知:AP是△ABC的∠BAC的平分线,AB+BP=AC.求证:∠B=2∠C.分析一:在条件AB+BP=AC中,AC被称为长线段,可在AC上截取AD=AB,这就叫做截长,截长后可以得到两组相等线段,AD=AB和PB=DC,它们可作为条件使用。
证明:在AC上截取AD=AB则PB=DC.∵AP平分∠BAC , ∴∠BAP=∠DAP.又∵AB=AD, AP公用,∴△ABP≌△ADP. ∴PB=PD. ∠B=∠ADP=∠DPC+∠C.∴PD=DC.∴∠DPC=∠C.∴∠B=2∠C.分析二:在条件AB+BP=AC中,AB和BP被称为短线段可以拼接在一起,延长AB到E使BE=BP,这就叫补短,补短后可得两组相等的线段,BE=BP和AE=AC,可以作为条件使用。
证明:延长AB使BE=BP.则可得:AE=AB+BE=AB+BP=AC和∠E=∠BPE.∵AP平分∠BAC,∴∠EAP=∠CAP, AP公用, ∴△EAP≌△CAP.∴∠E=∠C. 而∠ABC=∠E+∠BPE, ∴∠ABC=2∠E=2∠C.互换上题中的条件AB+BP=AC和结论∠B=2∠C得一条新题。
例2:如图,已知:AP是△ABC的∠BAC的平分线,∠B=2∠C.求证:AB+BP=AC.分析一:在AC上截取AD=AB,截长后得AD=AB,可以作为条件使用,由于AB+BP=AC是需要证明的结论,所以还需要证到BP=DC,可以先证明△ABP≌△ADP得∠ADP=∠B和BP=DP,再用∠B=2∠C和∠ADP=∠C+∠DPC,得∠C+∠DPC=2∠C,得∠DPC=∠C,再得DP =DC,从而证到AB+BP=AC,证明略。
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截长补短在几何中的应用
证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。
（截长法） 例1. 已知：如图6所示在∆ABC 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。
求证：AC ＝AE ＋CD
图6
B C
A
E
D
F O
14
23
5
6
分析：在AC 上截取AF ＝AE 。
易知∆∆AEO AFO ≅，∴∠=∠12。
由∠=︒B 60，知
∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，。
∴∠=∠=∠=∠=︒
123460，得：
∆∆FOC DOC FC DC ≅∴=，
证明：在AC 上截取AF ＝AE
()
∠=∠=∴≅∴∠=∠BAD CAD AO AO
AEO AFO SAS ，∆∆42
又∠=︒B 60
∴∠+∠=︒∴∠=︒
∴∠+∠=︒
∴∠=∠=∠=∠=︒∴≅∴=566016023120123460∆∆FOC DOC AAS FC DC
()
即AC AE CD =+
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。
（补短法）
例2. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒EAF 45。
求证：EF ＝BE ＋DF
G B E C
A
F
D
12
3图7
分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。
不妨延长CB 至G ，使BG ＝DF 。
证明：延长CB 至G ，使BG ＝DF
在正方形ABCD 中，∠=∠=︒=ABG D AB AD 90，
∴≅∴=∠=∠∆∆ABG ADF SAS AG AF ()，13
又∠=︒EAF 45
∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒23452145
即∠GAE ＝∠FAE ∴=∴=+GE EF
EF BE DF
【实战模拟】
1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有
AC AD CE ==。
求证：DE CD =
1
2
C
图11
A
B
D E
2. 已知：如图12所示，在∆ABC 中，∠=∠A B 2，CD 是∠C 的平分线。
求证：BC ＝AC ＋AD
A C
B
D
图12
3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。
设M 为BC 的中点。
求证：MP ＝MQ
B
P M
Q C
A 图13
【试题答案】
1. 证明：取CD 的中点F ，连结AF
3E
A D
41
C
B
F
AC AD
AF CD
AFC CDE =∴⊥∴∠=∠=︒
90
又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，
∴∠=∠=∴≅∴=∴=
4312
AC CE
ACF CED ASA CF ED DE CD ∆∆()
2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。
“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。
B D
C
A E
证明：延长CA 至E ，使CE ＝CB ，连结ED 在∆CBD 和∆CED 中，
CB CE
BCD ECD CD CD CBD CED
B E
BAC B BAC E
=∠=∠=⎧⎨⎪
⎩
⎪∴≅∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∆∆22
又∠=∠+∠BAC ADE E
∴∠=∠∴=∴==+=+ADE E AD AE BC CE AC AE AC AD
，
3. 证明：延长PM 交CQ 于R
A
D
B
C
E
图2-1
Q P B
M
C
A R
CQ AP BP AP
BP CQ
PBM RCM
⊥⊥∴∴∠=∠，//
又BM CM BMP CMR =∠=∠，
∴≅∴=∆∆BPM CRM PM RM
∴QM 是Rt QPR ∆斜边上的中线 ∴=MP MQ
例1. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
求证：CD =AD +BC .
分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2 在△FCE 与△BCE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.
又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，
A
D B C
E
F
1
23
4图2-2
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE
DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .
例2. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .
证明：方法一（补短法）
延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2
∴∠ACB ＝2∠E ，
∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）
在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD .
D
C
B A 12
图4-1
E
D
C
B
A
12
图4-2
F
D
C
B A 12
图4-3
又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.
上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。
让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。