历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=121d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (uuu u u u u u u uv v u u v u u u uu⎰-=12d 1u uu（*）令u t-=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y xz 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解:因平面022=-+z y x的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y xz 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y xz 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy ________________.解:方程29ln )(yy f e xe=的两边对x 求导，得 29ln )()()(y e e y y f x eyy f y f '=''+ 因)(29ln y f yxee=，故y y y f x'=''+)(1，即))(1(1y f x y '-='，因此2222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y xy '-'''+'--=''=322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''=二、（5分）求极限x enxxxx ne ee )(lim20+++→ ，其中n 是给定的正整数.解:因x enxxxx x enxxx x nne e e ne ee )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→故nxne ee e xen n e e e A nxxxx nxxx x -+++=-+++=→→ 2020limlime n nnenne e e e nxxxx 21212lim20+=+++=+++=→因此en Ax enxxxx eene ee 2120)(lim +→==+++三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim 0，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由A xx f x =→)(lim 0和函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(0===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t fg ，因此，当0≠x 时，⎰=x u u f xx g 0d )(1)(，故0)0(1)(limd )(lim)(lim 0====→→→⎰f x f xu u f x g x x x x当0≠x 时，xx f u u f xx g x)(d )(1)(02+-='⎰，2d )(limd )(1lim )0()(lim)0(xt t f xt t f xxg x g g x x x x x ⎰⎰→→→==-='22)(limA xx f x ==→22d )(1lim)(lim])(d )(1[lim )(lim 022A A A u u f xxx f xx f u u f xx g x x x x x x =-=-=+-='⎰⎰→→→→这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---LxyLxyx yey xex yey xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Lyy x yey xe.证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x yey xeDx y Lxyd d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=--- y x eeDxyd d )(sin sin ⎰⎰-+=⎰--Lxyx yey xed d sin siny x ye y xe x Dx y d d )()(sin sin ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=- y x eeDxyd d )(sin sin ⎰⎰+=-而D 关于x 和y 是对称的，即知y x eeDxyd d )(sin sin ⎰⎰-+y x eeDxyd d )(sin sin ⎰⎰+=-因此⎰⎰-=---LxyLxyx yey xex yey xed d d d sin sin sin sin（2）因)1(2)!4!21(2242t ttee tt +≥+++=+-故22cos 522cos 12sin 22sin sin xxx eexx-=-+=+≥+-由⎰⎰⎰⎰⎰+=+=----DxyLDxyyyy x eey x e ex yey xed d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin知⎰⎰⎰⎰⎰+++=----DxyLDxyyyy x eey x ee x yey xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+++=---DxxDxxDyyy x eey x e ey x ee d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin2sin sin 25d 22cos 5d )(πππππ=-≥+=⎰⎰-x xx eexx即2sin sin 25d d π⎰≥--Lyyx yey xe五、（10分）已知xxexe y 21+=，xx exe y -+=2，xxxeexey --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设xx exe y 21+=，xx e xe y -+=2，xxxeexey --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f cy y b y =+'+''的三个解，则xxeey y 212-=--和xey y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''cy y b y的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是02=++c b λλ因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和 xx x e xe e y 212++='，xxxexe e y 2142++=''知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222xx xxxxxxexe e e xe e e xe +-++-++=xe x )21(-=二阶常系数线性非齐次微分方程为xx xe e y y y 22-=-'-''六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx axyln 22++=过原点，故1=c ，于是2323dt )(31123102b a x b x a bx ax +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰即)1(32a b -=而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积⎰⎰-+=+=122122dt ))1(32(dt )()(x a axbx axa V ππ⎰⎰⎰-+-+=122131042dt )1(94dt )1(34dt x a x a a x a πππ22)1(274)1(3151a a a a -+-+=πππ即22)1(274)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ，得04040904554=+--+a a a即054=+a因此45-=a ,23=b ,1=c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1=+='-n e x x u x u xn n n, 且ne u n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.解xn n ne x x u x u 1)()(-+='，即xn e xy y 1-=-'由一阶线性非齐次微分方程公式知)d (1x xC e y n x⎰-+=即)(nxC e y nx+=因此)()(n xC e x u nxn +=由)1()1(nC e u ne n +==知，0=C ，于是ne x x u xn n =)(下面求级数的和：令∑∑∞=∞===11)()(n xn n nne x x ux S则xex S e xx S ne x e xx S xn xn n xnxn -+=+=+='∑∑∞=-∞=-1)()()()(1111即xex S x S x-=-'1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d 11()(x x C e x S x⎰-+=令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n n x u 的和)1ln()(x e x S x--=八、（10分）求-→1x时, 与∑∞=02n nx等价的无穷大量.解令2)(txt f =，则因当10<<x ，(0,)t∈+∞时，2()2ln 0tf t tx x '=<，故xt tex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。