同步练习 空间向量与立体几何3
专题1 空间向量与立体几何练习(三)
专题1空间向量与立体几何练习（三）1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.2．如图四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值.3．已知()1,4,2a =- ，()2,2,4b =- .(1)若12c b = ，求cos ,a c <> 的值；(2)若()()3ka b a b +-∥ ，求实数k 的值.4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ==．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．5．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,b c =- ，且a b += (1)求c 的值；(2)若ka b + 与2a b - 互相垂直，求实数k 的值．6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AD AB AA ===，,E F 分别是1111,A D A B 的中点，CG GE = ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．(1)写出1,,,C D F G 四点的坐标；(2)求1cos ,CF D G <> ．7．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求：(1)EF ·BA ；(2)EF ·BD ；(3)AB ·CD .8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简向量表达式：(1)AB CD BC DA +++ ；(2)1111AA B C D D ++ ；(3)1111AA B C D D CB +++ .9．已知空间三点()4,0,4A -，()2,2,4B -，()3,2,3C -，设a AB = ，b BC =r u u u r .(1)求a ，b ；(2)求a 与b 的夹角.10．如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a = ，AC b = ，AD c =uuu r r ，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．参考答案：1．(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅= ，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅ ，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AB AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ==||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅==⋅ ，∴异面直线1BD与AC 所成角的余弦值为6.2．(1)证明见解析【分析】（1）由已知可得DE AC ⊥且AC BD ⊥,由线面垂直的判定定理即可得到证明;（2）以D 为原点,DA 方向为x 轴,DC 方向为y 轴,DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系,利用已知条件求出平面BDE 的一个法向量和平面BEF 的一个法向量,利用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC⊥因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD⊥又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE（2）DE ⊥ 底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，,DE DA DE DC ∴⊥⊥，四边形ABCD 是正方形，DA DC∴⊥故DA ，DC ，DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，因为BE 与平面ABCD 所成角为60 ，DE ⊥ 平面ABCD ，且垂足为D ，故60DBE ∠=，所以DE DB=又3,3AD DE AF ==，所以BD DE AF ===所以(3,0,0)A ，(3,3,0)B，F，E ，(0,3,0)C ，所以(0,,(3,0,BF EF =-=- 设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z = ，则3030m BF y m EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令z =(4,m = 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，()3,3,0CA =- .所以cos ,13m CA m CA m CA ⨯+-⨯+⋅〈〉===，所以sin ,m CA〈〉=所以二面角F BE D --3．(1)42-(2)13-【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【详解】（1）由已知可得()11,1,22c b ==- ，()1,4,2a =- ，∴114122cos ,42a c a c a c⨯-+⨯+-⨯⋅<>==- .（2）()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ，()37,2,14a b -=-- ，∵()()3ka b a b +-∥ ，∴存在实数m 使得()3ka b m a b +=- ，∴27k m -=，422k m +=-，2414k m -+=-，联立解得13k =-.4．(1)1AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC uuu r ，平方即求得模长.(2)求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+ ，所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦222222c a b a c b c a b=++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++ ，1DC c a =- ，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅= ∴11CA DC ⊥ ∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．5．(1)2c =±(2)75k =【分析】（1）求出()0,1,b a c += ，根据向量模长公式列出方程，求出2c =±；（2）分2c =与2c =-两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值.【详解】（1）()()()01,0,1,1,0,1,b c a c =-++= ，所以a b +== 2c =±；（2）当2c =时，()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+ ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- ，因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，当2c =-时，()()()210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---= ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- 因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，综上：75k =.6．(1)()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，393,,222G ⎛⎫ ⎪⎝⎭21【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标；（2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果.【详解】（1）1226AD AB AA === ，13AB AA ∴==，则()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,3E ，CG GE = ，G ∴为CE 中点，393,,222G ⎛⎫∴ ⎝⎭.（2）由（1）得：3,6,32CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1333,,222D G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1119999424cos ,22CF D G CF D G CF D G -+-⋅∴<>=⋅⨯ .7．(1)1(2)2(3)0【分析】分别将EF ，BD ，CD 转化为AB ，AC ，AD 后根据数量积定义计算即可.【详解】（1）在正四面体ABCD 中，||||2,cos ,60BD BA BD BA ==〈〉=111||||cos ,22cos 601222EF BA BD BA BD BA BD BA ⋅=⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒= （2）211||222EF BD BD BD BD ⋅=⋅== （3）()AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=||||cos ,||||cos ,AB AD AB AD AB AC AB AC ⋅⋅〈〉-⋅〈〉在正四面体ABCD 中，||||||AB AD AC == ，cos ,cos ,AB AD AB AC 〈〉=〈〉故0AB CD ⋅=8．(1)0(2)AD(3)0【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA AC CD DA AD AD +++=+++=++=-= （2）由图知，1111B C A D = 所以1111111111AA B C D D AA A D D D AD D D AD++=++=+= （3）由图知，CB DA =所以由（2）可得11110AA B C D D CB AD DA AD AD +++=+=-= 9．(1)(2)2π3【分析】（1）（2）由空间向量的坐标运算求解，【详解】（1）由题意得所以()2,2,0a AB == ，所以a == 因为()2,2,4B -，()3,2,3C -，所以()1,0,1b BC ==--r u u u r ，所以b ==r （2）由（1）可知1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3.10．()122DM a b c =+- 【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【详解】∵M 为BC 的中点，∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+- .。
2020年高中数学02 空间向量与立体几何(同步练习)(解析版)
专题02 空间向量与立体几何（同步练习）一、空间向量基础知识1-1．对于任意空间向量),,(321a a a a = ),,(221b b b b =，给出下列三个命题：①332211//b a b a b a b a ==⇔；②若1321===a a a ，则为单位向量；③0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。
其中真命题的个数为( )。
A 、0B 、1C 、2D 、3【答案】B【解析】①1b 、2b 、3b 有可能有0，例如)1,1,1(=a 、)0,0,0(=b ，则b a //， 但不能推出332211b a b a b a ==，错； ②1321===a a a ，则13||≠=a ，不是单位向量，错； ③0332211=++⇔⊥b a b a b a b a ，对；故选B 。
1-2．在四面体ABC O -中，1G 是ABC ∆重心，G 是1OG 上一点，且13GG OG =，若z y x ++=，则),,(z y x 为( )。
A 、)41,41,41(B 、)43,43,43(C 、)31,31,31(D 、)32,32,32( 【答案】A【解析】连接1AG 交BC 于点E ，则E 为BC 中点，)2(21)(21OC OA OB AC AB AE +-=+=， 则)2(31321OC OA OB AE AG +-==，∵)(3311OG OG GG OG -==，∴143OG OG =， ∴OC OB OA OC OA OB OA AG OA OG OG 414141)313231(43)(434311++=+-+=+==， 故选A 。
1-3．设k j m a +-=21，k j m a 232-+=，k j m a 323-+-=，k j m a 5234++=，(其中、、k 是两两垂直的单位向量)，若3214a a a a υ+μ+λ=，则实数λ、μ、υ的值分别是( )。
(常考题)人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试(答案解析)(3)
一、选择题1．已知正三棱锥P ABC -的侧面PAB 上动点Q 的轨迹是以P 为焦点，AB 为准线的抛物线，若点Q 到底面ABC 的距离为d ，且2PQ d =，点H 为棱PC 的中点，则直线BH 与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．8585 B ．21 C ．38585 D ．321 2．已知在平行六面体中,3,4,5,120,60,60ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA '''''''-===∠=︒∠=︒∠=︒，则AC '的长为（ ）A ．52B ．9C ．85D ．73 3．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ）A ．241B ．41C ．17D ．217 4．在三棱锥P ABC -中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A ．1111B ．21111C ．31111D ．411115．ABC 中，90ACB ∠=︒，22AB BC ==，将ABC 绕BC 旋转得PBC ，当直线PC 与平面PAB 所成角正弦值为66时，P 、A 两点间的距离为（ ）A 2B ．2C ．42D ．4 6．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ）A ．[]0,4B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,2 7．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=，则二面角l αβ--的大小为（ ）A ．6πB ．56πC ．6π或56πD ．6π或3π 8．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．21313C ．31313D ．13 9．如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++ C ．111244OA OB OC ++ D ．111446OA OB OC ++ 10．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为63：④二面角A BC D --2：其中正确结论的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 11．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN x AB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．212．以下四个命题中正确的是（ ）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底 C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底13．如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，D ,E 分别为 BB 1,A 1C 1 的中点，则异面直线 AD ,CE 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．32C ．15D ．45二、填空题14．在三棱锥P -ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________. 15．正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____________.16．如图，已知平面α⊥平面β，l αβ=，∈A l ，B l ∈，AC α⊂，BD β⊂，AC l ⊥，BD l ⊥，且4AB =，3AC =，12BD =，则CD =_________________.17．设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，若,,,P A B C 四点共面，则x y z ++=______．18．设E ,F 是正方体1AC 的棱AB 和11D C 的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面1A ECF 成60︒角的对角线的数目是______.19．若(2,3,1)a =-，(2,0,3)b =，(0,2,2)c =，则()a b c ⋅+=_____20．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.21．已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为_____．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是底边为1的菱形，60BAD ∠=，2PB =，PA PD =，当直线PB 与底面ABCD 所成角为30时，二面角P CD A --的正弦值为______.23．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.24．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，122AA AB AC ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π，当1B M 最小时，AMB ∠=__________.26．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，14,3,5AD AB AA ===，1AC =__．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求直线BH 与AC 所成角的余弦值【详解】设△ABC 的中心为O ，如图示：以OA 为x 轴，过O 平行于BC 的Oy 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨设|BC |=2，则有：()23330,0,0,,,1,0,,1,0333O A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭过Q 作QD ⊥底面ABC 于D ,QE ⊥AB 于E ，由抛物线的定义知：|QE |=|PD |=2d ，|QD |=d . 在Rt △QDE 中，∠QDE =90°，所以°s 1in ,302QD QDE QDE QE ∠==∴∠=， 即侧面于底面所成的二面角为30°.设()0,0,P z 则有31333z ==， 所以()311331,,,,,3,1,0,626626H BH AC ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设直线BH 与AC 所成角为θ，则||cos |cos ,|||||BH AC BH AC BH AC θ==⨯ (()()()()22222233|310|331310626⎛⎫+-⨯-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⨯-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 38585= 即直线BH 与AC 所成角的余弦值为38585故选：C【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.2．D解析：D【分析】直接利用AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++，然后利用平面向量的数量积进行计算.【详解】如图，可得AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++，故22||()AC AB AD AA ''=++222=|||||2()+|AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''++⋅+⋅+⋅222111345234-+35+45222⎡⎤⎛⎫=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =73. ∴=73AC '故选：D.【点睛】本题考查了几何体的对角线长的求解，根据已知条件，构造向量，将几何体的对角线长的求解转化为向量模的运算，是解答本题的关键，属于中档题.3．D解析：D【分析】画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB 所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案.【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒． 可得：.cos6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||17AB ∴=故选：D.【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.4．C解析：C【分析】首先利用线面角的定义，可知当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，此时BD 与平面PAC 所成角最大，再以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用向量坐标法求线面角的正弦值.【详解】,AB AC AB PA ⊥⊥，且PA AC A =，AB ∴⊥平面PAC ，易证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，3tan AB ADB AD AD∠==， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC ∆中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC =-，(3,2,0)BC =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩令3y =，得(2,3,3)n =. 因为311cos ,11222n AD 〈〉==⨯，所以AD 与平面PBC 311. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点D 的位置，首先利用线面角的定义确定点D 的位置，再利用向量法求线面角. 5．B解析：B【分析】取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由题意得到∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，利用直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为66PC 3CE ，再求出CD ，可得PD ，即可得出结论． 【详解】取PA 的中点D ，连接CD ，因为CA =CP ，则CD ⊥PA ，连接BD ，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由已知得BC ⊥CA ， BC ⊥CP ， CA CP C =，则BC ⊥平面PAC ， 得到BC ⊥PA ，CD BC C ⋂=，可得PA ⊥平面BCD ，又PA ⊂平面PAC ∴平面BCD ⊥平面PBA ，平面BCD 平面PBA =BD ，由两个平面互相垂直的性质可知：CE ⊥平面PBA ，∴∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，∵直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为6，PC ＝AC =3， ∴CE ＝622PC =， 设CD ＝x ，则BD ＝21x +，21121122x x ∴⋅⋅=⋅+⋅ ， ∴x ＝1，∵PC ＝3，∴PD ＝2，∴PA ＝2PD ＝22．故选：B ．【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和分析推理能力以及计算能力，属于中档题．6．B解析：B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.【详解】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-， 又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →3P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2. 故选：B .【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.7．C解析：C【分析】由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当a 、b 为异号向量，二面角为π减去两法向量夹角；当a 、b 为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角l αβ--【详解】两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况当a 、b 为异号向量，如下图示：,a b 6π<>=∴有二面角l αβ--为56π 当a 、b 为同号向量，如下图示：,a b 6π<>=∴有二面角l αβ--为6π 综上，有二面角l αβ--为6π或56π 故选：C本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小8．A解析：A【分析】以{},,a b c 为基底表示出11,A E AC ，利用向量夹角公式计算出异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值.【详解】设1,,AB a AC b AA c===，则{},,a b c 构成空间的一个基底， 111112A E AB B E a c =+=-， 11AC AC CC b c =+=+， 111111cos ,||||A E AC A E AC A E AC ⋅〈〉=⋅1()21||2a cbc a c b c ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭=-⋅+ ()222112212a b b c a c c a c b c ⋅-⋅+⋅-=⎛⎫-⋅+ ⎪22222144cos 600062124a a c c b b c c ⨯⨯︒-+-⨯=-⋅+⋅+⋅+===. 所以异面直线1A E 与1AC . 故选：A【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.9．C解析：C【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,12OE OA AD =+,即可求得答案.在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴12OG OA AD =+ 11()22OA AB AC =+⨯+ 1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+- 111244OA OB OC =++ 故选:C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.10．A解析：A【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论.【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =， 1cos 22AD BCAD BC AD BC ⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确： ()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确：设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =， 由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则6sin cos ,32BC t BC t BC t θ⋅====⋅⋅，故③正确： 平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则0m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m nm n m n⋅<>==⋅， ∴6sin ,3m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.11．B解析：B【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】 ()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+故12x y z ++=-故选：B【点睛】 本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.12．B解析：B【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C 的真假.【详解】对A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对B ，若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 三个向量互不共面；则,,a b b c c a +++，也互不共面，故{,,}a b b c c a +++可又构成空间向量的一组基底，故B 正确；对C ，0AB AC ABC ⋅=⇔∆的A ∠为直角ABC ⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形时，A ∠可能为锐角，此时0AB AC ⋅>，故C 错误；对D ，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件，考查对概念的理解与应用，属基础题．13．C解析：C【分析】取AC 的中点O ，以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立坐标系，求得向量,AD CE 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，取AC 的中点O ，以,,OB OC OE 为,,x y z 轴建立坐标系，则(0,,0),(,0,),(0,,0),(0,0,)2222a a a A D C E a ， 则3(,,),(0,,)222a a a AD a CE a ==-，设AD 与CE 成的角为θ ，则222223012222cos 534444a a a a a a a a a a θ⨯-⨯+⨯==++⋅+， 故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题14．【分析】首先可证平面PAC 则BD 与平面PAC 所成角为所以当D 为PC 的中点时取得最大值如图建立空间直角坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PAABAC 两两垂直所以平面PAC 则BD 与解析：311 【分析】首先可证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以当D 为PC 的中点时ADB ∠取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AC A =所以AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以3tan AB ADB AD AD∠==， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC △中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC =-，(3,2,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令3y =，得(2,3,3)n =.因为cos ,11n AD 〈〉==，所以AD 与平面PBC .【点睛】 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 15．【分析】结合由数量积定义计算【详解】正四面体中点EF 分别是BCAD 的中点连接则而所以平面又平面所以即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计解析：24a 【分析】AE AB BE =+，结合AD BC ⊥，由数量积定义计算．【详解】正四面体ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接,AE DE ，则,BC AE BC DE ⊥⊥，而AE DE E =，所以BC ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥，即AF BE ⊥，所以21()cos 6024a AE AF AB BE AF AB AF BE AF a a ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯︒=． 故答案为：24a ．【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计算的向量，然后由数量积定义计算，是基本方法，实质上也可以应用空间向量基本定理表示向量，把向量的运算转化为空间向量的基底进行运算．16．13【分析】根据面面垂直得线面垂直进而得再根据向量模的平方求得结果【详解】因为平面平面所以因为所以故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理利用空间向量求线段长考查基本分析论证与求解能力属中档题 解析：13【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得AC BD ⊥,再根据向量模的平方求得结果.【详解】因为平面α⊥平面β，l αβ=，AC α⊂,AC l ⊥，所以AC β⊥，因为BD β⊂，所以AC BD ⊥，CD CA AB BD =++2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=+++⋅+⋅+⋅2222341200013||13CD =+++++=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理、利用空间向量求线段长，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.17．【分析】先根据不共线三点用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示求和即得结果【详解】因为四点共面三点不共线所以因为因为是任意一点故可不共面所以故故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平 解析：1【分析】先根据不共线三点A B C ，，，用平面向量基底AB AC ，表示PA ;再根据平面向量基本定理表示,,x y z ，求和即得结果.【详解】因为,,,P A B C 四点共面，三点A B C ，，不共线，所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--因为OP xOA yOB zOC =++，因为O 是任意一点，故,,OA OB OC 可不共面，所以1,,x m n y m z n =++=-=-， 故1x y z ++=.故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．【分析】由于平面不是特殊的平面故建系用法向量求解以为原点建系正方体三边为坐标轴求出平面的法向量求解面对角线和的夹角即可求得答案【详解】以点为原点所在直线为轴所在直线为轴所在直线为轴设正方体棱长为2如 解析：4【分析】由于平面1A ECF 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以D 为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面1A ECF 的法向量n ,求解面对角线和n 的夹角,即可求得答案.【详解】以点D 为原点,AD 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,1DD 所在直线为z 轴设正方体棱长为2,如图:则(2,0,0),(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A D B C1111(2,0,2),(2,2,2,),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ,(2,1,0),(0,1,2)E F∴ 1(2,1,0),((0,1,2),(2,2,0)EC A E AC =-==-1(2,2,0),(2,0,2)BD BC =--=-- 11(0,2,2),(0,2,2)B A A B =--=-当面对角线与截面1A ECF 成60︒角,∴ 需保证直线与法向量的夹角为30︒,即其余弦值3±设平面1A ECF 的法向量(,,)n x y z =100n EC n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得:2020y z x y -=⎧⎨-+=⎩ ,取2y = ∴ (1,2,1)n = ,则||6n =cos ,62||||8n AC AC n n AC ⋅<>===≠±⋅ cos,2BDn <>== 1cos ,B C n<>=≠ 1cos ,2B A n <>==- 1cos ,2A B n <>=≠± 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面1A ECF 的法向量n 夹角即可.平面11AA D D 中1AD 与EF 平行,故不符合题意.综上所述,符合题意的面对角线为:1111,,,BD B D AB DC 共4条. 故答案为:4.【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题. 19．3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果【详解】【点睛】本题考查空间向量加法与数量积考查基本求解能力属于基础题解析：3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果.【详解】()()() 2,3,12,2,5465 3.a b c ⋅+=-⋅=-+=，【点睛】本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题. 20．【分析】设0则由知所以由此能求出其最小值【详解】设001-即（当时取最小值）故答案为：【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法要根据已知【分析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，由20AD BC x y →→=--=，知2x y =+．所以||CD →【详解】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，(1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-， AD BC ⊥，∴20AD BC x y →→=--=，即2x y =+．(,,0)CD x y →=-，∴||CD →=2．（当1y =-时取最小值）【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 21．【分析】利用去掉反向的情形即得【详解】由所以解得若与反向则则所以所以与的夹角为钝角则且综上的范围是故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系根据向量夹角求参数时可由是两个非零解析：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ 【分析】利用()()20a b ka b <+⋅-去掉反向的情形即得．【详解】 由()()1,1,0,1,0,2a b ==-，()1,,2ka b k k +=-，()23,22a b -=-，所以()()()231240a a k k b b k -=+⋅⨯-+-<，解得75k <若ka b +与2a b -反向，则()20a ka b b λλ-<+=， 则21k λλ=⎧⎨=-⎩，所以2k =- 所以ka b +与2a b -的夹角为钝角则75k <且2k ≠-综上k 的范围是()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 故答案为：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ 【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由,a b 是两个非零向量，则,a b 夹角是锐角时，0a b ⋅>，,a b 夹角是钝角时，0a b ⋅<，反之要注意,a b 可能同向也可能反向．属于中档题.22．1【分析】取中点过作于点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面从而得到；再根据线面垂直判定定理得到面由线面角定义可知通过勾股定理可求得由此可知在直线上从而得到面面垂直关系可知二面角为从 解析：1【分析】取AD 中点E ，过P 作PF BE ⊥于F 点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得AD ⊥平面PBE ，从而得到AD PF ⊥；再根据线面垂直判定定理得到PF ⊥面ABCD ，由线面角定义可知30PBF ∠=，通过勾股定理可求得EF BE =，由此可知F 在直线CD 上，从而得到面面垂直关系，可知二面角为90，从而得到正弦值.【详解】取AD 中点E ，连接BE 并延长，过P 作PF BE ⊥于F 点PA PD =，E 为AD 中点 PE AD ⊥∴四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ABD ∴∆为等边三角形 BE AD ∴⊥,PE BE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂= AD ∴⊥平面PBEPF ⊂平面PBE AD PF ∴⊥又PF BF ⊥，,BF AD ⊂平面ABCD ，BFAD E = PF ∴⊥面ABCD ∴直线PB 与底面ABCD 所成角为PBF ∠ sin 2sin301PF PB PBF ∴=⋅∠=⨯=在PBE ∆中，由余弦定理得：22232cos 444222PE PB BE PB BE PBE =+-⋅∠=+-⨯=2EF ∴==，又2BE = F ∴在CD 延长线上 PF ∴⊂平面PCD ∴平面PCF ⊥平面ABCD∴二面角P CD A --的大小为90，正弦值为1故答案为：1【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定定理、直线与平面所成角、勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与平面所成角的位置.23．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若向量是平面的法向量则若则则向量所在直线平行于平面或在平面内即充分性不成立若向量所在直线平行于平面或在平面内则向量是平面的法向量 解析：必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立， 若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，向量n 是平面α的法向量，∴n α⊥，则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键．24．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题 解析：78【分析】 利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和. 【详解】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++ 133,,888x y z ∴=== 即78x y z ++=故答案为：78【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题. 25．【分析】根据题意建立空间直角坐标系设出的长写出各个点的坐标求得平面与平面的法向量利用法向量及二面角大小求得的等量关系即可判断当取最小时各自的长即可求得的正切值进而求得的大小【详解】因为三棱柱中两两互 解析：6π【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出,CN BM 的长,写出各个点的坐标,求得平面AMN 与平面ABC 的法向量,利用法向量及二面角大小,求得,CN BM 的等量关系.即可判断当1B M 取最小时,CN BM 各自的长.即可求得AMB ∠的正切值,进而求得AMB ∠的大小.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,建立如下图所示的空间直角坐标系:122AA AB AC ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点可设,,1BM a CN b AB ===,则12,1AA AB ==所以()()0,0,0,1,0,0A B ,()()1,0,,0,1,M a N b则()()1,0,,0,1,AM a AN b ==设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =则00AM m AN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得00x az y bz +=⎧⎨+=⎩,令1z =代入解得x a y b =-⎧⎨=-⎩ 所以(),,1m a b =--平面ABC 的法向量()0,0,1n =由题意可知平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π 则由平面向量数量积定义可知22cos31m n m n a b π⋅==⋅++ 化简可得223a b += 1B M 最小值,即a 取得最大值,当0b =时,a 取得最大值为3a = 所以3tan 33AB AMB MB ∠=== 所以6AMB π∠=故答案为:6π 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,由法向量法结合二面角求值,属于中档题. 26．【分析】先由空间向量的基本定理将向量用一组基底表示再利用向量数量积的性质计算即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A1B1C1D1是平行六面体∵=++∴=（++）2=+++2+2+2又∵∠BAD=∠A1AB【分析】先由空间向量的基本定理，将向量1AC 用一组基底1AA AD AB ，，表示，再利用向量数量积的性质22a a =，计算1AC 即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∵1AC =1AA +AD +AB ∴21AC =（1AA +AD +AB ）2=21AA +2AB +2AD +21AA AD ⋅+21AA AB ⋅+2AB AD ⋅ 又∵∠BAD=∠A 1AB=∠A 1AD=60°，AD=4，AB=3，AA 1=5， ∴21AC =16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97 ∴197AC =【点睛】本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同。
高中数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练
高中数学人教A 版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练一、单选题1．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1, -2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝-12C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝32 2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B ．15 C ．35 D ．75 3．如图,在平行六面体ABCD -1111A B C D 中,点M,P,Q 分别为棱AB ,CD,BC 中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①1A M ∥1D P ;②1A M ∥1B Q ;③1A M ∥ 平面11DCC D ;④1A M ∥ 平面11D PQB ,则以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m =，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．90︒5．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．166．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，D 是边AC 上的一点，则BD AC ⋅的取值范围是（ ）A ．21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．521,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．215,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7．已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A ．116B ．－116C ．12D ．13 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 的中点，M （非端点,B C ）是棱BC 上的动点．过点,,A M E 作截面四边形交棱1DD 于N （非端点,D 1D ）．设二面角N AM D --的大小为α，二面角--M AN D 的大小为β，二面角A NE D --的大小为γ，则（ ）A ．γβα>>B ．βγα>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>9．长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ）A 6B 53C ．53D ．2310．如图在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111336OG OA OB OC =++ C ．111344OG OA OB OC =++ D ．111443OG OA OB OC =++ 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A ．30B ．230C ．275D ．47512．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.A ．1B 2C 3D ．2二、填空题13．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为__________.14．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ；③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.15．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________．16．如图，在正方体1111A BCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，给出下列说法：PQ ①可能与平面11CDD C 平行；PQ ②与BC 所成的最大角为3π； 1CD ③与PQ 一定垂直；PQ ④与1DD 所成的最大角的正切值为5； 2PQ AB ≥⑤． 其中正确的有______.(写出所有正确命题的序号)17．如图，三棱锥A BCD -中，10AC AD BC BD ====，8AB =，12CD =，点P 在侧面ACD 上，且到直线AB 的距离为21，则PB 的最大值是_______．三、解答题18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，,E F 分别是1,CC BC 的中点.(1)若D 是1AA 的中点，求证：BD 平面AEF ；(2)若M 是线段AE 上的任意一点，求直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 21．如图，在四棱锥S ABCD -中，290,22,6,DAB ADC ABD CB BD SD SB SD BC ︒∠=∠=∠=====⊥（1）求证：平面SBC ⊥平面SBD（2）已知点P 在线段SC 上，且CP CSλ=，若平面与平面SBD 所成的二面角大小为60︒，求λ的值 22．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，22BC AD DC ==，四边形ABEF 是正方形.将正方形ABEF 沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面ABCD ，M 为1AF 的中点，如图2. 图1图2（1）求证:AC BM ⊥；（2）求平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角的余弦值.参考答案1．C∵a =（2x ，1，3）与b =（1，﹣2y ，9）共线， 故有21x =12y -=39． ∴x=16，y=﹣32． 2．D 试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即()312220k k ⨯-+⨯-⨯=，解得75k =． 3．C连接PM ，因为M 、P 为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD ．由题意知AD 平行且等于11A D ．故PM 平行且等于11A D ．所以11PMA D 为平行四边形，故①正确．显然1A M 与1B Q 为异面直线．故②错误． 由①知1A M ∥1D P ．由于1D P 即在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内． 且1A M 即不在在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内．故③④正确 4．C∵两平面的法向量分别为 010011m n ==（，，），（，，），则两平面所成的二面角与m n ＜，＞相等或互补2,212m n cos m n m n ⋅===⋅⋅＜，＞ 故45m n =︒＜，＞.故两平面所成的二面角为45°或135°5．C以D 为坐标原点，直线1DA DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a b a c=⎧⎨=⎩ 可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n ⋅+-=== 6．D因为D 是边AC 上的一点(包括端点)，∴设()1BD BA BC λλ=+- (01)λ≤≤ ∵∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，∴133122BA BC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()1BD AC BA BC BC BA λλ⎡⎤⋅=+-⋅-⎣⎦()()22511132BA BC BA BC BC BA λλλλλ=⋅-+---⋅=-+ ∵01λ，∴215513222λ--+.∴BD AC ⋅的取值范围是215,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选D. 7．B设D (x ，y ，z )，则＝(x ＋1，y －1，z －2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x ，－y ，－1－z )， ∵＝2，∴∴∴D (，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)， ∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．8．B解：不妨设正方体棱长为4，3MC =，则2CE =，设MA DC O =，直线OE 交1D D 于N ，显然有OCE ODN ~，OCM ODA ~，OEM ONA ~， 所以3,,1244CM CO OC OC DA OD OC ===+， 2222312153MO MC CO +=+=，过C 作CG OM ⊥于G ,连结EG ,根据三垂线定理，则EG OM ⊥，则CGE α∠=， 在COM 中，根据等面积法有,312153CM CO OM CG CG ⋅=⋅⨯=，CG==2tan36CECGα===，OE==过C作CH OE⊥于H,连结MH,根据三垂线定理，则MH OE⊥，则CHMγ∠=，在COE中，根据等面积法有,212CE CO OE CH CH⋅=⋅⨯=，CG==tanCMCHγ===，213EM=，过C作CP ME⊥于P,连结OP,根据三垂线定理，则ME OP⊥，因为平面11//ADD A平面11BCC B，则OPCβ∠=，在CME△中，根据等面积法有,23CE CM ME CP CP⋅=⋅⨯=，CP==12tan62COCPβ===，tan tan tanβγα==>=>=βγα>>9．A则：1C E (1,1,1)=--设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩ 取n (2,2,1)=-- 则1,cos n C E =11n C En C E ⋅5333==⋅ 设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ 则53sin θ=261sin cos θθ=-=. 10．A解：∵在四面体OABC 中，,M N 分别在棱OA 、BC 上，且满足2OM MA =， 2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，∴11122223OG OM ON OA =+=⨯+12111()23363OB BC OA OB OC ⨯+=++. 11．B如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DN DQ D =，1BM A M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值 此时，22512CP ==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭ 12．A补成正方体，如图.,EF α⊥∴截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=，又//,//,MN AD KL BC 且,AD BC KN KL ⊥∴⊥可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A. 13．1-由题意，设,,PA a PB b PC c ===，建立空间的一个基底{},,a b c ，在正四面体中1(),2PE a b BC c b =+=-，所以211()()()22PE BC a b c b a c a b b c b ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 0001(22cos6022cos6022cos6022)12=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 14．①③④如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确；设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC 12211(2)x x =+++-．由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知， 其最小值为22，故④正确．故答案为①③④15．0如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则23DF DE =， ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.16．①③④⑤解：由在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，知：在①中，当Q 为11B C 的中点时，1//PQ C D ，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；在②中，当Q 为11B C 的中点时，1//PQ C D ，111B C C D ⊥，11//BC B C ，可得PQ BC ⊥，故②错误；在③中，由11CD C D ⊥，111.CD B C ⊥可得1CD ⊥平面11ADC B ，即有1CD PQ ⊥，故③正确；在④中，如图，点M 为11A D 中点，PQ 与1DD 所成的角即为PQ 与PM 所成的角，当Q 与1B ，或1C 重合时，PQ 与1DD 所成的角最大，其正切值为5，故④正确；在⑤中，当Q 为11B C 的中点时，PQ 2，故⑤正确． 1757动点P 到直线AB 21∴动点P 落在以AB 21可知侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大由题意可得，点C到AB的距离为：2210484221-==则P到AB的距离为21可知：P为AC的中点又1422cos105ABBACAC∠===在BAP∆中，由余弦定理可得2285285cos57PB BAC=+-⨯⨯∠=本题正确结果：5718．（1）PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC PC⊥.又1AD CD==，在Rt ADC∆中，得2AC=，设AB中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CG AB⊥，且2BC=因为222AC BC AB+=，所以AC BC⊥，又因为BC PC C⋂=，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.（2）以C为坐标原点，分别以射线CD､射线CP为y轴和z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-. 由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,32m nm n m n a ⋅===⋅+2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PAn PA n PA θ⋅==⋅22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.19．(1)连接1DC ，1BC ，∵,D E 分别是11,AA CC 的中点，∴11AD C E AD C E =，，∴四边形1ADC E 是平行四边形，所以1AE DC ∥.因为,E F 分别是1,CC BC 的中点，所以1EF BC ，又111,AE EF E DC BC C ⋂=⋂=，所以平面AEF ∥平面1BDC ，又BD ⊂平面1BDC ，所以BD 平面AEF .(2)由题意得1,,AB AC AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()0,2,1E ，()1,1,0F ， ∴ ()0,2,1AE =，()1,1,0AF =.设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，由00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得200y z x y +=⎧⎨+=⎩，令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为()1,1,2n =-. 设(),,M x y z ，且()01AM AE λλ=≤≤，所以,,0,2,1x y z ，得0x =，2y λ=，z λ=， 所以点()0,2,M λλ的坐标为，所以()12,2,2B M λλ=--.设直线1B M 与平面AEF 所成角为θ， 则111sin cos ,n B M n B Mn B M θ⋅==⋅ 2222221222112222=∴当25λ=时，()max sin 6θ=.所以直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值为6. 20．（Ⅰ）证明：连1AB 、1AC ，∵点Q 为线段1A B 的中点，∴A 、Q 、1B 三点共线.∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥，又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥，∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ， ∴1AC ⊥平面1A BC ，而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC .（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 连接1A P 、1B Q ，设(),,Q x y z ， ∵1BQ BA λ=， ∴()(),2,2,2,2x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()2,22,2Q λλλ-. ∵点Q 在线段1A B 上运动，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1A PB 的法向量， 设平面1A PB 的法向量为()1,,n x y z =， 由11100n BP n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令2y =得()11,2,1n =， 设平面1B PQ 的法向量为()2,,n x y z =，由212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()010y x z λλ=⎧⎨+-=⎩， 令1z =得()211,0,11,0,n λλλλλ-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，取()21,0,n λλ=-，由题意得|(121,2,1cos ,|n n = 10==， ∴29920λλ-+=，解得13λ=或23λ=. ∴当13λ=或23λ=时，平面1A PQ 与平面1B PQ 21．（1）由题意，290,DAB ADC ABD CB BD ︒∠=∠=∠===BC BD ⊥， 因为,SD BC SD BD D ⊥⋂=，可得BC ⊥平面SBD ，因为BC⊂平面SBC ，故平面SBC ⊥平面SBD .（2）由（1）可得BC ⊥平面SBD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面SBD ， 设E 为BD 的中点，连接SE ，因为SB SD ==，所以SE BD ⊥，可得SE ⊥平面ABCD ，如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(2,4,0),(2,0,0),(1,1,2)A B C D S ，因为CP CSλ=，所以(2,43,2)P λλλ--，易得平面SBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =. 设(,,)n x y z = 为平面ABP 的法向量，(0,2,0),(2,43,2)AB AP λλλ==--， 因为平面SBD 与平面ABP 所成的角为60°所以00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，得(2,0,2)n λλ=-， 21cos60224λ==⋅+， 解得23λ=或2λ=-（不合题意）， 所以λ的值为23.22．（1）因为11ABE F 为正方形，所以1BE AB ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面11ABE F ，平面ABCD 平面11ABE F AB =， 1BE ⊂平面11ABE F ，所以1BE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1BE AC ⊥ 设1AD =，则2AC AB ==AC AB ∴⊥，且1AB BE B =， AC ∴⊥平面11AF E B ，又BM ⊂平面11AF E B ，AC BM ∴⊥,（2）如图，以点B 为坐标原点，分别以BC ,1BE 所在直线为x,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()1,1,0A ,()0,0,0B ,()2,0,0C ,(12E ,21,1,2M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 所以21,1,2BM ⎛= ⎝⎭,(12CE =-,121,1,2E M ⎛=- ⎝⎭， 设平面1CE M 的一个法向量为(),,n x y z =，由1100n CE n E M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得220202x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =,得2z =，0y =，所以(1,0,2n =， 平面11ABE F 的法向量为()1,1,0AC =-，设平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角为θ， 则16cos cos ,623AC nAC n AC n θ⋅====⨯， 所以平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角的余弦值为66。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
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A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
高二数学空间向量与立体几何单元测试卷三
高二数学《空间向量与立体几何》单元测试卷三姓名：_________班级：________ 得分：________ 一、选择题（每小题5分，共60分）1、在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、是 （ ） （A ） 有相同起点的向量 （B ）等长向量 （C ）共面向量 （D ）不共面向量3、若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件4、已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角,〈〉a b 为 （ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）以上都不对5、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） （A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c6、已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为 （ ） （A ）0° （B ）45° （C ）90° （D ）180°7、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） （A ）627 （B ）637 （C ）647 （D ）6578、已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）59、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是 （ ） （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不确定10、已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ） （A ）131(,,)243 （B ）123(,,)234 （C ）448(,,)333 （D ）447(,,)33311．已知a = ( 2, –1, 2 ), b = (2, 2 , 1 ), 则以a , b 为邻边的平行四边形的面积是 ( ) (A)65. (B)265. (C) 4 . (D) 8.12.已知a =(3，－2，－3)，b =（－1，x －1，1），且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A ．（－2，+∞） B ．（－2，53）∪（53，+∞） C ．（－∞，-2）D ．（53，+∞）FE D 1C 1B 1A 1DCBAy二、填空题（每小题4分，共16分）13、若A(m ＋1,n －1,3)，B(2m,n,m －2n)，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m+n= ． 14、在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．15、设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ， 则,〈〉a b ＝ ．16、已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ． 三、解答题（共74分）17、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和 BB 1的中点．（1）证明：AEC 1F 是平行四边形；（2）求AE 和AF 之间的夹角；（3）求四边形AEC 1F 的面积． 18、在棱长为1正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，试求CE 与平面BCD 所成的角．19、ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12． （1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦； （2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．20．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°．侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ． （1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小． （2）求A 1到平面ABD 的距离．21.在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值； ⑶求FH 的长。
新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.1.4
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.2已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()⃗⃗⃗⃗⃗ 与点B的坐标相同A.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与点A的坐标相同B.向量ABC.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同 D.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同4点A (-1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)A 在x 轴投影知y=0,z=0,由点A 在xOy 平面投影知z=0.故选B .5设{i ,j ,k }是空间的一个单位正交基底,a =2i -4j+5k ,b=i+2j-3k ,则向量a ,b 的坐标分别为 , .-4,5) (1,2,-3)6已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,下列向量可以与p =2a -b ,q =a +b 构成空间的另一个基底的是 (填序号).①2a ②-b ③c ④a +c7如图,在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,取点D 为原点建立空间直角坐标系,已知O ,M 分别是AC ,DD 1的中点,写出下列向量的坐标.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ,OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .-2,0,1) (1,1,2)8如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间任一点,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ,b ,c 表示为 .-12b +c9如图所示,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1).10已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 3,以{e 1,e 2,e 3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ,求向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.DC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2. ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1-e 3, ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗=-12e 2+e 3+12(e 2-e 1-e 3)=-12e 1+12e 3.∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 能力提升1有下列叙述:①在空间直角坐标系中,x 轴上的点的坐标一定是(0,b ,c );②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上点的坐标一定可写成(0,b ,c ); ③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标可记作(0,0,c ); ④在空间直角坐标系中,在xOz 平面上点的坐标是(a ,0,c ).其中正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4错,x 轴上的点的坐标应是(a ,0,0).②③④正确.2如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.12a -12b +cD.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .3设p :a ,b ,c 是三个非零向量;q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件a ,b ,c 不共面时,{a ,b ,c }可以当基底,否则不能当基底.当{a ,b ,c }为基底时,一定有a ,b ,c 为非零向量.4如图,在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在OA 上,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,N 是BC 的中点,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 的值为( ) A.12,-23,12B.-23,12,12C.12,12,-23 D.23,23,-125已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3,-1),把AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量(2,1,1)平移后所得向量的坐标是 .-4,-3,-1)6设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,a =3i+2j-k ,b=-2i+4j+2k ,则向量a ,b 的关系是 .a ·b =-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0,∴a ⊥b .⊥b7已知在空间四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2c ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+6b-8c ,对角线AC ,BD 的中点分别为E ,F ,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ = .EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴两式相加,得2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵E 为AC 的中点,F 为BD 的中点,∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2c )+(5a+6b-8c )=6a+6b-10c .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a+3b-5c .a+3b-5c8已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标是(2,3,-1),求p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标.p =2a +3b -c .设p =x a +y (a +b )+z (a +b +c )=(x+y+z )a +(y+z )b +z c ,则有{x +y +z =2,y +z =3,z =-1,解得{x =-1,y =4,z =-1,故p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中x ,y ,z 的值.⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x=12,y=12,z=1.★10如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,把向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1和B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用a ,b ,c 表示出来,证明A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0. 则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b . ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b ) =12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1. 同理EF ⊥B 1C.∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。
空间向量与立体几何早练专题练习(三)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．13
B ．23
C ．33
D ．23
(汇编全国1理) C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则13AB a =，棱柱的高
22221236()323
AO a AO a a a =-=-⨯=（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为
1123
AO AB =. 另
2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 是棱A 1A 的中点，O 是BD 1的中点，则MO 的长为( ) (A )33 (B )22 (C )2 (D )36。
新人教版选修21第三章空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则(x ，y ，z )为( )A .(41，41，41) B .(43，43，43) C .(31，31，31) D .(32，32，32) 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，_ _ D_ A_ P_ N _ B_ M0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知:平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° (1)证明:C 1C ⊥BD ； (2)当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A (3cosα，3sinα，1)，B (2cosθ，2sinθ，1)，则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．(1，5)D ．[1，25]4.设点C (2a +1，a +1，2)在点P (2，0，0)、A (1，－3，2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.C 1 B 1 A 1B A3.2立体几何中的向量方法1．到一定点(1，0，1)的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42B ．32C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. (1)求证:1AC ⊥平面1A BC ； (2)求1C 到平面1A AB 的距离； (3)求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明:1AB A C ⊥；(2)求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. (1)求证:AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 (3)在(2)的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E :EC 的值； 若不存在，试说明理由.CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ _ A_S_ F_B参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，EN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.(1)设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；(2)1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-(舍去)，111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示_ C_ D_ A_ P_ N _ B_ M _ EA1.A2.D3.B4.165. (1)建系如图，则A (0，0，0) B (0，a ，0) A 1(0，0，2a )，C 1(-23a ，a 2,2a) (2)解法一:在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M (0，a 2,2a)，连结AM ，MC 1 则有13(,0,0)MC =-(0,,0)AB a =，1(0,02)AA a =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.13(,2)22a AC a a =-，(0,2)2aAM a =， ∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=113||||AC AM AC AM ⋅=∴<1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.(1)如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .(2)由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. (3)再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅7可知二面角1A A B C --7. 4.(1)三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)3,0),3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,3BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），。
高二数学同步测试空间向量与立体几何(附答案).
高二数学同步测试—空间向量与立体几何（附答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ） A ．++-2121 B ．++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM --=2 B ．213151++=C ．=++D ．=+++OM3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85BC．D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = （ ）A ．213221+- B ．212132++-C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+ 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙，，，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则= （ ）A ．21B ．22 C ．-21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为 （ ）A ．3B ．32C ．6D ．2610． 已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为（ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量，有=x z y ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．13．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ． 14．已知向量)0,3,2(-=，)3,0,(k =，若,成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．220），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量和的夹角为θ，求cos θ的值 17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}.（1）求证：P A ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量={x 1，y 1，z 1}，={x 2，y 2，z 2}，={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算： （×）·=x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.．19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值； （3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+==c +21（－b a +）=－21+21+．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A C A '++='，运用向量的内即运算即可，||C A ='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．5．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量,,，再来处理⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：OA OC OB OA 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅>=<k k b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）． 根据空间两点距离公式，可得||MN ==．16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=. 17． 证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得：223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0，∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18． （1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABV =31||·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =，CD =，1CC =，则| |=||，∵CB CD BD-==－，∴BD ·1CC =（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD.（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角.∵21)(21=+=CD BC CO （+），2111=-=CC CO O C （+）－∴CO ·211=OC （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC 3311=（3）解：设1CC CD=x ，CD =2， 则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=，AD =，DC =， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242x x -=0，得x =1或x =－32（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。
空间向量与立体几何早练专题练习(三)附答案新人教版高中数学名师一点通
三、解答题
15．（本题满分10分）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，点E是C1D1的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角A—EB—C的大小．
16．如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
∴AD⊥OB，
∴OA，OP，OB两两垂直，以O为原点 ， ， 分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
， ，
∴ ， ，
∴DM⊥BP，DM⊥CB，∴DM⊥平面PBC，
∴
平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小为 …………………………………10
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
10．（理）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若 ＝a， ＝b， ＝c，则 用a，b，c表示为________
11．若向量a＝(2，1，－2)，b＝(6，－3，2)，则cos<a，b>＝______．
12．已知∥，平面与平面的法向量分别为m，n，且m＝(1，－2，5)，n＝(－3，6，z)，则z＝______．
A. B. C. D.
2．(汇编·全国Ⅰ)设a、b、c是单位向量，有a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()
A．－2 B. －2
C．－1 D．1－
解析：解法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cosθ，sinθ)，则
(a－c)·(b－c)＝(1－cosθ，－sinθ)·(－cosθ，1－sinθ)＝1－sinθ－cosθ＝1－
江苏省淮安高二数学《空间向量与立体几何》同步练习
高二数学《空间向量与立体几何》同步练习教学目标：掌握用向量方法判定、证明线线、线面、面面的平行与垂直，会求异面直线所成角大小，会求二面角。
教学重点：证明线线、线面、面面的平行与垂直，会求异面直线所成角大小，会求二面角。
教学难点：证明线线、线面、面面的平行与垂直，会求异面直线所成角大小，会求二面角。
一、课前检测1、 已知ABCD 是四面体，O 为BCD 内一点，则1()3AO AB AC AD =++是O 为BCD 的重心的___________条件。
2、 已知直线1l 的一个方向向量为(1,1,2)-，直线2l 的一个方向向量为(3,2,0)-，则两直线所成角的余弦值为_______3、 平面α的法向量为(1,0,1)-，平面β的法向量为(0,1,1)-，则平面α与平面β所成的二面角的大小为______三、例题讲解例1、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别是11111CC B C D C 、、的中点。
（1）求证：AP MN ⊥ ；（2）求证：平面PMN 平面1A BD .D 1A 1CA例2、如图，在四棱锥S ABCD -中，90DAB ABC ∠=∠=,侧棱SA ⊥底面AC ，SA AB BC a ===，2AD a =。
（1）求证：平面SAC SCD ⊥平面；（2）求二面角A SD C --的大小；（3）求异面直线SD 与AC 所成的角；（4）设E 为BD 的中点，求SE 与平面SAC 所成的角。
例3、如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,2,4,1ABC BC CC EB ∠====D F G 、、分别为11111CC B C A C 、、的中点，EF 与1B D 相交于点H . （1）求证：1B D ABD ⊥平面；（2）求证：平面EGF 平面ABD ；（3）求平面EGF 与平面ABD 的距离。
例4、如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12,AB AD a AA a ===，又1160A AD DAB A AB ∠=∠=∠= ，（1）求证：1AA ⊥截面111B D C ；（2）求对角面11A ACC 的面积。
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同步练习 空间向量与立体几何3 学校： 姓名： 班级：
一、选择题
1. 在空间直角坐标系中，点)5,4,3(P 关于z 轴对称的点的坐标为（ ）
A. (－3,－4,5)
B. (3,－4,5)
C. (3,－4,－5)
D.(－3,4,5)
2. 下列能判定向量a ，b 垂直的是 ( )
A. a ·
b =0 B. a =(1，0，3) ，b =(0，2，0) C. a =λb D. a +b =a －b 3. 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若====B C
c AA b AC a 11,,,AB 则
（ ） A.a b c +- B ．a b c -- C ．a b c -+- D ．a b c --+
4. 设平面α的一个法向量为)2,2,1(1-=n ，平面β的一个法向量为),4,2(1k n --=，若βα//，则k ＝（ ）
A ．2
B ． 4
C ．－2
D ．－4 5. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1,21===AA BC AB ，则AB 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.
25 B. 25 C. 10 D.
12 6. 已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )
A. (1,－4,2)
B.11(,1,)42-
C. 11(,1,)42-
- D. (0,－1,1) 二、填空题
7. 知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 。
8.已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ===,,，用a ，b ，c 表示N M ，则N M =_______________。
三、解答题
9.已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A(－3,－1,4)，B(－2,－2,2)．
(1)求|2a ＋b|； (2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得b OE ⊥ (O 为原点)?
10.如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点．
(1)求异面直线AB 与EF 所成角的余弦值；
(2)求E 到平面ACD 的距离；
(3)求EF 与平面ACD 所成角的正弦值．
同步练习空间向量与立体几何3答案
1.A
2.B
3.B
4.B
5.B
6.D
7.3
8.1
()
2
b c a
+-解析：
11
()
22
MN ON OM b c a
=-=+-
9.解：
10.
高二数学(理）四清课练习二十二答案。