2018-2019学年河北省廊坊市省高一下学期期末考试数学试题

2018-2019学年河北省廊坊市省高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．7sin 6π= ( )A. 12B. 12- C. 2 D. 2-2．已知向量()2,1a =， (),2b x =-，若//a b ，则a b +等于（ ） A. ()2,1-- B. ()2,1 C. ()3,1- D. ()3,1-3．右图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A. 84， 4.84B. 84， 1.6C. 85， 1.6D. 85， 4 4．已知圆C 圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程是（ ）A. ()2212x y ++= B. ()2212x y -+= C. ()2218x y ++= D. ()2218x y -+=5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、 n 作为P 点的坐标，求点P 落在圆2216x y +=外部的概率是 ( )A. 59B. 23C. 79D. 896．要得到函数cos2y x x =+的图像，只需将函数2sin2y x =的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位C. 向左平移12π个单位D. 向右平移12π个单位7．如图是计算1111 (3519)++++的值的程序框图，在图中①、②处应填写的语句分别是（ ）A. 2,10?n n i =+>B. 2,10?n n i =+≥C. 1,10?n n i =+>D. 1,10?n n i =+≥8．任取,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则使sin cos x x ⎡+∈⎣的概率是（ ） A. 12 B. 34 C. 23 D. 139．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知()()20DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC ∆的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形10．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A. 17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []0,311．已知直线()200x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ）A. )+∞B. )5,25⎡⎣C. )+∞D.12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x -=-，且当[]0,1x ∈时，()2sin f x x x x =++，若方程()()0f x m m =>在区间[]4,4-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的值为（ ）A. 2B. 2-C. 4D. 4-二、填空题13．在—次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组由表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.6ˆˆy x a =+，若年龄x 的值为50，则y 的估计值为 ．14．已知1tan 2α=-，则22cos sin αα-的值为__________.15．若圆()22:25C x y +-=与恒过点()0,1P 的直线交于,A B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为__________.16．如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120，点C 在AB 上，且30COA ∠=，若OC OA OB λμ=+，则λμ+=__________.三、解答题17．已知,a b 为两个非零向量，且()2,1,a b a b b ==+⊥. （1）求a 与b 的夹角； （2）求32a b -.18．某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，其中工资收人分组区间是[)[)[)[)[)[]10,15,15,20,20,25,25,30,30,35,35,40.（单位：百元）（1）为了了解工薪阶层对工资收人的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1000人中抽取100人做电话询问，求月工资收人在[)30,35内应抽取的人数；（2）根据频率分布直方图估计这1000人的平均月工资为多少元.19．已知 ()4cos 5πα+=，且2παπ<<.（1）求()()5sin 4tan 3αππα+--的值；（2）若()0,cos 2πββα<<-=sin 22πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 20．某游乐场推出了一项趣味活动，参加活动者需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为,x y ，奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.21．已知 ()()2cos ,cos ,cos a x x b x x ωωωω==，函数()·f x a b m =+（其中0,)m R ω>∈，且()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π，并过点()0,2.（1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）若对任意12,0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12f x f x a -≤，求实数a 的取值范围.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点()2,4A .（1）是否存在直线:3l y kx =+与圆M 有两个交点,B C ，并且AB AC =，若有，求此直线方程，若没有，请说明理由；（2）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q 使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围.2018-2019学年河北省廊坊市省高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．7sin 6π= ( )A. 12B. 12--【答案】B【解析】试题分析： 7sin sin sin 666ππππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ 12-。

故选B 。

【考点】诱导公式点评：本题用到诱导公式()sin sin παα+=-。

2．已知向量()2,1a =， (),2b x =-，若//a b ，则a b +等于（ ） A. ()2,1-- B. ()2,1 C. ()3,1- D. ()3,1- 【答案】A【解析】试题分析：若，则，即，所以，故选A ．【考点】共线向量等价条件、坐标运算．3．右图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A. 84， 4.84B. 84， 1.6C. 85， 1.6D. 85， 4 【答案】C【解析】最高分为93，最低分79，所剩数据的平均数为，方差为。

4．已知圆C 圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程是（ ）A. ()2212x y ++= B. ()2212x y -+= C. ()2218x y ++= D. ()2218x y -+=【答案】A【解析】∵圆C 的圆心是直线x −y +1=0与x 轴的交点， ∴令x −y +1=0中y =0，得到x =−1，即圆心(−1,0)，∵圆C 与直线x +y +3=0相切，∴圆心C 到直线x +y +3=0的距离d =r ，即r ==则圆C 方程为(x +1)2+y 2=2. 本题选择A 选项.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、 n 作为P 点的坐标，求点P 落在圆2216x y +=外部的概率是 ( )A. 59B. 23C. 79D. 89【答案】C【解析】解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是点P 落在圆x 2+y 2=16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果，根据古典概型概率公式得到P=82369=，那么点P 落在圆2216x y +=外部的概率是1-29=79，选C6．要得到函数cos2y x x =+的图像，只需将函数2sin2y x =的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位C. 向左平移12π个单位D. 向右平移12π个单位【答案】B【解析】试题分析：由题意正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，故正三角形垛所需钢总数为()n n n 1S 1234n 2+=++++⋯+=,令()n n n 1S 2002+=≤解得n 19=是使得不等式成立的最大整数，此时n S 取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根．故选B ． 【考点】等差数列的前n 项和7．如图是计算1111 (3519)++++的值的程序框图，在图中①、②处应填写的语句分别是（ ）A. 2,10?n n i =+>B. 2,10?n n i =+≥C. 1,10?n n i =+>D. 1,10?n n i =+≥【答案】A【解析】①的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2，∴n=n+2，②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到19共10项，∴i>10? 本题选择A 选项.8．任取,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则使sin cos x x ⎡+∈⎣的概率是（ ） A. 12 B. 34 C. 23 D. 13【答案】B【解析】因为sin cos 4x x x π⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以sin 42x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因为,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以3,4124x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因为sin 4x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32243p ππ==.本题选择B 选项.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知()()20DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC ∆的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】试题分析：：∵()()20DB DC DA AB AC +-⋅-=，∴()()22·00AB AC AB AC AB AC +-=∴-=，即|AB|=|AC|．△ABC 的形状是等腰三角形【考点】向量运算10．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A. 17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []0,3【答案】A【解析】∵函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数的周期22T ππωω=∴，厔.再由函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足322232k x k k Z ππππωπ+++∈，剟，求得22766k k x k Z ππππωωωω++∈，剟. 取k=0,可得766x ππωω剟,故函数f(x)的一个减区间为7,66ππωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 再由62{ 76ππωππω≤≥,求得1736ω≤≤，本题选择A 选项.11．已知直线()200x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有3OA OB AB+≥，那么k的取值范围是（）A. )+∞B. )5,25⎡⎣ C.)+∞D.【答案】B【解析】设AB中点为D，则OD⊥AB，22233,2,23,14, 1.4OA OB AB OD ABAB ODOD AB OD+≥∴≥∴≤+=∴≥∵直线2x+y−k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A . B，2224,41,41OD OD∴∴≥∴>≥，解得：255k>≥.本题选择B选项.12．已知定义在R上的奇函数()f x，满足()()2f x f x-=-，且当[]0,1x∈时，()2sinf x x x x=++，若方程()()0f x m m=>在区间[]4,4-上有四个不同的根1234,,,x x x x，则1234x x x x+++的值为（）A. 2B. 2- C. 4 D. 4-【答案】D【解析】由题意可得函数是周期为4的函数，结合函数的解析式可知函数在[]0,1上单调递增，则在区间[][][]4,3,1,1,3,4---上单调递增，在区间[][]3,1,1,3--上单调递减，且关于直线1,3,1,3x x x x=-=-==对称，且()()()()()420240f f f f f-=-====，设方程的四个根满足1234x x x x<<<，则：123412346,2,4x x x x x x x x+=-+=∴+++=-.本题选择D选项.二、填空题13．在—次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：由表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.6ˆˆy x a =+，若年龄x 的值为50，则y 的估计值为 ． 【答案】32【解析】试题分析： 由题意可得430,20x y ==将()30,20代入0.6ˆˆyx a =+解得ˆ2a=，所以线性回归方程为0.62ˆy x =+，再将50x =代入0.62ˆy x =+得ˆ32y=，故答案为32. 【考点】 回归分析及线性回归方程.14．已知1tan 2α=-，则22cos sin αα-的值为__________.【答案】35【解析】由题意可得： 22222222cos sin 1tan 1cos sin cos sin 1tan 2αααααααα---===-++.点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 15．若圆()22:25C x y +-=与恒过点()0,1P 的直线交于,A B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为__________. 【答案】22320x y y +-+=【解析】由题知C （0，2），设动点M （x ，y ）， 当x =0时，M （0，1）；当x ≠0时，由垂径定理，知MN ⊥MC ，所以21·1y y x x --=-，整理得22320x y y +-+=，又（0，1）满足此方程， 所以弦AB 的中点M 的轨迹方程是22320x y y +-+=.16．如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120，点C 在AB 上，且30COA ∠=，若OC OA OB λμ=+，则λμ+=__________.【解析】根据题意，可得OA ⊥OC ，以O 为坐标为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则有C （1，0），A （0，1），B （cos30°，-sin30°），即12B ⎫-⎪⎪⎝⎭. 于是()()311,0,0,1,2OC OA OB ⎛⎫===- ⎪⎪⎝⎭. 由OC OA OB λμ=+，得：()()311,00,1,2λμ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，则：1{ 102μλμ=-=，解得3{ 3λμ==.∴λμ+=点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．三、解答题17．已知,a b 为两个非零向量，且()2,1,a b a b b ==+⊥.（1）求a 与b 的夹角； （2）求32a b -.【答案】(1) 23πθ=；(2) 【解析】试题分析：(1)由平面向量数量积的运算法则可得两向量夹角的余弦值12cos θ=-，则23πθ=； (2)结合(1)的结论和平面向量的运算法则可得32213a b -=. 试题解析： (1)()(),?0a b b a b b +⊥∴+=,即2·0a b b +=， 2·cos 0a b b θ∴+=，解得12,23cos πθθ=-∴=.(2) ()22223232912452a b a b a ab b -=-=-+=,32213a b ∴-=.18．某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，其中工资收人分组区间是[)[)[)[)[)[]10,15,15,20,20,25,25,30,30,35,35,40.（单位：百元）（1）为了了解工薪阶层对工资收人的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1000人中抽取100人做电话询问，求月工资收人在[)30,35内应抽取的人数；（2）根据频率分布直方图估计这1000人的平均月工资为多少元. 【答案】(1)15；(2)2400. 【解析】试题分析：(1)由分层抽样的定义可得月工资收人在[)30,35内应抽取的人数为15人； (2)利用频率分布直方图可求得根据频率分布直方图估计这1000人的平均月工资为2400元. 试题解析：(1)由频率发布直方图可得[)30,35月工资收入段所占频率为()10.020.040.050.050.0150.15-++++⨯=，所以抽取100人中[)30,35收入段的人数为1000.1515⨯=（人）. (2)这1000人平均工资的估计值为12.50.117.50.222.50.2527.50.25⨯+⨯+⨯+⨯ 32.50.1537.50.0524+⨯+⨯=（百元）2400=（元）.点睛：解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、频率组距，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×频率组距＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．19．已知 ()4cos 5πα+=，且2παπ<<.（1）求()()5sin 4tan 3αππα+--的值；（2）若()0,cos 25πββα<<-=，求sin 22πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)-6；(2) 117125-. 【解析】试题分析：(1)由诱导公式结合同角三角函数基本关系可得()()5sin 4tan 3αππα+--的值是-6；(2)由题意构造角，结合两角和差正余弦公式可得sin 22πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是117125-.试题解析： (1)()44cos ,cos 55παα+=∴=-,又33,sin ,tan 254παπαα<<∴==-，()()5sin 4tan 35sin 46tan αππααα∴+--=-+=-.(2)0,,022ππβαππβα<<<<∴-<-<,()sin 5βα-=-, ()()()cos cos cos cos sin sin ββααβααβαα⎡⎤=-+=---⎣⎦4355⎛⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,2117sin 2cos22cos 12125πβββ⎛⎫∴+==-=- ⎪⎝⎭.20．某游乐场推出了一项趣味活动，参加活动者需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为,x y ，奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】(1) 516；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由几何概型得到所有可能的事件，据此可得小亮获得玩具的概率是516； (2)结合古典概型计算公式可得小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，则小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 试题解析：用数对(),x y 表示小亮参加活动记录的数，则基本事件空间Ω与点集(){},|,,14,14S x y x N y N x y =∈∈≤≤≤≤一一对应，因为S 中元素个数是4416⨯=，所以基本事件总数为16n =.(1)记“3xy ≤”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共有5个，即()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,3,1.所以()516P A =，即小亮获得玩具的概率为516. (2)即“8xy ≥”为事件B ，“38xy <<”为事件C ，则事件B 包含的基本事件有6个，即()()()()()()2,4,3,3,3,4,4,2,4,3,4,4，所以()63168P B ==，则事件C 包含的基本事件有5个，即()()()()()1,4,2,2,2,3,3,2,4,1，所以()535,16816P C =>，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.21．已知 ()()2cos ,cos ,cos a x x b x x ωωωω==，函数()·f x a b m =+（其中0,)m R ω>∈，且()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π，并过点()0,2.（1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）若对任意12,0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12f x f x a -≤，求实数a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2) 3a ≥。