6弯曲变形
弯曲变形的知识点总结
弯曲变形的知识点总结1. 弯曲变形的原理在弯曲变形中，受力物体会在外力作用下发生曲率变化。
这种变形通常由外力施加在物体表面上引起的应力产生。
在一根杆或梁上的外力，会在杆或梁上引起内力，这些内力会使杆或梁的横截面发生应力，从而引起曲率的变化。
弯曲变形的原理涉及到材料的力学性能、结构的形状和外力的作用方式等因素。
2. 弯曲变形的应用弯曲变形在实际生活和工程中有着广泛的应用。
例如，桥梁、建筑结构、汽车的悬挂系统、飞机的机翼等都会受到弯曲变形的影响。
了解弯曲变形的原理和规律，可以帮助人们设计更加稳定、安全的结构，提高工程的可靠性和安全性。
3. 弯曲变形的影响因素弯曲变形的大小和形式受到多种因素的影响。
如外力的大小和方向、材料的性能、结构的形状和支撑条件等都会对弯曲变形产生影响。
了解这些影响因素可以帮助人们更好地预测和控制弯曲变形，从而提高结构的稳定性和安全性。
4. 弯曲变形的测量和分析为了更好地探测和分析弯曲变形，人们开发了多种测量和分析方法。
如应变计、光栅光束测量技术和有限元分析等方法都可以帮助人们准确地测量和分析弯曲变形的情况，从而为工程设计和结构优化提供数据支持。
5. 弯曲变形的控制和减小为了降低弯曲变形对结构安全性的影响，人们采用了多种方法进行控制和减小。
如调整结构的形状、改变材料的性能、增加支撑和加固等方式都可以有效地减小弯曲变形的影响，提高结构的稳定性和可靠性。
6. 弯曲变形的研究进展随着科学技术的发展，人们对弯曲变形的研究也不断取得新的进展。
如新材料的开发、新技术的应用以及先进的模拟和分析工具的发展，都为弯曲变形的研究提供了新的思路和方法。
未来，人们可以进一步深入研究弯曲变形的机理和规律，为工程设计和结构优化提供更加科学的依据。
总之，弯曲变形是一种重要的物理现象，对工程结构的稳定性和安全性有着重要的影响。
了解弯曲变形的原理、应用和影响因素，可以帮助人们更好地设计和优化结构，提高工程的可靠性和安全性。
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学刘鸿文第六版最新课件第六章 弯曲变形
内容回顾
6.1：基本概念 挠度；转角；挠曲线；挠度和转角的关系；挠度 和转角的符号定义。
6.2：挠曲线的微分方程
d2w M dx2 EI
6.3：积分法求弯曲变形
w" M(x) EI
EIw M ( x )dx C1 （转角方程） EIw M ( x )dxdx C1 x C 2 （挠度方程）
确定积分常数C1和C2
确定积分常数C1和C2
（1）在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 wB 都等于0。
A
wA 0
（2）在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A
和转角 A 都应等于0。
（3）在弯曲变形对称点，转角为0。
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
42
（4）若B支座改为弹簧支撑，则： （5）若B支座改为
又：
1M
EI
B
d2w M
ds
A
此式称为
dx2 EI
梁的挠曲线近似微分方15程
横力弯曲梁：
w" M(x) EI
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w ( x )
16
§6-3 用积分法求弯曲变形
一、微分方程的积分 w M ( x) EI
x a时，wC 左 wC 右
x L, w FBy
B
k
B kx
h F EA
A
C
a
bB
L
x 0, wA 0
x a时，C左 C右
x a时，wC左 wC右
x
L, wB
lBD
FByh EA
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
材料力学第6章弯曲变形
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
第三章 弯 曲 (2)
ρ = r + xt
r：弯曲件内弯曲半径 t：材料厚度 x：中性层位移系数，查表。 弯曲件展开尺寸计算：
r/t < 0.5时,因为圆角区域发生了严重变薄，其相邻的直边也变薄，因 此需要采用经验公式计算。 对于复杂形状的弯曲件，在初步计算后，还需要反复试弯，不断修 正才能确定坯料尺寸。
3 回弹值的确定： 为了得到形状与尺寸精确的弯曲件，需要实现确定回弹值， 因为影响因素很多，理论计算方法往往不精确，而且很复杂，因此 一般是根据经验数值以及简单的计算来初步确定模具工作部分尺寸， 然后在试模时校正。
图3-21
产生偏移的原因： 1 弯曲坯料形状不对称； 2 弯曲件两边折弯个数 不相等； 3 弯曲凸凹模结构不对 称。
图3-22
控制偏移措施： 1 采用压料装置。
图3-23
2 利用工艺孔限制坯料移动。 3 对偏移量进行补偿。
4 对不对称零件，先成对弯曲，再切断。 5 尽量采用对称凸凹模结构
图3-24
0 .7 K B t σ b F自 = r+t
2
U型件：
]型件：
F = 2.4 Btσ b ac 自
上式中： F自：自由弯曲在冲压行程结束时的弯曲力； B：弯曲件的宽度； r：弯曲件的内弯曲半径； t：弯曲件材料厚度； σb：材料抗拉强度； K：安全系数，一般取1.3 a、c：系数； 校正弯曲时的弯曲力： 校正弯曲时的弯曲力一般按照下式计算：
2 应力状态 长度方向：弯曲内区受压，外区受拉，切向应力是绝对值最大的主应 力； 厚度方向：在变形区内存在径向压应力，在板料表面为0，由表及里 逐渐增加，到达中性层时达到最大值； 宽度方向：对于窄板，由于可以自由变形，因此内外区都为0，对于 宽板，内区为压应力，外区为拉应力
材料力学习题册答案_第6章_弯曲变形
得 x=0.519l
所以
W
m
ax
=0.00652
ql 4 EI
3 用叠加法求如图 7 所示各梁截面 A 的挠度和转角。EI 为已知常数。
解 A 截面的挠度为 P 单独作用与 M 0 单独作用所产生的挠度之和。 查表得：
y AP
Pl 3 24 EI
y = M 0l 2 Pl 3
AM 0
8EI
度 y = Fl 3 。 C 32 EI
4. 如图 4 所示两梁的横截面大小形状均相同，跨度为 l , 则两梁的力 图 相同 ，两梁的变形 不同 。（填“相同”或“不同”）
5. 提高梁的刚度措施有 提高Wz 、 降低 M MAX 等。 四、计算题 1 用积分法求图 5 所示梁 A 截面的挠度和 B 截面的转角。
8EI
y y 则 y A
AP
= Pl 3
AM0 12 EI
同理，A 截面的转角为 P 单独作用与 M 0 单独作用所产生的转角之和。
查表得
AP
Pl 2 8EI
对于 AM0 可求得该转角满足方程 EI =-Plx+C 边界条件 x=0 0 可得 C=0
现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连
续 条件来确定。
2. 用积分法求图 2 所示梁变形法时，边界条件为：YA 0,A 0,YD 0 ；
连续条件为：
YA
1
YA
2
,
B
1
B
2
,
YC3.
如图
3
所示的外伸梁，已知
B
截面转角
B
=
Fl 2 16 EI
，则 C 截面的挠
于零的截面处。
刘鸿文版材料力学第六章
F6bl
(l2
b2 ) x1
CB 段： a x2 l
y
F
A A
DC
FAy x1
x2
a
ym ax b
B B x
FBy
EI
Fb 2 2l
2
x2
F 2
(
x2
a)2
Fb (l2 6l
b2 )
EIy2
Fb 6l
x32
F 6
(
x2
a)3
F6lb (l2 b2 ) x2
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN， q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂 梁。
MA
FA FB
FB FB
yB2
yB1
FB
变形协调方程为： 物理关系
yB1 yB 2
4
EI
ql 4 48EI
ql 4 16 EI
11ql 4 ( ) 384 EI
3
ql 3
B i 1 Bi 24EI
ql 3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( ) 48EI
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
§6-4 用叠加法求弯曲变形
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§6-5 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
弯曲变形求解方法
①建立刚度条件，解决刚度问题
②建立变形协调条件，解决超静定问题
③为振动计算奠定基础。
§6.2挠曲线的微分方程
一、概念
以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。
①挠曲线：
在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。
②挠度：
一、梁的刚度条件
在工程中，梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。梁的刚度条件为
式中 ——最大挠跨比；
——许用挠跨比。许用挠跨比可从设计规范中查得，一般在 ～ 之间。
[例6－2]受力情况如图9－42a所示的简支梁，由型号为45a工字钢制成。材料的许用应力 MPa， ，材料的弹性模量为 GPa，试校核梁的强度和刚度。
梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。
③挠曲线的方程式：
w=f(x)
④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故
⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。
⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。
[解]（1）作梁的弯矩图（图9－42b）。
由图可知： kN·m
（2）校核梁的强度。
查型号为45a工字钢知，惯性矩 cm4，抗弯截面系数 cm3。
梁内最大正应力
N/mm2=103.18MPa＜
梁满足强度要求。
（3）校核梁的刚度
用叠加法计算梁跨中的挠度为
mm
=18.5mm
＜ =0.002
梁满足刚度要求。此梁安全。
二、提高梁刚度的措施
要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来考虑。梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载、梁的跨度、支座条件及梁的抗弯刚度有关，因此，要降低挠度，提高刚度，可采用以下措施：
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第六章
( ) wA
= − q0l 4 30EI
↓
，θB
= q0l3 24EI
（顺）
讨论：请读者按右手坐标系求 wA ，θB 并与以上解答比较。
(c)
(c1)
解 图(c1)
( ) ∑ M B = 0 ， FC
= − Me l
↓
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
Ew1′′
=
3 8
qlx1
−
1 2
qx12
EIw1′
=
3 16
qlx12
−
1 6
qx13
+
C1
EIw1
=
1 16
qlx13
−
1 24
qx14
+
C1 x1
+
D1
EIw′2′
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞ 4⎠
EIw′2
=
3 16
qlx22
−
ql 4
⎜⎛ ⎝
x2
24
EIw′(l) = 0 ，− q l 3 + 3Al 2 + 2Bl = 0
6
解式（a），（b）得
A = ql ， B = − ql 2
12
24
即挠曲线方程为
EIw = − q x4 + ql x3 − ql 2 x2 24 12 24
第六章弯曲变形分析
第六章 弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。
本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。
6.1 梁的内力● 梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。
在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。
在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。
在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称图6–1 梁 图6–2 对称弯曲图6–3 梁的约束 图6–4 三类静定梁面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。
它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。
本章只讨论梁的对称弯曲。
图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。
在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。
图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。
这三种梁都是静定梁。
作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。
在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。
● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。
具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。
例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。
解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。
精品课件-材料力学(张功学)-第6章
图6－4
6.1 引 言
解（1）求约束力。建立坐标系如图所示,求得约束力为
方向均竖直向上。
FAy
b l
F
,
FBy
a l
F
（2）写出弯矩方程。由于集中力加在两支座之间，弯矩方
程在AC、BC两段各不相同。
AC段:
M
1(
x)
b l
Fx
w(a )w(a ), (a ) (a )
(f)
利用式（e）和式（f），即可解得
D1 D2 0,
C1
C2
Fb(b 6l
2
l
2
)
于是，求得梁的转角方程和挠曲线方程分别为
6.1 引 言
AC段:
EI (x) Fb(3x2 b2 l 2 )
6l
EIw(x) Fbx[x3 (b2 l 2 )x] 6l
（a） （b） （c）
6.1 引 言
确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度 和转角均为零。即
w00, 00
将（b）、(c)两式代入，得
D0, C0
将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠
度方程分别为
(x)dw
1
Wx 2 (
Wlx )
dx EI 2
w(x) 1 (Wx 3 Wlx 2 ) EI 6 2
6.1 引 言 显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得
m
ax
B
1 EI
(Wl 2
2
Wl
2
Wl 2 )
2EI
1 Wl 3 Wl 3 Wl 3
工程力学(第二版)章图文 (6)
(1) 一体重为700 N (2) 要求两名体重均为700 N的工人抬着1500 N的货物安全 走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h。
第6章 弯 曲
解 (1) 计算弯矩的最大值Ｍmax。当工人行走到跳板中央
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧(或右侧）所 有外力对该截面形心的力矩的代数和。
第6章 弯 曲
为了使所求得的剪力与弯矩符合前面的符号规定，按此 规律计算剪力时，截面左侧梁上外力向上取正值，向下取负 值，截面右侧梁上外力向下取正值，向上取负值；计算弯矩 时，截面左侧梁上外力对该截面形心的力矩顺时针转向取正 值，逆时针转向取负值，截面右侧外力对该截面形心的力矩 逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。可以将这个规则归 纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯 矩为正。
第6章 弯 曲 图 6.10
第6章 弯 曲 解 设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段
为研究对象，画出受力图，如图6.10(b)所示。 根据平衡条件：
由Fs=qx可绘出剪力图，如图6.10(c)所示；由 描点可绘出弯矩图，如图6.10(d)
第6章 弯 曲
6.3 弯曲时的正应力与强度计算
m，材料的许用应力[σ]=150 MPa， 求此悬臂梁的许可载荷。
图 6.15
第6章 弯 曲 解 绘出悬臂梁的弯矩图，如图6.15(b)所示。 图中，Mmax=Fl=4000F 梁的横截面抗弯截面系数为
由梁的弯曲正应力强度条件得
因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000 N。
第6章 弯 曲 【例6.5】 某建筑工地上, 用长l=3 m的矩形截面木板做
第06章弯曲变形题解
第6章 弯曲变形习题解答6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度。
梁的抗弯刚度EI 为已知。
（a ）解：（1）弯矩方程 0≤ x ≤l+aM (x )=qlx －qx 2/2+q<x-l>2/2-ql 2/2（2）积分 EI θ (x )= qlx 2/2－qx 3/6+q<x-l>3/6-ql 2x /2+CEI ν(x )= qlx 3/6－qx 4/24+q<x-l>4/24-ql 2x 2/4+Cx+D （3）定常数x = 0 θ = 0 → C = 0 x = 0 ν= 0 → D = 0νmax =ν B =)341(84laEI ql +-(↓)（b ）解：（1）支反力 F A = M o / l (↑), F C =－M o / l (↓) （2）弯矩方程 0≤ x ≤ 4l/3M (x )= M o x / l －M o <x-l> / l （3）积分EI θ (x )= M o x 2 / 2l － M o <x-l>2 /2 l +CEI ν(x )= M o x 3 / 6l － M o <x-l>3/6 l +C x+D （4）定常数x = 0 ν= 0 → D = 0x = l ν= 0 → C =－M o l /6νmax =ν B =EIl M o 62(↑)6-2 写出下列各梁的边界条件，并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状。
解：x = 0 ν= 0 x = a ν= 0x = l ν= ∆k = M o / lk x = 3a ν= ∆l = Fa /2EA(b) ν(b) (a)x = 0 θ = 0 x = 0 ν= 0 x = 0 ν=0 x = 3a ν= 0x = 0 ν= 0 x = 0 ν= 0 , θ = 0x =2a ν=0 x = 2a ν= 06-3 用叠加法求下列各梁C 截面的挠度和B 截面的转角。
材料力学典型例题及解析 6.弯曲变形典型习题解析
弯曲变形典型习题解析1 试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程，说明用什么条件决定方程中积分常数，画出挠曲轴大致形状。
图中C 为中间铰。
为已知。
I E解题分析：梁上中间铰处，左、右挠度相等，转角不相等。
解：设支反力为，如图示。
yB A yA FM F、、1、建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为AC 、CB 、BD 段。
AC 段 a x ≤≤10挠曲轴近似微分方程 11x FM w I E yA A ⋅−=′′转角方程1211'12C x Fx Mw IE yA A+−= (a) 挠度方程1113121162D x C x F x M w I E y A A ++−=(b)CB 段 )(2b a x a +≤≤挠曲轴近似微分方程2"2x FMw I E yA A ⋅−=转角方程 222222C x F xM w I E yA A+−=′(c)挠度方程2223222262D x C xFx M w I E yA A++−= (d)BD 段 l x b a ≤≤+3)(挠曲轴近似微分方程[])(333b a x Fx FM w I E yB yA A+−+−=′′转角方程[]32323332)(2C b a x F x F x M w I E yB yA A++−+−=′ (e) 挠度方程[]33333332336)(62D x C b a x FxFxM w I E yB yA A+++−+−= (f)2、确定积分常数共有6个积分常数。
需要6个位移边界条件和光滑连续条件。
332211D C D C D C 、、、、、题1图M A边界条件：，代入(b)得 01=x 01=w 01=D (g)0'1=w 代入(a)得 01=C(h)b a x +=2，02=w (i)连续条件： ， a x x ==2121w w =(j) b a x x +==32， 32w w ′=′ (k) 32w w =(l)联立(i)、(j)、(k)、(l)，可求出。
第六周 材料力学A_(弯曲变形的基本概念和分类, 正应力公式)
M ( x)
从梁中切出小分离体： x方向平衡： FN 2 FN 1 FS 0 M
y
M+dM
FN 2 dA
A1
A1
M dM ydA Iz
A1
dx FS
z b
y
假设： 横截面上各点切应力方向平行 于剪力的方向 横截面上切应力沿z方向均布
M dM 其中 S Sz z Iz M 同理 FN1 Sz
M=Fl/4
max
(5.7)
C
max
31
M=Fl/4
C
如T形、槽形截面等
32
2.弯曲切应力强度条件 梁弯曲时，横截面上切应力的危险点： 剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零）， ——纯剪切应力状态 F
A F/2 (FS) F/2 F/2 C B
3.梁的弯曲强度计算 (1)一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只 校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动 满足）。 F h
h 1 h b h2 矩形截面： Sz ( y) b ( y) ( y ( y)) ( y2 ) 2 2 2 2 4
max
max
min
H
M
( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
FS h2 3 F 3 S 3 bh 4 2 A 2 2 12
z
M
y
ymax2 z ymax1
max
Wz1
M
应分别计算 max max
Iz ymax1
由梁所受外力(已知载荷) 图,求得各截面上的弯矩)
弯曲变形
3）建立相当系统 (以多余约束反力代 替多余约束。) 4）变形协调条件
f B = f BP + f BY = 0
B
f B = 0(VB = 0)
5）物理关系 查表 : Pa 2 f BP = + ( 3L − a ) 6 EI Z 3 YB L f BY = − B 3EI Z
6）补充方程:
Pa 2 YB L3 ( 3L − a ) − =0 6 EI Z 3EI Z
PL2 → D1 = D2 = 0, C1 = C2 = 24
4）求θC和VC： θ
4）求θC和VC： θ
1 3 1 L 3 PL2 BC段：EI zV = − Px + P( x − ) + x 6 3 2 24 PL3 1 L 3 PL2 PL3 V |x = L = − + P( L − ) + ×L= − (↓) 6 3 2 24 12 EI Z
6）刚度校核：
令 = 0(即 = 0处) V' θ L →x= 3
f
max
M 0 2 M 0L − x + =0 2L 6
=
M 0 L2 9 3EI Z
< [ f ] 刚度满足要求。
例二、长度为L的梁AC，其EI为常数，在自由端承 受集中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角。 解： 1）外力分析： RA = P(↓), R B = 2 P ( ↑ ) 2）内力分析及挠曲线 微分方程及其积分 AB段：0 ≤ x ≤ L / 2 ) (
M 0L C = 6
5）求θA，θB。
M 0L （ θ A = θ (0 ) = 6 EI Z M 0L θ B = θ (L ) = − （ 3EI Z
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AC段 (0 x1 a ) ： EI dw1 Fb x 2 C 1 1
x1 0, w1 0 : D1 0 : 连续光滑条件： x1 x2 a : dw1 dw2 , w1 w2 dx1 dx2 Fb 2 Fb 2 C1 C2 a C1 a C2 2l 2l
D0 x 0时有w 0： ql 4 ql 4 ql 3 x l时有w 0： Cl 0 C
12 24 24
ql 2 q 3 ql 3 EIw x x 4 6 24
ql 3 q 4 ql 3 EIw x x x 12 24 24 q
挠度w：截面形心在垂直于梁轴方向的位移。 转角θ：横截面绕中性轴转过的角度。 转角 y 挠曲线
w
x
x
挠曲线方程：
w w( x )
dx
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计. dw 挠度转角关系为： 转角方程 tan w向上为正,向下为负。 θ:从x轴逆时针转向切线为正，反之为负。
Up
Down
第六章
弯曲变形
Rest
Up
Down
§6.1
工程中的弯曲变形问题
1.轴向拉（压）－轴力FN F 2.圆轴扭转－扭矩T
Me
F
Me
3.弯曲变形－－?? 挠度和转角
Rest
“梁”是否满足了强度条件：
σmax≤[σ]；τmax≤[τ]
就可以保证其正常工作吗 ?
“齿轮”能否正常工作 ?
“齿轮啮合”模拟
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都 是最大值: 3
max
ql A B 24 EI
例6.3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠 度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。 解 由梁整体平衡分析得： F Fb Fa w FRA , FRB A D C B B l l AC段 (0 x1 a ) ： A x FRA Fb FRB w max M x1 FRA x1 x1 x 1 l 2 x2 d w1 Fb
M EI z
1
d w M ( x) 2 dx EI z
曲线向下凸时: 曲线向上凸时:
2
w
M
M
d 2w M ( x) 2 dx EI z
w
M
M 0 w 0
M
O
M 0 w 0
x
x
O
§6.3 用积分法求弯曲变形
Up
Down
( 挠曲线的近似微分方程) 1)积分一次： (转角方程) 2)再积分一次：
AC段 (0 x1 a ) ： EI dw1 Fb x 2 C 1 1
x1 0, w1 0 : D1 0 : 连续光滑条件： dw1 dw2 x1 x2 a : , w1 w2 dx1 dx2 C1 C 2 D2 0 x2 l , w2 0 :
习题6.4（a）
w
A
x l
Me
x
B
FAy
Me 2 2 (3 x l ) 6 EIl Me x 2 2 w (x l ) 6 EIl
Me dw 2 2 6、计算梁的最大挠度 (3 x l ) 0 dx 6 EIl
l x0 时w有极值，且这一极值为 3 Mel 2 w极 值 ( ) 9 3 EI
解：1.列弯矩方程： 2.挠曲线近似微分方程： 3.积分：
Rest
A
x
F
Up
Down
l
B
4.确定积分常数：
Rest
例6.2 试用积分法求受均布荷载作用的简支梁 的弯曲变形。 q 解:由对称性可知,梁 的两个支反力为 B A ql x l FRA FRB 2 FR A FR B ql q 2 ql 2 q 3 M ( x) x x EIw x x C 2 2 4 6 ql q 2 EIw ql x 3 q x 4 Cx D EIw x x 12 24 2 2
5、确定积分常数 x 0, w 0 : D 0 : Mel M 2 e x l, w 0 : 0 l Cl C 6 EI 6 EI Me Me x 2 2 2 2 (3 x l ) w (x l ) 6 EIl 6 EIl 6、计算梁的最大挠度
Fb 3 Fb 3 a C1 a a C 2a D2 6l 6l
D2 0
dx1 2l Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 CB 段 ： ( a x l ) 2 6l dw2 Fb 2 F EI x2 ( x2 a )2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C 2 x2 D2 6l 6
CB段 (a x2 l ) ：
A B B dw1 Fb 2 EI x1 C1 A x dx1 2l FRA wmax FRB Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 x1 6l x2
AC段 (0 x1 a ) ：
w
F D C
a
b
dx1 2l Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 CB 段 ： ( a x l ) 2 6l dw2 Fb 2 F EI x2 ( x2 a )2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C 2 x2 D2 6l 6
CB段 (a x2 l ) ：
A dw1 Fb 2 EI x1 C1 A dx1 2l FRA Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 x1 6l x
AC段 (0 x1 a ) ：
w
F D C
B B
wmax
b
x
FRB
Fb M x2 FRA x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ) l 2 d w2 Fb EI x2 F ( x2 a ) 2 dx2 l dw2 Fb 2 F EI x2 ( x2 a )2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C 2 x2 D2 6l 6
dx EIl Me 2 dw x C dx 2 EIl
2
FAy
FAy M e / l
M e FAy l 0
x
Me 3 w x Cx D 6 EIl
5、确定积分常数
习题6.4（a）
w
A
x l
Me
FAy
Me 2 dw x C dx 2 EIl x Me 3 B w x Cx D 6 EIl
dx l dw1 Fb 2 Fb 3 EI x1 C1 EIw1 x1 C1 x1 D1 dx1 2l 6l EI
2 1
x1
a
b
CB段 (a x2 l ) ：
Fb M x2 FRA x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ) l
§6.4 用叠加法求弯曲变形 叠加法的前提条件： 1）小变形； 2）线弹性范围工作。
因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关 系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠 度和转角。
叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠 度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同 一截面挠度或转角的代数和。
B (F1 , F2 , , Fn ) B (F1 ) B (F2 ) B (Fn )
极值时的x0 ( l b 2 x1 ) 6l
dw1 Fb 2 EI ( 3 x1 l 2 b2 ) 0 dx1 6l w F 2 2 l b A D C B B 极值时的x0 3 A x FRA Fb( l 2 b 2 )3 / 2 wmax FRB
A x FR A l
B FR B
D0
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 C 24
ql 2 q 3 ql 3 ql 3 q 4 ql 3 EIw x x EIw x x x 4 6 24 12 q 24 24 最大挠度和最大转角分 A B 别为: A 4 w max B l 5ql wmax w( ) l 2 384 EI
如果a>b，则最大挠度发生在AC段：
w极 值
9 3 EIl
( )
x1
a
x2
b
如果a=b=l/2，则最大挠度发生在梁的中点，此时 Fl 3 w极 值 ( ) 48 EI
习题6.4（a）
习题6.4（a）
w
A
x l
Me
M
x
B
解：1、计算支座反力
B
(F ) 0 :
2、求弯矩方程 3、建立挠曲线近似微分方程 M F x M e x Ay 2 l d w Me 4、积分
wB ( F1 , F2 , , Fn ) wB ( F1 ) wB ( F2 ) wB ( Fn )
叠加法适合： 1.叠加法适用于求梁特定截面的挠度或转角值； 2.梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或
有变形表可查。
例6.4 用叠加法求图示简支梁中点C 的 挠度。 F q 分析： 该简支梁上同时 A L/2 C L/2 作用有两类载荷： q q 和 F 。 A 所以使用 L/2 C L/2
(挠度方程) C、D为积分常数。
Rest
确定积分常数：用边界条件和连续光滑条件
θA = ω A = 0