材料力学习题册答案_第6章_弯曲变形
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36 120l
边界条件为 x=0 y=0
x=l y=0
得
D=0
C = 7ql 2
360
则可得挠曲线方程为 EI y= qx (10l 2 x2 3x4 7l 4 )
360
求 W max
令 EI ql x2 q x4 7ql 3 0
12 24l 360
即 2l 2 x2 x4 7 l 4 0
解 ① 对于 OA 段： 弯矩方程为 即 EIy’’=- 1 Pl-Px
2
M(x)=- 1 Pl-Px
2
EIy’=-
1 2
Plx-
1 2
P
x
2
+
C1
EIy=-
1 4
Plx
2
-
1 6
P
x
3
+
C1
x+
C
2
边界条件 x=0 y’=0
x=0 y=0
由此边界条件可解得
将 C1 =C2 =0 及
C1 =C2 =0
现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连
续 条件来确定。
2. 用积分法求图 2 所示梁变形法时，边界条件为：YA 0,A 0,YD 0 ；
连续条件为：
YA
1
YA
2
,
B
1
B
2
,
YC
2
YC
3
。
3.
如图
3
所示的外伸梁，已知
B
截面转角
B
=
Fl 2 16 EI
，则 C 截面的挠
x= 1 l 分别代入挠度及转角方程得
2
A 截面转角为 = 3Pl 2 A 8EI
挠度为 y = Pl 3 A 12 EI
② 对于 AB 段 弯矩 M= EIy’’=Pl
则
EIy’=EI =Plx+C3 （设 x=0 处为 A 截面）
边界条件 x=0
= = 3Pl 2 A 8EI
得
C = 3Pl2 38
8EI
y y 则 y A
AP
= Pl 3
AM0 12 EI
同理，A 截面的转角为 P 单独作用与 M 0 单独作用所产生的转角之和。
查表得
AP
Pl 2 8EI
对于 AM0 可求得该转角满足方程 EI =-Plx+C 边界条件 x=0 0 可得 C=0
将
C = 3Pl2 38
及
x= 1 l 代入转角方程即得
2
B 截面转角为 = Pl 2 B 8EI
综上所述：A 截面挠度为 y = Pl 3 A 12 EI
B 截面转角为
= Pl 2
B 8EI
2 简支梁受三角形分布载荷作用，如图 6 所示梁。
（1）试导出该梁的挠曲线方程；
（2）确定该梁的最大挠度。
A 无分布载荷作用
B 有均布载荷作用
C 分布载荷是 x 的一次函数 D 分布载荷是 x 的二次函数
8. 图 1 所示结构的变形谐条件为：（D）
A f =f
A
B
C f + f =△l
A
B
B f +△l= f
A
B
D f - f =△l
A
B
三、填空题
1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时， 若积分需分成两段，则会出
第六章 弯曲变形
一、 是非判断题
1． 梁的挠曲线近似微分方程为 EIy’’=M（x）。
（√）
2． 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为
零。
（×）
3． 两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相
同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
否相同无关。
（×）
4． 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等
度 y = Fl 3 。 C 32 EI
4. 如图 4 所示两梁的横截面大小形状均相同，跨度为 l , 则两梁的力 图 相同 ，两梁的变形 不同 。（填“相同”或“不同”）
5. 提高梁的刚度措施有 提高Wz 、 降低 M MAX 等。 四、计算题 1 用积分法求图 5 所示梁 A 截面的挠度和 B 截面的转角。
15
得 x=0.519l
所以
W
m
ax
=0.00652
ql 4 EI
3 用叠加法求如图 7 所示各梁截面 A 的挠度和转角。EI 为已知常数。
解 A 截面的挠度为 P 单独作用与 M 0 单独作用所产生的挠度之和。 查表得：
y AP
Pl 3 24 EI
y = M 0l 2 Pl 3
AM 0
8EI
解 设梁上某截面到 A 截面距离为 x。
首先求支反力，则有
F
A
=
1 l
（
1 2
ql*
1 3
l）=
1 6
ql
(↑)
M(x)=-( ql x 1 q x3 )
6 6l
EIy’’=M(x)= ql x 1 q x3
6 6l
EIy’= ql x2 q x4 C
12 24l
EIy= ql x3 q x5 Cx D
于零的截面处。
（×）
5． 若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面
的挠度相等，转角不等。
（√）
6． 简支梁的抗弯刚度 EI 相同，在梁中间受载荷 F 相同，当梁的跨
度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。
（×）
7． 当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每
一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
（√）
8． 弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）
二、 选择题
1. 梁的挠度是（D）
A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移
B 横截面形心沿梁轴方向的位移
C 横截面形心沿梁轴方向的线位移
D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。
A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在 xoy 平面 D 同时满足 A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨 中作用有相同的力 F，二者的（B）不同。 A 支反力 B 最大正应力 C 最大挠度 D 最大转角 6. 某悬臂梁其刚度为 EI，跨度为 l，自由端作用有力 F。为减小最大 挠度，则下列方案中最佳方案是（B） A 梁长改为 l /2，惯性矩改为 I/8 B 梁长改为 3 l /4，惯性矩改为 I/2 C 梁长改为 5 l /4，惯性矩改为 3I/2 D 梁长改为 3 l /2，惯性矩改为 I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为： y(x)=Ax ²(4lx - 6l ²-x ²)，则该段梁上（B）
边界条件为 x=0 y=0
x=l y=0
得
D=0
C = 7ql 2
360
则可得挠曲线方程为 EI y= qx (10l 2 x2 3x4 7l 4 )
360
求 W max
令 EI ql x2 q x4 7ql 3 0
12 24l 360
即 2l 2 x2 x4 7 l 4 0
解 ① 对于 OA 段： 弯矩方程为 即 EIy’’=- 1 Pl-Px
2
M(x)=- 1 Pl-Px
2
EIy’=-
1 2
Plx-
1 2
P
x
2
+
C1
EIy=-
1 4
Plx
2
-
1 6
P
x
3
+
C1
x+
C
2
边界条件 x=0 y’=0
x=0 y=0
由此边界条件可解得
将 C1 =C2 =0 及
C1 =C2 =0
现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连
续 条件来确定。
2. 用积分法求图 2 所示梁变形法时，边界条件为：YA 0,A 0,YD 0 ；
连续条件为：
YA
1
YA
2
,
B
1
B
2
,
YC
2
YC
3
。
3.
如图
3
所示的外伸梁，已知
B
截面转角
B
=
Fl 2 16 EI
，则 C 截面的挠
x= 1 l 分别代入挠度及转角方程得
2
A 截面转角为 = 3Pl 2 A 8EI
挠度为 y = Pl 3 A 12 EI
② 对于 AB 段 弯矩 M= EIy’’=Pl
则
EIy’=EI =Plx+C3 （设 x=0 处为 A 截面）
边界条件 x=0
= = 3Pl 2 A 8EI
得
C = 3Pl2 38
8EI
y y 则 y A
AP
= Pl 3
AM0 12 EI
同理，A 截面的转角为 P 单独作用与 M 0 单独作用所产生的转角之和。
查表得
AP
Pl 2 8EI
对于 AM0 可求得该转角满足方程 EI =-Plx+C 边界条件 x=0 0 可得 C=0
将
C = 3Pl2 38
及
x= 1 l 代入转角方程即得
2
B 截面转角为 = Pl 2 B 8EI
综上所述：A 截面挠度为 y = Pl 3 A 12 EI
B 截面转角为
= Pl 2
B 8EI
2 简支梁受三角形分布载荷作用，如图 6 所示梁。
（1）试导出该梁的挠曲线方程；
（2）确定该梁的最大挠度。
A 无分布载荷作用
B 有均布载荷作用
C 分布载荷是 x 的一次函数 D 分布载荷是 x 的二次函数
8. 图 1 所示结构的变形谐条件为：（D）
A f =f
A
B
C f + f =△l
A
B
B f +△l= f
A
B
D f - f =△l
A
B
三、填空题
1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时， 若积分需分成两段，则会出
第六章 弯曲变形
一、 是非判断题
1． 梁的挠曲线近似微分方程为 EIy’’=M（x）。
（√）
2． 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为
零。
（×）
3． 两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相
同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
否相同无关。
（×）
4． 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等
度 y = Fl 3 。 C 32 EI
4. 如图 4 所示两梁的横截面大小形状均相同，跨度为 l , 则两梁的力 图 相同 ，两梁的变形 不同 。（填“相同”或“不同”）
5. 提高梁的刚度措施有 提高Wz 、 降低 M MAX 等。 四、计算题 1 用积分法求图 5 所示梁 A 截面的挠度和 B 截面的转角。
15
得 x=0.519l
所以
W
m
ax
=0.00652
ql 4 EI
3 用叠加法求如图 7 所示各梁截面 A 的挠度和转角。EI 为已知常数。
解 A 截面的挠度为 P 单独作用与 M 0 单独作用所产生的挠度之和。 查表得：
y AP
Pl 3 24 EI
y = M 0l 2 Pl 3
AM 0
8EI
解 设梁上某截面到 A 截面距离为 x。
首先求支反力，则有
F
A
=
1 l
（
1 2
ql*
1 3
l）=
1 6
ql
(↑)
M(x)=-( ql x 1 q x3 )
6 6l
EIy’’=M(x)= ql x 1 q x3
6 6l
EIy’= ql x2 q x4 C
12 24l
EIy= ql x3 q x5 Cx D
于零的截面处。
（×）
5． 若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面
的挠度相等，转角不等。
（√）
6． 简支梁的抗弯刚度 EI 相同，在梁中间受载荷 F 相同，当梁的跨
度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。
（×）
7． 当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每
一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
（√）
8． 弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）
二、 选择题
1. 梁的挠度是（D）
A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移
B 横截面形心沿梁轴方向的位移
C 横截面形心沿梁轴方向的线位移
D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。
A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在 xoy 平面 D 同时满足 A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨 中作用有相同的力 F，二者的（B）不同。 A 支反力 B 最大正应力 C 最大挠度 D 最大转角 6. 某悬臂梁其刚度为 EI，跨度为 l，自由端作用有力 F。为减小最大 挠度，则下列方案中最佳方案是（B） A 梁长改为 l /2，惯性矩改为 I/8 B 梁长改为 3 l /4，惯性矩改为 I/2 C 梁长改为 5 l /4，惯性矩改为 3I/2 D 梁长改为 3 l /2，惯性矩改为 I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为： y(x)=Ax ²(4lx - 6l ²-x ²)，则该段梁上（B）