直线中的对称问题PPT教学课件
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人教版八年级数学上册课件：13.1 轴对称(共25张PPT)
的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和
结论． 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”， 结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．
此时 ， 逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线 段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平 分线上．” 写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，那么 需证明它；如果假 ，那么需用反例说明．请同学们自行在 练习册上完成． 学生给出了如下的四种证法．
M A A′
P
B C C′ B′
N
下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明 理由吗？
l
A B
A′ B′
(一)线段的垂直平分线的性质
教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什
么发现？
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点， 分别量一量点 P1 ， P2 ， P3…到点 A 与点 B 的距离，你有什么 发现？ 学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等． 性质的证明：
证得PA＝PB. 教师要求学生自己写已知 ， 求证，证明过程．学 生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
已知：MN⊥AB，垂足为点 C ， AC ＝ BC ，点 P 是直线 MN 上任 意一点．求证：PA＝PB. 证明：在△APC和△BPC中，
∵PC＝PC(公共边)，∠PCA＝∠PCB(垂直的定义)，
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这 条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关
于这条直线（成轴）对称．
猜字游戏: 在艺术字中,有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下 列是哪些字的一半吗？
问题2 观察下面每对图形（如图），你能类比前面的 内容概括出它们的共同特征吗？
高中数学课件必修二两直线的平行与垂直及对称问题
－2)x＋3my＋2m＝0，若 l1∥l2，求实数 m 的值； (2)已知两直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和 l2：x＋(a－1)y
＋(a2－1)＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值．
【解析】(1)方法 1： ①当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2； ②当 m≠0 时，l1：y＝－m12x－m62， l2：y＝23－mmx－32， 由－m12＝23－mm，且－m62≠－23，所以 m＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
解三：取l上两点0(0，0), P(1，2)
它们关于A（2,3）的对称点 为O '(4, 6)，P '(3，4）
直线O ' P '即直线l ' : y 2x 2
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
Q A到l的距离 A到l'的距离,
| 22 3|
|
2
2
3
l
a
|
,
22 (1)2
22 (1)2
即|1+a|=1. a=0或-2. (a 0舍去) 故 l'的方程为2x y 2 0
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
由所给直线方程可得 a·1＋2(a－1)＝0⇒a＝23. 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
(2) l 关于 A 对称的直线 l / 的方程； (3)直线 l1 ：2 x — y =4 关于 l 对称的直线 l2 的方程。
＋(a2－1)＝0.若 l1⊥l2，求实数 a 的值．
【解析】(1)方法 1： ①当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2； ②当 m≠0 时，l1：y＝－m12x－m62， l2：y＝23－mmx－32， 由－m12＝23－mm，且－m62≠－23，所以 m＝－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
解三：取l上两点0(0，0), P(1，2)
它们关于A（2,3）的对称点 为O '(4, 6)，P '(3，4）
直线O ' P '即直线l ' : y 2x 2
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
Q A到l的距离 A到l'的距离,
| 22 3|
|
2
2
3
l
a
|
,
22 (1)2
22 (1)2
即|1+a|=1. a=0或-2. (a 0舍去) 故 l'的方程为2x y 2 0
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(2) l 关于 A 对称的直线l / 的方程；
由所给直线方程可得 a·1＋2(a－1)＝0⇒a＝23. 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
(2) l 关于 A 对称的直线 l / 的方程； (3)直线 l1 ：2 x — y =4 关于 l 对称的直线 l2 的方程。
新人教版八年级数学上册13.1.1轴对称ppt课件
轴对称
形状
是否轴对称图 对称轴的数
形
量(条)
是
2
是 不是
4 -------
是
是
20
1
无数
可编辑课件PPT
轴对称
对称轴问题
（1）有些轴对称图形的对称轴只有一条， 但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的 轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
（2）对称轴通常画成虚线，是直线，不 能画成线段。
21
可编辑课件PPT
形，那么这两个图形关于这条直线＿对＿称＿；如果
把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个
图形就是__轴__对__称__图__形___．
30
可编辑课件PPT
想一想：0-9十个数字中，哪些是
轴对称图形？（抢答）
01234
56789
31
可编辑课件PPT
猜字游戏: 在艺术字中,有些汉字是轴对称的， 你能猜一猜下列是哪些字的一半吗？
3、（日照·中考）已知以下四个汽车标志图案： 其中是轴对称图形的图案是 （只需填入图案代号）.
【解析】根据轴对称的定义可以得出①③是轴对称图形. 答案：①③
39
可编辑课件PPT
通过本课时的学习，需要我们： 1.了解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念.
2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴（直线），能找出 两个图形关于某直线对称的对称点.
28
可编辑课件PPT
想一想
轴对称
轴对称图形
两个图形成轴对称
29
可编辑课件PPT
比较归纳
轴对称
区别 联系
轴对称图形
_一___个图形
两个图形成轴对称
__两___个图形
人教版八年数学上 第13章_轴对称单元复习课件(共27张PPT)
(2)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠后，能 够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线 成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。
(3)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线。
3
(4)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线。
13
例1 如图，以直线AE为对称轴，画出该图形的另一部分。
B C
A D E
解：作图过程如下：
(1)分别作出点B、C关 F 于直线AE的对称点F、H。
(2)连结AF、FD、DH、 HE，得到所求的图形。
H
14
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y轴对y 称的点的坐标为（-a，b）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上。
4
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形 和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止 一条对称轴。
5
二、题目特点：
• 判断轴对称图形或对称轴的条数 • 根据轴对称图形的性质作对称轴 • 用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理 三、解题切入点：
4
A5E来自FG3
12
∴ AB=DB， ∠1= ∠2=60° 从而有 ∠3= ∠1=60° 在△ABF和△DBG中
∠3= ∠1
BC
∠4= ∠5
AB=DB
∴ △ABF≌ △DBG
∴ＢF＝ＢG
1.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，求 △PED的周长 .
3
2
B1
(3)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线。
3
(4)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线。
13
例1 如图，以直线AE为对称轴，画出该图形的另一部分。
B C
A D E
解：作图过程如下：
(1)分别作出点B、C关 F 于直线AE的对称点F、H。
(2)连结AF、FD、DH、 HE，得到所求的图形。
H
14
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y轴对y 称的点的坐标为（-a，b）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上。
4
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形 和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止 一条对称轴。
5
二、题目特点：
• 判断轴对称图形或对称轴的条数 • 根据轴对称图形的性质作对称轴 • 用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理 三、解题切入点：
4
A5E来自FG3
12
∴ AB=DB， ∠1= ∠2=60° 从而有 ∠3= ∠1=60° 在△ABF和△DBG中
∠3= ∠1
BC
∠4= ∠5
AB=DB
∴ △ABF≌ △DBG
∴ＢF＝ＢG
1.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，求 △PED的周长 .
3
2
B1
人教版八年级上册数学课件13.2画轴对称图形(共29张PPT)
作法： （1）过点A画直线l的垂线
，垂足为点O，在垂线上截 取OA′=OA，A′就是点A关 于直线l的对称点。
┐┐ O
A
B
┐
C
（2）同理，分别画出点B，C关 于直线l的对称点B′，C′ 。
（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得
到△A′B′C′ 即为所求。
议一议
通过以上探究,你能总结出作轴对称图形 的方法吗?
1、找特征点
整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半。
作 打开纸，看看这两个图形有什么关系?
2、作垂线 练习 1、如图，把下列图形补成关于直线L的对称图形。
图 作出与线段AB关于直线l成轴对称的图形
习题 如图给出了一个图案的一半，其中的虚线 l 是这个图案的对称轴。 步 13.2 求作：点A关于直线l的对称点A′
画轴对称图形
猜一猜
下列图片被遮住了一半 请说出图片的名称
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称.
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称
三、 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 求作：点A关于直线l的对称点A′ 对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形 已知：线段AB和直线l 整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半。
整个图案是个什么形状？ 请准确地画出它的另一半。
l
BA
C D
FE
G
H
实际图形和印章中的像可以 看成上图那样的成轴对称关系。
轴对称变换前后的 图形是一对“好朋友”
，在一次活动中他们走散了，请同学们帮助他
，垂足为点O，在垂线上截 取OA′=OA，A′就是点A关 于直线l的对称点。
┐┐ O
A
B
┐
C
（2）同理，分别画出点B，C关 于直线l的对称点B′，C′ 。
（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得
到△A′B′C′ 即为所求。
议一议
通过以上探究,你能总结出作轴对称图形 的方法吗?
1、找特征点
整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半。
作 打开纸，看看这两个图形有什么关系?
2、作垂线 练习 1、如图，把下列图形补成关于直线L的对称图形。
图 作出与线段AB关于直线l成轴对称的图形
习题 如图给出了一个图案的一半，其中的虚线 l 是这个图案的对称轴。 步 13.2 求作：点A关于直线l的对称点A′
画轴对称图形
猜一猜
下列图片被遮住了一半 请说出图片的名称
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称.
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称
猜一猜
下列图片被遮住了一半. 请说出图片的名称
三、 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 求作：点A关于直线l的对称点A′ 对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形 已知：线段AB和直线l 整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半。
整个图案是个什么形状？ 请准确地画出它的另一半。
l
BA
C D
FE
G
H
实际图形和印章中的像可以 看成上图那样的成轴对称关系。
轴对称变换前后的 图形是一对“好朋友”
，在一次活动中他们走散了，请同学们帮助他
对称问题PPT完美课件
点M（或直线l）的对称点仍在C上 .
1．两点之间的中心对称
如果点P1(x1, y1), P2(x2, y2),关于点M(a, b)对称，
那么点M是线段P1P2的中点，
y
根据中点坐标公式有：
.P 1(x 1,y1)
x1 x2 2 a
y1
y2
2b
M(a,b)
.x . O
P 2(x 2,y 2)
|AB | 5
B
在 RA t B 中 |C B|C 1， ta nABC 2.C o
x
设所求直线斜率为 k
则
k ( 3) 4
1 ( 3) k
2 k1或k11
2
2
4
故所求直线 x2方 y4 程 0或 1 为 x 1： 2y16 0.
对称问题PPT完美课件
对称问题PPT完美课件
巩固1.光线沿着x直 2y线 50射入 ,遇到直线
则点P关于点A(1,2)的对称点为 Q(2x,4y)
由点Q在直线 x－y＋2=0上得 (2 x ) (4 y) 2 0
即 x y 0 为所求对称直线方程.
. y
l
Q
l’
.. A P
②点A(1,2)关于直线x－y＋2=0对称的点为 ；
解：设所求的对称点为 A(x, y), 则
1 x
2 y
2
x 1
1
2 y 2
1
2
0
x
y
0 3
A(0,3).
对称问题PPT完美课件
对称问题PPT完美课件
③直线x－y＋2=0关于点A(1,2)对称的直线为
；
解：在直线 x－y＋2=0上取两点P1(－2,0)，P2(0, 2)， 设它们关于点A(1,2)对称点Q1(x1, y1), Q2(x2, y2), 则中点公式得
1．两点之间的中心对称
如果点P1(x1, y1), P2(x2, y2),关于点M(a, b)对称，
那么点M是线段P1P2的中点，
y
根据中点坐标公式有：
.P 1(x 1,y1)
x1 x2 2 a
y1
y2
2b
M(a,b)
.x . O
P 2(x 2,y 2)
|AB | 5
B
在 RA t B 中 |C B|C 1， ta nABC 2.C o
x
设所求直线斜率为 k
则
k ( 3) 4
1 ( 3) k
2 k1或k11
2
2
4
故所求直线 x2方 y4 程 0或 1 为 x 1： 2y16 0.
对称问题PPT完美课件
对称问题PPT完美课件
巩固1.光线沿着x直 2y线 50射入 ,遇到直线
则点P关于点A(1,2)的对称点为 Q(2x,4y)
由点Q在直线 x－y＋2=0上得 (2 x ) (4 y) 2 0
即 x y 0 为所求对称直线方程.
. y
l
Q
l’
.. A P
②点A(1,2)关于直线x－y＋2=0对称的点为 ；
解：设所求的对称点为 A(x, y), 则
1 x
2 y
2
x 1
1
2 y 2
1
2
0
x
y
0 3
A(0,3).
对称问题PPT完美课件
对称问题PPT完美课件
③直线x－y＋2=0关于点A(1,2)对称的直线为
；
解：在直线 x－y＋2=0上取两点P1(－2,0)，P2(0, 2)， 设它们关于点A(1,2)对称点Q1(x1, y1), Q2(x2, y2), 则中点公式得
高中数学同步教学课件 对称问题
经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
A.2 10
B.6
C.3 3
√D. 26
1234
由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1 (0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴a2b＋－a 22× ＋2 b－＝13，＝－1，
a＝1， 解得b＝3. ∴P2(1,3)，
3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐 标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标， 再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e 不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称 点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程.
2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P′(x2，y2)， 连接PP′，交l于点M，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′ 的中点，
kl·kPP′＝－1， 又因为 M 在直线 l 上，故可得A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0， 解出(x2，y2)即可.
①
∵BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上，
∴a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.
②
由①②得ab＝ ＝－5，1，
∴点B′的坐标为(5，－1).
《轴对称》PPT课件
∠A与∠___A_'____，∠B与∠____B_'___，∠C与∠___C_'____分
别是对应角.
知识要点
比较归纳
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别 联系
一个图形具有的特 殊形状
两个全等图形的特殊 的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
想一想 （1）根据全等的意义，△ABC和△A'B'C'全等吗？ 对应线段有怎样的数量关系？对应角呢？
△ABC≌△A'B'C' 对应线段相等 对应角相等
想一想 （2）对应角点的连线AA'，BB'，CC'分别与对称轴l
具有怎样和的位置关系？
AA'∥BB'∥CC'
AA'⊥l，BB'⊥l，CC'⊥l
轴对称图形的性质
如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么，这两个图形 是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连 的线段被对称轴垂直平分.
现在就让我们一起来认识这奇妙的轴对称吧！
讲授新课
一 轴对称图形与轴对称的概念
问题1 如图，观察这几张图片，它们是不是轴对称，可通过 什么方法进行说明？
√
√
×
a m
轴对称图形和对称轴 一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部
分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线叫做对称轴.
当堂练习
1.你能找出这些图形的对称轴吗?
2.找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.
3.（1）整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？ （2）图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？ （3）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？
别是对应角.
知识要点
比较归纳
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别 联系
一个图形具有的特 殊形状
两个全等图形的特殊 的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
想一想 （1）根据全等的意义，△ABC和△A'B'C'全等吗？ 对应线段有怎样的数量关系？对应角呢？
△ABC≌△A'B'C' 对应线段相等 对应角相等
想一想 （2）对应角点的连线AA'，BB'，CC'分别与对称轴l
具有怎样和的位置关系？
AA'∥BB'∥CC'
AA'⊥l，BB'⊥l，CC'⊥l
轴对称图形的性质
如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么，这两个图形 是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连 的线段被对称轴垂直平分.
现在就让我们一起来认识这奇妙的轴对称吧！
讲授新课
一 轴对称图形与轴对称的概念
问题1 如图，观察这几张图片，它们是不是轴对称，可通过 什么方法进行说明？
√
√
×
a m
轴对称图形和对称轴 一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部
分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线叫做对称轴.
当堂练习
1.你能找出这些图形的对称轴吗?
2.找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.
3.（1）整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？ （2）图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？ （3）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？
轴对称课件ppt
具之一。
THANKS
感谢观看
04
轴对称的作图
轴对称作图的方法和步骤
确定对称轴
首先确定图形关于哪条直线对称，即对称轴的位 置。
绘制对称图形
根据对称轴，绘制出与原图形对称的图形。
检查完整性
确保新绘制的图形与原图形完全一致，没有遗漏 或多余的部分。
轴对称作图的实例解析
矩形
以矩形为例，其对称轴为其对角线，沿对称轴折叠后，两侧图形 完全重合。
轴对称的两个图形也是全等的，它们的对应点关于对称轴对称，且每个点到对称轴的距离等 于它到对称点的距离。
轴对称与旋转对称的关系
旋转对称是指图形绕某一点旋转一定角度后与自身重合，而轴对称则是 图形关于某一直线对称。
旋转对称和轴对称可以同时存在于一个图形中，例如正三角形既具有旋 转对称性（绕中心点旋转120度与自身重合），又具有轴对称性（关于中
轴对称的几何意义
点关于对称轴的对称
对于直线上的任意一点，关于对称轴都有另一个点与之对称，且 两点连线与对称轴垂直。
直线关于对称轴的对称
对于直线上的任意一段线段，关于对称轴都有另一段线段与之对称 ，且两段线段平行于对称轴。
平面图形关于对称轴的对称
对于平面图形中的任意部分，关于对称轴都有另一部分与之对称， 且两部分形状和大小完全相同。
01
首先需要确定两个图形之间的对称轴。
寻找对应点
02
在两个图形上寻找关于对称轴对称的对应点。
判断是否满足判定定理
03
检查对应点连线是否被对称轴垂直平分，以及对应线段是否关
于对称轴对称。
判定轴对称的实例解析
01
02
03
等腰三角形
等腰三角形是轴对称的， 其对称为底边的中垂线 。
THANKS
感谢观看
04
轴对称的作图
轴对称作图的方法和步骤
确定对称轴
首先确定图形关于哪条直线对称，即对称轴的位 置。
绘制对称图形
根据对称轴，绘制出与原图形对称的图形。
检查完整性
确保新绘制的图形与原图形完全一致，没有遗漏 或多余的部分。
轴对称作图的实例解析
矩形
以矩形为例，其对称轴为其对角线，沿对称轴折叠后，两侧图形 完全重合。
轴对称的两个图形也是全等的，它们的对应点关于对称轴对称，且每个点到对称轴的距离等 于它到对称点的距离。
轴对称与旋转对称的关系
旋转对称是指图形绕某一点旋转一定角度后与自身重合，而轴对称则是 图形关于某一直线对称。
旋转对称和轴对称可以同时存在于一个图形中，例如正三角形既具有旋 转对称性（绕中心点旋转120度与自身重合），又具有轴对称性（关于中
轴对称的几何意义
点关于对称轴的对称
对于直线上的任意一点，关于对称轴都有另一个点与之对称，且 两点连线与对称轴垂直。
直线关于对称轴的对称
对于直线上的任意一段线段，关于对称轴都有另一段线段与之对称 ，且两段线段平行于对称轴。
平面图形关于对称轴的对称
对于平面图形中的任意部分，关于对称轴都有另一部分与之对称， 且两部分形状和大小完全相同。
01
首先需要确定两个图形之间的对称轴。
寻找对应点
02
在两个图形上寻找关于对称轴对称的对应点。
判断是否满足判定定理
03
检查对应点连线是否被对称轴垂直平分，以及对应线段是否关
于对称轴对称。
判定轴对称的实例解析
01
02
03
等腰三角形
等腰三角形是轴对称的， 其对称为底边的中垂线 。
第二章平面解析几何初步-对称问题课件-2021-2022学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册
x
E
12
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
(2)若L1 ‖ L2，设L方程为x-y+m=0
则 L1与 L2距离等于L2与 L距离 建立等量关系，解方程求m
几种特殊的对称：
对称的直线l2的方程.
解法一：由
2x 3x
y40 4y 1 0
x y
3 2
l1 y
得 l1 与 l 交点E (3， 2)
l
则E(3， 2)也在直线l2上
在直线 l1：2x y 4 0上取一点 A(2 ，0)，
设A关于l的对称点 B(x0，y0)
则
y0 x0
0 2
4 3
3
x0 2
2
（一）点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
P(x,y) 关于原点 p'(-x , -y) 关于 x 轴 p'(x , -y)
关于 y 轴 关于直线 y=x 关于直线 y=-x 关于直线 x=m 关于直线 y=n
p'(-x , y) p'(y , x) p'(-y , -x) p'(2m-x , y) p'(x , 2n-y)
则
y
x
y x
4 5
3
x
2
x
4
y
2
y
1
0
l
l1
y
. P’
x y
7x 24
24 y 25
x 7y 25
6
8
l2
.
13.1.1 轴对称 课件(共23张PPT)
①
②
③
④
⑤
√
√
√
×
√
实战演练
2.下图中，左边图形和右边图形成轴对称的有（ ）. A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
C
①
②
③
实战演练
4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，将其折叠，使点A落在边AB上C′处，折痕为BD，则∠C′DA的度数为_______.
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
合作探究
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别
联系
一个图形具有的特殊形状
两个全等图形的特殊的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合.
2.可以互相转化.
比一比
合作探究
思考：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
A′
B′
C′
N
M
AA′⊥MN，BB′⊥MN，CC′⊥MN.
PA=PA′
QB=QB′
HC=HC′
P
Q
H
对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直这条线段。
垂直平分线
合作探究
如图，MN⊥AA′，AP=A′P. 直线MN是线段AA′的垂直平分线.
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
√
√
×
√
小试牛刀
2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点. （1） （2） （3）
②
③
④
⑤
√
√
√
×
√
实战演练
2.下图中，左边图形和右边图形成轴对称的有（ ）. A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
C
①
②
③
实战演练
4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，将其折叠，使点A落在边AB上C′处，折痕为BD，则∠C′DA的度数为_______.
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
合作探究
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别
联系
一个图形具有的特殊形状
两个全等图形的特殊的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合.
2.可以互相转化.
比一比
合作探究
思考：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
A′
B′
C′
N
M
AA′⊥MN，BB′⊥MN，CC′⊥MN.
PA=PA′
QB=QB′
HC=HC′
P
Q
H
对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直这条线段。
垂直平分线
合作探究
如图，MN⊥AA′，AP=A′P. 直线MN是线段AA′的垂直平分线.
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
√
√
×
√
小试牛刀
2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点. （1） （2） （3）
沪教版数学高二下-1直线中的对称问题PPT全文课件
6
y
l2 : 2x y 1 0
l2
:
2x
y
1
0的
交
点
为(
1 3
,
1 3
),
4
显 然 所 求 直 线 斜 率 存 在， 可 设 所
求 直 线 方 程 为y 1 k(x 1 )，
3
3
即k x y 1 k 1 0, 在 直 线 33
l-215 : 2x y 1 0上 取 点-10(0,1)， 利 用
，
P(x0 , y0 )
2
解方程-组15 aa(yx2yx00)
b(x x0 ) b y y0
2 -10
c
0
-5
o
5x
解出x, y，即得P点的坐标
-2
l：ax by c 0
-4
沪教版数学高二下-1直线中的对称问 题PPT全 文课件 【完美 课件】
-6
线线对称
8
例4 求直线 l1:2x y 6 0关于直线l: 2x y 1 0对称的直线方程
(5,2)
-15
-10
-5
(3,0)
o
(4,0)5 x
2x y 6 0
-2
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线点对称
例2 求直线 l: 2x y 6 0 关于点 M(1,1) 对称的直线方程
解 法 二 ： 由 中 心 对 称 性质 可 知 ， 所 求 直 线 与 已 知直 线 平 行 ， 故 可 设 所 求 直线 为2x y c 0， 由 点M(1,1) 到直线的距离公式得
(2,2)
2
(2,0)
-5
1o 1
高中信息技术关于点(直线)对称的直线方程(修改)优秀课件
3
题型二、两点关于直线对称问题
例 假设点A〔2，0〕关于直线y=2x+1对称的对称点为点B，那么点B〔的-坐2，2〕
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
标
.
方法总结：求点关于直线的对称点的步骤： 第一步，设出所求点的坐标(m，n)—求谁设谁; 第二步，利用以下条件列出方程组： ①两点的连线的斜率与直线垂直斜率之积为-1; ②两点连线段的中点在直线上. 第三步，解方程组即可得到m、n的值，从而得到所 求点的坐标。
7
练习 1.点〔1，0〕关于直线x+y+1=0的对称点是〔-1，-2〕 . 3.点〔-1，1〕关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是〔2，-2〕 .
8
练习 1.点〔2，5〕关于直线x=1的对称点的坐标为 〔0，5〕. 2.点P〔1，2〕关于直线y=1对称的点的坐标是 〔1，0〕.
9
题型三、两线关于直线对称问题 例 求直线x+2y-3=0关于直线x=1对称的直线l的方程.
． . 14
解：
∵
方法：假设两直线关于直线x=a对称，那么这两直线的斜率互为相反数.
10
练习 1.直线x-4y+2=0关于直线x=-2对称的直线方程是 x+4y+2=0 .
11
题型三、两线关于直线对称问题
例直线3x-y+3=0关于x-y-2=0对称的直线方程为
．
注意：此方法对于斜率不是±1的情况不适用。 求直线关于某直线的对称对称直线，斜率不是±1的情况，一般不予考查.
12
练习 1.直线x+2y-3=0关于直线x+y-1=0的对称直线方程为
2x+y=0 .
2.直线3x+4y=2关于直线y=x的对称直线的方程是 4x+3y=2 .
题型二、两点关于直线对称问题
例 假设点A〔2，0〕关于直线y=2x+1对称的对称点为点B，那么点B〔的-坐2，2〕
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
标
.
方法总结：求点关于直线的对称点的步骤： 第一步，设出所求点的坐标(m，n)—求谁设谁; 第二步，利用以下条件列出方程组： ①两点的连线的斜率与直线垂直斜率之积为-1; ②两点连线段的中点在直线上. 第三步，解方程组即可得到m、n的值，从而得到所 求点的坐标。
7
练习 1.点〔1，0〕关于直线x+y+1=0的对称点是〔-1，-2〕 . 3.点〔-1，1〕关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是〔2，-2〕 .
8
练习 1.点〔2，5〕关于直线x=1的对称点的坐标为 〔0，5〕. 2.点P〔1，2〕关于直线y=1对称的点的坐标是 〔1，0〕.
9
题型三、两线关于直线对称问题 例 求直线x+2y-3=0关于直线x=1对称的直线l的方程.
． . 14
解：
∵
方法：假设两直线关于直线x=a对称，那么这两直线的斜率互为相反数.
10
练习 1.直线x-4y+2=0关于直线x=-2对称的直线方程是 x+4y+2=0 .
11
题型三、两线关于直线对称问题
例直线3x-y+3=0关于x-y-2=0对称的直线方程为
．
注意：此方法对于斜率不是±1的情况不适用。 求直线关于某直线的对称对称直线，斜率不是±1的情况，一般不予考查.
12
练习 1.直线x+2y-3=0关于直线x+y-1=0的对称直线方程为
2x+y=0 .
2.直线3x+4y=2关于直线y=x的对称直线的方程是 4x+3y=2 .
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直线中的对称问题
学生分析
学生已经在一次函数的基础上体会了 直线的五种方程形式，经历了通过直线方 程研究直线的位置关系的过程，但学生遇 到探索性和开放性问题时往往不知如何下 手。
直线中的对称问题
教学目标
1、掌握利用点关于直线的对称点求直线方 程，渗透数形结合、等价转换、 一一对应 等数学思想。（重点及难点）
甲烷的实验室制法：
1、药品:无水醋酸钠(CH3COONa)和碱石灰； 2、发生和收集装置:
使用“固+固 气 ”型的物质制备发生装置.
(与实验室制氧气,氨气的装置相同) 由于甲烷不溶于水,可用排水法收集.
3、碱石灰的作用。
乙烯的实验室制法：
1、发生装置及收集方法:
（1）选用“液+液 气”的物质制备装 置.(与实验室制氯气,氯化氢的装置相同) （2）用排水法收集.
（4）求三角形ABC中的三条角平分线所在的直线方程。
直线中的对称问题
思考：
已知哪些条件可以求直线方程？ 能否概括出点关于直线的对称点问题中，两
个点和这条直线的位置关系？
直线中的对称问题
3、知识应用阶段
（1）折纸游戏
在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长 为2，宽为1，AB、AD分别在X轴、Y轴的正半 轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点 A落在线段DC上（如图所示）
直线中的对称问题
教学设计说明
在倡导学生动手实践、自主探索与 合作交流的学习方式的同时，更要重视 在各个知识节点中进行数学思想方法的 渗透，这就是我本节课的教学主旨。
直线中的对称问题
教材分析
1、教材课题：直线中的对称问题 2、地位作用：直线是解析几何中最基本的一种曲
线，直线中的对称点问题是学生研究其它曲线 对称性的基础，它为两点间距离的最值问题的 转化提供了桥梁。 3、教学结构：第一课时主要研究关于直线的对称 点问题，第二课时研究直线关于直线的对称问 题，本节课是第一课时。
二、有冷凝装置的实验
制备实验 性质实验
(1)制溴苯；
(1)石油分镏；
(2)制乙酸乙酯； (3)制硝基苯；
(2)石油产品的催化裂化；
(3)煤的干镏；
(4)制酚醛树脂；
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石油分馏
石油分馏产品的催化裂化
煤的干馏
三、需要水浴加热的实验
A、制备硝基苯，需要温度计 B、制备酚醛树脂 C、银镜反应（热水浴） D、乙酸乙酯的水解（700C－800C）
（1）求点A关于直线BC的对称点的坐标，点B关于直线 AC的对称点的坐标，点C关于直线AB的对称点的坐 标。
（2）求经过点A且与直线BC垂直的直线方程，经过点B 且与直线AC垂直的直线方程，经过点C且与直线AB 垂直的直线方程。
（3）求经过点A且到点B、C距离相等的直线方程，经过 点B且到点A、C距离相等的直线方程，经过点C且到 点A、B距离相等的直线方程。
（1）两次反射的关系是什么？ （2）为了解决本题，主要是求哪个量？ （3）已知的点A，点B与所求的量的位置关系如
何？
直线中的对称问题
2、知识形成阶段——开放问题BA NhomakorabeaC
O
如图，已经平面上三个定点A （1，1）B（2，4）C（4， 1），请问可以求哪些与图形 对称有关的问题？
直线中的对称问题
学生的答案可能有（可能有老师没有考虑到的情况）
（1）除去硝基苯中的残酸 （2）除去溴苯中的溴 （3）除去乙酸乙酯中的乙酸 （4）除去溴乙烷中的乙醇 （5）除去苯中的苯酚 （6）除去苯中的甲苯
（2）求函数y=√X2-4X+13 -√X2-2X+5 的最大值 （3）以A（4，5）为顶点，在X轴上找一点B，
另在直线l：2X-Y+2=0上找一点C构成三角 形ABC，使其周长最小，并求出这个最小值
直线中的对称问题
直线中的对称问题
一、几种有机气体的制备
(1) 甲烷的制备; (2) 乙烯的制备; (3)乙炔的制备;
2、实验注意事项:
（1）V(乙醇)/V(浓硫酸)=1:3; （2）烧瓶中加入啐瓷片防止爆沸; （3）迅速升温至170 0c。
乙炔的实验室制法:
1.发生装置:“固+液 气”的制取装置;
2.收集方法:排水法; 3.注意事项:
(1)可用饱和食盐水代替水,以得到平稳气流. (2)不能使用启普发生器, (3)产物气体中因含有AsH3,PH3而有特殊气味.
E、蔗糖的水解（热水浴） F、纤维素的水解（15min，热水浴）
四、有机物的分离、提纯与检验
1、蒸馏
分离相溶的沸点不同的液体混合物可用蒸馏的方法
适用范围
（1）提纯硝基苯 （2）制无水乙醇 （3） 从乙酸和乙醇的 混合物中分离乙醇 （4）石油的分馏
2、分液
分离两种互不相溶的液体，可用分离的方法
适用范围
直线中的对称问题
Q1：若折叠后，点A与DC边的中点 E重合，此时折痕所在直线方程？
D
E
C
P
M
A
NB
Q2：若AD中点为M，折叠到点A与 DC边的中点E重合，此时点M与点 P重合，求点P的坐标
Q3：若折痕所在直线的斜率为K，试 写出折痕所在直线方程？
直线中的对称问题
（2）实际问题 在一条笔直的河的同侧有两个农场A、B，
2、通过实际问题的解答，加强学生数学应 用意识 。
3、通过教师指导下的交流、思考，激发学 生的学习兴趣，使学生经历数学思维过程， 获得成功的体验 。
直线中的对称问题
教学设计
1、知识引入阶段——情感体验 2、知识形成阶段——开放问题 3、知识应用阶段——折纸游戏、实际问题 4、学习小结阶段——体会归纳 5、复习巩固阶段——作业练习
直线中的对称问题
1、知识引入阶段——情感体验
如图，在打台球时，球A必须打
C
球C，但是在球A与球C之间，靠近A
B A
处有球B挡住，因此不能直接打，只
能先打到下边反弹到右边，再打中
球C，已知球A距离下边1.3m，离右
边1m，球C距离下边2m，离右边
0.3m，问应该如何打？
直线中的对称问题
引导学生思考以下三个问题
试问在河岸哪一点上修一排灌站，使这一点到 农场的距离之和最小？
B A
直线中的对称问题
4、学习小结阶段——体会归纳
学习小结的依据： （1）你学到了什么？ （2）你有什么收获？ （3）你还有什么问题？ （4）你还想知道什么？
直线中的对称问题
5、复习巩固阶段——作业练习
（1）求函数y=√X2-4X+13 +√X2-2X+5 的最小 值
学生分析
学生已经在一次函数的基础上体会了 直线的五种方程形式，经历了通过直线方 程研究直线的位置关系的过程，但学生遇 到探索性和开放性问题时往往不知如何下 手。
直线中的对称问题
教学目标
1、掌握利用点关于直线的对称点求直线方 程，渗透数形结合、等价转换、 一一对应 等数学思想。（重点及难点）
甲烷的实验室制法：
1、药品:无水醋酸钠(CH3COONa)和碱石灰； 2、发生和收集装置:
使用“固+固 气 ”型的物质制备发生装置.
(与实验室制氧气,氨气的装置相同) 由于甲烷不溶于水,可用排水法收集.
3、碱石灰的作用。
乙烯的实验室制法：
1、发生装置及收集方法:
（1）选用“液+液 气”的物质制备装 置.(与实验室制氯气,氯化氢的装置相同) （2）用排水法收集.
（4）求三角形ABC中的三条角平分线所在的直线方程。
直线中的对称问题
思考：
已知哪些条件可以求直线方程？ 能否概括出点关于直线的对称点问题中，两
个点和这条直线的位置关系？
直线中的对称问题
3、知识应用阶段
（1）折纸游戏
在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长 为2，宽为1，AB、AD分别在X轴、Y轴的正半 轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点 A落在线段DC上（如图所示）
直线中的对称问题
教学设计说明
在倡导学生动手实践、自主探索与 合作交流的学习方式的同时，更要重视 在各个知识节点中进行数学思想方法的 渗透，这就是我本节课的教学主旨。
直线中的对称问题
教材分析
1、教材课题：直线中的对称问题 2、地位作用：直线是解析几何中最基本的一种曲
线，直线中的对称点问题是学生研究其它曲线 对称性的基础，它为两点间距离的最值问题的 转化提供了桥梁。 3、教学结构：第一课时主要研究关于直线的对称 点问题，第二课时研究直线关于直线的对称问 题，本节课是第一课时。
二、有冷凝装置的实验
制备实验 性质实验
(1)制溴苯；
(1)石油分镏；
(2)制乙酸乙酯； (3)制硝基苯；
(2)石油产品的催化裂化；
(3)煤的干镏；
(4)制酚醛树脂；
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石油分馏
石油分馏产品的催化裂化
煤的干馏
三、需要水浴加热的实验
A、制备硝基苯，需要温度计 B、制备酚醛树脂 C、银镜反应（热水浴） D、乙酸乙酯的水解（700C－800C）
（1）求点A关于直线BC的对称点的坐标，点B关于直线 AC的对称点的坐标，点C关于直线AB的对称点的坐 标。
（2）求经过点A且与直线BC垂直的直线方程，经过点B 且与直线AC垂直的直线方程，经过点C且与直线AB 垂直的直线方程。
（3）求经过点A且到点B、C距离相等的直线方程，经过 点B且到点A、C距离相等的直线方程，经过点C且到 点A、B距离相等的直线方程。
（1）两次反射的关系是什么？ （2）为了解决本题，主要是求哪个量？ （3）已知的点A，点B与所求的量的位置关系如
何？
直线中的对称问题
2、知识形成阶段——开放问题BA NhomakorabeaC
O
如图，已经平面上三个定点A （1，1）B（2，4）C（4， 1），请问可以求哪些与图形 对称有关的问题？
直线中的对称问题
学生的答案可能有（可能有老师没有考虑到的情况）
（1）除去硝基苯中的残酸 （2）除去溴苯中的溴 （3）除去乙酸乙酯中的乙酸 （4）除去溴乙烷中的乙醇 （5）除去苯中的苯酚 （6）除去苯中的甲苯
（2）求函数y=√X2-4X+13 -√X2-2X+5 的最大值 （3）以A（4，5）为顶点，在X轴上找一点B，
另在直线l：2X-Y+2=0上找一点C构成三角 形ABC，使其周长最小，并求出这个最小值
直线中的对称问题
直线中的对称问题
一、几种有机气体的制备
(1) 甲烷的制备; (2) 乙烯的制备; (3)乙炔的制备;
2、实验注意事项:
（1）V(乙醇)/V(浓硫酸)=1:3; （2）烧瓶中加入啐瓷片防止爆沸; （3）迅速升温至170 0c。
乙炔的实验室制法:
1.发生装置:“固+液 气”的制取装置;
2.收集方法:排水法; 3.注意事项:
(1)可用饱和食盐水代替水,以得到平稳气流. (2)不能使用启普发生器, (3)产物气体中因含有AsH3,PH3而有特殊气味.
E、蔗糖的水解（热水浴） F、纤维素的水解（15min，热水浴）
四、有机物的分离、提纯与检验
1、蒸馏
分离相溶的沸点不同的液体混合物可用蒸馏的方法
适用范围
（1）提纯硝基苯 （2）制无水乙醇 （3） 从乙酸和乙醇的 混合物中分离乙醇 （4）石油的分馏
2、分液
分离两种互不相溶的液体，可用分离的方法
适用范围
直线中的对称问题
Q1：若折叠后，点A与DC边的中点 E重合，此时折痕所在直线方程？
D
E
C
P
M
A
NB
Q2：若AD中点为M，折叠到点A与 DC边的中点E重合，此时点M与点 P重合，求点P的坐标
Q3：若折痕所在直线的斜率为K，试 写出折痕所在直线方程？
直线中的对称问题
（2）实际问题 在一条笔直的河的同侧有两个农场A、B，
2、通过实际问题的解答，加强学生数学应 用意识 。
3、通过教师指导下的交流、思考，激发学 生的学习兴趣，使学生经历数学思维过程， 获得成功的体验 。
直线中的对称问题
教学设计
1、知识引入阶段——情感体验 2、知识形成阶段——开放问题 3、知识应用阶段——折纸游戏、实际问题 4、学习小结阶段——体会归纳 5、复习巩固阶段——作业练习
直线中的对称问题
1、知识引入阶段——情感体验
如图，在打台球时，球A必须打
C
球C，但是在球A与球C之间，靠近A
B A
处有球B挡住，因此不能直接打，只
能先打到下边反弹到右边，再打中
球C，已知球A距离下边1.3m，离右
边1m，球C距离下边2m，离右边
0.3m，问应该如何打？
直线中的对称问题
引导学生思考以下三个问题
试问在河岸哪一点上修一排灌站，使这一点到 农场的距离之和最小？
B A
直线中的对称问题
4、学习小结阶段——体会归纳
学习小结的依据： （1）你学到了什么？ （2）你有什么收获？ （3）你还有什么问题？ （4）你还想知道什么？
直线中的对称问题
5、复习巩固阶段——作业练习
（1）求函数y=√X2-4X+13 +√X2-2X+5 的最小 值