高考数学最后冲刺必读题解析30讲(28)

高考数学最后冲刺必读题解析30讲（28）1. 台州二模(20)（本题满分14分）数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项的和n S 满足()12-=n n n S a S .（Ⅰ）证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设22+=n nn S S log b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足6≥n T 的最小正整数n . (20)解（Ⅰ）()12-=n n n S a S()21()(1)2n n n n S S S S n -∴=--≥11,n n n n S S S S --∴=-即1111,n n S S --= 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是1为首项，1为公差的等差数列. ………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知212,log n n n S b n n+=∴=， ()()221234562log log 6,12342n n n n T n +++⎛⎫∴=⨯⨯⨯⨯⨯=≥ ⎪⎝⎭ 128)1)(2(≥++∴n n n N +∈ 10≥∴n ,所以满足6≥n T 的最小正整数为10. ………………………………14分(21)（本题满分15分）已知函数()().a x x x h ,x ln x x f +-=-=222（Ⅰ）求函数()x f 的极值；（Ⅱ）设函数()()(),x h x f x k -=若函数()x k 在[]31,上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围.(21)解: （Ⅰ）xx x f 22)('-= ，令'()0,01f x x x =>∴=所以)(x f 的极小值为1,无极大值. ……………………………………7分 （Ⅱ）12)(ln 2)()()('+-=∴-+-=-=xx k a x x x h x f x k ,若2,0)('==x x k 则 当[)1,2x ∈时，()'0fx <；当(]2,3x ∈时，()'0f x >．故()k x 在[)1,2x ∈上递减，在(]2,3x ∈上递增． ……………………………10分(1)0,1,(2)0,22ln 2,22ln 232ln 3.(3)0,32ln 3,k a k a a k a ≥≤⎧⎧⎪⎪∴<∴>-∴-<≤-⎨⎨⎪⎪≥≤-⎩⎩所以实数 a 的取值范围是(]22ln 2,32ln 3-- ………………………………15分 (22)（本题满分15分）已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到点()1,0F 的距离比到直线:2l y =-的距离小1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）动点E 在直线l 上，过点E 分别作曲线C 的切线,EA EB ，切点为A 、B ．（ⅰ）求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；（ⅱ）在直线l 上是否存在一点E ，使得ABM ∆为等边三角形（M 点也在直线l上）？若存在,求出点E 坐标,若不存在,请说明理由.(22)解:（Ⅰ） 曲线C 的方程 y x 42= …………………………………………5分（Ⅱ）（ⅰ）设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====--2(2)()22a aAB y x a ∴-+=-直线的方程为()22ay x AB =+∴即过定点0,2 ………………………………10分 （ⅱ）由（ⅰ）知AB 中点)24,(2+a a N ，22aAB y x =+直线的方程为当0a ≠时，则AB 的中垂线方程为)(2242a x a a y --=+-AB ∴的中垂线与直线2-=y 的交点312(,2)4a aM +- 322222221241()(2)(8)(4)4216a a a MN a a a ++∴=-+--=++)8)(4(4)(4122212212++=-++=a a x x x x a AB若ABM ∆为等边三角形，则MN AB =),8)(4(43)4()8(16122222++=++∴a a a a 解得,2,42±=∴=a a 此时(2,2)E ±-, 当0a =时，经检验不存在满足条件的点E综上可得：满足条件的点E 存在，坐标为(2,2)E ±-. ……………………15分2. 树德一模20．（本题满分12分）已知实数ａ≠０，函数)()2()(2R x x ax x f ∈-=有极大值32.（1）求实数a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间.20． 解（Ⅰ）,44)(23ax ax ax x f +-=)2)(23(483)(2--=+-='∴x x a a ax ax x f 令0)(='x f ，得32=x 或2. ∵函数)()2()(2R x x ax x f ∈-=有极大值32， )(,0)2(x f f ∴=∴在32=x 时取得极大值. .322732)32(==a f 解得.27=a ).2)(23(27)(--='∴x x x f当32<x 时，,0)(>'x f 当232<<x 时，,0)(<'x f )(x f ∴在32=x 时，有极大值32. 27=∴a 时函数)(x f 有极大值32. ……7分（Ⅱ）由,0)2)(23(27)(>--='x x x f 得32<x 或.2>x∴函数)(x f 的单调增区间是（－),2(),32,+∞∞；单调减区间是（).2,3221．（本题满分12分）已知曲线C上任意一点到直线2x =的距离与它到点的距(I)求曲线C 的方程； (II)设B 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，问：是否存在方向向量为(1,)(0)m k k =≠的直线l ，l 与曲线C 相交于M N 、两点，使||||BM BN =，且BM 与BN 夹角为60 ?若存在，求出k 值，并写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

21. 解：(Ⅰ)设(,)P x y 为曲线C32=(2分) 化简：2213x y +=，C ∴曲线为椭圆，其方程为2213x y +=(4分) (Ⅱ)设直线:l y kx m =+，由2233y kx mx y=++=消去y得：222(13)6330k x kmx m+++-=(6分)设1122(,),(,)M x y N x y，MN中点00(,)G x y，则12000223,21313x x km mx y kx mk k+==-=+=++，122222||||112(31)13MN x xkk mk=-=+=-++=)13(123112222mkkk-+++………( 1)依题意：||||BM BN=，BM与BN夹角为60︒，BMN∴∆为等边三角形，1BGk k∴⋅=-，即2221113133213mkk mkm kk+++=-⇒=-+， (2)由（2）代入（1）：222 ||13311MN k k k=+=+-又BMN∆为等边三角形，B∴到MN距离||d MN=，即=22213311k k k+=+-解得：223k=31，1=m，经检验33±=k,1=m使方程有解，所以直线l的方程为：133+±=y (12分) 22．（本题满分14分）已知数列{}n a的前n项和n S，且)(211*+∈=NnaaSnnn，其中0,11≠=naa，（1）求432,,aaa，并猜想数列{}n a的通项公式；（2）求证：数列{}n a是等差数列；（3）设数列{}n b满足1)12)(12(=--n bna，nT为{}n b的前n项和，求证：*∈+>NnaTnn),12(log22；22.（1）,1),(2111=∈=*+aNnaaSnnn4,3,2432===∴a a a …………… 4分（2）已知式即112n n n S a a +=, 故111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=- 因为0n a ≠, 当然10n a +≠, 所以22(*)n n a a n N +-=∈. 由于111212a S a a ==, 且11a =, 故22a =. 于是2112(1)21m a m m -=+-=-, 222(1)2m a m m =+-=, 所以(*)n a n n N =∈.……………………………………8分(3) 由(21)(21)1n kn a --=, 得(21)(21)1n kn --=, 2221nk nn =- 故22log 21n nb n =-. 从而1222462log ()13521n n nT b b b n =+++=⋅⋅⋅⋅- . 2222462246222log ()log ()1352113521n n n T n n =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-- .因此222224622log (21)log ()log (21)13521n n n T a n n -+=⋅⋅⋅⋅-+-22224621log ()log 1352121n n n =⋅⋅⋅⋅+-+ 2224621log ()1352121n n n ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥-+⎣⎦设224621()()1352121n f n n n =⋅⋅⋅⋅⋅-+ 故2222(1)2122(22)484()1()2321(23)(21)483f n n n n n n f n n n n n n n ++++++=⋅==>++++++. 注意到()0f n >, 所以(1)()f n f n +>. 特别地4()(1)13f n f ≥=>, 从而222log (21)log ()0n n T a f n -+=>. 所以22log (21),*n n T a n N >+∈.……………………………………14分……….. 14分.3. 石景山一模18．（本题满分13分）在数列中，（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （3）求数列。