高考解析几何压轴题精选(含答案)
江苏高考解析几何压轴题30题
1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.解：（1）由题意得，22c a =，且23a c c +=，解得2,1,a c == 则1b =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）当AB x ⊥轴时，2AB =，又3CP =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则()221,2221k k x±+=C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且()()()())222222121212221112k AB x x y y k xx k+=-+-=+-=+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线PC 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()222231112k k PC k k ++=+． 因为2PC AB =，所以(())2222223114211212k k k k k k+++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．2.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为12，一个交点到相应的准线的距离为3，圆N 的方程为2222()(x c y a c c -+=+为半焦距）直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A 、B .（1）求椭圆方程和直线方程； （2）试在圆N 上求一点P ，使22PBPA= BAOxylP C3.如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；（2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；②求PB PM ⋅的取值范围．解：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点(3,0)F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为113y+=-， 即313y x =-， 联立，221,431,x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得83,1,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即831(,)77M ． ………………2分连BF ，则直线BF ：113y +=，即330x y +-=，而2BF a ==，2283123|33|377721(3)d +⋅-===+． …4分 故1133222MBFS BF d =⋅⋅=⋅⋅=． ………………………5分 （2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m =--，联立2211,1,4y x mx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++，…8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值． ………10分 ② 由①知，(,3)PB m =-，2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++，所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， …………………13分 令244m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+，因87y t t =-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，故8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．…16分解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00(,2)1xP y --+. ……7分所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+，所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）.…10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++， 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++．…13分 （第4题图）令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减，所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞． ……16分4.如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点. （1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围.解：（1）22184x y +=12(2,0),(2,0)F F ∴-21OP F M F M k k k ∴=== ∴直线2F M 的方程为：2)y x =-，直线1F M的方程为：2)y x =+…………4分由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：65x =∴点M 的横坐标为65…………6分 （2）设00(,),(,)M M P x y M x y 12F M MP =1002(,)(,)3M M F M x c y x c y ∴=+=+00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y ∴-=-2PO F M ⊥，00(,)OP x y =2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx +=…9分联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-=，解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c -=…12分0a x a -<<0()(0,)a a c x a c -∴=∈20a ac ac ∴<-< 解得：12e >，综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2．…15分5.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程;（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD +的最小值.解：（1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. …………………………4分 （2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ………………………6分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k k k k -++，则3(0)4OPk k k-=≠.…8分 直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k =-，即3414n kk m --⋅=-恒成立，所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，， 因此定点Q 的坐标为(3,0)-.…………………………………10分（3）因为OMl ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =，………12分 由OMl ，得2D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+=…………14分=≥即k =时取等号，所以当k =时，AD AE OM+的最小值为16分 6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 2且经过点12)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设 直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4．①求k 1k 2的值；②求OB 2+解：（1）方法一：依题意，c a 2=b 2+3， (2)分由2213413b b +=+，解得b 2=1(b 2=3-，不合，舍去)，从而a 2=4．故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e ．…5分 方法二由椭圆的定义知，2a 4， 即a =2．又因c b 2=1．下略．（2）①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (-x 1，-y 1)，于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+⋅-+=12222221y y x x --=22212221(1)(1)44x x x x ----=14-．8分 ②方法一由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-，故x 1x 2=124y y -．所以，(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2=221216(1)(1)44x x --=22221212164()x x x x -++， 所以，2212x x +=4．……… 11分 又2=22221212()()44x x y y +++=222212124x x y y +++，故22121y y +=．所以，OB 2+OC 2=22221122x y x y +++=5．………14分 方法二由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．…………………… 9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++=22334411414()4k k +++-=4．……… 11分 下同方法一．7.如图，已知椭圆),0(1:2222>>=+b a by a x M 其率心率为,23两条准线之间的距离为C B ,,338分别为椭圆M 的上、下顶点，过点)0)(2,(≠t t T 的直线TC TB ,分别与椭圆M 交于F E ,两点.（第17题）（1）椭圆M 的标准方程；（2）若△TBC 的面积是△TEF 的面积的k 倍，求k 的最大值.解：（1）由题意22c a =，解得2,a c ==1b =，椭圆方程为221x y +=．…………………4分（22244t t ⎫-⎪+⎭到:TC 30x ty t --=的距离d =2131y x t =-，得22436F t x t =+…8分分21619243m m +-≤，…………14分 当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为．…………16分 解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 6分直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x 8分1sin 21sin 2TBC TEF TB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T Fx x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅--……10分 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++12分 令21212t m +=>，则22192413k m m m ==+-≤，…………………14分当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为438.如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于A 、B 两点.当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB（1）求椭圆C 的方程；（2）若点E的坐标为(2，点AA 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请指出点E 的坐标， 并求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k +=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是23k =3k =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………5分 （2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ， 由点E的坐标为，所以AB k =，直线PA的方程为y x =， 联立直线PA 与椭圆C的方程，解得7()5B -， 又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x -=，所以点B 到直线PA的距离5h ==，142PAB S ∆=⋅=分（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EBx +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-，所以若存在点E，此时(E ，2211EA EB +为定值2. ………………12分 根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB的方程为x my =+圆C联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以12y y +=，12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++，所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB+为定值2……………16分9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l ：12y x =与椭圆E 相交于A ，B两点，AB =C ，D 是椭圆E 上异于A ，B且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N . （1）求,a b 的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值.解：（1）因为e ＝c a ＝22，所以c 2＝12a 2，即a 2－b 2＝12a 2，所以a 2＝2b 2．…… 2分故椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1．由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限．由⎩⎨⎧ y ＝12x ， x 22b 2＋y 2b2＝1，解得A (233b ，33b )．又AB ＝25，所以OA ＝5，即43b 2＋13b 2＝5，解得b 2＝3．故a ＝6，b ＝3…5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1，从而A (2，1)，B (－2，－1)．①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2． 从而k 1·k CB ＝y 0－1x 0－2·y 0＋1x 0＋2＝y 02－1x 02－4＝3(1－x 026)－1x 02－4＝2－x 022x 02－4＝－12． 所以k CB ＝－12k 1． …… 8分 同理k DB ＝－12k 2．于是直线AD 的方程为y －1＝k 2(x －2)，直线BC 的方程为y ＋1＝－12k 1(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1(x ＋2)，y －1＝k 2(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．从而点N 的坐标为(4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1)． 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为(4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1)．………… 11分所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1＝4(k 1－k 2)4(k 2－k 1)＝－1．即直线MN 的斜率为定值－1．……… 14分②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，－1)．仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB ＝－12k 2．此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－12k 2(x ＋2)，它们交点M (2，－1－2k 2)．BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2(x －2)，它们交点N (2－2k 2，－1)，从而k MN ＝－1也成立．由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1． ………… 16分方法二：由（1）知，椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1，从而A (2，1)，B (－2，－1)．①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2．显然k 1≠k 2． (第18题图)直线AC 的方程y －1＝k 1(x －2)，即y ＝k 1x ＋(1－2k 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋(1－2k 1)，x 26＋y 23＝1得(1＋2k 12)x 2＋4k 1(1－2k 1)x ＋2(4k 12－4k 1－2)＝0． 设点C 的坐标为(x 1，y 1)，则2·x 1＝2(4k 12－4k 1－2)1＋2k 12，从而x 1＝4k 12－4k 1－22k 12＋1．所以C (4k 12－4k 1－22k 12＋1，－2k 12－4k 1＋12k 12＋1)．又B (－2，－1)，所以k BC＝－2k 12－4k 1＋12k 12＋1＋14k 12－4k 1－22k 12＋1＋2＝－12k 1．………… 8分 所以直线BC 的方程为y ＋1＝－12k 1(x ＋2)．又直线AD 的方程为y －1＝k 2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1(x ＋2)，y －1＝k 2(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．从而点N 的坐标为(4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1)． 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为(4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1)．……… 11分所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1＝4(k 1－k 2)4(k 2－k 1)＝－1．即直线MN 的斜率为定值－1．……………… 14分②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，－1)． 仍然设DA 的斜率为k 2，则由①知k DB ＝－12k 2．此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－12k 2(x ＋2)，它们交点M (2，－1－2k 2)．BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2(x －2)，它们交点N (2－2k 2，－1)，从而k MN ＝－1也成立．由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1． ……………… 16分10.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且经过点，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点（点M 与点A 在不重合），点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点P ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：AP ⊥OM ；（3） 试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E 的离心率为545（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求BCD ∆面积的最大值．解：（1）由题意得5c a =245a c c -=，解得3,5a c ==，所以224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．……4分 （2）设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在，设为1234,,,k k k k ，则001200,33y y k k x x ==+-+，00340033,x x k k y y +-=-=， 所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++， xyDCOBA消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++，化简得3x =，故点D 在定直线3x=上运动．……10分 （3）由（2）得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+，又2200194x y +=，所以2200994y x -=-， 则2000000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-，所以点D 到直线BC 的距离h 为00005944D y y y y y -=--=， 将0y y =代入22194x y +=得2314y x =±-，所以BCD ∆面积200119612244ABC y S BC h y ∆=⋅=⨯-⋅220020012712727441242224y y y y -+=-⋅≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即02y =±时等号成立，故02y =±时，BCD ∆面积的最大值为274． ……………16分12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若122S S =，求直线l 的斜率.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (3,4),(9,0)A B - ，C ， D 分别为线段OA ， OB 上的动点，且满足AC =BD .（1）若AC =4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O ).解析：(1) 因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=，…………………………………1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -，由4BD =，得(5,0)D ，…………… 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．…………6分（2)设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．…………………………………………7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为(5+4,0)m …8分又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩…10分解得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，…12分整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩，所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,1.x y =⎧⎨=-⎩（第18题）所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．…………………………………………14分14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ 斜率为2时，PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．解：（1）设00()P x ，∵直线PQ时，PQ =2200)3x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b +=，∵2c e a a ===，∴224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． …６分 （２）以MN 为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ，∴002(0,)2y M x + ， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-，即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， …12分 ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=，令0y =，2220x y+-=，解得x = ∴以MN 为直径的圆过定点(F ．…16分15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右焦点为(1 0)F ，．分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E （异于A ，C 两点），且OE EF =． （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．解（1）由题意，得1c =，c e a ==，故a = 从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=．①………5分 （2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线CD 的方程为(1)y k x =--， ③………7分由①②得，点A ，B 的横坐标为2221k ±+， 由①③得，点C ，D 的横坐标为2222(1)k k ±+， ………9分记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，，则直线AC ，BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+--132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--…13分 2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0=．………16分16.椭圆C 的右焦点为F ，右准线为l ，离心率为3，点A 在椭圆上，以F 为圆心，FA 为半径的圆与l 的两个公共点是,B D ．（1）若FBD ∆是边长为2的等边三角形，求圆的方程；（2）若,,A F B 三点在同一条直线m 上，且原点到直线m 的距离为2，求椭圆方程． 解：设椭圆的半长轴是a ，半短轴是b ，半焦距离是c ，由椭圆C 的离心率为3，可得椭圆C 方程是222214x y b b+=，………2分（只要是一个字母，其它形式同样得分，）焦点(3,0)F b ，准线3x =，设点00(,)A x y ，（1）FBD ∆是边长为2的等边三角形，则圆半径为2，且F 到直线l 的距离是3，又F 到直线l 的距离是223a b FM c c c =-==， 所以，33=，3b =，所以33c = 所以，圆的方程是22(33)4x y -+=。
第6讲 解析几何选择压轴题(解析版)
第6讲 解析几何选择压轴题1．（北京海淀区·高三期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2C ．这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G ·Dandelin ）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30，1C ， 2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．D ．【答案】A【分析】在椭圆上任取一点P ，可证明111O PF O PQ ≅，可得 1=PF PQ ，设点P 沿圆锥表面到达M 的路线长为PM d ，则1PM PM PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+=，当且仅当 P 为直线VM 与椭圆交点时取等号，QR VR VQ =-即可求解．【解析】在椭圆上任取一点P ，连接VP 交球1O 于点 Q ，交球2O 于点R ，连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，在11O PF 与1O PQ 中有： 1111O Q O F r ==，（1r 为球1O 的半径），11190O QP O F P ∠=∠=， 1O P 为公共边，∴111O PF O PQ ≅，∴1=PF PQ ，设点P 沿圆锥表面到达M 的路线长为PM d ， 则1PM PM PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+=，当且仅当P 为直线VM 与椭圆交点时取等号，124161sin 302r r QR VR VQ --=-===，∴最小值为A ． 【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明111O PF O PQ ≅得出 1=PF PQ ，从而1PM PM PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+=，转化为 ,,V P M 三点共线时求QR ．2．（北京高三二模）点P 在函数y ＝e x 的图象上．若满足到直线y ＝x +a的点P 有且仅有3个，则实数a的值为（ ） A ．B ．C．3D ．4【答案】C【分析】要满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，则需要直线与函数y ＝e x 的图象相交，而且点P 在函数y ＝e x ，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．【解析】过函数y ＝e x 的图象上点P （x 0，y 0）作切线，使得此切线与直线y ＝x +a 平行， y ′＝e x ，于是01x e =，则x 0＝0，y 0＝1，∴P （0，1），于是当点P 到直线y ＝x +a 时，则满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，∴d ==，解得a ＝﹣1或a ＝3，又当a ＝﹣1时，函数y ＝e x 的图象与直线y ＝x ﹣1相切，从而，∴不满足，故a ＝3，故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大． 3．（北京延庆区·高三模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为(1)3y k x =++，以点(1,1)为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（ ）A ．2B ．C ．4D ．8【答案】B【分析】由直线方程得直线横过定点(1,3)-，再将求半径最值转化为求点到直线距离的最值问题． 【解析】由直线方程(1)3y k x =++可得该直线横过定点(1,3)-，又由相切可得该圆的半径r 等于圆心到直线的距离d ，最大值为r d ===，故选B ．【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．（北京延庆区·高三模拟）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若8AB =，则线段AB 的中点M 的横坐标为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】设出,A B 坐标，根据AB 长度以及抛物线的焦半径公式求解出12x x +的值，则M 的横坐标可求． 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，∵12,22p pAF x BF x =+=+，∴121228AB x x p x x =++=++=， ∴126322M x x x +===，故选B ． 【名师点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+．5．（北京西城区·高三一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线24y x =的焦点F 发出的两条光线a ，b 分别经抛物线上的A ，B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60︒，则两条反射光线a '和b '之间的距离为（ ）A B ．83C D 【答案】C 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，即可求出直线AF 的方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，求出A y ，同理求出B y ，再根据A B y y -计算可得；由24y x =得()1,0F ，60OFA ∠=︒，∴):01AF l y x -=-，即y =+24y y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去x 得2163y ⎛= ⎝，∴13y =，或2y =-，即3A y =；同理):01BF l y x -=-即y =24y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩x 得2163y ⎛= ⎝，∴3y =或43y =-（舍去），即B y =；∴3A B y y -==，即两条反射光线a '和b ' 故选C6．（北京海淀区·高三期中）已知点()211,A x x ，()222,B x x ，10,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则“ABC 是等边三角形”是“直线AB的斜率为0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据三个点的坐标可知，点,A B 在抛物线2x y =上，C 为抛物线的焦点，利用抛物线的定义，结合充分不必要条件的定义可得结果． 【解析】由()211,A x x ，()222,B x x ，10,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭可知，点,A B 在抛物线2x y =上，C 为抛物线的焦点，若ABC 是等边三角形，则||||AC BC =，根据抛物线的定义可知，,A B 两点到准线的距离相等，∴直线AB 与x 轴平行，其斜率为0，若直线AB 的斜率为0，则,A B 两点到准线的距离相等，则||||AC BC =，只能得到ABC 是等腰三角形，不能推出ABC 是等边三角形，∴“ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的充分不必要条件．【名师点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义以及充分不必要条件的定义求解是解题关键．7．（北京东城区·高三一模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点重合，P 为椭圆1C 与抛物线2C 的公共点，且PF x ⊥轴，那么椭圆1C 的离心率为（ ） A1 B．3C．2D1【答案】A 【分析】利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到(,2)P c c ，将其代入椭圆方程得到2222241c c a a c+=-，根据离心率公式得到2210e e +-=，解方程可得结果． 【解析】 由22y px =得(,0)2pF ， 不妨设P 在第一象限，∵PF x ⊥轴，(,0)2p F ，∴(,)2pP p ，又在椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>中，(c,0)F ，∴2pc =，即2p c =，∴(,2)P c c ， ∴222241c c a b +=，∴2222241c c a a c+=-， ∴2222411c a a c +=-，∴224111e e +=-， 整理得2210e e +-=，解得1e =或1e =（舍）， 故选A 【名师点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到(,2)P c c ，将其代入椭圆方程得到2222241c c a a c+=-，根据离心率公式可得关于,,a b c 的等量关系．8．（北京石景山区·高三一模）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切．则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质可得BC 边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得BC 边上的垂直平分线方程，再由点到直线的距离公式结合圆的对称性得出答案． 【解析】∵在ABC 中，4AB AC ==∴BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线AD∵点()1,3B -，点()4,2C -，∴31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭∵直线BC 的斜率为32114+=---，∴BC 的垂直平分线的斜率为1 ∴BC 的垂直平分线方程为1322y x -=-，即10x y --=∵“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切∴可得圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+==由圆的对称性可知，圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为-=故选A.【名师点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用距离公式得出圆心到直线30x y -+=的距离，再由对称性得出最小值．9．（北京朝阳区·高三一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A在抛物线C 上，且||5AF =，则||||PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为（ ）A ．8B ．CD ．6【答案】B 【分析】依题意得点A 坐标，作点O 关于l 的对称点B ，则||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，求AB 即为最小值． 【解析】如图所示：作点O 关于l 的对称点B ，连接,PB AB ，设点(),A x y ，不妨设0y > ，由题意知()1,0F ，直线l 方程为1x =-，则||15AF x =+=，得4x =，∴24416y =⨯=，得4y = ，由||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，当,,A B P 三点共线时取等号，又AB ==== ，∴||||PA PO +的最小值为B 。
高考解析几何压轴题精选
1、 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A 、若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
(3分)2 、已知m ＞1,直线2:02m l x my --=,椭圆222:1x C y m +=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点、 (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H 、若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围、(6分) 3已知以原点O 为中心,)5,0F为右焦点的双曲线C 的离心率5e =（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;（II ）如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求OGH ∆的面积。
(8分)4、如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞2,以该椭圆上的点与椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)、一等轴双曲线的顶点就是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 与2PF 与椭圆的交点分别为B A 、与C D 、、(Ⅰ)求椭圆与双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12·1k k =;(Ⅲ)就是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由、(7分)5、在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 。
设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。
高中数学解析几何小题压轴题题库题(适用培优)
解析几何压轴小题题库一、单选题1．中,,,,中,,则的取值范围是( ) A．B．C．D．2．是双曲线的左、右焦点,直线l为双曲线C的一条渐近线,关于直线l的对称点为,且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上,则双曲线C的离心率为A．B．C．2D．3．已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,,分别为的内心、重心,当轴时,椭圆的离心率为( )A．B．C．D．4．设,分别是椭圆的左、右焦点,直线l过交椭圆C于A,B两点,交y轴于C点,若满足且,则椭圆的离心率为A．B．C．D．5．若点A,F分别是椭圆的左顶点和左焦点,过点F的直线交椭圆于M,N两点,记直线的斜率为,其满足,则直线的斜率为A．B．C．D．6．已知点,是椭圆上的动点,且,则的取值范围是( ) A．B．C．D．7．过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,与圆交于,两点,若有三条直线满足,则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．8．设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是( )A ．[]0,1B ．[]1,1- C ．⎡⎢⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦9．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于,两点,使得,若这样的直线有且仅有两条,则离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10．已知直线 ,直线,其中,．则直线与的交点位于第一象限的概率为( ) A ．B ．C ．D ．11．已知正方体,空间一动点P 满足,且,则点P 的轨迹为A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线12．已知直线l ：x-y+3=0和点A (0,1),抛物线y=x 2上一动点P 到直线l 和点A 的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．C ．D ．13．已知实数满足,,则的最大值为( ) A ．B ．2C ．D ．414．已知双曲线的左、右焦点分别为,圆与双曲线在第一象限内的交点为M,若．则该双曲线的离心率为A．2B．3C．D．15．设不等式组所表示的平面区域为,其面积为.①若,则的值唯一；②若,则的值有2个；③若为三角形,则；④若为五边形,则．以上命题中,真命题的个数是( ) A．B．C．D．16．过双曲线的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,D为虚轴上的一个端点,且为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为A．B．C．D．17．过原点的一条直线与椭圆=1(a＞b＞0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2,若∠ABF2∈[],则该椭圆离心率的取值范围为( )A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为F,过F点的直线交抛物线于不同的两点A、B,且,点A关于轴的对称点为,线段的中垂线交轴于点D,则D点的坐标为A．(2,0)B．(3,0)C．(4,0)D．(5,0)19．在平面直角坐标系中,过双曲线上的一点作两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为,,若平行四边形的面积为3,则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．20．在坐标平面内,与点距离为2,且与点距离为1的直线共有( )条A．4B．3C．2D．121．已知圆,直线,若直线上存在点,过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是( )A．B．[,]C．D．)22．已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心,且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上,,分别为双曲线C的左、右焦点,则当取得最小值时,＝( )A．2B．4C．6D．823．已知是双曲线的右焦点,过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点,分别为双曲线的左、右顶点,连接交轴于点,连接并延长交于点,且为线段的中点,则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．24．设F为双曲线E：的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B 两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆与E在第一象限的交点是P,且,则双曲线E的方程是A．B．C．D．25．已知抛物线：与圆：交于,,,四点.若轴,且线段恰为圆的一条直径,则点的横坐标为( )A．B．3C．D．626．在圆锥中,已知高,底面圆的半径为4,为母线的中点；根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,下面四个命题,正确的个数为( )①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角为；④抛物线中焦点到准线的距离为.A．1个B．2个C．3个D．4个27．已知F为抛物线的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,其中O为坐标原点,则与面积之和的最小值是A．B．3C．D．28．已知,是椭圆的左右焦点,点M的坐标为,则的角平分线所在直线的斜率为A．B．C．D．29．双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与圆相切,与的左、右两支分别交于点,若,则的离心率为( )A．B．C．D．30．已知是抛物线的焦点,过点的直线与抛物线交于不同的两点,与圆交于不同的两点(如图),则的值是( )A．B．2C．1D．31．已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,则的面积的最小值为( )A．B．C．D．32．已知双曲线C：,过左焦点的直线l的倾斜角满足,若直线l分别与双曲线的两条渐近线相交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点,则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．33．在平面直角坐标系中,圆经过点,,且与轴正半轴相切,若圆上存在点,使得直线与直线关于轴对称,则的最小值为( )A．B．C．D．34．已知A,B分别是双曲线C：的左、右顶点,P为C上一点,且P在第一象限．记直线PA,PB 的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,△PAB的重心坐标为( )A．B．C．D．35．如图所示,,是椭圆C：的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M不与,重合,点N满足,,则A．B．C．D．36．若三次函数()的图象上存在相互平行且距离为的两条切线,则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知,则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有( )组？A．0B．1C．2D．337．已知是双曲线：上的一点,半焦距为,若(其中为坐标原点),则的取值范围是( )A．B．C．D．38．我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知、是一对相关曲线的焦点,是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A．B．C．D．239．已知双曲线,过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为A．B．C．2D．40．已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,以为边作一个等边三角形,若点在抛物线的准线上,则( )A．B．C．D．41．已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,则的横坐标范围是( )A．B．C．D．42．已知是双曲线上一点,是左焦点,是右支上一点, 与的内切圆切于点,则的最小值为 ( )A．B．C．D．43．已知直线过抛物线：的焦点,交于两点,交的准线于点。
高考解析几何压轴题精选(含答案)
1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。
（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。
（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
解析几何填空选择压轴题(含答案)解析-
201５解析几何填空选择压轴题（含答案）一.选择题(共1５小题)1.(2015•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1，F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A. Ｂ．C．D．2.（201５•绥化一模)已知椭圆,F1,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ2的重心为G,内心Ｉ，且有（其中λ为实数)，椭圆C的离心率ｅ=（)Ａ．Ｂ．Ｃ. Ｄ.３.（2015•鹰潭二模)已知点Ａ（﹣１,０),Ｂ（1,０）及抛物线ｙ２=2ｘ，若抛物线上点P满足|PＡ|=m|PＢ|,则m的最大值为（)A. 3B. 2C. D．4.（2０15•大庆校级模拟)已知双曲线的标准方程为,Ｆ为其右焦点，A1,A２是实轴的两端点,设P为双曲线上不同于Ａ1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x＝a分别交于两点M，N，若，则a的值为( ）A． B. Ｃ. D.5.（2０1４•瓦房店市校级二模)已知抛物线y2=２px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点,且AF⊥ｘ轴,则椭圆的离心率为（）A．Ｂ. C. D.6.(201４•江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AB|=2０，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点Ｍ、N与直线l的距离|MP｜、｜NQ｜满足条件,则｜ＡM|＋|ＡＮ｜的值为（)A. ２2 Ｂ．20 C．１８Ｄ. 16 7．(2013•东城区模拟)设F为抛物线y2=4x的焦点，A，Ｂ,C为该抛物线上三点，若++＝,则的值为(）A． 3 Ｂ．4C． 6 D． 9８．（20１３•重庆）设双曲线Ｃ的中心为点Ｏ，若有且只有一对相交于点Ｏ,所成的角为60°的直线Ａ１B1和A2B2,使｜A1B1｜=|A2Ｂ2｜，其中A１、B１和A２、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ）A. B．C．D．９．（2011•江西)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（）A . Ｂ.C．D.１0．(2０10•陕西)已知抛物线y2=2ｐx（p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）2+y2=１６相切，则p 的值为( ）A．Ｂ．1 C. 2 D. ４11．(2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A．直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线１2．（２009•天津)设抛物线y2=2x的焦点为F，过点Ｍ(,0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，｜BF|=２，则△ＢCF与△ＡCF的面积之比=()Ａ．Ｂ．C．D．1３.(2０0８•四川）已知抛物线Ｃ：y２＝8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K，点Ａ在C上且，则△AＦＫ的面积为(）A． 4 B. 8 C． 1６D．３214．(2008•海南)已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）Ａ. B．C． (1,2) Ｄ. (１，﹣２)15．（2０08•福建）双曲线(a>0，b>０)的两个焦点为F1、Ｆ2，若Ｐ为其上一点，且|PF1｜=2｜PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A．（1,3) B. (1，3]C．(3,+∞）D． [３，＋∞］二.填空题（共1５小题）16．(20１５•鞍山一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在ｘ轴上,左右焦点分别为Ｆ1，F２，且它们在第一象限的交点为P,△ＰF１F2是以PＦ2为底边的等腰三角形.若|ＰF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为(１,2）.则该椭圆的离心率的取值范围是.１7．（20１5•上饶二模）以抛物线y２=２0x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．１8．（2015•射阳县校级模拟)已知椭圆,过右焦点Ｆ且斜率为k（k>0）的直线与Ｃ相交于A、B两点,若=.19．(2０14•福建模拟)若函数f(x）=lｏｇ2（x+１）﹣1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a＝.20.（2０１3•建邺区模拟)过抛物线y2=２ｐｘ(ｐ>０）的对称轴上的定点M（ｍ,0）(m＞0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点.(1)试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（２)若点Ｎ是定直线l:ｘ=﹣m上的任一点,试探索三条直线ＡN,MN,BＮ的斜率之间的关系，并给出证明.２１．(2０1２•湖北)如图,双曲线﹣=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1,F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F１B1F2B2，切点分别为Ａ，Ｂ，C，D.则:（Ⅰ)双曲线的离心率e=;(Ⅱ)菱形F1B1Ｆ２Ｂ２的面积S1与矩形ABＣD的面积S2的比值=．22．（2013•沈河区校级模拟）＋＝1上有一动点P，圆E:(ｘ﹣1)2+y2＝1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆Ｆ：(x＋１）2＋y2=1,过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则•+•的最小值为.２3.(2012•庐阳区校级模拟）如图，椭圆的长轴为A1A2,短轴为B1Ｂ2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A２在平面B1A１B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．２4．（2013•江西）抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线=１相交于A，B两点,若△AＢF为等边三角形,则p= .２5．（2０13•湖南)设F1,F2是双曲线C：(a＞0，b＞０）的两个焦点．若在C上存在一点P.使PＦ1⊥PＦ2，且∠PＦ１F2＝３0°,则C的离心率为.2６．（２0１１•浙江)设F1，Ｆ２分别为椭圆+y2=１的焦点，点Ａ，Ｂ在椭圆上,若=5;则点Ａ的坐标是．2７．（2010•湖北）已知椭圆Ｃ:的两焦点为Ｆ1，F２,点P（x０,ｙ０)满足,则|PF1|＋PF2｜的取值范围为，直线与椭圆C的公共点个数.28．(201１•重庆)动圆的圆心在抛物线y２=８ｘ上,且动圆恒与直线ｘ+2=0相切，则动圆必过点.２9．（２0１0•上海)在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、ｂ∈R),则a、b满足的一个等式是 .30．(2０07•重庆）过双曲线x2﹣y2＝4的右焦点F作倾斜角为1０50的直线,交双曲线于P、Q两点,则|FP｜•｜FQ|的值为．2015解析几何填空选择压轴题(含答案）参考答案与试题解析一.选择题（共15小题）1.（201５•潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1,Ｆ２,若椭圆Ｃ上恰好有6个不同的点P,使得△F1Ｆ2P为等腰三角形,则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是（) A. B. C. D．考点：椭圆的简单性质.专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：分等腰三角形△F1F2Ｐ以F１F2为底和以F１Ｆ2为一腰两种情况进行讨论,结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于ａ、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围.解答：解:①当点P与短轴的顶点重合时，△Ｆ1F2Ｐ构成以F１F２为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P;②当△F1F2P构成以F１F2为一腰的等腰三角形时，以F２P作为等腰三角形的底边为例,∵F１F2=F1Ｐ,∴点Ｐ在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在２个满足条件的等腰△F1Ｆ２P,在△Ｆ1F2Ｐ1中，F1F2+PF1＞PF２,即２c+２c>２ａ﹣2c,由此得知3c＞ａ．所以离心率e＞.当e＝时,△Ｆ１F2Ｐ是等边三角形,与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时,在ｅ且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△Ｆ1Ｆ2P为等腰三角形综上所述,离心率的取值范围是:e∈（，）∪（,1)点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有６个不同点P使得△F1Ｆ2P为等腰三角形,求椭圆离心率e的取值范围.着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题．2．（2015•绥化一模）已知椭圆,F１,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ２的重心为G,内心I,且有(其中λ为实数）,椭圆C的离心率e=()A. B. Ｃ．Ｄ.考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．分析：在焦点△F1PF2中，设Ｐ(ｘ0，y0),由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标,因为,故内心I的纵坐标与G相同,最后利用三角形F１ＰＦ2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立ａ、b、ｃ的等式,即可解得离心率解答：解:设P（x0,ｙ０),∵G为△Ｆ１PＦ2的重心，∴Ｇ点坐标为Ｇ（,),∵，∴IG∥x轴,∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|ＰF１|+｜PＦ2｜=2ａ,｜F１F2|=2c∴=•｜Ｆ1Ｆ2|•｜y0|又∵Ｉ为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1ＰF２分为三个底分别为△F１ＰＦ２的三边,高为内切圆半径的小三角形∴=(|PF1｜+|F１Ｆ2｜＋|PＦ2|)｜｜∴•｜F1F2|•|y0|=（|PF１｜＋|F1F２|+|PF2|)||即×2c•|y0|=(2a+2c)||,∴２c=a，∴椭圆C的离心率e==故选Ａ点评:本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用,椭圆离心率的求法３.（2015•鹰潭二模）已知点A(﹣1,０)，Ｂ（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足｜PA|=ｍ|ＰB|，则m的最大值为( )Ａ．３Ｂ. 2 Ｃ．Ｄ.考点：抛物线的简单性质.专题：计算题;压轴题．分析：由题意可得m2=＝＝=1＋≤3,可得m≤．解答:解：设P（,y）,由题意可得m2==＝=1+≤1+=３,∴m≤，当且仅当y2=2时,等号成立，故选Ｃ.点评:本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用,运用基本不等式求出ｍ2≤3，是解题的关键．4.(2015•大庆校级模拟）已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点,Ａ1，Ａ2是实轴的两端点，设Ｐ为双曲线上不同于A1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x=a分别交于两点M,N,若，则ａ的值为()Ａ．B．C．D．考点: 双曲线的简单性质.专题：综合题；压轴题.分析：双曲线，右焦点F（5．０),A1（﹣3，0),Ａ2(３，0),设P(ｘ,ｙ），Ｍ（a，m)，N（ａ，n），由P,A1,M三点共线,知，故m=,由P，A2,N三点共线,知，故n＝,由,和,能求出a的值．解答：解：∵双曲线，右焦点F(5,0），A１（﹣3,0)，A２（3，0），设P（x,ｙ),M（ａ,m），N(a,ｎ),∵P，A1,M三点共线，∴m=，∵P，Ａ2,N三点共线,∴,∴ｎ=,∵，∴,∴，，，∴=(a﹣5)2＋=（a﹣5)２＋，∵，∴(ａ﹣5）2+=0，∴２５a2﹣90ａ+81=０,∴a=．故选B．点评：本题考查双曲线的性质和应用,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.解题时要认真审题,注意向量知识的合理运用．5．(2014•瓦房店市校级二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0)与椭圆有相同的焦点F,点Ａ是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为( ）A．B．C． D.考点: 圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质.专题: 计算题；压轴题.分析:设点Ａ坐标为(x0，y0）依题意可知＝,把ｘ0=代入椭圆方程求得关于y0的等式,根据抛物线定义可知y0＝2c代入等式整理可得关于离心率ｅ的一元二次方程求得e.解答:解：设点A坐标为（x０，y０)依题意可知=,x0＝代入椭圆方程得(*)根据抛物线定义可知ｙ0=ｐ=2=2ｃ∴y20=4c2，代入（*）式整理得a２﹣c2﹣2ac=0两边除以a2得ｅ2+2e﹣1=0,解得ｅ=或﹣﹣1(排除）故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.考查了学生对圆锥曲线知识的综合把握．6.（2０１4•江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AＢ|=2０,l为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点T,｜AT｜＝４,半圆上相异两点M、N与直线ｌ的距离|MP|、|ＮQ｜满足条件,则|AM|+|AN｜的值为（）A．２2 B. 2０Ｃ．18 Ｄ．16考点: 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．专题: 计算题;压轴题.分析：先以ＡT的中点O为坐标原点，AＴ的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+ｙ２=100,根据条件得出M,N在以A为焦点，PＴ为准线的抛物线上,联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系,利用抛物线的定义即可求得答案．解答：解:以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴,可得半圆方程为(x﹣１2）2+y2=10０又,设M(x1，y１)，N（x2，y2),M,N在以A为焦点,ＰＴ为准线的抛物线上;以ＡT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系,则有物线方程为ｙ2=８ｘ（ｙ≥０),联立半圆方程和抛物线方程,消去y得：x2﹣16x+44=0∴x1+ｘ2=1６，｜AM｜+｜ＡN|=|ＭP|+|ＮＱ|=x1+ｘ2+４=2０．故选：B.点评:本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题．7.(2０13•东城区模拟）设F为抛物线ｙ2=4x的焦点,Ａ，B,C为该抛物线上三点，若＋＋＝,则的值为( )Ａ. 3 Ｂ．4 C. ６ D. 9考点：抛物线的简单性质；向量的模.专题: 计算题；压轴题.分析:先设A(ｘ，y1)，Ｂ(ｘ2,y2）,Ｃ（x３,y3),根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,１再依据=0,判断点F是△ＡBC重心，进而可求x1+x２+x３的值.最后根据抛物线的定义求得答案．解答:解:设A（x1,y1）,B(x2，y2）,Ｃ(x3,ｙ3）抛物线焦点坐标Ｆ(１，0),准线方程：ｘ=﹣１∵=,∴点F是△AＢC重心则ｘ１+x2+x3＝３y1＋y2＋y3＝0而|FA｜=ｘ１﹣（﹣1)＝ｘ1+1|ＦB|=x２﹣（﹣1）=ｘ2+1|FC|＝x3﹣（﹣1)=ｘ3+1∴|ＦA|+|FB|+｜FC|=x１+1+x2+1＋x3＋1＝(x１+ｘ2+ｘ３）+3＝3+3=６故选Ｃ点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．８.(2０１3•重庆）设双曲线Ｃ的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为６0°的直线A1B1和A2B2,使|A１B1|=|A2B２|，其中A1、B1和A２、B2分别是这对直线与双曲线Ｃ的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B．C．Ｄ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=｜A２B2｜及双曲线的对称性知A1,A2，Ｂ1,B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得,由此能求出双曲线的离心率的范围.解答：解：不妨令双曲线的方程为，由|Ａ1B1|＝|Ａ2B2|及双曲线的对称性知A1，Ａ２,Ｂ１，B2关于x轴对称，如图,又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为３0°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于３0°，双曲线与直线才能有交点A1,A2,B1,B2,若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点,则不可能存在|A１B1|=｜Ａ2B2｜，当直线与ｘ轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于６0°，双曲线与直线有一对交点A1，Ａ2，B1,B2，若双曲线的渐近线与ｘ轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于6０°，则有两对直线．不符合题意,∴tan３0°，即,∴,∵b2=ｃ２﹣a２,∴，∴,∴,∴双曲线的离心率的范围是.故选：A.点评:本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.9．（2011•江西)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方,其“底端”落在远点Ｏ处，一顶点及中心M在Ｙ轴的正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（)A ．Ｂ.Ｃ．Ｄ.考点：圆锥曲线的轨迹问题.专题: 作图题；综合题；压轴题．分析：解答本题宜用排除法，本题中图形的中心M到三个顶点的距离最远，到三段弧的中点的距离最近,随着凸轮的滚动,M点离Ｘ轴的距离由小变大再由大变小,作周期性的变化,由图形可以看出，三角形的三个顶点到相对弧的中点位置是相等的,故当M在最高点与最低点时,凸轮最高点到X轴的距离相等,由这些特征即可排除错误选项.解答：解：令图中最高点为Ａ,根据题意，可令三角形边长为1,即AO＝1，由于M是中心,故可得AM=＞，故中心Ｍ的位置并非是处于凸轮最低与最高中间的位置,而是稍微偏下，随着转动，M的位置会先变高，当点C为最低点时，Ｍ最高,由此排除CD 选项,而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同都是1,因此排除Ｂ，故选Ａ点评：本题考点是圆锥曲线的问题，考查根据实物的特征,探究其上某一点的位置变动规律，由此得出其轨迹的大体形状,本题轨迹方程不易求出,直接求解有困难,故根据其变化特征选择用排除法求解,做题时要根据题设条件的特征选择合适的方法解题．１0．(2０10•陕西)已知抛物线y２=2px(p＞０）的准线与圆(x﹣3）2+ｙ2=１６相切，则p的值为()A．Ｂ．1C． 2 D. 4考点：抛物线的简单性质.专题: 计算题；压轴题.分析:根据抛物线的标准方程可知准线方程为,根据抛物线的准线与圆相切可知求得p．解答:解:抛物线ｙ2＝2pｘ(p>０）的准线方程为，因为抛物线ｙ2=2px(p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）２+y2=１6相切，所以;故选C．点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.11．（2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（)A．直线B．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线考点：抛物线的定义;双曲线的标准方程.专题：计算题;压轴题;分类讨论.分析：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为ｘ轴,公垂线与x轴交点为原点,公垂线所在直线为ｚ轴,过ｘ且垂直于公垂线的平面为xoy平面,建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是(x,y，ｚ）根据它到两条异面直线的距离相等,求得z的表达式,把ｚ=0和ｚ=ａ代入即可求得ｘ和y的关系，根据其方程判断轨迹．解答：解:先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为x轴，公垂线与ｘ轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoｙ平面,建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程就分别是y＝0,z=０和x=０，z=a(a是两异面直线公垂线长度，是个常数)空间内任意点设它的坐标是（x，y,ｚ）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即＝两边平方,化简可得z=(y２﹣x２+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z＝0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x２＝﹣a２，图形是个双曲线ｚ=a时代入可以得到y２﹣x2=ａ２，图形也是个双曲线故选D点评：本题主要考查了双曲线的方程.考查了学生分析归纳和推理的能力.12.（20０９•天津)设抛物线y２=2x的焦点为F，过点M(,０）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C,｜BＦ|=2，则△BCF与△ACＦ的面积之比＝（)A．B．C．Ｄ.考点：抛物线的应用;抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据=,进而根据两三角形相似,推断出=,根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得Ｂ的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入,即可求得Ａ的坐标,进而求得的值，则三角形的面积之比可得.解答:解：如图过B作准线l：ｘ=﹣的垂线，垂足分别为A1，B１，∵=,又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|＝|BB1|＝2知ｘB=,ｙＢ=﹣,∴AB：y﹣０=（ｘ﹣）．把x=代入上式，求得y A=2,xＡ=2,∴|AF|=|AＡ1|=．故=＝＝.故选A.点评:本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质.考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．13．（200８•四川)已知抛物线C：ｙ２=8ｘ的焦点为Ｆ,准线与x轴的交点为K,点A在Ｃ上且，则△AFK的面积为( ）A. ４B．８ C. 16 D． 32考点：抛物线的简单性质．专题: 计算题；压轴题．分析:根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得Ｋ的坐标，设A（x0,y0)，过A点向准线作垂线AB,则Ｂ（﹣２，y０），根据及ＡＦ=AB=x0﹣（﹣2）=ｘ０+２,进而可求得A点坐标,进而求得△AＦK的面积．解答:解:∵抛物线Ｃ：y2=８x的焦点为F(２，0)，准线为x＝﹣2∴K（﹣2,0)设A(x0，y0)，过Ａ点向准线作垂线ＡＢ，则B(﹣2,y0）∵,又AF=AＢ=x0﹣(﹣2)=x0＋２∴由BK2＝AK2﹣AB２得y02＝（ｘ0+２）２,即8x0=(x０＋2）2,解得A(2,±4）∴△AＦK的面积为故选B．点评：本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置,在△ABK中集中条件求出x0是关键；14.（２００8•海南)已知点P在抛物线ｙ2=4x上,那么点Ｐ到点Q（2,﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为（)A．B．C． (1,2） D. （１,﹣２）考点: 抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题.分析:先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内,再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S,P,Q三点共线时取得,可得到答案.解答:解：点Ｐ到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF＋PＱ=PＳ＋PＱ,故最小值在S,P，Q三点共线时取得，此时P,Q的纵坐标都是﹣1，故选A．点评:本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合. 15．（２008•福建）双曲线(ａ>0,b>0)的两个焦点为F1、Ｆ２，若Ｐ为其上一点,且｜PF１|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，３) B. （1，３]C．（３，+∞)D． [3，+∞]考点：双曲线的简单性质.专题: 计算题;压轴题．分析:可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系.解答：解：设|PF1|＝x,|ＰF2｜=y，则有，解得ｘ＝4ａ，ｙ＝２ａ，∵在△PＦ1F2中，x+y＞２c,即４a＋2ａ>2c,4a﹣2ａ＜2c，∴,又因为当三点一线时，4a+２a＝2c，综合得离心的范围是（1，3],故选B.点评:本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了关于离心率范围的确定.可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法.二．填空题(共15小题)16．（２015•鞍山一模)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在ｘ轴上，左右焦点分别为F1,Ｆ2,且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１Ｆ2是以ＰF2为底边的等腰三角形.若｜ＰF1|=１０，双曲线的离心率的取值范围为（1，2).则该椭圆的离心率的取值范围是(，) .考点: 双曲线的简单性质；椭圆的简单性质.专题：压轴题;数形结合法．分析:作出图象,结合图象把问题转化为1＜＜２，求的取值范围.解答:解:如图，设双曲线的半实轴长,半焦距分别为ａ，c，２|PF1|=m，|PF２|=n,则⇒，问题转化为已知１＜<2，求的取值范围．设=x，则c=，=＝﹣.∵1＜ｘ<2,∴﹣<﹣<﹣,即＜﹣＜．故答案为：()．点评:本题考查双曲线的性质和应用,作出图象,数形结合,事半功倍.1７．(２015•上饶二模)以抛物线ｙ2=2０x的焦点为圆心,且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为（x﹣5)2+y2＝9.考点: 双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系．专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程,求出圆的半径，即可得到圆的方程．解答：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5,０）,双曲线:的两条渐近线方程为3x±4y=0由题意，r=3,则所求方程为(x﹣5）２+y2＝9故答案为：(ｘ﹣5）2+y2＝9．点评:本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．1８.（２0１5•射阳县校级模拟)已知椭圆,过右焦点F且斜率为k（k＞０）的直线与Ｃ相交于A、Ｂ两点,若=.考点: 直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题．分析:设l为椭圆的右准线，过Ａ、B作AA，BＢ1垂直于ｌ,A1，B1为垂足,过B作BE⊥AA1１于E,由=3知,||=，，由此可知．解答：解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BＢ1垂直于l,A1,Ｂ1为垂足，过B作BE⊥ＡA1于Ｅ,则|AA1|=，｜ＢB1|=,由=3知，||=，∴,∴，∴ｔａn.∴．故答案：.点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答.１９．(20１4•福建模拟)若函数f(x）＝ｌog2（x+1)﹣1的零点是抛物线ｘ=ay２焦点的横坐标，则a=.考点: 抛物线的简单性质.专题：压轴题．分析:先求出函数ｆ(x）=ｌｏg２(x+1)﹣1的零点ｘ=１和抛物线ｘ=ay2焦点的横坐标,然后再求a.解答：解:由ｆ(ｘ）=ｌoｇ2（ｘ＋１)﹣1=0,知x＝１,抛物线x=ａy2焦点的坐标是F（），由题设条件知，∴a=．故答案为：.点评：本题考查抛物线的简单性质,解题时要认真审题，仔细解答,注意公式的合理运用.2０．（2013•建邺区模拟）过抛物线ｙ2=2pｘ（p>0)的对称轴上的定点Ｍ(ｍ,0)(ｍ>0），作直线AＢ与抛物线相交于A，Ｂ两点．(1）试证明Ａ,B两点的纵坐标之积为定值;（2）若点Ｎ是定直线l：ｘ=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN,BN的斜率之间的关系,并给出证明.考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;直线的一般式方程.专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（1)设直线AB的方程为:x＝ｔy+m,与y2=２px联立,消去x得到关于ｙ的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明;(2)三条直线ＡN,MＮ,BN的斜率成等差数列．设点N（﹣m，n),则直线AN的斜率为,直线BN的斜率为,再利用（1）的结论即可证明．解答：（1）证明:.设Ａ（ｘ1，y1）,B(ｘ2,y2)有ｙ1•y2=﹣2ｐｍ，下证之:设直线ＡＢ的方程为：x＝ty+ｍ，与ｙ2=2px联立消去x得y2﹣２pty﹣2ｐm＝0，由韦达定理得y1•ｙ2=﹣2pm，(2）解:三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，下证之：设点N(﹣m，n)，则直线AN的斜率为，直线BN的斜率为,∴＝＝=又∵直线MN的斜率为,∴k AＮ＋ｋBN=2k MＮ即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的根与系数的关系、直线的斜率计算公式、等差数列的定义等是解题的关键．21．（2012•湖北)如图，双曲线﹣=1（ａ，b＞0)的两顶点为A1，Ａ2,虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F１，F２．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F１B1Ｆ２B２，切点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，D.则：(Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1Ｆ2B2的面积Ｓ１与矩形AＢCD的面积S2的比值= .考点：圆锥曲线的综合.专题: 综合题;压轴题.分析:（Ⅰ)直线B２F1的方程为ｂｘ﹣cy+bｃ=0，所以O到直线的距离为，根据以Ａ1A２为直径的圆内切于菱形F1Ｂ１Ｆ2B2，可得,由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ)菱形F1B1Ｆ２B2的面积S１=２bｃ,求出矩形AＢCD的长与宽，从而求出面积S２=４mn=，由此可得结论．解答:解:(Ⅰ)直线B2F１的方程为bx﹣cy+ｂc＝0，所以O到直线的距离为∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,∴∴(c２﹣a2）c2=(２c2﹣a2)ａ2∴c4﹣3ａ２c2＋a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e>１∴e=（Ⅱ)菱形F1Ｂ１F２B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=２ｎ，BA=2m,∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2＝4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：,点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定几何量之间的关系.22．（2０13•沈河区校级模拟)＋=1上有一动点Ｐ，圆E:(x﹣1)2+y2＝1，过圆心Ｅ任意做一条直线与圆E交于A、B两点,圆F：（x+１）２+ｙ2=1，过圆心任意做一条直线交圆F 于C、D两点,则•+•的最小值为6．考点：圆与圆锥曲线的综合.专题：计算题;压轴题．分析:先利用条件得出与互为相反向量，且长为1.再利用向量的三角形法则和向量的数量积的运算求出•的表达式；同理求出•,再与点P是椭圆上的点相结合即可求出结论．解答:解：设P(ａ，b）则由已知得与互为相反向量，且长为1．又∵=,=，∴=＋•（)＋＝+0﹣1=﹣１；同理可得=﹣1．故•＋•=+﹣２＝（a﹣1)２+b２+（a+1）２+ｂ2﹣2=２(a2＋b2)①．又因为点Ｐ(a，ｂ）在+＝1上,所以有=1⇒ｂ2=3(1﹣) ②．把②代入①整理得,•+•＝2（3+）≥6．故答案为6.点评:本题主要考查向量基本知识以及圆与圆锥曲线的综合问题.是对知识点的一个综合考查,属于中档题．23.(201２•庐阳区校级模拟)如图，椭圆的长轴为A1Ａ2，短轴为B1B２,将坐标平面沿ｙ轴折成一个二面角，使点A2在平面Ｂ１A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.考点：椭圆的应用;循环结构；二面角的平面角及求法．专题: 综合题;压轴题．分析:确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角,利用点Ａ2在平面B1A１B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,可求得cos∠A2OＦ1＝，即可求得结论.解答：解:由题意,椭圆中ａ=４，c=，∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1Ａ1Ｂ2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△Ａ2OF1中，cos∠A2ＯＦ1=∴∠A2ＯＦ1=即二面角的大小为故答案为:点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角,解题的关键是确定二面角的平面角. 24.(2０13•江西)抛物线ｘ2=2py(p＞０）的焦点为Ｆ,其准线与双曲线=1相交于A,B 两点，若△ABF为等边三角形，则p=6．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解:抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y＝﹣,准线方程与双曲线联立可得:，解得x=±，因为△ABF为等边三角形,所以，即ｐ２=3x2，即,解得p＝6.故答案为:6.点评：本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的应用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．。
高中数学解析几何最难压轴题
高中数学解析几何最难压轴题
高中数学解析几何最难压轴题，也就是最难的题目，是一种考察学生数学知识和技能的综合考查。
这类题目通常包括运用数学知识，解决复杂几何概念、计算、求解几何图形及其相关几何关系等多项内容，以及考查学生对几何图形的解析和抽象思维能力。
高中数学解析几何最难压轴题的一个典型题目如下：已知正方形ABCD中，AB=
3，M为CD边上的点，点P在正方形ABCD的对角线
AC上，且AP=
2，求点M到点P的距离。
解：由正方形ABCD的对角线AC等于根号2AB，可以
得到AC=根号2*3=3√2；因为AP=
2，则PM=AC-AP=3√2-2；由勾股定理得到PM的距离，
答案是1√
2。
从这个典型题目可以看出，高中数学解析几何最难压轴题的解题方法是：首先要搞清楚几何概念，了解几何图形的特性，
并正确运用数学知识，如勾股定理、直角三角形的性质等，结合题目中给出的数据进行计算，最后得出最终答案。
总之，高中数学解析几何最难压轴题，就是一种考查学生综合运用数学知识和抽象思维能力的复杂题目，解题过程中，学生要正确运用数学知识，灵活运用抽象思维能力，以达到最终的正确答案。
压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。
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1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =。
（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。
（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
（6分）6．如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.（6分）7．设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）（6分）8．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．（6分）9．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．（3分）10．在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。
（3分） 11．若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 .（3分）12．已知0C ：122=+y x 和1C ：)0(12222>>=+b a by a x 。
试问：当且仅当a ,b 满足什么条件时，对1C 任意一点P ，均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形？并证明你的结论。
（4分）13． 设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。
（1）实数m 的取值范围（用a 表示）；（2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a<21时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用a 表示）。
（5分）14．已知点)2,0(A 和抛物线42+=x y 上两点C B ,使得BC AB ⊥，求点C 的纵坐标的取值范围．（4分）15．一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．（6分）16．（04，14）在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3A B C -，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过ABC ∆的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。
（5分）17．过抛物线2x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.（6分）18．参数方程练习题（13分）1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）。
A.⎩⎨⎧+==1222t y t x B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x 2.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线是（ ）。
A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分3.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。
A.042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ]3,2[∈xD. 042=-+y x ]3,2[∈x 4.直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。
A.43-≤k B. 43-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k5.圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x ，直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x ，则直线与圆的位置关系是（ ）。
A.过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离6.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。
7.曲线C ：⎩⎨⎧+-==θθsin 1cos y x （θ为参数）的普通方程为 ；如果曲线C 与直线0=++a y x 有公共点，那么实数a 的取值范围为 。
8．（2011广东）已知两曲线参数方程分别为5(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245(t R ∈)，它们的交点坐标为 。
9．已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最大值和最小值。
答案：1. 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点B 324本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题2.（Ⅰ）解：因为直线:l 202m x my --=经过22(1,0)F m -，所以2212m m -=,得22m =，又因为1m >，所以2m =，故直线l 的方程为2202x -=。
（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。
由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x得222104m y my ++-= 则由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <，且有212121,282m m y y y y +=-=-。
由于12(,0),(,0),F c F c -，故O 为12F F 的中点，由2,2AG GO BH HO ==，可知1121(,),(,),3333x y x y G h 2221212()()99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则1212(,)66x x y y M ++，由题意可知2,MO GH <即222212121212()()4[()()]6699x x y y x x y y ++--+<+而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 221(1()82m m =+-）所以21082m -<即24m <又因为1m >且0∆>所以12m <<。
所以m 的取值范围是(1,2)。
3．【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca=2，得a =，又22a c +=1)，所以可解得a =2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=。
4．5.（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92x =。
故所求点P 的轨迹为直线92x =。
（2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209-） 直线MTA 方程为：0352303y x -+=+-，即113y x =+，直线NTB 方程为：032010393y x --=---，即5562y x =-。
联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点T 的坐标为10(7,)3。
（3）点T 的坐标为(9,)m 直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+，即(3)12m y x =+，直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6my x =-。