高考数学真题分类汇编专题18：平面解析几何(综合题)

高考数学真题分类汇编专题 18：平面解析几何（综合题）
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 平面解析几何 (共 13 题；共 110 分)
1. （10 分） (2019·鞍山模拟) 在直角坐标系 于 、 两点．
（1） 求 的取值范围；
中，过点
且斜率为 的直线交椭圆
（2） 当
时，若点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于 ，证明：
为定值．
2. （10 分） (2017·舒城模拟) 如图，O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线 C1 上点 M 处的切线与圆 C2：x2+y2=1 相切于点 Q．
（Ⅰ）当直线 MQ 的方程为
时，求抛物线 C1 的方程；
（Ⅱ）当正数 p 变化时，记 S1 ， S2 分别为△FMQ，△FOQ 的面积，求 的最小值．
3. （10 分） (2018 高二上·蚌埠期末) 已知抛物线 ：
的焦点为 ，直线
交于点 ，抛物线 交于点 ，且
.
（1） 求抛物线 的方程；
（2） 过原点 作斜率为 和 的直线分别交抛物线 于 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.
两点，直线 过定点
与轴 ，
第 1 页 共 10 页

4. （10 分） (2018 高二下·遂溪月考) 已知椭圆 点到两焦点 ， 的距离之和为 4.
的长轴与短轴之和为 6，椭圆上任一
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 若直线 ：
与椭圆交于 ， 两点， ， 在椭圆上，且 ， 两点关于直线
对称，问：是否存在实数 ，使
，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
5. （10 分） (2017·晋中模拟) 已知椭圆 C：
的右焦点在直线 l： x﹣y﹣3=0 上，且
椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为﹣ ．
（1）
求椭圆 C 的方程；
（2）
若直线 t 经过点 P（1，0），且与椭圆 C 有两个交点 A，B，是否存在直线 l0：x=x0（其中 x0＞2）使得 A，B 到
l0 的距离 dA，dB 满足
恒成立？若存在，求出 x0 的值，若不存在，请说明理由．
6. （10 分） (2018·全国Ⅲ卷理) 在平面直角坐标系
中，
过点
且倾斜角为 的直线 与
交于
两点
的参数方程为
( 为参数)，
（1） 求 的取值范围
（2） 求 中点 的轨迹的参数方程
7. （5 分） (2017·莆田模拟) 已知点 P 是圆 F1：（x﹣1）2+y2=8 上任意一点，点 F2 与点 F1 关于原点对称， 线段 PF2 的垂直平分线分别与 PF1 ， PF2 交于 M，N 两点．
（1） 求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2） 过点
的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使以 AB 为直径的
圆恒过这个点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
第 2 页 共 10 页

8. （5 分） (2017·南海模拟) 已知椭圆 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
的右顶点为
，离心率为 ．
（Ⅱ）设过右焦点 F 且斜率不为 0 的动直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，过 M 作直线 x=a2 的垂线，垂足为 M1 ， 求 证：直线 M1N 过定点，并求出定点．
9. （5 分） (2018·衡水模拟) 已知椭圆 ：
，短轴长为
．
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，则 出这个最大值及直线 的方程；若不存在，请说明理由．
的左右焦点分别为 ， ，离心率 的面积是否存在最大值？若存在，求
10. （5 分） (2019·临川模拟) 已知椭圆 ：
是椭圆的左焦点，
，直线 ：
.
，离心率
， 是椭圆的左顶点，
（1） 求椭圆 方程；
（2） 求椭圆 方程；
（3） 直线 过点 与椭圆 交于 、 两点，直线 、 分别与直线 交于
试问：以
为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
、 两点，
（4） 直线 过点 与椭圆 交于 、 两点，直线 、 分别与直线 交于
试问：以
为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
、 两点，
11. （15 分） (2017 高二下·新疆开学考) 在平面直角坐标系 x0y 中，已知点 A（﹣ ，0），B（ ） ， E 为动点，且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为﹣ ．
（Ⅰ）求动点 E 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）设过点 F（1，0）的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M，N．若点 P 在 y 轴上，且|PM|=|PN|，求点 P 的纵坐标的取值范围．
第 3 页 共 10 页

12. （5 分） (2017·高台模拟) 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆
C1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆 C1： 短轴长是 1，点 F1 ， F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点，
的长轴长是 4，椭圆 C2：
（Ⅰ）求椭圆 C1 ， C2 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M，N，求△F2MN 面积的最大值． 13. （10 分） (2015 高三上·大庆期末) 已知直线 l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t 为参数）和圆 C：x2+y2 ﹣6x﹣8y+16=0： （1） t∈R 时，证明直线 l 与圆 C 总相交： （2） t∈R 时，证明直线 l 与圆 C 总相交： （3） 直线 l 被圆 C 截得弦长最短，求此弦长并求此时 t 的值． （4） 直线 l 被圆 C 截得弦长最短，求此弦长并求此时 t 的值．
第 4 页 共 10 页