基于LMD的信号瞬时频率求取方法及实验
瞬时相位法线性调频信号瞬时频率提取技术研究
踪 ， －３ Ｅ３ ２
１ 引 言
为 改善 脉 冲雷达 的分 辨ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能力 ， 同时维 持 探 并
测 远距离 小 目标 所期 望 的高辐 射 功 率 电平 ， 代 现
脉 冲压缩 雷达 信号 多 采用 线性 调 频 、 非线 性 调 频 、 位 编码 、 频 编 码 等 信 号 调 制 形 式 。在 相 跳
能 ； 收时 通过 匹配 滤 波器 把 接 收 回波 压 缩 成窄 接
法 实现 的前 提 是 准 确 提 取信 号 的 瞬 时 频率 。由
于信号 的频 率 实际上 就 是信 号相 位 的 变化 率 ， 所 以 ， 信号 相位 的估 计 自然 可 以进 一步 被 用来 对 对 信号 的频 率进行 估计 ， 为 测频 的一种 体 制 。文 成
脉冲 ， 以获 得 窄脉 冲系 统 的距离 分 辨 率 。对 于雷 达 侦察 系统 来 说 ， 在不 知道 脉 冲压 缩 雷达 信 号 脉 内调 制类 型 和调制 参 数 的情况 下 ， 如果 雷 达 的 峰 值 功率 降到雷 达 侦察 接 收机 的检 测 门 限以 下 ， 侦 察机 将不 能截 获这 部 雷达 信号 ， 降低 了侦察 机 的 截 获概率 。因此 ， 雷达 侦察 系统 必须 对 脉压 雷 达
［ 键词］瞬时相 位法 ； 关 线性 调频 信 号 ； 时 频 率 瞬 ［ 图分 类 号 ］Ｔ １ 中 Ｎ９ １ ［ 献 标 识 码 ］Ａ 文
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｓ ｉｌｎｇ Ｉ ｔ ｎｔＦｒ ｑｕ ｎ ｙ ｏ ｓ ａ ｃ ｎ Ｄｉ ｔｌｉ ｎｓ ａ ｅ ｅ ｃ ｆ ＬＦＭ
Ｓ ｇ ａ ｓ Ｂａ ｅ ｎ Ｐｈ ｓ ｉ ｎ ｌ ｓ ｄ ｏ ａ ｅ
ＺＨ ＡＮＧ ｕ —ｉ， Ｃｈ ｎｊｅ ＧＡＯ － ｅ ｇ． ＩＸｉ ａ Ｌｉ ｎ Ｓ － ｉ ｐ ｃ
基于WVD的雷达信号瞬时频率提取方法研究
第１ 期
张 静， 等： 基于 ＷＶ Ｄ的雷达信号瞬时频率提取方法研究
３ ９
Ｊ 一∞ Ｊ 一∞
Ｉ Ｉ ｏ － （ ｘ ， ｙ ） ａ （ 一 ） ｅ ｆ ２ 。 ｄ ｙ ｄ ｘ
Ｃ
∞ Ｊ 一∞ Ｃ
多不同类 型的时频分布． 虽然 Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ — Ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 分布 具 有许 多期 望 的优 良数 学 性 质 而倍 受 学 界 推崇 ，
之 一 ．
雷达 回波 中的多普勒频率是 目标 的重要信 息， 它描述了 目 标径向运动的情况． 瞬时频率可以
更好地 反 映信号 频 率 随 时 间 的变 化情 况 ， 本文 分 析 了噪 声 情 况 下 多 普 勒 信 号 的能 量 谱 分 布 ， 将 ＷＶ Ｄ用 于雷 达 回波信号 的 瞬时频 率提 取 ， 并 比较
鲁东大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｌ ｕ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
基 于 ＷＶ Ｄ的 雷达 信 号 瞬 时频 率提 取 方 法研 究
信号由于呈现较强 的非平稳特性 ， 传统方法对其 难以实现有效的信噪分离． 时频分析是近年来兴起 的用于非平稳信号分
速． 由于实际 目 标不可能是单独的理想点 ， 通常把 尺寸远小于脉 冲宽度 所对应 长度的 目标近似为 “ 点”目 标． 实际目标可视为众多散射点的集合 ， 因 而接收信号 应为多个子 回波 的叠 加． 由于子 回波 问 的延迟时间差远小于脉冲包络的宽度 ， 因而接收信 号可 以近似看成具有相 同包 络 的载波叠加 ｊ ． 假设 目标为二维的， 目标的散射分布 函数为 Ｏ ｒ （ ， Ｙ ） ， 雷达射线与 轴重合 ， 则在距离 处， 一 小段 Ａ ｘ （ 设 Ａ ｘ一 ０ ）的 目标 切 片 散 射 系 数
瞬时频率取平均
瞬时频率取平均全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：瞬时频率取平均是信号处理中的一种重要方法，它能够帮助我们更好地理解信号的特性，从而取得更精确的数据分析结果。
本文将从瞬时频率的定义、瞬时频率取平均的意义和方法、在实际应用中的作用等方面进行详细的介绍。
瞬时频率是指信号在任意时刻的瞬时频率，它可以用来描述信号在不同时间点上的频率特性。
在信号处理领域，瞬时频率通常是通过信号的瞬时相位求导得到的。
瞬时相位可以反映信号的周期性和变化趋势，而瞬时频率则可以帮助我们了解信号的局部频率变化情况。
瞬时频率取平均是将信号在一段时间内的瞬时频率求平均值，这样可以得到一个更加稳定和准确的频率值，避免了信号局部频率变化的影响。
瞬时频率取平均不仅可以帮助我们更好地分析信号的频率特性，还可以在一些实际应用中提高数据处理的精度和效率。
在实际的数据处理中，瞬时频率取平均有多种方法和算法。
其中比较常见的有STFT（Short-Time Fourier Transform，短时傅立叶变换）、Hilbert Huang变换（Hilbert-Huang Transform）等。
STFT 是一种常用的瞬时频率取平均方法，它将信号分成多个小片段进行傅里叶变换，然后得到每个时间点上的频率信息。
Hilbert Huang变换则是将信号分解为一系列固有模态函数（Intrinsic Mode Functions，IMF）并计算每个IMF的瞬时频率，最后取平均值得到最终结果。
瞬时频率取平均在很多领域都有广泛的应用，比如音频信号处理、生物医学信号分析、地震信号处理等。
在音频领域，瞬时频率取平均可以帮助我们更好地理解音乐的节奏和旋律；在生物医学领域，瞬时频率取平均可以帮助我们检测心电图和脑电图中的异常信号；在地震信号处理中，瞬时频率取平均可以帮助我们更精确地识别地震信号的频率成分，从而提高地震监测的准确性。
瞬时频率取平均是一种重要的信号处理方法，它可以帮助我们更好地理解信号的特性，提高数据分析的精度和效率。
基于LMDEMD故障诊断分析及其研究_张辛林
Function，PF） 和一个单调函数之和：
k
x（ t） = ∑PFp（ t） + uk（ t）
（ 2）
p =1
其中每一个 PF 分量由一个包络信号和一个纯
调频信号相乘得到，包络信号是该 PF 的瞬时幅值， 而 PF 的瞬时频率可由纯调频信号求出［1］。进一步
将所有 PF 分量的瞬时频率和瞬时幅值相组合，即可
+ ［K］｛ q｝
=
｛ F｝
（ 3）
式中： ［M］，［C］，［G］和 ［K］分别为质量矩阵，阻
尼矩阵，柔度矩阵和刚度矩阵； ｛ F｝ 为外激励。
转定子碰摩时除了沿着径向和切线方向的外激
励时，圆盘还受到摩擦力矩，摩擦力可以以表示如下
形式：
{ FN =
0 （ er － δ） ks
for（ er ＜ δ） for（ er ≥ δ）
1引言
转子故障诊断主要分为信号检测、特征提取及模 式识别。其中特征提取是最为关键的环节。故障特 征分析与提取的主要内容是信号分析与处理。即如 何从传感器测得的原始数据中分析提取能代表故障 的典型特征信息，这是故障诊断的核心信息。目前故 障特征 提 取 的 方 法 有 很 多 种，如 快 速 傅 里 叶 变 换 （ FFT） 、小波变换（ Wavelet） 、经验模态分解（ EMD） 、 局域均值分解（ LMD） 等。这些故障诊断方法都有各 自的优缺点，并在转子故障诊断领域得到广泛应用。
在负的局部 极 大 值 和 正 的 局 部 极 小 值，说 明 这 还
不是 一 个 本 征 模 函 数，需 要 继 续 进 行“筛 选 ”。
EMD 的主要缺点 有 模 态 混 叠、端 点 效 应 以 及 在 用
Hilbert 对 IMF 进行变换时会出现无法解释的负频
制取蒸馏水的实验报告
制取蒸馏水的实验报告实验报告：制取蒸馏水一、实验目的本实验旨在通过蒸馏法来制取蒸馏水，了解蒸馏法在制备纯净水方面的应用，并掌握基本的实验操作技巧。
二、实验原理蒸馏法是一种通过加热液体混合物，使其中的挥发性成分蒸发并冷凝成液体的分离方法。
在此实验中，我们将利用蒸馏法从自来水中提取蒸馏水。
蒸馏水具有高纯度、低导电性等特性，可用于科学实验、医疗、工业生产等领域。
三、实验材料与器具1、实验材料：自来水、电热板、冷凝器、收集瓶、三角瓶2、实验器具：量筒、烧杯、玻璃棒、胶管、橡皮管、橡皮塞、冷凝器接头四、实验步骤1、在烧杯中加入500ml自来水，用玻璃棒搅拌，使自来水充分冷却。
2、将冷却后的自来水倒入蒸馏烧瓶中，确保液面高度与蒸馏烧瓶刻度线相平。
3、将蒸馏烧瓶放在电热板上，调整电热板温度至100℃左右，开启加热。
4、用胶管将冷凝器与蒸馏烧瓶连接起来，确保密封性良好。
5、将冷凝器插入冷凝器接头，连接至收集瓶，使蒸馏水可以顺利流入收集瓶中。
6等待蒸馏过程完成，关闭加热，取下收集瓶中的蒸馏水。
7、用量筒测量收集到的蒸馏水量，记录数据。
五、实验结果与分析通过本次实验，我们成功制取了蒸馏水，并测量得到的数据如下：收集到的蒸馏水量为200ml。
这说明自来水中含有大量可挥发的成分，需要通过蒸馏法去除。
得到的蒸馏水纯度较高，可用于各种需要纯净水的场合。
六、实验结论本实验通过蒸馏法成功制取了高纯度的蒸馏水，证明了蒸馏法在制备纯净水方面的有效性。
实验过程中，我们掌握了基本的实验操作技巧，包括加热、冷却、连接等操作。
同时，通过实验结果的测量和分析，我们进一步了解了自来水中可挥发成分的含量较高，需要通过蒸馏法进行提纯。
得到的蒸馏水可广泛应用于科学实验、医疗、工业生产等领域。
七、实验建议与展望本次实验中，我们虽然成功制取了蒸馏水，但在实验过程中也存在一些不足之处。
例如，在连接冷凝器与蒸馏烧瓶时，胶管的密封性可能不够严密，导致少量空气进入冷凝器中。
基于EMD的信号瞬时频率估计_刘小丹
第32卷第1期2009年3月 辽宁师范大学学报(自然科学版)Journal of Liaoning Normal University (Natural Science Edition ) Vol.32 No.1Mar. 2009 文章编号:100021735(2009)0120051207基于EMD 的信号瞬时频率估计刘小丹, 孙晓奇, 沈 滨(辽宁师范大学计算机与信息技术学院,辽宁大连 116029)收稿日期:2008209224基金项目:辽宁省教育厅科学技术研究项目(20060466)作者简介:刘小丹(19572),男,吉林蛟河人,辽宁师范大学教授,硕士.E 2mail :xdliu @摘 要:分析了信号瞬时频率的定义及其两种主要的获得信号相位的方法:解析信号法和正交模型法.提出了一种基于经验模式分解的新的瞬时频率估计方法———正交包络法.该方法计算简单,克服了正交模型法无法由一个时间函数确定两个时间函数的困难.与Hilbert 变换方法相比,正交包络法使边界问题得到了明显改善.实验证明这是一种有效的瞬时频率估计方法.关键词:瞬时频率;正交包络法;EMD ;Hilbert 变换中图分类号:TP202.4 文献标识码:A根据Fo urier 分析理论,任何一个平稳信号都可以表示为多个谐波的加权和,对于谐波的某一特定频率,其幅值和相位是常数.而对于非平稳信号,由于其谱特性是随时间变化的,因此不能简单地用Fourier 变换作为非平稳信号的分析工具[1],平稳信号的频率概念也就无法准确解释非平稳信号的时变特性,于是就需要引入一个随时间变化的频率的概念,即瞬时频率.瞬时频率的一个重要特性是作为时间的函数,用它可以确定信号谱峰的位置.基于这一特性,瞬时频率的概念有着极其重要的应用,因此瞬时频率的估计也就成为许多实际的信号处理应用中一项很有意义的工作.一些信息探测系统只要系统与目标之间有相对运动,多普勒效应就会使频率改变,传播媒质的扰动也会使频率变化,雷达、声呐、移动通信、医疗设备和天文观测都存在这一问题.以雷达信号处理为例,其主要目的是对目标实行检测、跟踪和成像,而像军用飞机一类的目标为了逃避被跟踪,其径向速度是随时间改变的,这使得雷达的多普勒频率具有非平稳的谱.因此,跟踪这类目标需要用到瞬时频率估计技术.瞬时频率估计技术也应用于生物医学.例如,血流的多普勒变化直接关系到心脑血管疾病的诊断.同时,在地震信号处理中,可以利用瞬时频率来确定不同的地质构造.在语音处理等其他诸多领域都有瞬时频率估计技术的应用,详见文献[223].从物理学的角度,信号可以分为单分量信号和多分量信号.单分量信号在任意时刻都只有一个频率,该频率称为信号的瞬时频率,而多分量信号则在某些时刻具有多个不同的瞬时频率.瞬时频率的定义最早是由Carson 和Fry 在研究调频信号时分别提出的,在Gabor 提出了解析信号的概念之后,Ville 将二者结合起来,提出了现在普遍接受的实信号的瞬时频率的定义[4],即:实信号的瞬时频率就是该信号所对应的解析信号的相位关于时间的导数.上述定义只对单分量信号有意义.下面分析一下将瞬时频率定义为复信号相位关于时间的导数的原因.设一复信号c (t )=A (t )e j φ(t ),A (t )、φ(t )分别称为信号c (t )的幅度和相位.c (t )的频谱为C (ω)=12π∫+∞-∞c (t )e -j ωt d t c (t )的总能量E =∫+∞-∞|c (t )|2d t =∫+∞-∞|C (ω)|2d ω 于是,归一化的函数|c (t )|2/E 和|C (ω)|2/E 可分别作为信号c (t )在时域和频域的能量密度函数,从而得到信号频谱C (ω)的平均频率: 〈ω〉=1E ∫+∞-∞ω|C (ω)|2d ω=1E ∫+∞-∞ωC (ω)C 3(ω)d ω (3表示共轭运算)52 辽宁师范大学学报(自然科学版)第32卷=1E 12π∫+∞-∞∫+∞-∞∫+∞-∞ωc 3(t )c (t ′)e j (t-t ′)ωd ωd t ′d t =1E 1j ∫+∞-∞c 3(t )d d t c (t )d t =1E ∫+∞-∞φ′(t )|c (t )|2d t(1) 从(1)可知,在整个时间范围内,对信号相位的导数关于信号时域能量密度进行积分就可以得到信号频谱的平均频率,而信号相位的导数必须是瞬时值,才可供计算平均值使用,因此将瞬时频率定义为相位的导数是很自然的.也就是说,信号频谱的平均频率等于其瞬时频率的时间平均.但对于实信号,频谱满足C (-ω)=C 3(ω),因此能量密度频谱|C (ω)2|总是关于原点对称.由于对称性,使得实信号的平均频率是0,即瞬时频率的时间平均为0,这样就无法表示出信号的物理情况.为了将瞬时频率的概念推广到实信号和多分量信号,需要解决两个问题:(1)如何将一实信号变换为一个相对应的复信号;(2)如何将一个多分量信号分解为若干个单分量信号之和.1 实信号变换为复信号的两种方法通常,我们所能获得的各种信号都是实信号,需要构造一个对应于实信号的复信号,这是由于通过复信号可以确定信号的相位,从而得到信号的瞬时频率.显然,要构造复信号可以令其实部是实信号本身,关键是如何定义其虚部,通常有两种方法:解析信号方法和正交模型方法[5].1.1 解析信号方法和正交模型方法自从Gabor 引入解析信号的概念以后,解析信号方法就成为将实信号变换为复信号的一种最常用的方法.与实信号s (t )相对应的复信号———解析信号———z a (t )定义为:z a (t )=s (t )+j H [s (t )],其中H[s (t )]表示s (t )的Hilbert 变换,即H[s (t )]=s (t )3(1/πt ).解析信号的频谱Z a (ω)在负频率部分为0,而在正频率部分是其对应的实信号的频谱在正频率部分的2倍,即:Z a (ω)=0ω<02S (ω)ω>0 由于解析信号是复信号,因此可以表示成极坐标形式,也就是用幅度和相位表示,即z a (t )=A (t )e j φ(t ).那么幅度和相位需要怎样的关系才能使得一信号是解析信号呢?幅度A (t )的频谱,S A (ω)=12π∫+∞-∞A (t )e -j ωt d t ,e j φ(t )的频谱S φ(ω)=12π∫+∞-∞e j φ(t )e -j ωt d t ,于是z a (t )=A (t )e j φ(t )的频谱Z a (ω)=S A (ω)3S φ(ω)=∫+∞-∞S A (ω-ω′)S φ(ω′)d ω′.因此,信号z a (t )的频谱Z a (ω)可看做是系数为S φ(ω′)的A (t )的已搬移频谱之和.假定S A (ω)在频率区间(-ω1,ω1)是带限的,则z a (t )是解析的,即把Z a (ω)搬移到正频率轴的充分条件是:当ω′≤ω1时,S φ(ω′)=0.因此,对于一解析信号,其低频含量在幅度上,而高频含量在e j φ(t )项上.用正交模型法将一实信号变换为复信号,首先需要将实信号写成s (t )=A (t )co s φ(t )的形式,那么其对应的复信号就是z q (t )=A (t )e j φ(t ),z q (t )称为正交模型信号.正交模型法在提出解析信号法之前就已使用.1.2 解析信号法与正交模型法的比较从表面上看,通过解析信号法得到的复信号———解析信号———似乎和正交模型法的一样都是实信号加上其正交分量,但实际上解析信号并非总是如此.这是由于在Hilbert 变换过程中首先对实信号做Fourier 变换得到双边谱,然后通过滤波得到单边谱,之后再对单边谱进行Fourier 逆变换得到复信号,因此,通过Hilbert 变换构造解析信号等价于去掉实信号频谱的负频率部分,如果实信号的正频谱泄漏到负频谱区域中,则其Hilbert 变换就不是实信号的正交分量.根据Bedrosian 乘积定理[6],如果实信号s (t )=A (t )co s φ(t )的幅值频谱Φ[A (t )]只在区间(-f 0,f 0)内有值,而频谱Φ[cos φ(t )]只在区间(-f 0,f 0)外有值,则等式A (t )cos φ(t )+j H[A (t )cos φ(t )]=A (t )e j φ(t )成立.因此,基于Hilbert 变换的解析信号发生器是一种高频选择器,信号的高频部分成为复信号的相位.它并不能准确刻画所有 第1期刘小丹等: 基于EMD的信号瞬时频率估计53实信号的物理含义,如果信号的A(t)和co sφ(t)在频域没有完全分开,则Hilbert变换就会产生一个部分重叠且相位扭曲的函数.虽然此时产生的解析信号仍是唯一的,但其结果无法预测.总之,基于Hilbert变换的解析信号法只适用于A(t)和cosφ(t)在频域完全分开的实信号,从而才能得到信号瞬时频率的较好估计.解析信号法不但有局限性,计算也比较困难,用正交模型信号来近似它可以达到相当的简化.为判断正交模型信号与解析信号在什么时候一致,需要分析这两种方法的误差,主要有两种误差度量:能量准则和逐点比较.能量准则就是通过计算实信号的解析信号z a(t)和其正交模型信号z q(t)之差的能量从整体上说明两种方法的误差,而逐点比较就是在每一时刻比较z a(t)和z q(t).无论是能量准则还是逐点比较,都可以得出结论:正交模型信号的频谱在负频率轴损失越小,则由解析信号法和正交模型法所得到的信号的一致性就越好.如果正交模型信号的频谱只位于正频率轴上,而在负频率轴上为0,则解析信号和正交模型信号是完全一致的.2 估计信号瞬时频率的正交包络法通过计算实信号的解析信号的相位导数而得到其瞬时频率,其缺点是:(1)计算解析信号比正交模型信号困难,计算量大;(2)由于解析信号通常是通过计算实信号的Fourier变换得到的,因此对于某些短促而且快速振荡的信号,会出现比较严重的G ibbs效应;(3)对于已经知道了A(t)和φ(t)的实信号,只有当A(t)和φ(t)的频谱在频域完全分隔开而没有重叠区域时,其对应的解析信号才能准确表达实信号的物理意义.对于正交模型方法,虽然其计算简单,但如何将实信号表示成s(t)=A(t)co sφ(t)的形式是一个尚未完全解决的问题[3],其实质就是怎样根据一个时间函数s(t)获得幅值A(t)和相位φ(t)这两个时间函数.在一些情况下,可以得到信号的相位或幅值,即有一个A(t)或φ(t),这样就可以使用正交模型方法来计算.但有些时候获得信号的相位或幅值非常困难.Rowe[7]提出了在使用正交模型方法表示实信号时A(t)和φ(t)必须满足两个条件:(1)s(t)= A(t)cosφ(t),A(t)≥0,该条件也可以写成s(t)=Re[A(t)e jφ(t)];(2)A(t)和φ(t)必须符合物理直觉.从条件(1)可以得出两条结论:(1)对于A(t)>0,|s(t)|=A(t)当且仅当|cosφ(t)|=1,由此可以确定A(t)和φ(t)的相切点;(2)当t从s(t)的一个零点增加到另一个零点时,φ(t)增加了π.2.1 内蕴模函数为了获得实信号s(t)的幅值A(t),我们首先对实信号s(t)本身进行限制,为此首先引入由Huang N.E.等人提出的内蕴模函数(IM F,Int rinsic Mode Function)[8]的概念.IM F是指满足以下两个条件的函数:(1)函数的过零点数目与函数的极值点数目相等或者至多相差1;(2)在任意一点,函数的上包络与其下包络的均值为0.其中,上包络是指由函数局部极大值所定义的包络,下包络是由函数局部极小值所定义的包络.Huang N.E.提出,用三次样条对IM F的局部极大值进行插值得到IM F的上包络upper;同样,用三次样条对IM F的局部极小值进行插值得到IM F的下包络lower.根据IM F的定义,显然有upper≥0且upper+lower=0.Huang N.E.等人认为,只有将信号分解成若干个IM F之和,通过分析各个IM F的瞬时频率,才能揭示原信号真正的物理意义,而且可以将这一思想应用于非平稳信号分析.2.2 经验模式分解Huang N.E.等人于1998年提出了一个自适应的、非监督的、数据驱动的多分辨分解方法:经验模式分解(EMD,Empirical Mode Decomposition)[8].该方法自适应地通过筛选过程将信号分解为局部窄带的各分量———内蕴模函数(IM F,Int rinsic Mode Function)之和,并对分解后得到的各分量IM F进行Hilbert变换,获得分量的瞬时频率和振幅,即Hilbert谱.美国NASA宇航中心将这种形式的Hil2 bert变换称为Hilbert2Huang变换,简称为H H T(Hilbert2Huang Transform)[9].EMD方法可以将非线性、非平稳过程的信号,根据信号的局部特征,自适应地分解为频率由高到54 辽宁师范大学学报(自然科学版)第32卷低的、局部窄带的各分量,即IM F.该分解算法称为筛分过程(Sifting Process ).分解模型可以表示如下:s (t )=∑pi =1c i (t )+r (t )其中s (t )为观测信号,c i (t )为第i 个IM F ,r (t )为趋势项,一般为一常值或一单调函数.该方法没有任何的能量损失,可由各分量对原信号进行重构.虽然EMD 已被广泛应用,但该方法以及使用该方法分解得到的IM F 的Hilbert 变换均存在边界效应,严重影响非平稳信号的分析.2.2.1 EMD 边界效应的抑制在EMD 方法的筛分过程中,构成上下包络的三次样条函数在数据序列的两端会出现发散现象,使边界产生较大误差,而且,这种误差随着筛分过程的不断进行而向内传播,从而“污染”整个数据序列.我们采用最大熵谱估计法,即Burg 方法来进行边界延拓.这是由于Burg 方法尤其适用于对短数据情况的预测.Burg 方法是最小化正向和反向两个预测误差的和,利用Levinson 递推关系来决定预测滤波器的参数.当用EMD 方法处理数据时,为了抑制边界效应,每次对数据进行筛分之前,我们都利用Burg 方法对数据进行延拓,具体方法是:(1)已知数据序列{x (n -p ),x (n -p +1),…,x (n -1)},用Burg 方法前向预测x (n )的值x ′(n ),产生新的数据序列{x (n -p +1),…,x (n -1),x ′(n )},同样再用Burg 方法预测x (n +1)的值x ′(n +1),依此类推,直至在前向预测值中各产生出一个新的极大值点和一个新的极小值点;(2)对同样的数据序列{x (n -p ),x (n -p +1),…,x (n -1)}用Burg 方法后向预测x (n -p -1)的值x ′(n -p -1),对新数据{x ′(n -p -1),x (n -p ),…,x (n -2)}再用Burg 方法后向预测x (n -p -2)的值x ′(n -p -2),依此类推,直至在后向预测值中各产生出一个新的极大值点和一个新的极小值点.对延拓数据得到的两个极大(小)值点和数据自身的极大(小)值点进行三次样条插值,得到上(下)包络.由此来抑制EMD 方法的边界效应,尤其是抑制EMD 方法的边界效应对低频IM F 产生的影响,这是由于EMD 方法的边界效应对高频IM F 影响较小,而对低频IM F 影响较大.2.2.2 Hilbert 的边界效应分析用EMD 方法将数据分解成IM F 和趋势项后,对各个IM F 进行Hilbert 变换,才能得到各自的瞬时频率.Hilbert 变换实际上是通过构造与原实信号具有90°相位差的共扼信号,然后构成信号的解析形式;Hilbert 变换的边界效应在求取90°共扼信号的过程中产生,共扼信号是通过“傅立叶变换—双边谱对折为单边谱—傅立叶逆变换”获得的;对于周期性信号,在非完整周期采样的情况下进行傅立叶变换,将会出现所谓的“频谱泄露”问题,将单边谱进行傅立叶逆变换的过程中,频谱泄露所造成的误差无法抵消,反映在时域波形上,将会造成所求得的共扼信号产生失真现象,这种失真主要集中在信号的两端.对于待分析的随机信号,使用Hilbert 变换法无法避免傅立叶变换过程中出现的频谱泄露问题,因此,结果存在边界效应.基于上述思想,我们提出了一个估计信号瞬时频率的新方法———正交包络法,该方法通过将IM F 的上包络来估计信号的幅值,使用正交模型法将实信号表示为复信号,未涉及傅立叶变换过程,也就没有频谱泄露的问题.2.3 正交包络法设实信号s (t )是一个IM F ,其上包络为u (t ),显然u (t )满足Rowe 提出的对信号幅值的限制,于是为了将信号表示为s (t )=A (t )cos φ(t )的形式,令A (t )=u (t ).当A (t )≠0时,令p (t )=co s φ(t )=s (t )/A (t ),对等式两边求导,有:p (t )′=-φ′(t )sin φ(t )(2) 记信号的瞬时频率为ω=φ′(t ),于是p (t )′=-ωsin φ(t ),当sin φ(t )≠0时,即|p (t )|≠1时,根据ω的非负性,有:ω=-p ′(t )sin φ(t )=|p ′(t )|1-p 2(t )(3)第1期刘小丹等: 基于EMD的信号瞬时频率估计55 当sinφ(t)=0时,即|p(t)|=1时,对式(2)两边再求导,有:p(t)″=-φ″(t)sinφ(t)-[φ′(t)]2co sφ(t)=-ω2p(t)(4)ω=p″(t)p(t)=|p″(t)|(5) 对于A(t)=0时刻的瞬时频率可以利用其他时刻的瞬时频率通过插值得到.通过以上分析,估计实信号瞬时频率的正交包络法步骤如下:1.确定信号s(t)是一个IMF;2.确定s(t)的极大值点,用三次样条对极大值点进行插值,得到s(t)的上包络u(t);3.令s(t)的幅值A(t)=u(t);4.当A(t)≠0时,令p(t)=co sφ(t)=s(t)/A(t);5.确定A(t)≠0时刻的信号s(t)的瞬时频率ω=|p′(t)|1-p2(t)当|p(t)|≠1 |p″(t)|当|p(t)|=1;6.对于A(t)=0时刻的瞬时频率可以利用其他时刻的瞬时频率通过插值得到.3 结果与讨论在实际计算中,由于信号的EMD分解存在误差,得到的IM F的上包络u(t)、下包络l(t)的均值可能不是0,为避免出现|co sφ(t)|>1的情况,修改A(t)的定义为A(t)=max(|u(t)|,|l(t)|).图1～3是Matlab的chirp函数中的3种信号,依次表示信号的瞬时频率分别是线性、二次凹函数、二次凸函数,为使实验结果比较起来更加明显,对于线性瞬时频率的chirp信号乘以一个t2.我们同时用Hilbert变换计算了信号的瞬时频率,以便两种方法的比较.需要指出的是,Matlab帮助中的chirp函数中最后一个例子有问题,按照其给出的数据无法得出其给出的结果,只有修改为如下数据才能得到相对应的结果:t=-1∶0.001∶1;f0=400,f1=100.图4中的信号是一分段信号,由两段不同频率的谐波组成,频率分别是5和10;图5中的信号是两个谐波信号与一个常数的叠加,频率分别是2和10.要估计图5中信号的瞬时频率,首先需要用EMD 算法将其分解为单分量信号,然后估计各分量的瞬时频率. 辽宁师范大学学报(自然科学版)第32卷56我们计算了使用两种不同方法得到的瞬时频率的标准差,如瞬时频率为线性函数的chirp信号,正交包络法的标准差为33.23,Hilbert变换法的标准差为36.91.从结果中可以看出,用Hilbert变换估计信号的瞬时频率存在边界效应,所得结果方差较大,而正交包络法所得到的估计边界效应很小.正交包络法的结果对信号的采样率比较依赖,在采样率较低时,无法保证采样到信号的极值点,而正交包络法正是利用信号极值点估计其幅值,于是就会产生较大的估计误差.在执行效率方面,正交包络法高于Hilbert变换法(如附表所示).在使用Hilbert变换法估计信号瞬时频率的过程中,采用解析信号法将实信号转变为复信号,这期间涉及对信号的傅立叶变换,而正交包络法直接利用在EMD分解过程中得到的上包络来估计信号的幅度,从而使用正交模型法将实信号第1期刘小丹等: 基于EMD的信号瞬时频率估计57转换成复信号,不涉及傅立叶变换,节省了运算时间,提高了执行效率.附表 使用Hilbert变换方法和正交包络法估计瞬时频率的执行时间/schirp信号的瞬时频率估计(瞬时频率为线性函数)chirp信号的瞬时频率估计(瞬时频率为二次凹函数)chirp信号的瞬时频率估计(瞬时频率为二次凸函数)分段信号的瞬时频率估计叠加信号的瞬时频率估计Hilbert变换方法0.31840.10940.23440.21881.8438正交包络法0.17190.07810.15630.09380.9531参考文献:[1] 陈平,李庆民,赵彤.瞬时频率估计算法研究进展综述[J].电测与仪表,2006,43(7):126.[2] BOASHASH B.Estimating and interpreting t he instantaneous frequency of a signal2part1:fundamentals[J].Proc IEEE,1992,80(4):5202538.[3] BOASHASH B.Estimating and interpreting t he instantaneous frequency of a signal2part2:algorit hms and applications[J].ProcIEEE,1992,80(4):5402568.[4] ZHON 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instantaneous frequency of a signal based on EMDL IU Xiao2da n, SUN Xiao2qi, S H EN Bi n(School of Computer and Information Technology,Liaoning Normal University,Dalian116029,China) Abstract:We analyze t he concept of t he instantaneous f requency of a signal and t he two met hods of ob2 taining t he p hase of a signal,i.e.analytical met hod and ort hogonal met hod.We propo se a new met h2 od,i.e.t he ort hogo nal envelope met hod,to estimate t he instantaneous f requency based on EMD. The ort hogo nal envelope met hod is easy in calculation and it overcomes t he difficulty of ort hogonal met hod in creating two time f unctions by paring wit h Hilbert t ransform,t he ort hogonal en2 velope met hod is better in dealing wit h border effect s.The result s of experiment show t hat t he or2 t hogonal envelope met hod is effective to estimate t he instantaneous frequency.Key words:instantaneous f requency;t he ort hogonal envelope met hod;EMD;Hilbert t ransform。
基于LMD的信号瞬时频率求取方法及实验
第43卷第3期2009年3月浙 江 大 学 学 报(工学版)Journal o f Z hejiang U niv ersity (Engineering Science )Vol .43No .3M ar .2009收稿日期:2007-09-29.浙江大学学报(工学版)网址:w w w .journals .z ju .edu .cn /eng基金项目:国家自然科学基金资助项目(50675194);宁波市自然科学基金资助项目(2007A610014).作者简介:任达千(1974-),男,浙江嵊州人,博士生,从事机械故障诊断方面的研究.E -mail :bookw orm02@gmail .com通讯联系人:杨世锡,男,教授.E -mail :yangsx @z ju .edu .cnDOI :10.3785/j .issn .1008-973X .2009.03.024基于LMD 的信号瞬时频率求取方法及实验任达千,杨世锡,吴昭同,严拱标(浙江大学机械与能源工程学院,浙江杭州310027)摘 要:研究了调频信号瞬时频率的直接求取法,提出了纯调频信号的瞬时频率直接求取法的适用条件,并用数学方法证明了该适用条件.针对极值点附近瞬时频率的畸变情况引进平滑处理改进了瞬时频率求取法.应用局域均值分解(L M D )和经验模态分解(EM D )求取仿真信号和汽轮机转子振动信号的瞬时频率.结果表明,由L M D 方法求取信号瞬时频率时,不会出现难以解释物理意义的负频率现象.关键词:时频分析;局域均值分解;瞬时频率;适用条件中图分类号:T P206;T H 113.1;T H165.3 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2009)03-0523-06Instantaneous frequency extraction method and experiment based LMDREN Da -qian ,YANG Shi -xi ,WU Zhao -tong ,YA N G ong -biao(College of Mechanical and Ener gy Engineering ,Z he jiang University ,Hangz hou 310027,China )A bstract :A new time -frequency analy sis method called local mean deco mposition (LM D )w as introduced .The results of LMD are a serial of AM -FM sig nals ,and the instantaneous frequency can be calculated by arc cosine functio n .The direct metho d of instantaneous frequency e xtraction w as studied .A n applicable condition w as given and proved by mathema tical metho ds .Considering the aberration near the extreme points ,the moving smoo th w as applied to develo p the instantaneous frequency ex traction pro cess .LMD and empirical m ode decomposition (EMD )w ere applied to ex tract the instantaneous frequency o f the simu -lation sig nal and vibratio n sig nal o f a turbine rotor .The results sho wed that the LM D instantaneous fre -quency w as alw ays positive Key wor ds :time -frequency analysis ;local mean decomposition ;instantaneous frequency ;applicable condition Sm ith [1]于2005年提出了局域均值分解方法(local mean decomposition ,LM D ),这种新的时频分析方法将复杂的多分量信号分解为若干个乘积函数(productio n function ,PF )的线性组合,每一PF 分量由一个包络信号和一个调频信号相乘得到,包络信号就是该PF 的瞬时幅值,而PF 的瞬时频率可以由调频信号求出.进一步将所有PF 分量的瞬时频率和瞬时幅值相组合,即可得到原始信号的时频分布.Smith [1]首先将LM D 应用于脑电图(EEG )的信号处理.LMD 算法和经验模态分解(empirical mo dedecomposition ,EM D )方法类似,基于极值点来定义局域均值函数和局域包络函数,但是用滑动平均代替三次样条插值.EM D 分解的最终结果是一系列本征模函数;而LM D 的结果是一系列乘积函数,可以用反余弦函数直接求得瞬时频率.该方法不会出现难以解释物理意义的负频率现象.LM D 的端点效应相比较EMD ,在程度上轻得多,作用范围也比较小.本文提出并证明了“直接法”求取信号瞬时频率的适用条件,与经验模态分解法进行仿真与实验对比研究,表明局域均值分解有显著特点.目前,基于LMD 的时频分析方法虽未在机械故障诊断领域得到应用,但因一些优良的性质:分解过程可避免过包络、欠包络现象,没有严重的端点效应,求得的瞬时频率在任何时刻均是正的,基于LM D 的时频分析方法有望在机械故障诊断领域占一席之地.1 局域均值分解方法局域均值分解的基本思想和步骤如下:首先确定原始信号x (t )所有的局部极值点,分别由局部极值点形成局域均值函数m 11(t )和局域包络函数a 11(t ).原信号如图1(a )所示;找出信号的极值点之后,任意2个相邻极值点之平均值即定义为局域均值,如图1(b )虚线所示.第i 段的局域均值函数由下式给出:m i =(n i +n i +1)/2.(1)式中:n i 和n i +1为相邻极值点.图1 局域均值函数和局域包络函数Fig .1 Local mean function and lo ca l envelo p function同样,第i 段局域包络函数为相邻两极值点差值的1/2,如图1(c )虚线所示.第i 段局域包络函数由下式给出:a i =n i -n i +1/2.(2)然后在此基础上,用同样的算法对局域均值函数和局域包络函数分别作滑动平均.据文献[1]的附件,滑动平均的跨度取最长相邻极值点距离的1/3.设原来序列为y (i ),i =1,2,…,n ,则滑动平均的公式为y s (i )=12N +1(y (i +N )+y (i +N -1)+…+y (i -N )).(3)式中:2N +1即为滑动跨度,滑动跨度必须为奇数,如果是偶数则减去1.在边界附近,减小跨度,以不超过序列的端点为限.如果在滑动平均之后,尚有相邻点的值相等,则再次做滑动平均,直到任何相邻点不相等,如图1(b )和(c )中的实线所示.在计算得到局域均值函数和局域包络函数之后,将滑动平均后的局域均值函数m 11(t )从原始信号x (t )中分离出来,得到h 11(t )=x (t )-m 11(t ).再用h 11(t )除以滑动平均后的局域包络函数a 11(t ),以对h 11(t )进行解调,得到s 11(t )=h 11(t )/a 11(t ).如果s 11(t )相对应的局域包络函数a 12(t )=1,则已经是一个调频信号.如果a 12(t )≠1,则将s 11(t )作为原始数据重复以上迭代过程,直到s 1n (t )为一个调频信号,即-1≤s 1n (t )≤1,它的局域包络函数a 1(n +1)(t )=1.最后把迭代过程中产生的所有局域包络函数相乘便可以得到PF 的包络信号a 1(t )=a 11(t )a 12(t )…a 1n (t )=∏nq =1a1q(t ),该包络信号即PF 分量的瞬时幅值.将包络信号a 1(t )和调频信号s 1n (t )相乘便可得到原始信号的第一个PF 分量Y PF1(t )=a 1(t )s 1n (t ),它包含了原始信号中最高的频率成分,是一个单分量的调频-调幅信号,其瞬时幅值就是包络信号a 1(t ),其瞬时频率f 1(t )则可由调频信号s 1n (t )求出.将x (t )减去Y PF1(t )即得到一个新的信号u 1(t ),将u 1(t )作为原始数据重复以上步骤,循环k 次,直到u 1(t )为一个单调函数为止,这样便可以将x (t )分解为k 个PF 分量和一个单调函数u k 之和,即x (t )=∑kn =1YPF n(t )+u k (t ).2 “直接法”求取调频的瞬时频率LMD 分解得到的PF 是一单分量的调频调幅信号,其瞬时幅值就是包络信号a (t ),其瞬时频率f (t )则可由调频信号s (t )=co s φ(t )求出,即φ(t )=arcco s (s (t )).(4)将φ(t )展开然后求导,即可求得s (t )的瞬时频率,也就是PF 的瞬时频率,即524浙 江 大 学 学 报(工学版) 第43卷 ω(t )=d φ(t )/d t .(5)特别需要指出的是,必须保证-1≤s (t )≤1,s (t )的极点应等于±1,如果不等于而接近于±1,则可设置成±1.上述求取瞬时频率的方法显得简单和直接,称之为“直接法”.“直接法”的一个优点是计算得到的瞬时频率都是正的,不会出现难以解释物理意义的负频率.下面结合实例来说明“直接法”求取瞬时频率的计算过程.例1 调频信号,波形如图2所示,幅值无物理单位,表达式为s (t )=co s (50t +40t 2);0<t ≤1.(6) 因反余弦函数的值域为[0,π],将式(6)代入式(4)计算得到的相位如图3(a )所示;相位展开成可导的单调递增函数,如图3(b )所示.相位展开后再对求其导数,可得到瞬时频率.为方便后续处理,ω(t )乘以1/(2π),得f (t )=12πω(t )=12π×d φ(t )d t.(7)图3(c )即为计算所得的瞬时频率.可以看到图中有一些明显的毛刺,出现的位置是在s (t )=±1附近.将式(4)代入式(7),可得f (t )=-12π1-s 2(t )s ′(t ).(8)当s (t )=±1时,式(8)的分母等于0.因此这是一个不定式,s ′(t )的误差将被放大.在s (t )=±1的一个邻域内,式(8)并不能得到可靠的计算结果,这就是图3(c )所示的瞬时频率计算结果出现明显毛刺的原因.因此,必须作一些处理,将这一些点去除.以邻近点的平均值代替或作平滑处理,得到的瞬时频率如图4所示.图4 平滑处理后瞬时频率Fig .4 Smo othed instantaneous f requency3 “直接法”适用条件“直接法”求瞬时频率,原始信号经LM D 分解得到的调频信号s (t )应满足一定的适用条件.Smith [1]提出信号必须在[-1,1]的范围内,这是因为arcco s 函数的定义域即为[-1,1].从瞬时频率的概念出发,为得到正的瞬时频率,调频信号s (t )必须满足更苛刻的条件.应用“直接法”求取信号的瞬时频率,信号必须满足如下条件:信号的极大值等于1,信号的极小值等于-1.证明:为保证瞬时频率ω(t )=d φ(t )/d t 有定义,φ(t )必须是可导的,为了使ω(t )>0,相位φ(t )必须是连续单调递增函数.根据d φ(t )/d t 的符号和三角函数的性质[3]:co s φ(t )=co s (φ(t )+2m π),co s φ(t )=co s (-φ(t )+2n π).(9)式中:m 、n 为任意整数.以φ(t )的极值点为界将原相位函数分段,重新定义一相位函数,得Υ(t )=φ(t )+2n π,d φ/d t >0;-φ(t )+2m π,d φ/d t <0;未定义,其他.(10)如果Υ(t )可以构成一连续单调递增函数,即φ(t )的极值点是Υ(t )的可去间断点,那么φ(t )即是可以展开的,如例1的图3(b ).Υ(t )的连续性,即由间断点的特性决定.在φ(t )的极大值点处,左导数φ′-(t )>0,右导数φ′+(t )<0,那么Υ(t )的左右极限为525第3期任达千,等:基于LM D 的信号瞬时频率求取方法及实验Υ(t -)=φ(t )+2n π,Υ(t +)=-φ(t )+2m π.(11)Υ(t )在φ(t )的极大值点处连续的充要条件为Υ(t -)=Υ(t +),因此有φ(t )=0,n =m .(12)或φ(t )=π,n =m -1.(13)为此信号的极大值点可用下式表示:s (t )=co s (φ(t ))=±1.(14)当φ(t )为极小值点时,可以得到同样的结论,即信号的极值点必须是±1.“直接法”的适用条件,有如下意义:1)给出了信号应用“直接法”求取瞬时频率必须满足的条件,为进一步研究调频信号的判据提供了理论基础.2)说明瞬时频率不仅仅是局部的概念,为了计算某一时刻的瞬时频率,至少需要知道信号的全部极值点.4 “直接法”的仿真研究以下例子可以说明”直接法”的适用条件.例2 仿真信号波形如图5所示,幅值无物理单位,信号表达式为x (t )=cos (at 2+bt +c ).(15)式中:a =1,b =-10,c =10.在t =5处,信号有一极小点,其值为-0.7597.信号的相位表达式为图5 仿真信号Fig .5 Simula ted sig nalφ(t )=at 2+bt +c .(16)信号的瞬时频率表达式为ω(t )=d φ(t )/d t =2at +b .(17)但是“直接法”不能计算此信号的瞬时频率,按式(4)计算得到的相位如图6(a )所示.因为信号在t =5处有一极小值点不等于-1,不满足“直接法”的适用条件,相位连续展开后Υ(t )在t =5处有一间断点,所以不能得到有物理意义的瞬时频率,如图6(b )所示.若以此仿真信号作为原始信号,经LM D 分解结果如图7(a )、(b )和(c )所示,图中信号的幅值无物理单位.再进一步用“直接法”可求得瞬时频率,如图7(d )所示.图6 “直接法”计算所得相位F ig .6 Phase g ene rated by direct metho d5 与经验模态分解的实验对比5.1 经验模态分解简介H uang 等人[2]提出了一种被称为H ilbe rt -H uang 变换(简称H H T )的信号分析方法,其核心内容是经验模态分解(empirical m ode decom po si -tion ,EM D ),将信号分解成若干个本征模函数(in -trinsic mode function ,IM F ).对各IM F 做Hilbert 变换,可以得到信号的瞬时频率,并进一步计算信号的时频分布和边缘谱.为了得到有物理意义的瞬时频率,H uang 等人[6]提出了归一化H ilbert 变换.从EMD 分解得到的IM F 出发,首先找出IMF 的所有极大值点,对这些极大值点样条插值得到包络线E (t );再将IMF 除以E (t )即得到归一化的IMF ;然后对归一化的IMF 进行H ilbert 变换求瞬时频率.Huang 认为归一化Hilbert 变换的结果是令人满意的,但并非所有IMF 都可以求得有物理意义的瞬时频率.5.2 仿真信号对比LMD 方法的分解过程可以得到一系列的PF 分量,PF 分量由包络信号和调频信号相乘得到,从调频信号计算得到的瞬时频率是正的、连续的、具有物理意义的.而EM D 方法先得到IMF 分量,再对IMF 分量进行H ilbert 变换求得瞬时频率和瞬时幅值,则可能产生无法解释的负频率.以图8所示信号为例,信号的幅值无物理单位,表达式为526浙 江 大 学 学 报(工学版) 第43卷 图7 仿真信号LMD分解结果及瞬时频率Fig.7 LM D result fr om simula ted sig nal and in-stantaneo us frequencyx(t)=cos(2π×5t),0≤t<0.63;-1.02x+1.2354,0.63≤t<0.6357; cos(2π×5t-0.2),0.6357≤t≤1.(18)信号前后两段均为余弦信号,在0.63s附近信号的相位有一个突变,前后信号相位差0.2rad,在连接处,用一段直线过渡.这个函数既符合IMF的定义,可以用Hilbert变换求取瞬时频率,也符合“直接法”的适用条件,可以用“直接法”求取瞬时频率.该信号经H ilbert变换得到的瞬时频率在函数图8 仿真信号F ig.8 Simulated signal的过渡处出现波动,还出现负的瞬时频率值,并无法解释其物理意义,如图9所示.图10所示为应用“直接法”求取的瞬时频率,与H ilbert变换最大的不同是瞬时频率总是正的,没有出现无法解释的负频率.负频率现象不仅是一个理论问题[4-5],而且在分析实际信号时也是经常出现的,成为瞬时频率估计的一个重要的误差来源.5.3 振动信号对比如图11所示,这是一段从汽轮机上采集到的转子振动信号,EMD分解的结果见图12,信号幅值的物理单位是m V.可以看到总共有9个IM F和一个趋势项,因端点效应的影响IMF9和趋势项的幅值远超出了原信号,部分信号无法显示.图13显示了IMF1的瞬时频率,可以清楚地看到负频率现象.图14为振动信号的LMD分解结果,信号幅值527第3期任达千,等:基于LM D的信号瞬时频率求取方法及实验的物理单位是m V .图15是用“直接法”求取PF1的瞬时频率,可以看到用“直接法”求得瞬时频率总是正的,不会出现难以解释物理意义的负频率现象.6 结 论局域均值分解是一种新出现的时频分析方法,所求得的瞬时频率不会出现难以解释物理意义的负频率.本文的分析研究有以下几方面的意义:(1)给出了信号应用“直接法”求取瞬时频率必须满足的条件,为进一步研究调频信号的判据提供了理论基础.(2)针对极值点附近畸变情况引进平滑处理改进了该算法.(3)与经验模态分解法进行了实验对比,表明局域均值分解法具有避免出现负频率现象的显著特点.参考文献(References ):[1]SM I T H J S .T he local mean deco mpo sitio n and its a p -plica tion to EEG per ceptio n data [J ].Jo urnal of The Royal Society Interface ,2005,2(5):443-454.[2]H UA N G N E ,SH EN Z ,LON G S R ,et al .The empir -ical mode decom po sition and the Hilber t spectr um for no nlinear and no n -stationary time serie s analysis [J ].Proceedings of the Royal Society A ,1998,454(1971):903-995.[3]中国矿业大学数学教研室.数学手册[M ].北京:科学出版社,1990:73-95.[4]科恩L .时-频分析:理论与应用[M ].白居宪,译.西安:西安交通大学出版社,1998:22-33.[5]BO ASH AS H B .Estimating and interpre ting the insta n -taneous frequency of a sig nal -part 1:fundamentals [J ].Proceedings of the IEEE ,1992,80(4):520-538.[6]H U A NG N E ,A T T O H -OK IN E N O .The Hilbert -Huang transform in engineering [M ].Boca Rato n :T ay lo r &Fra ncis G roup ,2005.528浙 江 大 学 学 报(工学版) 第43卷 。
雷达信号瞬时频率及其统计特征的提取
ｋ ｙｎ （ ｅ ｉ ｇ ＱＰＳ ） ｐ ｅ ｅ ｔ ｈ ｌｓ ｉ ｃ ｔ ｎ ｆａ ｕ ｅ ｖ ｃｏ ．Ｔｈ ｉ ｌｔ ｎ ｒ ｓ ｌ ｈ ｗ ｈ ｔ ｔ ｅ Ｋ ， ｒ ｓ ｎ ｓ ｔ ｅ ｃａ ｓｆ ａｉ ｅ ｔ ｒ ｅ ｔ ｒ ｉ ｏ ｅ ｓｍｕ ａｉ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｏ ｓ
明 ， 于这些统计特征所构建 的特征量具有较好的类间分离性 。 基
关 键 词 ： 冲压缩 ； 脉 相位测频 ； 瞬时频 率 ； 统计特征
中图 分类 号 ： Ｎ ５．１ Ｔ ９７５
文献 标识 码 ： Ａ
文 章编 号 ： Ｎ ２１１（０１０—０１ ４ Ｃ ３—４３２１）５００— ０
Ｅｘ ｒ ｃ ｉ ｎ ｏ ｎ ｔ ｎｔ ｎ ｏ ｓ Ｆｒ ｑｕ ｎ ｉ ｓ ａ ｔ ａ ｔｏ ｆ Ｉ ｓ ａ ａ ｅ ｕ ｅ ｅ ｃ ｅ ｎｄ Ｔｈ ｉ ｔ ｔｓ ｉ ａ ｕ ｅ ｆＲａ ａ ｉ ｎａ ｓ ｅ ｒ Ｓ ａ ｉｔｃ Ｆｅ ｔ ｒ ｓ ｏ ｄ ｒ Ｓ ｇ ｌ
（ 子工程学院 ， 肥 ２０３） 电 合 ３０ ７
摘要 ： 针对低信噪 比对雷达信号 瞬时频率特征 分类 效果 的影响 ， 首先利用 改进的相位 法提取信号 的瞬时频率特 征 ，
在此 基 础 上 ， 所 获 得 的 瞬 时频 率 进 行 归 一 化 处 理 ， 别 就 常 规 信 号 （ Ｏ 、 性 频 率 调 制 （ Ｆ 、 进 制 相 位 调 制 对 分 Ｃ Ｎ） 线 Ｌ Ｍ） 二 （ Ｐ Ｋ） 四进 制 相 位 调 制 （ Ｓ 等调 制信 号 瞬 时 频 率 的 统 计 特 征 作 进 一 步 分 析 ， 出 分 类 特 征 向量 。仿 真 结 果 表 ＢＳ 、 ＱＰ Ｋ） 提
matlab希尔伯特变换提取信号的瞬时频率
matlab希尔伯特变换提取信号的瞬时频率希尔伯特变换是一种用于提取信号瞬时频率的工具，在MATLAB中我们可以使用hilbert 函数来进行实现。
假设我们有一个待分析的信号x(t)，可以通过以下步骤来提取其瞬时频率：1. 对信号x(t)进行希尔伯特变换，得到其解析信号x_h(t)。
希尔伯特变换可以通过在信号的频域上将负频率部分都置为零来实现。
在MATLAB中，我们可以使用hilbert函数来完成这一步骤：x_h = hilbert(x_t)。
2. 计算解析信号x_h(t)的瞬时角频率。
瞬时角频率可以通过对解析信号x_h(t)进行微分得到。
在MATLAB中，可以使用diff函数来对信号进行微分：instantaneous_freq =diff(unwrap(angle(x_h)))/(2*pi*dt)，其中dt为采样时间间隔。
3. 可选地，对瞬时频率进行低通滤波以去除高频部分的噪音。
滤波可以使用MATLAB中的滤波器函数（如butter或cheby等）来实现。
下面是一个简单的MATLAB代码示例：```matlab% 示例信号生成Fs = 1000; % 采样率t = 0:1/Fs:1; % 生成从0到1秒的时间向量f1 = 10; % 第一个正弦波的频率f2 = 100; % 第二个正弦波的频率x_t = sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t); % 两个正弦波信号叠加% 希尔伯特变换和瞬时频率提取x_h = hilbert(x_t); % 希尔伯特变换dt = 1/Fs; % 采样时间间隔instantaneous_freq = diff(unwrap(angle(x_h)))/(2*pi*dt); % 瞬时角频率% 绘制信号和瞬时频率figure;subplot(2,1,1);plot(t, x_t);xlabel('Time (s)');ylabel('Amplitude');title('Original Signal');subplot(2,1,2);plot(t(2:end), instantaneous_freq);xlabel('Time (s)');ylabel('Frequency (Hz)');title('Instantaneous Frequency');```在上面的示例中，我们生成了一个包含两个正弦波的示例信号，并通过希尔伯特变换提取了其瞬时频率。
瞬时频率取平均-概述说明以及解释
瞬时频率取平均-概述说明以及解释1.引言文章1.1 概述:瞬时频率是指信号在任意时间点上的瞬时变化率，可以用来描述信号的频率特征。
在信号处理、通信工程等领域中，瞬时频率的计算和分析是一个重要的研究方向。
瞬时频率取平均是一种常见的信号处理方法，可以用来提取信号中的有用信息，并对信号进行进一步的分析和应用。
本文将从概念、计算方法和意义等方面介绍瞬时频率取平均的相关内容。
首先，我们将概述瞬时频率的概念，包括其定义和物理意义。
其次，我们将介绍常用的瞬时频率计算方法，包括时频分析、小波分析等。
最后，我们将探讨瞬时频率取平均的意义，包括其在信号处理、通信工程以及其他领域中的应用。
通过本文的阅读，读者将了解瞬时频率取平均的基本概念和计算方法，并能够理解其在实际应用中的重要性和意义。
希望本文对于相关领域的研究和应用人员有所帮助，并为未来瞬时频率取平均研究的发展指明方向。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构通常是一篇文章的骨架，用于组织和呈现文章的主要内容。
一个清晰和合理的文章结构可以帮助读者更好地理解和跟随文章的思路和论证。
本文将按照以下结构来组织和呈现内容：1. 引言：在引言部分，我们会对瞬时频率取平均这一主题进行简要的概述，并介绍本文的目的和意义。
2. 正文：正文部分会深入探讨瞬时频率的概念、计算方法和瞬时频率取平均的意义。
我们将介绍瞬时频率的定义和特点，详细解释瞬时频率的计算方法，并说明为什么瞬时频率取平均对于某些应用领域非常有意义。
3. 结论：在结论部分，我们将总结瞬时频率取平均的优势和应用领域，并展望其未来的发展前景。
我们将强调瞬时频率取平均在某些领域中的潜在应用价值，并探讨可能的研究方向和扩展领域。
通过以上结构的组织，我们旨在为读者提供一个全面而系统的关于瞬时频率取平均的了解，并为相关领域的研究者和实践者提供一些启发和参考。
1.3 目的目的：本文旨在介绍瞬时频率取平均的概念、计算方法以及其在实际应用中的意义。
基于EMD的瞬时频率计算方法的比较研究
万方数据 万方数据 万方数据基于EMD的瞬时频率计算方法的比较研究作者：全学海， 丁宣浩， 蒋英春作者单位：全学海,蒋英春(桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西,桂林,541004)， 丁宣浩(重庆工商大学数学与统计学院,重庆,400067)刊名：大众科技英文刊名：DAZHONG KEJI年，卷(期)：2009(6)参考文献(5条)1.Norden E Huang;Zhaohua Wu A Review on Hilbert-Huang Transform:Method and its Applications to Geophysical Studies 20082.Norden E Huang;Z Shen;S R Long;M.L.Wu,H.H.Shih,Q.Zhe ng,N.C.Yen,C.C.Tuang H.H.Liu The Empirical Mode Decomposition and Hilbert Spectrum for nonlinear and ono-stationarytimeseriesanalysis 19983.Boualem Boashash Estimating and Interpreting The Instanstaneous Frequency of a Signal-part1:Fundaments 1992(04)4.A Nuttal On the quadrature approximation to the Hilbert transform of Modulated signals 19665.E Bedrosian A product theorem for Hilbert tranforms 1963本文读者也读过(10条)1.王红萍.孙本大.戴军.WANG Hong-ping.SUN Ben-da.DAI Jun高精度时频分析方法研究[期刊论文]-仪器仪表用户2007,14(5)2.汪小将.陈宝书.曹思远.Wang Xiaojiang.Chen Baoshu.Cao Siyuan HHT振幅频率恢复处理技术研究与应用[期刊论文]-中国海上油气2009,21(1)3.邹龙庆.姜治明关于希尔伯特-黄变换的分析和研究[期刊论文]-黑龙江科技信息2010(10)4.汤华颖.郭永刚.TANG Hua-ying.GUO Yong-gang希尔伯特-黄变换谱与傅立叶谱的比较分析[期刊论文]-山西建筑2009,35(24)5.张永利.张卫东希尔伯特-黄变换方法边界问题的处理[期刊论文]-科技创新导报2008(30)6.谢秀娟.潘晓文.XIE Xiujuan.PAN Xiaowen基于HHT的信号奇异性分析[期刊论文]-现代电子技术2009,32(15)7.易琛.李泽文.YI Chen.LI Ze-wen基于希尔波特一黄变换的介损数字测量算法[期刊论文]-高压电器2009,45(6)8.朱金龙.邱晓晖.Zhu Jinlong.Qiu Xiaohui正交多项式拟合在EMD算法端点问题中的应用[期刊论文]-计算机工程与应用2006,42(23)9.一种适用于非平稳、非线性振动信号分析方法研究[期刊论文]-农业工程学报2005,21(10)10.张祥春.汤宝平.魏玉果.吴东流基于希尔伯特-黄变换的阶比跟踪方法的研究[会议论文]-2006本文链接：/Periodical_dgkj200906007.aspx。
信号瞬时频率估计的研究
信号瞬时频率估计方法的研究：在信号处理中，信号本身有很多重要的属性，频率特性有：带宽、各频率分量的相对幅值、频率分量间的相对相位关系等；时域特性有信号时宽等。
在很多时候，对信号的处理都涉及到需要对平稳或者非平稳信号的频率特性进行估计。
平稳信号的频率特性是时不变的，而非平稳信号的频率特性往往是时变的，因此，瞬时频率的定义主要是针对非平稳信号而提出的。
Ville 给出了一种统一的瞬时频率的定义：1()[arg ()]2i df t z t dtπ=其中，z(t)是实信号()cos(())s t A t φ=的解析信号。
瞬时频率估计的方法可以分为时频分析和时域分析两类。
就平稳信号而言，由于其功率谱密度函数是不随时间变化的，因此可以直接用参数化或者非参数化谱估计的方法来得到其功率谱，将功率谱中峰值所对应的频率值作为组成该平稳信号的各频率分量的频率的估计值。
但是，对于非平稳信号而言，由于其功率谱密度函数是时变的，因此如果要在频域估计其瞬时频率，最简单的方法就是先将其视为短时平稳的信号，每次都用足够短的时间内的数据来构建其功率谱密度函数，将估计得到的结果作为该短时间内的信号瞬时频率，这也就是时频分析中的短时傅立叶变换方法。
当然，时频分析还有诸如小波变换等其他的性能更好的变换方法这里不再展开叙述。
下图是用短时傅立叶变换得到的一个非线性调频信号的时频分布图：时域处理方法则主要是根据信号瞬时频率的定义，先将实信号变换为复信号，再通过对复信号的相位进行求导（模拟）或者差分（数字）的方法来求得瞬时频率。
时频分析处理的好处是对于有多个频率分量的信号可以根据功率谱密度函数的各个峰值点估计出对应分量的瞬时频率。
而基于相位求导或者差分的时域处理方法却是无法对多频率分量的信号进行瞬时频率估计的。
针对这一问题，HUANG. N. E 提出了局域波分解方法，首先将复杂的信号分解成有限个基本模式分量，再对这些基本模式进行相位求导或者差分以估计各分量的瞬时频率。
4、利用instfreq函数求取瞬时频率时出现的问题
4、利用instfreq函数求取瞬时频率时出现的问题最近利用HHT做突变检测，遇到了如下问题：首先根据定义求取的瞬时频率：s1=hilbert(imf(1,:));s2(:,1)=s1(1,:);instphase=angle(s2);unwrapinstphase=unwrap(instphase);instanglefrequency=diff(unwrapinstphase);realistfre=instanglefrequency/(2*pi);利用函数直接求取的瞬时频率int=instfreq(s2);figure(1);subplot(2,1,1);plot(realistfre);title('自己定义的瞬时频率');subplot(2,1,2);plot(inp);title('老外定义的瞬时频率');结果如下：为什么会出现负频率现象，根据HHT理论，IMF满足窄带信号且是单分量信号，利用解析信号法求取瞬时频率应该不会有负频率，我查看了那个instfreq函数，是将相位的差分取了绝对值，当然不会出现负值，可是我不知道这是什么含义，而且它难道不会影响原信号的频谱特征吗？希望大家能够帮忙！答：看了几天的文献，终于搞明白了情况，下面和大家说一下，基本上做完EMD分解后，剩下的就是如何得到瞬时频率了，HUANG最一开始是由解析信号法即希尔伯特变换来求取瞬时频率的，由于频率的定义是由相位的导数来定义的，那必然是非常精确地，也就产生了一个问题，它对噪音是十分敏感的，我们通常利用差商来代替偏导数必然会造成精度的缺失，我一开始利用一阶向后差分来代替偏导数，这样出现的问题就是必须要求相位是严格递增的（解析信号的相位曲线是严格递增的，大家可以从相位曲线上看出来），注意是严格递增，也就是说，中间有噪音影响的情况下，那么也会出现后一个值大于前一个的情况，这种情况下就会出现负频率，所以解决的办法就是提高差分的精度，利用高阶差分，这样会利用到周伟多数的点，也就避免了这种情况。
基于虚拟仪器技术的信号瞬时频率提取
基于虚拟仪器技术的信号瞬时频率提取
尚秋峰;刘静
【期刊名称】《电测与仪表》
【年(卷),期】2009(046)003
【摘要】本文结合LabVIEW虚拟仪器开发平台和Matlab软件强大的数值分析功能的优点,将Matlab和LabVIEW混合编程技术应用于信号处理领域,设计了利用加权平滑相位差分对实信号进行瞬时频率估计的虚拟仪器.该方法既能提供良好的计算机用户图形界面,又能实现对信号瞬时频率的提取.仿真实验验证了典型的线性调频信号以及指数型调频信号在SNR为30dB和10dB条件下瞬时频率测量误差分别为0.01,0.05左右.结果表明此种方法在高信噪比条件下可以达到较高的测量精度.
【总页数】4页(P24-27)
【作者】尚秋峰;刘静
【作者单位】华北电力大学电气与电子工程学院,河北,保定,071003;华北电力大学电气与电子工程学院,河北,保定,071003
【正文语种】中文
【中图分类】TM935;TP391.9
【相关文献】
1.基于Wigner-Ville分布的LFM信号瞬时频率提取技术研究 [J], 潘继飞;沈爱国
2.基于S变换的信号瞬时频率特征提取 [J], 郭凯丰;林云;王萌;景焕强
3.基于同步压缩短时Fourier变换的信号瞬时频率提取方法 [J],
4.基于子带信号瞬时频率的特征提取及其在车型分类中的应用 [J], 陈建新; 尹雪飞; 陈克安
5.基于最大坡度法提取非平稳信号小波脊线和瞬时频率 [J], 刘景良;任伟新;王超;
黄文金
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基于分段波形的信号瞬时频率计算方法
基于分段波形的信号瞬时频率计算方法张亢;程军圣;杨宇;邹宪军【期刊名称】《湖南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(038)011【摘要】To address the computing instantaneous frequency of the product function (PF) in local mean decomposition (LMD) , a new instantaneous frequency of a signal computing method was introduced. This method is piece-wise wave based. Firstly, a signal was separated to a number of full waves. Then, the instantaneous phase of each full wave was defined by a set of monotonic increasing arcsine functions. Therefore, the instantaneous frequency of a signal was obtained. Theoretically, the instantanoues frequency obtained in this method was positive, stable and could guarantee the characteristic information of signal integrity. This method was applied to compute the instantaneous frequency of simulated signals and actual gear fault vibration signals, and the results were compared with those obtained in other methods. It has been shown that this method is quite suitable for extracting the instantaneous frequency of a signal.%针对局部均值分解(Local Mean Decomposition,LMD)中乘积函数(Product Function,PF)分量的瞬时频率计算问题,引入了一种新的信号瞬时频率计算方法.该方法基于分段波形,先将信号分成若干个全波段(full wave),然后以一组递增的反正弦函数定义每个全波段的瞬时相位,进而得到信号的瞬时频率.由该方法得到的瞬时频率理论上是正的、稳定的并且能够确保信号局部特征信息的完整.应用该方法计算了仿真信号和实际齿轮故障振动信号的瞬时频率,并与其他方法求得的瞬时频率进行了对比.结果表明,本文方法非常适合求取信号的瞬时频率.【总页数】6页(P54-59)【作者】张亢;程军圣;杨宇;邹宪军【作者单位】湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,湖南长沙 410082;湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,湖南长沙 410082;湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,湖南长沙 410082;湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,湖南长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】TN911.7【相关文献】1.基于递归希尔伯特变换的振动信号解调和瞬时频率计算方法 [J], 胡志祥;任伟新2.我国基础养老金计算方法的优化路径——基于传统计算方法和分段计算方法之比较 [J], 张仲涛;程志3.基于多信号瞬时频率捕捉血压信号特定点的研究 [J], 何佳英;张珣4.基于多尺度线调频基信号稀疏分解的信号分离和瞬时频率估计 [J], 罗洁思;于德介;彭富强5.基于分段最小二乘拟合的瞬时频率估计方法 [J], 孔庆鹏;宋开臣;陈鹰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于EMD分解的探地雷达信号瞬时频率分析
第37卷 第4期 煤田地质与勘探Vol. 37 No.4 2009年8月COAL GEOLOGY & EXPLORA TIONAug. 2009收稿日期: 2009-01-19作者简介:杨秋芬(1971—), 女, 陕西乾县人, 助教, 硕士, 从事探地雷达信号处理研究工作.文章编号: 1001-1986(2009)04-0064-04基于EMD 分解的探地雷达信号瞬时频率分析杨秋芬(西安文理学院物理系，陕西 西安 710065)摘要: 介绍了Hilbert-Huang 变换中经验模式分解(EMD)的基本原理；讨论了实际探地雷达信号处理中EMD 分解的终止条件；给出了利用内蕴模式函数(IMF)计算信号瞬时频率的计算公式。
实际探地雷达剖面的HHT(Hilbert-Huang Transform)分析表明，由IMF 得到的瞬时频率剖面对埋地目标的识别能力明显优于直接由探地雷达信号得到的瞬时频率剖面，并讨论了IMF 的多分辨率特性。
关 键 词：HHT ；内蕴模式函数；瞬时频率中图分类号：P631 文献标识码：A DOI: 10.3969/j.issn.1001-1986.2009.04.017The instantaneous frequency analysis of GPR data usingempirical mode decompositionYANG Qiufen(Departement of physic , Xi ′an University of Arts and Science , Xi ′an 710065, China )Abstract: The foundational theory about HHT(Hilbert-Huang Transform)based on EMD (empirical mode decom-position)is introduced in brief. The stop condition of EMD on the rear GPR data is discussed. The formula of cal-culating instantaneous frequency using IMF (intrinsic mode function)is presented. The identification of real buried object results shows that the IMF method is superior to the ordinary method. The multi-resolution of IMF is ana-lyzed.Key words: HHT; intrinsic mode function; instantaneous frequencyN. E. Huang.等[1]提出的Hilbert-Huang 变换(Hilbert-Huang Transform, 简称HHT)是一种适用于非平稳、非线性信号分析的自适应时频分析方法。
基于EMD的信号瞬时频率估计
基于EMD的信号瞬时频率估计
刘小丹;孙晓奇;沈滨
【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(032)001
【摘要】分析了信号瞬时频率的定义及其两种主要的获得信号相位的方法:解析信号法和正交模型法.提出了一种基于经验模式分解的新的瞬时频率估计方法--正交包络法.该方法计算简单,克服了正交模型法无法由一个时间函数确定两个时间函数的困难.与Hilbert变换方法相比,正交包络法使边界问题得到了明显改善.实验证明这是一种有效的瞬时频率估计方法.
【总页数】7页(P51-57)
【作者】刘小丹;孙晓奇;沈滨
【作者单位】辽宁师范大学,计算机与信息技术学院,辽宁,大连,116029;辽宁师范大学,计算机与信息技术学院,辽宁,大连,116029;辽宁师范大学,计算机与信息技术学院,辽宁,大连,116029
【正文语种】中文
【中图分类】TP202.4
【相关文献】
1.基于多尺度线调频基信号稀疏分解的信号分离和瞬时频率估计 [J], 罗洁思;于德介;彭富强
2.基于EMD和Prony算法的旋转机械瞬时频率估计方法 [J], 高启明;孔晓鸣;钱雪
峰;李传江
3.基于Steger算子的非平稳信号瞬时频率估计方法 [J], 康德;马增强;李响;李俊峰
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第43卷第3期2009年3月浙 江 大 学 学 报(工学版)Journal o f Zhejiang U niv ersity (Engineer ing Science)Vol.43No.3M ar.2009收稿日期:2007-09-29.浙江大学学报(工学版)网址:w w w.journals.z /eng基金项目:国家自然科学基金资助项目(50675194);宁波市自然科学基金资助项目(2007A610014).作者简介:任达千(1974-),男,浙江嵊州人,博士生,从事机械故障诊断方面的研究.E -mail:bookw orm02@通讯联系人:杨世锡,男,教授.E -mail:yangsx@z DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2009.03.024基于LMD 的信号瞬时频率求取方法及实验任达千,杨世锡,吴昭同,严拱标(浙江大学机械与能源工程学院,浙江杭州310027)摘 要:研究了调频信号瞬时频率的直接求取法,提出了纯调频信号的瞬时频率直接求取法的适用条件,并用数学方法证明了该适用条件.针对极值点附近瞬时频率的畸变情况引进平滑处理改进了瞬时频率求取法.应用局域均值分解(L M D)和经验模态分解(EM D)求取仿真信号和汽轮机转子振动信号的瞬时频率.结果表明,由L M D 方法求取信号瞬时频率时,不会出现难以解释物理意义的负频率现象.关键词:时频分析;局域均值分解;瞬时频率;适用条件中图分类号:T P206;T H 113.1;T H165.3 文献标识码:A 文章编号:1008-973X(2009)03-0523-06Instantaneous frequency extraction method and experiment based LMDREN Da -qian,YANG Sh-i x i,WU Zhao -tong,YA N Gong -biao(College of Mechanical and Ener gy E ngineer ing,Zhej iang Univers ity ,H angz hou 310027,China )Abstract:A new time -frequency analysis m ethod called local mean deco mposition (LM D)w as intr oduced.The results of LMD are a serial of AM -FM signals,and the instantaneous frequency can be calculated by ar c cosine function.T he direct metho d of instantaneous frequency ex traction w as studied.A n applicable condition w as given and prov ed by mathematical metho ds.Consider ing the aberration near the extreme points,the moving smoo th w as applied to dev elo p the instantaneous frequency ex traction pro cess.LMD and empirical m ode decomposition (EMD)w ere applied to ex tr act the instantaneous frequency o f the simu -lation sig nal and vibratio n sig nal o f a turbine rotor.T he results sho w ed that the LM D instantaneous fre -quency w as alw ays positive Key w ords:time -frequency analysis;local mean decomposition;instantaneous frequency;applicable condition Sm ith [1]于2005年提出了局域均值分解方法(local mean decomposition,LM D),这种新的时频分析方法将复杂的多分量信号分解为若干个乘积函数(productio n function,PF)的线性组合,每一PF 分量由一个包络信号和一个调频信号相乘得到,包络信号就是该PF 的瞬时幅值,而PF 的瞬时频率可以由调频信号求出.进一步将所有PF 分量的瞬时频率和瞬时幅值相组合,即可得到原始信号的时频分布.Smith [1]首先将LM D 应用于脑电图(EEG)的信号处理.LMD 算法和经验模态分解(empir ical mo dedecomposition,EM D)方法类似,基于极值点来定义局域均值函数和局域包络函数,但是用滑动平均代替三次样条插值.EM D 分解的最终结果是一系列本征模函数;而LM D 的结果是一系列乘积函数,可以用反余弦函数直接求得瞬时频率.该方法不会出现难以解释物理意义的负频率现象.LM D 的端点效应相比较EMD,在程度上轻得多,作用范围也比较小.本文提出并证明了/直接法0求取信号瞬时频率的适用条件,与经验模态分解法进行仿真与实验对比研究,表明局域均值分解有显著特点.目前,基于LMD 的时频分析方法虽未在机械故障诊断领域得到应用,但因一些优良的性质:分解过程可避免过包络、欠包络现象,没有严重的端点效应,求得的瞬时频率在任何时刻均是正的,基于LM D 的时频分析方法有望在机械故障诊断领域占一席之地.1 局域均值分解方法局域均值分解的基本思想和步骤如下:首先确定原始信号x (t)所有的局部极值点,分别由局部极值点形成局域均值函数m 11(t)和局域包络函数a 11(t).原信号如图1(a)所示;找出信号的极值点之后,任意2个相邻极值点之平均值即定义为局域均值,如图1(b)虚线所示.第i 段的局域均值函数由下式给出:m i =(n i +n i+1)/2.(1)式中:n i 和n i+1为相邻极值点.图1 局域均值函数和局域包络函数Fig.1 L ocal mean function and lo ca l envelo p funct ion同样,第i 段局域包络函数为相邻两极值点差值的1/2,如图1(c)虚线所示.第i 段局域包络函数由下式给出:a i =n i -n i+1/2.(2)然后在此基础上,用同样的算法对局域均值函数和局域包络函数分别作滑动平均.据文献[1]的附件,滑动平均的跨度取最长相邻极值点距离的1/3.设原来序列为y (i),i =1,2,,,n ,则滑动平均的公式为y s (i)=12N +1(y (i +N )+y (i +N -1)+,+y (i -N )).(3)式中:2N +1即为滑动跨度,滑动跨度必须为奇数,如果是偶数则减去1.在边界附近,减小跨度,以不超过序列的端点为限.如果在滑动平均之后,尚有相邻点的值相等,则再次做滑动平均,直到任何相邻点不相等,如图1(b)和(c)中的实线所示.在计算得到局域均值函数和局域包络函数之后,将滑动平均后的局域均值函数m 11(t)从原始信号x (t)中分离出来,得到h 11(t)=x (t)-m 11(t).再用h 11(t)除以滑动平均后的局域包络函数a 11(t),以对h 11(t)进行解调,得到s 11(t)=h 11(t)/a 11(t).如果s 11(t)相对应的局域包络函数a 12(t)=1,则已经是一个调频信号.如果a 12(t)X 1,则将s 11(t)作为原始数据重复以上迭代过程,直到s 1n (t)为一个调频信号,即-1[s 1n (t)[1,它的局域包络函数a 1(n +1)(t)=1.最后把迭代过程中产生的所有局域包络函数相乘便可以得到PF 的包络信号a 1(t)=a 11(t)a 12(t),a 1n (t)=7nq=1a 1q (t),该包络信号即PF 分量的瞬时幅值.将包络信号a 1(t)和调频信号s 1n (t)相乘便可得到原始信号的第一个PF 分量Y PF1(t)=a 1(t)s 1n (t),它包含了原始信号中最高的频率成分,是一个单分量的调频-调幅信号,其瞬时幅值就是包络信号a 1(t),其瞬时频率f 1(t)则可由调频信号s 1n (t)求出.将x(t)减去Y PF1(t)即得到一个新的信号u 1(t),将u 1(t)作为原始数据重复以上步骤,循环k 次,直到u 1(t)为一个单调函数为止,这样便可以将x (t)分解为k 个PF 分量和一个单调函数u k 之和,即x (t)=E kn=1YPF n(t)+u k (t).2 /直接法0求取调频的瞬时频率LMD 分解得到的PF 是一单分量的调频调幅信号,其瞬时幅值就是包络信号a(t),其瞬时频率f (t)则可由调频信号s(t)=cos U (t)求出,即U (t)=arcco s (s(t)).(4)将U (t)展开然后求导,即可求得s(t)的瞬时频率,也就是PF 的瞬时频率,即524浙 江 大 学 学 报(工学版) 第43卷X (t)=d U (t)/d t.(5)特别需要指出的是,必须保证-1[s(t)[1,s(t)的极点应等于?1,如果不等于而接近于?1,则可设置成?1.上述求取瞬时频率的方法显得简单和直接,称之为/直接法0./直接法0的一个优点是计算得到的瞬时频率都是正的,不会出现难以解释物理意义的负频率.下面结合实例来说明/直接法0求取瞬时频率的计算过程.例1 调频信号,波形如图2所示,幅值无物理单位,表达式为s (t )=cos (50t +40t 2);0<t [1.(6) 因反余弦函数的值域为[0,P ],将式(6)代入式(4)计算得到的相位如图3(a)所示;相位展开成可导的单调递增函数,如图3(b)所示.相位展开后再对求其导数,可得到瞬时频率.为方便后续处理,X (t )乘以1/(2P ),得f (t)=12P X (t )=12P @d U (t )d t.(7)图3(c)即为计算所得的瞬时频率.可以看到图中有一些明显的毛刺,出现的位置是在s(t)=?1附近.将式(4)代入式(7),可得f (t )=-12P 1-s 2(t)s c (t).(8)当s(t)=?1时,式(8)的分母等于0.因此这是一个不定式,s c (t)的误差将被放大.在s(t)=?1的一个邻域内,式(8)并不能得到可靠的计算结果,这就是图3(c)所示的瞬时频率计算结果出现明显毛刺的原因.因此,必须作一些处理,将这一些点去除.以邻近点的平均值代替或作平滑处理,得到的瞬时频率如图4所示.图4 平滑处理后瞬时频率F ig.4 Smo othed instantaneous fr equency3 /直接法0适用条件/直接法0求瞬时频率,原始信号经LM D 分解得到的调频信号s (t)应满足一定的适用条件.Smith [1]提出信号必须在[-1,1]的范围内,这是因为arccos 函数的定义域即为[-1,1].从瞬时频率的概念出发,为得到正的瞬时频率,调频信号s (t)必须满足更苛刻的条件.应用/直接法0求取信号的瞬时频率,信号必须满足如下条件:信号的极大值等于1,信号的极小值等于-1.证明:为保证瞬时频率X (t)=d U (t)/d t 有定义,U (t)必须是可导的,为了使X (t)>0,相位U (t)必须是连续单调递增函数.根据d U (t)/d t 的符号和三角函数的性质[3]:co s U (t )=co s (U (t )+2m P ),co s U (t )=co s (-U (t )+2n P ).(9)式中:m 、n 为任意整数.以U (t )的极值点为界将原相位函数分段,重新定义一相位函数,得5(t)=U (t)+2n P ,d U /d t >0;-U (t)+2m P ,d U /d t <0;未定义,其他.(10)如果5(t)可以构成一连续单调递增函数,即U (t )的极值点是5(t)的可去间断点,那么U (t )即是可以展开的,如例1的图3(b).5(t)的连续性,即由间断点的特性决定.在U (t)的极大值点处,左导数U c -(t)>0,右导数U c +(t)<0,那么5(t)的左右极限为525第3期任达千,等:基于LM D 的信号瞬时频率求取方法及实验5(t -)=U (t)+2n P ,5(t +)=-U (t)+2m P .(11)5(t)在U (t)的极大值点处连续的充要条件为5(t -)=5(t +),因此有U (t)=0,n =m.(12)或U (t)=P ,n =m -1.(13)为此信号的极大值点可用下式表示:s (t)=cos (U (t))=?1.(14)当U (t )为极小值点时,可以得到同样的结论,即信号的极值点必须是?1./直接法0的适用条件,有如下意义:1)给出了信号应用/直接法0求取瞬时频率必须满足的条件,为进一步研究调频信号的判据提供了理论基础.2)说明瞬时频率不仅仅是局部的概念,为了计算某一时刻的瞬时频率,至少需要知道信号的全部极值点.4 /直接法0的仿真研究以下例子可以说明0直接法0的适用条件.例2 仿真信号波形如图5所示,幅值无物理单位,信号表达式为x (t)=cos (at 2+bt +c).(15)式中:a =1,b =-10,c =10.在t =5处,信号有一极小点,其值为-017597.信号的相位表达式为图5 仿真信号Fig.5 Simulated sig nalU (t)=at 2+bt + c.(16)信号的瞬时频率表达式为X (t)=d U (t)/d t =2at +b.(17)但是/直接法0不能计算此信号的瞬时频率,按式(4)计算得到的相位如图6(a)所示.因为信号在t =5处有一极小值点不等于-1,不满足/直接法0的适用条件,相位连续展开后5(t)在t =5处有一间断点,所以不能得到有物理意义的瞬时频率,如图6(b)所示.若以此仿真信号作为原始信号,经LM D 分解结果如图7(a)、(b)和(c)所示,图中信号的幅值无物理单位.再进一步用/直接法0可求得瞬时频率,如图7(d)所示.图6 /直接法0计算所得相位F ig.6 Phase g ener ated by direct metho d5 与经验模态分解的实验对比5.1 经验模态分解简介H uang 等人[2]提出了一种被称为H ilbert -H uang 变换(简称H H T )的信号分析方法,其核心内容是经验模态分解(empirical m ode decom pos-i tion,EM D),将信号分解成若干个本征模函数(in -trinsic mode function,IM F).对各IM F 做H ilbert 变换,可以得到信号的瞬时频率,并进一步计算信号的时频分布和边缘谱.为了得到有物理意义的瞬时频率,H uang 等人[6]提出了归一化H ilber t 变换.从EMD 分解得到的IM F 出发,首先找出IMF 的所有极大值点,对这些极大值点样条插值得到包络线E(t);再将IMF 除以E(t)即得到归一化的IMF;然后对归一化的IMF 进行H ilbert 变换求瞬时频率.Huang 认为归一化H ilbert 变换的结果是令人满意的,但并非所有IMF 都可以求得有物理意义的瞬时频率.5.2 仿真信号对比LMD 方法的分解过程可以得到一系列的PF 分量,PF 分量由包络信号和调频信号相乘得到,从调频信号计算得到的瞬时频率是正的、连续的、具有物理意义的.而EM D 方法先得到IMF 分量,再对IMF 分量进行H ilber t 变换求得瞬时频率和瞬时幅值,则可能产生无法解释的负频率.以图8所示信号为例,信号的幅值无物理单位,表达式为526浙 江 大 学 学 报(工学版)第43卷图7仿真信号LMD分解结果及瞬时频率Fig.7L M D result fr om simulat ed sig nal and in-stantaneo us fr equencyx(t)=cos(2P@5t),0[t<0.63;-1.02x+1.2354,0.63[t<0.6357; cos(2P@5t-0.2),0.6357[t[1.(18)信号前后两段均为余弦信号,在0163s附近信号的相位有一个突变,前后信号相位差012rad,在连接处,用一段直线过渡.这个函数既符合IMF的定义,可以用Hilbert变换求取瞬时频率,也符合/直接法0的适用条件,可以用/直接法0求取瞬时频率.该信号经H ilber t变换得到的瞬时频率在函数图8仿真信号F ig.8Simulated signal的过渡处出现波动,还出现负的瞬时频率值,并无法解释其物理意义,如图9所示.图10所示为应用/直接法0求取的瞬时频率,与H ilber t变换最大的不同是瞬时频率总是正的,没有出现无法解释的负频率.负频率现象不仅是一个理论问题[4-5],而且在分析实际信号时也是经常出现的,成为瞬时频率估计的一个重要的误差来源.5.3振动信号对比如图11所示,这是一段从汽轮机上采集到的转子振动信号,EMD分解的结果见图12,信号幅值的物理单位是m V.可以看到总共有9个IM F和一个趋势项,因端点效应的影响IMF9和趋势项的幅值远超出了原信号,部分信号无法显示.图13显示了IMF1的瞬时频率,可以清楚地看到负频率现象.图14为振动信号的LMD分解结果,信号幅值527第3期任达千,等:基于LM D的信号瞬时频率求取方法及实验的物理单位是m V.图15是用/直接法0求取PF1的瞬时频率,可以看到用/直接法0求得瞬时频率总是正的,不会出现难以解释物理意义的负频率现象.6 结 论局域均值分解是一种新出现的时频分析方法,所求得的瞬时频率不会出现难以解释物理意义的负频率.本文的分析研究有以下几方面的意义:(1)给出了信号应用/直接法0求取瞬时频率必须满足的条件,为进一步研究调频信号的判据提供了理论基础.(2)针对极值点附近畸变情况引进平滑处理改进了该算法.(3)与经验模态分解法进行了实验对比,表明局域均值分解法具有避免出现负频率现象的显著特点.参考文献(References ):[1]SM I T H J S.T he local mean deco mpo sitio n and its a p -plicat ion to EEG per ceptio n data [J].Journal of TheRoyal Society Interface 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