几何五大模型 蝴蝶模型
平面几何常考五大模型---等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、 燕尾
平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝）等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。
模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
bS 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：等积变化原理之四边形应用S 4S 3s 2s 1O DC BA141423213S S =S S S S DO OB S S +==+模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b2（2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ；（4）141423213S S =S S S S DO OB S S +==+ :模型四：相似三角形性质①a b c hA B C H=== ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2︰A 2hh H cb a CB Aac b HC B模型五：燕尾定理F ED CBAS △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4，S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小升初几何常考五大模型（等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾）
小升初几何常考五大模型（等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾）下面给大家整理小升初数学几何常考五大模型（等积变换模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型、燕尾定理）（一）等积变换模型性质与应用简介平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。
1.等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；(3)如右图夹在一组平行线之间的等积变形，S△ACD=S△BCD反之，S△ACD=S△BCD，则可知直线AB∥直线CD等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。
【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。
【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。
事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座'桥梁'，请同学们体会一下。
（二）鸟头定理（共角定理）模型平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。
小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
小学六年级奥数 五大模型——蝴蝶模型、燕尾模型
1
【例2】(★★★)
如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 ___________平方厘米。
【例3】 (★★★)
如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB的长是9。那么四边形OECD的面积是多少？
五大模型——蝴蝶模型、燕尾模型
1．蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系：
①
S :S =S :S
12
43
或者S1
S 3
=
S 2
S 4
② AO:OC = S +S : S +S
1
2
4
3
BO:OD= S +S : S +S
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
Aa D S1
S2 O S4
S3
B
C
b
二、本讲经典例题 例1，例4，例6，例7，例8
3．燕尾模型 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么 SABO : SACO BD : DC 。
4
1
4
3．燕尾模型
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那 么SABO : SACO BD : DC 。
2．梯形蝴蝶模型 梯形中比例关系： ① S2＝S4 ② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab
五大模型——蝴蝶模型、燕尾模型
1．蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系：
①
S :S =S :S
12
43
或者S1
S 3
=
S 2
S 4
② AO:OC = S +S : S +S
1
2
4
3
BO:OD= S +S : S +S
2
3
1
4
3．燕尾模型
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那 么SABO : SACO BD : DC 。
①
S :S =S :S
12
43
或者S1
S 3
=
S 2
S 4
② AO:OC = S +O:OD= S +S : S +S
2
3
1
4
3
2．梯形蝴蝶模型 梯形中比例关系： ① S2＝S4 ② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab
2．梯形蝴蝶模型 梯形中比例关系： ① S2＝S4 ② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab
【例1】 (★★) 如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O， 若△AOM、△ABO和△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面积 是_______。
Aa D S1
S2 O S4
S3
B
C
b
二、本讲经典例题 例1，例4，例6，例7，例8
3．燕尾模型 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么 SABO : SACO BD : DC 。
4
【例4】(★★★★) 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形， 保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与 小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的 面积为_________。
小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
小学奥数几何五大模型
（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？A BCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。
蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。
设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。
那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。
这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。
我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。
下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。
例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。
如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。
又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。
因此，三角形ADC的面积也是24cm²。
例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。
如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。
又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。
因此，三角形ADC的面积是25cm²。
几何的五大模型
利用燕尾定理，连接FC，BFD面积/BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD面积为1份的话，BFC为2份；又DF=FG，所以BFG面积与BFD面积相等也是1份，故FGC面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC的面积与DFB相等也是1份，BDC的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2关系是一样的。）
四、相似三角形模型
相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
解析：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。
几何的五大模型
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
解析：
如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF= （a+2a）= ，所以，
。所以
阴影部分
= 即 ，梯形 ABCD的面积=
如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．
几何五大模型-蝴蝶模型
例2如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的 ，且AO=2，DO=3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
【举一反三】Leabharlann 1、如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点， 、 、 、 的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求 的面积；⑵求 的面积。
例3如图， ， ，求梯形的面积。
【举一反三】
1、如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知 与 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．
例4如图，梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的 ，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．
7、如图，正方形 面积为 平方厘米， 是 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
8、如图面积为 平方厘米的正方形 中， 是 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
9、如图，正六边形面积为 ，那么阴影部分面积为多少？
板块一任意四边形模型
【例题精讲】
例1如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【举一反三】
1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知。
3、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是 ，问三角形AOD的面积是多少？
4、如图，梯形ABCD中， 、 的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．
小学奥数几何五大模型
一、等积模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
S△ABD=S△ABC
2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比；
h1为公共的高，所以
S△ABC：S△ADC= AB：AC
3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比h1:h2；
AB为公共边，所以
二、相似模型
相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
④S的对应份数为(a+b)2
四、鸟头模型（共角定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
S△ABC：S△ADE=(AB*AC)：(AD*AE)；
五、燕尾模型
△ABC，AD、BE、CF 交于同一点O,
S△AOB：S△AOC=BD：CD；
S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理，
S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型。
六、共边模型：
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，
1、金字塔模型2、沙漏模型
注意: 都含有BC平行DE这样的一对平行线！
三、风筝模型
1、风筝模型（任意四边形）：
S1*S3=S2*S4，
S1:S4=S2:S3=AO:CO,
S1:S2=S4:S3=DO:BOS1:S3=a2:b2
③S1:S2:S3:S4=a2:ab:b2:ab
则:S△PAB：S△QAB=PM：QM；
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4、如图，梯形ABCD中， 、 的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．
5、如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，求四边形 的面积．
6、长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
例3如图， ， ，求梯形的面积。
【举一反三】
1、如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知 与 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．
例4如图，梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的 ，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．
求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC=？
例2如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的 ，且AO=2，DO=3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
【举一反三】
1、如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点， 、 、 、 的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求 的面积；⑵求 的面积。
板块一任意四边形模型
【例题精讲】
例1如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【举一反三】
1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知。
2、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
板块二梯形模型的应用
【知识梳理】
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①
② ；
③ 的对应份数为 ．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
_________________个性化辅导讲义
年 级：
时间
年月日
课 题
蝴蝶模型
教学目标
1.熟记蝴蝶模型，
2.学会使用蝴蝶模型解决问题。
3.学着对平面图形进行对比，培养发现特征的能力。
教 学 内 容
【温故知新】
默写公式：
【知识梳理】
模型三蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
① 决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【举一反三】
1、在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是多少平方厘米？
【课堂总结】
我的收获
我的疑惑
【课后作业】
1、如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为_________。
2、如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积。
7、如图，正方形 面积为 平方厘米， 是 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
8、如图面积为 平方厘米的正方形 中， 是 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
9、如图，正六边形面积为 ，那么阴影部分面积为多少？