专题25 三角函数模型及应用(检测)-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习
高三一轮数学理复习三角函数的模型及应用ppt文档
第25讲 三角函数的模型及应用
1．(2012·粤西北九校联考)如图，设 A、B 两点在 河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选 定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠
CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为( A )
4．有一长为 100 米的斜坡，它的倾斜角为 45°，现要把
倾斜角改为 30°，则坡底需伸长
米．
解析：坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不 变，即仍为 50 2，当坡的倾斜角变为 30°时，坡底的长度为 50 6，所以坡度改后，坡底伸长了 50( 6－ 2)米．
一 解三角形的实际应用题
最长．
亦即将∠PMN 设计为 30°时，折线段赛道 MNP 最长．
200 3 C. 3 m
200 D. 3 m
解析：画出示意图(如图)，由题意可知，∠DAC＝60°， ∠OAC＝∠DAB＝30°，
在△AOC 中，AO＝200，
所以 OC＝2003 3， 而 AD＝OC＝2003 3， 在△ABD 中，
BD＝2003 3× 33＝2300， 因此塔高为 200－2300＝4030(m)， 故选 A.
解析：①需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角分 别为 α1，β1；B 点到 M，N 点的俯角分别为 α2，β2；A，B 的 距离 d.
②第一步：计算 AM.由正弦定理得 AM＝sindsαi1n＋α2α2； 第二步：计算 AN.由正弦定理得 AN＝sindsβi2n－β2β1； 第三步：计算 MN.由余弦定理得 MN＝ AM2＋AN2－2AM·ANcosα1－β1.
【例 1】(2012·山东滨州高三期中联考)如图，正在海上 A 处执行任务的渔政船甲和在 B 处执行任务的渔政船乙， 同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船 丙在渔政船甲的南偏东 40°方向距渔政船甲 70 km 的 C 处， 渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20°方向的 B 处，两艘渔政船 协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船 甲航行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必
高考数学第一轮复习三角函数解析要点
2019年高考数学第一轮复习三角函数解析要点三角函数是以角度(数学上最常用弧度制，下同)为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，查字典数学网整理了三角函数解析要点，帮助广大高中学生学习数学知识! 这一部分的重点是一定要从初中锐角三角函数的定义中跳出来。
在教学中，我注意到有些学生仍然在遇到三角函数题目的时候画直角三角形协助理解，这是十分危险的，也是我们所不提倡的。
三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，已经发生了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数——弧度制的角。
有了这样一个思维上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个附属产品(初中三角函数很多时候依附于相似三角形)，而是一个具有独立意义的函数表现形式。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
既然三角函数作为一种函数意义的理解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联系起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了所有的性质。
对于三角函数，除了图象，单位圆作为辅助手段，也是非常有效——就好像配方在二次函数中应用广泛是一个道理。
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
【配套K12】专题25 三角函数模型及应用(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
本专题特别注意：1.方向角与方位角2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形与立体几何的练习5.圆锥曲线中的焦点三角形问题6.三角形与向量的综合【学习目标】能够运用正、余弦定理等知识解决一些测量距离问题、高度问题、角度问题、面积问题、方向问题等．【方法总结】利用正弦定理或余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.1.在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时不可将正弦定理和余弦定理割裂开来，有时需要综合运用两个定理才能使题目获得解决.2.在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.3.在画图与识图过程中，要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角、方向角，以防出错. 高考模拟：一、单选题1．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由∠ACB 与∠BAC ，求出∠ABC 的度数，根据sin ∠ACB ，sin ∠ABC ，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 求 解三角形应用题的一般步骤：①分析：分析题意，弄清已知和所求；②建模：将实际问题转 化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；③求解：正确运用正、余弦定理求解； ④检验：检验上述所求是否符合实际意义.2．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为.若，，则用“三斜求积公式”求得的（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】由可得，由可得，整理计算有：，结合三角形面积公式可得：.本题选择D选项.3．中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=y,,解得x=3,y=4,故得到.故答案为：D.4．已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的150公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则( )A. B. 80 C. 100 D. 125【答案】C【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，在点东西向和是平行的，内错角相等，将已知角都转移到中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形.5．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=.现有周长为且))∆，则其面积为（）A B C=的ABCsin:sin:sin11A. B. C. D.【答案】A6．某新建的信号发射塔的高度为AB ，且设计要求为：29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得60BDC ∠=︒， 75BCD ∠=︒， 40CD =米，并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且1CE =米，则发射塔高AB =（ ）A. ()1米B. ()1米C. ()1米D. ()1米 【答案】A【解析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，则BC,BF CE 1EF ===米，30AEF ∠=︒，在BDC 中，由正弦定理得： sin 40sin 60sin 45CD BDC BC SIN CBD ⋅∠⋅===∠米.在Rt AEF 中，tan 3AF EF AEF =⋅∠==（米）.所以 1AB AF BF =+=+，符合设计要求.故选A.7．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A. (1+2)米 B. 2米 米 米 【答案】D【解析】设BC 的长度为x 米,AC 的长度为y 米,则AB 的长度为(y −0.5)米，当且仅当()()3141x x -=-时，取“=”号，即1x =+时,y 有最小值2本题选择D 选项.8．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为75,30︒︒，此时气球距地面的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A. )2401mB. )1801mC. )1201mD. )301m【答案】C9．如图，为测量河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，在点C 处测得A 点的仰角为60︒ ，再由点C 沿北偏东15︒ 方向走20m 到位置D ，测得30BDC ∠=︒ ，则塔AB 的高是（ ）A. 10mB.C.D. 【答案】D【解析】设BC=x ，AC=2x ，在三角形BCD 中， 00105,45,BCD CBD ∠=∠=由正弦定理得到sin30x x =⇒=在直角三角形ABC 中，角BCA=060，进而得到AB= . 故答案为：D.10．[2018·赣州模拟]如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）A.海里 B.海里 C.海里 D. 40海里【答案】A11．如图，在Rt ABC ∆中， 1AC =， BC x =， D 是斜边AB 的中点，将BCD ∆沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是 （ ）A. (B. 2⎤⎥⎝⎦C. D. (]2,4【答案】A考点：1.空间异面直线位置关系；2. 空间想象能力.12．已知在海中一孤岛D 的周围有两个观察站A C 、，且观察站A 在岛D 的正北5海里处，观察站C 在岛D 的正西方.现在海面上有一船B ，在A 点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在C 点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站A 与C 的距离为（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】画出如下示意图．由题意可得， 120BCD ∠=︒，又60BAD ∠=︒， 所以A,B,C,D 四点共圆，且AC 为直径、90ABC ∠=︒． 在BAD ∆中， 4,5,60AB AD BAD ==∠=︒,由余弦定理得2222212cos 45245212BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，∴BD =∴2BDAC R sin BAD===∠R 为圆的半径）． 选D ．13．如图，海中有一小岛C ，一小船从A 地出发由西向东航行，望见小岛C 在北偏东060，航行8海里到达B 处，望见小岛C 在北偏东015，若此小船不改变航行的方向继续前行)21海里，则离小岛C 的距离为（ ）A. )82海里 B. )21海里 C. )21海里 D. )41海里【答案】C点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.14．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45，沿A 向北偏东30方向前进100m 后到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度试（ ）A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m 【答案】A【解析】15．海洋中有,,A B C 三座灯塔.其中,A B 之间距高为a ，在A 处观察B ,其方向是南偏东40，观察C ,其方向是南偏东70,在B 处現察C ,其方向是北偏东65, ,B C 之的距离是（ ）A.a B. C.12a D. 2a【答案】D【解析】依题意可知， ABC 中，A =30°,B =105°,C =45°,且AB a =，由正弦定理：sin sin BC AB A C =可得： 2sin sin30sin sin452AB a BC A a C =⨯=⨯=. 本题选择D 选项.16．《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步? ” 请问乙．走的步数是（ ） A.92 B. 152 C. 212 D. 492【答案】C17．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角A B C、、所对的边分别为a b c 、、，面积为S ，则 “三斜求积”公式为S =.若()222sin 4sin 12a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为（ ）A.B. 2C. 3D. 【答案】A【解析】由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-==点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论. 18．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）A.4 B. 15 C. 5D. 14【答案】A【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴a 的值,需要先利用切线性质求出AOB ∠,再利用相似求出OC 长,即为a ,短轴长为底面半径,故b 比较容易求出,根据椭圆中的关系式222a b c =+,得出c 值,进而求出离心率.19．如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知得∠ACB ＝45°，从而在ΔABC 中求得AC ，再在ΔACM 中求得MC ，最后在ΔMNC 中求得MC.点睛：本题考查解三角形的实际应用，首先要掌握测量中的俯角、仰角等概念，其次掌握解三角形的常用定理，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解直角三角形等知识，特别要能够通过分析已知条件、隐含条件选用正确的公式求解.20．甲船在岛的正南方处，千米，甲船以每小时千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟【答案】A【解析】分析：设经过x 小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B 岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．详解：假设经过x 小时两船相距最近，甲乙分别行至C ，D 如图示可知BC=10﹣4x ，BD=6X ，∠CBD=120°CD 2=BC 2+BD 2﹣2BC×BD×cosCBD=（10﹣4x ）2+36x 2+2×（10﹣4x ）×6x×=28x2﹣20x+100当x=小时即分钟时距离最小故选：A．点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．二、填空题21．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理，求得；再正弦定理，可直接求得AB的长度。
2019年高考数学一轮复习：三角函数模型的应用
2019年高考数学一轮复习：三角函数模型的应用三角函数模型的应用1．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助____________来描述． 2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行____________而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．3．y ＝||sin x 是以______为周期的波浪形曲线．4．太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系：________________.自查自纠1．三角函数 2.周期 函数拟合 3.π 4.h 0＝h tan θ已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin160πt ＋110.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解：由题意可得f ＝1T ＝160π2π＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C .(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解：由图知－3＋k ＝2，k ＝5，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋5，y max ＝3＋5＝8.故选C .电流I (A)随时间t (s)变化的函数关系式为I ＝5sin (100π·t ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流I 为( )A ．5 A B.52A C ．2 A D ．－5 A解：当t ＝1200s 时，电流I 为5sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝52 (A)．故选B .某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.解：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5.故填20.5.一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，________.解：设y ＝A sin(ω·t ＋φ)，则从表中可以得到A ＝4，T ＝0.8，所以ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，所以y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2t ＋φ， 又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2t －π2＝－4cos 5π2t . 故填y ＝－4cos 5π2t.类型一 建立三角模型如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m ．风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m)．(1)求函数h ＝f (t )的关系式； (2)画出函数h ＝f (t )的图象．解：(1)如图，以O 为原点，过点O 的圆O 1的切线为x 轴，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(x ，y )，则h ＝y ＋0.5.设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y 2，y ＝－2cos θ＋2.又θ＝2π12·t ＝πt 6，所以y ＝－2cos πt 6＋2，h ＝f (t )＝－2cos πt6＋2.5.(2)列表：描点连线，即得函数h ＝－2cos π6t ＋2.5的图象如图所示：【点拨】本题主要考查建模能力，考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思想和作图技能，建立适当的直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解题的关键．如图是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的一个函数解析式是________．解：设函数解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0)，则A ＝2，由图象知，T ＝2×(0.5－0.1)＝45，所以ω＝2πT ＝52π，52π×0.1＋φ＝π2，所以φ＝π4，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π2t ＋π4.故填y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π2t ＋π4.类型二 根据解析式建立图象模型已知电流I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式．解：由图象可知，A ＝300，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫1180＋1900＝175， 所以ω＝2πT ＝150π，又由sin ⎝⎛⎭⎫150π×1180＋φ＝0，且|φ|<π2，得φ＝π6. 所以I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫150πt ＋π6.【点拨】由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要善于抓住特殊量和特殊点．(经典题)弹簧挂着的小球作上下振动，时间t (s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h ＝2sin(2t －π4)，t ∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？(5)小球1s 能振动多少次？解：(1)画出h ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2t －π4的简图(长度为一个周期)．描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2t －π4(t ≥0)在一个周期的简图，如图所示．(2)t ＝0时，h ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2，即小球开始振动时的位置为(0，－2)(平衡位置的下方2cm 处)．(3)t ＝3π8＋k π(k ∈N )时，h ＝2；t ＝7π8＋k π(k ∈N )时，h ＝－2.即最高点位置⎝⎛⎭⎫3π8＋k π，2，最低点位置⎝⎛⎭⎫7π8＋k π，－2，k ∈N ，最高点、最低点到平衡位置的距离均为2cm. (4)小球往复振动一次所需时间即周期， T ＝2π2＝π≈3.14(s)．(5)小球1s 振动的次数为频率， f ＝1T ＝1π≈13.14≈0.318(次/s)．类型三 三角函数拟合受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的深度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作(1)根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解：(1)根据数据画出散点图，根据图象，可考虑用函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应关系，则周期T ＝12，振幅A ＝3，h ＝10，所以y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，即3sin π6t ＋10≥11.5，sinπ6t ≥12，2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋56π(k ∈Z )，0≤t ≤24，所以12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．在同一天内取k ＝0或1，则1≤t ≤5或13≤t ≤17.所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚下午17时出港，在港口最多停留16小时． 【点拨】(1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象出数学问题(求解析式、解不等式)，从而得出船在港内最多停留的时间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解析式．已知某海滨浴场海浪的高度y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，记作：y ＝f (t )经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1.25 m 时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动．解：(1)由题意知T ＝12，所以ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5得A ＋b ＝1.5；由t ＝3，y ＝1.0得b ＝1.0，所以A ＝0.5，b ＝1，即y ＝12cos π6t ＋1，t ∈[0，24]．(2)由题意知，当y >1.25时才可对冲浪者开放，所以12cos π6t ＋1>1.25，cos π6t >12.所以2k π－π3<π6t <2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2<t <12k ＋2，k ∈Z .①因为0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1，2， 得0≤t <2或10<t <14或22<t ≤24. 所以有8个小时的时间可供冲浪运动．1．三角函数模型的三种模式在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力变化等．研究这些应用问题，主要有以下三种模式：①给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；②给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他问题；③搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数式，进一步用函数性质来解决相应的实际问题．2．三角函数应用问题解题流程三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，利用三角函数的周期性、有界性等，可以解决很多问题，其解题流程大致是：审读题目，理解题意→设角，建立三角函数模型→分析三角函数的性质→解决实际问题．其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键．3．将图象和性质赋予实际意义在解决实际问题时，要具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活运用三角函数的图象和性质，将图象和性质赋予实际意义．1．函数y ＝|sin x |的最小正周期是( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π 解：y ＝|sin x |是以π为周期的波浪形曲线．故选C .2．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin ()ωt ＋φ(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如图所示，则ω＝( )A ．100πB ．100C ．200πD ．200解：由图知T ＝2(4300－1300)＝150，ω＝2πT ＝2π150＝100π.故选A .3．(2015·湖北模拟)某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2) 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N *) D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N *) 解：根据题意，T ＝ 2×(7－3)＝8，ω＝2πT ＝π4，由⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝7，－A ＋B ＝3， 得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝5， 当x ＝3时，2sin ⎝⎛⎭⎫π4×3＋φ＋5＝7，得φ＝－π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋5.故选D . 4．如图为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点Q 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0)，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解：因为水轮上最高点距离水面r ＋2＝5 m ，即A ＋2＝5，所以A ＝3.又因为水轮每秒钟旋转8π60＝2π15 rad ，所以角速度ω＝2π15.故选A .5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π6 解：由题意，函数的周期为T ＝60，所以ω＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2(秒针是顺时针走动)．因为初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，所以t ＝0时，y ＝12.所以sin φ＝12，φ可取π6.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6.故选C . 6．(2016·厦门模拟)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上，半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝sin 2x2，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )A B C D解：如图，AD ＝t ，OA ＝1－t ，cos ∠AOC ＝1－t ，则x ＝2∠AOC ，从而y ＝sin 2x2＝sin 2∠AOC ＝1－cos 2∠AOC ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t (0≤t ≤1)．故选B .7．已知某种交流电电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动的次数为________次． 解：因为f ＝1T ＝ω2π＝100π2π＝50，所以0.5 s 内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25.8．(北京海淀2017届期中)去年某地的月平均气温y (℃)与月份x (月)近似地满足函数y＝a ＋b sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6(a ，b 为常数)．若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为________ ℃.解：将(6，22)，(12，4)代入函数，解得a ＝13，b ＝－18，所以y ＝13－18sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6. 当x ＝8时，y ＝13－18sin ⎝⎛⎭⎫π6×8＋π6＝31.故填31. 9．画出函数y ＝|cos x |的图象并观察其周期． 解：函数图象如图所示．从图中可以看出，函数y ＝|cos x |是以π为周期的波浪形曲线． 我们也可以这样进行验证：|cos(x ＋π)|＝|－cos x |＝|cos x |， 所以，函数y ＝|cos x |是以π为周期的函数．10．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)由图可知：这段时间的最大温差为30－10＝20(°C)．(2)从图可以看出：从6～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，所以T2＝14－6＝8，所以T ＝16.因为T ＝2πω，所以ω＝π8.又因为A ＝30－102＝10，b ＝30＋102＝20，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20， 将点(6，10)代入得sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋3π4，k ∈Z ，取φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，6≤x ≤14. 11．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．解：由已知条件可得，出厂价格函数关系式为y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6，销售价格函数关系式为y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －34π＋8，则利润函数关系式为2019年高考数学一轮复习 第 11 页 共 11 页 y ＝m (y 2－y 1)＝m [2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －34π＋8－2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4－6] ＝－22m sin π4x ＋2m . 当x ＝6时，y ＝2m ＋22m ＝(2＋22)m ，即6月份盈利最大．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解：(1)f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 因为0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＞11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＜－12. 又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 在10时至18时实验室需要降温．。
高考一轮复习专题三角函数(全)详解
高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cos α＝x r 、tan α＝y x分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α.诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根， θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )． A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域． (2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φω错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角 Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题————求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。
2019年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3.1三角函数
2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：3.1三角函数一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。
注：若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。
※例题解析※〖例〗已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。
思路解析：本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P（4t,-3t）(t≠0)，求出r，由定义得出结论。
解答：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t≠0)，则x=4t,y=-3t.,当t>0时，r=5t,sinα=yr=3355tt-=-,44cos55x tr tα===，33tan44y tx tα-===-；当t<0时，r=-5t，sinα=yr=3355tt-=-，44cos55x tr tα===--，33tan44y tx tα-===-。
综上可知，sinα=35-，4cos5α=，3tan4α=-；或sinα=35,4cos5α=-,3tan4α=-.2、象限角、三角函数值符号的判断※相关链接※（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。
※例题解析※〖例〗（1）如果点P （sin θ·cos θ,2cos θ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限； （2）若θ是第二象限角，则sin(cos )cos(sin 2)θθ的符号是什么？思路解析：（1）由点P 所在的象限，知道sin θ·cos θ，2cos θ的符号，从而可求sin θ与cos θ的符号；（2）由θ是第二象限角，可求cos θ，sin2θ的范围，进而把cos θ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos θ),cos(sin2θ)的符号可定。
2019版高考数学(理)一轮复习：函数模型及其应用含解析
件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 ( A.75,25 B.75,16 C.60,25
【解析】选 D.由函数解析式可以看出,组装第 A 件产品所需时间为 第 4 件产品所需时间为 =30,解得 c=60,将 c=60 代入
=15,故组装
=15,得 A=16.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位:元)由 f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出, 其中 m>0,[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、 乙两地通 话 6.5 分钟的电话费为________元. 【解析】因为 m=6.5,所以[m]=6,则 f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24. 答案:4.24 7.(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆 A 型轿车,售价为 14.4 万元,购买后轿车一 年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4 万元,同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每年减少它的价值的 10%),试问,大约使用________年后,花费在该 车上的费用(含折旧费)达到 14.4 万元? 【解析】设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元, 依题意可得,14.4(1-0.9 )+2.4x=14.4. 化简得:x-6×0.9 =0,令 f(x)=x-6×0.9 . 因为 f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0, 所以函数 f(x)在(3,4)上应有一个零点. 故大约使用 4 年后,花费在该车上的费用达到 14.4 万元. 答案:4 8. 某 食 品 的 保 鲜 时 间 y( 单 位 : 小 时 ) 与 储 藏 温 度 x( 单 位 :℃) 满 足 函 数 关 系 y=e (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________ 小时.
2019届高考数学一轮复习 名师专题讲座2 三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略课件 文
(2018·合 肥 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ (2 3 ·cosωx ＋ sinωx)sinωx－sin22π＋ωx(ω>0)，且函数 y＝f(x)图象的一个对称中 心到最近的对称轴的距离为π4.
(1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间0，2π上的值域．
(4)已知两边 a，b 及其中一边的对角 A，由正弦定理sianA＝sibnB 可求出另一边 b 的对角 B，由 C＝π－(A＋B)，可求出角 C，再由 sianA＝sincC可求出 c，而通过sianA＝sibnB求角 B 时，可能有一解或 两解或无解的情况．
(2017·湖南五市十校 3 月联考)在△ABC 中，内角 A、 B、C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2＝bc.
(1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，求 BC 边上的中线 AM 的最大值． [审题程序] 第一步：依据余弦定理角化边； 第二步：依据余弦定理求 cosB 及 AM； 第三步：由余弦定理和重要不等式求 AM 的最大值．
[规范解答] (1)∵b2＋c2－a2＝bc， ∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12. 又 0<A<π， ∴A＝π3. (2)在△ABC 中，A＝π3，a＝ 3， 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA 得 b2＋c2＝bc＋3.则 b2＋c2 ＝bc＋3≥2bc，得 bc≤3(当且仅当 b＝c 时取等号)．
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练] 1．设函数 f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)，且 y＝f(x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间π，32π上的最大值和最小值．
专题25 正(余)弦定理的应用(原卷版)
2023高考一轮复习讲与练专题25 正（余）弦定理的应用练高考 明方向1.（2022·新高考Ⅱ卷T18） 记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12331,sin 23S S S B -+==．（1）求ABC 的面积；（2）若2sin sin 3A C =，求b ． 2.（2022·全国乙（文）T17）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =，求C ；（2）证明：2222a b c =+3.（2022·全国乙（理）T17）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+； （2）若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 4.（2022·北京卷T16）在ABC 中，sin 23sin C C =． （1（求C ∠；（2（若6b =，且ABC 的面积为63，求ABC 的周长．5.（2022·浙江卷T18） 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． （1）求sin A 的值；（2）若11b =，求ABC 的面积．6.（2022·浙江卷T11） 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．7．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为正（余）弦定理的应用求边求角求面积8848．86(单位：m )，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ．B ．C 三点，且A ．B ．C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ．C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为 1.732≈) ( )A ．346B ．373C ．446D ．4738．(2021·天津高考)在△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶1∶2，b ＝ 2. (1)求a 的值； (2)求cos C 的值； (3)求sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6的值． 9、(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 10．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________.11．(2021·浙江高考)在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝23，则AC ＝______，cos ∠MAC ＝________.12．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = ( )A ．19B ．13C ．12D ．2313．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．(1)求A ；(2)2b c +=，求sin C ．14．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π615．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在ABC △中，cos2C 1BC =，5AC =，则AB = ( ) A．BCD．16．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC 中,4B π=,BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ( )ABC． D．17．(2014高考数学课标2理科)钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC，则AC = () A ．5B C ．2D ．118．(2021年高考全国乙卷理科)记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．19．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若6b =，2a c =，3B π=，则ABC △的面积为 ．20、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上， 若，则___________，___________．21. 【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的值． 22．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为,已知的面积为． (1)求; (2)若,,求的周长．23．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为．已知，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．24．(2016高考数学课标Ⅰ卷)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I )求C ；(II )若c =ABC ∆ABC ∆的周长． 25．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．讲典例 备高考ABC △90ABC ∠=︒4AB =3BC =D AC 45BDC ∠=︒BD =cos ABD ∠=ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=3sin 4sin c B a C =cos B sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭ABC △,,A B C ,,a b c ABC △23sin a Asin sin B C 6cos cos 1B C =3a =ABC △ABC △,,A B C ,,a b c sin 0A A =a =2b =c D BC AD AC ⊥ABD △类型一、正（余）弦定理的基本应用 基础知识：1．余、正弦定理的内容及其变形在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则2、主要结论：(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π.变形：A ＋B 2＝π2－C2.(2)在△ABC 中，内角A ，B，C 成等差数列⇔B ＝π3，A ＋C ＝2π3. B.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A ＋B)＝sin C ；cos(A ＋B)＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C2.(5)大边对大角，大角对大边，如a ＞b ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin (6)在斜△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C.(7)三角形射影定理：在△ABC 中，a ＝bcos C ＋ccos B ；b ＝acos C ＋ccos A ；c ＝bcos A ＋acos B. 基本题型：1．（求角的大小）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____.2．（求角的函数值）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足2a c b +=，且90A C -=︒，则cos B =（ ） A ．4B ．4C ．34D ．03、（求三角形的边长）已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若sin A ＝223，sin B >sin C ，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．2或3B ．2C ．3D ．64、（求三角形的高）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =-，则AC 边上的高为（ ）AB ．2C D 5、（多选题）已知在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，则下列四个论断中正确的是（ ） A.若sin cos A B a b =，则4B π=；B.`若4B π=， 2b =， a =C.若a ， b ， c 成等差数列， sin A ， sin B ， sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形；D.若5a =， 2c =， ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 基本方法：利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．类型二、求三角形的面积 基础知识：1．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12absin C ＝12acsin B ＝12bcsin A ；(3)S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)．基本题型：1．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 1sin sin b C a c A B+=++，4AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（ ）A B ．2C ．D ．2．在ABC ∆中，面积()22S a b c =--，则sin A =（ ）A ．1517B ．817C ．1315D ．13173．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．4．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，cos sin 0a C C b c --=(1)求A (2)若2a =，ABC ∆的面积为3，求,b c ． 5、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______. （1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积. 基本方法：与三角形面积有关问题的解题策略(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． 类型三、判断三角形的形状 基本题型：1．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos22A b cc+=，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，设△ABC 的面积为S ，若ac cos B ＝233S ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3、（多选题）在ABC ∆中，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则ABC ∆的形状( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形4．已知ABC 中，三内角,,A B C 满足2=A +B C ，三边,,a b c 满足2=b ac ，则ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 5．对于ABC ∆，有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形； ②若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形；③若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形；④若coscoscos222ab c A B C ==，则∆ABC 是等边三角形. 其中正确的命题序号是 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2B A C =+ （1）若1a =，b =sin C ；b a =2sin tan b A a B =()()sin sin sin ac A c A B b B -++=ABC A B C a b c B 4a c +=ABC ABC（2）若2b a c =+，试判断ABC ∆的形状. 基本方法：1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．新预测 破高考1.（多选题）在ABC ∆中，a =10c =，30A =︒，则角B 的值可以是( )A ．105︒B ．15︒C ．45︒D ．135︒2．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A ．3πB ．23πC ．34π D ．56π 3．在ABC ∆中，若sin sin sin 346A B C ::＝::，则cos C （ ）A ．1124B ．1124-C ．1324D ．1324-4．(多选)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，sin B ＝sin 2A ，则( )A ．sinB ＝429B ．cos A ＝－13C ．c ＝3D ．S △ABC ＝225．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ）A ．233B ．283C ．263D ．2538．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．已知,,a b c 为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，向量(cos ,cos ),(,2)m A B n a c b ==-，若//m n ，则内角A 的大小为（ ）A ．6πB ．3π C ．4π D ．23π 10．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝10，a 2＋b 2－c 2＝ab sin C ，a cos B ＋b sin A ＝c ，则下列结论正确的是( ) A ．tan C ＝2 B ．A ＝π4C ．b ＝ 2D ．△ABC 的面积为611．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰或直角三角形12．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 为ABC 的面积，222sin()SA C b c+=-，且2=A+C B ，则C 的大小为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π13．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足cos sin 0b A a B +=．2b c +=ABC ∆的面积为1，则边a =（ ）AB ．4C ．10D .14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c =，cos B C =，a =则ABC S ∆=____.15．在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知2A=B+C ，1b =，面积S =则=a ________.16．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于________.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是,,a b c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m n .（1）求B ；（2）若b cos 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭＝26，求a . 18．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(54)cos 4cos a c B b C -=.（1）求cos B的值；（2）若π4C=，6b=，求sin A的值20、已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且ac＋b－a＝c－b＋ab.(1)求角C的大小；(2)当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．。
近年届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第7讲三角函数模型与解三角形的实际应用举例演练直击高
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第7讲三角函数模型与解三角形的实际应用举例1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为________．[解析］由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin错误!的振幅为2，周期为π，频率为错误!，初相为－错误!.[答案］ 2，错误!，－错误!2．海上有A，B，C三个小岛,测得A，B两岛相距10海里,∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．［解析］由正弦定理，知BCsin 60°＝错误!，解得BC＝5错误!海里．[答案] 5错误!3．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos错误!（x ＝1，2，3，…，12，A〉0）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低,为18 ℃，则10月份的月平均气温为________℃。
［解析] 由题意得错误!所以错误!所以y＝23＋5cos 错误!,当x＝10时,y＝23＋5×错误!＝20。
三角函数的图象及三角函数模型的简单应用(讲)-2019年高考数学(文)一轮复习讲练测 Word版含解析
2019年高考数学讲练测【新课标版 】【讲】【考纲解读】【知识清单】1.求三角函数解析式（1）()sin y A x ωϕ=+的有关概念（2）用五点法画sin y A x =+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：（3）由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． （4）利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 2.三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y fx ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 3 .函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用（1）x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭． （3）若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.（4）()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=.【重点难点突破】考点1求三角函数解析式【1-1】【2018云南省师范大学附属中学适应性月考卷一】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A. sin2y x =B. cos2y x =C. 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【1-2】【2018．【答案】【领悟技法】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2) h 的确定：根据图象的最高点和最低点，即h ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由2T πω= (0ω>)来确定ω；(4) 求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时,,A h ω已知)或代入图像与直线y h =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.2.注意：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的41个周期. 【触类旁通】【变式一】【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，若将函数()f x 的图象向左平移2π个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ）A. 32sin 24y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ B. 32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 52sin 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ D. 52sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【变式二】【2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考】）【答案】BB.考点2 三角函数图象的变换【2-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos2y x =的图象（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位C. 向左平移6π个单位D. 向左平移3π个单位 【答案】A【2-2】【2018黑龙江省大庆实验中学上学期期初考】已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移6π个单位而得D. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得【答案】D【领悟技法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．注3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【触类旁通】【变式一】【2018（所得图象对应的函数为偶函数，则( )D.【答案】C移后函数的解析式，结合所得图象对应的函数为偶函数及余弦型函数的性质，即可求出答案.将其图象向左平移（）个单位长度，，故选：C.【变式二】【2018届浙江省嘉兴市第一中学9图象，这个变换可以是（ ）A. 向左平移C. 向左平移【答案】B考点3函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用【3-1】【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.【3-2】【2018）图象相邻两条对称轴之，那么函数（）A. B. 关于点C. 关于直线D.【答案】A【3-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间()t t≤≤单位小时呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如024,下表：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ①()sin y A t ωφ=+， ②()cos b y A t ωφ=++，③sin y A t b ω=-+(A 0,0,0)ωπφ>>-<<中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 【答案】(1) 选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型， 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练. 才能确保集训队员的安全.试题解析：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型，2.40.6 2.40.60.9 1.522A b -+∴==== 2126T ππωω==∴=0.9cos 1.56y t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭0.9 1.532.462.40.93 1.5612102y cos t cos cos sin πϕπϕπϕϕπϕπϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴=⨯⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭∴=--<<∴=-又函数的图象过点（，）又 0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t πππ⎛⎫⎛⎫∴=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【领悟技法】1. 求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2. 如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数sin()y A x ωϕ=+ (或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+)的单调区间的步骤： (1)将ω化为正．(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解．4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z ∈”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【触类旁通】( )A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】C【解析】根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象知，(∴π，ω=2；根据五点法画图知,2×(φ=0,解得φ∴；对于①,函数f(x)的最小正周期是T=π，①错误；对于②,x ∈时，f(x)在上是减函数，②错误；【变式二】【2018福建省闽侯第六中学第一次月考】将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ） A. ,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. ,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 2,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【易错试题常警惕】易错典例：将函数()()sin 2,22f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像,若()f x ,()g x的图像都经过点P ⎛⎝⎭,则ϕ的值可以是( ) A.53π B. 56π C.2π D.6π 易错分析：函数()()sin 2f x x θ=+的图像向右平移ϕ个单位长度误写成()()sin 2g x x ϕθ=++.正确解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图像都经过点P ⎛ ⎝⎭,所以()sin 2sin 2θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,又因为22ππθ-<<,所以3πθ=,2233k ππϕπ-=+或22233k ππϕπ-=+,即k ϕπ=-或6k πϕπ=--,k Z ∈,在6k πϕπ=--,k Z ∈中,取1k =-,即得56ϕπ=,故选B. 温馨提醒：(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则．(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量x ,如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把x ωϕ+变换成x ϕωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭,最后确定平移的单位,并根据ϕω的符号确定平移的方向.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【典例】【2018届北京市城六区一模】函数()()3sin f x x ωϕ=+（0,2πωϕ＞＜）的部分图象如图所示，其中0x 是函数()f x 的一个零点． (I)写出ωϕ，及0x 的值； (Ⅱ)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）0112,,.612x ππωϕ===；（Ⅱ）最小值为3-；最大值为32.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质可得函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为3-；最大值为32. 试题解析：（Ⅰ）由函数图像可得函数的最小正周期为T π=，则22T πω==， 当0x =时， ()()313sin 3sin 023sin ,sin 22x ωϕϕϕϕ+=⨯+==∴=，结合2πϕ<可得： 6πϕ=，函数的解析式为： ()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的零点满足： 2,6212k x k x ππππ+=∴=-， 令2k =可得： 01112x π=.。
专题20 三角函数的图象(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习(解析版)
《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）专题20三角函数的图象本专题特别注意：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤5.利用图象求周期6.已知图象求解析式【学习目标】1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象.2.会用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，理解A ，ω，φ的物理意义.3.掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)与y ＝sin x 图象间的变换关系.4.会由函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象或图象特征求函数的解析式. 【方法总结】1.五点法作图时要注意五点的选取，一般令ωx ＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，算出相应的x 值，再列表、描点、作图.2.函数图象变换主要分平移与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少与方向，并要注意变换的顺序.3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，求它的解析式，由最高点或最低点求A 值；常由寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，求φ值，由周期求ω值.高考模拟：一、单选题1A. B. C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 2．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 详解：根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.3A. B. C. D.【答案】A周期 (3)由求对称轴，(4)由;由.4．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)xC. f(x+π)的一个零点为xD. f(x)在π)单调递减【答案】D【解析】可得函数A正确；可得y=f(x)对称，选项B正确；C正确；D错误.故选D.【名师点睛】（1.（2x；求f(x)的对称中心的横.5．2倍(纵坐标不变)已4( )B.D.【答案】B【解析】分析: 通过三角函数的平移变化规律求解f（x），对g（x）分段函数讨论零点情况，即可求解函数g（x）有4个零点时a的取值集合．详解: 2倍（纵坐标不变），f（x）时，可得2x[﹣2π，2a-f（x）=sin（2x4个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a上没有零点，即a取值范围是[，）．若f（x）=sin（2x3个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a上有1个零点，则即a取值范围是1）．若f（x）=sin（2x2个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a上有2个零点，即a取值范围是[﹣，）．综上可得a取值范围是[[1）∪．故答案为：B点睛: (1) 本题主要考查了正弦型三角函数的图象零点和二次函数的零点，意在考查学生第这些知识的掌握水平和分类讨论数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是想到分类讨论，分成三种情况讨论，再数形结合分析推理.6，则（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】分析：由周期公式可得.详解：根据题意，函数，C.点睛：该题考查的是有关利用函数图像，求解函数解析式，求有关函数值的问题，属于简单题目，注意从图中读出相应的信息.7．若下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：命题p q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N*．可得sin（α+β）=0．即可判断出真假．详解：命题p的夹角为钝角或平角，因此为假命题；命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N*．则sin（α+β）=0．为真命题．下列命题为真命题的是p∨q，其余为假命题．学科！网故答案为：D点睛：（1）本题主要考查了向量夹角与数量积的关系、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力.(2).8．,若将函数,得到函数,）A. B. C. D.【答案】A，根据函数图象变换规律可得.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9,,( )A. B. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得函数的解析式，然后求解函数值即可求得最终结果．详解: 由函数的图象可得A=5，周期故故选：D．(2)(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.10．已知关于）学科！网A. C. D.【答案】C详解：原方程可以化所有两个实数根，也就是C．点睛：一般地，（1）的零点；（2单调性容易得到，则我们选择（1）；否则，我们选择（2）．11）D.【答案】D【解析】分析：先根据图像确定A，再根据平移得函数,，选D.点睛：已知函数(2)(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.12．5个根，系是（）A. B. D. 以上都不对【答案】C【解析】分析：将方5故选C.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．13）A. B. C. D.【答案】A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题k,所以要给k14）A. B. C. D.【答案】B算即可求解．点睛：本题主要考查了三角函数的求值问题，其中解答中涉及到三角函数的化简，以及正弦型函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力．15．如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（）．其中“Θ函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：根据奇偶性求出对应a的值，若存在就是“Θ函数”．详解：若f（x）=sinx是“Θ函数若f（x）=cosx是“Θ，是“Θ函数”，f（x）= sin2（x+）是“Θ函数”，因此“Θ函数”的个数为2，选B.是奇函数是偶函数16．（，，其图象相邻两条对称轴之间的距离为）A. 关于点B.C. 关于直线D. 关于直线【答案】B轴和对称中心，从而可得结果.图象关于轴对称，B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由.17）A. B. C. D.【答案】A的图象过点的值，由单位后与原来的图象重合，可得.的图象过点又的图象向左平移由两函数图象完全重合知A.点睛：本题考查了三角函数的图象与性质以及利用函数性质求解析式，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.18．都在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：均在区间的最大值为的最小值为的最大值为故选B.点睛：（1取得最大值；（2）求三角函数单调区间的两种方法：①代换法，就是将比较复杂的三角函数汗自的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.19A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质求出结果．y=sin（ωx+）的图象，便得到函数y=cosωx=sin（ωx+k∈Z），k∈Z）．当k=0故答案为：C点睛：本题主要考查了函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的图象如图，则φ=（）A. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.，所以因为|φ|＜因此选B.(2)(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.二、填空题21的图象关于直线的值是________．，所以点睛：函数A>0,ω>0）的性质：(2)最小正周期(4)区间; 求减区间22．设函数f（x）=，任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．.(2)(3)由(4); .23________．由题可知故有3个零点。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 25 三角函数的图象与性质
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结25 三角函数的图象与性质高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲 研读1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在R 上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内的单调性一、基础小题1．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π6的最小正周期是( )A ．2π5B ．5π2 C ．2π D ．5π 答案 D解析 由T ＝2π25＝5π，知该函数的最小正周期为5π.故选D.2．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－ 3 答案 B解析 因为函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以函数y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝1－(－2)＝3，故选B.3．若直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z答案 B解析 因为直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，所以a ＝12，故tan x ≥2a 即tan x ≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z . 4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由正弦函数的图象和性质可知π2≤a ＋π6≤7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D.5．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x 在[－π，π]的图象大致是( )答案 A解析 显然f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除D ；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，sin 2x ＞0，sin x ＞0，即f (x )＞0，排除B ，C.故选A.6．下列函数中同时具有以下性质的是( )①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3答案 C解析 因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A ；当x ＝π3时，对于B ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝0，对于D ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝32，又图象关于直线x ＝π3对称，从而排除B ，D ，经验证y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6同时具有性质①②③④，故选C. 7．(多选)下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法，正确的是( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 答案 AB解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6满足上述关系式，故A 正确；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选AB.8．(多选)已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )的最大值为1 C ．f (x )的图象关于y 轴对称D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减答案 ABC解析 ∵f (x )＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为1，A ，B 正确；∵f (－x )＝－cos (－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，C 正确；∵f 1(x )＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，故f (x )＝－cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，D 错误．故选ABC.9．函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos 2x 的图象向左平移φ个单位长度得到，则正数φ的最小值为________．答案 π2解析 函数y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2＝1＋cos （2x ＋π）2的图象可由y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2的图象向左平移π2个单位长度得到，故正数φ的最小值为π2.二、高考小题10．(2022·北京高考)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98 D ．偶函数，最大值为98 答案 D解析 因为f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x )＝cos x －cos 2x ＝f (x )，且函数定义域为R ，所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.故选D.11．(2022·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.给出下列结论：①f (x )的最小正周期为2π； ②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f (x )的最大值； ③把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象．其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以最小正周期T ＝2π1＝2π，故①正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12≠1，故②不正确；将函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，故③正确．故选B.12．(2022·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12 答案 A解析 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知，12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.13．(2022·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A.①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 答案 C解析 ①中，f (－x )＝sin |－x |＋|sin (－x )|＝sin |x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，①正确．②中，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，函数单调递减，②错误.③中，当x ＝0时，f (x )＝0，当x ∈(0，π]时，f (x )＝2sin x ，令f (x )＝0，得x ＝π.又f (x )是偶函数，∴函数f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错误．④中，∵sin |x |≤|sin x |，∴f (x )≤2|sin x |≤2，当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.14．(2022·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.15．(2022·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A ．π4B ．π2 C ．π D ．2π 答案 C解析 由已知得f (x )＝tan x1＋tan 2x＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.16．(2022·全国Ⅲ卷)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题： ①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称； ④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是________． 答案 ②③解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，定义域关于原点对称，f (－x )＝sin (－x )＋1sin （－x ）＝－sin x －1sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋1sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＋1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x ＜0时，sin x ＜0，则f (x )＝sin x ＋1sin x ＜0＜2，命题④错误．17．(2022·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t＝cos x ，则t ∈[－1，1]，g (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数g (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，∴当t ＝1，即x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )有最小值－4.18．(2022·北京高考)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是________． 答案 π2解析由降幂公式得f (x )＝sin 22x ＝1－cos4x 2＝－12cos 4x ＋12，所以最小正周期T ＝2π4＝π2.三、模拟小题19．(2022·浙江温州中学高三月考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin 3x 的最小正周期为( ) A ．π B ．2πC ．3π D ．6π答案 B解析 y ＝sin 2x 的最小正周期为π，函数y ＝sin 3x 的最小正周期为2π3，π与2π3的最小公倍数为2π，所以函数f (x )＝sin 2x ＋sin 3x 的最小正周期为2π.故选B.20．(多选)(2022·湖南长沙第一中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|sin x |，sin x ≥cos x ，|cos x |，sin x ＜cos x ，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的值域是[0，1]B ．f (x )是以π为最小正周期的周期函数C ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递增D ．f (x )在[0，2π]上有2个零点 答案 AD 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π（k ∈Z ），|cos x |，－3π4＋2k π<x <π4＋2k π（k ∈Z ）， 作出函数f (x )的大致图象如图所示：由图可知f (x )的值域是[0，1]，故A 正确；因为f (π)＝|sin π|＝0，f (2π)＝|cos 2π|＝1，所以f (2π)≠f (π).所以π不是f (x )的最小正周期，故B 错误；由图可知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2上单调递减，故C 错误；由图可知，在[0，2π]上，f (π)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝0，所以f (x )在[0，2π]上有2个零点，故D 正确．故选AD.21．(多选)(2022·福建福州高三调研)已知函数f (x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )，下列关于该函数的结论中正确的是( )A ．f (x )的一个周期是2πB ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为2 D ．f (x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数 答案 ABD解析 f (x ＋2π)＝sin [sin (x ＋2π)]＋cos [cos (x ＋2π)]＝sin (sin x )＋cos (cos x )＝f (x )，故A 正确；f (π－x )＝sin [sin (π－x )]＋cos[cos (π－x )]＝sin (sin x )＋cos (－cos x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )＝f (x )，故B 正确；由于sin x ∈[－1，1]，cos x ∈[－1，1]，所以sin (sin x )＜1，cos (cos x )≤1，故f (x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )＜2，C 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0，1)且单调递增，故y ＝sin (sin x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，同理可判断，y ＝cos (cos x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，故f (x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，D 正确．22．(2022·福建厦门高三模拟)用M I 表示函数y ＝sin x 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，则M [0，a ]＝________；a 的取值范围为________．答案 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，13π12解析 作出函数y ＝sin x 的图象，如图所示：显然，M [0，a ]的值为1，∵M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，∴M [a ，2a ]的值为12，作出直线y ＝12与y ＝sin x 相交于A ，B ，C 三点，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，12，由图象可得⎩⎪⎨⎪⎧5π6≤a ，2a ≤13π6⇒5π6≤a ≤13π12，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，13π12.一、高考大题1．(2022·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R ). (1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ， 所以y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2(sin x cos x ＋sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即当x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且最大值为1＋22.2．(2022·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin (x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有sin (x ＋θ)＝sin (－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.二、模拟大题3．(2022·荆州模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.(1)求函数f (x )的最大值及相应的x 的取值的集合； (2)求函数f (x )的图象的对称轴与对称中心．解 (1)当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即当x ＝k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值，为2；则使函数f (x )取得最大值的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z .(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋k π2，k ∈Z . 即函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝3π8＋k π2，k ∈Z . 由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ， 即函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，0，k ∈Z .4．(2022·安徽亳州高三质量检测)已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x ). (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的单调性．解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1－32.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得 －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，A ∩C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．5．(2022·信阳高三阶段考试)已知向量m ＝(3sin ωx －cos ωx ，1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12，设函数f (x )＝m ·n ，若函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称且ω∈[0，2].(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)先列表，再用五点法画出f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象．解 (1)f (x )＝(3sin ωx －cos ωx ，1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx ＋12＝32sin2ωx －12cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， ∴2ωπ3－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴ω＝32k ＋1，k ∈Z .又ω∈[0，2]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π＋π2≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . (2)列表如下：∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，7π12上的大致图象如图所示．。
专题24 三角形中的三角函数(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习 Word版含解析.doc
本专题特别注意：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7．三角形的综合【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等．以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用．要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理．一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理高考模拟：一、单选题1．在三棱锥中，点在底面的正投影恰好落在等边的边上，点到底面的距离等于底面边长.设与底面所成的二面角的大小为，与底面所成的二面角的大小为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出两二面角的平面角，如图∠PDO和∠PEO，而在等边中，OD＋OE等于的高为定值，再把表示出来，求出，最后由OD＋OE为定值可求得最小值.详解：如图，O是P在底面ABC上的正投影，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足为D，E，则∠PDO＝α，∠PEO＝β，故选C. 点睛：过等边的边AB 上任一点E 作另两边的垂线，垂足分别为M ，N ，则为定值（等于三角形的高），这可由面积法得证. 2．在中，，的面积为2，则的最小值为（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】分析：详解：由的面积为，所以，得，在中，由正弦定理得，当且仅当时，等号是成立的，故选C．点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用．3．已知:锐角的内角的对边分别为,三边满足关系(1)求内角的大小;(2)求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由已知根据余弦定理可得(2)∵△ABC是锐角三角形，可知，求得，，进而得到的取值范围.(2)∵△ABC是锐角三角形∴∴∴∴点睛：本题考查利用余弦定理解三角形，以及三角函数的性质，属基础题.4．已知函数．（1）求函数的最大值和最小值；（2）为的内角平分线，已知，求角的大小．【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小．（2）中，中，，∵，，，，中，，中，，，∴．点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．5．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角的对边为，若，，，求中线的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可利用周期的公式，得到函数的最小正周期；（2）由（1）和，求得，进而求得的值，在中，由正弦定理得，所以，再在中，由余弦定理即可求解的长.详解：（1）∴∴函数的最小正周期为.在中，由余弦定理得∴点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6．设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求周长的最大值．【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.（2）法一：由余弦定理及基本不等式，，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为．法二：由正弦定理，，故周长∵，∴当时，周长的最大值为．法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，∵，∴当时，周长的最大值为．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．7．的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若成等差数列，且的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由,利用正弦定理可得，再由两角和的正弦公式结合诱导公式可得,从而可得结果；（2）由成等差数列，的周长为，可得，由余弦定理利用三角形面积公式可得结果.（2）成等差数列，，又的周长为，即，由余弦定理知.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.8．在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由，根据正弦定理得，可得所以，从而可得结果；（2）由，可得，可求得，由此以，根据周长为可求得，从而可得结果.（2）因为，所以，所以，，或解得：或因为，所以所以，所以因为，所以所以.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.9．在中，，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据，得出，结合余弦定理即可求出的长，再根据等面积法即可求得边上的高；（2）设，根据推出角必为锐角，结合为锐角三角形可得，，根据余弦定理即可求得的取值范围，从而可得的周长的取值范围.（2）设.∵∴角必为锐角.∵为锐角三角形∴角，均为锐角，则，，于是，解得.故的周长的取值范围为.点睛：本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.10．已知,,分别为三个内角的对边，,.（1）求；（2）若的中点，，求,.【答案】(1)；(2)或.【解析】分析：（1）把用正弦定理化边为角，再化后，变形可解得角，然后由向量的数量积定义可求得，从而易得三角形面积；（2）由D为中点得，平方后结合数量积的运算可求得的一个等式，结合（1）中的可解得.（2），点睛：本题是数量积与解三角形的综合考查，解题时需掌握两方面的概念与公式，第（2）解题关键是应用结论，这样可借助数量积表示出的关系.实际上三角形的中线与三边长还有如下关系：（在和中利用可得.11．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且.（1）求角A的大小；（2）设函数，求函数的最大值【答案】（1）（2）2【解析】分析：（1）由余弦定理易得，，由正弦定理可得，进而得，即可得A；（2）化简，当，.（2）由（1）得当，即时，.点睛：本题主要考查了三角形正余弦定理的应用及三角函数的最值，属于基础题.12．在中，角A、B、C所对的边分别为，已知，，，角A为锐角．（1）求与的值；（2）求的值及三角形面积．【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问首先利用题中的条件，，利用倍角公式，结合A为锐角的条件，求得的值，之后可以借助于同角三角函数关系式求得的值，在求边长的时候，就利用正弦定理可以求得结果；第二问结合题中所给的条件，利用余弦定理建立边所满足的等量关系式，求得结果，之后应用面积公式求得三角形的面积.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函数关系式以及三角形的面积公式，在做题的过程中，在求的时候，也可以应用倍角公式求解.13．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=，角A为锐角．(1)求与a的值；(2)求b的值及三角形面积．【答案】(1) ,.(2) ,.【解析】分析：（1）直接利用正弦定理和已知条件求a的值，再求cosA的值，再利用平方关系求sinA的值. (2)利用余弦定理求b,再利用三角形的面积公式求面积.详解：（1）由正弦定理，代入c=，得，解为,因为又因为角A为锐角，所以点睛：（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边，利用余弦定理解题效率最高.所以本题已知, c=求b，利用余弦定理一步到位求出b.14．在中，为锐角，且.（1）求；（2）若的面积为，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式化简得，再根据为锐角得；（2）先根据面积公式得，再根据余弦定理得，最后根据等面积法求高.详解：解：（1）；（2），由余弦定理有：，由面积公式有：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.15．如图，一山顶有一信号塔CD（CD所在的直线与地平面垂直），在山脚A处测得塔尖C的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l米后到达B处，测得C的仰角为β.（1）求BC 的长；（2）若24l =， 45α=， 75β=， 30θ=，求信号塔CD 的高度.【答案】(1) ()()sin sin BC l αθβα-=-；(2) 24-【解析】分析：（1）在ABC 中， CAB αθ∠=-， ()ABC πβθ∠=--， ACB βα∠=-，由正弦定理可得()()sin sin BC l αθβα-=-；（2）结合（1），在三角形BDC 中，利用正弦定理化简求解即可. 详解：（1）在ABC 中， CAB αθ∠=-， ()ABC πβθ∠=--， ACB βα∠=-.由正弦定理，()()sin sin BC l αθβα-=-；点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 16．在中，内角所对的边分别是，已知（Ⅰ）求； （Ⅱ）当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（Ⅰ）方法一，可用正弦定理将条件边化角得，由式子左边及两角和的正弦公式和诱导公式可将变为，得。
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本专题特别注意：1.方向角与方位角2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形与立体几何的练习5.圆锥曲线中的焦点三角形问题6.三角形与向量的综合【学习目标】能够运用正、余弦定理等知识解决一些测量距离问题、高度问题、角度问题、面积问题、方向问题等．【方法总结】利用正弦定理或余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.1.在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时不可将正弦定理和余弦定理割裂开来，有时需要综合运用两个定理才能使题目获得解决.2.在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.3.在画图与识图过程中，要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角、方向角，以防出错. 高考模拟：一、单选题1．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由∠ACB 与∠BAC ，求出∠ABC 的度数，根据sin ∠ACB ，sin ∠ABC ，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 求 解三角形应用题的一般步骤：①分析：分析题意，弄清已知和所求；②建模：将实际问题转 化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；③求解：正确运用正、余弦定理求解； ④检验：检验上述所求是否符合实际意义.2．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为.若，，则用“三斜求积公式”求得的（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】由可得，由可得，整理计算有：，结合三角形面积公式可得：.本题选择D选项.3．中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若正方形与正方形的面积分别为25和1，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设AE=也，BE=y,则x+1=y,,解得x=3,y=4,故得到.故答案为：D.4．已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的150公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则( )A. B. 80 C. 100 D. 125【答案】C【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，在点东西向和是平行的，内错角相等，将已知角都转移到中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形.5．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =.现有周长为且))sin :sin :sin 11A B C =的ABC ∆，则其面积为（ ）A.4 B. 2 C. 4 D. 2【答案】A6．某新建的信号发射塔的高度为AB ，且设计要求为：29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得60BDC ∠=︒， 75BCD ∠=︒， 40CD =米，并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且1CE =米，则发射塔高AB =（ ）A. ()1米B. ()1米C. ()1米D. ()1米 【答案】A【解析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，则BC,BF CE 1EF ===米，30AEF ∠=︒，在BDC 中，由正弦定理得： sin 40sin 60sin 45CD BDC BC SIN CBD ⋅∠⋅===∠米.在Rt AEF 中，tan 3AF EF AEF =⋅∠==.所以 1AB AF BF =+=+（米），符合设计要求.故选A.7．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）米 B. 2米 米 )米 【答案】D【解析】设BC 的长度为x 米,AC 的长度为y 米,则AB 的长度为(y −0.5)米，当且仅当()()3141x x -=-时，取“=”号，即12x =+时,y 有最小值2. 本题选择D 选项.8．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为75,30︒︒，此时气球距地面的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A. )2401mB. )1801mC. )1201mD. )301m【答案】C9．如图，为测量河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，在点C 处测得A 点的仰角为60︒ ，再由点C 沿北偏东15︒ 方向走20m 到位置D ，测得30BDC ∠=︒ ，则塔AB 的高是（ ）A. 10mB.C.D. 【答案】D【解析】设BC=x ，AC=2x ，在三角形BCD 中， 0105,45,BCD CBD ∠=∠=由正弦定理得到sin30x x =⇒=在直角三角形ABC 中，角BCA=060，进而得到AB= . 故答案为：D.10．[2018·赣州模拟]如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）A.海里 B.海里 C.海里 D. 40海里【答案】A11．如图，在Rt ABC ∆中， 1AC =， BC x =， D 是斜边AB 的中点，将BCD ∆沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是 （ ）A. (B. ,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C.D. (]2,4【答案】A考点：1.空间异面直线位置关系；2. 空间想象能力.12．已知在海中一孤岛D 的周围有两个观察站A C 、，且观察站A 在岛D 的正北5海里处，观察站C 在岛D 的正西方.现在海面上有一船B ，在A 点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在C 点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站A 与C 的距离为（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】画出如下示意图．由题意可得， 120BCD ∠=︒，又60BAD ∠=︒， 所以A,B,C,D 四点共圆，且AC 为直径、90ABC ∠=︒． 在BAD ∆中， 4,5,60AB AD BAD ==∠=︒,由余弦定理得2222212cos 45245212BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，∴BD =．∴2BDAC R sin BAD===∠R 为圆的半径）． 选D ． 13．如图，海中有一小岛C ，一小船从A 地出发由西向东航行，望见小岛C 在北偏东060，航行8海里到达B 处，望见小岛C 在北偏东015，若此小船不改变航行的方向继续前行)21海里，则离小岛C 的距离为（ ）A. )82海里 B. )21海里 C. )21海里 D. )41海里【答案】C点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.14．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45，沿A 向北偏东30方向前进100m 后到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度试（ ）A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m 【答案】A【解析】15．海洋中有,,A B C 三座灯塔.其中,A B 之间距高为a ，在A 处观察B ,其方向是南偏东40，观察C ,其方向是南偏东70,在B 处現察C ,其方向是北偏东65, ,B C 之的距离是（ ）A. aB.C.12a D. 2a【答案】D【解析】依题意可知， ABC 中，A =30°,B =105°,C =45°,且AB a =， 由正弦定理：sin sin BC ABA C=可得： 2sin sin30sin sin45AB a BC A a C =⨯=⨯=. 本题选择D 选项.16．《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步? ” 请问乙．走的步数是（ ） A.92 B. 152 C. 212 D. 492【答案】C17．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角A B C、、所对的边分别为a b c 、、，面积为S ，则 “三斜求积”公式为S =.若()222sin 4sin 12a C A a c b =+=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为（ ）A.B. 2C. 3D.【答案】A【解析】由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-==点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论. 18．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）A.B. 15C.D. 14【答案】A【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴a 的值,需要先利用切线性质求出AOB ∠,再利用相似求出OC 长,即为a ,短轴长为底面半径,故b 比较容易求出,根据椭圆中的关系式222a b c =+,得出c 值,进而求出离心率.19．如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知得∠ACB＝45°，从而在ΔABC中求得AC，再在ΔACM中求得MC，最后在ΔMNC中求得MC.点睛：本题考查解三角形的实际应用，首先要掌握测量中的俯角、仰角等概念，其次掌握解三角形的常用定理，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解直角三角形等知识，特别要能够通过分析已知条件、隐含条件选用正确的公式求解.20．甲船在岛的正南方处，千米，甲船以每小时千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟【答案】A【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=10﹣4x，BD=6X，∠CBD=120°CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（10﹣4x）2+36x2+2×（10﹣4x）×6x×=28x2﹣20x+100当x=小时即分钟时距离最小故选：A．点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．二、填空题21．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理，求得；再正弦定理，可直接求得AB的长度。