2018八年级数学下册第1章三角形的证明课题8三角形三边的垂直平分线及尺规作图课件新版北师大版243
初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。
通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。
八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。
在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。
具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。
二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。
本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明3.线段的垂直平分线 公开课比赛一等奖
北师大版8年级下册第1章第3节线段的垂直平分线（1）教案一、教学目标：1.能够运用公理和所学过的定理证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．二、教学过程：<一>创设情境，引入新课师：（课件演示）如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？生：作线段AB的垂直平分线，码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上.师：语言非常准确.这节课我们就来研究线段的垂直平分线.（板书课题——线段的垂直平分线)师：刚才这位同学说码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上,谁能说出这样做的道理吗？生：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.师：非常好，这是我们七年级时学过的一句话。
还记得当时我们是怎样得到的吗？生：不记得了.师：那我来帮大家回忆一下。
（教师通过演示折纸过程，验证线段垂直平分线的性质）师：七年级时我们用折纸的方法得到了“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”.同学们知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理、推论证明它．这节课我们一起用所学的公理、定理来证明线段的垂直平分线的性质定理.教师板书：定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．<二>、自主探究，感受新知1.线段垂直平分线性质定理的证明师：现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.（学生画图，写出已知、求证. 证明方法和过程对于学生来说不是很困难的,可以找程度比较差的同学回答）生：口答已知、求证、证明.师：课件演示.已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC ＝BC ，P 是MN 上的点．求证：PA ＝PB ．N A PB CM证明：∵MN ⊥AB ， ∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°.∵AC ＝BC ，PC ＝PC ， ∴△PCA ≌PCB(SAS)．∴PA ＝PB (全等三角形的对应边相等)．师：若直线MN 上还有一点Q ，根据线段垂直平分线性质定理，能得出什么结论？生：QA ＝QB.（教师在图形中找出几个不同位置的点P ，学生分别说出结论，就是为了让学生熟悉图形，能熟练应用垂直平分线性质定理找出相等的线段）师：从图形中，你还能找出哪些相等的线段、相等的角呢？生：∠ A ＝∠B ，∠CPA ＝∠CPB .（挖掘基本图形中其它的等量关系，使学生认识到学习知识不要局限于定理，为以后应用线段垂直平分线的性质定理进行证明、计算打下基础.）2.线段垂直平分线判定定理的证明师：你能写出上面这个定理的逆命题吗?生: 思考.师：这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，可以先将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．谁来分析一下原命题的条件和结论?生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”． 师：有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．师：谁能把它描述得更简捷?生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．师：当我们写出逆命题时，就应想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，这个命题是真还是假呢？生：真命题.师：要证明这一定理，先要写出已知、求证。
北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习
实践探究，交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作 几个？所作出的三角形都全等吗？ (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几 个？所作出的三角形都全等吗？ (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如 果能，能作几个？
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
开放训练，体现应用
例1 (教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一）
证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测，巩固新知
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝1∠BAC＝25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE＝AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE，AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
新北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明 1.3.2线段的垂直平分线
议一议
(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等 腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都 全等吗? 这样的等腰三角形也有无数多个 ．根据线段垂直平分线上的点到线段 两个端点的距离相等，只要作底边的 垂直平分线，取它上面除底边的中点 外的任意一点，和底边的两个端点相 连接，都可以得到一个等腰三角形． 如图所示，这些三角形不都全等 ．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每 条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分 线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．
M A E O Q
P
B
C N
F
用心想一想，马到功成
证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点. 已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O. 求证：O点在AC的垂直平分线上． 证明：连接AO，BO，CO． ∵点P在线段AB的垂直平分线上， A
议一议
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能 用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
这样的等腰三角形应该只 有两个，并且它们是全等的， 分别位于已知底边的两侧． 你能尝试着用尺规作出这 个三角形吗?
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高 AD=h 作法：1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC 于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交 MN于A点； 4．连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形 B
2．作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D．
3．在L上作线段DA，使DA=DB．
4．连接AB，AC．
∴△ABC为所求的等腰直角三角形．
习题1.8 知识技能1、2
问题解决3、4
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两 个端点的距离相等)．
点军区三中八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线教案新版北
11、等腰三角形的一个内角是100°，则其底角是；
12、在△ABC中，AB=AC，则△ABC的对称轴是；
13、如图，在等边△ABC中，点D为AB的中点，DE⊥BC于E，若BE=2，则CE=；
14、如图，AB∥CD，∠A=45°，且OC=OE，则∠C的度数为；
15、已知点A关于x轴的对称点为B（m，3），关于y轴的对称点为（2，n），那么m+n=；
[教学说明]学生先独立思考完成 , 然后交流 , 说出做法并解释作图的理由.
三.运用新知 , 深化理解
1.如以下图 , 已知 : 在△ABC中 , AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证 : 点P在AC的垂直平分线上.
证明 : P是AB、BC边上的垂直平分线 ,
∴AP=BP,BP=CP ,
∴AP=CP ,
本节课通过推理证明了〞到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点 , 及三角形三条边的垂直平分线交于一点〞的结论 , 并能根据此结论〞已知等腰三角形的底和底边的高 , 求作等腰三角形〞．
五.教学板书
布置作业:教材〞习题1.8”中第1、2 题.
让学生动手画出符合要求的三角形 , 训练他们的作图技能 , 要注意提醒学生准确使用直尺和圆规 , 规范作图.
4、在平面直角坐标系中，点（-2，-4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. （-2，4） B. （2，-4） C. （2，4） D. （-2，-4）
5、在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. （2，-5） B. （-2，-5） C. （2，4） D. （-2，5）
6、已知等腰三角形两边的长分别是4和10，则此三角形的周长是（ ）
八年级数学下册第一章三角形的证明131线段的垂直平分线学案北师大版
1.3 线段的垂直平分线一、知识点链接：1、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.2、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.3、如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.4、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在____（1）（2）二、自学导读1、先把课本P24____P26通读一遍。
2、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．求证：O点在AC的垂直平分线上且OA=OB=OC．证明：三、议一议：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形课题：1.3 线段的垂直平分线课型：新授编号：主备人：审核：小主人：学习目标：1、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点且这一点到三个顶点的距离相等.2、能够用尺规作出线段的垂直平分线和以a为底，h为高的等腰三角形．可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。
例3：已知一个等腰三角形底边及底边上的高，求作等腰三角形。
已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.作法：四、做一做已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.按照例3的步骤，写出已知、求作、作法（独立完成）四、自学检测：1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.3.1线段的垂直平分线教案1(新版)北师大版
3 线段的垂直平分线一、教材分析线段的垂直平分线是几何中的重要概念，求作已知线段的垂直平分线是几何中的基本作图。
在几何证明、计算中，线段的垂直平分线的性质也有着重要的地位。
二、学情分析在知识掌握上，学生已经学习了全等三角形，对轴对称图形的性质有所认识，因此在知识的过渡上不会有困难，只是对该结论的正确性会产生质疑。
在心理上，八年级学生独立性和表现欲较强，希望得到老师和同伴的认可与肯定，体现自身价值，教师要抓住这一心理特征，积极鼓励，增强学生学习的主动性。
三、教学目标分析（一）教学目标根据本节课的内容、学情分析和课程标准，我设计本节课的教学目标为：知识技能：（1）经历线段的轴对称性质的探究过程，理解线段垂直平分线的概念（2）探索线段垂直平分线的性质（3）能用尺规完成基本作图：作一条已知线段的垂直平分线。
了解作图的道理，保留作图痕迹，不要求写出作法。
数学思考：（1）在探究线段垂直平分线性质的过程中，感受分类的必要性。
（2）在探究问题中，发展演绎推理能力。
解决问题：初步学会在具体情境中从数学角度发现问题和提出问题，并运用垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
情感态度：通过研究解决问题的过程，积极参与数学活动，培养学生合作交流意识与探究精神。
（二）教学重难点根据教学内容和学情我把“线段垂直平分线的概念；探索线段垂直平分线的性质；用尺规作出线段的垂直平分线”作为本节课的教学重点。
“探索线段的垂直平分线的性质”确定为本节课的难点四、教法学法分析（一）教学方法：《新课标》指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、和合作者。
”本课以学生的实验探究活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，讲授法、启发式教学、多媒体辅助教学等多种方法相结合。
注重培养学生动手操作，主动探究及合作交流的能力。
通过数学活动的经验，培养合情推理与初步的逻辑推理能力。
注重学生的个性差异，因材施教，分层教学。
八年级数学下册第1章三角形的证明3线段的垂直平分线pptx课件新版北师大版
感悟新知
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
知2－讲
1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两个端点距离相等 . 结论： 点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
垂线
作法
(1)如图，以点 P 为圆心， 适当长为半径画弧， 交直线 l 于点 A， B. (2) 作线段 AB 的垂直 平分 线 m. 直线 m 为所求作的垂线 .
感悟新知
归纳总结
知4－讲
作图题的一般思路：
1. 假设所求作的图形已作出，画出草图；
2. 在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的
交点字母；
知3－讲
感悟新知
知3－练
例3 如图 1-3-7， OE， OF 所在 直线分 别是 △ ABC 中 AB， AC 边的垂直平分线，∠ OBC，∠ OCB 的平分 线相交于点 I，试判断 OI 与 BC 的位置关系，并给予 证明 .
感悟新知
知3－练
解题秘方：根据三角形三边的垂直平分线相交 于一点和三个内角的平分线也相交 于一点这两条性质进行证明 .
感悟新知
知4－练
解题秘方：紧扣尺规作图作线段垂直平分线及过 直线上一点作已知直线的垂线的步骤 作出三角形，并按提供的数据求高 .
感悟新知
解：如图 1-3-9，△ ABC 即为所求 .
知4－练
Hale Waihona Puke 感悟新知知4－练(2)若在(1)作出的Rt△ ABC中，AB=4 cm，求 AC 边上 的高 .
感悟新知
感悟新知
证明：连接BD. ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． 又∵BC＝DC， ∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线． ∵点E是AC上一点，∴BE＝DE.
宁城县第八中学八年级数学下册 第一章 三角形的证明 3 线段的垂直平分线第2课时 三角形三边的垂直平
第2课时三角形三边的垂直平分线【知识与技能】【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，提高实践能力和创新意识.【情感态度】体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.【教学重点】作已知线段的垂直平分线.【教学难点】垂直平分线的应用.一.情景导入，初步认知上节课我们学习了线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理、判定定理是什么？【教学说明】回顾旧知，为本节课作准备.二.思考探究，获取新知探究1：请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．【教学说明】让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向性的提示.【归纳结论】三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等.探究2：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4．连接AB、AC.∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．探究3：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？【教学说明】学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由.三.运用新知，深化理解1.如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在AC 的垂直平分线上.证明：P是AB、BC边上的垂直平分线，∴AP=BP,BP=CP，∴AP=CP，∴P点在AC的垂直平分线上.2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．求证：EF=2DE.解：（1）直线l即为所求．（2）证明：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴∠ABC=60°，又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°，∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°．又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC．在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，∴EF=2EC，∴EF=2ED．3.已知：线段a=4cm,h=6cm.求作：作一个△ABC，使AB = AC，且BC =a，高AD =h.作法：略【教学说明】通过练习，巩固所学知识.熟练运用垂直平分线解决问题.四.师生互动，课堂小结本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．五.教学板书布置作业:教材“习题1.8”中第1、2 题.让学生动手画出符合要求的三角形，训练他们的作图技能，要注意提醒学生正确使用直尺和圆规，规范作图.矩形的性质(一)一、教学目标：1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．二、重点、难点1．重点：矩形的性质．2．难点：矩形的性质的灵活应用．三、例题的意图分析例1是教材P104的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．四、课堂引入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．矩形性质1 矩形的四个角都是直角．矩形性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．五、例习题分析例1 （教材P104例1）已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC 与BD 相等且互相平分．∴ OA=OB ．又 ∠AOB=60°，∴ △OAB 是等边三角形．∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2O A=2×4=8（cm ）．例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得x=6． 则 AD=6cm ．（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE ＝ 4.8cm ．例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF ＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD=90°．∴ ∠B=∠AFD ．又 AD=AE ，∴ △ABE ≌△DFA （AAS ）．∴ AF=BE ．∴ EF=EC ．此题还可以连接DE ，证明△DEF ≌△DEC ，得到EF ＝EC ．六、随堂练习1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．2．（选择）（1）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．七、课后练习1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．第十一章三角形11.2与三角形有关的角课时二直角三角形的性质【知识与技能】(1)会用符号和字母表示直角三角形.(2)掌握“直角三角形的两个锐角互余”的性质.(3)能用“有两个角互余的三角形是直角三角形”对三角形进行判定.【过程与方法】通过三角形内角和定理得出直角三角形的性质，使学生体会从一般到特殊的方法. 【情感态度与价值观】发展学生的逻辑推理能力，激发学生学习的热情.探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理..有关直角三角形的推理表述及性质定理和判定定理的应用多媒体课件.教师提问：(1)三角形的内角和为多少？(2)在△ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么数量关系？(学生口答，教师引入本节课题，并板书)探究1：直角三角形的表示方法教师提问：三角形ABC表示成△ABC，直角三角形应该如何表示呢？学生先自主思考后，教师直接给出：直角三角形可以用符号“Rt△”△ABC，直角的两边叫作直角边，直角所对的边叫作斜边.教师提问：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠A等于多少度？有没有简单的方法计算这道题呢？下面我们来研究直角三角形的性质.活动一：根据以上问题，教师指导学生借助三角尺进行分析、计算，学生得出∠A=60°，教师引导学生总结∠A和∠B之间的关系.活动二：请同学们画一个Rt△ABC，其中∠C=90°，用量角器分别量出∠A，∠B的度数，并且求出∠A+∠B的值.教师追问：通过对问题的计算你们发现∠A和∠B有什么关系？学生讨论后，小结得出：直角三角形的两个锐角互余.教师继续追问：结合图形，你们能写出已知、求证和证明吗？学生回答，教师板书(如下)，师生共同完成证明过程.同时教师指出，经过证明的这个结论被称为“直角三角形的性质定理”.已知：Rt△ABC，∠C=90°.求证：直角三角形的两个锐角互余.△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)，且∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，即直角三角形的两个锐角互余.最后教师强调以后我们在求直角三角形中锐角的度数时，就可以直接利用直角三角形的这个性质进行解答，而不必再用三角形的内角和定理.教师出示教材P14例3：∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？分析：要想找出∠CAE与∠DBE的关系，它们不在同一个三角形中，通过观察可知它们是两个不同的直角三角形中的锐角，只要找出另外两个锐角的关系即可.师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程：解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.探究3：直角三角形的判定教师提出问题：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？学生独立思考，然后小组讨论、交流，形成结论，汇报交流结果，教师做好指导和评价.教师请一名学生书写推理过程:△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理).∵∠A+∠B=90°(已知)，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形(直角三角形的定义).教师最后总结：有两个角互余的三角形是直角三角形.之后安排学生完成教材P14练习第2题，教师请一名学生进行板演，然后进行点评.1.直角三角形的表示方法.2.直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余.3.直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形.11。
八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线5
3 线段的垂直平分线一、教学目标1.知识与技能（1）要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题；（2）能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理.2.过程与方法（1）经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力；（2）体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神；（3）学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．3.情感态度及价值观（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；（2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、教学重点、难点重点：能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论．难点：（1）写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它．（2）用尺规作线段垂直平分线．三、教具准备教师准备：课件.学生准备：练习本.四、教学过程1．创设现实情境，引入新课教师用多媒体演示：如图3-1，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？图3-1[生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上．[师]同学们认同他的看法吗？[生]认同．[师]认为对的说说你的理由是什么呢？[生](回忆定理)我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．[师]这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？教师演示线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．讲述新课【第一部分】线段垂直平分线的性质定理．[师]我们得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？[师](引导)问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？(强调)我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．(开始让学生有这样的数学思想)②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？③谁能帮老师分析一下证明思路？[生](思考回答)[师生共析]已知：如图3-2，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN 上的点．求证：PA＝PB．图3-2分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA ≌△PCB(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．【第二部分】线段垂直平分线的判定定理．教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？[师](引导、并提问两学生)问题二：①这个命题是否属于“如果……，那么……”的形式？②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……，那么……”的形式吗？③最后再把它的逆命题写出来.[生A](思考分析)原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．[生B]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．[师]很好，能否把它描述得更简捷呢？[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．[师]非常好！当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．若为真，则需证明它；若为假，则需用反例说明．请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证．(给学生思考时间)已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．求证：点P在AB的垂直平分线上．(分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程)[师]看学生的具体情况，做适当的引导．证明：（证法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，如图3-3．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC ≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即点P在AB的垂直平分线上．图3-3（证法二）取AB的中点C，过PC作直线，如图3-4．∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．∴点P在AB的垂直平分线上．图3-4（证法三）过P点作∠APB的角平分线，如图3-5．∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∴点P在线段AB的垂直平分线上.图3-5[师]先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点评和纠正．[师]从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称为线段垂直平分线的判定定理．【第三部分】做一做：用尺规作线段的垂直平分线．（教师多媒体演示）[师](边演示图边讲讲作图有关的数学史)大家知道这些图是用什么工具作出来的吗？(资料：古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种，其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如．作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡．柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图．之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它总结在《几何原本》一书中，于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律．)[师]其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面咱们就一起来学用尺规作线段的垂直平分线．(分析：要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．)类似于证明题要写出已知、求证和证明，作图题也要根据条件写出已知、求作和作法，下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．[教师示范，请学生同时练习]已知：线段AB，如图3-6.图3-6求作：线段AB的垂直平分线．1AB的长为半径作弧，作法：①分别以点A和B为圆心，以大于2两弧相交于点C和D．②作直线CD，如图3-7.直线CD就是线段AB的垂直平分线．图3-7[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．[生]从作法的第一步可知：AC＝BC，AD＝BD．∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．∴CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．3. 练习：(1)已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由.(2)拓展：如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l 的垂线，使它经过点P呢？。