线性规划

.
1.2 图解法
[eg.3]用图解法求eg.1。
max z = 2x1 + 3x2
1x1 + 2x2 ≤ 8
①
4x1
≤ 16
②
4x2 ≤ 12
③
x1，x2 ≥ 0
解：
(1)建立x1 - x2坐标；
x2
Q4
(2)约束条件的几何表示； 3
(3)目标函数的几何表示；
z = 2x1 + 3x2
x2
2 3
x1
§1 线性规划问题及其数学模型
1.1 问题的提出
Ⅰ
[eg.1] 生产计划问题
设备台时 1
问：产品Ⅰ、Ⅱ各生产多少件， 材料A
4
使利润最大？
材料B
0
利润
2
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
分析：
目标函数： max z = 2x1 + 3x2
设：产品Ⅰ生产x1件， 约束条件： 1x1 + 2x2 ≤ 8
D
直线E
x1
200 300
*
1.目标函数中的系数ci的灵敏度分析
直线E方程： x1 + x2 =300 x2 =-x1+300 斜率为-1
直线F方程：0x1 + x2 =250 x2 =0x1+250 斜率为0
直线G方程：2x1 + x2 =400 x2 =-2x1+400 斜率为-2
目标函数： z = c1x1 + c2x2
这里min z:表示求z的最小值。
两例的共同特征
(1)决策变量：x1，x2，···，xn 。 一组决策变量的值表示为问题的一个方案；
(2)目标函数：max(min)z z为决策变量及其有关的价值系数构成的线性函数;
(3)约束条件 一组线性等式或不等式，互不矛盾。
线性规划的数学模型： max (min)z = c1x1 + c2x2 + ···+ cnxn
x1 + x2 ≤ 1
x1，x2 ≥ 0
1
无公共部分，无可行域。
即无可行解。
在实际问题中，可能是关系错。
4
x1
松弛变量
max z = 2x1 + 3x2
Ⅰ
1x1 + 2x2 ≤ 8
设备台时 1
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1，x2 ≥ 0
最优解：x1* = 4 x2* = 2
材料A
4
材料B
0
利润
Bread or Cookies ?
1.4 图解法的灵敏度分析
灵敏度分析：建立在数学模型和求得最优解之后，研究线
性规划的一些系数ci,aij,bj的变化对最优解产生什么影响？
max z = c1x1 + c2x2 + ···+ cnxn
a11x1 + a12x2 + ···+ a1nxn = b1
直线G
B C
直线F
*
o 1.目标函数中的系数ci的灵敏度分析
D
直线E
x1
200 300
*
系数ci的变化影响的是目标函数的斜率，从图中可以看出：
➢ 目标函数的斜率在直线E和直线F之间变化，顶点B仍然是最
优解
➢ 如果目标函数的直线按逆时针旋转，当目标函数的斜率等于 直线F的斜率时，线段AB上的所有点都是最优解
200万m3
化工厂1 2万m3
1000元/万m3 化工厂2
1.4万m3 800元/万m3
[eg.2]污水处理问题
min z = 1000x1 + 800x2 (2 - x1)/500 ≤ 2/1000 [(1 - 0.2)(2 - x1) + 1.4 - x2]/(500 + 200) ≤ 2/1000 x1 ≤ 2 x2 ≤ 1.4 x1，x2 ≥ 0
a11x1 + a12x2 + ···+ a1nxn ≤(=, ≥) b1
a21x1 + a22x2 + ···+ a2nxn ≤(=, ≥) b2
┆
┆
am1x1 + am2x2 + ···+ amnxn ≤(=, ≥) bm x1，x2，···，xn ≥ 0
cj为价值系数, bi为资源，
aij为技术系数(i=1,…,m;j=1,…,n)
目标函数： max z = 50x1 + 100x2 约束条件： x1 + x2 ≤310
a21x1 + a22x2 + ···+ a2nxn = b2
┆
┆
am1x1 + am2x2 + ···+ amnxn = bm x1，x2，···，xn ≥ 0
[eg.9] 生产计划问题
Ⅰ
问：产品Ⅰ、Ⅱ各生产多少件， 设备台时 1
使利润最大？
原料A
2
原料B
0
利润
50
Ⅱ 限制 1 300台时 1 400kg 1 250kg 100
[eg.8]将下述问题化为标准型
min z = -x1+2x2-3x3 x1+ x2+ x3 ≤ 7 ① x1- x2+ x3 ≥ 2 ②
-3x1+ x2+2x3 = 5 ③ x1,x2 ≥ 0，x3无约束
解：令x3 = x3’-x3”，x3’,x3” ≥ 0； ①式加上一个松弛变量x4；②式减去一个剩余变量x5； 令z’ = -z
a21x1 + a22x2 + ···+ a2nxn = b2
┆
┆
am1x1 + am2x2 + ···+ amnxn = bm
x1，x2，···，xn ≥ 0
n
简记：max z c j x j j 1
n
aij x j
bi
i 1,, m
j1
x j 0，j 1,, n
2、标准型的化法 (1)min→max ∵ min z = cx = -max(-z) ∴ max(-z) = -min z = -cx 令z’ = -z 则max z’ = -cx
目标函数： max z = 50x1 + 100x2 约束条件： x1 + x2 ≤310
2x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1，x2 ≥ 0
可行域由原来的区域AODCB扩 大到AODC’B’;
x2
直线G
250 B’ A B C’
C
直线F
o
D
直线E
x1
200 300
2.约束条件中的常数项bj的灵敏度分析
1.目标函数中的系数ci的灵敏度分析
系数ci的变化影响的是目标函 数的斜率，从图中可以看出：
➢ 目标函数的斜率在直线E和 直线F之间变化，顶点B仍然 是最优解
➢ 如果目标函数的直线按逆时 针旋转，当目标函数的斜率 等于直线F的斜率时，线段 AB上的所有点都是最优解
x2
直线G
250 AB
Fra Baidu bibliotek
C
直线F
*
o
4 Q1
x1
(3)无界解
[eg.5]
max z = 2x1 + 3x2 4x1 ≤ 16 x1，x2 ≥ 0
则x2 → ∞，z → ∞。 即存在无界解。
在实际问题中，可能
是缺少约束条件。
x2
2
o24
x1
(4)无可行解
[eg.6]
x2
max z = 2x1 + 3x2
2
2x1 + 4x2 ≥ 8
1
max z’ = x1- 2x2 + 3(x3’ - x3”) + 0x4 + 0x5
x1 + x2 + (x3’ - x3”) + x4 = 7
x1 - x2 + (x3’ - x3”) - x5 = 2
-3x1 + x2 + 2(x3’ - x3”)
=5
x1,x2,x3’,x3”,x4,x5 ≥ 0
(2)不等式(≤，≥) 对于“≤”情况：在“≤”左边加上一个松弛变量（非负），变为等式； 对于“≥”情况：在“≥”左边减去一个剩余变量（非负），变为等式。
注意：松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为0, bi≥0,当bi<0 时，在方程两边都乘以-1。
(3)无约束变量
令xk = xk’ - xk”，xk’,xk” ≥ 0，代入即可。
产品Ⅱ生产x2件。
4x1
≤ 16
这里z为利润函数，
4x2 ≤ 12
max z:表示求z的最大值。
x1，x2 ≥ 0
[eg.2]污水处理问题
环保要求河水含污低于2‰，河水可自身净化20%。 问：化工厂1、2每天各处理多少污水，使总费用最少？
分析： 化工厂1处理污水x1万m3, 500万m3 化工厂2处理污水x2万m3。
[eg.7] 生产需要问题
供需原料A,B至少350t，原料A至少购进125t， 问：原料A、B各购进多少，使购进成本最低？
A
设备台时 2
价格
2
B 限制 1 600台时 3
目标函数： minz = 2x1 + 3x2 约束条件： x1 + x2≥ 350
x1 ≥125 2x1+x2 ≤ 600 x1，x2 ≥ 0
Chapter1 线性规划与图解法
本章主要内容：
Linear Programming （LP）的数学模型 图解法 图解法的灵敏度分析
线性规划问题举例
合理利用线材问题
投资问题
配料问题
产品生产计划问题
运输问题
劳动力安排
线性规划问题
➢达到某些数量上的最大化或最小化的目标 ➢在一定的约束条件下追求其目标
约束条件： x1 + x2 ≤310
2x1 + x2 ≤ 400
x2
直线G
x2 ≤ 250 x1，x2 ≥ 0
250 A
B
C
直线F
o
D
直线E
x1
200 300
2.约束条件中的常数项bj的灵敏度分析
常数项bj的变化影响的是线性规划的可行域，这就引起了最优 解的变化。
假设设备台时增加了10台，共310台。
分析：
设：产品Ⅰ生产x1件， 产品Ⅱ生产x2件。
目标函数： max z = 50x1 + 100x2 约束条件： x1 + x2 ≤300
2x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250 x1，x2 ≥ 0
x2
最优解：
250
x1* = 50 x2* = 250
A
最大值：
z* = 50x1 + 100x2 = 27500(元)
2
最大值：max z = z* = 2x1 + 3x2 = 14(元)
Ⅱ 限制 2 8台时 0 16kg 4 12kg 3
最优生产方案下资源消耗的情况： 设备台时：1*4+2*2=8台时 材料A：4*4+0*2=16kg 材料B：0*4+4*2=8kg
➢ 所有可用的设备台时和材料A都消耗完，但材料B有12-8=4的剩余； ➢ 在线性规划中，一个“≤”约束条件中没有使用的资源或能力称之为松
1z 3
o
②
Q3
③
Q2
①
4 Q1
x1
*
首先取z = 0，然后，使z逐
x2
渐增大，直至找到最优解所对 Q4
应的点。
3
可见，在Q2点z取到最大值。 因此， Q2点所对应的解为最优解。
Q2点坐标为(4，2)。 即: x1 = 4，x2 = 2
②
Q3
③
Q2(4,2)
①
4 Q1
*
x1
*
∴由此求得最优解：x1* = 4 x2* = 2 最大值：max z = z* = 2x1 + 3x2 = 14(元)
弛变量
松弛变量
max z = 2x1 + 3x2
1x1 + 2x2 ≤ 8 ①
4x1
≤ 16 ②
4x2 ≤ 12 ③
x1，x2 ≥ 0
x2
②
Q4
Q3
③
Q2(4,2)
①
x1
Q1
*
➢ 最优生产方案位于直线①、 ②的交点Q2上，故可知设备台时和材料A的 松弛变量都为0；
➢ 交点Q2不在直线③上，材料B的松弛变量大于0.
➢ 原料A的购进量比原料A购进量的最低限多购进了250-125=125t； ➢ 在线性规划中，对于“≥”约束条件，可以增加一些代表最低限约束的
超过量，称之为剩余变量。
1.3 线性规划的标准型
1、标准型
max z = c1x1 + c2x2 + ···+ cnxn
a11x1 + a12x2 + ···+ a1nxn = b1
➢ 如果c1 和c2都变化时，通过上述公式（*）判断 此时的生产计划是否要变化。
1 c1 0 c2
2.约束条件中的常数项bj的灵敏度分析
常数项bj的变化影响的是线性规划的可行域，这就引起了最优 解的变化。
假设设备台时增加了10台，共310台。
目标函数： max z = 50x1 + 100x2
x2
c1 c2
x1
z c2
斜率为
c1 c2
当1 c1 0 （*）时，顶点B仍然是其最优解。
c2
如果产品II的利润为100不变，有
1
c1 100
0
0
c1
100
1.目标函数中的系数ci的灵敏度分析
➢ 也就是说产品I的利润在0到100之间变化时，生 产计划不变。
➢ 同样可以确定产品I利润不变的情况下，产品II 利润的变化期间，保证生产计划不变。
剩余变量
minz = 2x1 + 3x2 x1 + x2≥ 350
x1 ≥125 2x1+x2 ≤ 600 x1，x2 ≥ 0
用图解法来解此题：
最优解：x1* = 250t x2* = 100t 最小值：min z = z* = 2x1 + 3x2 = 800(万元)
最优生产方案下资源消耗的情况： 设备台时：250*2+100*1=600台时 原料总量：250+100=300t
求解结果的几种情况讨论： (1)唯一最优解 max z = z*时，解唯一，如上例。
(2)无穷多最优解
[eg.4] 对eg.1，若目标函数
②
x2
Q4
Q3(2,3)
③
3
z = 2x1 + 4x2，此时表示 目标函数的直线与表示
Q2(4,2)
① *
条件①的直线平行，
o
最优点在线段Q3Q2上。
即存在无穷多最优解。