线性规划01可行区域与基本可行解
线性规划
• 4.2 两阶段法
• 两阶段法是处理人工变量的另一种方法。其具体做 法是在原约束条件中增加人工变量，构造一个新的 目标函数，其中人工变量的系数为-1，其余变量的 系数为0，这样就产生了如下的最优解有三种情形。 （1）这说明在辅助问题的最优解中，还有人工变量是基变量， 且取值不为0，此时原问题无可行解。 （2）且最优解中人工变量均为非基变量，则把它们划去后就得 到了原问题的一个基本可行解。 （3）但最优解中还有人工变量是基变量，其取值为0。这时， 只要选某个不是人工变量的非基变量进基，把在基中的人工 变量替换出来，则情形同（2）。 第二阶段：对于第一阶段的后两种情形，在第一阶段的最优单 纯形表中划去人工变量所在的列，并把检验数行换成原问题 目标函数（消去基变量以后）的系数，从而得到原问题的初 始单纯形表，再继续迭代求解。
2014-6-19 3
例2（运输问题）
• 设有某种物资要从A1，A2，A3三个仓库运往四个 销售点B1，B2，B3，B4。各发点（仓库）的发货 量、各收点（销售点）的收货量以及 到 的单位运 费如表1-2。问如何组织运输才能使总运费最少？
例3（配料问题）
• 在现代化的大型畜牧业中，经常使用工业生产的饲料。 设某种饲料由四种原料B1，B2，B3 ，B4混合而成，要 求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）A1，A2， A3的數量分別不少于25、36、40个单位（这些单位可 以互不相同），各种原料的每百公斤中含三种成份的数 量及各种原料的单价如表1-3.
1.2 线性规划的数学模型
一、一般形式 上述各例具有下列共同特征： 1．存在一组变量 ，称为决策变量，表示某一方案。通 常要求这些变量的取值是非负的。 2．存在若干个约束条件，可以用一组线性等式或线性 不等式来描述。 3．存在一个线性目标函数，按实际问题求最大值或最 小值。
第2章线性规划
线性规划数学模型的三个要素： 决策变量、目标函数、约束条件
线性规划数学模型（4）
线性规划数学模型的一般形式的其他表示方式：
（2） max(min)
s.t.
n
z c j x j
j 1
n
aij x j
(, )bi (i 1,, m)
j1
x j 0( j 1,n)
2 0 0
B2 1 1 0
1 0 1
对应的基解分别为 x 1 (0,0,2,2,5) 和 x 2 (1,0,0,3,6) ，其中 x1 为基本可行解， x2 不是基本可行解。
线性规划的基本概念
●线性规划的基矩阵(基)、基变量、非基变量
目标函数 约 束 条 件
d、bi≥0
“bi≤0” —— 乘“-1” ， -bi≥0
线性规划数学模型（8）
练习题：将线性规划数学模型转化为标准形式
1、min z= 2x1-2x2+3x3
-x1+ x2+ x3 = 4
-2x1+ x2 - x3≤6
x1 ≤0, x2 ≥0 ，x3无约束
2、min z= x1+x2 x1- x2+2 x3 ≥2
可行解 满足线性规划所有约束条件的各变量的 一组值X=（x1，x2，…，xn）T，称为线性规划 问题的可行解。全部可行解的集合称为可行域。 最优解 使线性规划的目标函数达到以最优值 （依照具体问题，或者是极大值，或者是极小 值）的可行解称为线性规划问题的最优解。 上述两个概念，对于一般形式、标准形式都适 用，而下述概念，仅适用于标准形式。
基解 在标准形式线性规划的约束方程组中，对应 基B，令所有非基变量都等于零，求解约束方程组 AX=b，可惟一得出基变量的一组值，这些值和取 零的非基变量的值合起来，称为线性规划问题的基 解或基本解。 基的个数不超过 Cnm，一个基对应一个基解，故基解 的个数也不超过 Cnm。基解中非零分量的个数不会大 于约束方程的个数m。若一个基解的基变量中有取 零值的，则此基解称为退化的，否则称为非退化的 。
川大运筹学资料及试题答案
x j ay j (1 a)z j (0 a 1, j 1,, n) 因为a>0,1-a>0，故当 x j 0时，必有y j＝z j ＝0
因为 所以
n
r
Pj x j Pj x j b
j1
j1
n
r
Pj y j Pj y j b
j1
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn si bi , si 0
或
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
松弛变量
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn si bi , si 0
剩余变量
几个 概 念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x2 , xn ) 可行集（或可行域）：所有的可行解的全体
定理 2 可行解 x 是基本可行解的充要条件是它的正分量 所对应的矩阵 A 中列向量线性无关。
定理 3 x 是基本可行解的充要条件是 x 是可行域 D 的顶 点。
定理 4 一个标准的 LP 问题如果有有限的最优值，则一 定存在一个基本可行解是最优解。
定理2
证明：由基可行解的定义知，必要性显然成立。 充分性：若向量 p1, p2 , pk 线性独立，则必有 k m 当 k m 时，它们恰好构成一个基，从而为相应的 基可行解；当 k m 时，则一定能从剩余的列向量 中取出m-k个与 p1, p2, pk 构成最大的线性独立向量
组 其对应的解恰为x，所以，x是基可行解。
定理3
证明 (1) x不是基可行解，则x不是可行域的顶点。
不失一般性，假设x的前m个分量为正，则有
m
Pi xi b
线性规划问题的基本解
am1
x1
am2 x2
L
amn xn
bm
x1 0, x2 0,L , xn 0
1.2 1.3
满足约束条件的X称为线性规划问题的可行解;
X x1, x2, , xn T
所有可行解的集合称为可行域 (feasible region),
使目标函数(1.1)达到最大值的可行解称为最优解(an optimal solution)。
A.基本可行解 B.非基本解
C.非可行解
D.最优解
4. X是线性规划的基本可行解，则有（ A. X中的基变量非零，非基变量为零 B. X不一定满足约束条件 C. X中的基变量非负，非基变量为零 D. X是最优解
）。
，P4
1
，P5
0
0
2
0
0
1
分别是变量 x1, x2 , x3, x4 , x5 的系数向量。
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
3 2 1 0 0
x1
x4 4
A 1 0 0 1 0
2x2
x5 12
0 2 0 0 1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
XB x j1 , x j2 ,L , x jm 表示基变量向量，
X N 表示非基变量向量。
现令所有的非基变量都等于0，即
XN 0
则约束方程(1.2)可化为：
Pj1 x j1 Pj 2 x j 2 L Pjm x jm b
BXB b
1.4
它是一个m个变量m个方程组成的线性方程组，B又是可逆
在上例1中，
对应于 B1 的基解为 X1 0, 0,18, 4,12T
线性规划的四个基本原理
线性规划的四个基本原理线性规划是一种常见的数学优化方法，它用于在一组限制条件下寻找最优解。
线性规划的基本原理有四个，分别是目标函数、约束条件、可行域和可行解。
目标函数是线性规划的第一个基本原理。
目标函数是需要最大化或最小化的线性方程，通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1、c2、...、cn是待优化的系数，x1、x2、...、xn是决策变量。
目标函数的最大值或最小值是我们希望找到的最优解。
约束条件是线性规划的第二个基本原理。
约束条件是一组等式或不等式，用于限制决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤bm，其中a11、a12、...、amn是系数，b1、b2、...、bm是常数。
这些约束条件定义了可行解的集合，即满足所有约束条件的决策变量取值的集合。
可行域是线性规划的第三个基本原理。
可行域是满足所有约束条件的决策变量取值的集合。
可行域通常是一个多维空间中的一个区域，其边界由约束条件定义。
可行域定义了决策变量的取值范围，并且在该范围内寻找最优解。
可行解是线性规划的第四个基本原理。
可行解是满足所有约束条件的决策变量取值。
可行解通常是可行域中的一个具体点，该点使目标函数达到最大值或最小值。
确定最优可行解是线性规划的关键目标。
线性规划的求解过程是通过求解目标函数在可行域上的最大值或最小值来找到最优解。
这个过程可以通过使用线性规划求解方法来实现，例如单纯形法、内点法等。
总结起来，线性规划的四个基本原理分别是目标函数、约束条件、可行域和可行解。
通过优化目标函数在可行域上的取值，寻找满足约束条件的最优解。
线性规划在数学建模、运筹学、经济学等领域有广泛的应用，可以帮助人们做出最优决策。
线性规划原理与解法
c1 b1 a1,m 1 xm 1 a1,m 2 xm 2 ... a1n xn
z c1b1 c2b ... cmbm
cm1 ci ai,m1
i 1
m
cm 1 c1a1, m 1 c2 a2, m 1 ... cm am , m 1 xm 1 c c a i i ,m 2 m 2
i 1
对增广矩阵 作初等行变换 将基变为单位阵
1 0 0
x2 0 ... 0 a1, m 1 ... a1n b : 1 1 ... 0 a2, m 1 ... a2 n b xm 2 ...... x : m 1 bm 0 ... 1 am, m 1 ... amn : x n
第一节 线性规划求解原理
5）若约束条件为“≥”，“≤”和“=”的混合性， 则综合应用以上方法，确定初始基。
max z 3 x1 4 x2 例： x1 2 x2 ≤8 4 x ≤16 1 s.t. 4 x2 ≤12 x1 , x2≥0 max z 3x1 4 x2 0 x3 0 x4 0 x5 =8 x1 2 x2 x3 4 x x4 =16 1 s.t. x5 12 4 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥0
xi bi
j m 1
a x (i 1, 2,..., m)
ij j
n
x1 b1 a1,m1 xm1 a1,m2 xm2 ... a1n xn x2 b2 a2,m1 xm1 a2,m2 xm2 ... a2 n xn ...... xm bm am,m1 xm1 am,m 2 xm 2 ... amn xn
第1章 线性规划
第1章线性规划本章介绍了什么是线性规划，线性规划数学模型的概念及其建立数学模型方法；阐述了线性规划的图解法、解的概念及解的形式；详细介绍了普通单纯形法、人工变量单纯形法及单纯形法计算公式。
1．考核知识点（1） 基本概念：数学模型、决策变量、目标函数、约束条件、标准型、图解法、基矩阵、基变量、非基变量、可行解、基解、基可行解、最优解、基最优解、唯一解、多重解、无界解、无可行解、单纯形法、最小比值、入基变量、出基变量、解的判断、大M法、两阶段法、改进单纯形法。
（2） 建立简单的线性规划数学模型。
（3） 求解线性规划的图解法。
（4） 基、可行基及最优基的定义。
（5） 可行解、基本解、基可行解、最优解、基本最优解的定义及其相互关系。
（6） 有唯一解、有无穷多解、无界解、无可行解的判断。
（7） 求解线性规划的单纯形法。
（8） 求解线性规划的人工变量法。
（9） 单纯形法中的5个计算公式。
2．学习要求（1） 深刻领会线性规划的各种基与解的基本概念，它们之间的相互关系。
（2）掌握图解法的计算步骤，注意怎样将目标函数表达成一条直线，这条直线如何平移使得目标函数值上升或下降。
（3） 熟练掌握单纯形法计算的全过程，特别应注意如何列出单纯形表，如何由一个基可行解换到另一个基可行解，基可行解是最优解、无界解或多重解的判断准则。
（4） 理解在什么情况下加入人工变量，人工变量起何作用，用大M法计算时目标函数的变化，两阶段法计算时目标函数的构成，掌握这两种计算方法的全过程，在什么情形下线性规划无可行解。
（5） 理解用矩阵形式代替单纯形表，并用矩阵公式求解线性规划。
3．重点建立线性规划数学模型，有关线性规划解的概念、解的形式，单纯形法计算、大M法、两阶段法。
4．难点解析（1）建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。
建立正确的数学模型要掌握3个要素：研究的问题是求什么，即设置决策变量；问题要达到的目标是什么即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值；限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。
01线性规划
-1- 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
可行解`可行解集(可行域)
最优解x 最优解x(2)=(9,4,1,0,0) 最优值f(x 最优值f(x(2))=1 进行两次单纯形迭代
换基并求出新典式
确定离基变量：min{bi0/bir|bir>0}=bs0/bsr， xjs为离基变量，即用pr代替pjs得新基。 确定进基变量：把对应于正检验数的的非 基变量转变为基变量
例题
min f = x1 − 2 x2 + x4 s.t. x1 + 3x3 + 2 x5 = 12 x2 − 2 x3 + x4 = 2 x2 + x3 + x5 = 5 xi ≥ 0
i =1 j∈R i =1 m −1 −1
( 0)
m
= f
(0)
− ∑ λj xj
j∈R
min s.t.
f = cx = cB B b − (cB B N − cN ) xN xB + B NxN = B b x≥0
min f = f
(0)
−1
−1
−1
−1
− ∑λj xj
j∈R
s.t.x ji = x (0) − ∑ bij x j ji
这时约束等式Ax=b可表示为 BxB + NxN = b
即
xB = B-1b - B-1NxN
特别，当取xN = 0，这时有xB=B-1b=xB(0)。
x ji = x
(0) ji
− ∑ bij x j
j∈R
这时目标函数f=cx可表示为
f = cx = cB xB + cN xN = c B B b − ( cB B N − c N ) x N = ∑ c ji x ji − ∑ (∑ c ji bij − c j ) x j
1.2线性规划的解
. ..
x2 .3 .
. x1 2x2 2 . . . . .
0
x1
解： （1）在直角坐标系上画出可行域
x1 4
x1 2x2 8
（2）做目标函数的等值线 x1 2x2 2
(3)最优值z* 8
求交点：
x1 x2
2x2 3
8
x1 x1
2x2 4
8
(x1, x2 ) (2,3)
(x1, x2 ) (4,2)
max z 7x1 x2
x1 2x2 6
s.t
x1 x2 1 x1 2
x1 , x2 0
其标准型为
max z 7x1 x2
x1 2x2 x3 6
s.t
x1 x2 x4 1 x1 x5 2
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
1 2 1 0 0
系数矩阵A
2x1 x2 3
可行域为空集
无可行解
该问题无最优解
图解法的基本步骤：
1、在直角坐标系x1ox2上做出可行域S的图形
（一般是一个凸多边形）
2、令目标函数值取一个给定的常数k,
做等值线Z c1x1 c2 x2 k 3、对max 问题，令目标函数值k由小变大, 即让等值线向上平移，
若它与可行域S最后交于一个点（一般是S的一个顶点）， 则该点就是所求的最优点， 若与S的一条边界重合，此时边界线上的点均是最优点
退化基本可行解：基本可行解中，存在取0值的基变量
对应的基称为退化基
非退化基本可行解：基本可行解中，基变量的取值均>0
对应的基称为非退化基
线性规划问题
退化的线性规划问题：存在退化基 非退化的线性规划问：题 所有基均非退化
第一章 线性规划
B1 5 1 5
B2 4 2 20
B3 3 3 35
B4 2 4 50
B5 1 5 65
B6 0 7 10
毛坯 需要量 3000 5000
85 70 余料长度
4、营养问题 例5.假定一个成年人每天需要从食物中获取3000大 卡热量、65克蛋白质、800毫克钙和75克脂肪。如 果市场上只有8种食物可供选择，他们每千克所含热 量和营养成分以及市场价格见表所示，问如何选择才 能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小。
◦ 1、画出满足约束条件的可行区域，可行区域的点称为可 行解 ◦ 2、任取一点f=f0，画出等值线 ◦ 3、平移等值线，使目标函数达到最优。
1、把数学模型转化为标准型 2、确定基变量，在所有约束方程中只出现一次并 且系数为1的为基变量，其余为非基变量。 3、列出初始单纯型表 4、换基迭代：
红星玻璃制品厂是一个有3个工人的生产两种类型手工艺窗户的小厂。 窗户一种是木框架的，一种是铝框架的。3个工人的分工是：张三制作木 框架，每天做4个；李四制作铝框架，每天做6个；王二制作和切割玻璃， 每天制作18平方米的玻璃。又知每生产一个木框架窗户使用3平方米玻璃， 每一个铝框架窗户使用2平方米玻璃。又知每生产一个木框架窗户可获得 30元的利润，每生产一个铝框架窗户可获得50元的利润。由于工厂产量小， 可假设每天生产出来的产品都可以卖出去。现请为该厂制定一个每天的生 产计划，使其获利最大。 木框架窗户 铝框架窗户 工人的生产能力
5、检查检验数：若、确定最优解
◦ 原则上检验数大的变量入基，采用θ法则确定出基变量， 入基与出基交叉点处的变量为旋转元，用方框圈起。 ◦ 将旋转元所在行的所有元素都除以旋转元，将旋转元变为 1 ◦ 利用旋转元所在行的元素把旋转元所在列的所有元素都变 为0
运筹学 第01章 线性规划问题
线性规划建模步骤
设定决策变量 明确约束条件并用决策变量的线性等式或 不等式表示 用变量的线性函数表示要达到的目标，并 确定是求极小还是求极大 根据变量的物理性质确定变量是否具有非 负性 注：其中最关键是设定决策变量这一步
生产计划问题(1)
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的 条件如下表所示，试制订总利润最大的日 生产计划
线性规划问题解的有关概念(2)
基本解：令模型中所有非基变量的值等于零后，由 模型的约束方程组得到的一组解。 基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行 解。 可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。 退化解：基本可行解的非零分量个数小于m时，称 为退化解。 最优基：若对应于基B的基本可行解X是线性规划的 最优解，则称B为线性规划的最优基
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护 士人数不等（见下表）。每个护士每天连 续值班8小时，在各时段开始时上班。问最 少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
20 30
人员安排问题(2)
设xj为第j时段开始值班的护士人数
目标函数为：使人数最少，则有
min f ( X ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 x1 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t. x3 x4 50 x x 20 5 4 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0且为整数
运筹学
第一章 线性规划问题
本章重点
线性规划建模 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 单纯形法 两阶段法 大M法
线性规划及其求解
剩余变量
第27页
不等式变不等式
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
为系数矩阵。
第13页
规 范 形 式
m i nc x Ax b s .t . x 0
第14页
线性规划的标准形式
（1）线性规划的标准形式
(代数和式)
在讨论与计算时，需要将线性规划问题的
数学模型转化为标准形式，即在约束条件：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
原料可用量 （公斤/日）
2 0 3 3
3 2 2 5
0 4 5 4
1500 800 2000
第 5页
问 题 分 析
可控因素：每天生产三种产品的数量，分别设为 x 1 , x 2 , x 3 目标：每天的生产利润最大 利润函数 3 x 1 5 x 2 4 x 3 受制条件： 每天原料的需求量不超过可用量： 原料 P1 ： 2 x1 3 x 2 1500 原料 P2 ： 2 x 2 4 x 3 800 P 3 x 2 x 2 5 x 3 2000 原料 3 ： 1 蕴含约束：产量为非负数 x ,x ,x 0
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1,2
线性规划的基本概念与解法
优势：线性规划可以帮助企业快速找到最优的生产计划方案，提高生产效率，降低成本， 增加利润。
运输问题
添加项标题
定义：在多个供应点和需求点之间，如何分配有限的资源以达到 最大效益或满足某些特定条件的问题。
06
线性规划的发展趋势与展望
线性规划算法的改进与优化
算法优化：提高求解速度和精度，减少计算量 混合整数规划：将整数条件引入线性规划，解决更复杂的问题 启发式算法：采用启发式策略加速求解，适用于大规模问题 并行计算：利用多核处理器并行计算，提高求解效率
大数据背景下线性规划的应用拓展
线性规划在大数据时代的应用场景 线性规划在数据挖掘和机器学习中的应用 大数据对线性规划算法的挑战和机遇 线性规划在大数据分析中的未来展望
线性规划的数学模型
目标函数：要求最大或最小化 的线性函数
约束条件：决策变量的限制条 件，一般为线性不等式或等式
定义域：决策变量的取值范围
线性规划问题：在满足约束条 件下，求目标函数的最大或最 小值
线性规划的几何意义
线性规划问题可以转化为在可行域内寻找一组最优解 线性规划的目标函数可以表示为可行域上的一组直线 最优解通常位于可行域的顶点或边界上 线性规划问题可以转化为求解一系列线性方程组
人工智能与线性规划的结合展望
人工智能技术在 优化问题中的应 用
线性规划问题在 人工智能领域的 实际应用
人工智能算法与 线性规划算法的 结合方式
未来人工智能与 线性规划结合的 发展趋势和展望
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初始解的调整：如果初始基本可行解不满足最优性条件，需要进行调整以获得更好的解。
基本解,可行解,基本可行解
基本解,可行解,基本可行解基本解、可行解、基本可行解是线性规划中的重要概念，是求解线性规划问题的基础。
本文将从概念定义、求解方法和实际应用三个方面进行阐述。
一、概念定义1.基本解基本解是指线性规划问题的一个可行解，其对应的基本变量数目等于问题的约束条件数目。
也就是说，基本解是由恰好n个变量的某个线性方程组的解所决定的。
其中，n为问题的变量数目。
2.可行解可行解是指满足线性规划问题所有约束条件的解。
对于最大化问题，可行解是指目标函数取值有限的解；对于最小化问题，可行解是指目标函数取值有限且非负的解。
3.基本可行解基本可行解是指同时满足基本解和可行解条件的解。
换句话说，基本可行解是一个基本解，且满足所有约束条件。
二、求解方法求解线性规划问题的方法有很多种，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法是由美国数学家Dantzig于1947年提出的，是一种迭代求解线性规划问题的方法。
单纯形法的基本思想是：从初始可行解开始，每一次迭代都选择一个基本变量进行调整，使得目标函数值不断增大或减小，直到找到最优解为止。
在单纯形法中，基本解是通过不断调整基本变量的值来求解的。
三、实际应用线性规划问题在实际应用中广泛存在。
例如，在生产计划中，企业需要确定生产计划，以满足市场需求，同时最小化生产成本；在运输问题中，需要确定如何分配货物，以最小化运输成本；在金融风险管理中，需要确定如何分配投资组合，以最大化收益并最小化风险。
在以上实际问题中，基本解、可行解和基本可行解都具有重要意义。
基本解可以作为单纯形法求解最优解的起点；可行解是问题的基本要求，只有满足约束条件的解才有意义；基本可行解则是满足约束条件且具有优化价值的解。
总之，基本解、可行解和基本可行解是线性规划问题的基本概念，是求解线性规划问题的基础。
掌握这些概念以及单纯形法等求解方法，有助于我们更好地理解和应用线性规划问题。
可行解 基本解 基本可行解 最优解的关系
可行解基本解基本可行解最优解的关系1.引言1.1 概述概述部分的内容：在现实生活和各个学科领域中，数学模型经常被用于解决各种问题。
当我们面临这样的问题时，我们往往需要寻找一组解来满足特定的条件。
在这个过程中，可行解、基本解、基本可行解和最优解这四个概念是非常重要的。
首先，可行解是指满足问题约束条件的解。
它是对问题的一种合理的解决方案，可以满足问题要求。
可行解并不一定是最优解，但它是问题解空间中的一部分。
其次，基本解是一种特殊的解，它是通过问题的约束条件线性组合而成的。
基本解具有独立性的特点，即通过改变任何一个基本解的数值，都会导致问题其他变量的值发生变化。
基本解在问题解空间中占据重要的位置，因为每个可行解都可以通过基本解的线性组合得到。
接下来，基本可行解是指同时满足约束条件和非负条件的基本解。
它既是可行解，也是基本解。
基本可行解在线性规划等数学模型中，通常是最优解的候选者。
最后，最优解是指在满足问题约束条件下，使目标函数达到最优值的解。
它是问题的最佳解决方案。
最优解可能是一个可行解，也可能是一个基本解，但不一定是基本可行解。
在实际问题中，找到最优解往往是一个复杂而困难的任务。
在本篇文章中，我们将探讨可行解、基本解、基本可行解和最优解之间的关系。
了解这些概念的特点和联系，有助于我们更好地理解和解决问题。
同时，我们还将探讨它们在不同领域的应用场景和意义，以期为读者提供更多的思考和启发。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和结构进行说明，引导读者了解文章的脉络和逻辑关系。
以下是可能的内容：1.2 文章结构本文旨在探讨可行解、基本解、基本可行解和最优解之间的关系。
为便于读者理解和把握全文内容，文章将按照以下结构进行展开：引言部分将总体概述本文要解决的问题，并说明本文的结构和目的。
正文部分将围绕可行解、基本解、基本可行解和最优解展开讨论。
首先，我们将对可行解进行定义，并介绍其主要特点。
随后，我们将着重讨论基本解的定义和特点，以便读者全面了解其含义和意义。
§2.2 可行区域与基本可行解
§2.2 可行区域与基本可行解1、图解法例2.2.1例2.2.2 在上例中将目标函数修改为 2124m in x x z -=当目标函数修改后，等值线的方向会发生改变，如果等值线与某个约束对应的函数直线平行，则该函数值线上的所有可行解都是最优解2、可行域的几何结构（1）基本假设考虑线性规划的标准形式⎩⎨⎧≥=T 0..min x b Ax t s xc 其中n m m n R A R b R c x ⨯∈∈∈,,,，并且假定可行域}0,{≥=∈=x b Ax R x D n 不空，系数矩阵A 是行满秩的，m A r =)(，否则的话可以去掉多余约束。
（2）定义2.2.1（3）定理2.2.1（4）定理2.2.2（5）定义2.2.2（6）定义2.2.3（7）定义2.2.43、基本可行解与基本定理令),(N B A =， x =(B x ,N x )。
由b Ax = 得 b Nx Bx N B =+所以 b B Nx B x N B 11--=+即 N B Nx B b B x 11---=令N x =0 则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01b B x定义2.2.2：设B 是秩为m 的约束矩阵A 的一个 m 阶满秩子方阵，则称B 为一个基；B 中 m 个线性无关的列向量称为基向量，变量 x 中与之对应的 m 个分量称为基变量，其余的变量为非基变量，令所有的非基变量取值为0，得到的解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01b B x 称为相应于B 的基本解。
当01≥-b B 则称基本解为基本可行解，这时对应的基阵B 为可行基。
如果01>-b B 则称该基可行解为非退化的，如果一个线性规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化的。
例 考虑问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+--=---=5,4,3,2,1;052222..min 52142132121j x x x x x x x x x x t s x x z j 系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100110102100112A基阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1000100011B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010110022B对应的基解分别为 T =)5,2,2,0,0(1x 和 T -=)6,3,0,0,1(2x ，其中 x 1 为基本可行解， x 2 不是基本可行解。
刁在筠 运筹学
刁在筠 运筹学第二章 线性规划教学重点：线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及可行区域的基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶和对偶理论，灵敏度分析。
教学难点：线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及可行区域的基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶性，灵敏度分析。
教学课时：24学时主要教学环节的组织：首先通过各种形式的例子归纳出线性数学规划的一般形式，然后在详细讲解主要内容的基础上，尽可能以图形和例题的形式给以形象的说明，使学生对知识点有更直观、具体的认识。
再通过大量习题巩固知识，也可以应用软件包解决一些实际问题。
第一节 线性规划问题教学重点：线性规划问题的实例，线性规划的一般形式、规范形式和标准形式教学难点：线性规划一般形式转换成标准形式。
教学课时：2学时主要教学环节的组织：首先通过几个实例总结出线性规划问题的一般形式，再介绍如何将一般形式转换成标准形式。
1、线性规划问题举例 生产计划问题某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如下表所示，试制订总利润最大的生产计划可控因素(所求变量)：设每天生产3种产品的数量分别为321,,x x x . 目标：使得每天的生产利润最大，就是使得利润函数：321453x x x ++达到最大. 受制条件：每天原料的需求量不超过可用量：原料1P ：15003221≤+x x原料2P ：8004232≤+x x原料3P ：2000523321≤++x x x 蕴含约束：产量为非负数0,,321≥x x x模型321453max x x x ++15003221≤+x xs.t. 8004232≤+x x2000523321≤++x x x0,,321≥x x x运输问题一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库2,1;=i A i 发送到零售点4,3,2,1;=j B j ，仓库 i A 能供应的产品数量为2,1;=i a i ，零售点 j B 所需的产品的数量为4,3,2,1;=j b j 。
运筹学概念
运筹学基本概念➢线性规划问题的基与解LP： max(min)z=CX （1-1）s.t AX=b （1-2）X>=0 （1-3）设A施m*n矩阵，且A的秩为m，则有●可行解：满足上述约束条件（1-2）、（1-3）的向量X称为可行解。
●最优解：满足式（1-1）的可行解称为最优解●基：A中任何一组m个线性无关的列向量构成的子矩阵B，称为该问题的一个基，即B为A的m*m非奇异子矩阵。
●基向量：基B中的一列即为B的一个基向量。
基B中公寓m个基向量●非基向量：矩阵A中基B之外的一列即为B的一个非基向量。
A中共有n-m个非基向量。
●基变量：与基B的基向量相应的变量恒伟B的基变量，基变量共有m个。
●非基变量：与基B非基向量相应的变量称为B的非基变量，非基变量共有n-m个。
●基本解：对于基B，令所有非基变量为零，求得满足式（1-2）的解，称为B对应的基本解。
●基本可行解：满足式（1-3）的基本解称为基本可行解，其对应的基称为可行基。
●基本最优解：满足式（1-1）的基本可行解称为基本最优解，其对应的基称为最优基。
●退化的基本解：若基本解中有基变量为零这，则称之为退化的基本解。
类似地，有退化的基本可行解和退化的基本最优解。
➢几何意义上的几个基本概念●凸集：设S是n维空间的一个点集，若任意两点X（1）、X(2) ∈S的所连线段上的一切点αX（1）+（1-α）X(2)，（0<=α<=1），则称S为凸集。
●凸组合：设X（1）、X(2)……X（K）,为n维空间中的k个点。
则X=μ1X（1）+μ2X(2)+ μkX（K）（0<=μi<=1，i=1,2……k,且μ1+……μk=1）称为X（1）、X(2)……X（K）的凸组合。
●极点：S是凸集，X∈S，若X不能用S中相异的两点X（1）、X(2)线性表示为：X=αX（1）+（1-α）X(2)，α∈（0,1），则称X为S的极点或定点。
即极点不能成为任何线段的内点。
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一般形式 规范形式 标准形式 概念 形式转换
2020/5/24
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3
生产计划问题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表 2.1.1所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原 料数量（公斤）
原料P1
产品 Q1
2
产品 Q2
3
产品 Q3
原料可用量 （公斤/日）
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问题分析
可控因素：从仓库 Ai 运往 B j 的产品数量 设为
目标：总运费最小。费用函数
xij , i 1, 2, j 1, 2, 3, 4
24
cij xij
i1 j1
受控条件：从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。由于总供给量等于 总需求量，所以都是等号。即
D { x Ax b, x 0} 最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解称为最优解，最优解
的全体称为最优解集合 O {x D c x c y,y D }
最优值：最优解对应的目标函数值 v c x, x O
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13
模型转换
变量转换
不等式变等式
不等式变不等式
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15
约束转换2
等式变不等式 不等式变等式
ai1x1 ai2 x2 L ain xn bi
ai1x1 ai2 x2 L ain xn si bi , si 0 或 ai1x1 ai2 x2 L ain xn bi
松弛变量
ai1x1 ai2 x2 L ain xn si bi , si 0
不等式变不等式
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剩余变量
16
将LP转化为标准形式
例2.1.3
10
注释
x j , j 1, 2,L , n 为待定的决策变量； c (c1, c2 ,L , cn ) 为价值向量； c j , j 1, 2,L , n 为价值系数； b (b1, b2,L , bm ) 为右端向量； 矩阵
为系数矩阵。
a11 a12 a1n
A
a 21 am1
xi1 xi2 xi3 xi4 ai , i 1, 2
蕴含约束：数量非负
x1 j x2 j bj , j 1, 2, 3, 4 xij 0,i 1, 2, j 1, 2,3, 4
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8
模型
24
min
cij xij
i1 j 1
令自由变量 x j
x
j
x
j
，其中
x
j
,
x
j
为非负变量。
目标转换
求最大可以等价成求负的最小
maxc x min c x
约束转换 实例
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约束转换1
等式变不等式
ai1x1 ai2 x2 L ain xn bi
ai1x1 ai2 x2 L ain xn bi ai1x1 ai2 x2 L ain xn bi
0 1500
原料P2
0
2
4
800
原料P3
3
2
5 2000
单位产品的利润
3
5
4
（千元）
表2.1.1
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问题分析
可控因素：每天生产三种产品的数量，分别设为
x1 , x2 , x3 目标：每天的生产利润最大。利润函数是
3x1 5x2 4x3 受制条件：每天原料的需求量不超过可用量。
a 22 am2
a2n
a mn
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11
规范形式与标准形式
规范形式
标准形式
min c x
Ax b
s.t.
x
0
min c x Ax b
s.t.x 0
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概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x (x1, x2 ,L , xn ) 可行集（或可行域）：所有的可行解的全体
线性规划
Linear Programming
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线性规划
线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 初始可行解 对偶理论 灵敏度分析 计算软件 案例分析
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2
线性规划问题
线性规划实例 线性规划模型
生产计划问题s.t.ຫໍສະໝຸດ 32xx124x3 2x2
800 5x3
2000
x1, x2 , x3 0
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6
运输问题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库 Ai ,i 1, 2 ，发送到 零售点 Bj , j 1, 2,3, 4 ，仓库 Ai 能供应的产品数量为 ai ,i 1, 2 ，零 售点 B j 所需的产品的数量为 bj , j 1, 2,3, 4 。假设供给总量和需 求总量相等，且已知从仓库 Ai 运一个单位产品往 B j 的运价为 cij 。问应如何组织运输才能使总运费最 Ai 小？
s.t.
xi1 x1 j
xi2 xi3 x2 j bj ,
xi 4
ai ,
xij
0,
i 1, 2 j 1, 2,3, 4 i 1, 2, j 1, 2,3, 4
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一般形式
目标函数
min z c1x1 c2 x2 L cn xn
ai1x1 ai2 x2 L ain xn bi,i 1, 2,L , p
s.t.
ai1x1
x
j
ai2 x2 L 0, j 1, 2,L
ain xn ,q
bi ,i
p
1,L , m
非负变量
xj无限制, j 1, 2,L , q
自由变量
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约束条件
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原料 P1 ：
2x1 3x2 1500
原料 P2 ：
2x2 4x3 800
原料 P3 ： 蕴含约束：产量为非负数
3x1 2x2 5x3 2000
x1 , x2 , x3 0
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模型
max 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500