运筹学01.02双变量线性规划问题的图解法
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线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第1.2节 线性规划问题的图解法
x1 20 * x 2 100
* * z 1240
27
2 规划问题求解的几种可能结果
2）无穷多最优解
max z 12 x1 8 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x x2 40 1 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
23
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
工序 花瓶种类 占用材料 （盎司） 艺术加工 （小时） 储存空间 （一单位） 利润值 （元）
大花瓶
1/3x1+1/3x2=40 (60,40)
x1
22
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 图1 花瓶问题的图解法
图解法的基本步骤：
（4）确定最优解。最优解是可行域中使目标
函数值达到最优的点，当目标函数直线由原点 开始沿法线方向向右上方移动时，z 值开始增 大，一直移到目标函数直线与可行域相切时为 止，切点即为最优解。
18
图解法的基本步骤：
（3）作出目标函数。由于
z 是一个待求的目 标函数值，所以目标函数常用一组平行虚线表 示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值 越大。
§1.2图解法
试用图解法分析，问题最优解随（ 试用图解法分析，问题最优解随（-∞<c<∞)变化的情况 变化的情况
注：本问题有可行解，但无最优解。 本问题有可行解，但无最优解。
例4
max z = 3 x1 + x2
x1 − x 2 ≤ − 1 x1 + x 2 ≤ − 1 x , x ≥ 0 1 2
该问题的可行域是空的，即无可行解（ 解 该问题的可行域是空的，即无可行解（
x2
x1-x2=-1
本问题只有唯一最优解。 注：本问题只有唯一最优解。
例1的最优生产方案为： 生产产品甲为2件， 的最优生产方案为： 生产产品甲为2 生产产品乙6 生产产品乙6件，最大利润为36万元。 最大利润为36万元 万元。
注： 问题的可行域是一个有界的凸多边形， 其边界由5条直线所围成： 其边界由 条直线所围成： 条直线所围成
解
该线性规划问题的可行域见图1 该线性规划问题的可行域见图1-1。
x2 8
Q1(0,6)
Q2(2,6)
图1-1 图解法解题过程 x1=4 2 x 2 = 12 3x1+5x2=z=36
6
4 Q 2
Q3(4,3)
3x1+2x2=18
Q4(4,0)
0
Q0(0,0)
2
4
6
8
x1 3x1+5x2=z=20
1 3 , 10 10
如图: 解 该问题的可行域 Q 如图
x2 x1+x2=5 6x1+2x2=21 -x1+x2=0
A(11/4,9/4)
B(21/6,0) 3x 1 + x 2 = z =0 3x 1 + x 2 = z =6
注：本问题有可行解，但无最优解。 本问题有可行解，但无最优解。
例4
max z = 3 x1 + x2
x1 − x 2 ≤ − 1 x1 + x 2 ≤ − 1 x , x ≥ 0 1 2
该问题的可行域是空的，即无可行解（ 解 该问题的可行域是空的，即无可行解（
x2
x1-x2=-1
本问题只有唯一最优解。 注：本问题只有唯一最优解。
例1的最优生产方案为： 生产产品甲为2件， 的最优生产方案为： 生产产品甲为2 生产产品乙6 生产产品乙6件，最大利润为36万元。 最大利润为36万元 万元。
注： 问题的可行域是一个有界的凸多边形， 其边界由5条直线所围成： 其边界由 条直线所围成： 条直线所围成
解
该线性规划问题的可行域见图1 该线性规划问题的可行域见图1-1。
x2 8
Q1(0,6)
Q2(2,6)
图1-1 图解法解题过程 x1=4 2 x 2 = 12 3x1+5x2=z=36
6
4 Q 2
Q3(4,3)
3x1+2x2=18
Q4(4,0)
0
Q0(0,0)
2
4
6
8
x1 3x1+5x2=z=20
1 3 , 10 10
如图: 解 该问题的可行域 Q 如图
x2 x1+x2=5 6x1+2x2=21 -x1+x2=0
A(11/4,9/4)
B(21/6,0) 3x 1 + x 2 = z =0 3x 1 + x 2 = z =6
第1章 2 线性规划问题的图解法
其中c 令 Z=2x1+3x2=c, 其中c为任选的一个常 数 ， 在图中画出直线 2x1+3x2=c, 即对应着一 组可行的生产结果， 组可行的生产结果，使两种产品的总利润达到 c。 。 这样的直线有无数条， 且相互平行， 这样的直线有无数条 ， 且相互平行 ， 称 只要画两条 这样的直线为目标函数等值线。只要画两条 目标函数等值线 等值线， 目标函数等值线，如令 x2 c＝0和c=6，可看出目 ＝ 和 ，可看出目
x2
4x1 ≤ 16 C D
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 ≤ 16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
x1
图解法求解步骤
由全部约束条件作图求出可行域； 由全部约束条件作图求出可行域； 作目标函数等值线，确定使目标函数 作目标函数等值线， 最优的移动方向； 最优的移动方向； 平移目标函数的等值线，找出最优点， 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。 算出最优值。
练习1答案
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2 6
最优解（4/3，14/3）
4
可行域
-8 0
目标函数等值线
6
x1
练习2 某公司由于生产需要，共需要A， 练习 ：某公司由于生产需要，共需要 ， B两种原料至少 两种原料至少350吨（A，B两种材料有 两种原料至少 吨 ， 两种材料有 一定替代性），其中A原料至少购进 ），其中 原料至少购进125 一定替代性），其中 原料至少购进 但由于A， 两种原料的规格不同 两种原料的规格不同， 吨。但由于 ，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每 原料需要2个小时 吨A原料需要 个小时，加工每吨 原料需 原料需要 个小时，加工每吨B原料需 小时， 个加工小时。 要1小时，而公司总共有 小时 而公司总共有600个加工小时。 个加工小时 又知道每吨A原料的价格为 万元，每吨B 原料的价格为2万元 又知道每吨 原料的价格为 万元，每吨 原料的价格为3万元 万元， 原料的价格为 万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 如何购买A， 两种原料 两种原料， 如何购买 ，B两种原料，使得购进成本 最低？ 最低？
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
线性规划问题的图解法
20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内； （3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解 把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点 的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解 可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解， 且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵
1.2线性规划问题的图解法及几何意义
2
①
可行域
1
Z增大方向
-1
0
1
②
2
3 x1
图解法（总结三个特点）
从图解法可以看出一般情况下： 从图解法可以看出一般情况下： （1）具有两个变量的线性规划问题的可行域是凸多边形。 具有两个变量的线性规划问题的可行域是凸多边形。 凸多边形 顶点得到 （2）若线性规划存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。 若线性规划存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。 （3）若在两个顶点上同时得到最优解，则在这两点的连线上的任 若在两个顶点上同时得到最优解， 意一点都是最优解； 意一点都是最优解； 虽然图解法只能求解包含两个变量的问题，作为算法， 虽然图解法只能求解包含两个变量的问题，作为算法，没有 太大价值，但是上述结论却非常有意义。它将搜索最优解的范围 太大价值，但是上述结论却非常有意义。 从可行域的无穷多个点缩小到有限几个顶点。 从可行域的无穷多个点缩小到有限几个顶点。这就开启了人们的 思路。 思路。而后面我们要介绍的求解多维线性规划的单纯形法就是在 此结论的基础上推广得到的。 此结论的基础上推广得到的。
无可行域的情况将会出现， 这时不存在可行解， 时 ， 无可行域的情况将会出现 ， 这时不存在可行解 ， 即 该线性规划问题无解。 该线性规划问题无解。
无有限最优解（可行域无界，目标值不收敛） 无有限最优解（可行域无界，目标值不收敛）：
线性规划问题的可行域无界， 线性规划问题的可行域无界 ， 是指最大化问题中的目标 函数值可以无限增大， 函数值可以无限增大 ， 或最小化问题中的目标函数值可 以无限减少。 以无限减少。
1.2 线性规划问题的图解法 及几何意义
如何求解线性规划模型是本章讨论的中心问题。 如何求解线性规划模型是本章讨论的中心问题。首先介绍 只有两个决策变量的线性规划的图解法， 只有两个决策变量的线性规划的图解法，该方法能够对线性规 划的解法从几何直观上给我们以启迪。 划的解法从几何直观上给我们以启迪。 对于两个决策变量的每一组取值， 对于两个决策变量的每一组取值，都可以看作平面直角坐标 系中一个点的坐标，因此， 系中一个点的坐标，因此，我们可以把满足约束条件的点在平 面直角坐标系中表示出来。 面直角坐标系中表示出来。
双变量线性规划问题的图解法
线性规划问题广泛应用于经济、金融、工程、管理等领域。
图解法简介
01
图解法是一种通过图形表示和直观观察来解决双变量线性规划 问题的方法。
02
该方法利用平面直角坐标系，将约束条件和目标函数表示为直
线或平面区域，从而直观地找出最优解。
图解法具有直观、易理解的特点，特别适用于包含两个决策变
03
量的线性规划问题。
图解法在双变量线性规划问题中的应用价值
直观性
图解法通过绘制约束条件和目标 函数的图形，使决策者能够直观 地了解问题的可行域和最优解的 位置，有助于加深对问题的理解。
易于操作
相比于其他方法，图解法在操作 上相对简单，只需要掌握基本的 绘图技巧即可，不需要复杂的数 学计算，降低了求解难度。
适用性广
图解法不仅适用于标准形式的线 性规划问题，对于非标准形式的 问题也可以通过变换转化为标准 形式进行求解，拓宽了其应用范 围。
目标函数在可行域上的最优解一定在可行域的边界上达到。
通过比较目标函数在可行域边界上的函数值，找到使目标函数取得最大值或最小值的点，即为最优解 。
04
图解法实例分析
实例一：生产计划问题
问题描述
变量设置
约束条件
目标函数
图解法求解
某工厂生产A、B两种产 品，每种产品都需要消 耗一定的资源和时间， 且产品的售价和成本已 知。工厂需要确定生产A 、B两种产品的数量，以 最大化总利润。
双变量线性规划问题的图 解法
• 引言 • 双变量线性规划问题建模 • 图解法求解步骤 • 图解法实例分析 • 图解法优缺点及适用场景 • 总结与展望
01
引言
线性规划问题概述
线性规划问题是一类优化问题，旨在在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线 性目标函数。
图解法简介
01
图解法是一种通过图形表示和直观观察来解决双变量线性规划 问题的方法。
02
该方法利用平面直角坐标系，将约束条件和目标函数表示为直
线或平面区域，从而直观地找出最优解。
图解法具有直观、易理解的特点，特别适用于包含两个决策变
03
量的线性规划问题。
图解法在双变量线性规划问题中的应用价值
直观性
图解法通过绘制约束条件和目标 函数的图形，使决策者能够直观 地了解问题的可行域和最优解的 位置，有助于加深对问题的理解。
易于操作
相比于其他方法，图解法在操作 上相对简单，只需要掌握基本的 绘图技巧即可，不需要复杂的数 学计算，降低了求解难度。
适用性广
图解法不仅适用于标准形式的线 性规划问题，对于非标准形式的 问题也可以通过变换转化为标准 形式进行求解，拓宽了其应用范 围。
目标函数在可行域上的最优解一定在可行域的边界上达到。
通过比较目标函数在可行域边界上的函数值，找到使目标函数取得最大值或最小值的点，即为最优解 。
04
图解法实例分析
实例一：生产计划问题
问题描述
变量设置
约束条件
目标函数
图解法求解
某工厂生产A、B两种产 品，每种产品都需要消 耗一定的资源和时间， 且产品的售价和成本已 知。工厂需要确定生产A 、B两种产品的数量，以 最大化总利润。
双变量线性规划问题的图 解法
• 引言 • 双变量线性规划问题建模 • 图解法求解步骤 • 图解法实例分析 • 图解法优缺点及适用场景 • 总结与展望
01
引言
线性规划问题概述
线性规划问题是一类优化问题，旨在在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线 性目标函数。
运筹学课件1-2图解法
第5页
第2页
线性规划的图解
max s.t. z=x1+3x2 x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0 x2
最优解
6
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
可行域
z=12 z=9 z=6 z=3
目标函数等值线
x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
问题：2、若目标函数改为max z=x1+x2，可行域不变，那么 线性规划的最优解在哪里取得？ 第3页
第1页
线性规划的图解
max s.t. z=x1+3x2 x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0 x2
最优解
6
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
可行域
z=12 z=9 z=6 z=3
目标函数等值线
x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
问题：1、线性规划的最优解是否可能位于可行域的内部？又 是否可能位于可行域的边界上？
线性规划可行域和最优解的几种情况
1、可行域封闭 唯一最优解
2、可行域封闭 多个最优解
3、可行域开放 唯一最优解
4、可行域开放 多个最优解ຫໍສະໝຸດ 5、可行域开放 目标函数无界
6、无可行解
第4页
图解法得到的启示
（1）解的情况：唯一最优解；无穷多最优解； 无界解；无可行解 （2）若可行域存在，则可行域是一个凸集 （3）若最优解存在，则一定在可行域（凸集）的 某个顶点处取得 （4）解题思路：找出凸集的任意顶点，该点的目 标函数值与相邻顶点的比较，若该点函数值大， 则该点为最优解；否则转到目标函数值更大的 顶点，如此重复下去，直到找到最优解
1.2线性规划图解法(经典运筹学)
分析：设C=成本 =四个月正常生产的成本 +四个月加班生产的成本 +四个月库存成本
y 设第i个月正常生产 xi台柴油机 , 加班生产 i台柴油机
第i个月初库存 zi台柴油机 i 1,2,3,4
则C 5000 xi 6500 y i 200 zi (5000xi 6500yi 200z i )
z 产品的配套数 约束条件为： 8x1 5x2 3x3 100 ,6x1 9x2 8x3 200 x1 0，x2 0，x3 0
x1，x2，x3分别是甲、乙、丙三个 车间所开的生产班数
z 产品的配套数
¿ à ÷ Ï ù ¨¿ © à °½ Á Ê £ Ë £ µ ä ³ ¼ µ 1Ö Ô ² Á Ú Ö Ä Ï ¼ × Ò ø ± 8 5 3 µ 2Ö Ô ² Á Ú Ö Ä Ï 6 9 8
¿ à ú ¿ ¨· ù © Ã °² Á £ ö Ê £ AÁ ¼ ã ú 7 6 8 BÁ ¼ ã ú 5 9 4
目标函数：
三个车间共生产A零件：
ห้องสมุดไป่ตู้
7 x1 6 x2 8x3
三个车间共生产B零件
5x1 9 x2 4 x3 则z min 7 x1 6 x 2
4
非线性
8 x3
min C (5000xi 6500yi 200z i )
4
x4 y4 z 4 5000 x3 y3 z3 z 4 3500 x y z z 4500 2 2 3 2 s.t x1 y1 z 2 3000 xi 3000 i 1,2,3,4 yi 1500 i 1,2,3,4 z1 0 xi , yi , zi 0 i, 1,2,3,4
运筹学第2章 线性规划的图解法
约束条件：s.t.
x1 + x2 + s1 = 300
2 x1 + x2 + s2 = 400
x2 + s3 = 250
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
对于最优解: x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
• 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有可 能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
x1 , x2 ≥ 0
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值
表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确
定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题
过程中必须遵循的约束条件
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
➢ 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对 应一个最优解；
➢ 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
➢ 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可 以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略 了一些必要的约束条件。
➢ 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件 的解，当然也就不存在最优解了。
11
§2 图 解 法
例2: 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原 料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其 中A原料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的 规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加 工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1 小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨 A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元， 试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力 的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？
运筹学线性规划图解法
§2.2 线性规划问题解的概念
设线性规划的标准形式： max z=Σcjxj (1) s.t.Σaijxj=bi i=1,2,…,m (2) xj≥0 j=1,2,…,n (3) 可行域：由约束条件(2)、(3)所围成的区域； 可行解：满足(2)、(3)条件的解X=(x1，x2，…，xn)T为可行解； 基：设A是约束条件方程组的m×n维系数矩阵,其秩为m，B是A中 m×m阶非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。 设
B=
a11 a21 … am1
a12 … a1m a22 … a2m … … am2 …amm
=(p1,p2, …,pm)
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量；与基 向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经 常写成XN。 基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。 基可行解：所有决策变量满足非负条件(xj ≥0)的基解, 称作基可行解。 可行基：基可行解所对应的基底称为可行基。
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解 例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
1.2 线性规划的图解法
4x1 16 (0, 4) 4 x2 12 x1 + 2 x 2 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
线性规划的图解法
线性规划的图解法
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
单击此处添加文本具体内容
演讲人姓名
二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
谢谢观看！
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练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
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演讲人姓名
二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
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练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
01.02双变量线性规划问题的图解法
6
运筹学
结论：
Operations Research
1.线性规划问题的解的情况：
不可行（无最优解） 有唯一最优解 可行有无穷多最优解 无上界（无最优解）
2.线性规划问题的可行域均为凸集，可能有界或无界.
推论 线性规划问题的任两个可行解的连线段上的点均为 可行解. 3.若线性规划问题有最优解，则必可从可行域的顶点中 找到一个. 4.线性规划问题的任两个最优解的连线段上的点均为最 优解.
解：有无穷多个最优解， 最优值为6. ▎
2014-4-4
4
运筹学
Operations Research
例3利用图解法求解线性规划问题
max z x1 x 2 s. t. x1 2 x 2 2 x1 x 2 1 x1 , x 2 0
解：目标函数无上界， 当然没有最优解.▎
出最优解和最优值的关系直接从图上找直线和根据目标函数上画出可行域在坐标平面25040030010050运筹学operationsresearch最优值为最优解为运筹学operationsresearch例2利用图解法求解线性规划问题解
运筹学
Operations Research
§1.2 图解法
2014-4-4
2014-4-4
2
运筹学
解：
Operations Research
最优解为 (50,250)T ，最优值为 27500 .▎
2014-4-4
3
运筹学
Operations Research
例2利用图解法求解线性规划问题 max z x1 2 x 2 s. t. x1 2 x 2 6 3 x1 2 x 2 12 x2 2 x1 , x 2 0
运筹学1_2图解法
12
2.线性规划的图解法
第3步图示
函数值增大
例题作图（4）
作出目标函数等值线
2.线性规划的图解法
• 第3步图示(2) 求出最优解
例题作图（5）
2.线性规划的图解法
根据上面的过程
我们得到这个线性规划的 最优解 x1=5、x2=25， 最优值 z = 70000 即最优方案为生产甲产品5件、 乙产品25件，可获得最大利润 为70000元。
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解；
23
2.线性规划的图解法
(d)有无穷多个最优解； (e)目标函数无界(即虽有可行解， 但在可行域中，目标函数可以无限增 大或无限减少)，因而没有有限最优解。 3.可行域为空集 (f)没有可行解，原问题无最优解
2.线性规划的图解法
线性规划的图解法(解的几 何表示)： 对于只有两个决策变量的 线性规划问题，可以二维直角 坐标平面上作图表示线性规划 问题的有关概念，并求解。 图解法求解线性规划问题 的步骤如下：
1
2.线性规划的图解法
(1)建立直角坐标系：
分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向量。
2
2.线性规划的图解法
24
2.线性规划的图解法
问题：工厂应如何安排生产可获得 最大的总利润？用图解法求解。
解：设变量xi 为第i种（甲、乙）产 品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分 析，可以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2
s.t. 3x1+ 2x2 ≤ 65 (A)
2.线性规划的图解法
第3步图示
函数值增大
例题作图（4）
作出目标函数等值线
2.线性规划的图解法
• 第3步图示(2) 求出最优解
例题作图（5）
2.线性规划的图解法
根据上面的过程
我们得到这个线性规划的 最优解 x1=5、x2=25， 最优值 z = 70000 即最优方案为生产甲产品5件、 乙产品25件，可获得最大利润 为70000元。
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解；
23
2.线性规划的图解法
(d)有无穷多个最优解； (e)目标函数无界(即虽有可行解， 但在可行域中，目标函数可以无限增 大或无限减少)，因而没有有限最优解。 3.可行域为空集 (f)没有可行解，原问题无最优解
2.线性规划的图解法
线性规划的图解法(解的几 何表示)： 对于只有两个决策变量的 线性规划问题，可以二维直角 坐标平面上作图表示线性规划 问题的有关概念，并求解。 图解法求解线性规划问题 的步骤如下：
1
2.线性规划的图解法
(1)建立直角坐标系：
分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向量。
2
2.线性规划的图解法
24
2.线性规划的图解法
问题：工厂应如何安排生产可获得 最大的总利润？用图解法求解。
解：设变量xi 为第i种（甲、乙）产 品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分 析，可以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2
s.t. 3x1+ 2x2 ≤ 65 (A)
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max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
2011-3-10
2
运筹学
解：
Operations Research
最优解为(50,250)T ，最优值为27500. ▎
解：设公司购进小麦和 玉米的数量分别为 x1吨， x2吨，
min z = 2 x1 + 3 x2 s. t. x1 + x2 ≥ 350 x1 ≥ 125 2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
2011-3-10
7
运筹学
Operations Research
例5 饲料公司为生产某种混合饲料，共需购进小麦和玉米 至少350吨，其中小麦不少于125吨.小麦和玉米的市场价 格分别为2万元/吨，3万元/吨.因原料的规格不同，加工 一吨小麦和一吨玉米的工时分别为2小时，1小时；而公司 因人手所限，仅有600个加工小时可供使用.试为该公司制 定一个最佳的原料购进方案.
运筹学
Operations Research
§1.2 双变量线性规划问题的图解法 1.2
2011-3-10
1
运筹学
Operations Research
图解法的基本思想：
在坐标平面x1Ox2上画出可行域K , 根据目标函数 直线和 K的关系，直接从图上找出最优解和最优值.
例1利用图解法求解线性规划问题
2011-3-10
3
运筹学
Operations Research
例2利用图解法求解线性规划问题 max z = x1 + 2 x 2 s. t. x1 + 2 x 2 ≤ 6 3 x1 + 2 x 2 ≤ 12 x2 ≤ 2 x1 , x 2 ≥ 0
解：有无穷多个最优解， 最优值为6. ▎
5
运筹学
Operations Research
例4利用图解法求解线性规划问题 max z = 3 x1 − 2 x 2 s. t. x1 + x 2 ≤ 1 2 x1 + 3 x 2 ≥ 6 x1 , x 2 ≥ 0
解：不可行（当然没有 最优解）.▎
2011-3-10
6
运筹学
T 图解法(略)： 最优解为(250,100) .
故公司应购进小麦和玉 米的数量分别为 250吨， 吨. ▎ 100
2011-3-10
9
运筹学
Operations Research
§1.2
over
2011-3-10
10
结论：
Operations ResearchLeabharlann 1.线性规划问题的解的情况：
不可行（无最优解） 有唯一最优解 可行 有无穷多最优解 无上界（无最优解）
2.线性规划问题的可行域均为凸集，可能有界或无界. 推论 线性规划问题的任两个可行解的连线段上的点均为 可行解. 3.若线性规划问题有最优解，则必可从可行域的顶点中 找到一个. 4.线性规划问题的任两个最优解的连线段上的点均为最 优解.
2011-3-10
4
运筹学
Operations Research
例3利用图解法求解线性规划问题
max z = x1 + x 2 s. t. x1 + 2 x 2 ≥ 2 − x1 + x 2 ≤ 1 x1 , x 2 ≥ 0
解：目标函数无上界， 当然没有最优解.▎
2011-3-10
2011-3-10
2
运筹学
解：
Operations Research
最优解为(50,250)T ，最优值为27500. ▎
解：设公司购进小麦和 玉米的数量分别为 x1吨， x2吨，
min z = 2 x1 + 3 x2 s. t. x1 + x2 ≥ 350 x1 ≥ 125 2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
2011-3-10
7
运筹学
Operations Research
例5 饲料公司为生产某种混合饲料，共需购进小麦和玉米 至少350吨，其中小麦不少于125吨.小麦和玉米的市场价 格分别为2万元/吨，3万元/吨.因原料的规格不同，加工 一吨小麦和一吨玉米的工时分别为2小时，1小时；而公司 因人手所限，仅有600个加工小时可供使用.试为该公司制 定一个最佳的原料购进方案.
运筹学
Operations Research
§1.2 双变量线性规划问题的图解法 1.2
2011-3-10
1
运筹学
Operations Research
图解法的基本思想：
在坐标平面x1Ox2上画出可行域K , 根据目标函数 直线和 K的关系，直接从图上找出最优解和最优值.
例1利用图解法求解线性规划问题
2011-3-10
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运筹学
Operations Research
例2利用图解法求解线性规划问题 max z = x1 + 2 x 2 s. t. x1 + 2 x 2 ≤ 6 3 x1 + 2 x 2 ≤ 12 x2 ≤ 2 x1 , x 2 ≥ 0
解：有无穷多个最优解， 最优值为6. ▎
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运筹学
Operations Research
例4利用图解法求解线性规划问题 max z = 3 x1 − 2 x 2 s. t. x1 + x 2 ≤ 1 2 x1 + 3 x 2 ≥ 6 x1 , x 2 ≥ 0
解：不可行（当然没有 最优解）.▎
2011-3-10
6
运筹学
T 图解法(略)： 最优解为(250,100) .
故公司应购进小麦和玉 米的数量分别为 250吨， 吨. ▎ 100
2011-3-10
9
运筹学
Operations Research
§1.2
over
2011-3-10
10
结论：
Operations ResearchLeabharlann 1.线性规划问题的解的情况：
不可行（无最优解） 有唯一最优解 可行 有无穷多最优解 无上界（无最优解）
2.线性规划问题的可行域均为凸集，可能有界或无界. 推论 线性规划问题的任两个可行解的连线段上的点均为 可行解. 3.若线性规划问题有最优解，则必可从可行域的顶点中 找到一个. 4.线性规划问题的任两个最优解的连线段上的点均为最 优解.
2011-3-10
4
运筹学
Operations Research
例3利用图解法求解线性规划问题
max z = x1 + x 2 s. t. x1 + 2 x 2 ≥ 2 − x1 + x 2 ≤ 1 x1 , x 2 ≥ 0
解：目标函数无上界， 当然没有最优解.▎
2011-3-10