高级生物统计051

m
其中：Δ xi =xi-xi0 以忽略，
(i=1, 2, …, m)；O(X 3 ) 表示当Δ x 很小时的高阶无穷小，可
用向量与矩阵表示为： 其中
f ( X ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) T X 1 X T AX 2
f ( X 0 ) x 1 f ( X 0 ) f ( X 0 ) x 2 ; f ( X 0 ) x m
x[ a ,b ] x[ a ,b ]
max { f ( x )} max{ f ( x1 ), f ( x 2 ), , f ( x n ), f ( a ), f (b )} min { f ( x )} min{ f ( x1 ), f ( x 2 ), , f ( x n ), f ( a ), f (b )}
(二) 系统最优化——录求系统目标函数在给定约束条件下的最优值。 例如二次回归统计模型的优化问题：
m m m max y(x1, x2 , , xm ) b0 i bi xi i 1 bij xi x j 1 1 j i j - xi , i 1, 2, , m
2 f (X 0 x 2 1 2 f ( X 0 x 2 x1 2 f (X 0 x m x1
x 1 - x 10 x - x 20 X 2 x m - x m0
x1 x 2 x m
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判别极值的第二法则：设函数 f(x)在点 x=x0 及其近旁有一阶及二阶导数，
(1) 如果 fˊ(x*)=0， f′′(x*)＜0，则函数 f(x)在点 x=x*有极大值， x*为极大点；
(2) 如果 fˊ(x*)=0， f′′(x*)＞0，则函数 f(x)在点 x=x*有极小值， x*为极小点； (3) 如果 fˊ(x*)=0，f′′(x*)=0，则不能肯定 f(x)在点 x=x*是否有极值，不能 肯定 x*是否是极值点；(此时用第一法则判别)。 求一元函数最大值与最小值的步骤： 设 f(x)在[a, b]上连续 (1) 求出 f(x)在(a, b)内的驻点(稳定点)和 f(x)的导数不存在的点，设这些点是有 限个：x1 、x2 、…、xn 。相应的函数值为 f(x1 )、f(x2)、…、f(xn )。 (2) 计算 f(x) 在[a, b]的两个端点值：f(a)、f(b) (3)
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2. 多元函数的情况
设 f(X)为定义在 m 维欧氏空间内区域 R 中的 m 元函数， X=(x1, x2 , …, xm)ˊ； X0 ∈R。将 f(X)在点 X=(x10, x20, … , xm0 )以泰勒级数展开：
f ( X 0 ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) f (X ) f (X 0 ) [ x1 x 2 x m ] x1 x 2 x m 2 f (X 0 ) 2 f (X 0 ) 1 2 f (X 0 ) 2 [ x1 x1 x 2 x1 x m 2 2 x1x 2 x1x m x1 2 f (X 0 ) 2 f (X 0 ) 2 f (X 0 ) 2 x m x1 x m x 2 x m ] O(X 3 ) 2 x m x1 x m x 2 x m f ( X 0 ) 1 m m 2 f (X 0 ) f (X 0 ) xi xi x j O(X 3 ) i 1 xi 2 i 1 j 1 xi x j
即：[a+bf(X*)]<[a+bf(X)]， 即：[a-bf(X*)]>[a-bf(X)]， X∈F； X∈F。
[a-bf(X*)]-[a-bf(X)]=-b[f(X*)-f(X)]>0 表明： 1.加上常数和乘以正数， 并不影响最优点的性质； 只 2. 要改变目标函数的符号，最小化方法可用于求最大点的问题， 反之亦然。 对于二次回归设计所建立的方程：
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[例 5-1 ] 目标函数：f (X)=1000x1+4×10-9x1x2+2.5×105x2 约束条件：1≤x1≤2200, 0≤x2≤8 其可行域 F 为一闭域。 若约束条件为： 0<x1≤2200, 0≤x2≤8 则可行域 F 为一开域。
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(二) 最优值与最优点 1. 设 X*∈F，若对于 F 中的一切 X≠X*有 f(X*)<f (X) 则称 f(X*)(或记为 f*)是 f 的最小值，X*叫做最小点；若 对于 F 中的一切 X≠X*有 f(X*)≤f (X) 此时存在不止一个最小点，但目标函数的最小值仍是唯 一的。目标函数的最小值记为： f * min [ f ( X )]
f(b) max [f(x)]
x [a, b]
一般，函数的极值不一定是最优值。 注意：x2 不是函数的极值点，f(x2 )不是函数的极值。
(二) 极值点存在的条件 1. 一元函数的情况 (1) 极值点存在的必要条件 若 fˊ(x*)存在，且 x*为 f(x)的极值点，则 fˊ(x*)=0 通常称满足 fˊ(x*)=0 的点为驻点或稳定点。 极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。 在图 5-1 中：x1 、x2 、x3 均为驻点，但 x2 不是极值点。 (2) 极值点存在的充分条件 判别极值的第一法则：设函数 f(x)在点 x=x*及其近旁可导，且 fˊ(x*)=0， (1) 如果在点 x=x*左边近旁导数 fˊ(x)＞0，而在点 x=x*右边近旁导数 fˊ(x)＜0， 则 f(x)在点 x=x*有极大值，x*为极大点； (2) 如果在点 x=x*左边近旁导数 fˊ(x)＜0，而在点 x=x*右边近旁导数 fˊ(x)＞0， 则 f(x)在点 x=x*有极小值，x*为极小点。 (3) 如果在点 x=x*的左右近旁导数 fˊ(x)的符号不变，则在点 x=x*函数 f(x)无极 值，x*不是极值点。
m m max y(x 1 , x 2 , , x m ) i0 j0 b ij x i x j 或 i j - x i , i 1, 2, , m
(5 - 1)
(5 - 2)
这里 x0 =1,
b0i =bi , i=0, 1, 2, …, m。 ——常数约束二次函数寻优(一种特殊的非线性规划)

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(Hesse 矩阵)
如：f(X)=f(x1 , x2)， X0 =(x10 , x20 )
f ( x10 , x 20 ) f ( x10 , x 20 ) 1 2 f ( x10 , x 20 ) 2 f ( X ) f ( x10 , x 20 ) x1 x 2 [ x1 2 x1 x 2 2 x1 2 f ( x10 , x 20 ) 2 f ( x10 , x 20 ) 2 x1 x 2 x 2 ] O(X 3 ). 2 x1x 2 x 2 f ( X 0 ) x x -x x 1 , X 1 10 1 f ( X 0 ) x x x f ( X 0 ) 20 2 2 x 2 2 f (X 0 ) 2 x1 A 2 f (X ) 0 x 2 x1 2 f (X 0 ) x1x 2 2 f (X 0 ) 2 x 2
X F
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4. 最大最小之间的关系 设 b>0, a 为任意实数， X*是f(X)的最小点， X*是 a+bf(X) 若 则 的最小点，是 a-bf(X)的最大点，即 a bf ( X *) min [ a bf ( X )]
x F
a bf ( X *) max [ a bf ( X )] x F 事实上：[a+bf(X*)]-[a+bf(X)]=b[f(X*)-f(X)]<0
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二、目标函数的最优化 (一) 可行域 设目标函数为 其中 f(X)
X=(x1 , x2 , …, xm)ˊ， xi (i=1, 2, …, m)为实数
当 X 的分量被定为一组特定的数时，所得的向量有时称为一 项策略或设计。 变量 X 满足对其取值范围的限制(即约束条件)的点的全体构 成问题的可行域 F；如果可行域包括其边界上所有的点，则称为 闭域；如果 F 的边界有一部分点不属于 F，则称为开域。
m m m
y 目标函数： f ( X ) b0 1 b j x j bij x i x j j i j
约束条件：-γ ≤xj ≤γ , (j=1, 2, …, m) 其可行域 F 为一闭域。
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三、函数的极值——局部最优值 (一) 极值与极值点 如 y=f(x) (一元函数)，见图 5-1。 f(x)

)
)
A
)
2 f (X ) 0 x x 1 2 2 f (X ) 0 x 2 2 2 f (X ) 0 xm x 2


2 f (X ) 0 x xm 1 2 f (X ) 0 x xm 2 2 f (X ) 0 xm 2
x F
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2. 同样可定义 f 的最大值和对应的最大点(只须改变定义中不等号的方向) 目标函数的最大值记为
f * f ( X *) max [ f ( X )]
X F
3. 将最大、最小统一成为最优化概念，称 f*为最优值，X*为最优点，记为
f * f ( X *) opt [ f ( X )]
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第一节
一般优化方法
一、系统最优化与数学模型 所谓系统就是相互作用着的若干元素的复合体。 如，太阳系：太阳+九大行星 原子：原子核+电子 政治系统 经济系统 人类社会 文化系统 军事系统 ┆ 认识世界 改造世界 都须依靠模型。 从根本上说：科学和技术的方法首先是建立模型的方法，建立模型是任何科 学技术活动的基石。 认识系统 经济系统 农业系统 工业系统 商业系统 交通运输系统 ┆ 须依靠模型； 农业系统 农业生态 农业技术 农业经济 ┆