高中数学解题常用方法：数形结合

数形结合
一、填空题
1. 已知集合，，若集合只有一个真子集，则实数的取值范围是．
2. ，，的大小关系为．
3. 方程的实根个数是．
4. 已知，，，则与的大小关系是．
5. 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数
的取值范围是．
6. 直线与曲线有四个交点，则的取值范围是．
7. 已知函数，正实数，满足，且，若在区间
上的最大值为，则，的值分别为．
8. 已知方程有两个相异的实数根，则的取值范围是．
9. 如图，已知，是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率
为．
10. 已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则
实数的取值范围是．
11. 若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是．
12. 设函数若，则函数的零点
个数有．
13. 已知时，，若，则方程
的解的个数是．
14. 已知函数当时，则
的取值范围为．
15. 已知函数恰有个零点，则实数的取值范围为．
16. 若曲线与直线有一个交点，则实数的取值范围是．
17. 在平面直角坐标系中，点是由不等式组所确定的平面区域内的动点，是直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为．
18. 曲线与直线有两个交点，则的取值范围是．
19. 已知集合，
，若为单元素集，则点构成的集合为．
20. 我们把形如的函数因其图象类似于汉字"囧"字，故生动地称为"囧函数"，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为"囧点"，以"囧点"为圆心凡是与"囧函数"有公共点的圆，皆称之为"囧圆"，则当，时，所有的"囧圆"中，面积的最小值
为．
二、解答题
21. 已知集合，，且，求实数的取值范围．
22. 如图所示，已知正方形的边长等于，，，，试作出下列向量并分别求出其长度，
(1)；
(2)．
23. 已知，直线．
(1)求原点关于直线的对称点的坐标；
(2)当时，求的取值范围．
24. 讨论函数在处的左极限、右极限以及在处的极限．
25. 已知实数满足
(1)恒成立，求实数的最大值；
(2)的取值范围．
26. 怎样选择广告上的优惠计划？试分析比较两计划的费用情况，考虑：
计划即时直接对话自动数字传呼计划即时直接对话自动数字传呼每月基本服务费元元
免费通话时间首分钟首分钟
以后每分钟收费元元
留言信箱服务元元
(1)在何种情况下，计划优于计划？在何种情况下，计划优于计划？
(2)当计划优于计划时，最多可以省多少费用？当计划优于计划时，最多可以省多少费用？
27. 讨论方程的实数根的个数．
28. 解关于的不等式：．
29. 已知圆及两点，，为圆上任意一点，求的最小值．
30. 解关于的不等式．
31. 已知函数．
(1)解不等式；
(2)对任意，都有成立，求实数的取值范围．
32. 若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
33. 已知点在圆：上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．
34. 已知为圆上的一点．
(1)求的最小值；
(2)求的最大值和最小值．
35. 求函数的最小值．
36. 设函数．
(1)解不等式；
(2)求函数的最小值．
37. 已知函数
(1)求函数在上的解析式；
(2)若方程在区间内有个不等实根，求实数的取值范围．
38. 设，满足的约束条件：的可行域为，
(1)在所给的坐标系中画出可行域（用阴影表示，并注明边界的交点）；
(2)求的最大值；
(3)若存在正实数，使函数的图象经过区域中的点，求这时的取值范围．
39. 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数．
(1)求，的值；
(2)求的表达式；
(3)若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能取值及相应的的取值范围．
40. 已知函数的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；
(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程
恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
答案
第一部分
1
2
3
4
5
6
7 ；
8
9 ．
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 或
20
第二部分
21 因为，，又，利用数轴上的覆盖关系，如图所示，因此有．
22 (1) 由已知得，
又，所以延长到，
使．
则，且．
所以．
(2) 作，连接，
则，
而，
所以且．
所以．
23 (1) 设，由对称性，得
解得即．
(2) 将，分别代入，得，，
表示线段上的动点与定点连线的斜率．而，，
所以．
24 函数的图象如图所示：
当时，函数无限接近于即
当时，函数无限接近于即
综上，可知．
函数在处极限不存在．
25 (1) 作出不等式所表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线恒过定点，
则使恒成立，则直线经过时直线的斜率最大，所以实数的最大值为．
．
(2) 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，连接，，则，所以
．
26 (1) 不妨设分钟通话费用为元，
则计划：
计划：
为了得到在不同的时段内，比较两种计划的优劣，需找到何时费用相同，
当时，计划比计划便宜元，
当时，计划比计划便宜元．
这说明费用相同时的时间介于到之间，因此解方程得．
(2) 得．画出两函数图象，如图所示．
由图可见当使用时间小于分钟时，计划优于计划，最多便宜元；
当使用时间大于分钟时，计划优于计划，最多便宜元．
27 设，则方程的实根的个数就是函数的图象与的图象交点的个数．
由图象可知：
当时，方程没有实数根；
当或或时，方程只有一个实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根．
28 原不等式可化为，设，，作出两个函数的图象（如图），不等式的解集是直线在半圆）上方的部分所对应的的集合．
（i）当时，解方程，得，（舍去）．又，，
当时，．
这时原不等式的解集为．
（ii）当时，原不等式为．
由，得，而恒成立，所以必有，这时原不等式为" "，此为矛盾．
当时，原不等式无解．
29
30 解法1：当时，
，
，原不等式的解集为．
当时，原不等式化为
解得，解得．
故原不等式的解集为．
解法2：设，（）．
分别作出两个函数的图象，如图所示，令，则交点的横坐标为，．
从图象可以看出，当函数的图象位于的图象上方时，对应的的取值范围即为原不等式的解集．
．
故原不等式的解集为．
31 (1) ，
当时，，即，
所以；
当时，，即，
所以；
当时，，即，
所以；
综上，不等式的解集为：．
(2) ，
函数的图象如图所示：
令，表示直线的纵截距，当直线过点时，；
所以当，即时成立；
当，即时，令，得，
所以，即时成立，
综上或．
32 已知方程等价于
令，，，
则已知方程有两个不同的实数解当且仅当与的图象有两个不同的交点．如图可得到．
33 由（为圆的半径）知，对于椭圆上任意一点，当点
在的延长线上时，有最大值，故只需求的长度的最大值，其中，．
记，，
则
当时，为最大值，此时有最大值，且，．34 (1) 圆的方程可化为．
的几何意义为与原点的连线的斜率，如图所示．
由圆与直线相切，圆心到直线距离等于圆的半径可得：
．
(2) ，其几何意义为．
又，．
的最大值为
35
把函数理解为轴上的动点到两个定点，的距离之和的最小值．如图，
点关于轴的对称点，
则的最小值为
即函数的最小值为．
36 (1) 令，则
作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为．
(2) 由函数的图象可知，
当时，取得最小值．
37 (1) 当时，
(2) 作出函数在区间上的图象，如图所示．
设，由图象可知要使方程在区间内有个不等实根，则直线应位于与之间或直线的位置，所以实数的取值范围是或．
38 (1) 阴影部分如图，
由得所以，
由得所以，
由，得所以，
可行域为如图．
(2) 因为，
又，所以，
是直线在轴的截距，，
．
所以过点时，
最大
(3) 因为，
，
函数过区域中的点，而区域中，
又因为，函数图象过点，，
当时，，，
所以满足过区域中的点，只须图象与射线有公共点．所以只须时，，
所以，
故所求的取值范围是．
39 (1) ，
．
(2) 设，
则，
所以，
所以
(3) 作函数的图象，
显然，若有解，则
①若，有两解，；
②若，有三解，；
③若，有四解，；
④若，有两解，．
综上所述，当或时，有两解，；
当时，有三解，；
当时，有四解，．
40 (1) 的最小正周期为，
由，得．
又由解得
由，即，解得，
所以．
(2) 由的周期为及，得．令，由，得．
如图所示，若在上有两个不同的解，则，
所以方程当时恰好有两个不同的解，则，因此，实数的取值范围是．。