2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习第3章导数及其应用第3讲导数与函数的极值分层演练文

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2020届高考数学一轮总复习第三单元导数及其应用第21讲定积分课件理新人教A版

x
3 2
－12x2＋2x)|04＝136.
答案：C
【变式探究】
2. (2019·陕西一模)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内
围成的封闭图形的面积为(
)
A．2 2
B．4 2
C．2
D．4
解：画出图形如右：
由yy＝＝4xx3，，得 4x＝x3，解得 x＝0 或 x＝±2. 所以 S＝2(4x－x3)dx
1．定积分的求法：
(1)利用微积分基本定理：①求 f(x)的一个原函数 F(x)，②计
算 F(b)－F(a)．
其中关键是原函数，常见函数的原函数总结如下：
xmdx＝m＋1 1xm＋1＋C(x>0，m∈Q 且 m≠－1)；
1xdx＝ln |x|＋C;
exdx＝ex＋C；
axdx＝lnaxa＋C(a>0，且 a≠1);
0
＝(2x2－41x4)|02＝4.
点评：用定积分求图形面积的一般步骤： (1)画出图形，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分的上、下限； (2)确定被积函数，特别要注意被积函数的上、下位置； (3)写出平面图形面积的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
n
(3)求和：
b－n af(ξi)；
i＝1
(4)取极限：abf(x)dx＝lni→m∞i＝n1f(ξi)b－n a.
2. 定积分的几何意义
(1)当函数 f(x)在区间[a，b]上连续且恒为正时，定积分bf(x)dx 的几何 a
意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形(图
2t
0≤t≤1

2020高考全国一轮数学理科第三章导数及其应用

&%*$$%相切"则直线<的方程为""""(
%# 若存在过点$#""%的直线与曲线&%$, 和&%)$!/#-.$& 8都相切"则)%""""(
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%# 已知曲线*$$%% #,$,& # !$!/)$/,上存在两条斜率为
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$!%若*$$%在$%!处取得极小值"求)的取值范围(
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$2"*$2%%处切线的斜率为 1$2%"则函数 &%1$2%的图象一
部分可以是
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2020届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数与积分教师用书理(PDF,含解析)

对应学生用书起始页码Ｐ４０
考点一导数的概念及其几何意义高频考点
考点二定积分的运算及应用
１．导数的几何意义函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的导数就是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，
ｆ（ｘ０））处的切线的斜率．２．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在ｘ＝ｘ０处的切线方程为ｙ－ｆ（ｘ０）＝
１．定积分的性质
∫ ∫ ｂ
ｂ
（１）ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ为常数）；
ａ
ａ
∫ ∫ ∫ ｂ
ｂ
ｂ
（２）［ｆ１（ｘ） ±ｆ２（ｘ）］ｄｘ＝ｆ１（ｘ）ｄｘ± ｆ２（ｘ）ｄｘ；
ａ
ａ
ａ
∫ ∫ ∫ ｃ
ｂ
ｂ
（３）ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ（ａ＜ｃ＜ｂ）．
ａ
ｃ
ａ
２．微积分基本定理
一般地，如果ｆ（ｘ）是区间［ａ，ｂ］上的连续函数，并且Ｆ′（ｘ）＝
∫ｂ
ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ），这个结论叫做微积分基本定
ａ
理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式，为了方便，常常把Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）
∫ｂ
记作Ｆ（ｘ）
ｂａ
，即
ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）
ｆ ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）．３．几种常见函数的导数
原函数
导数
ｙ＝Ｃ（Ｃ为常数）
ｙ′ ＝０
ｙ＝ｘｎ（ｎ∈Ｎ∗ ）
ｙ′ ＝ｎｘｎ－１
ｙ＝ｓｉｎｘ
ｙ′ ＝ｃｏｓｘ
ｙ＝ｃｏｓｘ
ｙ′ ＝－ｓｉｎｘ

2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题3-3 函数与导数的综合应用(1)

2020-2021学年高考数学一轮复习专题3.3 函数与导数的综合应用【考情分析】1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题。

【典型题分析】高频考点一利用导数证明不等式例1.【2020·江苏卷】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422342() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[], D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -【解析】（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+，取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．由22x x kx +≥，得2 2 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立，所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立，所以()2h x x =．（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞.令() 1ln u x x x =--，则1()1,u'x x=-令()=0u'x ，得1x =.所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立，所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立，也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立．因为0k ≥，对称轴为102kx +=>，所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤．因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤（3）①当1t ≤≤由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令3242=()(328),t t t t ∆---- 则642=538t t t ∆-++．记64253()18(t t t t t ϕ-++=≤≤则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，所以()t ϕ在[1,上是减函数，则()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤．所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，因此21n m x x -≤-=≤ ②当01t <<时，432()()11 34241f h t t t t ---=+---．设432 = 342(41)t t t t v t +---，322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令()0v t '=，得t =．当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．）则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．因为m n ⊆［］［，，所以1n m -≤<③当0t <时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -≤综上所述，n m -≤【举一反三】【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )xf 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n xn x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<．所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【变式探究】(2020·湖南长郡中学模拟) 已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝e －2(e 为自然对数的底数)处取得极小值．(1)求实数a 的值；(2)当x ＞1时，求证：f (x )＞3(x －1)．【解析】(1)因为f (x )定义域为(0，＋∞)，f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，因为函数f (x )在x ＝e－2处取得极小值，所以f ′(e －2)＝0，即a ＋ln e －2＋1＝0，所以a ＝1，所以f ′(x )＝ln x ＋2.当f ′(x )＞0时，x ＞e －2；当f ′(x )＜0时，0＜x ＜e －2，所以f (x )在(0，e －2)上单调递减，在(e －2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在x ＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知a ＝1，所以f (x )＝x ＋x ln x . 令g (x )＝f (x )－3(x －1)，即g (x )＝x ln x －2x ＋3(x ＞0)． g ′(x )＝ln x －1，由g ′(x )＝0，得x ＝e.由g ′(x )＞0，得x ＞e ；由g ′(x )＜0，得0＜x ＜e.所以g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，所以g (x )在(1，＋∞)上的最小值为g (e)＝3－e ＞0.于是在(1，＋∞)上，都有g (x )≥g (e)＞0，所以f (x )＞3(x －1)．高频考点二不等式恒成立例2.【2019·浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦.【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=，所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()2f x a ≤等价于22ln 0x a a--≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t tx t =≥则2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>，故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=>⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a．综上所述，所求a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．【方法技巧】1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围。

【数学】2020届高考数学一轮复习：第三章函数、导数及其应用

第三章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数f ()和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 y ＝f ()，∈A对应f ：A →B 是一个映射2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f ()，∈A 中，叫做自变量，的取值范围A 叫做函数的定义域；与的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f ()|∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( ) A ．f ()＝2，g ()＝x 2B ．f ()＝(x )2x ，g ()＝x(x )2C ．f ()＝1，g ()＝(－1)0D ．f ()＝x 2－9x ＋3，g ()＝－3解析：选B 选项A 中，f ()＝2与g ()＝x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B 中，二者的定义域都为{|＞0}，对应关系也相同；选项C 中，f ()＝1的定义域为R ，g ()＝(－1)0的定义域为{|≠1}；选项D 中，f ()＝x 2－9x ＋3的定义域为{|≠－3}，g ()＝－3的定义域为R .2．若函数y ＝f ()的定义域为{|－3≤≤8，≠5}，值域为{y |－1≤y ≤2，y ≠0}，则y ＝f ()的图象可能是( )解析：选B 根据函数的概念，任意一个只能有唯一的y 值和它对应，故排除C 项；由定义域为{|－3≤≤8，≠5}排除A 、D 两项，故选B.3．函数f ()＝2x －1＋1x －2的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得≥0且≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________. 解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1. 答案：15．已知函数f ()＝a 3－2的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________. 解析：∵函数f ()＝a 3－2的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f ()＝－23－2， ∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f ()＝2的解为________．解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫log 212＝f (－1)＝0. 当＞0时，log 2＝2，得＝4；当≤0时，2＋＝2，得＝－2或＝1(舍去)．所以f ()＝2的解为－2或4. 答案：0 －2或42．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2＋5，则f ()＝________. 解析：令t ＝1x ， ∴＝1t . ∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f ()＝5x ＋1x 2(≠0)．答案：5x ＋1x 2(≠0)考点一函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．y ＝x －12x－log 2(4－2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2＞0，解得∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y ＝f (2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f ()的定义域为________．解析：因为y ＝f (2－1)的定义域为[－3，3]，所以∈[－3， 3 ]，2－1∈[－1,2]，所以y ＝f ()的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f ()＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________．解析：若函数f ()＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则2＋a ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f ()的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g ())的定义域由不等式a ≤g ()≤b 求出； ②若已知函数f (g ())的定义域为[a ，b ]，则f ()的定义域为g ()在∈[a ，b ]时的值域．考点二求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2＋1x 2，求f ()的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg ，求f ()的解析式；(3)已知f ()是二次函数，且f (0)＝0，f (＋1)＝f ()＋＋1，求f ()； (4)已知函数f ()满足f (－)＋2f ()＝2，求f ()的解析式．解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f ()＝2－2，≥2或≤－2，故f ()的解析式是f ()＝2－2，≥2或≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又＞0，所以t ＞1，故f ()的解析式是f ()＝lg 2x －1，＞1.(3)(待定系数法)设f ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f ()＝a 2＋b ，又由f (＋1)＝f ()＋＋1，得a (＋1)2＋b (＋1)＝a 2＋b ＋＋1，即a 2＋(2a ＋b )＋a ＋b ＝a 2＋(b ＋1)＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f ()＝122＋12，∈R .(4)(解方程组法)由f (－)＋2f ()＝2，① 得f ()＋2f (－)＝2－，② ①×2－②，得，3f ()＝2＋1－2－. 即f ()＝2x ＋1－2－x3.所以f ()的解析式是f ()＝2x ＋1－2－x3.[由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f (－1)＝xx ＋1，则函数f ()的解析式为( ) A ．f ()＝x ＋1x ＋2B ．f ()＝x x ＋1 C ．f ()＝x －1xD ．f ()＝1x ＋2解析：选A 令－1＝t ，则＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2，即f ()＝x ＋1x ＋2.2．若二次函数g ()满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g ()＝________. 解析：设g ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g ()＝32－2.答案：32－23．已知f ()满足2f ()＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3，则f ()＝________. 解析：∵2f ()＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3，①把①中的换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f ()＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f ()＝2－1x (≠0)．答案：2－1x(≠0)考点三分段函数(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x ，x ＜0，则f (－2)＋f (4)＝( )A.109 B.19 C ．87D.7309解析：选B 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜1，3x －7，x ≥1，则不等式f ()＜2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：选A 当＜1时，f ()＜2可化为log 2(1－)＜2，即0＜1－＜4，解得－3＜＜1；当≥1时，f ()＜2可化为3－7＜2，即3＜9，得1≤＜2.综上，不等式f ()＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝________，若f (f (a ))＝1，则实数a 的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫23＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝2.对f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )＜1，2f (a )，f (a )≥1，当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1；当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2＞1，∴f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a ＜23，23a －1，23≤a ＜1，22a，a ≥1，由f (f (a ))＝1，得3(3a －1)－1＝1，∴a ＝59＜23，符合题意；23a －1＝1，a ＝13＜23，舍去；22a ＝1不成立，舍去．故所求实数a 的值为59.答案：259[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起．[演练冲关]1．已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＋2x －2，x ≥0，f (x ＋3)，x ＜0，则f (－2 019)＝________.解析：因为当＜0时，f ()＝f (＋3)，所以f (－2 019)＝f (－3×673)＝f (0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值为________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，－(x －1)2＋1，x ＜0，作出函数f ()的大致图象如图所示，由图象可知，函数f ()在R 上单调递增，由f (2－a 2)＞f (|a |)，得2－a 2＞|a |.当a ≥0时，有2－a 2＞a ，即(a ＋2)(a －1)＜0，解得－2＜a ＜1，所以0≤a ＜1；当a ＜0时，有2－a 2＞－a ，即(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2，所以－1＜a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2－4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(2，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得＞2且≠3，所以函数y ＝log 2(2－4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2－5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12－1，则＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 3．(2018·萧山质检)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4. 4．已知f ()满足f ⎝⎛⎭⎫3x －1＝lg ，则f ⎝⎛⎭⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得＝10，∴f ⎝⎛⎭⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (f ())＝1的解集为____________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12. ∵＜0时，0＜e ＜1，＝0时，e ＝1， ∴当f ()≤0时，由方程f (f ())＝1，可得f ()＝0，即ln ＝0，解得＝1.当f ()＞0时，由方程f (f ())＝1，可得ln f ()＝1，f ()＝e ，即ln ＝e ，解得＝e e . 答案：12{1，e e }二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f ()＝||，若f (0)＝4，则0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B 当≥0时，f ()＝2，f (0)＝4，即20＝4，解得0＝2.当＜0时，f ()＝－2，f (0)＝4，即－20＝4，无解．所以0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f ()＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3， ∴3＜≤4或2＜＜3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f ()的定义域是[1,2 019]，则函数g ()＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤＋1≤2 019，解得0≤≤2 018，又≠1，所以函数g ()＝f (x ＋1)x －1的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎣⎡⎭⎫－1，12D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意知y ＝ln (≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f ()的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C.6．(2018·湖州月考)定义在R 上的函数g ()满足：g ()＋2g (－)＝e ＋2e x －9，则g ()＝________.解析：∵g ()＋2g (－)＝e ＋2e x －9， ①∴g (－)＋2g ()＝e －＋2e －x－9，即g (－)＋2g ()＝2e ＋1e x －9，②由①②联立解得g ()＝e －3. 答案：e －37．(2018·嘉兴高三测试)已知a 为实数，设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，而2a ＋2＞2，∴f (2a ＋2)＝log 2(2a ＋2－2)＝a . 答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝12，则a ＝________；若f ()的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋1＝12，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8. 由y ＝＋1，≤0，得y ≤1；由y ＝＋4x －a ，＞0，得y ≥4－a ， ∵f ()的值域为R ，∴4－a ≤1，解得a ≥3.答案：8 [3，＋∞)9．记为不超过的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2[x ]－1，x ≥1，x 2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f ()≤3的解集为________．解析：根据的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3. 当≥1时，由f ()＝2－1≤3，得≤2，所以∈[1,3)；当＜1时，由f ()＝2＋1≤3，得－2≤＜1.故原不等式的解集为[－2，3)．答案：3 [－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝mx上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x 的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2. 所以y ＝4x ，y ＝2＋2.(2)因为y ＝2＋2，令＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 2．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，若f (m )＞f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，当m ＞0时，f (m )＞f (－m )，即－ln m ＞ln m ，即ln m＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )＞f (－m )，即ln(－m )＞－ln(－m )，即ln(－m )＞0，解得m ＜－1. 综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋m ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)的关系图．(1)求出y 关于的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， ∴y ＝x 2200＋x100(≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤≤70.∵≥0，∴0≤≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f()的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1，2当1＜2时，都有f(1)＜f(2)，那么就说函数f()在区间D上是增函数当1＜2时，都有f(1)＞f(2)，那么就说函数f()在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f()在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f()在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f()的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f()的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的∈I，都有f()≤M；②存在0∈I，使得f(0)＝M①对于任意∈I，都有f()≥M；②存在0∈I，使得f(0)＝M结论M为函数y＝f()的最大值M为函数y＝f()的最小值[小题体验]1．给定函数①y＝12，②y＝log12(＋1)，③y＝|－1|，④y＝2＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A．①②B．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝12在(0,1)上递增；②∵t ＝＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，∴y ＝log 12(＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|－1|在(0,1)上递减；④∵u ＝＋1在(0,1)上递增，且2＞1，∴y ＝2＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2019·绍兴调研)函数f ()＝⎝⎛⎭⎫13－log 2(＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13在R 上单调递减，y ＝log 2(＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f ()在[－1,1]上单调递减，故f ()在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：33．(2018·丽水模拟)已知函数 f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x ＞1，－x 2－2x ＋3，x ≤1，则f (f (3))＝________，f ()的单调递减区间是________．解析：∵f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋3＝4. 当≤1时，f ()＝－2－2＋3＝－(＋1)2＋4，对称轴＝－1，f ()在[－1,1]上单调递减，且f (1)＝0，当＞1时，f ()单调递减，且f ()＜f (1)＝0， ∴f ()在[－1，＋∞)上单调递减．答案：4 [－1，＋∞)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f ()在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f ()＝1x.3．两函数f ()，g ()在∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f ()＋g ()也为增(减)函数，但f ()·g ()，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f ()的图象如图所示，则函数y ＝f ()的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7] 2．函数f ()＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________，最小值是________．解析：因为f ()＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，所以当＝－6时，f ()取得最大值－27.当＝－2时，f ()取得最小值－23.答案：－27 －23考点一函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f ()＝3－ B ．f ()＝2－3 C ．f ()＝－1x ＋1D ．f ()＝－||解析：选C 当＞0时，f ()＝3－为减函数；当∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f ()＝2－3为减函数，当∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f ()＝2－3为增函数；当∈(0，＋∞)时，f ()＝－1x ＋1为增函数；当∈(0，＋∞)时，f ()＝－||为减函数．2．试讨论函数f ()＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：(定义法)设－1＜1＜2＜1，f ()＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (1)－f (2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜1＜2＜1，所以2－1＞0，1－1＜0，2－1＜0，故当a ＞0时，f (1)－f (2)＞0，即f (1)＞f (2)，函数f ()在(－1,1)上递减；当a＜0时，f(1)－f(2)＜0，即f(1)＜f(2)，函数f()在(－1,1)上递增．法二：(导数法)f′()＝(ax)′(x－1)－ax(x－1)′(x－1)2＝a(x－1)－ax(x－1)2＝－a(x－1)2.当a＞0时，f′()＜0，函数f()在(－1,1)上递减；当a＜0时，f′()＞0，函数f()在(－1,1)上递增．3．判断函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取1，2∈(－1，＋∞)，且1＜2，则y1－y2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1(x1＋1)(x2＋1).∵1＞－1，2＞－1，∴1＋1＞0，2＋1＞0，又1＜2，∴2－1＞0，∴x2－x1(x1＋1)(x2＋1)＞0，即y1－y2＞0.∴y1＞y2，∴函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减．法二：y＝x＋2x＋1＝1＋1x＋1.∵y＝＋1在(－1，＋∞)上是增函数，∴y＝1x＋1在(－1，＋∞)上是减函数，∴y＝1＋1x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤(1)定义法，其基本步骤：取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤：求导函数确定符号得出结论考点二求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－2＋2||＋1； (2)y ＝log 12(2－3＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝2－3＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝2－3＋2的复合函数．令u ＝2－3＋2＞0，则＜1或＞2.∴函数y ＝log 12(2－3＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝2－3＋2的对称轴＝32，且开口向上．∴u ＝2－3＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(2－3＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．函数f ()＝⎝⎛⎭⎫122x x -的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令t ＝x －x 2，由－2≥0，得0≤≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以f ()的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1. 2．(2018·温州十校联考)函数f ()＝lg(9－2)的定义域为________；其单调递增区间为________．解析：对于函数f ()＝lg(9－2)，令t ＝9－2＞0，解得－3＜＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．令g ()＝9－2，则函数f ()＝lg(g ())，又函数g ()在定义域内的增区间为(－3,0]．所以函数f ()＝lg(9－2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]．答案：(－3,3) (－3,0]考点三函数单调性的应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．(2018·台州三区适应性考试)已知函数f ()＝2＋a 3＋b sin (a ＞0，b ＞0)，若∈[0,1]时，f ()的最大值为3，则∈[－1,0)时，f ()的最小值是________．解析：因为函数f ()＝2＋a 3＋b sin 在区间[－1,1]上为单调递增函数．所以当∈[0,1]时，f ()的最大值为f (1)＝2＋a ·13＋b sin 1＝3，a ＋b sin 1＝1，当∈[－1,0)时，f ()的最小值为f (－1)＝2－1＋a ·(－1)3＋b sin(－1)＝12－(a ＋b sin 1)＝－12.答案：－12角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2018·杭州模拟)已知函数f ()的图象关于直线＝1对称，当2＞1＞1时，[f (2)－f (1)](2－1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选D 因f ()的图象关于直线＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52. 由2＞1＞1时，[f (2)－f (1)](2－1)＜0恒成立，知f ()在(1，＋∞)上单调递减． ∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c . 角度三：解函数不等式3．已知函数f ()为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由f ()为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0. ∴－1＜＜0或0＜＜1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．若f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫18，13 B.⎣⎡⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析：选A 由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13，故选A.[通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]1．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数f ()在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f ()的图象如图所示，由图象可知，若f ()在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.2．已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－2)＞f ()，则实数的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当≤0时，函数f ()＝3为增函数，当＞0时，f ()＝ln(＋1)也是增函数，∴函数f ()是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－2)＞f ()等价于2－2＞，即2＋－2＜0，解得－2＜＜1.3．(2017·浙江名校高考联盟联考)若函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________，实数b 的取值范围是________．解析：当a ＞0时，函数f ()＝a |＋b |－1在(－∞，－b ]上是减函数，在(－b ，＋∞)上是增函数，不满足函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＝0时，f ()＝－1，不满足函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＜0时，函数f ()＝a |＋b |－1在(－∞，－b ]上是增函数，在(－b ，＋∞)上是减函数，因为函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，所以a ＜0且－b ≤1，即a ＜0且b ≥－1.答案：(－∞，0) [－1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－B ．y ＝C ．y ＝log 2D ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－与y ＝的定义域为R ，且只有y ＝在R 上是增函数． 2．(2018·绍兴模拟)已知函数f ()的图象关于(1,0)对称，当＞1时，f ()＝log a (－1)，且f (3)＝－1，若1＋2＜2，(1－1)(2－1)＜0，则( )A ．f (1)＋f (2)＜0B ．f (1)＋f (2)＞0C ．f (1)＋f (2)可能为0D ．f (1)＋f (2)可正可负解析：选B ∵当＞1时，f ()＝log a (－1)， f (3)＝log a 2＝－1，∴a ＝12，故函数f ()在(1，＋∞)上为减函数，若1＋2＜2，(1－1)(2－1)＜0，不妨令1＜1，2＞1，则2＜2－1， f (2)＞f (2－1)，又∵函数f ()的图象关于(1,0)对称， ∴f (1)＝－f (2－1)，此时f (1)＋f (2)＝－f (2－1)＋f (2)＞0，故选B.3．已知函数f ()＝log 4(4－||)，则f ()的单调递增区间是________；f (0)＋4f (2)＝________. 解析：令y ＝log 4u ，其中u ＝4－||，且u ＝4－||＞0，由于函数y ＝log 4u 是单调递增函数，故要求f ()的单调递增区间，只需求u ＝4－||的单调递增区间，得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |＞0，x ≤0，解得－4＜≤0，所以f ()的单调递增区间是(－4,0]；易得f (0)＋4f (2)＝log 44＋4log 42＝1＋2＝3.答案：(－4,0] 34．函数y ＝x －(≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即＝14时，y ma ＝14.答案：145．(2018·杭州十二校联考)设min{，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x ＜y ，若定义域为R 的函数f ()，g ()满足f ()＋g ()＝2xx 2＋8，则min{f ()，g ()}的最大值为____________．解析：设min{f ()，g ()}＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤f (x )，m ≤g (x )⇒2m ≤f ()＋g ()⇒m ≤xx 2＋8，显然当m 取到最大值时，＞0，∴x x 2＋8＝1x ＋8x ≤12 x ·8x＝28，∴m ≤28，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )，x ＝8x ，x ＞0时等号成立，即m 的最大值是28. 答案：28二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f ()＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝2－2－3，由t ≥0，即2－2－3≥0，解得≤－1或≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝2－2－3的图象的对称轴为＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f ()的单调递增区间为[3，＋∞)．2．(2018·浙江名校协作体联考)函数y ＝＋x 2－2x ＋3的值域为( )A ．[1＋2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选D 因为函数y ＝＋x 2－2x ＋3＝＋(x －1)2＋2，所以当≥1时，函数为增函数，所以y ≥2＋1；当＜1时，设－1＝t ，则t ＜0，函数y ＝t ＋t 2＋2＋1＝2t 2＋2－t＋1，所以函数在(－∞，0)上为增函数，当t →0时，y →2＋1，当t →－∞时，y →1，所以1＜y ＜2＋1.综上所述，函数y ＝＋x 2－2x ＋3的值域为(1，＋∞)．3．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f ()＝(1⊕)－(2⊕)，∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤≤1时，f ()＝－2，当1＜≤2时，f ()＝3－2.∵f ()＝－2，f ()＝3－2在定义域内都为增函数． ∴f ()的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a ＞0，且a ≠1.又函数f ()在R 上单调，则二次函数y ＝a 2－－14的图象开口向上，所以函数f ()在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.5．(2018·湖州模拟)若f ()是定义在(－1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是( ) A ．f (sin )＞f (cos ) B ．f⎝⎛⎭⎫x 2＋12＞f ()C ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1D ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x解析：选D A ．∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，sin ＞cos ， ∵f ()在(－1,1)上为减函数， ∴f (sin )＜f (cos )，∴该选项错误； B ．∈(－1,1)，∴x 2＋12－＝12(－1)2＞0，∴x 2＋12＞，且f ()在(－1,1)上单调递减，∴f⎝⎛⎭⎫x 2＋12＜f ()，∴该选项错误；C.13x ＋1－12x ＋1＝2x－3x(3x ＋1)(2x ＋1)＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1(3x ＋1)(2x ＋1)， ∵∈(－1,1)，∴∈(－1,0)时，⎝⎛⎭⎫23＞1， ∴13x ＋1＞12x ＋1，且f ()在(－1,1)上为减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1＜f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1，∴该选项错误；D.13x ＋3－x －12x ＋2－x ＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫16x (3x ＋3－x )(2x ＋2－x )， ∴①∈(－1,0]时，⎝⎛⎭⎫23－1≥0,1－⎝⎛⎭⎫16≤0， ∴13x＋3－x ≤12x ＋2－x. ②∈(0,1)时，⎝⎛⎭⎫23－1＜0,1－⎝⎛⎭⎫16＞0， ∴13x＋3－x ＜12x ＋2－x， ∴综上得，13x ＋3－x ≤12x ＋2－x，∵f ()为(－1,1)上的减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x ，∴该选项正确．6．(2019·金华四校联考)若函数f ()＝2＋a |－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ()＝2＋a |－2|，∴f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f ()在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]7．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g ()是二次函数，若函数f (g ())的值域是[0，＋∞)，则函数g ()的值域是________．解析：因为函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f ()的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f ()的值域是(－1，＋∞)， f (g ())的值域是[0，＋∞)，因为g ()是二次函数，所以g ()的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．若函数f ()＝a (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g ()＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g ()在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f ()在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f ()在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．(2018·杭州五校联考)函数y ＝f ()的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使得|f ()|≥M ||对一切实数均成立，则称f ()为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f ()＝2，g ()＝3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f ()＝2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．解：(1)函数f ()＝2.∵|2|＝2||≥2||，即对于一切实数使得|f ()|≥2||成立， ∴函数f ()＝2是“圆锥托底型”函数．对于g ()＝3，如果存在M ＞0满足|3|≥M ||，而当＝M 2时，由⎪⎪⎪⎪M 23≥M ⎪⎪⎪⎪M 2， ∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾， ∴g ()＝3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f ()＝2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M ＞0，使得|f ()|＝|2＋1|≥M ||对于任意实数恒成立．∴≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝||＋1|x |，此时当＝±1时，||＋1|x |取得最小值2， ∴M ≤2.而当＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2. 10．已知函数f ()＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f ()在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f ()＜2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：当∈(0，＋∞)时，f ()＝a －1x ，设0＜1＜2，则12＞0，2－1＞0，f (2)－f (1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，所以f ()在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2在(1，＋∞)上恒成立，设h ()＝2＋1x ，则a ＜h ()在(1，＋∞)上恒成立．任取1，2∈(1，＋∞)且1＜2， h (1)－h (2)＝(1－2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜1＜2，所以1－2＜0，12＞1，所以2－1x 1x 2＞0，所以h (1)＜h (2)，所以h ()在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知减函数f ()的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n ＞0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n ＞0解析：选A 设F ()＝f ()－f (－)，由于f ()是R 上的减函数，∴f (－)是R 上的增函数，－f (－)是R 上的减函数， ∴F ()是R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )，即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A. 2．已知函数f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f ()的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f ()在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意∈[2，＋∞)恒有f ()＞0，试确定a 的取值范围．解：(1)由＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，2－2＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{|＞0且≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{|0＜＜1－1－a 或＞1＋1－a }．(2)设g ()＝＋a x －2，当a ∈(1,4)，∈[2，＋∞)时，g ′()＝1－a x 2＝x 2－ax 2＞0恒成立，所以g ()＝＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意∈[2，＋∞)恒有f ()＞0，即＋ax －2＞1对任意∈[2，＋∞)恒成立．所以a ＞3－2，令h ()＝3－2，而h ()＝3－2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h ()ma ＝h (2)＝2，所以a ＞2. 即a 的取值范围为(2，＋∞)．第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f ()的定义域内任意一个，都有f (－)＝f ()，那么函数f ()就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f ()的定义域内任意一个，都有f (－)＝－f ()，那么函数f ()就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f ()，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的任何值时，都有f (＋T )＝f ()，那么就称函数f ()为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f ()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f ()的最小正周期．[小题体验]1．(2018·杭州模拟)已知函数f ()是奇函数，且当＜0时，f ()＝22－1x ，则f (1)的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 因为函数f ()为奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－1(－1)＝－3，故选A.2．(2018·台州月考)偶函数y ＝f ()在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－π) B ．f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－1)＞f (－π) C ．f (－π)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．f (－1)＞f (－π)＞f ⎝⎛⎭⎫π3解析：选A 由题意得，0＜1＜π3＜π＜4⇒f (－1)＝f (1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (π)＝f (－π)，故选A. 3．(2018·金华模拟)已知函数y ＝f ()为R 上的偶函数，当≥0时，f ()＝log 2(＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0))＝________________.解析：∵当≥0时，f ()＝log 2(＋2)－3， ∴f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0， f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f ()为R 上的偶函数， ∴f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0 －11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f ()的奇偶性时，必须对定义域内的每一个，均有f (－)＝－f ()或f (－)＝f ()，而不能说存在0使f (－0)＝－f (0)或f (－0)＝f (0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f ()＝a 2＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f ()＝a 2＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－)＝f ()，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(2018·宁波模拟)若函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g (2x )，x ＜0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2)＝f ()，所以g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0 －25考点一函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f ()＝(＋1)1－x1＋x； (2)f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f ()＝4－x 2x 2；(4)f ()＝log a (＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)．解：(1)因为f ()有意义，则满足1－x1＋x≥0，所以－1＜≤1，所以f ()的定义域不关于原点对称，所以f ()为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当＞0时，f ()＝－2＋2＋1，－＜0，f (－)＝(－)2＋2(－)－1＝2－2－1＝－f ()；当＜0时，f ()＝2＋2－1，－＞0，f (－)＝－(－)2＋2(－)＋1＝－2－2＋1＝－f ()．所以f ()为奇函数．法二：(图象法)作出函数f ()的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f ()为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤≤2且≠0，所以定义域关于原点对称．又f (－)＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－)＝f ()．故函数f ()为偶函数． (4)函数的定义域为R ，因为f (－)＋f ()＝log a [－＋(－x )2＋1]＋log a (＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－)＋log a (x 2＋1＋) ＝log a [(x 2＋1－)(x 2＋1＋)] ＝log a (2＋1－2)＝log a 1＝0，即f (－)＝－f ()，所以f ()为奇函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f ()，g ()的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－)与f ()的关系，只有对各段上的都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，若对任意的n ∈N *，定义f n ()＝f {f [f …n 个f ()]}，则f 2019(2)的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f ()满足f (＋2)＝f ()，且当∈[0,2)时，f ()＝2－2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：(1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C. (2)∵f (＋2)＝f ()， ∴函数f ()的周期T ＝2， ∵当∈[0,2)时，f ()＝2－2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. 答案：(1)C (2)1 010[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论 (1)若f (＋a )＝－f ()，则T ＝2a . (2)若f (＋a )＝1f (x )，则T ＝2a . (3)若f (＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)． [即时应用]1．已知函数f ()的定义域为R ，当＜0时，f ()＝3－1；当－1≤≤1时，f (－)＝－f ()；当＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 当＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－。

2020版高考数学一轮总复习第三单元导数及其应用课时5导数的综合应用——导数与方程课件文新人教A版

问题转化为函数 h(x)＝lnxx与 m(x)＝x2－2ex＋a 有一个交
点时，求 a 的值．
由
h(x)＝lnx
x，得
h′(x)＝1－xl2n
x .
令 h′(x)＝0，得 x＝e.
当 0<x<e 时，h′(x)>0；当 x>e 时，h′(x)<0.
所以 h(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减．
因为 f′(x)＝3x2－12，令 f′(x)＝3x2－12＝0，得 x＝±2，
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
f′(x)
＋
0
(－2,2) －
2
(2，＋∞)
0
＋
f(x)
a＋16
a－16
由此可得到 f(x)的大致图象(如下图)，
由 a≥16 得，a＋16>0，a－16≥0，当 a＝16 时，f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点；当 a>16 时，f(x)的图象与 x 轴只有 1 个交点．所以 f(x)的零点个数为 1 或 2.
点评：(1)利用 f(x)＝g(x)的解⇔y＝f(x)与 y＝g(x)的图象交点的横坐标，可将方程的解的问题转化为两函数图象的交点问题，从而可利用数形结合的思想方法进行求解．
(2)在具体转化时，要注意对方程 f(x)＝g(x)尽量进行同解变形，变到两边的函数是熟悉的形式或较简单的形式，以便于对其图象特征进行研究．
解：由 f(x)＝x－aex，可得 f′(x)＝1－aex. 下面分两种情况讨论： (1)a≤0 时，f′(x)>0 在 R 上恒成立，可得 f(x)在 R 上单调递增，不合题意． (2)a>0 时，由 f′(x)＝0，得 x＝－ln a. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

高考数学一轮复习第3章导数及其应用章末总结分层演练文-人教版高三全册数学试题

第3章导数及其应用章末总结二、根置教材，考在变中一、选择题1．(选修11 P 110A 组T 2(2)改编)曲线f (x )＝e xln x 在x ＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．eB ．e 2C ．e 4D ．2e解析：选B.f ′(x )＝e xln x ＋e xx ＝e x(ln x ＋1x)，所以f ′(1)＝e ，f (1)＝0，所以曲线f (x )＝e xln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)，令x ＝0，得y ＝－e ，令y ＝0，得x ＝1.所以切线与坐标轴围成的三角形面积为S ＝12×e ×1＝e 2，故选B.2．(选修11 P 104 A 组T 2改编)将一边长为4的正方形铁片四角截去大小相同的四个小正方形后，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为( )A ．4B.12827C ．6D ．8解析：选B.设截去的小正方形的边长为x ，则做成的方盒体积V (x )＝x (4－2x )2＝4x 3－16x 2＋16x (0<x <2)，V ′(x )＝12x 2－32x ＋16＝4(3x 2－8x ＋4)＝4(x －2)(3x －2)，当V ′(x )＝0时，x ＝23；V ′(x )>0时，0<x <23；V ′(x )<0时，23<x <2，所以V (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上是减函数，所以V (x )max ＝V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝12827.选B.3．(选修11 P 99 B 组(3)改编)已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x－x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，则实数a 的取值X 围为( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )＝e x －x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，所以f (x )＝e x－x ＋a的最小值大于零．由f ′(x )＝e x－1＝0，得x ＝0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )＝e x－x ＋a 的最小值为f (0)＝1＋a ，由1＋a >0，得实数a 的取值X 围为(－1，＋∞)．4．(选修11 P 99 A 组T 6(2)改编)已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则( )A ．k ≥－3B ．k ＞－3C ．k ≤－3D ．k ＜－3解析：选C.由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：又(－3)＝28，(1)＝－4，(2)＝3，()在区间[，2]上的最大值为28，所以≤－3.故选C.二、填空题5．(选修11 P 99 B 组(4)改编)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．解析：因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1，当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.令f ′(x )>0，得x <1a ，所以f (x )在(0，1a )上单调递增；令f ′(x )<0，得x >1a ，所以f (x )在(1a，2)上单调递减．所以当x ∈(0，2)时，f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，所以ln 1a＝0，所以a ＝1.答案：16．(选修11 P 98练习(2)改编)设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．解析：若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立；当x ＞0，即x ∈(0，1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而k ≥4；当x ＜0，即x ∈[－1，0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4. 答案：4三、解答题7．(选修11 P 99B 组(4)改编)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋12x －m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2.求证：x 1＋x 2>1.解：(1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，由f ′(x )＝1－xx >0，得0<x <1；由f ′(x )＝1－xx<0，得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，函数f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：根据题意得，g (x )＝ln x ＋12x －m (x >0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x －m 的两个零点，所以ln x 1＋12x 1－m ＝0，ln x 2＋12x 2－m ＝0.两式相减，可得ln x 1x 2＝12x 2－12x 1，即ln x 1x 2＝x 1－x 22x 2x 1，故x 1x 2＝x 1－x 22lnx 1x 2.所以x 1＝x 1x 2－12ln x 1x 2，x 2＝1－x 2x 12ln x 1x 2.令t ＝x 1x 2，其中0<t <1，则x 1＋x 2＝t －12ln t ＋1－1t 2ln t ＝t －1t 2ln t.构造函数h (t )＝t －1t－2ln t (0<t <1)，则h ′(t )＝（t －1）2t2. 因为0<t <1，所以h ′(t )>0恒成立，故h (t )<h (1)，即t －1t－2ln t <0.又因为ln t <0，所以t －1t2ln t>1，故x 1＋x 2>1.8．(选修11 P 99B 组(1)(3)改编)设函数f (x )＝e x＋a sin x ＋b . (1)当a ＝1，x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，求b 的X 围；(2)若f (x )在x ＝0处的切线为x －y －1＝0，求a 、b 的值．并证明当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>ln x .解：(1)由f (x )＝e x＋a sin x ＋b ，当a ＝1时，得f ′(x )＝e x＋cos x .当x ∈[0，＋∞)时，e x≥1，cos x ∈[－1，1]，且当cos x ＝－1时，x ＝2k π＋π，k∈N ，此时e x>1.所以f ′(x )＝e x＋cos x >0，即f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝1＋b ，由f (x )≥0恒成立，得1＋b ≥0，所以b ≥－1.(2)由f (x )＝e x＋a sin x ＋b 得f ′(x )＝e x ＋a cos x ，且f (0)＝1＋b .由题意得f ′(0)＝e 0＋a ＝1，所以a ＝0. 又(0，1＋b )在切线x －y －1＝0上．所以0－1－b －1＝0.所以b ＝－2.所以f (x )＝e x－2.先证e x －2>x －1，即e x－x －1>0(x >0)，令g (x )＝e x －x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x－1>0，所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (0)＝0，即e x－2>x －1.①再证x －1≥ln x ，即x －1－ln x ≥0(x >0)，令φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x，φ′(x )＝0时，x ＝1，φ′(x )>0时，x >1，φ′(x )<0时，0<x <1.所以φ(x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )min ＝φ(1)＝0.即x －1－ln x ≥0，所以x －1≥ln x ．②由①②得e x－2>ln x ，即f (x )>ln x 在(0，＋∞)上成立．。

2020届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用教师用书(PDF,含解析)

的各根按由小到大的顺序排列起来ꎬ然后用这些点把函数ｆ(ｘ)
的定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ域分成若干个小区间ꎻ (４) 确定ｆ ′( ｘ) 在各个区间内的符号ꎬ根据符号判定函数在
每个区间内的单调性. ２.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (１)由可导函数ｆ( ｘ) 在区间[ ａꎬｂ] 上单调递增( 减) 可知
结论
设函数ｆ(ｘ)在点ｘ０处连续. ( １) 如果在ｘ０附近的左侧ｆ ′( ｘ) >０ꎬ右侧ｆ ′( ｘ) <０ꎬ那么ｆ( ｘ０ ) 是极大值ꎻ ( ２) 如果在ｘ０附近的左侧ｆ ′( ｘ) <０ꎬ右侧ｆ ′( ｘ) >０ꎬ那么ｆ( ｘ０ ) 是极小值ꎻ (３) 如果在ｘ０附近的左、右两侧导数值同号ꎬ 那么ｆ(ｘ０) 不是极值
３８５年高考３年模拟Ｂ版( 教师用书)
§ ３.２导数的应用
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优化问题 → 用函数表示成数学问题
↑
↓
优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题
对应学生用书起始页码Ｐ５６
一、利用导数解决函数的单调性问题
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2021版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习第3章导数及其应用 3.3 文档

1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x 中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，假如f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了便利，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形肯定在x轴下方．(×)(4)若f(x)是偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(√)(5)若f(x)是奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.(√)(6)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是ʃ10(x2－x)d x.(×)1．定积分ʃ2－2|x2－2x|d x等于()A．5B．6C．7D．8答案 D解析ʃ2－2|x2－2x|d x＝ʃ0－2(x2－2x)d x＋ʃ20(2x－x2)d x ＝(x33－x2)|0－2＋(x2－x33)|2＝83＋4＋4－83＝8.2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4答案 D解析如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S阴＝ʃ20(4x－x3)d x＝(2x2－14x4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25ln113C．4＋25ln5 D．4＋50ln2答案 C解析令v(t)＝0得t＝4或t＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃ40(7－3t＋251＋t)d t＝(7t－32t2＋25ln(1＋t))|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.4．(2021·湖南)ʃ20(x－1)d x＝________.答案0解析ʃ20(x－1)d x＝(12x2－x)|20＝12×22－2＝0.5．(教材改编)若ʃT0x2d x＝9，则常数T的值为________．答案 3解析∵ʃT0x2d x＝13x3|T0＝13×T3＝9.∴T 3＝27，∴T ＝ 3.题型一定积分的计算例1 (1)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.(2)设f (x )＝错误!则ʃ错误!f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56D ．不存在答案 (1)23(2)C解析 (1)ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x 2d x ＝2·x 33|10＝23.(2)如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 思维升华运用微积分基本定理求定积分时要留意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有确定值符号的被积函数，要先去掉确定值号再求积分．(1)若ʃπ20(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－3D. 3 (2)定积分ʃ20|x －1|d x ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)ʃπ20(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )|π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.(2)ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.题型二定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 答案 π2＋e －1e －2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x . 由于ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，即ʃ1－11－x 2d x ＝π2，而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e－2.命题点2 利用定积分求平面图形面积例3 (1)如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( ) A.23 B.13 C.12D.14(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为43，则k ＝________.答案 (1)D (2)2解析 (1)由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝ʃ120(14－x 2)d x ＋ʃ112(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x )|112＝14.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为ʃk 0(kx －x 2)d x ＝(k 2x 2－13x 3)|k 0＝k 32－k 33＝43，即k 3＝8，解得k ＝2.思维升华 (1)依据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.题型三定积分在物理中的应用例4 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6s 间的运动路程为______m. 答案 494解析由图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)，2(1≤t ≤3)，13t ＋1(3≤t ≤6).由变速直线运动的路程公式，可得 s ＝ʃ612v (t )d t ＝ʃ1122t d t ＋ʃ312d t ＋ʃ63(13t ＋1)d t ＝t 2|112＋2t |31＋(16t 2＋t )|63＝494(m)．所以物体在12s ～6s 间的运动路程是494m.思维升华定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：假如变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为_______________________________________________________________．答案 342解析变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝ʃ101F (x )d x ＝ʃ101(x 2＋1)d x＝(13x 3＋x )|101＝342，即变力F (x )对质点M 所做的功为342.5．利用定积分求面积时易错点典例已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，则函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．易错分析本题在依据函数图象写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错．解析由题意，F (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1，则xF (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛01210x 2d x ＋⎠⎛121(－10x 2＋10x )d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪12＋(5x 2－103x 3)⎪⎪⎪112＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54. 答案 54温馨提示 (1)利用定积分求图形的面积要依据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积；(2)留意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正．[方法与技巧]1．求定积分的基本方法：(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )． (2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后依据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间． [失误与防范]1．若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和． 2．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．3．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要留意：面积非负，而定积分的结果可以为负．A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223D ．22－2答案 D解析由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，解得x ＝π4.故图中阴影部分的面积S ＝π40⎰(cos x －sin x )d x ＋π2π4⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )π40|＋(－cos x －sin x )π2π4|＝sin π4＋cos π4－cos0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)3．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.3JB.233JC.433JD ．23J答案 C解析 ʃ21F (x )cos30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为433J.4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( ) A.2π5B.43C.32D.π2答案 B解析依据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)．由于f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43.5．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 A解析依据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.6．ʃ10(e x＋x )d x ＝________.答案 e －12解析 ʃ10(e x ＋x )d x ＝(e x ＋12x 2)|10＝e ＋12－1 ＝e －12.7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析所求面积S ＝ʃπ3－π3cos x d x ＝sin x |π3－π3＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案 36解析由题意知，力F (x )所做的功为W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x＝5×2＋(32x 2＋4x )|42 ＝10＋[32×42＋4×4－(32×22＋4×2)]＝36(焦)．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31 ＝23＋16＋43＝136. 10．在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t (单位：s)所走过的路程s ＝4t 2(单位：m)，若介质阻力F 与物体的运动速度v 成正比，且当v ＝10m /s 时，F ＝5 N ，求物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功．解 ∵物体经过时间t 所走过的路程s ＝4t 2， ∴速度v (t )＝s ′＝8t .设F ＝k v (t )，由“当v ＝10m/s 时，F ＝5N ”知k ＝12，∴F ＝4t .d W ＝F d s ＝4t ·d(4t 2)＝32t 2d t .∵s ∈[1,4]，∴t ∈[12，1]，∴物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功 W ＝ʃ11232t 2d t ＝32t 33|112＝283(J)．B 组专项力量提升 (时间：15分钟)11．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13.故选B. 12．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.13．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8答案 A解析 S ＝ʃm 20(m －x )d x ＝(mx －23x 32)|m 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.14．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s 至第2s 间的1s 内经过的路程是________m. 答案 6.5解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21 ＝32×4＋4－(32＋2)＝10－72＝132(m)． 15．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________．答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.。

2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.导数的应用课时1导数与函数的单调性文

2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性文题型一不含参数的函数的单调性例1 求函数f (x )＝ln xx的单调区间．解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x x ，所以f ′(x )＝1－ln x x2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．思维升华确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ．令f ′(x )＝x cos x ≥0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.题型二含参数的函数的单调性例2 已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋a ＋1x－1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当－12≤a ≤0时，讨论f (x )的单调性．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，此时f ′(x )＝1x ＋1－2x 2，f ′(2)＝12＋1－24＝1.又因为f (2)＝ln 2＋2＋22－1＝ln 2＋2，所以切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，整理得x －y ＋ln 2＝0.(2)f ′(x )＝1x ＋a －1＋a x 2＝ax 2＋x －a －1x2＝ax ＋a ＋1x －1x 2.当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2. 此时，在(0,1)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在(1，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当－12≤a <0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a x －1x 2.当－1＋a a ＝1，即a ＝－12时，f ′(x )＝－x －122x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当－12<a <0时，－1＋a a >1，此时在(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上，当a ＝0时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当－12<a <0时，f (x )在(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上单调递增；当a ＝－12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈(0, 1－a2a)时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0, 1－a2a)上单调递减，在( 1－a2a，＋∞)上单调递增．题型三利用函数单调性求参数例3 设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x)max ＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．引申探究在本例3(3)中，1．若g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何求解？解方法一 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数， ∴g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′－2≤0，g ′－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－3]．方法二 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，由题意可得g ′(x )≤0在(－2，－1)上恒成立，即a ≤x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x，x ∈(－2，－1)的值域为(－3，－2 2 ]， ∴a ≤－3，∴实数a 的取值范围是(－∞，－3]． 2．若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值．解 ∵g (x )的单调减区间为(－2，－1)， ∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3.3．若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．解由引申探究1知g (x )在(－2，－1)上为减函数，a 的范围是(－∞，－3]，若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x的值域为(－3，－2 2 ]，∴a 的范围是[－22，＋∞)，∴函数g (x )在(－2，－1)上单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)，故g (x )在(－2，－1)上不单调，实数a 的取值范围是(－3，－22)．思维升华已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．已知函数f (x )＝e xln x －a e x(a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x－a ＋ln x )e x，f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝(1x－a ＋ln x )e x，若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0，在x >0时恒成立．即1x－a ＋ln x ≤0，在x >0时恒成立．所以a ≥1x＋ln x ，在x >0时恒成立．令g (x )＝1x＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1；由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在[1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (x )＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)．故f (x )不可能是单调递减函数．若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0，在x >0时恒成立，即1x－a ＋ln x ≥0，在x >0时恒成立，所以a ≤1x＋ln x ，在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1]．5．分类讨论思想研究函数的单调性典例 (14分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．思维点拨依据g (x )的切线条件可得g ′(1)＝0得a ，b 关系，代g (x )后消去b ，对a 进行分类讨论确定g ′(x )的符号．规范解答解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .[2分]由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得：g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.[4分](2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－2a ＋1x ＋1x＝2ax －1x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1，[6分]当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，[7分]若12a <1，即a >12，由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；[9分]若12a >1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，[11分]若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0.[12分] 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，12a )上单调递减，在(12a ，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在(0，12a)上单调递增，在(12a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[14分] 温馨提醒 (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． (2)本题求解先分a ＝0或a >0两种情况，再比较12a和1的大小．[方法与技巧]1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域． 2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．[失误与防范]1．f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．2．注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．3．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是____________．答案 (2，＋∞)解析函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x. 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x>0，解得x >2.2．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________．答案 (－∞，52]解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52.3．设函数f (x )＝x －2sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2上的减函数，则实数t 的取值范围是______________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π－π6，k ∈Z解析由题意得f ′(x )＝1－2cos x ≤0，即cos x ≥12，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，∵f (x )＝x －2sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2上的减函数，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，∴2k π－π3≤t ≤2k π－π6(k ∈Z )．4．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则的大小关系为________________．答案解析设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即f x 1<f x 2，所以．5．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．答案 c <a <b解析依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f (12)，即有f (3)<f (0)<f (12)，c <a <b .6．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．7．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．答案 [34，＋∞)解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.8．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为____________．答案 (－∞，－2)解析 ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1. 由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3. 当x <－2时，g ′(x )<0，∴g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数．∴函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． 10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ， ∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1， ∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数． ∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值范围是(－∞，2]．B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ， ∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.12． f (x )，g (x ) (g (x )≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则f x g x<0的解集为____________．答案 (－3,0)∪(3，＋∞)解析 f x g x是奇函数， ∵当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x <0，则f x g x 在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数．又f (－3)＝0，则有f －3g －3＝0＝f 3g 3，可知f x g x<0的解集为(－3，0)∪(3，＋∞)．13．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案 (－19，＋∞) 解析对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a . 当x ∈[23，＋∞)时， f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是(－19，＋∞)． 14．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －1x －3x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.15．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )．①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0，当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝－1＋1－aa ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数．若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)上是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )>0，所以当a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数，当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0∪(0，＋∞)．。

【名师整理】2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第三章导数及其应用

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)；(2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ；(3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba(n ≠－1)； (3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |b a . 考点一导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x.(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .考点二导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .[答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. [解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1， ∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[题组训练]1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14.2．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________．解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________．解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三定积分的运算及应用[题组训练]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x ＝3－⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．答案：361．正确选用求定积分的4个常用方法定理法性质法几何法奇偶性法 2．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪10＝13. 6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞B 级1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]， x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5. 7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝08．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.9．已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)，∴f ′(x )＝1x ＋2a(x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1.下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.第二节导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；❷，f(a)而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点❸叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x 0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． (3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．第一课时导数与函数的单调性考点一求函数的单调区间1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减解析：选D 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a ，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )，令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是___________________________________________________________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))，解得－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 考点二判断含参函数的单调性(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[题组训练]已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a ＜x ＜1，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．考点三根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)．答案：(1)⎣⎡⎦⎤－13，13 (2)⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解，令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－716 [题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0，所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) [课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解．设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 6．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x＝a ＋⎝⎛⎭⎫1x －122－14. ①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＞0，且x 2＞x 1，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＜0，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减．7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2，无极大值． (2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax ＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x ＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x ＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＞0，解得a ＜－2. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．第二课时导数与函数的极值、最值考点一利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)．当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；。

2021高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用高考大题冲关(1)高考中函数与导数问题的热点题型课件北师大版

解
①当－
a 2
≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4
＋4a＋a2＝8，得a＝±2 2－2，均不符合题意．
②当1<－
a2 ≤4，即－8≤a<－2时，－
a 10
≤
4 5
<1，f(x)在[1,4]上的最小值
为f－a2＝0，不符合题意．
③当－
a 2
>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取
25x－2x－2
x
.
由f′(x)>0得0<x<25或x>2.
故函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)．
解
(2)f′(x)＝10x＋2ax2x＋a，a＜0，由f′(x)＝0得x＝－1a0或x＝－a2. 当x∈0，－1a0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈－1a0，－a2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈－a2，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．易知f(x)＝(2x＋a)2 x≥0，且f－a2＝0.
第三章导数及其应用
高考大题冲关系列(1) 高考中函数与导数问题的热点题型
命题动向：函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点．常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)，求极值、最值、切线方程、函数的零点或方程的根，求参数的范围及证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等，中、高档难度均有．
例2 (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数．

2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲导数与函数的综合应用课件理新人教A版

解析
4．(2019·沈阳模拟)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－ 1)·f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)
答案 C
答案
解析由题设，f(x)为R上任意可导函数，不妨设f(x)＝(x－1)2，则f′(x) ＝2(x－1)，满足(x－1)·f′(x)＝2(x－1)2≥0，且f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝1，则有f(0)＋f(2)>2f(1)；
当a≠0时，f′(x)＝ax－1x2x＋1a，
答案
①当a>0时，x＋1a>0，令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则0<x<1，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增； ②当a＝－1时，1＝－1a，f′(x)＝－xx－2 12≤0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减；
答案
触类旁通 1利用导数方法证明不等式fx>gx在区间D上恒成立的基本方法是构造函数hx＝fx－gx，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 hx>0，其中一个重要技巧就是找到函数hx在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口. 2若待证不等式两端式子较复杂，可通过分析法转化为形式较简单的不等式，再构造函数证明.
答案
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝2ln x－x2＋t，定义域为(0，＋∞)，
则h′(x)＝
2 x
－2x＝
－2x＋1x－1 x
，当x∈
1 e

，e
时，令h′(x)＝0，得x

高考数学( 文科)一轮复习练习：第三章导数及其应用第3讲含答案

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1，4]上的最小值为________. 解析 f ′(x )＝6x 2－12x －18＝6(x 2－2x －3) ＝6(x －3)(x ＋1)，由f ′(x )＞0，得x ＞3或x ＜－1；由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜3，故函数f (x )在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝2×27－6×9－18×3－7＝－61. 答案－612.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值点. 答案 03.(2015·泰州调研)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则b 的取值范围是________.解析由f (x )＝x 3－3bx ＋3b ，得f ′(x )＝3x 2－3b .由已知可得f ′(x )＝3x 2－3b 在(0，1)上与x 轴有交点，且满足⎩⎨⎧f ′（0）＜0，f ′（1）＞0，即⎩⎨⎧b ＞0，3－3b ＞0.∴0＜b ＜1.∴b 的取值范围是(0，1). 答案 (0，1)4.(2015·扬州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则 ⎩⎨⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案－75.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0. ∴a ＞6或a ＜－3.答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)6.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________.解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 (－∞，－1)7.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案 328.(2015·苏、锡、常、镇模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在x ＝0处有极大值1，在x ＝2处有极小值0，则常数a ，b ，c ，d 分别为________，________，________，________.解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，则⎩⎨⎧f （2）＝0，f ′（2）＝0，f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎨⎧8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，d ＝1，c ＝0，解得a ＝14，b ＝－34，c ＝0，d ＝1.答案 14 34 0 1 二、解答题9.(2016·徐州一检)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，函数f (x )＝ax －1＋ln x 在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值.解由题意f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a .∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ，∴0＜－1a ＜e ，由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜－1a，由f ′(x )＜0，解得－1a ＜x ＜e.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e .∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2.10.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax（x ＋r ）2(a >0，r >0).(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值.解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞). f (x )＝ax （x ＋r ）2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a （x 2＋2rx ＋r 2）－ax （2x ＋2r ）（x 2＋2rx ＋r 2）2＝a （r －x ）（x ＋r ）（x ＋r ）4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0，当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间为(－r ，r ).(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减.因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar （2r ）2＝a 4r ＝4004＝100.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.解析对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案－1312.(2016·南通调研)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________.解析若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，实数 a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，10313.(2015·太原二模)已知f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )是函数f (x )的导函数，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f ′(－1)＝f ′(a )＝0，∴当a ＜－1时，x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；a ＜x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.当－1＜a ＜0时，x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极大值，符合题意.当a ＞0时，x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ＞a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.∴实数a 的取值范围是(－1，0). 答案 (－1，0)14.(2015·南京、盐城调研)已知a ∈R ，函数f (x )＝a x ＋ln x －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，x ∈(0，＋∞).因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14. 又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0. (2)因为f (x )＝ax ＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，x ∈(0，＋∞). 令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值. ②若0＜a ＜e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时， f ′(x )＞0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值a e.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln a；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a e.。

2020届高考数学一轮复习：第三章函数、导数及其应用三

第三章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第六节指数与指数函数1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 2．指数函数的图象与性质[小题体验]1．计算[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝26×12－1＝23－1＝7.2．函数f (x )＝3x ＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B ∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，即函数f (x )＝3x ＋1的值域为(1，＋∞)．3．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝________. 答案： 34．若指数函数f (x )＝(a －2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝(a －2)x 为减函数， ∴0＜a －2＜1，即2＜a ＜3. 答案：(2,3)1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a ＞1或0＜a ＜1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n 可以理解为mn 个a 相乘．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(1,2)考点一指数幂的化简与求值(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．化简与求值：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312. 解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.2．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．解析：由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47.因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.答案：25[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．考点二指数函数的图象及应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝a x －a －1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，所以A 项错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a ＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.2．已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0＜a ＜1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0＜a ＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，所以0＜a ＜23.②当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a ＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23 [由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2解析：选D 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1.故选D.考点三指数函数的性质及应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．[题点全练]角度一：比较指数式的大小1．(2018·杭州模拟)已知a ＝⎝⎛⎭⎫2313，b ＝⎝⎛⎭⎫2312，c ＝⎝⎛⎭⎫3512，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：选A ∵23＞35，y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，∴b ＝⎝⎛⎭⎫2312＞c ＝⎝⎛⎭⎫3512， ∵13＜12，y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上是减函数， ∴a ＝⎝⎛⎭⎫2313＞b ＝⎝⎛⎭⎫2312， ∴a ＞b ＞c .故选A.角度二：简单指数方程或不等式的应用2．(2018·湖州模拟)已知函数f (x )＝m ·9x －3x ，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,2)D ．[2，＋∞)解析：选B 由题意得到f (－x )＝f (x )，所以m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x ，整理得到：m ＝3x(3x )2＋1＝13x ＋13x＜12，又m ＞0，所以实数m 的取值范围是0＜m ＜12，故选B.角度三：探究指数型函数的性质3．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1， ∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. [通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略[演练冲关]1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5＜a ＝0.60.6＜1.又c ＝1.50.6＞1，所以b ＜a ＜c .2．(2019·金华模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x ，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意x ＞0时，f (x )单调递增，故f (x )＞f (0)＝0，而x ≤0时，f (x )＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________．解析：设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．化简a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a 的结果是( ) A ．aB ．bC ．abD ．ab 2解析：选A 原式＝a 13(a －8b )4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13(a 13－2b 13)(a 23＋2a 13b 13＋4b 23)4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13＝a 13·a 13·a 13＝a . 2．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝(2)43＝212×43＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，得a ＞b ，综上得c ＞a ＞b .3．(2018·丽水模拟)已知实数a ，b 满足12＞⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：选B 由12＞⎝⎛⎭⎫12a，得a ＞1，由⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，得⎝⎛⎭⎫222a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，得2a ＜b ，由⎝⎛⎭⎫22b ＞14，得⎝⎛⎭⎫22b ＞⎝⎛⎭⎫224，得b ＜4. 由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b2＜2，∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32，b ＝72，得b －a ＝72－32＝2，有a ＞b －a ，排除C ； b ＞2b －a ，排除A ；取a ＝1110，b ＝3910得，b －a ＝3910－1110＝ 145，有a ＜b －a ，排除D ，故选B.4．(2017·宁波期中)若指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，则f (3)＝________；不等式f (x )＋f (－x )＜52的解集为____________．解析：设指数函数解析式为y ＝a x ，因为指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，所以4＝a －2，解得a ＝12，所以指数函数解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以f (3)＝⎝⎛⎭⎫123＝18；不等式f (x )＋f (－x )＜52，即⎝⎛⎭⎫12x ＋2x ＜52，设2x ＝t ，不等式化为1t ＋t ＜52，所以2t 2－5t ＋2＜0解得12＜t ＜2，即12＜2x ＜2，所以－1＜x ＜1，所以不等式的解集为(－1,1)．答案：18(－1,1)5．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a ＞1，∴a ＝ 3. 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，又∵f (0)＝0≠2，∴0＜a ＜1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·贵州适应性考试)函数y ＝a x ＋2－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 法一：因为函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．2．已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x＋k的图象可能是( )解析：选B 由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k ＜0,0＜a ＜1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以k ＞－1，所以－1＜k ＜0.函数y ＝a x ＋k的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎣⎡⎭⎫34，1 C.⎝⎛⎦⎤23，34D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：选C 依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，(2－3a )×1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.5．(2018·温州月考)若函数f (x )＝a e －x －e x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选D 由于函数f (x )为R 上奇函数，所以f (0)＝0⇒a ＝1，所以f (x )＝1e x －e x ，由于e x 为增函数，而1e x 为减函数，所以f (x )＝1ex －e x 是减函数，又因为f (－1)＝e －1e ，由f (x －1)＜e －1e 可得f (x －1)＜f (－1)，x －1＞－1⇒x ＞0，故选D.6．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)7．(2018·温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1，设a ＞b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．解析：依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎡⎭⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎡⎭⎫34，2.答案：⎣⎡⎭⎫34，28．若不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax ＜⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由指数函数的性质知y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，因为⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax ＜⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，所以x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0，即(a －2)(a －2＋4)＜0，即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)．答案：(－2,2)9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0. 10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a ＞0，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )．即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， ∴－b ≤2，b ≥－2.②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，则满足g (2x －1)＜g (3)的x 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |＝2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋2－x ＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)，∴|2x －1|＜3，即－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2，即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13.第七节对数与对数函数1．对数定义域为(0，＋∞)3．反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[小题体验]1．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a ＞0，且a ≠1)的图象必过定点________．答案：(－1，－2)2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案：⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 3．(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. 解析：log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案：－123 31．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围． [小题纠偏]1．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．答案：⎝⎛⎦⎤34，12．函数f (x )＝log (x ＋1)(2x －1)的单调递增区间是______．答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞考点一对数式的化简与求值(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：选B 利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c b log c a·log c a ＝log c b .2．(2018·台州模拟)lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( )A ．lg 2B ．lg 3C ．4D ．lg 5解析：选A lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg 2516－lg 2581＋lg 3281＝lg ⎝⎛⎭⎫2516×8125×3281＝lg 2，故选A. 3．计算⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝______. 解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg 122·52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－204．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12的值是________．解析：因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 312＝3－log 312＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3. 所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝2＋3＝5. 答案：5[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．考点二对数函数的图象及应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析：选D 作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图．显然x 1＜0，x 2＜0.不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝－lg(－x 2)，此时10x 1＜10x 2，即lg(－x 1)＜－lg(－x 2)，由此得lg(x 1x 2)＜0，所以0＜x 1x 2＜1，故选D.[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时应用]1．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 当x ＞1时，f (x )＝ln(x －1)，又f (x )的图象关于x ＝1对称，故选B.2．(2018·温州适应性训练)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( )A.52 B ．3 C.72D ．4解析：选C 2x ＝5－2x,2log 2(x －1)＝5－2x ，即2x －1＝52－x ，log 2(x －1)＝52－x ，作出y＝2x －1，y ＝52－x ，y ＝log 2(x －1)的图象(如图)．由图知y ＝2x－1与y ＝log 2(x －1)的图象关于y ＝x －1对称，它们与y ＝52－x 的交点A ，B的中点为y ＝52－x 与y ＝x －1的交点C ，x C ＝x 1＋x 22＝74，∴x 1＋x 2＝72，故选C.考点三对数函数的性质及应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．常见的命题角度有： (1)比较对数值的大小； (2)简单对数不等式的解法； (3)对数函数的综合问题．[题点全练]角度一：比较对数值的大小1．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解析：选A 因为a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，所以a ＞b ；又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，c ＞0，所以b ＞c .故a ＞b ＞c .角度二：简单对数不等式的解法2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. 角度三：对数函数的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a ＞0，a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0＜a ＜1时，求函数f (x )的单调区间．解：令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a ＞0，a ≠1，－3＜u ＜3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (a ＞0，a ≠1，－3＜x ＜3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数． (2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0＜a ＜1时，函数y ＝log a t 是减函数，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (0＜a ＜1)在(－3,3)上是减函数，即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．[演练冲关]1．(2019·杭州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＞1等价于8－ax ＞a 在[1,2]上恒成立，即a ＜⎝⎛⎭⎫8x ＋1min ＝83，解得1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＞1等价于0＜8－ax ＜a 在[1,2]上恒成立，即a ＞⎝⎛⎭⎫8x ＋1max 且a ＜⎝⎛⎭⎫8x min ，解得a ＞4且a ＜4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 2．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12，使f (x )的最小值为0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·金华温州台州高三开学联考)若2a ＝3b ＝6c2，则( )A.1a ＋1b ＝2c B.2a ＋2b ＝1c C.1a ＋1b ＝1cD.12a ＋12b ＝2c解析：选A 令2a ＝3b ＝6c2＝k ，则a ＝lg k lg 2，b ＝lg k lg 3，c ＝2lg k lg 6，则1a ＋1b ＝lg 2lg k ＋lg 3lg k ＝lg 6lg k ＝2c. 2．(2019·舟山模拟)设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选B a ＝log 50.5＞log 50.2＝－1，b ＝log 20.3＜log 20.5＝－1，c ＝log 0.32＞log 0.3103＝－1，log 0.32＝lg 2lg 0.3，log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴lg 2lg 0.3＜lg 2lg 0.2，即c ＜a ，故b ＜c ＜a .故选B.3．(2018·金华名校联考)已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x ，若实数a 满足2f (log 4a )＋f (log 14a )＋f (1)≤0，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．⎝⎛⎦⎤0，14 C ．⎣⎡⎦⎤14，4D ．[1,4]解析：选B ∵f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ＝e 2x －1e 2x ＋1＝(e 2x ＋1)－2e 2x＋1＝1－2e 2x ＋1，定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－e x －e －xe x ＋e－x ＝－f (x )，∴f (x )是单调递增的奇函数，又f (log 14a )＝f (－log 4a )＝－f (log 4a )，则不等式2f (log 4a )＋f (log 14a )＋f (1)≤0化为f (log 4a )＋f (1)≤0，即f (log 4a )≤－f (1)＝f (－1)，则log 4a ≤－1＝log 414，得0＜a ≤14.4．(2016·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析：∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12. ∵a ＞b ＞1，∴log a b ＜log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，a ＝4. 答案：4 25．(2018·杭州模拟)已知函数y ＝log 12()x 2－ax ＋a 在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是____________．解析：令t ＝x 2－ax ＋a ，则函数f (x )在区间(2，＋∞)上是减函数，可得函数t 在区间(2，＋∞)上是增函数，且t (2)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，t (2)＝4－a ≥0，解得a ≤4，所以实数a 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：选B ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即30＋m ＝0，解得m ＝－1， ∴f (log 35)＝3log 35－1＝4， ∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－4.2．(2018·丽水月考)函数f (x )＝lg(4x －2x ＋1＋11)的最小值是( )A ．10B ．1C ．11D ．lg 11解析：选B 令2x ＝t ，t ＞0，则4x －2x ＋1＋11＝t 2－2t ＋11＝(t －1)2＋10≥10，所以lg(4x－2x ＋1＋11)≥1，即所求函数的最小值为1.故选B.3．(2019·丽水模拟)已知对数函数f (x )＝log a x 是增函数，则函数f (|x |＋1)的图象大致是( )解析：选B 由函数f (x )＝log a x 是增函数知，a ＞1.f (|x |＋1)＝log a (|x |＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0，log a [－(x －1)]，x ＜0.由对数函数性质知选B.4．(2018·金华模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D ∵f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1＜x ＜1，∴f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数， ∴f (－a )＝－f (a )＝－12.5．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1， ∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0. 综上可知，选D.6．(2018·杭二月考)已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 27．若方程2log 2x －log 2(x －1)＝m ＋1有两个不同的解，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －1＞0，即x ＞1，方程化简为log 2x 2x －1＝m ＋1，故x 2x －1＝2m ＋1，即x 2－2m ＋1x ＋2m ＋1＝0，当x ＞1时，此方程有两个不同的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m＞1，1－2m ＋1＋2m ＋1＞0，Δ＝22m ＋2－4×2m ＋1＞0，解得m ＞1.答案：(1，＋∞)8．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：99．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0，log a (－x ＋1)，x ＜0.(2)∵－1＜f (1)＜1，∴－1＜log a 2＜1， ∴log a 1a＜log a 2＜log a a .①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a ＜2，a ＞2，解得a ＞2；②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a ＞2，a ＜2，解得0＜a ＜12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x ) ＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州五校联考)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧log 12⎪⎪⎪⎪12－x ，x ≠12，0，x ＝12，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A ．增函数且f (x )＞0 B ．增函数且f (x )＜0 C ．减函数且f (x )＞0D ．减函数且f (x )＜0解析：选D 由f (x )为奇函数，f (x ＋1)＝f (－x )得， f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋2)； ∴f (x )＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数．根据条件，x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎫x －12， ∴x －2∈⎝⎛⎭⎫－32，－1，－(x －2)∈⎝⎛⎭⎫1，32， ∴f (x )＝f (x －2)＝－f (2－x )＝log 12⎝⎛⎭⎫x －12. 设2－x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫1，32，x ＝2－t ， ∴－f (t )＝log 12⎝⎛⎭⎫32－t ，∴f (t )＝－log 12⎝⎛⎭⎫32－t ， ∴f (x )＝－log 12⎝⎛⎭⎫32－x ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，可以看出x 增大时，32－x 减小，log 12⎝⎛⎭⎫32－x 增大，f (x )减小， ∴在区间⎝⎛⎭⎫1，32内，f (x )是减函数，而由1＜x ＜32得0＜32－x ＜12，∴log 12⎝⎛⎭⎫32－x ＞1， ∴f (x )＜0.2．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a ＞0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax ＞0恒成立． ∴3－2a ＞0，∴a ＜32.又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜1或1＜a ＜32，∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a ＞1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.第八节函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系(x 0)，(x 0)(x 0) 无交点 [小题体验]1．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4)D ．(4，＋∞)解析：选B 易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.2．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 函数f (x )＝e x ＋3x 在R 上是增函数， ∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (－1)·f (0)＜0，∴函数f (x )有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.3．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f (x )按照下述方法定义：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ；当x ＞2时，f (x )＝12(x －2)2，则方程f (x )＝12的所有实数根之和是( )A ．2B ．3C ．5D ．8解析：选C 画出函数f (x )的图象，如图所示：结合图象x ＜2时，两根之和是2， x ＞2时，由12(x －2)2＝12，解得x ＝3，故方程f (x )＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f (a )·f (b )＜0； ③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点；④若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定(基础送分型考点——自主练透)1．已知实数a ＞1,0＜b ＜1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B ∵a ＞1,0＜b ＜1，f (x )＝a x ＋x －b ， ∴f (－1)＝1a －1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1,0)上存在零点． 2．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f (8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]的图象是连续的，故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]， ∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )＜0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．考点二判断函数零点个数(重点保分型考点——师生共研)1．(2019·温州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－x －2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＜0时，令f (x )＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝－2或x ＝0(舍去)，所以当x ＜0时，只有一个零点；当x ≥0时，f (x )＝e x －x －2，而f ′(x )＝e x －1，显然f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝e 0－0－2＝－1＜0，f (2)＝e 2－4＞0，所以当x ≥0时，函数f (x )有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有2个零点，故选C.考点三函数零点的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·杭州七校联考)若函数f (x )＝m －x 2＋2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：令f (x )＝m －x 2＋2ln x ＝0，则m ＝x 2－2ln x ．令g (x )＝x 2－2ln x ，则g ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫1e 2，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1，又g ⎝⎛⎭⎫1e 2＝4＋1e 4，g (e)＝e 2－2，4＋1e 4＜5＜e 2－2，∴g ⎝⎛⎭⎫1e 2＜g (e)，数形结合知，若函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，4＋1e 4. 答案：⎝⎛⎦⎤1，4＋1e 4 [由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法[即时应用]1．(2018·浙江名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ＞0，－x 2＋3，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1,3)B ．(1,3]C ．[2,3)D ．[1，＋∞)解析：选A 函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，等价于直线y ＝k (x ＋1)与函数y ＝f (x )的图象在(－∞，1]上有两个不同的交点．作出f (x )的大致图象如图所示，因为直线y ＝k (x ＋1)过定点(－1,0)，定点(－1,0)与点(1,2)和(0,3)连线的斜率分别为1和3，结合f (x )的图象可知k 的取值范围是[1,3)．2．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上是减函数，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．故选B.2．(2018·豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选A 因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝2＞0，则f (0)·f (1)＝－2＜0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．3．(2018·宁波期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即0是函数f (x )的一个零点，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3为增函数．因为f (1)＝e 1＋1－3＝e －2＞0，f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14＋14－3＝e 14－114＜0，所以当x ＞0时，f (x )有一个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点的个数为3.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3. 答案：12＋ 35．已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则函数f (x )为开口向上的抛物线，且f (0)＝k 2≥0，∴关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，即函数f (x )的零点位于[0,1)，(1，＋∞)上．故只需f (1)＜0即可，即1＋k －3＋k 2＜0，解得－2＜k ＜1.答案：(－2,1)。

2020届高三一轮复习数学精品资料：第三编导数及其应用

2020届高三一轮复习数学精品资料：第三编导数及其应用§3.1变化率与导数、导数的运算自主学习匕基础自测1.在曲线 2y=x +1的图象上取一点〔 1，2 丨及邻近一点〔1 + A x ，2+Ay 〕，那么-1为〔〕XA. x1 21B. x2XXC. x2D. 2 x - 1X答案 C2. f(x)=sin x(cosx+1)，那么 f (x)等于〔〕4. 〔 2018 •辽宁理，6〕设P 为曲线C : y=x 2+2x+3上的点，且曲线 C 在点P 处切线倾斜角的取值范畴是 0_ ，那么点P 横，4坐标的取值范畴为〔〕11A. 1,B. :-1，0]C. :0，1]D. ,122答案 A5. (2018 •全国U 理，14)设曲线y=e ax 在点〔0，1〕处的切线与直线 x+2y+1=0垂直，那么a= .A .cos2 x-cos x B.cos2 x-sin xC.cos2 x+cosx 2D.cos x+cosx答案 C3.假设函数y=f(x)在R 上可导且满足不等式的是x f (x) >-f (x)恒成立，且常数a, b 满足a > b,那么以下不等式一定成立〔〕B. af(a) > bf (b)C. af(a) <bf (b)D. af (b) < bf( a)A. af( b) >bf(a)答案 B答案2--- ■ ■_典例剖■十--------- 例1 求函数y= ”x2 1在X。

到x°+A x之间的平均变化率y= .(X0 x)2 1 ■. x0 1_(X0 _ X)2_1_X2_1_.(Xo X)2 1 t X2 12x o x ( x)2 x o x)21 2X 0 xx)2 1 i x# 1求以下各函数的导数:•/ y2 2(1 x) 2 1 x2 2(1 x)(1 x)例3〔12 分〕曲线 y=lx 3 4. 3 3〔1〕求曲线在 x=2处的切线方程；〔2〕求曲线过点〔2, 4〕的切线方程.解〔1〕T y'=x 2,./在点p 〔2, 4丨处的切线的斜率k= y |x =2 =4. •曲线在点P 〔 2 , 4丨处的切线方程为 y-4=4( x-2),即4x-y-4=0. 〔2〕设曲线y= lx 3 4与过点P 〔 2, 4〕的切线相切于点 A x 0,-x ^ 4 , 3 3 3 3那么切线的斜率k=y|xx o=总.•切线方程为 y-x ^ — x #(xx °),即 y x 0x 2 x—.3 033 3T 点 P 〔 2 , 4〕在切线上，./ 4= 2x o -|x o3 3即 X # 3x # 4 0,x 3 x # 4x # 4 0, • x#% 1) 4(x ° 1)(x °1) 0,〔1〕7x x 5sin x ；2 -------- ； x 〔2〕(x 1)(x 2)(x 3);x sin 1 2 2 x 2cos - 41x 25x sinx~2xsin x x 3•'y ' (x 2) (x' 3)(x 2sinx) 3X 2 2x3sinx x2cosx.〔2〕方法一 y= 〔X 2+3X +2〕〔x+3〕 =X 3+6 X 2+11 X +6 , /•y =3 X 2+12 X +11.方法二=(x1)(x 2) (x 3) (x 1)(x 2)(x 3)(x 1) [x+2+ (x 1)(x(x 2)x+1〕〔 x+3〕+ 〔x+3 〕 + 〔x+1 〕〔x+2 〕2)〔x+1〕〔x+2〕= 〔2X +3〕〔x+3〕+ 〔x+1 〕〔x+2〕=3 X 2+12 X +11. x sin- 2 x cos — 21-sin x, 2 1 sinx 21 (sin x)21 cosx. 2〔4〕1 、x 1 x (1 -.x)(1x)2 r~x2分4分6分8分「•(x o +1)( x o -2) 2=0,解得 x o =-1 或 x o =2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0或x-y+2=0.---- 知能迁移1.求y= x 在x=X o 处的导数.3•假设直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，那么k =答案 2或14—• 活页作业一L、选择题1.假设f(X 0)2,那么f X 0limk f (X 0)等于()k 02kA.-1B.-2C.1D. 12答案 A2.〔2018 •全国 I 理， 7〕设曲线 y= x 1 在点〔3, 2〕处的切线与直线ax+y+1=0垂直，那么a 等于x 1A.21 B. C.1 D.-222答案 D3•假设点P 在曲线y=x 3-3x 2+(3- .、3)x+3上移动，通过点P 的切线的倾斜角为，那么角的取值范畴是4 〔〕 A. 0,B. 0,2 22 C. —,D. 0,3 2答案 B4. 曲线y=x 3-2x 2-4x+2在点〔1,-3丨处的切线方程是 A .5 x+y+2=0 C.5 x+y-2=02. limx ox x( x olim 丄lim 上x 0 x x 0 12、_x 0求y=tan x 的导数. sin x cosx(sin x) cosx sin x(cosx)2cos x2 . 2 cos xsin x2cos x2cos x12J3_ _2_2 ,3 B.5x-y-2=0 D.5 x-y+2=01答案 C5.在以下四个函数中，满足性质： ''关于区间〔1 , 2〕上的任意x i , X 2〔 x i 工X 2〕，|f 〔 X 2〕-f 〔 x i 〕| < |x 2-x i |恒成立"的只有〔〕1 A. f(x) XC.f(x)=2XB.f(x)=| x| D.f (x)=x 2答案 A6.曲线 S: y=3x-x 3及点 P 〔2，2，: ，那么过点P 可向S 引切线，其切线条数为()A.0B.1C.2D.3答案 D、填空题7.曲线y= 1和y=x 2在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是x答案 348. 假设函数f(x)的导函数为f (x)=-x(x+1),那么函数g(x)=f(log 次)(0 < a < 1)的单调递减区间是答案 1丄 a三、解答题9. 求以下函数在x=X 0处的导数.解得X 0=1,因此y 0=O,即点P 〔 1 , 0〕，点P 到直线2x-y+3=0的距离为•••曲线y=ln(2 x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是■. 5 .11.〔 2018 •海南、宁夏，21〕设函数f(x) ax(a,b € Z)，曲线y f (x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.x b〔1〕求f (x)的解析式；〔2〕证明：曲线y f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值 .〔1〕解 f (x) a(x b)〔1〕f 〔 X 〕= eX 1 . Xe x1 . x ,X 02; 〔 2〕f (x)—x 3 x 2 ln x 2 , x 0 x 1.解〔1〕丁 f (X)2e x 1 x(2e x )(1 x) 2e x (1 x)2(2 x)e x(1 x)2 (1/ ,"=0. 3〔2〕T f (X) (x 2)(lnx)3x 2 1 — f 2 x(1)10.求曲线 y=ln(2 x-1) 解设曲线上过点2x-y+3=0的最短距离.P〔x 0,y 0，的切线平行于直线 2x-y+3=0，即斜率是上的点到直线1那么y |x x 02x 1 (2X 1) |X X 0 右 |X X 02 2.2X 0 12a 因此a 入3,4 解得J 0,(2 b)2a 1, b1,9—J483因为a,b Z,故f(x)〔2〕证明在曲线上任取一点Xo,X o1X o 1由 f (X o)1LT知，过此点的切线方程为2X o X o X o1v~1 12 (X X o).(X o 1)令X=1，得X oX oX oX o 1,切线与直线X=1交点为1汀令y=x,得2X o 1 ,切线与直线y=x的交点为(2X o 1,2X o 1).直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为1|2X o 1 1因此，所围三角形的面积为定值 2.12.偶函数f〔x〕=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点P解」〔X〕的图象过点P〔0, 1〕，8=1.又T f〔X〕为偶函数，I f〔-X〕=f〔X〕.故ax4 + bx3+ cx2+ dx+e= ax4- bx3 + cx2-dx+ e. •••b=0 , d=0.•'•f〔x〕= ax4+ cx2+1.o 2 2 .〔0, 1〕，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f〔x〕的解析式. ①T函数f〔x〕在x=1处的切线方程为y=x-2，•可得切点为〔•'a+ c+1=-1.■/ f (1) =(4 ax3+2 cx)|x=1 =4 a+2 c ,「4a+2 c=1.5 9由③④得a= , c= . •函数y= f〔x〕的解析式为f(x)2 2 1 , -1®x2 1.2§3.2导数的应用自主学习总基础自测1. 函数y=f (x)的图象过原点且它的导函数g= f (x)的图象是如下图的一条直线，那么y=f (x)图象的顶点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A2. 对任意实数x,有f (- x)=- f (x), g(- x)=g(x),且x> 0 时，f (x) > 0, g (x) >0,那么x< 0 时〕A. f (x) > 0, g (x) >0 C. f (x) <0, g (x) > 0 答案 B3. 〔 2018 •广东理〕设a R ，假设函数A . a > -3B . a < -3答案 B4. 函数y=3x 2-2ln x 的单调增区间为B. f (x) > 0, g (x) < 0D. f (x) < 0, g (x) <0y=eT+3x , x R 有大于零的极值点，那么C. a >--3，单调减区间为答案 —,0,工335. 〔 2018 •江苏，14〕f(x)=ax 3-3x+1 关于 x €［ -1,1 ］总有 f(x) > 0 成立，那么 a= .答案 4---- -典例剖析一^ ------------例 1f( x)=e x -ax-1.〔1〕求f(x)的单调增区间；〔2〕假设f(x 〕在定义域R 内单调递增，求a 的取值范畴；〔3〕是否存在a,使f (x)在〔-a ，0］上单调递减，在］0，+8〕上单调递增？假设存在，求出 a 的值；假设不存在，讲明理由. 解 f (x)=e x -a.〔1〕假设a<0， f (x) =e x -a >0恒成立，即f(x)在R 上递增. 假设 a>0,e -a>0, ^e">a,x >lna.^f(x)的单调递增区间为(lna,+ ^). 〔2〕行〔x 〕在R 内单调递增，••• f (x) X)在R 上恒成立. /•e x -a >0，即a <e x 在R 上恒成立.xx.・.a w 〔e 〕min ，又>0，「.aW0.〔3〕方法一由题意知e x -a <0在〔-8，0［上恒成立./•a >e x 在〔-8，0］上恒成立.ve"在〔-8，0［上为增函数./•x=0时，e 最大为1.「.a X 1.同理可知 e-a X 0在］0，+ 8〕上恒成立./•a <ex在］0， + 8〕上恒成立..・.a W 1， .a=1.方法二由题意知，x=0为f (x)的极小值点..f (0) =0,即e 0-a=0, /a=1.2例2 函数f ( x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x 〕在点x=1处的切线为I :3x-y+仁0，假设x= 时，y=f(x 〕有极值.3〔1〕求a, b, c 的值；〔2〕求y=f (x 〕在［-3，1］上的最大值和最小值. 解〔1〕由 f (x)= x 3+ ax 2+ bx+ c ，得 f (x) =3 x 2+2 ax+ b, 当x=1时，切线I 的斜率为3,可得2a+b=0 ① 2 2当x= 时，y=f(x)有极值，那么f =0,可得4a+3b+4=0②3 3 由①②解得a=2, b=-4.由于切点的横坐标为 x=1, "(1)=4.〔〕1D . a <-丄3•'•1+ a+ b+ c=4. .'0=5.〔2〕由〔1〕可得 f (x)= x3+2 x2-4 x+5, • f (x) =3 x2+4 x-4,2令 f (x )=。

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第3讲导数与函数的极值一、选择题1．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2解析：选D.由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.2．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289解析：选C.函数f (x )的图象过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b－c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 3．(2018·山西模拟)已知函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C.由函数y ＝f (x )导函数的图象可知：当x <－1及3<x <5时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－1<x <3及x >5时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)；单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，f (x )在x ＝－1，5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误，故选C.4．(2018·陕西质量检测(一))设函数f (x )＝x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：选D.f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，令f ′(x )＝0得tan x ＝－x ，所以tan 2x 0＝x 20，故(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)＝(1＋tan 2x 0)·2cos 2x 0＝2cos 2x 0＋2sin 2x 0＝2，选D.5．(2018·福建福州八中第六次质检)已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是( )解析：选C.对f (x )＝e x－(x ＋1)2求导得f ′(x )＝e x－2x －2，显然x →＋∞时，导函数f ′(x )>0，函数f (x )是增函数，排除A ，D ；x ＝－1时，f ′(－1)≠0，所以x ＝－1不是函数的极值点，排除B ，故选C.6．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，4]B ．[2，4]C ．[1，4)D ．[1，2]解析：选C.因为f ′(x )＝3(x 2－a )，所以当a ≤0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，f (x )没有极值点，不符合题意；当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝±a ，当变化时，′()与()的变化情况如下表所示：x (－∞，－a ) － a (－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 极大值极小值因为函数f (x )在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以⎩⎨⎧a <2，－a ≤－1或⎩⎨⎧－a >－1，2≤a ，解得1≤a <4.选C.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知x ＝－3为方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.答案：58．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1，0)点，则f (x )的极大值与极小值的和为________．解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1，易得当x＝13时，f (x )取极大值427，当x ＝1时，f (x )取极小值0. 所以f (x )的极大值与极小值的和为427.答案：4279．已知函数f (x )＝1＋ln xkx(k ≠0)，则函数f (x )的极值为________．解析：f (x )＝1＋ln x kx，其定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝－ln x kx2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当k >0时，若0<x <1，则f ′(x )>0；若x >1，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x ＝1时，函数f (x )取得极大值1k.当k <0时，若0<x <1，则f ′(x )<0；若x >1，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值1k.答案：1k10．若函数f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋1(a ＞0)有两个极值点，则a 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋1(x >0)，所以f ′(x )＝ln x －ax ，f ″(x )＝1x－a ＝0，得一阶导函数有极大值点x ＝1a，由于x →0时，f ′(x )→－∞；当x →＋∞时，f ′(x )→－∞，因此原函数要有两个极值点，只要f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1>0，解得0<a <1e . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e三、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －bx，f (1)＝a ＝1，f ′(1)＝2a －b ＝0，将a ＝1代入2a －b ＝0，解得b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝x 2－2ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－2x，令f ′(x )>0，解得x >1，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以f (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值．12．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝e x－3x ＋3a (e 为自然对数的底数，a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 3e ，且x ＞0时，e xx ＞32x ＋1x－3a .解：(1)由f (x )＝e x－3x ＋3a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－3，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 3)ln 3 (ln 3，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )3(1－ln 3＋a )故f 单调递增区间是[ln 3，＋∞)，f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a )．无极大值．(2)证明：待证不等式等价于e x＞32x 2－3ax ＋1，设g (x )＝e x－32x 2＋3ax －1，x ＞0，于是g ′(x )＝e x－3x ＋3a ，x ＞0. 由(1)及a ＞ln 3e＝ln 3－1知：g ′(x )的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0.于是对任意x ＞0，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)内单调递增．于是当a ＞ln 3e ＝ln 3－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x＞32x 2－3ax ＋1，故e xx ＞32x ＋1x－3a .1．(2018·威海调研)已知函数f (x )＝xln x＋ax ，x >1. (1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．解：(1)因为f (x )＝xln x ＋ax ，x >1.所以f ′(x )＝ln x －1ln 2x＋a . 由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤1ln 2 x －1ln x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14，对x ∈(1，＋∞)恒成立．因为x ∈(1，＋∞)，所以ln x ∈(0，＋∞)，所以1ln x －12＝0时，函数t (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14的最小值为－14，所以a ≤－14. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝xln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2 x ＝（2ln x －1）（ln x ＋1）ln 2x 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＝0，x >1，得x ＝e 12. f (x )与f ′(x所以f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 12＝e 1212＋2e 12＝4 e. 2．(2018·温州市普通高中高三模考)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 3＋x 22＋x ＋1，g (x )＝e x(e是自然对数的底数)．(1)证明：存在一条定直线l 与曲线C 1：y ＝f (x )和C 2：y ＝g (x )都相切； (2)若f (x )≤g (x )对x ∈R 恒成立，求a 的值．解：(1)证明：函数f (x )，g (x )的导数分别为f ′(x )＝3ax 2＋x ＋1，g ′(x )＝e x，注意到对任意a ∈R ，f (0)＝g (0)＝1，f ′(0)＝g ′(0)＝1，故存在定直线l ：y ＝x ＋1与曲线C 1：y ＝f (x )和C 2：y ＝g (x )都相切．(2)设函数F (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 3＋x 22＋x ＋1e －x，则对任意x ∈R ，都有F (x )≤1，因为对任意a ∈R ，都有F (0)＝1，故x ＝0为F (x )的极大值点，F ′(x )＝(3ax 2＋x ＋1)e －x－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 3＋x 22＋x ＋1e －x＝⎝⎛⎭⎪⎫－ax ＋3a －12x 2e －x ，记h (x )＝－ax ＋3a －12，则F ′(x )＝h (x )(x 2e －x )，注意到在x ＝0的附近，恒有x 2e －x>0，故要使x ＝0为F (x )的极大值点，必须h (0)＝0，即3a －12＝0，从而a ＝16，又当a ＝16时，F ′(x )＝－16x 3e －x，则当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )>0，当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )<0，于是F (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故F (x )max ＝F (0)，综上所述，a ＝16.。

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值分层演练 文