MBA2 管理运筹学讲义：线性规划
运筹学讲义_1线性规划
第一章 线性规划【教学内容】线性规划模型，图解法，可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划的基本定理，单 纯形方法，单纯形表，两阶段法，关于单纯形方法的几点说明，对偶线性规划，对偶理论， 对偶单纯形法，求解线性规划问题的几个常用软件。
【教学要求】要求学生理解线性规划的标准形式，能熟练的将一般的线性规划问题化为标准形式；掌 握图解法，能用单纯形法求解线性规划问题；掌握灵敏度分析方法，能够建立线性规划模型 及用常用软件求解线性规划问题。
【教学重点】线性规划模型，图解法，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，对偶线性规划，对偶单纯 形法，灵敏度分析。
【教学难点】基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯 形法。
第一节 线性规划模型线性规划(Linear Programming ， 简记为 LP )问题研究的是在一组线性约束条件下一个线 性函数最优问题。
§1．1 线性规划问题举例例 1.1.1 某工厂用 3 种原料 3 2 1 , , P P P 生产 3 种产品 3 2 1 , , Q Q Q 。
已知单位产品所需原 料数量如表 1.1.1 所示，试制订出利润最大的生产计划。
453 单位产品的利润（千元）20005 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1 原料可用量Q 3Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg)原料3P 3表 1.1.1分析 设产品 j Q 的产量为 j x 个单位， 3 , 2 , 1 = j ，它们受到一些条件的限制。
首先， 它们不能取负值，即必须有 3 , 2 , 1 , 0 = ³ j x j ；其次，根据题设，三种原料的消耗量分别不 能超过它们的可用量，即它们又必须满足：1223 123 231500 24800 3252000 x x x x x x x +£ ì ï+£ í ï ++£ î我们希望在以上约束条件下，求出 3 2 1 , , x x x ，使总利润 3 2 1 4 5 3 x x x z + + = 达到最大， 故求解该问题的数学模型为：123 12 23 123 max 354 231500 24800 .. 3252000 0,1,2,3j z x x x x x x x s t x x x x j =++ +£ ì ï +£ ï í++£ ï ï ³= î 类似这样的问题非常多。
管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
管理运筹学课件第2章 线性规划
x1 x2 ≤ 8
产量非负 x 1 , x 2 ≥ 0
决策变量
（decision variable）
总利润表三达要式素
目标函数 （objective function）
约束条件 生产能力,不 （subject to） 允许超过 当目标函数与约束条件均为决策变
量的线性函数，且变量取连续值时，
当xk的值由0增加到θ时，原来的基变 量xl取值首先变成零，选择其为出基变 量。称θ的表达式为最小比值原则。
如果所有aik ≤0, xk的值可以由0增加到 无穷，表示可行域是不封闭的，且目 标函数值随进基变量的增加可以无限 增加，此时不存在有限最优解。
下面对以上讨论进行总结.
2019/8/31
课件
15
称为线性规划LP；变量取整称为整
数线性规划ILP；变量取二进制为
0-1规划BLP。
2019/8/31
课件
5
2.1.2 线性规划的数学模型
【例2.1】（合理配料问题）由下表建立一个LP模型求解满足动物成长 需要又使成本最低的饲料配方。
饲料 营养甲(g/kg) 营养乙(g/kg) 营养丙(g/kg) 成本(g/kg)
x1+x2=8
x1
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课件
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2.2.3 线性规划几何解的讨论
线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷 多最优解、无界解、无可行解。 可行域为封闭有界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解两种情况； 可行域为非封闭无界区域时，可能存在唯一最优解， 无穷多最优解，无界解三种情况； 可行域为空集时，没有可行解，原问题没有最优解。
1
0.5
0.1
0.08
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它广泛应用于工程、经济学、运筹学等领域。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。
二、线性规划的基本概念1. 线性规划的定义线性规划是在一组线性约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值的数学优化问题。
2. 基本术语- 决策变量：用来表示问题中需要决策的量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
- 目标函数：表示需要最大化或最小化的量，通常用z表示。
- 线性约束条件：表示问题中的限制条件，通常以不等式或等式的形式给出。
- 可行解：满足所有线性约束条件的决策变量取值。
- 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
三、线性规划模型的建立1. 确定决策变量根据问题的特点，确定需要决策的变量及其表示方式。
2. 建立目标函数根据问题的要求，构建目标函数，它通常是决策变量的线性组合。
3. 确定约束条件根据问题的限制条件，建立线性约束条件，通常以不等式或等式的形式给出。
4. 求解最优解利用线性规划的求解方法，求解出使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
四、线性规划的求解方法1. 图形法对于二维或三维问题，可以使用图形法来求解线性规划问题。
首先将约束条件绘制成图形，然后通过图形的分析找到最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，不断改进可行解，直到找到最优解。
3. 整数规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法来求解线性规划问题。
整数规划通常比线性规划更复杂，需要使用特定的求解算法。
五、线性规划的应用案例1. 生产计划问题假设一家工厂有多种产品需要生产，每种产品有不同的生产成本和利润。
通过线性规划，可以确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。
2. 运输问题假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间有不同的运输成本。
通过线性规划，可以确定各个供应地和需求地之间的运输量，使得总运输成本最小化。
运筹学 线性规划
运筹学线性规划运筹学是一门研究如何进行最优决策的学科。
它包括了多个数学分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等。
其中，线性规划在运筹学中占有重要地位。
线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定结构的最优化问题。
它的基本思想是在给定的约束条件下，通过构建目标函数和决策变量之间的线性关系，寻找使目标函数达到最优值的决策变量取值。
线性规划的数学模型可以表示为以下形式：最大化（或最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... +cₙxₙ所有的约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，c₁、c₂、...、cₙ表示目标函数中的系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件中的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件右侧的常数。
线性规划的解法有多种，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法通过逐步进行基变量的选择和替换，不断改进目标函数值，从而找到最优解。
它的基本思想是通过基变量的变换，使目标函数值不断减小，直到达到最小值或者无法继续改进为止。
线性规划的应用十分广泛。
它可以用于生产计划、资源分配、物流管理、投资组合等多个领域。
例如，在生产计划中，线性规划可以帮助企业合理分配生产资源，降低成本，提高效益。
在物流管理中，线性规划可以优化货物的调度方案，减少运输成本。
在投资组合中，线性规划可以帮助投资者选择合适的投资组合，以获得最大的收益。
总之，运筹学中的线性规划是一种重要的决策优化方法。
通过构建数学模型，并应用单纯形法等求解方法，可以在给定的约束条件下寻找最优解，从而提高决策的效果。
随着计算机技术的发展，线性规划的应用领域和规模将会进一步扩大，为各行各业提供更好的决策支持。
《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念
03 线性规划的求解方法
单纯形法
1
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法， 其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
2
单纯形法的基本步骤包括：建立初始单纯形表格、 确定主元、进行基变换、更新单纯形表格和判断 是否达到最优解。
3
单纯形法在处理大规模线性规划问题时，由于其 迭代次数与问题规模呈指数关系，因此计算量较 大。
06 线性规划的案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划应用场景，通过合理安排生产计划，企业可以优化资源利用，降低成本并提 高利润。
详细描述
生产计划问题通常涉及确定不同产品组合、生产数量、生产批次等，以满足市场需求、资源限制和利润目标。线 性规划模型可以帮助企业找到最优的生产计划，使得总成本最低或总利润最大。
最优性条件由单纯形法推导得出，是判断线性规划问题是否达到最优解的 重要依据。
解的稳定性
解的稳定性是指最优解在参数变化时保持相对稳定的能力。
在实际应用中，由于数据的不确定性或误差，参数可能会发生变化。因此，解的稳 定性对于线性规划问题的实际应用非常重要。
解的稳定性取决于目标函数和约束条件的性质，以及求解算法的鲁棒性。在某些情 况下，可以通过敏感性分析来评估解对参数变化的敏感性。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
目标函数是需要最大或最小化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是问题中给定的限制条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
管理运筹学讲义：线性规划
1
相关数据如表所示： • •
10
11
12
问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 第一节 线性规划一般模型 (1)决策变量。要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因此有两个决策变量：设x1为甲 产品产量，x2为乙产品产量。 (2)约束条件。生产这两种产品受到现有生产能力的制约，用量不能突破。 生产单位甲产品的零部件需耗用A车间的生产能力1工时， 生产单位乙产品不需耗用A车间的生产能力， A车间的能力总量为8工时，则A车间能力约束条件表述为 x1 ≤8 同理，B和C车间能力约束条件为 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 第一节 线性规划一般模型 (3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则 maxZ= 3x1 +5 x2 (4)非负约束。甲乙产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表述为 x1 ≥0， x2 ≥0 第一节 线性规划一般模型 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在 城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为 Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。 第一节 线性规划一般模型 (1)决策变量。设从Ai到Bj的运输量为xij， (2)目标函数。运费最小的目标函数为 minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 (3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足： 供应平衡条件 第一节 线性规划一般模型 • 用一组非负决策变量表示一个决策问题， • 存在一定的等式或不等式的线性约束条件， • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的线性函数。可能是最大化，也可能是最小 化。 • 线性规划一般模型的代数式 为： 第二节 线性规划的图解法 • 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解， 这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了。 第二节 线性规划的图解法
(MBA课程)管理运筹学第四章线性规划在工商管理中的应用
设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人
制作 员数，可以知道在第i班工作的人数应包括
第 i-1班次时开始上班的人员数和第i班次时
开始上班的人员数，例如有x1+x2≥70。又要 求这六个班次时开始上班的所有人员最少，
即要求x1+x2+x3+x4+x5+x6最小，这样我们建 立如下的数学模型。
目标函数： min x1+x2+x3+x4+x5+x6
21
广西大学 王中昭 制作
例4
永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品。每种 产品均要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种 规格的设备能完成A工序，它们以A1、A2表示；有 三种规格的设备能完成B工序，它们以B1，B2，B3 表示。产品Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工。 产品Ⅱ可在任何一种规格的A设备上加工，但完成 B工序时，只能在B1设备上加工。产品Ⅲ只能在A2 与B2设备上加工。已知在各种设备上加工的单件 工时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有 效台时以及满负荷操作时的设备费用如表4 —4示， 要求制定最优的产品加工方案，使该厂利润最大。
约束条件： x1+x6≥60， x1+x2≥70，
x2+x3≥60， x3+x4≥50，
x4+x5≥20， x5+x6≥30，
x , x , x , x , x , x ≥0 4
广西大学 用“管理运筹学”软件可以求得此问题的解：
王中昭 制作
x1=50， x2=20，x3=50， x4=0， x5=20，
产品的利润再增加2元达到每件12元利润，那么全部自制的乙产品
才有可能上马生产，否则乙产品还是铸造外协、其余自制的利润更
管理运筹学讲义 第1 章 线性规划
(3)约束条件：产量之和等于销量之和,故要满足：
供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=50 x21+x22+x23+x24=20 x31+x32+x33+x34 =30
x11+x21+x31=20 x12+x22+x32=30 x13+x23+x33=10 x14+x24+x34=40
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其他变量的。 目标函数值是决策变量对目标函数贡献的总和。
（4）连续性假定
决策变量取值连续。
（5）确定性假定
所有参数都是确定的，不包含随机因素。
9 OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
2、一般数学模型
• 用一组非负决策变量表示的一个决策问题； • 存在一组等式或不等式的线性约束条件； • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的极值线性函数。
4 2 6
8
O
2
4
6
8
x1
OR:SM
23
• 当决策变量是三维的，如何求解？ • 当维数再高时，又如何求解？
24
OR:SM
第二节 线性规划的一般模型
一、线性规划的标准型式
1、标准型表达方式
1）代数式
max Z c j x j
j 1 n
2）向量式
max Z CX
i 1,2,, m j 1,2,, n
20
OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
管理运筹学第2章 线性规划的图解法
i
i
MinZ e1i e2i
i
i
s.t.eβ10i-,eβ21i无 符yi 号 β限0 制β1xi
e1i , e2i 0,i 1,2,, n
还可以加上一些特定的需求.例如,要求必须过某 一点.
16
线性规划问题的应用举例(回归分析)
新标准:最小化最大绝对误差.
–整数规划问题
• 考虑短期排班的问题
–对午休换班进行建模
• 考虑每个工人
–允许工人有不同的偏好
29
套裁下料问题
例某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢
各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所
用原料最省？
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8
产品名称
规格要求
单价（元/kg）
甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25%
50
乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50%
35
丙
不限
25
原材料名称
1 2 3
每天最多供应量
100 100 60
单价（元/kg） 65 25 35
9
线性规划应用举例
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。 这样我们建立数学模型时，要考虑：
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
20
关于决策变量的选择的启示
MBA课程_管理运筹学课件_第四章_线性规划
管理运筹学
第四章 线性规划
线性规划概述
标准形式: 目标函数： Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn 约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
管理运筹学
第四章 线性规划
线性规划概述
• • • • • •
3、线性规划在工商管理中的应用举例 人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题
人力资源分配的问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 2ຫໍສະໝຸດ 3026管理运筹学
第四章 线性规划 生产计划的问题
线性规划概述
例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲 、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种 产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保 证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生 产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少 件？
设备 A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件） Ⅰ 5 7 6 4 7 0.25 1.25 产品单件工时 Ⅱ Ⅲ 10 9 12 8 11 0.35 2.00 0.50 2.80 设备的 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000 满负荷时的 设备费用 300 321 250 783 200
MBA运筹学培训讲义
MBA运筹学讲义运筹学是一门应用科学，它广泛应用现代科学技术知识、用定量分析的方法，解决实际中提出的问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
运筹学的核心思想是建立在优化的基础上。
例如，在线性规划中体现为两方面：（1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完成？（2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务最多？运筹学解决问题的主要方法是用数学模型描述现实中提出的决策问题，用数学方法对模型进行求解，并对解的结果进行分析，为决策提供科学依据。
随着计算机及计算技术的迅猛发展，目前对运筹学的数学模型的求解已有相应的软件。
因此，在实际求解计算时常可借助于软件在计算机上进行，这样可以节省大量的人力和时间。
第一部分线性规划内容框架LP问题基本概念数学模型可行解、最优解LP问题解的概念基本解、基可提出基本最优解基本方法图解法原始单纯形法单纯形法大M 法人工变量法对偶单纯形法两阶段法对偶理论进一步讨论灵敏度分析──参数规划*在经济管理领域内应用运输问题（转运问题）特殊的LP问题整数规划多目标LP问题*第一部分线性规划（Linear Programming）及其应用第一章 LP问题的数学模型与求解§1 LP问题及其数学模型（一）引例1（生产计划的问题）某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗以及每件产品可获的利润如下表该问题可用一句话来描述，即在有限资源的条件下，求使利润最大的生产计划方案。
解：设x1,x2分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
由于资源的限制，所以有：机器设备的限制条件：x1+2x2≤8原材料A的限制条件： 4x1≤16 （称为资源约束条件）原材料B的限制条件： 4x2≤12同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有x 1≥0，x2≥0 （称为变量的非负约束）显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。
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• 约束条件
任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解 把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件 约束条件是决策方案可行的保障 LP的约束条件，都是决策变量的线性函数
• 目标函数
衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小
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第一节 线性规划的标准型
≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 x1
x1 ≥0， x2 ≥0
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、 A3, 其一级承销商有 4 个，分布在城市 B1 、 B2 、 B3 、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为 Cij ，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
二、非标准型向标准型转化
• 目标函数极小化问题
minZ=CTX，只需将等式两端乘以 -1 即变为极大化问题。
• 右端常数项非正
两端同乘以 -1
• 为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式， 非标准型可以转化为标准型。标准形式为：
目标函数极大化 约束条件为等式 右端常数项bi≥0 决策变量非负
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x1
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第二节 线性规划的图解法
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第二节 线性规划的图解法
二 、解的可能性 • 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时 得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
例1的数学模型变为 maxZ= 3x1 +4 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
x1 ≥0， x2 ≥0
(3)约束条件。 约束条件 产量之和等于销量之和,故要满足：
供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3 x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
第三章 线性规划的对偶理论 第四章 线性规划灵敏性分析
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第一章 线性规划的数学模型
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第一章 线性规划的数学模型
• 线性规划
Linear Programming, LP 规划论中的静态规划 解决有限资源的最佳分配问题
2. 最优解的确定
• 目标函数 Z= 3x1 +5 x2 代表以 Z 为参数的一族平行线。
x2
9
x
C
x1 =8 2x2 =12
D
6 3
C
Z=30
x1 =8 2x2 =12
B
8A
B Z=42
8A
Z=15
4 12 3x1 +4 x2 =36
0
x1
0
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第二节 线性规划的图解法
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第二节 线性规划的图解法
1. 可行域的确定
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 条件共同围城的区域。
2 • 例1的数学模型为 9 maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 D 6 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 3 x1 ≥0, x2 ≥0
• 建立模型 (1)决策变量。 决策变量 要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因 (2)约束条件。 约束条件 生产这两种产品受到现有生产能力的制约，
用量不能突破。
生产单位甲产品的零部件需耗用A车间的生产能力1工时， 生产单位乙产品不需耗用A车间的生产能力， A车间的能力总量为8工时，则A车间能力约束条件表述为 x1 ≤8 同理，B和C车间能力约束条件为 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
-1
3 2 1
-2x1 + x2 =2
Z=12 Z=6 x1 -3 x2 =3 x1
1 -1
20
2
3
4
8
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第二节 线性规划的图解法
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第二章 线性规划单纯形法
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• 约束条件为不等式
当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量，就变成等式 当约束条件为“≥”时，左端减去一个非负的剩余变量(也称松弛变量)
• 决策变量xk没有非负性要求
令xk=xk′-x k〃， xk′，x k〃 ≥0 ，用xk′、x k〃 取代模型中xk
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第一讲 线性规划
第一章 线性规划的数学模型
第一节 线性规划一般模型 第二节 线性规划的图解法
管理运筹学
魏 航
第二章 线性规划的单纯形法
第一节 线性规划的标准型 第二节 线性规划解的概念 第三节 线性规划单纯形法
单 位：上海财经大学国际工商管理学院企业管理系 位： 物流与供应链管理研究中心 E-mail：odeywei@ 电 话：65903541(O)
• 若有5种不同浓度的硫酸可选(30%,45%,73%,85%,92%) 会出现什么情况？
取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 数学模型则为：
• 若5种硫酸价格分别为400, 700, 1400, 1900, 2500元 /t，则有：
MinZ = 400x1 + 700x2 + 1400x3 + 1900x4 + 2500x5 ⎧x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 100 ⎪ s.t.⎨0.3x1 + 0.45x2 + 0.73x3 + 0.85x4 + 0.92x5 = 0.8 ×100 ⎪x ≥ 0, j = 1,2,",5 ⎩ j
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 6 7 3 2 B2 3 5 2 3 B3 2 8 9 1
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• 综上所述，该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
9
B4 5 4 7 4
产量 5 2 3
2 1
x1 -3 x2 =3
1 -1
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2
3
x1
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第一节 线性规划的标准型
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第一节 线性规划的标准型
一 、标准型 • 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如
目标函数有极大化和极小化 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况 决策变量一般有非负性要求，有的则没有
• 例3. 配比问题 用浓度为45%和92%的硫酸配置100吨浓度为80% 的硫酸。 决策变量： 决策变量 取45%和92%的硫酸分别为 x1 和 x2 吨 约束条件： 约束条件 ⎧x + x = 100 1 2 ⎨ x 0 . 45 ⎩ 1 + 0.92x2 = 0.8 ×100 非负约束： 非负约束
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
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销售平衡条件
非负性约束
求解二元一次方程组得解
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第一节 线性规划一般模型
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第一节 线性规划一般模型
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第一节 线性规划一般模型
(1)决策变量。 决策变量 设从Ai到Bj的运输量为xij， (2)目标函数。 目标函数 运费最小的目标函数为
minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34
• 线性规划一般模型的代数式 为： max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥0