用待定系数法求函数解析式
初二函数专题5--用待定系数法求解析式+答案
初二函数专题6--用待定系数法求解析式一、用待定系数法求解析式 1、已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A.2y x =- B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<2、已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点． 求这个一次函数的解析式．3、已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．4、一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C (a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．二、根据位置关系求解析式5、已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数的解析式．6、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．三、根据函数定义求解析式7、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．8、已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。
（1）求a b 、的取值范围；（2）a b 、为何值时，此函数的图象过一、三象限。
9、已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式．y xO3214321A四、根据增减性求解析式10、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式。
11、已知函数(2)31y a x a =---，当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为 ．12、已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.13、一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.14、⑴已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.⑴已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.参考答案用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2y x =-B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为2y x =-，同时根据图象看出自变量的取值范围为10x -<<答案：B【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】 设这个一次函数的解析式为：y kx b =+，由题意可知322k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数的解析式为：24y x =-．【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【例3】 (09四川泸州)已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【解析】 ⑴根据已知()023A -，，()143B -，，求出一次函数解析式为223y x =+-，再把C 点坐标代入得23c =+．⑴()()()222222192a b c ab ac bc a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦∵【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C(a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A 、B 在直线l 上．⑴b ka ta kb t =+⎧⎨=+⎩，⑴a b =/，解得：1k =-,故直线l 的解析式为y x =-+t ． 又点C 在直线l 上．⑴()b a a b t -=--+，得0t =．即直线l 的解析式为y x =-，可知l 经过二、四象限．2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数 的解析式．【解析】 根据题意可设此函数解析式为2y x b =+，过点P (-1，2)，解得4b =，解析式为24y x =+.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【解析】 根据题意可得OA 的解析式为2y x =，向上平移一个单位以后，可得：12y x -=，即21y x =+3、根据函数定义求解析式【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．【解析】 根据已知条件，设11y k x =，22k y x = (1k ，2k 均不为零)，于是，得：2221212k y y y k x x=+=+将2x =，3x =代入212y y y =+得：22122121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之：122536k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，⑴2365y x x =+【补充】已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。
12 专题 用待定系数法求一次函数解析式
专题用待定系数法求一次函数解析式
一、利用坐标求解析式
1．一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，1)和(0，－1)，求一次函数的解析式.
二、利用平移性质求解析式
2．一次函数y＝kx＋b与直线y＝2x平行，且经过点(－3，－1)，求一次函数的解析式．
3．直线y＝－2x＋4向右平移3个单位得直线l，求直线l的解析式．
4．一次函数y＝kx＋1的图象向上平移1个单位，向左平移2个单位后正好经过点(2，3)，求一次函数的解析式．
三、利用对称性质求解析式
5．已知直y＝－1
2
x＋b沿y轴翻折后正好经过点(－2，1)，求一次函数的解析式．
6．已知直线y＝2x－4与直线x关于x＝－1对称，求直线l的解析式．
四、利用已知函数关系，再求函数关系
7．已知y＋2与x－3成正比例，且当x＝0时，y＝1，则y＝4时，求x的值．
8．y＋1与z成正比例，比例系数为2，z与x－1成正比例，当x＝－1时，y＝7，求y与x之间的函数关系式．。
待定系数法求解析式
待定系数法求函数解析式【要点梳理】一．已知三点求抛物线解析式例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式．例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式．三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式．四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．五．求平移后新抛物线解析式例6把抛物线2xy-=向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式．六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式例7 在一张纸上作出函数322+-=xxy的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数322+-=xxy的图象关于x轴对称的抛物线，并写出新抛物线解析式．【课堂操练】1．求下列条件下的二次函数解析式：（1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）．（2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）．2．已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，求它关于y轴对称的抛物线解析式．3．已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，求它关于x轴对称的抛物线解析式．4．已知二次函数cbxxy++=221的图象过点A（c，－2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程；若不能，请说明理由．（2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添加一个适当的条件，把原题补充完整．【课后巩固】1．将抛物线2y x=的图像向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________．2．二次函数342++=xxy的图象可以由二次函数2xy=的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度3．已知2y ax bx c=++的图象过（－2，－6）、（2，10）和（3，24）三点，求函数解析式．4．已知函数2y ax bx c=++，当x＝1时，有最大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的解析式．5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解析式．6．已知抛物线22(2)4y m x mx n =--+的对称轴是x ＝2，且它的最高点在直线112y x =+上，求此抛物线的解析式．7．已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过 （0，1）和（2，－3）两点． （1）如果抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围．（2）若对称轴为x ＝－1，求抛物线的解析式．8． 二次函数图象过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB =OC ． （1）求C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．9．在平面直角坐标系中，△AOB 的位置如图所示．已知∠AOB ＝90°，AO =BO ，点A 的坐标为 (－3，1)．(1)求点B 的坐标，（2）求过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式， （3）设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为B l ，求△AB l B 的面积．10．已知点A （－2，－c ）向右平移8个单位得到 点A '，A 与A '两点均在抛物线2y ax bx c =++上， 且这条抛物线与y 轴的交点的纵坐标为－6，求这 条抛物线的顶点坐标．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0）． （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．12．一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y ＝x －3的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．13．在平面直角坐标系中，已知二次函数k x a y +-=2)1(的图像与x 轴相交于点A 、B ，顶点为C ，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．14．关于x 的函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； （3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．。
待定系数法求函数的解析式
一次函数的解析式1、把y=kx+b （k ≠0，b 为常数）叫做一次函数的标准解析式，简称标准式。
直线过()11,y x ， ()22,y x =>2121x x y y k --=,或1212x x y y k --=b:与y 轴交点的刻度（ 纵坐标）1：若点A （2，4）在直线y=kx-2上，则k=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．02：一条直线通过A （2,6），B （-1,3）两点，求此直线的解析式。
3：一条直线通过A （1,6），B （0,3）两点，求此直线的解析式。
4：若A （0，2），B （-2，1），C （6，a ）三点在同一条直线上，则a 的值为（ ）A ．-2B ．-5C ．2D ．55.已知点M （4，3）和N （1，-2），点P 在y 轴上，且PM+PN 最短，则点P 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（0，-1）D ．（-1，0）6.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （0，1）和B （2，0），当x ＞0时，y 的取值范围是（ ）A ．y ＜1B ．y ＜0C ．y ＞1D ．y ＜27.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示（1）当x ＜0时，y 的取值范围是______。
（2）求k ，b 的值．用待定系数法求二次函数解析式二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。
C:与y轴交点刻度（纵坐标）2、顶点式：y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
1.已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？2.已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．3. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；求抛物线的解析式？5.. 已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？6.如图，已知两点A（－8，0），（2，0），与y轴正半轴交于点C（0、4）。
待定系数法求函数解析式10题
待定系数法求函数解析式10题1. 题目：已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，求这个一次函数的解析式。
- 解答：- 因为一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，所以把这两个点分别代入函数解析式中。
- 当x = 1，y = 3时，得到3=k×1 + b，也就是k + b=3；当x=-1，y = - 1时，得到-1=k×(-1)+b，也就是-k + b=-1。
- 现在有了一个方程组k + b = 3 -k + b=-1。
- 把这两个方程相加，(k + b)+(-k + b)=3+(-1)，得到2b = 2，解得b = 1。
- 把b = 1代入k + b = 3，得到k+1 = 3，解得k = 2。
- 所以这个一次函数的解析式是y = 2x+1。
2. 题目：二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)，求这个二次函数的解析式。
- 解答：- 因为二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)。
- 当x = 0，y = 1时，代入解析式得1=a×0^2+b×0 + c，也就是c = 1。
- 当x = 1，y = 2时，得到2=a×1^2+b×1 + c，也就是a + b + c=2；当x=-1，y = 4时，得到4=a×(-1)^2+b×(-1)+c，也就是a - b + c = 4。
- 因为c = 1，所以把c = 1代入a + b + c = 2和a - b + c = 4中，得到a + b+1 = 2 a - b+1 = 4。
- 化简这两个方程得a + b = 1 a - b = 3。
- 把这两个方程相加，(a + b)+(a - b)=1 + 3，得到2a = 4，解得a = 2。
用待定系数法求一次函数解析式
y＝3x－30
60 元上网费用； (2)若小李 4 月份上网 20 小时，他应付________
(3)若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间 是__________．
35
点拨：(1)当 x≥30 时，设函数解析式为 y＝kx＋b，
30k b 60 k 3 则 ，解得 .所以 y＝3x－30. b 30 40k b 90
k=2 ∴ y=2 x +2 ∴ x=-1 时 y=度y（厘米）在一定限度内 所挂重物质量x（千克）的一次函数，现已测得 不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量 的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次 函数的解析式。
解:设这个一次函数的解析式为:y=kx+b 根据题意,把x=0,y=6和x=4,y=7.2代入,得： b=6 k=0.3 4k+b=7.2 解得 b=6
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变式3：已知一次函数y=2x+b 的 图象过点(2,-1).求这个一次函数 的解析式．
解： ∵ y=2x+b 的图象过点（2，-1）.
∴ -1=2×2 + b
解得
b=-5
∴这个一次函数的解析式为y=2x-5
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变式4：已知一次函数y=kx+b 的图象 与y=2x平行且过点(2,-1).求这个一 次函数的解析式． ∵ y=kx+b 的图象与y=2x平行. 解：
当B点的坐标为（0,4）时，则 y=kx+4
4 ∴ 0=3k+4， ∴k= - ∴ 3 4 ∴ 0=3k+4， ∴k= 3
y= -
4 x+4 3
当B点的坐标为（0,-4）时，则 y=kx-4
求函数f(x)的解析式
例2 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x )
2 解：令 t x 1，则 t 1 ， x (t 1)
f ( x 1) x 2 x
f (t ) (t 1) 2 2(t 1) t 2 1,
2
f ( x) x 1 ( x 1)
2 a x+ab+b f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=
a 2 4 ab b 3
a 2 a 2 或 b 1 b -3
f ( x) 2x 1 或 f ( x) 2x - 3
二、【换元法】
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令 t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确定新元t的取值 范围。
2
f ( x) ( x 1) 1
2
作业： 《全优课堂》 1、P23 例3 2、P24能力提高7
再
见
解：1、令x=1,y=0则有 f(1)-f(0)=2,由f(1)=0的f(0)=-2 。 2、令y=0则有 f(x)-f(0)=(x+1)x, 所以 f(x)=(x+1)x+2 .
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系 数法；
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x) ：换元法、 配凑法； （3）已知含有两个不同变量的函数的关系式： 列方程组法（消去法） （4）已知关系式中的变量可任意取值：赋值法
练习：
1、若f (3x 1) 4 x 3, 求f ( x)的解析式。 2、已知f ( x 1) x 1, 求f ( x)的解析式。
用待定系数法求解析式
例3．
练习3： 已知一元二次函数f(x)的图象经过点（３，８）,
且与x轴交于两点（－１,０）,（5,０）,求函数f(x)的
已解析解知：式由一。题元意可二设次函数函的数解析f式(x为)的f (图x) 象a(x经1)(过x 点5) （0，因3为）图且象经与过（X３轴，交８）于两点（1，0） ,（3，代入0）得 ,8求 a函(3数1)(3f5()x)的解析式。
所以 a 1
因此,函数的解析式为 f (x) (x 1)(x 5)
三、小结：
已知条件
已知一次函数经过两点 A(x0,y0)，B(x1,y1)
可设函数解析式为
f (x) kx b(k 0)
已知二次函数经过不重
合的三点A(x0,y0),B(x1,y1),
C(x2,y2)
f (x) ax2 bx c(a 0)
这种通过求待定系数来确定变量之间关系（函
数解析式）的方法叫做待定系数法。
二、典例讲解与练习：
例1、已知一元二次函数f(x)在x=-1,0,1处的函 数值分别为7，-1，-3，求这个函数 f(x)的解析 式。
练习1：
已知一元二次函数f(x),且x=0,-1,1 处的函数值分别为3, 6, 2,求这个函数 f(x)的解析式。
思考：
问题1： 一元二次函数 f(x)的图象的对称轴是直线x=2, 并且图象经过点P(2,0),Q(0,4)，求函数f(x)的解 析式。
问题2： 一元二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x) , 且函数 有最大值2，与 y 轴交于点（0，-6），求函数 f(x)的解析式。
一、复习引入
１．已学的函数及其解析式：
①正比例函数： y k x
②反比例函数： ③一 ຫໍສະໝຸດ 函 数：y k xy kxb
待定系数法求一次函数解析
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THANKS
未知参数较多或未知参数之间的关系不明确
待定系数法更为适用，可以通过设立方程组求解。
与其他方法的结合使用
• 在某些情况下，可能需要结合待定系数法和点斜式或两点式来 求解一次函数的解析式。例如，已知一点和斜率，同时还需要 确定其他参数时，可以先使用点斜式得到初步的函数解析式， 再结合待定系数法求解其他参数。
实例二：已知与x轴交点求一次函数解析式
总结词
利用与x轴交点坐标求一次函数解析式
VS
详细描述
给定一次函数与x轴的交点$(x_0, 0)$，通 过待定系数法可以求出一次函数$y = kx + b$的解析式。首先，根据交点坐标计算斜 率$k = frac{0 - b}{x_0 - 0} = frac{b}{x_0}$，然后代入交点坐标$(x_0, 0)$求出截距$b = 0 - kx_0$，最终得到一 次函数解析式。
实例三：已知与y轴交点求一次函数解析式
总结词
利用与y轴交点坐标求一次函数解析式
详细描述
给定一次函数与y轴的交点$(0, y_0)$，通过 待定系数法可以求出一次函数$y = kx + b$ 的解析式。首先，根据交点坐标计算截距 $b = y_0$，然后根据斜率$k$和截距$b$ 的关系计算斜率$k = frac{y_0 - b}{0 - 0} = frac{y_0 - y_0}{0} = 0$，最终得到一次函 数解析式。
03
待定系数பைடு நூலகம்求一次函数解析 步骤
设定一次函数形式
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是待 求的系数。
根据题目条件，设定一次函数的具体形式，例如 $y = kx + b$。
用待定系数法求函数解析式用
经过点P（1,2）的一次函数的解析式，则这个一次
函数解析式为 y x 1 。
2、（2007年郴州）已知正比例函数y=kx经过点 P(1，2），求这个正比例函数的解析式为 y 2x 。
3、（2010年郴州）已知双曲线 （1，2）则双曲线的解析式为
y
k x
y
的图象经过A
2 。
x
展现 自我
1、（2013年郴州）已知：如图，一次函数的图
象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y= 2 的图象在第一象限内交于A，B两点，其中 x
A（1，a），求这个一次函数的解析式．1
这个一次函数的解析式y=-x+3
．
2、（2012年郴州）已知反比例函数的图象与 直线y=2x相交于A（1，a），求这个反比例 函数的解析式． 这个反比例函数的解析式为y= 2
（1）求抛物线的表达式； （2）、（3）待续
y 2 x2 11 x 4 33
方法点拔 看图找点 见形想式 建模求解
畅谈所得
感悟提升
通过本节课的复习你对用待 定系数法求函数解析式又有什么 新的认识？
轻松 应对
任选以下三个条件中的一个，求二次函数
y=ax2＋bx＋c的解析式； ① 0）已知直线上两个点的坐标
反比例函数
yy kk(k 0) xx
二次函数一般式 y=ax2+bx+c
已知双曲线上一个点的坐标 已知抛物线上三个点的坐标
二次函数顶点式 y＝a(x-h)2+k 已知抛物线顶点坐标（h, k）
二次函数交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
已知抛物线与x 轴的两个交 点(x1,0)、 (x2,0),
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解一般来说，二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，且a≠0）。
我们可以使用待定系数法来求解二次函数的解析式，具体步骤如下：1.设定待定系数：我们设定系数a、b、c的值为待定系数。
即假设a、b、c的值为未知数。
2.建立方程：根据二次函数的一般形式y = ax^2 + bx + c，我们可以将二次函数转化为一元二次方程。
在方程中，将x、y的值用待定系数a、b、c表示。
3.解方程：根据设定的待定系数，将二次方程化简为标准形式，并利用解一元二次方程的方法求解出待定系数的值。
4.得出结果：通过求解出的待定系数，我们可以得出二次函数的解析式。
下面我们通过一个具体的例子来说明待定系数法的应用。
例：已知二次函数图像经过点（1，3），（-2，2）和（3，4），求解此二次函数的解析式。
解：根据已知条件，我们可以列出三个方程：（1，3）：a+b+c=3（-2，2）：4a-2b+c=2（3，4）：9a+3b+c=4根据设定的待定系数a、b、c，化简以上方程可以得到：a+b+c=3----（1）4a-2b+c=2----（2）9a+3b+c=4----（3）我们可以使用消元法或代入法来求解此方程组。
首先，将方程（2）的2倍加到方程（1）中，可以得到：6a-2b+2c=6然后，将方程（3）的3倍减去方程（1）中，可以得到：24a+6b-3c=6现在我们得到了两个新的方程：6a-2b+2c=6----（4）24a+6b-3c=6----（5）再将方程（5）的3倍加到方程（4）中，可以得到：6a+4c=24我们可以解得：a=3-2c将上式代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+b+c=3整理可得：b-c=0b=c所以，我们可以令b=c。
现在我们得到了a=3-2c和b=c。
将a、b、c的值代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+c+c=3化简可得：-2c+3=3-2c=0c=0将c=0代入a=3-2c和b=c中，可以得到：a=3b=0所以，二次函数的解析式为：y=3x^2通过以上步骤，我们成功使用待定系数法求解了二次函数的解析式。
高中数学用待定系数法求函数的解析式
高中数学用待定系数法求函数的解析式待定系数法是一种求未知数的方法。
一般用法是：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，从而得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，最后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
例1、已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，），当x＝4时，y的值为9；当x＝2时，y的值为－3；求这个函数的关系式。
分析：将已知条件代入函数的解析式得到关于的方程再求解即可。
解：依题意得：∴y＝6x－15思考：一般地，函数关系式中有几个系数，就需要有几个等式才能求出函数关系式。
如，一次函数关系：那么，如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？例2、已知二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式。
分析：给出三个条件需要列三个等式，应设二次函数的解析式为一般式。
解：设函数的解析式为，则有解得∴y＝1.5x2－1.5x＋1例3、已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的关系式。
分析：本题的题目中给了顶点坐标，所以可设二次函数解析式为顶点式。
解：∵顶点坐标是（8，9）∴可设函数关系式为：y＝又∵函数图象经过点（0，1）∴a×＋9＝1 解得a＝∴函数关系式为：y＝（x－8）＋9例4、抛物线的图象经过（0，0）与（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。
分析：根据抛物线的对称性，知顶点的坐标是（6，3）方法一：可设函数关系式为：再将（0，0）点的坐标代入得，解得，所以，所求抛物线解析式为方法二：设函数关系式为：由题意，得，解得所以，所求抛物线解析式为思考：利用已知条件求二次函数的解析式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求的解析式。
如：（1）给出三点坐标，宜使用一般式：（2）已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常用顶点式：。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解设定二次函数的解析式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为待定系数。
一、已知函数的根情况一：已知函数的两个根$x_1$和$x_2$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_2)=0$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=0$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=-c$$注意到$x_1$和$x_2$为已知值，$a$、$b$和$c$为待定系数，上述方程可以看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组。
通过解这个方程组，即可求出$a$、$b$和$c$。
情况二：已知函数的一个根$x_1$和函数经过的一个点$(x_3,y_3)$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_3)=y_3$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_3}^2+b{x_3}=y_3-c$$同样地，将上述方程看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，求解即可得到$a$、$b$和$c$的值。
二、已知函数的值当已知二次函数经过的两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$时，同样可以通过设定$a$、$b$和$c$为待定系数，列出方程组来求解。
将已知点代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2$$进一步化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=y_1-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=y_2-c$$同样地，上述方程可看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，通过求解该方程组，即可求出$a$、$b$和$c$的值。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。
用待定系数法求二次函数的解析式公开课PPT通用课件
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1。 故顶点坐标为（ 1 ， 2） 所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 得a=-2 故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
4 图象顶点是M(1,16)且与x轴交于两点，已知 两交点相距8个单位.
解：设抛物线与x轴交于点A、点B y
∵顶点M坐标为（1,16）,对称轴为 16
x=1,又交点A、B关于直线x=1对
称,AB=8
∴A(-3,0)、B(5,0) ∴此函数解析式可设为
A -3 o 1
B
5
x
y=a(x-1)2+16
或y=a(+3)(x-5)
解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知,点(20，16)在抛物线上
∴16=20a(20 – 40), a = - —1
25
评价
选用两根式求解 ，方法灵活巧妙 ，过程也较简捷
3、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2， 图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点 （3，-6），求此二次函数的解析式。
由条件得：点M( 0,1 )在抛物线上 所以：a(0+1)(0-1)=1 得 ： a=-1
y
x o
故所求的抛物线为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=-x2+1
思考： 用一般式怎么解？
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
___y_=_a_x__2+__b_x_+_c__(_a≠0)
二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法是求解二次函数解析式的一种常用方法。
它的基本思想是：已知二次函数的某些性质或特征，根据这些性质或特征列出方程组，通过待定系数的方式求解二次函数的解析式。
具体来说，二次函数待定系数法的求解步骤如下：
1. 根据题目条件列出方程组。
2. 假设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为待定系数。
3. 根据方程组解出 $a$，$b$，$c$ 的值，从而得到二次函数的解析式。
常用的二次函数待定系数法有以下几种：
1. 已知二次函数图像过某个点和另一个点的切线，求解析式。
2. 已知二次函数图像过三个点，求解析式。
3. 已知二次函数的对称轴和顶点坐标，求解析式。
4. 已知二次函数的零点和另一个点，求解析式。
5. 已知二次函数的一个根和一个点，求解析式。
6. 已知二次函数的一个根和对称轴的位置，求解析式。
二次函数待定系数法是数学中一个非常重要的方法，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
- 1 -。
用待定系数法求函数解析式
y
y x
y
x x
y=x-h)²
y=ax²
y=a(x-h)² +k
y=ax² +c
• 1 ：已知二次函数的图像经过点A(0,1),B(1,0) • C(-1,2) ,求二次函数的解析式
解：设二次函数的解析式为 y=ax 2 bx c 函数图像经过点Ａ（0,-1），Ｂ（1,0），Ｃ(-1,2) -１=ｃ ０=ａ＋ｂ＋ｃ ２=ａ-ｂ＋ｃ a 2 b 1 c 1 函数解析式为：y 2 x 2 x 1
2
• 3：已知二次函数的图 像经过点A(1.0),B(3,0) 3 • C( 1 ，- 2 ) ,求二次函数 2 的解析式
3 解：设抛物线的解析式为： y = a ( x - 1)( x - 3) 1 3 抛物线经过点（ ，- ） 2 2 3 1 1 \ - = a ( - 1)( - 3) 2 2 2 6 \ a =5 6 \ y = - ( x - 1)( x - 3) 5 6 2 24 18 即：y = x + x5 5 5
• 2: 已知二次函数的图像顶点A(1，-3)，且 与y轴相交于点B(0,1) ,求二次函数的解析式
2
解：由题意可设抛物线的解析式为: y=a(x-1) 3
2
函数图像与y轴交于点（0， 1 ） 1=(0-1) 3
2
a 4 y 4( x 1) 3
2
即：y 4 x 8x 1
用待定系数 法求二次函 数解析式有 哪些技巧？
一般式
顶点式
交点式
y＝ax bx c
2
y a ( x h) k
2
y a( x x1 )( x x2 )
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• 二次函数的图象经过（0,0）(-1,-1), (1,9) 求这个函数的解析式
• 例题2：已知二次函数的图像的顶点坐标为 （1，-3），且与y轴交于（0，1）。试确 定此函数的解析式。
解：由题意可设抛物线的解析式为: y=a(x-1) 3
2
函数图像与y轴交于点（0， 1 ） 1=(0-1) 3 a 4
y x
y
y x
y
x x
y=a(x-h)²
y=ax²
y=a(x-h)² +k
y=ax² +c
例题1：已知二次函数图像经过点A（0，-1） B（1，0），C（-1，2），求这个函数的解 析式。
解：设二次函数的解析式为 y=ax 2 bx c 函数图像经过点Ａ（0,-1），Ｂ（1,0），Ｃ(-1,2) -１=ｃ ０=ａ＋ｂ＋ｃ ２=ａ-ｂ＋ｃ a 2 b 1 c 1 函数解析式为： y 2x2 x 1
课堂小结
确定二次函数解析式的一般方法是待定系数法， 在选择二次函数的关系式设成什么形式时，可以根据 题目的条件灵活选择，以简单为原则，一般地二次函 数的解析式可以设为如下三种形式： （1）一般式（三点式） y＝ax 2 bx c 当题目给出不特殊的三个点的坐标时，可用此式。
2
（2）顶点式 y a( x h) k 当题目给出两点且其中有一个为顶点时，可用此式。
2
y 4( x 1) 3
2
即：y 4 x 8x 1
2
例题3：已知二次函数的图像点A（1，0） , 1 3 B(3，0),C( ，- ），求这个函数的解析 2 2 式。
解：设抛物线的解析式为： y a ( x 1)( x 3) 1 3 抛物线经过点（ ，- ） 2 2 3 1 1 - a ( 1)( 3) 2 2 2 6 a 5 6 y ( x 1)( x 3) 5 6 2 24 18 即：y x x 5 5 5
用待定系数 法求二次函 数解析式有 哪些技巧？
一般式
顶点式
交点式
y＝ax bx c
2
y a( x h) k
2
y a( x x1 )( x x2 )
解：由图易求顶点坐标为（1，-16） 故可设二次函数解析式为 y=a(x-1) 16
2
点(5, 0)在二次函数y=a(x-1)2 16的图像上 0=a(5-1)2 16 a 1 y=(x-1)2 16 即：y x 2 2 x 15
（3）交点式（两点式） y a( x x1 )( x x2 ) 当题目给出三个点，其中有两个点（x1,0) ,(x2,0)为图像 与x轴的交点是时，可用此式。