八年级数学下册一次函数经典例题剖析(含答案)
八年级数学下册第十九章一次函数知识总结例题(带答案)
八年级数学下册第十九章一次函数知识总结例题单选题1、函数y=√4x−2的自变量x的取值范围是（）A．x>12B．x≤12C．x≠12D．x≥12答案：D分析：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．即4x-2≥0．解：依题意，得4x-2≥0，解得x≥12．故选D．小提示：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．2、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°．点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．答案：A分析：当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h，可得含30°角的直角三角形，根据含30°角直角三角形的性质可得AD边上的高h是AP的一半，即h=√32x,再根据三角形面积公式列出面积表达式即可判断；当点P运动到B点时，过点B作BE⊥AD于点E，由题意易得AB=AD=BC=4,BE=2√3，当点P在线段BC 上时，△ADP的面积保持不变，当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h，可得含30°角的直角三角形，根据含30°角直角三角形的性质可得AD边上的高h是等于√32DP，即h=√32(12−x), 再根据三角形面积公式列出面积表达式即可判断．解：当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h，由30°角所对直角边等于斜边一半,可推导h=√32AP=√32x,所以y=12×4×√32x=√3x;过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：∵边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD=BC=4，∴∠ABE=30°，∴AE=2，∴BE=2√3，点P与点B重合时，△ADP的面积最大，最大为S△ADP=12AD⋅BE=4√3；当点P在线段BC上时，△ADP的面积保持不变，当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h，根据含30°角直角三角形的性质，可得AD边上的高h是等于√32DP，即h=√32(12−x),所以y =12×4×√32(12−x )=12√3−√3x ;∴综上可得只有A 选项符合题意；故选A ．小提示：本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性质、勾股定理是解题的关键．3、若一次函数y =(k +3)x −1的函数值y 随x 的增大而减小，则k 值可能是（ ）A ．2B ．32C ．−12D ．−4答案：D分析：根据一次函数的性质可得k +3<0，即可求解．解：∵一次函数y =(k +3)x −1的函数值y 随x 的增大而减小，∴k +3<0．解得k <−3．观察各选项，只有D 选项的数字符合故选D ．小提示：本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．4、小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据8时，输出的数据是（ ）A ．61B ．63C ．65D ．67答案：C分析：根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，直接将输入数据代入即可求解．解：根据表中数据可得：输出数据的规律为nn 2+1，当输入数据为8时,输出的数据为882+1=865.故答案选：C.小提示：本题考查的知识点是有理数的混合运算及列代数式，解题的关键是找到规律列出相应代数式．5、若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0,n>0)的解，则一次函数y=−m(x−1)−n的图象与x轴的交点坐标是（）A．(2,0)B．(3,0)C．(0,2)D．(0,3)答案：B分析：直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．解：∵方程的解为x=2，∴当x=2时mx+n=0；∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），故选：B．小提示：本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．6、如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(3,2)，则方程kx+b=2的解是（）A．x=1B．x=2C．x=3D．无法确定答案：C分析：将点P(3,2)代入直线解析式，然后与方程对比即可得出方程的解．解：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(3,2)，∴2=3k+b，∴x=3为方程2=kx+b的解，故选：C．小提示：题目主要考查一次函数与一元一次方程的联系，理解二者联系是解题关键．7、如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）A．这一天最低温度是-4℃B．这一天12时温度最高C．最高温比最低温高8℃D．0时至8时气温呈下降趋势答案：A分析：根据气温变化图逐项进行判断即可求解．解：A. 这一天最低温度是−4°C，原选项判断正确，符合题意；B. 这一天14时温度最高，原选项判断错误，不合题意；C. 这一天最高气温8℃，最低气温-4℃，最高温比最低温高12°C，原选项判断错误，不合题意；D. 0时至8时气温呈先下降在上升趋势，原选项判断错误，不合题意．故选：A小提示：本题考查了根据函数图象读取信息，理解气温随时间变化而变化并从中读取信息是解题关键．8、如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组{y=2x+by=−3x+6的解是（）A ．{x =2y =0B ．{x =1y =3C ．{x =−1y =9D ．{x =3y =1答案：B分析：由图象交点坐标可得方程组的解．解：由图象可得直线y =2x +b 与直线y =−3x +6相交于点A （1，3），∴关于x ，y 的二元一次方程组{y =2x +b y =−3x +6的解是{x =1y =3 ． 故选：B ．小提示：本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x 与y 的值为方程组的解．9、下列函数中，自变量x 的取值范围是x >1的函数是（ ）A ．y =2√x −1B ．y =√x−1C ．y =√2x −1D ．y =√x −2 答案：B分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0对各选项分别列式计算即可得解．解：A ．y =2√x −1中x ≥1，此选项不符合题意；B ．y =√x−1中x ＞1，此选项符合题意；C ．y =√2x −1中x ≥12，此选项不符合题意；D ．y =√x −2中x ≥2，此选项不符合题意；故答案选：B ．小提示：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10、在平面直角坐标系中，直线l1与l2关于直线y=1对称，若直线l1的表达式为y=−2x+3，则直线l2与y 轴的交点坐标为（）A．(0,12)B．(0,23)C．(0,0)D．(0,−1)答案：D分析：先求解y=−2x+3与x,y轴的交点B,A坐标，再求解A关于y=1的对称点A′的坐标即可得到答案．解：如图，∵y=−2x+3，令x=0,y=3,令y=0,x=32,∴A(0,3),B(32,0),作A,B关于直线y=1对称的点A′,B′,∵直线l1与l2关于直线y=1对称，即上图中的直线AB与直线A′B′关于直线y=1对称，∴x A=x A′=0,y A−1=1−y A′,∴y A′=−1,∴A′(0,−1),所以直线l2与y轴的交点坐标为：(0,−1).故选：D.小提示：本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，坐标与图形，轴对称的坐标变化，掌握数形结合的方法是解题的关键．填空题11、若对于所有的实数x，都有f(2x)+xf(2−x)=x2，则f(2)=______．答案：0分析：令x =1和x =-1，得到f(2)+f(12)=1①，f(12)−f(2)=1②，两个等式相减，即可得到答案． 解：∵对于所有的实数x ，都有f(2x )+xf(2−x )=x 2，∴当x =1时，f(2)+f(12)=1①，当x =-1时，f(12)−f(2)=1②， ①-②，得：2f(2)=0，解得：f(2)=0．故答案是：0．小提示：本题主要考查抽象函数求值，掌握赋值法以及等式的性质，是解题的关键．12、一次函数y =−3x +6的图象与y 轴的交点坐标是________.答案：(0,6)分析：根据y 轴上点的坐标特征：横坐标为0，将x=0代入一次函数解析式中即可求出结论．解：根据题意，令x =0，解得y =6，所以一次函数y =−3x +6的图象与y 轴的交点坐标是(0,6)．所以答案是：(0,6)．小提示：此题考查的是求一次函数的图象与y 轴的交点坐标，掌握y 轴上点的坐标特征是解决此题的关键．13、如图，A (−2,1),B (2,3)是平面直角坐标系中的两点，若一次函数y =kx −1的图象与线段AB 有交点，则k 的取值范围是_______．答案：k <-1或k >2分析：将A 、B 点坐标分别代入计算出对应的k 值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k 的范围． 解：当直线y =kx -1过点A 时，得-2k -1=1，解得k =-1，当直线y =kx -1过点B 时，得2k -1=3，解得k =2，∵一次函数y=kx−1的图象与线段AB有交点，∴k<-1或k>2，所以答案是：k<-1或k>2．小提示：此题考查了一次函数图象与系数的关系：当k>0时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大，越靠近y轴正半轴k值越大；当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小越靠近y轴正半轴k值越小．14、某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为______．答案： 3 y=4x+2##y=2+4x分析：根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．解：∵14>10，∴超过2千克，设购买了a千克，则2×5+(a−2)×0.8×5=14，解得a=3，设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为：y=2×5+(x−2)×5×0.8=10+4x−8=4x+2，所以答案是：3，y=4x+2．小提示：本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．15、已知f(x)=2−xx−1，则f(√2)=_________．答案：√2分析：由题意可知把自变量x=√2代入函数解析式求解即可．解：由题意得：把x=√2代入f(x)=2−xx−1得：f（x)=√2√2−1=√2(√2−1)√2−1=√2．所以答案是：√2．小提示：本题主要考查求函数值的知识，关键是根据题意把自变量代入函数表达式求解即可．解答题16、如图一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,5)，与x轴交于点B，与正比例函数y=3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．（1）求AB的函数表达式．（2）若点D在y轴负半轴，且满足S△COD=13S△BOC，求点D的坐标．（3）若kx+b<3x，请直接写出x的取值范围．答案：（1）y=−x+4；（2）D(0,−4)；（3）x>1分析：（1）由题意可先求出点C的坐标，然后再把点A与点C的坐标代入一次函数解析式进行求解即可；（2）可先求出△BOC的面积，然后可得△COD的面积，进而根据面积计算公式可进行求解；（3）直接根据图象可进行求解．解：（1）∵一次函数y=kx+b与正比例函数y=3x的图象交于点C，点C的横坐标为1，∴把x=1代入正比例函数得：y=3，∴点C(1,3)，∴把点A(−1,5)、C(1,3)代入一次函数得：{−k+b=5 k+b=3，解得：{k=−1b=4，∴AB的函数解析式为y=−x+4；（2）由（1）得：C(1,3)，AB的函数解析式为y=−x+4，∴令y=0时，则有x=4，∴点B(4,0)，∴OB=4，令x C表示点C的横坐标，y C表示点C的纵坐标，则由图象可得：S△BOC=12OB⋅y C=12×4×3=6，∵S△COD=13S△BOC，∴S△COD=2，∴S△COD=12OD⋅x C=2，∴OD=4，∵点D在y轴负半轴，∴D(0,−4)；（3）由图象可得：当kx+b<3x时，则x的取值范围为x>1．小提示：本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．17、已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上．（1）求正比例函数的解析式．（2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．答案：（1）y=73x；（2）(6,0)或(−4,0)．分析：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可得；（2）如图（见解析），过点A作AD⊥x轴于点D，从而可得AD=7，设点C的坐标为(a,0)，从而可得BC=|a−1|，再根据三角形的面积公可求出a的值，由此即可得出答案．解：（1）设正比例函数的解析式为y=kx，将点A(3,7)代入得：3k=7，解得k=73，则正比例函数的解析式为y=73x；（2）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A(3,7)，∴AD=7，设点C的坐标为(a,0)，则BC=|a−1|，∵△ABC的面积是17.5，∴12BC⋅AD=17.5，即12×7|a−1|=17.5，解得a=6或a=−4，故点C的坐标为(6,0)或(−4,0)．小提示：本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键．18、为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式．下图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题．（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式；（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．答案：（1）y=x−0.5；（2）当x<2时，手机支付比较合算；当x=2时，两种方式都一样；当x>2时，会员卡支付比较合算；分析：（1）设y=kx+b，代入点的坐标求解即可；（2）求出会员卡支付的费用与骑行时间的函数关系式，两者比较即可求解．解：（1）设y=kx+b，将点(0.5,0)、(1,0.5)代入得：{0.5k+b=0 k+b=0.5，解得{k=1b=−0.5，即y=x−0.5故手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为y=x−0.5（2）设会员卡支付的费用与骑行时间的函数关系式为y=k1x将(1,0.75)代入得，k1=0.75，即y=0.75x令0.75x=x−0.5，解得x=2由图像可得，当x<2时，手机支付比较合算；当x=2时，两种方式都一样；当x>2时，会员卡支付比较合算；小提示：此题考查了一次函数和正比例函数的应用，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的有关性质．。
八年级数学下册第十九章一次函数考点精题训练(带答案)
八年级数学下册第十九章一次函数考点精题训练单选题1、如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（）A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0答案：B分析：利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞0，n＜0．解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），∴点A，B分别在一、三象限，∴m＞0，n＜0．故选：B．小提示：此题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键．2、下列变化过程中，y是x的正比例函数是（）A．某村共有105m2耕地，该村人均占有耕地y（单位：m2）随该村人数x（单位：人）的变化而变化B．一天内，温岭市气温y（单位：℃）随时间x（单位：时）的变化而变化C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化答案：D分析：根据正比例函数的定义逐项判断即可．，故y不是x的正比例函数；解：A.由题意得：y=105xB.因为温岭市一天的气温早晚较低，中午较高，故y不是x的正比例函数；C.因为在行驶时间为零时汽车油箱内的存油y不是零，故y不是x的正比例函数；D.由题意得：y=12x，故y是x的正比例函数；故选：D．小提示：本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函数3、已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1）D．y随x的增大而减小答案：C分析：利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，故选：C．小提示：本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．4、A，B两地相距120km，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，如图，l1，l2分别表示两人离A 地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系，则当甲到达A地时，乙距离A地（）A．56kmB．60kmC．80kmD．40km答案：B分析：先求出直线l2的解析式，从而求出当t=2.8时，s=36，由此即可求出直线l1的解析式，进而求出甲到达目的地的时间，由此即可得到答案．解：由题意可知，甲，乙的函数图象分别为l1，l2．∵l2经过点(1,0)和(7,120)，∴l2：s=20t−20，当t=2.8时，s=36，∴由(0,120)，(2.8,36)得l1：s=−30t+120，令−30t+120=0，解得t=4，将t=4代入l2，得s=60．∴当甲到达A地时，乙距离A地60km．故选B．小提示：本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，正确读懂函数图象是解题的关键．5、某次物理实验中，测得变量V和m的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（）A．V=m+1B．V=2m C．V=3m−1D．V=m．答案：A分析：观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式．解：有四组数据可找出规律，2.41-1=1.41，接近12；4 .9-1=3.9，接近22；10 .33-1=9.33，接近32；17 .21-1=16.21，接近42；25 .93−1=24.93，接近52；37 .02−1=36.02，接近62；故m与v之间的关系最接近于v=m2+1．故选：A．小提示：本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的律，然后再答案中找出与之相近的关系式．6、下列函数中，属于正比例函数的是（）A．y=x2+2B．y=−2x+1C．y=1x D．y=x5答案：D分析：根据正比例函数的定义逐个判断即可．解：A．不是正比例函数，故本选项不符合题意；B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；C．不是正比例函数，故本选项不符合题意；D．是正比例函数，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数，当b＝0时，函数也叫正比例函数．7、图是某人骑自行车出行的图象，从图象中可以得到的信息是（）A．从起点到终点共用了50min B．20~30min时速度为0C．前20min速度为4km/ℎD．40min与50min时速度是不相同的答案：B分析：分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确．A、从起点到终点共用了60min，故本选项错误；B、20~30min时速度为0，故本选项正确；C、前20min的速度是5km/ℎ，故本选项错误；D、40min与50min时速度是相同的，故本选项错误．故选：B．小提示：本题考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．8、A′是点A(1,2)关于x轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点A′，则该函数的表达式为（）A．y=12x B．y=2x C．y=−12x D．y=−2x答案：D分析：先求得A′的坐标，然后设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，再把点A′的坐标代入求出k的值即可．解：∵A′是点A(1,2)关于x轴的对称点．∴A′(1,−2)，设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，∵正比例函数的图象经过点A′(1,−2)，∴−2=k，解得k=−2，∴这个正比例函数的表达式是y=−2x．故选：D．小提示：本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．9、若点A(x1,−1)，B(x2,−2)，C(x3,3)在一次函数y=−2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1>x2>x3B．x2>x1>x3C．x1>x3>x2D．x3>x2>x1答案：B分析：利用一次函数的增减性判定即可．解：由y=−2x+m知，函数值y随x的增大而减小，∵3>-1>-2，A(x1,−1)，B(x2,−2)，C(x3,3)，∴x2>x1>x3．故选：B．小提示：本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是通过k=-2<0得知函数值y随x的增大而减小，反之x随y的增大也减小．10、某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y 与x满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系答案：B分析：根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．解：根据题意得：2x+y=40，∴y=−2x+40，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．小提示：本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．填空题11、在平面直角坐标系中，已知一次函数y=−2x+1的图象经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点，若x1<x2，则y1___y2．（填“>”“<”“=”）答案：>分析：根据一次函数的性质，当k<0时，y随x的增大而减小．解：∵一次函数y=−2x+1中k=−2<0，∴y随x的增大而减小，∵x1<x2，∴y 1>y 2．所以答案是：>．小提示：本题考查一次函数的增减性，熟悉性质是关键．12、已知a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条边长，c 为斜边长，∠C =90°，我们把关于x 的形如y =a c x +b c 的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P (−1,√33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt △ABC 的面积是4，则c 的值是__________．答案：2√6 分析：依据题意得到三个关系式：a −b =−√33c,ab =8,a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值． 解：∵点P (−1,√33)在“勾股一次函数”y =a c x +b c 的图象上， ∴√33=−a c +b c ，即a −b =−√33c ， 又∵a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条边长，∠C =90°，Rt △ABC 的面积是4，∴12ab =4，即ab =8， 又∵a 2+b 2=c 2，∴(a −b )2+2ab =c 2，即∴(−√33c)2+2×8=c 2，解得c =2√6（负值舍去），所以答案是：2√6．小提示：考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．13、在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）之间的关系如下表：答案：y =12+0.5x分析：由表中的数据可知，x =0时，y =12，并且每增加1千克的重量，长度增加0.5cm ，所以y =0.5x +12． 解：根据上表y 与x 的关系式是：y =12+0.5x ．所以答案是：y =12+0.5x小提示：本题考查了函数关系式，需仔细分析表中的数据，进而解决问题；关键是写出解析式．14、如图，一次函数y=﹣x ﹣2与y=2x+m 的图象相交于点P （n ，﹣4），则关于x 的不等式组{2x +m ＜−x −2−x −2＜0的解集为_____．答案：﹣2＜x ＜2分析：先将点P （n ，﹣4）代入y=﹣x ﹣2，求出n 的值，再找出直线y=2x+m 落在y=﹣x ﹣2的下方且都在x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．∵一次函数y=﹣x ﹣2的图象过点P （n ，﹣4），∴﹣4=﹣n ﹣2，解得n=2，∴P （2，﹣4），又∵y=﹣x ﹣2与x 轴的交点是（﹣2，0），∴关于x 的不等式组{2x +m ＜−x −2−x −2＜0的解集为−2<x <2． 故答案为−2<x <2．小提示：本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n 的值，是解答本题的关键．15、如图，已知直线y =3x +b 与y =ax ﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的方程3x +b =ax ﹣2的解为x =_____．答案：﹣2分析：直线y=3x+b与y=ax-2的交点的横坐标为-2，则x=-2就是关于x的方程3x+b=ax-2的解．解：∵直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，∴当x=﹣2时，3x+b=ax﹣2，∴关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=﹣2．故答案为﹣2．小提示：本题考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．解答题16、在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km，小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y km与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：①阅览室到超市的距离为___________km；⁄；②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________km min③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为___________min．(3)当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．答案：(1)0.8，1.2，2(2)①0.8；②0.25；③10或116(3)当0≤x≤12时，y=0.1x；当12<x≤82时，y=1.2；当82<x≤92时，y=0.08x−5.36分析：（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；（2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当0≤x≤92时，y关于x的函数解析式．（1）由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min,故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8；在12≤x≤82时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km故当x=50时，距离不变，都是1.2km；在92≤x≤112时，离学生公寓的距离不变，都是2km，所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km故填表为：①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为：⁄；2÷（120-112）=0.25km min③分两种情形：当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为：1÷0.1=10min ；当小琪返回与学生公寓的距离为1km 时，他离开学生公寓的时间为：112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min ；所以答案是：①0.8；②0.25；③10或116（3）当0≤x ≤12时，设直线解析式为y =kx ，把（12，1.2）代入得，12k =1.2,解得，k =0.1∴y =0.1x ；当12<x ≤82时，y =1.2；当82<x ≤92时，设直线解析式为y =mx +n ，把（82，1.2），（92，2）代入得，{82m +n =1.292m +n =2解得，{m =0.08n =−5.36∴y =0.08x −5.36，由上可得，当0≤x ≤92时，y 关于x 的函数解析式为{y =0.1x (0≤x ≤12)y =1.2(12<x ≤82)y =0.08x −5.36(82<x ≤92)． 小提示：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17、如图，点A （1，4）在正比例函数y =mx 的图象上，点B （3，n ）在正比例函数y =23x 的图象上．(1)求m，n的值；(2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值．答案：(1)m=4,n=2(2)2√10分析：（1）利用待定系数法求解m、n值即可；（2）作点A关于x轴对称的点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小，最小值为PA＋PB＝PA′+PB=A′B．过点A′作A′H∥x轴，过点B作B′H∥y轴，A′H和B′H相交于点H，求出A′B的长即可．x的图象上．（1）解：∵点A（1，4）在正比例函数y=mx的图象上，点B（3，n）在正比例函数y=23∴4=m×1,n=2×33∴m=4,n=2．（2）解：作点A（1，4）关于x轴对称的点A′（1，-4），连接A′B，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小，PA＋PB＝PA′+PB=A′B．过点A′作A′H∥x轴，过点B作B′H∥y轴，A′H和B′H相交于点H，在Rt△A′HB中，∠H＝90°，则A′B=√A′H2+BH2=√22+62=2√10，∴PA＋PB的最小值为2√10．小提示：本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键．18、某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程s（米）与时间t（分）之间的关系．（1）学校离他家米，从出发到学校，王老师共用了分钟；王老师吃早餐用了分钟．（2）观察图形直接回答王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？答案：（1）1000，25，10；(2) 吃完早餐以后速度快.分析：（1）由于步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，那么行驶路程S（米）与时间t(分)之间的关系图象中有一段平行x轴的线段，然后到学校，根据图象可以直接得到结论；（2）根据路程与时间图，坡度越陡，速度越快即可得出结论；(1)由图象可得：学校离他家1000米，从出发到学校，王老师共用了25分钟，王老师吃早餐所用的时间为:20-10=10分钟，所以答案是：1000，25，10；(2) 由图象可知，吃完早餐以后的坡度比吃完早餐前陡，故吃完早餐以后速度快.小提示：本题考查了函数的图象，此题是一个信息题目，根据函数图象中的信息找出所需要的数量关系，然后利用数量关系即可解决问题．。
人教版初中八年级数学下册第十九章《一次函数》经典题(含答案解析)
一、选择题1．甲、乙两车分别从A 地出发匀速行驶到B 地，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离(km)y 与甲车行驶的时间(h)t 之间的关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（ ）①,A B 两地相距480km ；②乙车比甲车晚出发1小时，却比甲车早到1小时； ③乙车出发后4小时时追上甲车；④甲，乙两车相距50km 时， 3.5t 或4.5．A ．1B ．2C ．3D ．42．小明和小华同时从小华家出发到球场去．小华先到并停留了8分钟，发现东西忘在了家里，于是沿原路以同样的速度回家去取．已知小明的速度为180米/分，他们各自距离小华家的路程y （米）与出发时间x （分）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．小明到达球场时小华离球场3150米B ．小华家距离球场3500米C ．小华到家时小明已经在球场待了8分钟D ．整个过程一共耗时30分钟3．下列图象中，不表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C．D．4．如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式0＜ax+4＜2x 的解集是（）A．0＜x＜32B．32＜x＜6 C．32＜x＜4 D．0＜x＜35．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A．20210x yy x+-=⎧⎨-+=⎩B．20210x yy x-+=⎧⎨+-=⎩C．20210x yy x-+=⎧⎨--=⎩D．2010x yy x++=⎧⎨+-=⎩6．如图，A、M、N三点坐标分别为A（0，1），M（3，4），N（5，6），动点P从点A 出发，沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y=－x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若点M、N分别位于l的异侧，则t的取值范围是（）A ．611t <<B ．510t <<C ．610t <<D ．511t <<7．已知点()1,4P 在直线2y kx k =-上，则k 的值为（ ） A ．43B ．43-C ．4D ．4-8．关于x 的正比例函数y kx =与一次函数y kx x k =+-的大致图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x 时两种消费卡所需费用分别为y 甲，y 乙元，y 甲，y 乙与x 的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）A ．甲种更合算B ．乙种更合算C ．两种一样合算D ．无法确定10．如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()1,0-，与y 轴交于点()0,2-，则关于x 的不等式0kx b +<的解集为（ ）A ．1x >-B ．2x >-C ．1x <-D ．2x <-11．直线y kx b =+经过一、三、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．12．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为x 分钟，船舱内积水量为y 吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示y 与x 的函数关系，下列说法中：①修船共用了38分钟时间；②修船过程中进水速度是排水速度的3倍；③修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍；④最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，其中正确的信息判断是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④13．圆的周长公式是2C r π=，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法正确的是（ ）A ．2是常量，C 、π、r 是变量B ．2、π是常量，C 、r 是变量 C ．2是常量，r 是变量D ．2是常量，C 、r 是变量14．对函数22y x =-+的描述错误是（ ） A ．y 随x 的增大而减小B ．图象经过第一、三、四象限C ．图象与x 轴的交点坐标为(1,0)D ．图象与坐标轴交点的连线段长度等于5 15．若一次函数()231y m x =-+-的图象经过点()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x <时，12y y >时，则m 的取值范围是（ ）A ．32m >B ．32m >-C ．32m <D ．32m <-二、填空题16．已知一次函数y kx b =+与y mx n =+的图象如图所示．（1）写出关于x ，y 的方程组y kx by mx n=+⎧⎨=+⎩的解为________．（2）若0kx b mx n <+<+，写出x 的取值范围________．17．已知一次函数y kx b =+的图象与直线1y x =-+平行，且经过点(8,2)，那么b 的值是________．18．如图，已知A(8，0)，点P 为y 轴上的一动点，线段PA 绕着点P 按逆时针方向旋转90°至线段PB 位置，连接AB 、OB ，则OB ＋BA 的最小值是__________．19．如图，直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为1231,,,,n P P P P -，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点1231,,,,n T T T T -，用1231,,,,n S S S S -分别表示11212121Rt ,Rt ,,Rt n n n T OP T PP T P P ---△△△的面积，则当n=4时，121n S S S -+++=_______；当n=2020时，1231n S S S S -++++=______．20．已知：一次函数()21y a x =-+的图象不经过第三象限，化简224496a a a a -+-+=_________．21．已知y 是关于x 的正比例函数，当1x =-时，2y =，则y 关于x 的函数表达式为____．22．如表，y 是x 的一次函数，则m 的值为_____________．x 1-0 1 y 3m23．正方形A 1B 1C 1A 2，A 2B 2C 2A 3，A 3B 3C 3A 4，…，按如图所示的方式放置，点A 1A 2A 3，…和点B 1B 2B 3，…分别在直线y =x +1和x 轴上．则点C 2020的纵坐标是____．24．如图，平面直角坐标系xOy 中，()0,2A ，()2,0B ，C 为AB 的中点，P 是OB 上的一个动点，ACP ∆周长最小时，点P 的横坐标是______．25．如图，函数20y x =和40y ax =-的图象相交于点P ，点P 的纵坐标为40，则关于x ，y 的方程组20040x y ax y -=⎧⎨-=⎩的解是______．26．新冠疫情爆发以来，某工厂响应号召，积极向疫情比较严重的甲地区捐赠口罩、消毒液等医疗物资，在工厂装运完物资准备前往甲地的A 车与在甲地卸完货准备返回工厂的B 车同时出发，分别以各自的速度匀速驶向目的地，出发6小时时A 车接到工厂的电话，需要掉头到乙处带上部分检验文件（工厂、甲地、乙在同一直线上且乙在工厂与甲地之间），于是，A 车掉头以原速前往乙处，拿到文件后，A 车加快速度迅速往甲地驶去，此时，A 车速度比B 车快32千米/小时，A 车掉头和拿文件的时间忽略不计，如图是两车之间的距离y （千米）与B 车出发的时间x （小时）之间的函数图象，则当A 车到达甲地时，B 车离工厂还有_____千米．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，直线y kx b =+交x 轴于点()30A -,，交y 轴于点()0,1B ．过点()1,0C -作垂直于x 轴的直线交AB 于点D ，点()1,E m -在直线CD 上且在直线AB 的上方．（1）求k 、b 的值（2）当3m =时，求四边形AOBE 的面积S ．（3）当2m =时，以AE 为边在第二象限作等腰直角三角形PAE ，直接写出点P 的坐标．28．已知一次函数3y kx =+与x 轴交于点()2,0A ，与y 轴交于点B ．（1）求一次函数的表达式及点B 的坐标； （2）画出函数3y kx =+的图象；（3）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且2OP OA =，求ABP △的面积．29．青甘杨作为杨树的一种是我国东北和西北防护林以及用材林的主要树种之一，具有生长快、适应性强、分布广等特点．青甘杨树苗的高度与其生长年数之间的关系如下表所示：（树苗原高是90cm ）生长年数n/年12345青甘杨树苗高度/cmh125160195230（1）第5年树苗可能达到的高度为_______cm．（2）请用含n的代数式表示高度h．（3）根据（2）中的结论，请计算生长了11年后的青甘杨可能达到的高度．30．综合与探究如图1，一次函数162y x=-+的图象交x轴、y轴于点A，B，正比例函数12y x=的图象与直线AB交于点(),3C m．（1）求m的值并直接写出线段OC的长；（2）如图2，点D在线段OC上，且与O，C不重合，过点D作DE x⊥轴于点E，交线段CB于点F．请从A，B两题中任选一题作答．我选择题____题．A．若点D的横坐标为4，解答下列问题：①求线段DF的长；②点P是x轴上的一点，若PDF的面积为CDF面积的2倍，直接写出点P的坐标；B．设点D的横坐标为a，解答下列问题：①求线段DF的长，用含a的代数式表示；②连接CE，当线段CD把CEF△的面积分成1:2的两部分时，直接写出a的值．。
初二八年级数学下册《解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题》(附答案演示)【人教版适用】
解：(2)∵B种树苗的数量不超过
35棵，但不少于A种树苗的数量， ∴ ∴22.5≤x≤35.
设总费用为W元，则W＝6.4x＋
32＋7(45－x)＝－0.6x＋347. ∵k＝－0.6<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝35，45－x＝10时，总费用最低，即购买B种 树苗35棵，A种树苗10棵时，总费用最低，W最低＝ －0.6×35＋347＝326(元)．
5．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向 而行，甲先出发，图中l1，l2
表示两人离A地的距离s(km)
与时间t(h)的关系，请结合图 象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是
(填l1
或l2)；甲的速度是 30 km/h，乙的速度是 20 km/h；
解析：由题意可知，乙的函数
kg将亏损6元，以x(单位：kg，2000≤x≤3000)表示A
酒店本月对这种水果的需求量，y(元)表示水果店销售
这批水果所获得的利润． (1)求y关于x的函数表达式；
解：(1)当2000≤x≤2600时，y＝10x－6(2600－x)＝16x
－15600；当2600＜x≤3000时，y＝2600×10＝26000，
பைடு நூலகம்
四、分类讨论思想
4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两 “龙虾节”期间，甲、乙两家商店 都让利酬宾，付款金额y甲，y乙
家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，
(单位：元)与原价x(单位：元)之
间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式； 解：(1)y甲＝0.8x，y乙＝
∴y＝
(2)当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店
八年级(初二)数学(一次函数)试题附答案解析
一、单选题（共7题；共14分）1.为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B−E−D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）．A. 监测点AB. 监测点BC. 监测点CD. 监测点D2.把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（）A. y=2x﹣2B. y=2x+1C. y=2xD. y=2x+23.如图，过点A0(1，0)作x轴的垂线，交直线l：y=2x于B1，在x轴上取点A1，使OA1=OB1，过点A1作x轴的垂线，交直线l于B2，在x轴上取点A2，使OA2=OB2，过点A2作x轴的垂线，交直线l于B3，…，这样依次作图，则点B8的纵坐标为( )A. （√5）7B. 2（√5）7C. 2（√5）8D. （√5）94.如图所示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k ≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a ≠0）相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是（）A. x>1B. x<1C. x>2D. x<25.如图，直线y＝x＋2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x＋1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x＋2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x＋1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x＋2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x＋2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x＋1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（）A. 64B. 128C. 256D. 5126.同一直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b与正比例函数y2=k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（）A. x≤﹣2B. x≥﹣2C. x＜﹣2D. x＞﹣27.如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A. M处B. N处C. P处D. Q处二、填空题（共6题；共6分）8.已知a、b为有理数，m、n分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+ b=________.9.设m、x、y均为正整数，且√m−√28=√x−√y，则（x+y+m）²=________.10.菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________．11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3 √2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线12.已知一次函数的图象过点且不经过第一象限，设，则m的取值范值是________；13.如图，点A的坐标为（-2，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________.三、计算题（共1题；共5分）14.计算：(1)√2+1√8+(√3−1)0(2)(−12)−1−3√13+(1−√2)0+√12四、解答题（共2题；共20分）15.楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）16.如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC=4 √5，OCOA =12（1）求AC所在直线的解析式；（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求EF所在的直线的函数解析式．五、综合题（共6题；共88分）17.已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA，OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A，C两点．（1）写出点A，点C坐标并求直线l的函数表达式；（2）若P是直线l上的一点，当△OPA的面积是5时，请求出点P的坐标；（3）如图2，点D（3，﹣1），E是直线l上的一个动点，求出使|BE﹣DE|取得最大值时点E的坐标和最大值（不需要证明）．18.如下图所示，直线y＝－1x＋3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q2以每秒1个单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ.（1）求出点C的坐标；（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为________；（3）综上所述，若△OCQ是等腰直角三角形，则t的值为2或4. (3)若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ 对应的函数表达式.19.如图，直线l:y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（-8，0），点A的坐标为（-6，0）.（1）求k的值.（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3？并求出此时直线AP的解析式.（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.20.如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=34x+32与x轴交于点A，且经过点B（2，m），点C（3,0）.（1）求直线BC的函数解析式；（2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标；（3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，求出点M的坐标；（4）如图2，E为线段AC上一点，连结BE，一动点F从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位运动到点E,再沿线段EA以每秒√2个单位运动到A后停止，设点F在整个运动过程中所用时间为t，求t的最小值.21.已知：如图，直线l1：y1=−x+n与y轴交于A(0,6)，直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B(−2,0)，与y轴交于点C.两条直线相交于点D，连接AB.（1）直接写出直线l1、l2的函数表达式；（2）求ΔABD的面积；（3）在x轴上存在点P，能使ΔABP为等腰三角形，求出所有满足条件的点P的坐标.22.如图，己知函数y= 4x + 4的图象与坐标轴的交点分别为点A、B，点C与点B关于x轴对称，动点P、3Q分别在线段BC、AB上（点P不与点B、C重合）.且∠APQ=∠ABO（1）点A的坐标为________，AC的长为________；（2）判断∠BPQ与∠CAP的大小关系，并说明理由；（3）当△APQ为等腰三角形时，求点P的坐标.六、综合题（共1题；共11分）x+4的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−23点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动．点A 关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，点Q的坐标是________；3（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT＋PT的最小值．答案解析部分一、单选题1. C2. B3. B4. D5.【答案】 C6.【答案】 A7.【答案】 D二、填空题8.【答案】2.5 9.【答案】 256 10.【答案】（ 2√3−3,2−√3 ） 11.【答案】59≤m ≤1 12.【答案】 3+3√2 13.【答案】 (−1,−1)三、计算题14.【答案】 （1） 原式=√2−1−2√2+1=−√2（2）原式=−2−√3+1+2√3=√3−1四、解答题15.【答案】 解：（1）由题意，得当0＜x≤5时y=30．当5＜x≤30时，y=30﹣0.1（x ﹣5）=﹣0.1x+30.5．∴y=；（2）当0＜x≤5时，（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，当5＜x≤30时，[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，解得：x 1=﹣25（舍去），x 2=10．答：该月需售出10辆汽车．16.【答案】 （1）解：∵ OC OA =12 ，∴ 可设OC=x ，则OA=2x ，在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC 2+OA 2=AC 2 ，∴x 2+（2x ）2=（4 √5 ）2 ， 解得x=4或x=-4（不合题意，舍去），∴OC=4，OA=8，∴A （8，0），C （0，4），设直线AC 解析式为y=kx+b ，∴ {8k +b =0b =4， 解得： {k =−12 ，∴直线AC 解析式为y= −12 x+4（2）解：由折叠的性质可知AE=CE ，设AE=CE=y ，则OE=8-y ，在Rt △OCE 中，由勾股定理可得OE 2+OC 2=CE 2 ，∴（8-y ）2+42=y 2 ， 解得y=5，∴AE=CE=5，∵∠AEF=∠CEF ，∠CFE=∠AEF ，∴∠CFE=∠CEF ，∴CE=CF=5，∴S △CEF = 12 CF•OC= 12 ×5×4=10，即重叠部分的面积为10；（3）解：由（2）可知OE=3，CF=5，∴E （3，0），F （5，4），设直线EF 的解析式为y=k′x+b′，∴ {3k ′+b ′=05k ′+b ′=4 ， 解得： {k ′=2b ′=−6， ∴直线EF 的解析式为y=2x-6五、综合题17.【答案】 （1）解：∵四边形OABC 是边长为4的正方形，∴A （4，0）和C （0，4）；设直线l 的函数表达式y=kx+b （k≠0），经过A （4，0）和C （0，4）得 {0=4k +b b =4， 解之得 {k =−1b =4， ∴直线l 的函数表达式y=﹣x+4（2）解：设△OPA 底边OA 上的高为h ，由题意等 12 ×4×h=5，∴h= 52， ∴|﹣x+4|= 52 ，解得x= 32 或132 ∴P 1（ 32 ， 52 ）、P 2（132， −52 ）（3）解：∵O 与B 关于直线l 对称，∴连接OD 并延长交直线l 于点E ，则点E 为所求，此时|BE ﹣DE|=|OE ﹣DE|=OD ，OD 即为最大值，如图2．∴﹣1=3k 1 ， ∴k 1= −13∴直线OD 为 y =−13x ，解方程组： {y =−x +4y =−13x，得 {x =6y =−2 ， ∴点E 的坐标为（6，﹣2）． 又D 点的坐标为（3，﹣1） 由勾股地理可得OD= √10 ．18.【答案】 （1）解：由 {y =−12x +3y =x解得： {x =2y =2 ，∴点C 的坐标为(2，2)（2）4 3）解：令－ x ＋3＝0，得x ＝6， ∴A(6，0). ∴点Q 的坐标为(3，0)时，CQ 平分△OCA 的面积. 设直线CQ 的函数表达式为y ＝kx ＋b. 把C(2，2)，Q(3，0)代入y=kx+b 得： {3k +b =02k +b =2，解得k ＝－2，b ＝6， ∴当直线CQ 平分△OCA 的面积时，其对应的函数表达式为y ＝－2x ＋6. 19.【答案】 （1）解：直线l ：y=kx+6过点B （-8，0）， 0=-8k+6，K= 34（2）解：当x=0时，y= 34 x+6=6，∴点C 的坐标为（0，6） 如图，设点P 的坐标为（x ， 34 x+6），∴S △PAC =S △BOC +S △BAP +S △AOC = 12 ×8×6- 12 ×2（ 34 x+6）- 12 ×6×6=- 34 x取S △PAC =3，解得x=4，∴点P 的坐标为（4，3），设此时直线AP 的解析式为y=ax+b （a≠0）， 将A （-6，0），P （-4，3）代入y=ax+b ， 得 {-6a +b =0−4a +b =3 解得= a =32b =9，∴当点P 的坐标为（-44，3）时，△PAC 的面积为3，此时直线AP 的解析式为y= 32 x+9 （3）解：点M 的坐标为（-18，0）或（- 74 ，0）或（2，0）或（8，0） 20.【答案】 （1）解：将点B （2，m ）代入 y =34x +32 得m=3 ∴ B(2，3)C(3，0)设直线BC 解析式为 y =kx +b 得到 {2k +b =33k +b =0 ∴ {k =−3b =9 ∴直线BC 解析式为 y =−3x +9（2）解：如图，过点O 作 OD//AB 交BC 于点D∴S △ABC =S △ABD ， k AB =k OD =34 ∴直线OD 的解析式为y= 34x ，∴ 联立方程组{y =34xy =−3x +9解得 {x =125y =95∴D(125,95) （3）解：①如图，当P 点在y 轴负半轴时，作 M 1N ⊥OP 于点N ，∵直线AB 与x 轴相交于点A ，∴点A 坐标为（-2，0），∵∠APO+∠PAO=90°，∠APO+∠PNM 1=90° ∴∠PAO=∠PNM 1 ， 又∵AP=PM 1 ， ∠POA=∠PNM 1=90° ∴△AOP ≅ △PNM 1 ， ∴PN=OA=2， 设OP=NM 1=m ，ON=m-2 ∴ M 1(m ，2−m)代入y =−3x +9 解得 m =72 ∴ M 1(72,−32) ②如图，作 M 2H ⊥OP 于点H可证明△AOP ≅ △PHM 2 ，设HM 2=n ，OH=n-2∴ M 2(n,n −2)代入y =−3x +9 ，解得 n =114，∴M 2（114， 34 ），∴综上所述 M 1(72，−32) 或M 2（ 114， 34 ） （4）解：如图，作射线AQ 与x 轴正半轴的夹角为45°，过点B 作x 轴的垂线交射线AQ 于点Q ，作 EK ⊥AQ 于点K ，作 BT ⊥AQ 于点T ，∵∠CAQ=45°BG ⊥x 轴，B （2，3）∴AG=4，∴AQ=4 √2 ，BQ=7，t=BE 1+√2 =BE+EK≥BT ，由面积法可得： 12AQ ⋅BT =12BQ ⋅AG ∴ 12 ×4 √2 ×BT= 12 ×7×4，∴BT= 72√2 因此t 最小值为 72√2 . 21.【答案】 （1）解：∵直线 l 1 ： y 1=−x +n 与y 轴交于A (0,6)， ∴n =6， ∴直线 l 1 ： y 1=x +6 ，∵ y 2=kx +1 分别与x 轴交于点B (−2,0)，∴−2k +1=0， ∴k = 12 ，直线 l 2 ： y 2=12x +1（2）解：设 l 1 与 x 轴交于点 E ，令 y 1=−x +6=0 ，得 x =6 ， ∴点 E 坐标为 (6,0) ， BE =8 . 由 {y =−x +6y =12x +1解得 x =103 ， y =83 ，∴点 D 的坐标为 (103,83) ， ∴ S ΔABD =S ΔABE −S ΔBDE =12×8×6−12×8×83=403.（3）解：在 RtΔAOB 中，由勾股定理可得 AB =√22+62=2√10 ，①当 BP =BA 时，满足条件的点 P 有两个，分别为 P 1(−2−2√10,0) ， P 2(−2+2√10,0) ； ②当 AP =AB 时，由等腰三角形的三线合一可得 OP =OB ，于是满足条件的点 P 为 P 3(2,0) ； ③当 AP =AB 时，如图，设 OP =t ，则 AP =BP =t +2 ，在RtΔAOP中，AP2=AO2+OP2，∴(t+2)2=62+t2，解得t=8，∴P4(8,0).综上，满足条件的点P为P1(−2−2√10,0)，P2(−2+2√10,0)，P3(2,0)，P4(8,0).22.【答案】（1）（3，0）；5（2）解：∠BPQ=∠CAP.理由如下：∵点C与点B关于x轴对称，∴AB=AC，∴∠1=∠2，∵∠APQ=∠1，∴∠2=∠APQ，∵∠BPA=∠2+∠3，即∠BPQ+∠APQ=∠2+∠3，∴∠BPQ=∠3；（3）解：当PA=PQ，如图1，则∠PQA=∠PAQ，∵∠PQA=∠1+∠BPQ=∠APQ+∠BPQ=∠BPA，∴BP=BA=5，∴OP=BP﹣OB=1，∴P（0，﹣1）；当AQ=AP，则∠AQP=∠APQ，而∠AQP=∠BPA，所以此情况不存在；当QA=QP，如图2，则∠APQ=∠PAQ，而∠1=∠APQ，∴∠1=∠PAQ，∴PA=PB，设P（0，t），则PB=4﹣t，∴PA=4﹣t，在Rt△OPA中，∵OP2+O A2=PA2，∴t2+32=（4﹣t）2，解得t= 78，∴P（0，78），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，﹣1），（0，78）.六、综合题23.【答案】（1）（4，0）（2）解：当点Q与原点O重合时，即OA=6, ∴AP= 12AO=3=3t, ∴t=1，①当0<t≤1时（如图1），∵一次函数与y轴交于B点，令x=0，∴y=4，∴B（0,4），即OB=4由（1）知OA=6，在Rt△AOB中，∴tan∠OAB= OBOA= 46= 23,∵AP=3t，∴OP=OA-PA=6-3t，∴P（6-3t，0），又∵点A关于点P的对称点为点Q，∴AP=PQ=3t，∴OQ=OA-AP-PQ=6-3t-3t=6-6t，∴Q（6-6t，0），∵四边形PQMN是正方形，∴PN=PQ=3t,MN∥AO，在Rt△APD中，∴tan∠PAD= PDPA= PD3t= 23,∴PD=2t，∴DN=PN-PD=3t-2t=t，∵MN∥AO，∴∠PAD=∠DCN，在Rt△DCN中，∴tan∠DCN= DNCN= tCN= 23,∴CN= 32t，∴S=S正方形PQMN-S△CDN，=（PQ）2- 12·DN·CN，=（3t）2- 12·t·32t，= 334t2,②当1<t≤ 43时（如图2），由①可知：DN=t，CN= 32t，OP=6-3t，PN=3t,∴S=S矩形POEN-S△CDN，=PO·PN-12·DN·CN，=（6-3t）×3t- 12·t·32t，=18t- 394t2,③当43<t≤2时（如图3），由①可知：PD=2t，OP=6-3t，OB=4,∴S=S四边形POBD，= 12·（PD+OB）·OP,= 12×（2t+4）×（6-3t），=-3t2+12t，综上所述：S={334t2,0≤t<1−394t2+18t,1≤t≤43−3t2+12,43<t≤2（3）解：解：如图4，由（2）中①可知：P（6-3t，0），Q（6-6t，0），PN=PQ=3t,A（6,0），∴M（6-6t，3t），N（6-3t，3t），∵T是正方形PQMN对角线的交点，∴T（6- 92t，32t）,设直线AT解析式为：y=kx+b，∴{6k+b=0(6−92t)k+b=32t，解得：{k=−13b=2，∴AT解析式为：y=- 13x+2，∴点T是直线y=- 13x+2上一段线段上的点（-3≤x<6），同理可得直线AN解析式为：y=-x+6, ∴点N是直线y=-x+6上一段线段上的点（0≤x≤6），∴G（0,6），∴OG=6,∵OA=6,在Rt△AOG中，∴AG=6 √2,又∵T是正方形PQMN对角线的交点，∴PT=TN，∴OT+PT=OT+TN,∴当O、T、N在同一条直线上，且ON⊥AG时，OT+TN最小,即OT+PT最小, ∵S△AOG= 12·AO·GO= 12·AG·NO,∴NO= AO×GOAG =6√2=3 √2,∴OT+PT=OT+TN=ON=3 √2, 即OT+PT最小值为3 √2.。
(必考题)初中八年级数学下册第十九章《一次函数》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．若一次函数y kx b =+（k b ，都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y bx k =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．B解析：B【分析】根据一次函数y kx b =+图像在坐标平面的位置，可先确定,k b 的取值范围，在根据,k b 的取值范围确定一次函数y bx k =+图像在坐标平面的位置，即可求解．【详解】根据一次函数y kx b =+经过一、二、四象限，则函数值y 随x 的增大而减小，可得0k <；图像与y 轴的正半轴相交则0b >，因而一次函数y bx k =+的一次项系数0b >，y 随x 的增大而增大，经过一三象限，常数0k <，则函数与y 轴的负半轴，因而一定经过一、三、四象限，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题关键是根据已知函数图像的位置确定,k b 的取值范围．2．已知点()1,4P 在直线2y kx k =-上，则k 的值为（ ）A ．43B ．43-C ．4D ．4-D解析：D【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将P （1，4）代入反比例函数的解析式2y kx k =-，然后解关于k 的方程即可．【详解】解：∵点P （1，4）在反比例函数2y kx k =-的图象上，∴4=k-2k ，解得，k=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． 3．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中．以(О为圆心，适当长为半径作圆弧，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点,B 再分别以A B 、为圆心．大于12AB 长为半径作圆弧，两条圆弧在第四象限交于点C ．以下四组x 与y 的对应值中，能够使得点(),1P x y -在射线OC 上的是（ ）A ．2和1-B ．2和2-C ．2和2D ．2和3A解析：A【分析】 根据题意可得OC 的解析式为y=-x ，再由各选项的数字得到点P 的坐标，代入解析式即可得出结论．【详解】解：由作图可知，OC 为第四象限角的平分线，故可得直线OC 的解析式为y=-x ，A 、当x=2，y=-1时，P （2，-2），代入y=-x ，可知点P 在射线OC 上，故A 符合题意；B 、当x=2，y=-2时，P （2，-3），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故B 不符合题意；C 、当x=2，y=2时，P （2，1），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故C 不符合题意； D/当x=2，y=3时，P （2，2），代入y=-x ，可知点P 不在射线OC 上，故D 不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．4．将直线2y x =-向下平移后得到直线l ，若直线l 经过点(),a b ，且27a b +=-，则直线l 的解析式为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．27y x =--D ．27y x =-+C解析：C【分析】可设直线l 的解析式为y=-2x+c ，由题意可得关于a 、b 、c 的一个方程组，通过方程组消去a 、b 后可以得到c 的值，从而得到直线l 的解析式．【详解】解：设直线l 的解析式为y=-2x+c ，则由题意可得： 227a c b a b -+=⎧⎨+=-⎩①②， ①+②可得：b+c=b-7，∴c=-7，∴直线l 的解析式为y=-2x-7，故选C ．【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，设定一次函数解析式后再由题意得到含有待定系数的方程或方程组并由方程或方程组得到待定系数的值是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系中点A 的坐标为()0,6，点B 的坐标为3,52⎛⎫-⎪⎝⎭，将AOB 沿x 轴向左平移得到A O B '''，若点B '的坐标为19,52⎛⎫-⎪⎝⎭，点A '落在直线y kx =上，则k 的值为（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．611-B 解析：B【分析】确定向左平移的距离为319()822---=，确定点A '的坐标为（-8,6），将其代入y=kx中，得k=6(8)-=34-. 【详解】 ∵点B 的坐标为3,52⎛⎫-⎪⎝⎭，将AOB 沿x 轴向左平移得到A O B '''，且点B '的坐标为19,52⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴向左平移的距离为319()822---=， ∵点A 的坐标为()0,6，∴点A '的坐标为（-8,6），∵点A '落在直线y kx =，∴6= -8k ，解得k=34-， 故选：B. .【点睛】本题考查了平移的基本规律，正比例函数解析式的确定，熟记平移的规律是解题的关键. 6．已知直线()1:0l y kx b k =+≠与直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M ，若直线1l 与x 轴的交点为()10B ,，则k 的取值范围是（ ） A ．33k -<<B ．03k <<C ．04k <<D ．30k -<<B解析：B【分析】 由直线1l 与x 轴的交点为()10B ,可得直线1l 轴的表达式为y ＝kx−k ，则1l 与y 轴交点（0，−k ），再由直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M 得出（0，−k ）在原点和点（0，−3）之间，即可求解．【详解】解：∵直线()1:0l y kx b k =+≠与x 轴的交点为B （1，0），∴k ＋b ＝0，则b ＝−k ，∴y ＝kx−k ，直线()2:30l y mx m =-<与y 轴的交点坐标为（0，−3），则1l 与y 轴交点（0，−k ）在原点和点（0，−3）之间，即：−3＜−k ＜0，解得：0＜k ＜3，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质并能利用数形结合的思想确定1l 与y 轴交点位置．7．下列关于一次函数25y x =-+的说法，错误的是（ ）A ．函数图象与y 轴的交点()0,5B ．当x 值增大时，y 随着x 的增大而减小C ．当 5y >时，0x < D ．图象经过第一、二、三象限D 解析：D【分析】根据一次函数的性质，依次分析各个选项，选出错误的选项即可．【详解】A 选项：25y x =-+，当0x =时5y =，则一次函数与y 轴交于()0,5，A 正确，故不符合题意；B 选项：25y x =-+，斜率2k =-，则0k <，y 随x 增大而减小，B 正确，故不符合题意；C 选项：25y x =-+，5y >即255x -+>，解得0x <，C 正确，故不符合题意；D 选项：25y x =-+，与y 轴交于()0,5，与x 轴交于5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则图象过一、二、四象限，D 错误，故符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的性质，属于基础题，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 8．函数2y x=+()P x,y 一定在第（ ）象限 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B解析：B【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到0x <，然后判断得到0y >，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则∵00x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0x <， ∴20x >，10x >-， ∴210y x x=+>-， ∴点(,)P x y 一定在第二象限；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．9．在某大国的技术封锁下，华为公司凭借自身强大的创造力和凝聚力，华为概念指数从年初至今涨幅连连翻倍，比如硕贝德股票涨幅接近200%（如图AB 段），小丽在图片中建立了坐标系，将AB 段看作一次函数y kx b =+图象的一部分，则k ，b 的取值范围是( )A ．0k >，0b <B ．0k >，0b >C ．0k <，0b <D ．0k <，0b >A解析：A【分析】 根据题意和题目中函数图象，可以延长，得到该函数图象经过的象限，从而可以得到k 、b 的正负情况，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，该函数经过第一、三、四象限，0k ∴>，0b <，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．10．已知，整数x 满足1266,1,24x y x y x -≤≤=+=-+，对任意一个x ，p 都取12,y y 中的大值，则p 的最小值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．-5C解析：C【分析】先画出两个函数的图象，然后联立解析式即可求出两个函数的交点坐标，然后根据图象对x 分类讨论，分别求出对应p 的取值范围，即可求出p 的最小值．【详解】 11y x =+，224y x =-+的图象如图所示联立124y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩∴直线11y x =+与直线224y x =-+的交点坐标为（1,2），∵对任意一个x ，p 都取1,y 2y 中的较大值由图象可知：当61x -≤<时，1y ＜2y ，2y ＞2∴此时p=2y ＞2；当x=1时，1y =2y =2，∴此时p=1y =2y =2；当16x <≤时，1y ＞2y ，1y ＞2∴此时p=1y ＞2．综上所述：p≥2∴p 的最小值是2．故选：C ．【点睛】此题考查的是画一次函数的图象、求两个一次函数的交点坐标和比较函数值的大小，掌握一次函数的图象的画法、联立函数解析式求交点坐标、根据图象比较函数值大小是解决此题的关键．二、填空题11．如图，一次函数y ax b =+与y cx d =+的图象交于点P ．下列结论中，所有正确结论的序号是_________．①0b <；②0ac <；③当1x >时，ax b cx d +>+；④a b c d +=+；⑤c d >．②④⑤【分析】仔细观察图象：①根据一次函数y ＝ax ＋b 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点即可判断ab 的正负；②根据一次函数y ＝cx ＋d 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点可判断cd 的正负即可得出结论；③以解析：②④⑤【分析】仔细观察图象：①根据一次函数y ＝ax ＋b 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点即可判断a 、b 的正负；②根据一次函数y ＝cx ＋d 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点可判断c 、d 的正负，即可得出结论；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④由两个一次函数图象的交点坐标的横坐标为1可得出结论；⑤由一次函数y ＝cx ＋d 图象与x 轴的交点坐标为（d c -，0），可得d c-＞-1，解此不等式即可作出判断． 【详解】解：①由图象可得：一次函数y ＝ax ＋b 图象经过一、二、四象限，∴a ＜0，b ＞0，故①错误；②由图象可得：一次函数y ＝cx ＋d 图象经过一、二、三象限，∴c ＞0，d ＞0，∴ac ＜0，故②正确；③由图象可得：当x ＞1时，一次函数y ＝ax ＋b 图象在y ＝cx ＋d 的图象下方， ∴ax ＋b ＜cx ＋d ，故③错误；④∵一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象的交点P的横坐标为1，∴a＋b＝c＋d，故④正确；⑤∵一次函数y＝cx＋d图象与x轴的交点坐标为（dc-，0），且dc-＞-1，c＞0，∴c＞d．故⑤正确．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象与性质并利用数形结合的思想是解题的关键．12．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）请你算一下，该植物的最大高度是________厘米．16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变也就是停止长高设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）然后利用待定系数法求出直线AC的解析式再把x=50代入进行计算即可得解【详解】设直解析：16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．【详解】设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵经过点A（0，6），B（30，12），∴63012 bk b=⎧⎨+=⎩，解得156kb⎧=⎪⎨⎪=⎩．所以，直线AC的解析式为165y x=+（0≤x≤50），当x=50时，15065y =⨯+=16cm ． 答：该植物最高长16cm ．【点睛】 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．13．已知一次函数y kx b =+的图象与直线1y x =-+平行，且经过点(8,2)，那么b 的值是________．10【分析】根据两条直线平行比例系数k 相同求出k=-1把点代入即可求b 【详解】解：因为一次函数的图象与直线平行所以k=-1把点代入得解得b=10故答案为：10【点睛】本题考查了一次函数图象互相平行时解析：10【分析】根据两条直线平行，比例系数k 相同，求出k=-1，把点(8,2)代入即可求b ．【详解】解：因为一次函数y kx b =+的图象与直线1y x =-+平行，所以k=-1，把点(8,2)代入y x b =-+，得28b =-+，解得，b=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了一次函数图象互相平行时，比例系数的关系和待定系数法求解析式，解题关键是知道两条直线平行时比例系数k 相同．14．在平面直角坐标系中，直线6y kx =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若AOB 的面积为12，则k 的值为_________．或【分析】求出AB 点坐标在Rt △AOB 中利用面积构造方程即可解得k 值【详解】由直线与y 轴于B 则则∴直线与x 轴于A 令则∴∴∴∴∴解得：由k≠0符合题意则k 的值为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了一次 解析：32-或32【分析】 求出A 、B 点坐标，在Rt △AOB 中，利用面积构造方程即可解得k 值．【详解】由直线6y kx =+与y 轴于B ，则0x =，则6y =，∴(0,6)B ，直线6y kx =+与x 轴于A ，令0y =，则60kx +=，6x k=-， ∴6,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴6OA k =-，6OB =， ∴1122AOB S OA OB =⋅=△， ∴64k -=， ∴64k-=±， 解得：132k =-，232k =， 由k≠0，符合题意， 则k 的值为32-或32． 故答案为：32-或32． 【点睛】本题主要考查了一次函数问题，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积构造方程，会解方程是解题关键．15．已知y ＝kx+b ，当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，则k ，b 的值分别是_____．k=b=或k=b=【分析】分 k ＞0和 k ＜0两种情况结合一次函数的增减性可得到关于 k b 的方程组求解即可【详解】解：当 k ＞0时此函数是增函数∵当﹣1≤x≤4时3≤y≤6∴当x ＝﹣1时解析：k =35，b =185或k =35-，b=275． 【分析】分 k ＞0和 k ＜0两种情况，结合一次函数的增减性，可得到关于 k 、 b 的方程组，求解即可．【详解】解：当 k ＞0时，此函数是增函数，∵当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x ＝﹣1时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝6，∴346k b k b -+=⎧⎨+=⎩ ，解得35185k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 当k ＜0时，此函数是减函数，∵当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x ＝﹣1时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝3，∴643k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得35275k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故答案为：k =35，b =185或k =35-，b=275． 【点睛】本题考查一次函数知识，涉及一次函数的增减性以及求一次函数解析式，属于基础题，熟练掌握一次函数的增减性以及解析式的求法是解决此题的关键．16．已知直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （2，1），则关于x 的方程x+b ＝ax ﹣3的解为________．x ＝2【分析】交点坐标同时满足两个函数的解析式而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成因此两函数的交点坐标即为方程组的解【详解】∵直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （21）∴当x ＝2时x+b ＝解析：x ＝2【分析】交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】∵直线y ＝x+b 和y ＝ax ﹣3交于点P （2，1），∴当x ＝2时，x+b ＝ax ﹣3＝1，∴关于x 的方程x+b ＝ax ﹣3的解为x ＝2．故答案为：x ＝2．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：熟练掌握交点坐标同时满足两个函数的解析式是解题关键．17．一次函数2y x b =+的图象过点()0,2，将函数2y x b =+的图象向下平移5个单位长度，所得图象的函数表达式为______．【分析】根据待定系数法求得b 然后根据函数图象平移的法则上加下减就可以求出平移以后函数的解析式【详解】解：∵一次函数y=2x+b 的图象过点（02）∴b=2∴一次函数为y=2x+2将函数y=2x+2的图解析：23y x =-【分析】根据待定系数法求得b，然后根据函数图象平移的法则“上加下减”，就可以求出平移以后函数的解析式．【详解】解：∵一次函数y=2x+b的图象过点（0，2），∴b=2，∴一次函数为y=2x+2，将函数y=2x+2的图象向下平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x+2-5，即y=2x-3．故答案为：y=2x-3．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象平移的规律是解题关键，注意求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．18．已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A（2，y1）和B（﹣1，y2），则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．＞【分析】由k＝2＞0利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大结合2＞﹣1即可得出y1＞y2【详解】解：∵k＝2＞0∴y随x的增大而增大又∵2＞﹣1∴y1＞y2故答案为：＞【点睛】本题考查一次函数解析：＞【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＞﹣1即可得出y1＞y2．【详解】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查一次函数的增减性，根据比例系数k的正负，判断y随x的变化规律是解题关键．，且y随x的增大而减小，则这个一次函数的解19．已知一个一次函数的图象过点(1,2)析式为__________．（只要写出一个）y=-x+1(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b根据一次函数的性质得k＜0取k=-1然后把（-12）代入y=-x+b 可求出b【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b∵y随x的增解析：y=-x+1．(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质得k＜0，取k=-1，然后把（-1，2）代入y=-x+b可求出b．【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，∵y随x的增大而减小，∴k可取-1，把（-1，2）代入y=-x+b得1+b=2，解得b=1，∴满足条件的解析式可为y=-x+1．故答案为y=-x+1．(答案不唯一)【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．20．平面直角坐标系中，点A坐标为()，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数y=-的图象上，则a的值为__________．【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(2-a3)代入计算即可【详解】解：∵A坐标为(23)∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是(2-a3)∵恰好落在正比例函数的图象上∴解得：a=【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是，3)，代入y=-计算即可．【详解】解：∵A坐标为3)，∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是-a，3)，∵恰好落在正比例函数y=-的图象上，∴)3-=，a解得：．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．．三、解答题21．设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）．（1）若函数y1的图象经过点(﹣1，5)，求函数y1的表达式．（2）已知点P(x1，m)和Q(﹣3，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围．（3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式．解析：（1）151033y x =-+；（2）当k ＜0时，x 1＜﹣3；当k ＞0时，x 1＞﹣3；（3）2a +b ＝0．【分析】（1）将点（﹣1，5）代入y 1＝kx ﹣2k ，求得k 值，即可得出函数解析式；（2）根据一次函数的性质，由k 值判断函数自变量的大小，即可得出结论；（3）根据一次函数y 1＝kx ﹣2k 得y 1＝k （x ﹣2），可得函数图象经过的定点为（2，0），再将定点坐标代入y 2＝ax+b 即可求出实数a ，b 满足的关系式．【详解】解：（1）∵函数y 1的图象经过点（﹣1，5），∴5＝﹣k ﹣2k ，解得k ＝53-， 函数y 1的表达式151033y x =-+； （2）当k ＜0时，若m ＞n ，则x 1＜﹣3；当k ＞0时，若m ＞n ，则x 1＞﹣3；（3）∵y 1＝kx ﹣2k ＝k （x ﹣2），∴函数y 1的图象经过定点（2，0），当y 2＝ax +b 经过（2，0）时，0＝2a +b ，即2a +b ＝0．【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的图象与性质并能准确理解题意进行解答是解题的关键．22．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线2=y ax c +与直线1y x =+相交于,A B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连接,AM BM ，（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）判断ABM ⊿的形状，并说明理由；（3）若将（1）中的抛物线沿y 轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点(2,3)--？解析：（1）21y x =-；（2）△ABM 为直角三角形，见解析；（3）向下平移6个单位过点（-2，-3）【分析】（1）将y=0，x=2，分别代入直线解析式求出x 、y 的值，即求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求解抛物线解析式；（2）令x=0，代入抛物线解析式求得M 坐标，利用两点间的距离公式求得AB 、AM 、BM ，再利用勾股定理的逆定理即可判定△ABM 为直角三角形；（3）设抛物线2=1y x -平移后的解析式为y=x 2-1+m ，将点（-2，-3）代入上式，得到关于m 的方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）当y=0时，有x+1=0，则x=-1．∴A （-1，0），当x=2时，y=2+1=3，∴B （2，3），将A ，B 两点代入2=y ax c +中，得0=34a c a c +⎧⎨=+⎩，解得=11a c ⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为2=1y x -．（2）三角形ABM 为直角三角形，理由如下：在抛物线中，当x=0时，y=-1，∴M （0，-1），又∵A （-1，0），B （2，3）， ∴=32AB ，=2AM =25BM ，又∵22220AM AB BM +==，∴三角形ABM 为直角三角形．（3）设抛物线2=1y x -沿y 轴平移后的解析式为2=1y x m -+，将点（-2，-3）代入上式，得m=-6，则向下平移6个单位过点（-2，-3）．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上的坐标特征、两点间的距离公式及勾股定理的逆定理，解题的关键是（1）求出A 、B 的坐标，（2）求出求得AB 、AM 、BM 的长，（3）正确写出平移后的抛物线解析式，难度适中．23．甲、乙两人计划8：00一起从学校出发，乘坐班车去博物馆参观，乙乘坐班车准时出发，但甲临时有事没赶上班车，8：45甲沿相同的路线自行驾车前往，结果比乙早1小时到达．甲、乙两人离学校的距离y （千米）与甲出发时间x （小时）的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两人的速度．（2）求OC 和BD 的函数关系式．（3）求学校和博物馆之间的距离．解析：（1）甲、乙的速度分别是80千米/小时，40千米/小时；（2）OC 的函数关系式为：80y x =，BD 的函数关系式为：4030y x =+；（3）140千米．【分析】（1）根据函数图像，甲0.75小时行驶60千米，计算得出甲的速度；结合题意，乙行驶60千米时，所用总时间为：(0.750.75)+小时，计算得出乙的速度．（2）观察函数图像，根据A 点坐标，计算得出OC 的函数解析式；根据题意得出A 、B 两点的坐标，用待定系数法求出BD 的函数解析式．（3）设甲行驶时间为x 小时，根据甲乙两人行驶路程相等，列出一元一次方程，计算得出行驶时间，根据“路程＝速度×时间”计算得出学校和博物馆之间的距离．【详解】解：（1）甲的速度：600.7580÷=（千米/小时），从8：00到8：45经过0.75小时，乙的速度为：60(0.750.75)40÷+=（千米/小时），甲、乙的速度分别是80千米/小时，40千米/小时．（2）∵根据题意得：A 点坐标为(0.75,60)，当乙运动了45分钟后即0.75小时，距离学校：400.7530⨯=（千米），∴B 点坐标为(0,30)．∵设直线OC 的函数关系式为1y k x =，将点A 代入得：1600.75k =，解得：180k =，∴直线OC 的函数关系式为80y x =，∵设BD 的函数关系式为2y k x b =+，将A 、B 两点的坐标值代入得：220.7560030k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩，解得：24030k b =⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的函数关系式为：4030y x =+．（3）∵设甲的行驶时间为x 小时，则乙所用的时间为：0.751 1.75x x ++=+（小时），列方程为：()8040 1.75x x =+ 解得：74x =， 7801404⨯=（千米）． ∴学校和博物馆之间的距离是140千米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中获取相关信息是解题关键．24．如图，A ，B ，C 为三个超市，在A 通往C 的道路（粗实线部分）上有一D 点，D 与B 有道路（细实线部分）相通，A 与D ，D 与C ，D 与B 之间的路程分别为25km ，10km ，5km ，现计划在A 通往C 的道路上建一个配货中心H ，每天有一辆货车只为这三个超市送货，该货车每天从H 出发，单独为A 送货1次，为B 送货1次，为C 送货2次，货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H ，设H 到A 的路程为km x ，这辆货车每天行驶的路程为km y ．（1）用含的代数式填空：当025x ≤≤时：货车从H 到A 往返1次的路程为2km x ，①货车从H 到B 往返1次的路程为_______km ．②货车从H 到C 往返2次的路程为_______km ，当2535x <≤时，这辆货车每天行驶的路程y =__________．（2）求y 与x 之间的关系式；（3）配货中心H 建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少？（直接写出结果，不必写出解答过程）解析：（1）①602x -；②1404x -；100；（2）2004(025)100(2535)x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩；（3）建在CD 段，100km ．【分析】（1）根据当0≤x ≤25时，结合图象分别得出货车从H 到A ，B ，C 的距离，进而得出y 与x 的函数关系，再利用当25＜x ≤35时，分别得出从H 到A ，B ，C 的距离，即可得出y ＝100；（2）利用（1）的结论可得y 与x 的函数关系；（3）根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）①如图1，当025x ≤≤时，货车从H 到A 往返1次路程为22km AH S x =货车从H 到B 往返1次的路程为：()22(255)HD DB S S x +=-+2(30)x =-602x =-；②货车从H 到C 往返2次的路程为：()44(2510)DH CD S S x +=-+4(35)x =-1404x =-，如图2，25DH S x =-，25,10(25)35DH CH S x S x x =-=--=-，∴2535x <≤时，货车从H 到A 往返1次路程为：2x ，货车从H 到B 往返1次的路程为：2(525)240x x +-=-，货车从H 到C 往返2次的路程为：4(35)1404x x -=-，∴这辆货车每天行驶的路程为：22401404100km y x x x =+-+-=．（2）由（1）可得：025x ≤≤时，26021404y x x x =+-+-2004x =-，2535x <≤时，100y =，∴2004(025)100(2535)x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩． （3）由②得，025x ≤≤时，4200y x =-+，2535x <≤时，100y =，如图所示，由图象可知，配货中心建在CD 段时，这辆货车每天行驶的路程最短为100km ．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，利用已知分别表示出从P 到A ，B ，C ，D 距离是解题关键．25．地表以下岩层的温度()y ℃随着所处深度() km x 的变化而变化，在某个地点y 与x 之间满足如下关系： 深度() km x1 2 3 4 温度()y ℃ 55 90 125 160 y x （2）当8x =时，求出相应的y 值．（3）若岩层的温度是510℃，求相应的深度是多少？解析：（1）3520y x =+；（2）300；（3）相应的深度是14km ．【分析】（1）根据图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，据此直接直接写出y 与x 之间的关系式即可；（2）根据（1）所得关系式，令x=8，求得y 的值即可；（3）根据（1）所得关系式，令y=510，求得x 的值即可．【详解】（1）由图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，5535(1)y x ∴=+-553535x =+-3520x =+，即y 与x 之间的关系式为：3520y x =+；（2）由3520y x =+令8x =时，则35820300y =⨯+=；（3）由3520y x =+令510y =时，则3520510x +=，解得14x =故相应的深度是14km ．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，明确题意、正确列出函数解析式成为解答本题的关键． 26．小东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地出发以另一速度向A 地走去，1y ，2y 分别表示小东、小明离B 地的距离()y km 与所用时间()x h 的关系，如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）试用文字说明交点P 所表示的实际意义；（2）求1y 与x 的函数关系式；（3）求小明到达A 地所需的时间．解析：（1）交点P 表示小东和小明出发2.5小时在距离B 地7.5km 处相遇；（2）1520y x =-+；（3）263h 【分析】（1）根据相遇问题的等量关系结合函数图象的表示的量，可知点P 横纵坐标表示两人相遇时的时间和两人离B 地的距离；（2）代入两个已知点坐标列出方程组，用待定系数法求出解析式即可；（3）根据时间等于路程除以速度，用小明走的路程除以小明走的速度即可得到结果．【详解】解：（1）交点P 表示小东和小明出发2.5小时在距离B 地7.5km 处相遇．（2）设1y 与x 的函数关系式为1y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠），因为函数图象经过点()020，，()40，，所以20b =，①40k b +=，②解得5k =- 所以1y 与x 的函数关系式为1520y x =-+．（3）小明的速度为()7.5 2.53/km h ÷=，小明到达A 地所需的时间为()220363h ÷=． 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求解析式和读懂函数图象的能力，熟练运用相遇问题的数量关系解决相关问题是解题的关键．27．某水果生产基地销售苹果，提供以下两种购买方式供客户选择:方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克． 方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．设客户购买苹果数量为x (千克)，所需费用为y (元)﹒（1）若客户按方式1购买，请写出y (元)与x (千克）之间的函数表达式．(备注：按方式1购买苹果所需费用=生产基地合作单位会费+苹果成交总价)（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱．解析：（1）12003y x =+；（2）当15002400x <<时，选择方案二省钱；当 2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【分析】（1）根据题意即可得出y （元）与x （千克）之间的函数表达式；（2）设方式2购买时所需费用记作y 2元，求出y 2与x （千克）之间的函数表达式，结合（1）的结论解答即可；【详解】解：（1）根据题意得：12003y x =+．（2）方案一:112003y x =+，方案二:2 3.5y x =，当12y y >，12003 3.5,x x +>2400,x <当12,12003 3.5y y x x =+=，2400,x =当12,12003 3.5y y x x <+>2400,x >∴当15002400x <<时，选择方案二省钱；当2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【点睛】此题主要考查一次函数的应用；得到两种方案总付费的等量关系是解决本题的关键． 28．已知一次函数3y kx =-的图象经过点()2,1A ．。
一次函数重点题型函数图像信息题(解析版) 八年级数学下册专题训练
专题20一次函数重点题型函数图像信息题（解析版）第一部分题组训练类型一根据信息判断函数图象1．（2022•邹城市一模）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的大致图象应为（）A．B．C．D．【思路引领】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．【解答】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S＝2×2﹣vt×1＝4﹣vt（vt≤1）；②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S＝2×2﹣1×1＝3；③小正方形穿出大正方形，S＝2×2﹣（1×1﹣vt）＝3+vt（vt≤1）．分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．故选：A．【总结提升】考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．2．（2023春•丰台区期末）如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．【解答】解：当水的深度未超过球顶时，水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；当水的深度超过球顶时，水槽中能装水的部分宽度不再变化，所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．故选：C．【总结提升】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．3．（2023•湖北）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1（细实线）表示铁桶中水面高度，y2（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【思路引领】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢．【解答】解：根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水，∴y1中从0开始，高度与注水时间成正比，当到达t1时，铁桶中水满，所以高度不变，y2表示水池中水面高度，从0到t1，长方体水池中没有水，所以高度为0，t1到t2时注水从0开始，又∵铁桶底面积小于水池底面积的一半，∴注水高度y2比y1增长的慢，即倾斜程度低，t2到t3时注水底面积为长方体的底面积，∴注水高度y2增长的更慢，即倾斜程度更低，长方体水池有水溢出一会儿为止，∴t3到t4，注水高度y2不变．故选：C．【总结提升】本题考查函数的图象，圆柱体和长方体的灌水时间与容积之间的关系，底面面积越大，注水相同时间，水面上升的高度越慢．解题的关键是倾斜程度的意义的理解．4．（2022春•高新区期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，如图的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A．B．C．D．【思路引领】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【解答】解：公共汽车经历：加速﹣匀速﹣减速到站﹣加速﹣匀速．加速：速度增加；匀速：速度保持不变；减速：速度下降；到站速度为0．故选：D．【总结提升】此题考查的知识点是函数的图象，图象分析题一定要注意图象的横、纵坐标表示的物理量，分析出图象蕴含的物理信息，考查学生的图象分析和归纳能力．类型二根据函数图象判断物体形状5．（2022•武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．【思路引领】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变化，水面高度变化的快慢不同，与所给容器的底面积有关．则相应的排列顺序就为选项A．故选：A．【总结提升】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．类型三获取函数图象信息6．（2023•河西区模拟）甲、乙两车分别从A城出发前往B城，在整个行程中，甲车离开A城的距离y1（单位：km）与甲车离开A城的时间x（单位：h）的对应关系如图所示．（Ⅰ）填空：①A，B两城相距360km；②当甲车出发2.5h时，距离A城120km；③当0＜x＜2时，甲车的速度为60km/h；④当83＜＜173时，甲车的速度为80km/h；⑤若乙车比甲车晚出发12ℎ，以60km/h的速度匀速行驶，则两车相遇时，甲车离开A城的时间为52或196h．（Ⅱ）当0≤≤173时，请直接写出y1关于x的函数解析式．【思路引领】（Ⅰ）根据图表信息，即可求出相应结果．（Ⅱ）根据图象可知0≤≤173时，被分为三部分，分别是0≤x≤2、2＜x≤83、83＜x≤173，找到对应点求出解析式即可．【解答】解：（Ⅰ）①根据图象可得A，B两城相距为360km；故答案为：360；②当甲车出发2.5h时，距离A城120km；故答案为：120；③当0＜x＜2时，甲车的速度为：120÷2＝60（km/h）；故答案为：60；④当83＜＜173时，甲车的速度为：360−120173−83=80（km/h）；故答案为：80；⑤第一次相遇：120÷60+12=52；第二次相遇|：360−1203+2803=60（x−12），解得x=196．即若乙车比甲车晚出发12ℎ，以60km/h的速度匀速行驶，则两车相遇时，甲车离开A城的时间为52或196h；故答案为：52或196；（II）当0≤x≤2时，y1＝60x；当2＜x≤83时，y1＝120；当83＜x≤173时，设y1关于x的函数解析式为y1＝kx+b，代入（83，120），（173，360），得：+=120+=360，解得=80=−2803所以y1＝80x−2803．【总结提升】本题考查了一次函数图形解决实际问题相关知识，理解数据的实际意义，并能灵活运用是解决问题的关键．7．（2023•宁津县一模）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是甲．【思路引领】当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是3千米的时候，比较甲、丁的平均速度即可得出答案．【解答】解：∵10分钟甲比乙步行的路程多，25分钟丁比丙步行的路程多，∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，∵步行3千米时，乙比丙用的时间少，∴乙的平均速度＞丙的平均速度，∴走得最快的是甲，故答案为：甲．【总结提升】本题考查了函数的图象，通过控制变量法比较平均速度的大小是解题的关键．8．甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（）A．8：28B．8：30C．8：32D．8：35【思路引领】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是67a 千米/时，2a千米/时，即可得到方程：67ax+2a（x−16）＝a，求出x的值，即可解决问题．【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是76小时，12小时，∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是67a千米/时，2a千米/时，由题意得：67ax+2a（x−16）＝a，∴x=715，715小时＝28分钟，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．故选：A．【总结提升】本题考查一元一次方程的应用，关键是由题意列出方程：67ax+2a（x−16）＝a．9．（2023秋•道里区校级月考）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为17．【思路引领】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，∴AB＝15，∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），∴BC＝2×4＝8；在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；故答案为：17．【总结提升】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．10．（2021•宿迁）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为100km/h，C点的坐标为（8，480）．（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．【思路引领】（1）由图象信息先求出慢车速度，再根据相遇时慢车走的路程，从而求出快车走的路程，再根据速度＝路程÷时间，求出快车速度，然后根据快车修好比慢车先到达终点可知C点是慢车到达终点时所用时间即可；（2）分两车相遇前和相遇后两种情况讨论即可．【解答】解：（1）由图象可知：慢车的速度为：60÷（4﹣3）＝60（km/h），∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3＝180（km），∴快车的速度为：（480﹣180）÷3＝300÷3＝100（km/h），通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点，∴慢车到达终点时所用时间为：480÷60＝8（h），∴C点坐标为：（8，480），故答案为：100，（8，480）；（2）设慢车出发t小时后两车相距200km，①相遇前两车相距200km，则：60t+100t+200＝480，解得：t=74，②相遇后两车相距200km，则：60t+100（t﹣1）﹣480＝200，解得：t=398，∴慢车出发74h或398h时两车相距200km，答：慢车出发74h或398h时两车相距200km．【总结提升】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是弄清图象拐点处的意义，根据题意进行运算．第二部分专题提优训练1．（2023•无为市四模）“百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据小雅的速度的变化判断即可．【解答】解：由小雅立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与x轴平行；最后150米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡．故选项B符合题意．故选：B．【总结提升】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键．2．（2023春•井冈山市期末）小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（）A．B．C．D．【思路引领】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，B，C不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．故选：D．【总结提升】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．3．如图，因水桶中的水由图①的位置下降到图②的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路引领】根据水减少的体积是y，水位下降的高度是x，而且y与x之间函数关系成正比例得出图象即可．【解答】解：∵水减少的体积是y，水位下降的高度是x，∴y越大，x越大，而且它们成正比例关系，∴图象中只有C是正比例关系，故选：C．【总结提升】此题主要考查了函数图象与实际问题，利用实际问题得出函数关系是解决问题的关键．4．（中考真题•漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）A．B．C．D．【思路引领】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选：A．【总结提升】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．5．（2021春•七星关区期末）某列高铁从起点站出发，加速一段时间后开始匀速行驶，在快到下一站时减速并停下，等乘客上下车后开始加速，一段时间后开始匀速行驶．下面的图中哪一个能近似地刻画这一段时间内高铁的速度随时间变化情况（）A．B．C．D．【思路引领】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【解答】解：高铁经历：加速﹣匀速﹣减速到站﹣加速﹣匀速，加速：速度增加，匀速：速度保持不变，减速：速度下降，到站：速度为0．观察四个选项的图象，只有A选项符合．故选：A．【总结提升】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．6．（2021春•织金县期末）妈妈从家里出发去平远古镇锻炼，她连续匀速走了60分钟后回到家，如图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离S（km）与行走时间t（min）之间的关系，则下列图形中可以大致描述妈妈行走的路线的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间妈妈绕以家为圆心的圆弧进行运动，由此即可得出结论．【解答】解：观察s关于t的函数图象，发现：在图象AB段，该时间段妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．故选：B．【总结提升】本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的AB段．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．7．（2022春•惠州期末）如图，点P从正方形ABCD的顶点C出发，沿着正方形的边运动，依次经过点D 和点A到达点B后停止运动．当运动路程为x时，△PBC的面积为y，则y随x变化的图象可能是（）A．B．C．D．【思路引领】根据运动可以发现△PBC的面积，从增大到不变，再到不断减小，结合图象可选出答案．【解答】解：y与x的函数关系的图象大致可分三段来分析：当点P从C运动到D时，因为底BC不变，高PC逐渐增大，所以△PBC的面积随着CP的增大而增大；当点P从D运动到A时时，△PBC的底和高都不变，所以面积也不变；当点P从A运动到B的时候，因为底BC不变，高PB逐渐减小，所以△PBC的面积随着PB的减小而减小．所以选项B符合题意．故选：B．【总结提升】本题考查了动点问题的函数图象，弄清点P分别在三条边上运动时，面积的变化情况是解题关键．8．（2023春•平原县期中）一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发匀速行驶至乙港，行驶路程随时间变化的图象如图，则快艇比轮船每小时多行20千米．【思路引领】观察图象，根据图象中的路程和时间的关系，求出各自的速度，从而计算速度差．【解答】解：由函数图象，得：轮船的速度为：160÷8＝20（km/h），快艇的速度为：160÷（6﹣2）＝40（km/h），∴快艇比轮船每小时多行40﹣20＝20（千米），故答案为：20．【总结提升】本题考查了函图象的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时分析清楚函数图象提供的信息是关键．9．（2023春•青海月考）已知小明家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法中：①体育场离家2.5km；②小明在体育场锻炼了20分钟；③小明从体育场出发到文具店的平均速度为4km/h，其中正确的有①③（填序号）．【思路引领】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，体育场离小明家2.5km，故①正确；小明在体育场锻炼了：30﹣15＝15（分钟），故②错误；③小明从体育场出发到文具店的平均速度为：（2.5﹣1.5）÷45−3060=4（km/h），故③正确．故答案为：①③．【总结提升】本题考查了函数图象，解题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．10．（2021春•思明区校级期中）如图，某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，其中A（0，2），B（32，1），C（4，3），则此函数的最大值是3．【思路引领】直接利用函数图象上点的坐标，进而得出函数最值即可．【解答】解：∵函数的图象由线段AB和BC组成，其中点A（0，2），B（32，1），C（4，3），∴当x＝4时，函数值最大为3．故答案为：3．【总结提升】此题主要考查了函数的图象以及函数值，正确利用点的坐标是解题关键．11．汽车的速度随时间变化的情况如图所示：（1）这辆汽车的最高时速是多少？（2）汽车在行驶了多长时间后停了下来，停了多长时间？（3）汽车在第一次匀速行驶（速度不变）时共用了几分钟？速度是多少？在这段时间内，它走了多远？【思路引领】（1）结合图形速度轴可以找出最高时速；（2）当速度为0时，汽车停止下来；（3）结合图形，可得出第一次匀速行驶（速度不变）时共用了几分钟，速度是多少，再利用路程＝速度×时间，即可得出结论．【解答】解：（1）由汽车的速度随时间变化的情况图可看出：汽车的最高时速是120千米/时．（2）结合图形，可得知，汽车在行驶了10分钟后停了下来，停了12﹣10＝2分钟．（3）由图形可知，第一次匀速行驶的速度为90千米/时，行驶的时间为6﹣2＝4分钟，∵4分钟=115小时，∴行驶的路程＝90×115=6（千米）．答：汽车在第一次匀速行驶（速度不变）时共用了4分钟，速度是90千米/时，在这段时间内，它走了6千米．【总结提升】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：能熟练的运用图形解决问题．12．（2023春•尤溪县期中）周末，小明骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若追上小明后，再过5分钟妈妈到达乙地，求从家到乙地的路程．【思路引领】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）根据函数图象中的数据，可以写出小明从家出发多少小时后被妈妈追上，并计算出此时离家多远；（3）根据小明的速度，求出妈妈的速度，然后即可计算出从家到乙地的路程．【解答】解：（1）由图象可得，小明骑车的速度是：10÷0.5＝20（km/h），在甲地游玩的时间为：1﹣0.5＝0.5（h），即小明骑车的速度是20km/h，在甲地游玩的时间是0.5h；（2）由图象可得，小明从家出发74小时后被妈妈追上，此时离家：20×（74−0.5）＝25（km），即小明从家出发74小时后被妈妈追上，此时离家25km；（3）∵妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍，小明骑车的速度是20km/h，∴妈妈驾车速度为20×3﹣60（km/h），∴从家到乙地的路程是：60×（74−43+560）＝60×74−60×43+60×560＝105﹣80+5＝30（km），即从家到乙地的路程是30km．【总结提升】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．。
八年级数学一次函数32道典型题(含答案和解析)
八年级数学一次函数32道典型题（含答案和解析）1、下列函数中：① y=2πx ；② y=－2x+6；③ y=34x ；④ y=x2+3；⑤ y=32x ；⑥ y=√x ，其中是一次函数的有（ ）个．A.1B.2C.3D.4 答案： C ．解析： ①②③满足自变量次数为1，系数不为零，且自变量不在分母上，故为一次函数．④自变量次数不为1，故不是一次函数． ⑤自变量在分母上，不是一次函数． ⑥自变量次数为12，不是一次函数．考点：函数——一次函数——一次函数的基础．2、 当m= 时，y=（m －4）x 2m+1－4x －5 是一次函数． 答案： 4或0.解析：y=（m －4）x 2m+1－4x －5是一次函数．则 m －4=0或2m+1=1． 解得 m=4或m=0.考点：函数——一次函数——一次函数的基础．3、一次函数y=kx+b 的图象不经过第二象限，则k ，b 的取值范围是（ ）．A. k ＜0，b≥0B. k ＞0，b≤0C. k ＜0，b ＜0D. k ＞0，b ＞0 答案： B ．解析： ① k ＞0时，直线必经过一、三象限，故k ＞0.② 再由图象过三、四象限或者原点，所以b≤0 ．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．4、一次函数y=kx －k 的图象一定经过（ ）．A. 一、二象限B. 二、三象限C. 三、四象限D. 一、四象限 答案： D ． 解析： 解法一：当k ＞0时，函数为增函数，且与y 轴交点在x 轴下方，此时函数经过一、三、四象限．当k ＜0时，函数为减函数，且与y 轴交点在x 轴上方，此时函数经过一、二、四象限．∴一次函数y=kx －k 的图象一定经过一、四象限． 解法二：一次函数y=kx －k=k （x －1）的图象一定过（1,0），即该图象一定经过一、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的性质．5、如果ab ＞0，ac ＜0，则直线y=−ab x+cb 不通过（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 答案： A ．解析：ab ＞0 ，ac ＜0．则a ，b 同号；a ，c 异号；b ，c 异号． ∴−ab ＜0，cb ＜0.∴直线y=−abx+cb 过第二、三、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．6、如图，一次函数y=kx+b 和正比例函数y=kbx 在同一坐标系内的大致图象是（ ）．解析：A 、∵一次函数的图象经过一、三、四象限．∴k＞0，b＜0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项错误．B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限．∴k＜0，b＞0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项正确．C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限.∴k＜0，b＜0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限.∴k＞0，b＞0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．故选B．考点：函数——一次函数——正比例函数的图象——一次函数的图象．7、下列图象中，不可能是关于的一次函数y=mx－（m－3）的图象的是（）．解析：将解析式变为y=mx+（3－m）较易判断．考点：函数——一次函数——一次函数的图象．8、若一次函数y=－2x+3的图象经过点P1（－5，m）和点P2（1，n），则m n．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．答案：＞．解析：在y=－2x+3中，k=－2＜0.∴在一次函数y=－2x+3中，y随x的增大而减小.∵－5＜1.∴m＞n．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．9、一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A．解析：∵一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小．∴k＜0.又∵b＜0.∴这个函数的图象不经过第一象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k、b的关系．10、已知一次函数y=kx+b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（）．A. k＞1，b＜0B. k＞1，b＞0C. k＞0，b＞0D. k＞0，b＜0答案：A．解析：一次函数y=kx+b－x即为y=（k－1）x+b．∵函数值y随x的增大而增大．∴k－1＞0，解得k＞1.∵图象与x轴的正半轴相交，∴b ＜0.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．11、已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为 ． 答案：－1.解析： 由已知得：{ 2k +3＞0k ＜0.解得：−32＜k ＜0. ∵k 为整数． ∴k=－1.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．12、在直角坐标系x0y 中，一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）． （1） 求一次函数的表达式．（2） 求一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标．答案：（1） 一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2） 一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）． 解析：（1） ∵一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）．∴2=2k+6． ∴k=－2.∴一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2） 在y=－2x+6中，令x=0，则y=6，令y=0，则x=3.∴一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．13、设一次函数y=kx+b 的图象经过点P （1,2），它与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，坐标原点为O ，若OA+OB=6，则此函数的解析式是 或 ． 答案： 1．y=－x+3.2．y=－2x+4.解析：因为一次函数y=kx+b的图象经过点P（1,2）．所以k+b=2，即k=2－b．令y=0，则x=−bk =bb−2．所以点A（bb−2，0），点B（0，b）．又因为A，B位于x轴，y轴的正半轴，并且OA+OB=6．所以bb−2+b=6，其中b＞2．解得b=3或b=4.此时k=－1或－2.所以函数的解析式是y=－x+3或y=－2x+4.考点：函数——一次函数——一次函数综合题．14、一次函数y=（m2－1）x+（1－m）和y=（m+2）x+（2m－3）的图象分别与y轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是（）．A. 2B.2或－1C. 1或－1D.－1答案：A．解析：一次函数y=（m2－1）x+（1－m）的图象与y轴的交点P为（0,1－m）．一次函数y=（m+2）x+（2m－3）的图象与y轴的交点Q为（0,2m－3）．因为P和Q关于x轴对称．所以1－m+2m－3=0.解得m=2.考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数图象与几何变换．15、已知直线y=2x－1．（1）求此直线与x轴的交点坐标．（2）若直线y=k1x+b1与已知直线平行，且过原点，求k1、b1的值．（3）若直线y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称，求k2、b2的值．答案：（1）（12，0）．（2）k1=2，b1=0．（3）k2=－2，b2=－1．解析：（1）令y=0，则0=2x－1.∴x=12.∴与x轴的交点坐标为（12，0）．（2）∵y=k1x+b1与y=2x－1平行．∴k1=2.又∵y=k1x+b1过原点．∴b1=0．（3）在直线y=2x－1上任取一点（1,1）．则（1,1）关于y轴的对称点为（－1,1）．又∵y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称．则b2=－1．点（－1,1）在直线y=k2x－1上.∴1=－k2－1.∴k2=－2.考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——一次函数图象与几何变换——两条直线相交或平行问题．16、如图所示，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值．（2）解关于x，y的方程组{y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解．（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．答案：（1）b=2．（2）{x=1y=2．（3）直线l3：y=nx+m经过点P．解析：（1）将P（1，b）代入y=x+1，得b=1+1=2．（2）由于P点坐标为（1,2），所以{x=1y=2．（3）将P（1,2）代入解析式y=mx+n得，m+n=2．将x=1代入y=nx+m得y=m+n．由于m+n=2.所以y=2.故P（1,2）也在y=nx+m上．考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数与二元一次方程．17、如图，直线y=kx+b经过A（－1,1）和B（－√7,0）两点，则关于x的不等式组0＜kx+b＜－x的解集为．答案：－√7＜x＜－1.解析：∵直线y=kx+b经过B（－√7,0）点．∴0＜kx+b，就是y＞0，y＞0的范围在x轴的上方．此时：－√7＜x．∵直线y=－x经过A（－1,1）．那么就是A点左侧kx+b＜－x．得：x＜－1.故解集为：－√7＜x＜－1.考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．18、阅读理解：在数轴上，x=1表示一个点，在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线（如图（a）所示），在数轴上，x≥1表示一条射线；在平面直角坐标系中，x≥1表示的是直线x=1右侧的区域；在平面直角坐标系中，x+y－2=0表示经过（2，0），（0,2）两点的一条直线，在平面直角坐标系中，x+y－2≤0表示的是直线x+y－2=0及其下方的区域（如图（b）所示），如果x，y满足{x+2y−2≥03x+2y−6≤0x≥0y≥0，请在图（c）中用阴影描出点（x，y）所在的区域．答案：解析：略．考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．19、甲、乙两人从顺义少年宫出发，沿相同的线路跑向顺义公园，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度跑向顺义公园，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，请根据题意解答下列问题．（1）在跑步的全过程中，甲共跑了米，甲的速度为米/秒．（2）求乙跑步的速度及乙在途中等候甲的时间．（3）求乙出发多长时间第一次与甲相遇？答案：（1）1．900.2．1.5．（2）乙在途中等候甲的时间是100秒.（3）乙出发150秒时第一次与甲相遇．解析：（1）解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒.∴甲的速度为900÷600=1.5米/秒．（2）甲跑500秒的路程是500×1.5=750米.甲跑600米的时间是（750－150）÷1.5=400秒.乙跑步的速度是750÷（400－100）=2.5米/秒.乙在途中等候甲的时间是500－400=100秒．（3）∵D（600,900），A（100,0），B（400,750）．∴OD的函数关系式为y=1.5x，AB的函数关系式为y=2.5x－250.根据题意得{y=1.5xy=2.5x−250．解得x=250.∴乙出发150秒时第一次与甲相遇．考点：函数——一次函数——一次函数的应用．20、如图1是某公共汽车线路收支差额y（单位：万元）（票价总收人减去运营成本）与乘客量x（单位：万人）的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图1分别改画成图2和图3.（1）说明图1中点A和点B的实际意义．（2）你认为图2和图3两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是．（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图4 中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象．答案：（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）1．图3.2．图2.（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．解析:（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）反映乘客意见的是图3.反映公交公司意见的是图2．（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的应用．x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴于点B，连接OA．21、如图，已知一次函数y=−12（1） 求一次函数的解析式．（2） 设点P 为y=−12x+b 上的一点，且在第一象限内，经过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．若△POQ 的面积等于54倍的△AOB 的面积，求点P 的坐标．答案：（1） y=−12x+4．（2） （3，52）或（5，32）.解析：（1） ∵一次函数y=−12x+b 的图象经过点A （2，3）．∴3=（−12）×2+b ．解得b=4.故此一次函数的解析式为：y=−12x+4.（2） 设P （p ，d ），p ＞0．∵点P 在直线y=−12x+4的图象上．∴ d=−12p+4①．∵ S △POQ =54S △AOB =54×12×2×3． ∴ 12pd=154②.①②联立得，{ d =−12p +412pd =154．解得{ p =3d =52或{p =5d =32．∴ 点坐标为：（3，52）或（5，32）.考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数的应用．22、已知：一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．（1） 求a 的值及正比例函数y=kx 的解析式．（2） 点P 在坐标轴上（不与原点O 重合），若PA=OA ，直接写出P 点的坐标．（3） 直线x=m （m ＜0且m≠－4 ）与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式．答案：（1） a=－4，正比例函数的解析式为y=−14x ． （2） P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3） S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．解析：（1） ∵一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．∴ 12a+3=1. 解得a=－4. ∴ A （－4,1）． ∴ 1=K×（－4）． 解得k=−14．∴正比例函数的解析式为y=−14x ．（2） 如图1，P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3） 依题意得，点B 坐标为（m ，12m+3），点C 的坐标为（m ，−m4）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． 分两种情况： ① 当m ＜－4时．BC=−14m －（12m+3）=−34m －3.AH=－4－m ．则S △ABC =12BC×AH=12（−34m －3）（－4－m ）=38m 2+3m+6.② 当m ＞－4时．BC=（12m+3）+m 4=34m+3.AH=m+4．则S △ABC =12BC×AH=12（34m+3）（m+4）=38m 2+3m+6.综上所述，S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离——坐标与面积．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征——两条直线相交或平行问题——一次函数综合题．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换．23、已知y 1=x+1，y 2=－2x+4，当－5≤x≤5时，点A （x ，y 1）与点B （x ，y 2）之间距离的最大值是 ． 答案：18.解析： 当x=5时，y 1=6，y 2=－6．当x=－5时，y 1=－4，y 2=14．∴ A （5,6），B （5，－6）或A （－5，－4），B （－5,14）. ∴ AB=6－（－6）=12或AB=14－（－4）=18. ∴ 线段AB 的最大值是18．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．24、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−4x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点3D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C 处．（1）求AB的长和点C的坐标．（2）求直线CD的解析式．答案: （1）AB=√62+82=10，点C的坐标为C（16，0）．（2）直线CD的解析式为y=3x－12．4解析：（1）根据题意得A（6,0），B（0,8）．在RT△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8．∴AB=√62+82=10．∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC．∴AC=AB=10．∴OC=OA+AC=OA+AB=16．∵点C在x轴的正半轴上．∴点C的坐标为C（16,0）．（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0）．由题意可知CD=BD，CD2=BD2．由勾股定理得162+y2=（8－y）2．解得y=－12．∴点D的坐标为D（0，－12）．可设直线CD的解析式为y=kx－12（k≠0）．∵点C（16,0）在直线y=kx－12上．∴16k－12=0．．解得k=34∴直线CD的解析式为y=3x－12．4考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．25、直线AB：y=－x+b分别与x、y轴交于A、B两点，点A的坐标为（3,0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB:OC=3:1．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式．（2）在x轴上方存在点D，使以点A、B、C为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并请直接写出点D的坐标．（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．答案：（1）B（0,3），直线BC的解析式为y=3x+3．（2）画图见解析，D1（4,3），D2（3,4）．（3）证明见解析．解析：（1）把A（3,0）代入y=－x+b，得b=3．∴B（0,3）．∴OB=3.∵OB:OC=3:1.∴OC=1．∵点C在x轴负半轴上．∴C（－1,0）．设直线BC 的解析式为y=mx+n ． 把B （0，3）及C （－1,0）代入，得{n =3−m +n =0．解得{m =3n =3．∴直线BC 的解析式为：y=3x+3．（2） 如图所示，D 1（4,3），D 2（3,4）．（3） 由题意，PB=PC ．设PB=PC=X ，则OP=3－x ． 在RT △POC 中，∠POC=90°． ∴ OP 2+OC 2=PC 2． ∴ （3－x ）2+12=x 2． 解得，x=53．∴ OP=3－x=43．∴点P 的坐标（0，43）．考点：函数——平面直角坐标系——特殊点的坐标．一次函数——求一次函数解析式．三角形——全等三角形——全等三角形的性质．26、一次函数y=kx+b （k≠0），当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）． （1） 求此函数的解析式．（2） 若函数的图象与x 轴y 轴分别相交于点A 、B ，求△AOB 的面积．（3） 若点P 为x 轴正半轴上的点，△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．答案：（1）y=−34x+3.（2）6.（3）（78，0）或（9,0）．解析：（1）当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）．代入y=kx+b 有，{−4k +b =6b =3，解得：{k =−34b =3．∴此函数的解析式为y=−34x+3.（2）当y=0时，x=4．∴点A （4,0），B （0,3）． ∴ S △AOB=12×3×4=6.（3）AB=√42+32=5．当点P 为P 1时，BP 1=AP 1.∴在RT △OBP 1中，32+OP 12=（4－OP 1）2． 解得：OP 1=78. ∴ P1（78，0）．当点P 为P 2时，AB=AP 2，∴P 2（9,0）． 故点P 的坐标为（78，0）或（9,0）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换． 等腰三角形——等腰三角形的性质．27、已知点A （-4,0），B （2,0）．若点C 在一次函数y=12x+2的图象上，且△ABC 是直角三角形，则点C 的个数是（ ）．A.1B. 2C. 3D.4 答案： B ．解析： 如图所示，当AB 为直角边时，存在C 1满足要求．当AB 为斜边时，存在C 2满足要求．故点C的个数是2．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．28、在平面直角坐标系xOy中，点A（－3,2），点B是x轴正半轴上一动点，连结AB，以AB为腰在x轴的上方作等腰直角△ABC，使AB=BC．（1）请你画出△ABC．（2）若点C（x，y），求y与x的函数关系式．答案：（1）画图见解析．（2）y=x+1.解析：（1）（2）作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F.∴∠AEB=∠BFC=90°．∵A（－3,2）．∴ AE=2，EO=3. ∵ AB=BC ，∠ABC=90°． ∴ ∠ABE+∠CBF=90°． ∵ ∠BCF+∠CBF=90°． ∴ ∠ABE=∠BCF. ∴ △ABE ≌△BCF ． ∴ EB=CF ，AE=BF. ∵ OF=x ，CF=y ． ∴ EB=y=3+（x+2）． ∴ y=x+1．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．29、如图，直线l 1：y=12x 与直线l 2：y=－x+6交于点A ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，点E 是线段OA 上一动点（E 不与O 、A 重合），过点E 作 EF ∥x 轴，交直线l 2于点F ．（1） 求点A 的坐标．（2） 设点E 的横坐标为t ，线段EF 的长为d ，求d 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3） 在x 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请你说明理由．答案:（1） （4,2）．（2） d=6－32t ，其中0＜t ＜4．（3） 存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形．解析：（1）联立{ y =12y =−x +6，解得{x =4y =2．∴点A 的坐标为（4,2）．（2）点E 在直线l 1：y=12x ．∵点E 的横坐标为t ． ∴点E 的纵坐标为12t ．∵ EF ∥x 轴，点F 在直线l 2：y=－x+6上． ∴点F 的纵坐标为12t ．由12t=－x+6，得点F 的横坐标为6－12t ．∴ EF 的长d=6−12t －t=6−32t ． ∵ 点E 在线段OA 上． ∴ 0＜t ＜4．（3） 若∠PEF=90°，PE=EF ．则6−32t=t2，解得t=3.∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（3,0）． 若∠PFE=90°，PF=EF ． 则6−32t=t2，解得t=3. ∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（92，0）．若 ∠EPF=90°． ∴6−32t=2×t2，解得t=125. 此时点P 的坐标为（185，0）．综上，存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形． 考点：函数——一次函数——两条直线相交或平行问题——一次函数的应用——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．30、规定：把一次函数y=kx+b 的一次项系数和常数项互换得y=bx+k ，我们称y=kx+b 和y=bx+k （其中k.b≠0，且|k|≠|b |）为互助一次函数，例如y=−23x+2和y=2x −23就是互助一次函数．如图，一次函数y=kx+b 和它的互助一次函数的图象l 1，l 2交于P 点，l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点．（1） 如图（1），当k=－1，b=3时． ① 直接写出P 点坐标 ．② Q 是射线CP 上一点（与C 点不重合），其横坐标为m ，求四边形OCQB 的面积S 与m 之间的函数关系式，并求当△BCQ 与△ACP 面积相等时m 的值．（2） 如图（2），已知点M （－1,2），N （-2,0）．试探究随着k ，b 值的变化，MP+NP 的值是否发生变化？若不变，求出MP+NP 的值；若变化，求出使MP+NP 取最小值时的P 点坐标．答案: （1）① （1,2）．② S=2m −16（m ＞13），m=53.（2）随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化．使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．解析：（1）① P （1,2）．② 如图，连接OQ ．∵ y=－X+3与y=3x －1的图象l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点． ∴ A （3,0），B （0,3），C （13，0），D （0，－1）．∵ Q （m ，3m －1）（m ＞13）．∴ S=S △OBQ +S △OCQ =12×3×m+12×13×（3m －1）=2m −16（m ＞13）．∴ S △BCQ =S －S △BOC =2m −16−12×3×13=2m −23. 而S △ACP =12×（3−13）×2=83．由S △BCQ=S △ACP ，得2m −23=83，解得m=53．（2） 由{ y =kx +b y =bx +k，解得{ x =1y =k +b ，即P （1，k+b ）．∴随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化． 如图，作点N （-2,0）关于直线x=1的对称点N(4,0)，连接MN 交直线x=1于点P ，则此时MP+NP 取得最小值．设直线MN 的解析式为y=cx+d ，依题意{−c +d =24c +d =0.解得{c =−25y =85.∴直线MN 的解析式为y=−25x+85．令x=1，则y=65，∴P （1，65）．即使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．考点：函数——函数基础知识——函数过定点问题.一次函数——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题. 几何初步——直线、射线、线段——线段的性质：两点之间线段最短. 三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.31、新定义：对于关于x 的一次函数y=kx+b （k≠0），我们称函数{y =kx +b （x ≤m ）y =−kx −b （x ＞m ）为一次函数y=kx+b （k≠0）的m 变函数（其中m 为常数）．例如：对于关于x 的一次函数y=x+4的3变函数为{y =x +4（x ≤3）y =−x −4（x ＞3）．（1） 关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为y ，则当x=4时，y=__________． （2） 关于x 的一次函数y=x+2的1变函数为y 1,关于x 的一次函数y=−12x －2的－1变函数为y 2，求函数y 1和函数y 2的交点坐标．（3） 关于x 的一次函数y=2x+2的1变函数为y 1，关于x 的一次函数y=−12x －1的m变函数为y 2．① 当－3≤x≤3时，函数y 1的取值范围是__________（直接写出答案）．② 若函数y 1和函数y 2有且仅有两个交点，则m 的取值范围是__________（直接写出答案）．答案： （1）3.（2）（−83，−23）和（0,2）．（3）①－8≤y 1≤4.②−65≤m ＜−23．解析： （1） 根据m 变函数定义，关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为： {y =−x +1（x ≤2）y =x −1（x ＞2）.∴ x=4时，y 1=4－1=3．∴ y 1=3．（2） 根据定义得：y 1={y =x +2（x ≤1）y =−x −2（x ＞1），y 2={y =−12x −2（x ≤−1）y =12x +2（x ＞−1）． 求交点坐标：① {y =x +2（x ≤1）y =−12x −2（x ≤−1） ，解得{x =−83y =−23． ② {y =x +2（x ≤1）y =12x +2（x ＞−1） ，解得{x =0y =2． ③ {y =−x −2（x ＞1）y =−12x −2（x ≤−1），无解． ④ {y =−x −2（x ＞1）y =12x +2（x ＞−1），无解． 综上所述函数y 1和函数y 2的交点坐标为（−83，−23）和（0,2）．（3）略．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象上点的坐标特征——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题．32、在平面直角坐标系xOy 中，对于点M （m ，n ）和点N （m ，n’，给出如下定义：若n’={n （m ≥2）−n （m ＜2），则称点N 为点M 的变换点．例如：点（2,4）的变换点的坐标是（2,4），点（－1,3）的变换点的坐标是（－1，－3）．（1） 回答下列问题：① 点（√5，1）的变换点的坐标是 ．② 在点A （－1,2），B （4，－8）中有一个点是函数y=2x 图象上某一点的变换点，这个点是 （填“A”或“B”）．（2） 若点M 在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是 ．（3） 若点M 在函数y=－x+4（－1≤x≤a ，a ＞－1）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是－5≤n’≤2，则a 的取值范围是 ．答案: （1）①（√5，1）.② A.（2）－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）6≤a≤9.解析：（1）① 由定义可知，由于√5＞2，所以点（√5，1）的变换点的坐标是（√5，1）．②若点A（－1,2）是变换点，则变换前的点为（－1，－2），－2=－1×2，在函数y=2x上．若点B（4，－8）是变换点，则变换前的点为（4，－8），－8≠4×2，不在函数y=2x上．所以这个点是A．（2）若点M在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，设M（x，x+2）．当2≤x≤3时，4≤n’=x+2≤5．当－4≤x＜2时，－4＜n’=－（x+2）≤2．综上，纵坐标n’的取值范围是－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）当a＞2时，2≤x＜a时，4－a≤n’=－x+4≤2．－1≤x＜2时，－5≤n’=－（－x+4）≤—2．∴只需－5≤4－a≤－2，此时6≤a≤9.当a＜2时，－1≤x≤a，－5≤n’=－（－x+4）≤a－4.此时不满足－5≤n’≤2，故舍去．综上，的取值范围是6≤a≤9．考点：式——探究规律——定义新运算．函数——平面直角坐标系——点的位置与坐标．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征．。
部编数学八年级下册专题22一次函数中的常见易错题(解析版)含答案
专题22 一次函数中的常见易错题（解析版）第一部分专题典例剖析类型一忽视定义的限制条件（隐含条件）1．（2022•南京模拟）已知关于x的函数y＝（m﹣2）x m2―1+m+1是一次函数，则m＝ ．思路引领：由此函数的定义可知：m﹣2≠0，且m2﹣1＝1，然后解得m的值即可．解：∵y＝（m﹣2）x m2―1+m+1是一次函数，∴m﹣2≠0，且m2﹣1＝1，解得：m=±故答案为：总结提升：本题主要考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式组是解题的关键．2．已知正比例函数y＝（k﹣1）x k2―k―1的图象经过第二、第四象限，则k的值是 ．思路引领：根据正比例函数图象的性质，得k﹣1＜0，k2﹣k﹣1＝1．解：∵函数图象经过第二、四象限，∴k﹣1＜0，k2﹣k﹣1＝1．解得：k＝﹣1，k＝2（舍去）故答案为：﹣1总结提升：掌握正比例函数图象的性质：k＜0，图象经过二、四象限．若一点在图象上，则其坐标满足直线解析式．类型二已知距离，已知面积求系数或解析式时忽视分类讨论3．若直线y＝ax+b与x轴的交点到y轴的距离为1，则关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为 ．思路引领：根据直线与x轴的交点的求法得出交点坐标（―ba，0），根据题意得出―ba=±1，从而得出答案．解：∵直线与x轴的交点的求法得出交点坐标（―ba，0），且交点到y轴的距离为1，∴―ba=±1∴关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为x＝±1，故答案为±1．总结提升：本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．4．已知一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，与两坐标轴围成的三角形的面积为2．求这个一次函数的解析式．思路引领：根据两条直线平行k相同，得到k＝﹣3，然后求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，∴k＝﹣3，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x=b 3，∴直线y＝﹣3x+b与坐标轴的交点为（0，b）、（b3，0），∵直线y＝﹣3x+b与坐标轴围成的三角形的面积为2，∴12⋅|b|⋅|b3|=2，∴b＝±∴一次函数为y＝﹣3X Y＝﹣3X﹣总结提升：本题考查了待定系数法求函数的解析式、两条直线平行k相同等知识，正确利用点的坐标表示三角形的面积是关键．5．（2021春•爱辉区期末）已知一次函数y＝kx+4的图象与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此函数表达式．思路引领：分别求出直线与坐标轴交点A，B，通过直角三角形面积求k．解：设直线y＝kx+4与x、y轴相交于A（a，0）B（0，b）把B点代入y＝kx+4得b＝4，把A点代入y＝kx+4得a=―4 k ．∵图象与坐标轴围成三角形的面积为8，∴12OA⋅OB=12×4|―4k|＝8，解得k＝±1∴此函数表达式为y＝﹣x+4或y＝x+4．总结提升：本题考查一次函数与三角形的结合问题，通过直线与坐标轴交点坐标及三角形面积公式求解，解题关键是注意k有正负两种情况．类型三在k的正负不明确时，忽视分类讨论6．已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则k+b的值为 ．思路引领：本题分情况讨论：①x＝﹣3时对应y＝1，x＝1时对应y＝9；②x＝﹣3时对应y＝9，x＝1时对应y＝1；将每种情况的两组数代入即可得出答案．解：①当x＝﹣3时，y＝1；当x＝1时，y＝9，则1=―3k+b 9=k+b解得：k=2 b=7所以k+b＝9；②当x＝﹣3时，y＝9；当x＝1时，y＝1，则―3k+b=9 k+b=1解得：k=―2 b=3，所以k+b＝1．故答案为9或1．总结提升：本题考查待定系数法求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解．类型四搞不清一次函数的性质与图像分布7．已知一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论正确的是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0思路引领：直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，∴k＜0，b＞0．故选：C．总结提升：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b ＞0时，函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．8．（2021秋•海曙区期末）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．思路引领：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx 过原点，一、三象限；②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限．解法二：本题还可用矛盾分析法来解决A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾．B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾．C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立．D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾．故选：C．总结提升：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．（2022春•静安区校级期中）已知直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，则m的取值范围为 ．思路引领：由直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，可得出1―3m＜02m―1＜0，解之可得出结论．解：∵直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，∴1―3m ＜02m ―1＜0，解得：13＜m ＜12．故答案为：13＜m ＜12．总结提升：本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k ＜0，b ＜0⇔y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限”是解题的关键．类型五 不能准确获取函数图象的信息10．（2018•镇江）甲、乙两地相距80km ，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km /h ，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）A ．10：35B ．10：40C ．10：45D ．10：50思路引领：根据速度之间的关系和函数图象解答即可．解：因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km /h ，所以1小时后的路程为40km ，速度为40km /h ，所以以后的速度为20+40＝60km /h ，时间为4060×60=40分钟，故该车到达乙地的时间是当天上午10：40；故选：B ．总结提升：此题主要考查了函数的图象值，根据速度之间的关系和函数图象解答是解题关键．第二部分 专题提优训练一．试题（共10小题）1．若关于x 的函数y ＝（n +1）x m ﹣1是一次函数，则m ＝ ，n ．思路引领：一次函数的系数n +1≠0，自变量x 的次数m ﹣1＝1，据此解答m 、n 的值．解：一次函数y ＝kx +b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1，∴根据题意，知n+1≠0 m―1=1，解得，n≠―1 m=2，故答案是2、≠﹣1．总结提升：本题主要考查了一次函数的定义：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．2．（上海期中）函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小．则k＝ ．思路引领：根据正比例函数的定义和函数的性质可得出关于k的方程，解出即可．解：根据题意得：k2﹣4＝0且k+1＜0，解得：k＝±2且k＜﹣1，∴k＝﹣2．故填﹣2．总结提升：本题主要考查正比例函数的定义和性质，熟练记忆定义和性质是解本题的关键．3．（2012•大丰市模拟）如图，已知直线y＝ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1＝b的解x＝ ．思路引领：观察图形可直接得出答案．解：根据图形知，当y＝1时，x＝4，即ax﹣b＝1时，x＝4．故方程ax﹣1＝b的解x＝4．故答案为：4．总结提升：此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．4．（2016秋•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=12x与直线l2：y＝﹣x+6交于点A，l2与x轴交于B，与y轴交于点C．（1）求△OAC的面积；（2）如点M在直线l2上，且使得△OAM的面积是△OAC面积的34，求点M的坐标．思路引领：（1）先根据直线解析式，求得C（0，6），再根据方程组的解，得出A（4，2），进而得到△OAC的面积；（2）分两种情况进行讨论：①点M1在射线AC上，②点M2在射线AB上，分别根据点M的横坐标，求得其纵坐标即可．解：（1）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得y＝6，∴C（0，6），即CO＝6，解方程组y=12xy=―x+6，可得x=4y=2，∴A（4，2），∴S△OAC =12×6×4＝12；（2）分两种情况：①如图所示，当点M1在射线AC上时，过M1作M1D⊥CO于D，∵△OAM的面积是△OAC面积的3 4，∴△OCM的面积是△OAC面积的14，即12×OC×|x M|=14×12，∴12×6×|x M|=14×12，解得x M＝1，即点M1的横坐标为1，在直线y＝﹣x+6中，当x＝1时，y＝5，∴M1（1，5）；②如图所示，当点M2在射线AB上时，过M2作M2E⊥CO于E，∵△OAM的面积是△OAC面积的3 4，∴△OCM的面积是△OAC面积的74，即12×OC×|x M|=74×12，∴12×6×|x M|=74×12，解得x M＝7，即点M2的横坐标为7，在直线y＝﹣x+6中，当x＝7时，y＝﹣1，∴M2（7，﹣1）．综上所述，点M的坐标为（1，5）或（7，﹣1）．总结提升：本题主要考查了两直线相交的问题，解决问题的关键是掌握两直线交点的坐标的计算方法，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），C （4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．（1）若点M（72，52），求直线l的函数表达式；（2）若点M（3，83），试说明有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．思路引领：（1）延长BC，交x轴于点F，连接OB、AF交于点P，连接CE、DF交于点Q．由B（4，6），D（6，4）可得P（2，3），Q（5，2）分别为矩形OFBA、矩形FEDC的中心，用待定系数法求得直线PQ的解析式，再根据矩形的性质进行分析即可．（2）另取过点M （3，83）的直线分别与OA 、DE 相交于点G '、H '，则S △MGG '＝S △MHH '⇒S 四边形OG 'H 'E ＝S 多边形AG 'H 'DCB ，由直线G 'H '的任意性可得答案．解：（1）如图，延长BC ，交x 轴于点F ，连接OB 、AF 交于点P ，连接CE 、DF 交于点Q ．∵B （4，6），D （6，4），∴P （2，3），Q （5，2）分别为矩形OFBA 、矩形FEDC 的中心，故过点P 的直线将矩形OFBA 分成面积相等的两部分，过点Q 的直线将矩形FEDC 的面积分成相等的两部分．设PQ 分别与OA 、DE 相交于点G 、H ，于是直线PQ 将多边形OABCDE 分成面积相等的两部分．设PQ 解析式为y ＝kx +b ，将P （2，3），Q （5，2）代入得：3=2k +b 2=5k +b ，解得：k =―13b =113∴直线PQ 的函数表达式为y =―13x +113，经验证，点M （72，52）在y =―13x +113上．∴直线l 的函数表达式为y =―13x +113．（2）另取过点M （3，83）的直线分别与OA 、DE 相交于点G '、H '，注意到，直线G 'H '的中点为M （3，83）．则S △MGG '＝S △MHH '⇒S 四边形OG 'H 'E ＝S 多边形AG 'H 'DCB故直线G 'H '也是满足条件的直线．由直线G 'H '的任意性知，满足条件的直线有无数条．总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及矩形的性质在面积等分问题中的应用，数形结合并明确矩形的相关性质是解题的关键．6．（2020•浙江自主招生）对于一次函数y ＝kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则一次函数的解析式为 ．思路引领：由一次函数的单调性即可得知点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解．解：∵对于一次函数y ＝kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，∴点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上或点（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上．当点（1，3）、（4，6）在一次函数y ＝kx +b 的图象上时，k +b =34k +b =6，解得：k =1b =2，∴此时一次函数的解析式为y ＝x +2；当（1，6）、（4，3）在一次函数y ＝kx +b 的图象上时，k +b =64k +b =3，解得：k =―1b =7，此时一次函数的解析式为y ＝﹣x +7．故答案为：y ＝x +2或y ＝﹣x +7．总结提升：本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．7．（2020秋•瑶海区校级期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ ）A ．12＜t ≤1B ．1＜t ≤2C ．12≤t ≤2D ．12≤t ≤2且t ≠1思路引领：由y ＝tx +2t +2＝t （x +2）+2（t ＞0），得出直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t=1 2；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是12≤t≤2且t≠1，故选：D．总结提升：本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．8．（2020秋•西城区校级月考）下列图形能表示一次函数y＝nx+m与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）图象的是（ ）A．B．C．D．思路引领：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．解：①当mn＞0，m，n同号，正比例函数y＝mnx过一、三象限，同正时一次函数y＝nx+m过一，二，三象限，同负时一次函数y＝nx+m过二，三，四象限；②当mn＜0时，m，n异号，则正比例函数y＝mnx过二、四象限，一次函数＝nx+m过一，三，四象限或一、二、四象限．故选：A．总结提升：主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．9．（2021春•曹县期末）若一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ．思路引领：根据一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，可知2m+1＜03―m≥0，然后求解即可．解：∵一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象不经过第三象限，∴2m+1＜0 3―m≥0，解得m＜―1 2，故答案为：m＜―1 2．总结提升：本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确一次函数的性质，列出相应的不等式组，求出m的取值范围．10．（2022•治多县模拟）2022年2月15日电影“长津湖”在青海大剧院演出，小锋从家出发驾车前往观看，离开家后不久便发现把票遗忘在家里了，于是以相同的速度返回去取，到家几分钟后才找到票，为了准时进场观看、他加快速度驾车前往．则小锋离青海大剧院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象（ ）A．B．C．D．思路引领：根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．解：∵小锋从家出发驾车前往观看，∴随着时间的增加离剧院的距离越来越近，∵离开家后不久便发现把票遗忘在家里了，于是以相同的速度返回去取，∴随着时间的增加离剧院的距离越来越远，又∵到家几分钟后才找到票，∴他离剧院的距离不变，∵为了准时进场观看，他加快速度驾车前往．∴他离剧院的越来越小，∴小锋离青海大剧院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是B．故选：B．总结提升：本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．。
部编数学八年级下册专题38一次函数的应用之几何问题(解析版)含答案
专题38一次函数的应用之几何问题1．如图，在平面坐标系中，直线:l y kx b =+分别与x 轴，y 轴交于点3,02A æö-ç÷èø，点()0,3B ．(1)求直线l 的解析式；(2)若点C 是y 轴上一点，且ABC V 的面积是154，求点C 的坐标；(3)在（2）的条件下，当点C 在y 轴负半轴时，在平面内是否存在点D ，使以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在矩形OACB 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点C 在第一象限，8OA =，6OB =．（1）请直接写出点C 的坐标；（2）如图②，点F 在BC 上，连接AF ，把ACF V 沿着AF 折叠，点C 刚好与线段AB 上一点C ¢重合，求线段CF 的长度；（3）如图③，点(,)P x y 为直线26y x =-在第一象限内的图象上的个动点，点D 在线段AC 上(不与点A 、C 重合)，是否存在直角顶点为P 的等腰直角BDP △，若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．Q BPD D 是等腰三角形，\ BP PD =，90BPD Ð=°，\EF BC ∥，\BEP Ð=90PFD Ð=°，\BPE DPF DPF PDF Ð+Ð=Ð+Ð，\BPE PDF Ð=Ð，\()BPE PDF AAS D D ≌，\6(26)122PF BE a a ==--=-，EP DF =，Q 1228EF EP PF a a =+=+-=，\4a =，\点(4,2)P ，点D 为(8,6)在端点上，点(4,2)P 不符合题意，舍去；②当点P 在BC 的上方时，如图④，过点P 作EF BC ∥，交y 轴于E ，交AC 的延长线于F ，同理可证BPE PDF D D ≌，\266212BE PF a a ==--=-，3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y ＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）．（1）写出点B的坐标是（ ， ）；（2）当43OABCBEGFS S=正方形四边形时，求点E的坐标；（3）在点E的整个运动过程中，①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标；②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为 ．（请直接写出答案）4．如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M 在线段OA和射线AC上运动．（1）求直线AB的解析式；（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于A(a ，0)、B(0，b)两点，且a ，b 满足（a ﹣b ）2＋|a ﹣4t|＝0，且t ＞0，t 是常数．直线BD 平分∠OBA ，交x 轴于D 点．（1）若AB 的中点为M ，连接OM 交BD 于N ，求证：ON ＝OD ；（2）如图2，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，猜想AE 与BD 间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x 轴上有一个动点P （在A 点的右侧），连接PB ，并作等腰Rt △BPF ，其中∠BPF ＝90°，连接FA 并延长交y 轴于G 点，当P 点在运动时，OG 的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD ＝2AE ，证明见解析；（3）OG 的长不变，OG ＝4t【分析】（1）根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，然后得出AOB D 是等腰直角三角形，再根据角平分线的定义求出22.5ABD Ð=°，根据等腰三角形三线合一的性质OM AB ^，然后根据直角三角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出67.5OND Ð=°，67.5ODB Ð=°，利用等角对等边得到ON OD =；（2）延长AE 交BO 于C ，得ABE CBE D @D ，得到2AC AE =，再证OAC OBD D @D 得到BD AE =，从而得到2BD AE =；()ABE CBE ASA \D @D ，AE CE \=，2AC AE \=，AE BD ^Q ，90OAC ADE \Ð+Ð=°，又90OBD BDO Ð+Ð=°，ADE BDO Ð=Ð（对顶角相等），OAC OBD \Ð=Ð，在OAC D 与OBD D 中，OAC OBD OA OB BOD AOCìÐ=Ðïïïï=íïïïÐ=Ðïî，()OAC OBD ASA \D @D ，BD AC \=，2BD AE \=；（3）OG 的长不变，且4OG t =．过F 作FH OP ^，垂足为H ，90FPH PFH \Ð+Ð=°，90BPF Ð=°Q ，90BPO FPH \Ð+Ð=°，FPH BPO \Ð=Ð，BPF D Q 是等腰直角三角形，BP FP \=，在OBP D 与HPF D 中，90FPH BPO BOP FHP BP FPìÐ=ÐïïïïÐ=Ð=°íïïï=ïî，()OBP HPF AAS \D @D ，FH OP \=，4PH OB t ==，=，Q，OA OB=+=+AH PH AP OB AP\=+=，AH OA OP OP\=，FH AH\Ð=Ð=°，45GAO FAH\D是等腰直角三角形，AOG\==．OG OA t4【点睛】本题综合考查了一次函数，全等三角形的判定与全等三角形的性质，以及等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形三线合一的性质等等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．【点睛】本题主要考查一次函数的图象的平移和正方形的性质的综合，掌握待定系数法和求直线和坐标轴的交点坐标是解题的关键.7．已知，一次函数364y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，与直线54y x = 相交于点C ，过点B 作x 轴的平行线l .点P 是直线l 上的一个动点.（1）求点A ，点B 的坐标.（2）若AOC BCP S S =△△，求点P 的坐标.（3）若点E 是直线54y x =上的一个动点，当△APE 是以AP 为直角边的等腰直角三角形时，求点E 的坐标.8．如图，将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，()0,0O ，()6,0A ，()0,3C .动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点E 的运动时间为t （秒）.（Ⅰ）OE =_____________，OF =_____________；（用含t 的代数式表示）（Ⅱ）当1t =时，将OEF V 沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处.①求点D 的坐标及直线DE 的解析式；②点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，S 为MBN △的面积，当点M 与点B 重合时，0S =.求S 与b 之间的函数关系式，并求出自变量b 的取值范围.∵OEF V 沿EF 翻折得到DEF V ，∴53FD OF ==.∴1410BM b=-+.9．已知，直线y=2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)如图①,点A的坐标为_______,点B的坐标为_______；(2)如图②,点C是直线AB上不同于点B的点，且CA=AB．①求点C的坐标；②过动点P(m,0)且垂直与x轴的直线与直线AB交于点E，若点E不在线段BC上，则m的取值范围是_______；(3)若∠ABN=45º,求直线BN的解析式.令y=0，则2x-2=0，即x=1过点C 作CD⊥x 轴，垂足是D，∵∠BOA=∠ADC=90°，∠BAO=∠CAD，CA=AB，∴△BOA≌△CAD（AAS），∴CD=OB=2，AD=OA=1，∴C（2，2）；②由①可知D（2，0），观察图②，可知m的取值范围是：m＜0或m＞2．故答案是：m＜0或m＞2；（3）如图③，作AN⊥AB，使得AN=AB，作NH⊥x轴于H，则△ABN是等腰直角三角形，∠ABN=45°．∵∠AOB=∠BAN=∠AHN=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠OAB+∠HAN=90°，∴∠ABO=∠HAN，∵AB=AN，∴△ABO≌△NAH(AAS)，∴AH=OB=2，NH=OA=1，∴N（3，-1），设直线BN的解析式为y=kx+b，则有：312k bb+=-ìí=-î，解得132kbì=ïíï=-î，∴直线BN的解析式为y=13x-2，当直线BN′⊥直线BN时，直线BN′也满足条件，直线BN′的解析式为：y3x2=--.∴满足条件的直线BN的解析式为y=13x-2或y=-3x-2．【点睛】本题考查一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），动点F从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动23秒时，动点E从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动，当点E、F其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点E的运动时间为t：（秒）（1）OE= ，OF= （用含t的代数式表示）（2）当t=1时，将△OEF沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处①求点D的坐标及直线DE的解析式；②点M是射线DB上的任意一点，过点M作直线DE的平行线，与x轴交于N点，设直线MN的解析式为y=kx+b，当点M与点B不重合时，S为△MBN的面积，当点M与点B重合时，S=0．求S 与b之间的函数关系式，并求出自变量b的取值范围．11．如图，一次函数y=kx+b的图象为直线l1，经过A（0，4）和D（4，0）两点；一次函数y=x+1的图象为直线l2，与x轴交于点C；两直线l1，l2相交于点B．（1）求k、b的值；（2）求点B的坐标；（3）求△ABC的面积．12．已知11y kx =+过点(2,-1),与x 轴交于点A,F 点为(1,2).(Ⅰ)求k 的值及A 点的坐标；(Ⅱ)将函数1y 的图象沿y 轴方向向上平移得到函数2y ,其图象与y 轴交于点Q,且OQ=QF,求平移后的函数2y 的解析式；(Ⅲ)若点A 关于2y 的对称点为K,请求出直线FK 与x 轴的交点坐标.13．在平面直角坐标系中，直线1l：142y x=-+分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线2l：y x=于点C．(Ⅰ)如图①，求出B、C两点的坐标；(Ⅱ)若D是线段OC上的点，且BODV的面积为4，求直线BD的函数解析式．(Ⅲ)如图②，在(Ⅱ)的条件下，设P是射线BD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，直线AB交x轴于点A（4 ，0），交y轴于点B（0 ，-4），（1）如图，若C的坐标为（-1, ，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH ，求证：∠OHP=45°；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连结MD ，过点D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子BDM ADN S S -V V 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．【答案】（1）P （0 ，-1）；（2）证明见解析；（3）不变；4．【分析】（1）利用坐标的特点，得出△OAP ≌△OB ，得出OP=OC=1，得出结论；（2）过O 分别做OM ⊥CB 于M 点，ON ⊥HA 于N 点，证出△COM ≌△PON ，得出OM=ON ，HO 平分∠CHA ，求得结论；（3）连接OD ，则OD ⊥AB ，证得△ODM ≌△ADN ，利用三角形的面积进一步解决问题．试题解析：（1）由题得，OA=OB=4．【详解】解：∵AH ⊥BC 于H ，∴∠OAP ＋∠OPA=∠BPH ＋∠OBC=90°，∴∠OAP=∠OBC在△OAP 和△OBC 中，90COB POA OA OB OAP OBC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP=OC=1，则点P （0 ，-1）（2）过点O 分别作OM ⊥CB 于M 点，ON ⊥HA 于N 点，15．如图，直线12y x b=-+与x轴，y轴分别交于点A，点B，与函数y=kx的图象交于点M（1，2）．(1)直接写出k，b的值和不等式012x b kx£-+£的解集；(2)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣12x+b和y=kx的图象于点C，点D．若2CD=OB，求点P的坐标．16．无刻度直尺作图：图1 图２(1)直接写出四边形ABCD的形状．(2)在图1中，先过E点画一条直线平分四边形ABCD的面积，再在AB上画点F，使得AF＝AE．(3)在图2中，先在AD上画一点G，使得∠DCG＝45°；连接AC，再在AC上画点H，使得GH＝GA．【答案】(1)四边形ABCD是菱形，理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）只需要证明AB=CD=AD=BC即可得到结论；（2）如图连接AC，BD交于点T，作直线ET交BC于G，连接AG交BD于H，连接CH并延长交AB于F，则直线EG，点F即为所求；（3）如图所示，取格点T，连接CT交AD于G，取格点M、N，连接MN交BC于P，连接GP交AC于H，则点G、H即为所求；(1)求直线AB 的解折式；(2)如图2，已知P 为直线l ：152y x =-+上一点，且512ABI ABCO S S =四边形△，求点P 的坐标；(3)若点D 为第一象限内一动点，且45ODC Ð=°，求BD 的最小值．∴∠BDA ＝90°，∵BC ∥OA ，BC ＝2，OA ＝6，∴AD ＝6−2＝4，在Rt △ABD 中，BD ＝(22213AB AD -=∴PQ＝|yQ−yP|＝31922m m -++∵xA−xB＝6−2＝4，∴S△ABP＝12PQ•(xA−xB)＝12×4×|4−S四边形ABCO＝12×(2＋6)×6＝24，∵∠ODC=45°，∠MOD=90°，18．如图，直线y ＝x ＋9与直线y ＝－2x －3交于点C ，它们与y 轴分别交于A 、B 两点．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)点F 在x 轴上，使10BFC S =△，求点F 的坐标；(3)点P 在x 轴上，使∠PBO ＋∠PAO ＝90°，直接写出点P 的坐标．。
天津华英中学八年级数学下册第十九章《一次函数》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．若关于x 的不等式组20210x x a ->⎧⎨-+<⎩有解，则一次函数()32y a x =-+的图象一定不经过的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D 解析：D【分析】先解不等式组，根据不等式组有解，求得a 的取值范围，即可判断一次函数()32y a x =-+的图象一定不经过的象限．【详解】∵20210x x a ->⎧⎨-+<⎩， ∴212x a x >⎧⎪⎨-<⎪⎩， ∵不等式组有解，∴122->a ， ∴5a >，∴30a ->，∴()32y a x =-+经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．2．下列图象中，不表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C．D．A解析：A【分析】依据函数的定义，x取一个值，y有唯一值对应，可直接得出答案．【详解】解：A、根据图象知给自变量一个值，可能有2个函数值与其对应，故A选项不是函数，B、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故B选项是函数，C、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故C选项是函数，D、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故D选项是函数，故选：A．【点睛】此题主要考查了函数概念，任意画一条与x轴垂直的直线，始终与函数图象有一个交点，那么y是x的函数．3．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A．20210x yy x+-=⎧⎨-+=⎩B．20210x yy x-+=⎧⎨+-=⎩C．20210x yy x-+=⎧⎨--=⎩D．2010x yy x++=⎧⎨+-=⎩B解析：B【分析】由图易知两条直线分别经过（-1，1）、（1，0）两点和（0，2）、（-1，1）两点，设出两个函数的解析式，然后利用待定系数法求出解析式，再根据所求的解析式写出对应的二元一次方程，然后组成方程组便可解答此题.【详解】由图知，设经过（-1，1）、（1，0）的直线解析式为y=ax+b （a≠0）.将（-1，1）、（1，0）两点坐标代入解析式中，解得1-212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故过（-1，1）、（1，0）的直线解析式y=1122x -+，对应的二元一次方程为2 y +x -1=0. 设经过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=kx+h （k≠0）.将（0，2）、（-1，1）两点代入解析式中，解得 12k h =⎧⎨=⎩故过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=x+2，对应的二元一次方程为x-y+2=0.因此两个函数所对应的二元一次方程组是+20210x y y x -=⎧⎨+-=⎩故选择：B【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于要写出两个函数所对应的二元一次方程组，需先求出两个函数的解析式.4．已知点()1,4P 在直线2y kx k =-上，则k 的值为（ ）A ．43B ．43-C ．4D ．4-D解析：D【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将P （1，4）代入反比例函数的解析式2y kx k =-，然后解关于k 的方程即可．【详解】解：∵点P （1，4）在反比例函数2y kx k =-的图象上，∴4=k-2k ，解得，k=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． 5．关于一次函数2y x b =-+（b 为常数），下列说法正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．当4b =时，直线与坐标轴围成的面积是4C ．图象一定过第一、三象限D ．与直线32y x =-相交于第四象限内一点B解析：B【分析】由一次函数的增减性判断A ；通过求直线与坐标轴交点可判断B ；根据一次函数图象与系数的关系判断C ；根据k 值相同而b 值不相同两条直线平行判断D ；．【详解】解：A 、因为-2＜0，所以y 随x 的增大而减小，故A 错误；B 、当b=4时，直线与坐标轴的交点分别为（2，0），（0，4），所以与坐标轴围成的面积是4，故B 正确；C 、图象一定过第二、四象限，故C 错误；D 、2y x b =-+与直线y=3-2x 重合或平行，不相交，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的方法求解是关键．6．如图，一次函数443y x =-的图像与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，过点A 作直线l 将ABO ∆分成周长相等的两部分，则直线l 的函数表达式为（ ）A ．26y x =-B ．23y x =-C ．1322y x =-D ．3y x =-D解析：D【分析】 设直线l 与y 轴交于点C ，由已知条件求出点C 的坐标后利用待定系数法可以得到直线l 的函数表达式．【详解】解：分别令x=0和y=0可得B 、A 的坐标为（0，-4）、（3，0），∴22345+=，则三角形OAB 的周长为12如图，设直线l 与y 轴交于点C （0，c ），则OA+OC=6，即3-c=6，∴c=-3，即C 的坐标为（0，-3），设l 的函数表达式为y=kx+b ，由l 经过A 、C 可得：033k b b =+⎧⎨-=⎩，解之得： 13k b =⎧⎨=-⎩， ∴l 的函数表达式为：y=x-3，故选D ．【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象、勾股定理的应用及待定系数法求解析式的方法是解题关键．7．对函数22y x =-+的描述错误是（ ）A ．y 随x 的增大而减小B ．图象经过第一、三、四象限C ．图象与x 轴的交点坐标为(1,0)D ．图象与坐标轴交点的连线段长度等于5解析：B【分析】根据一次函数的图象与性质即可判断A 、B 两项，求出直线与x 轴的交点即可判断C 项，求出直线与y 轴的交点，再根据勾股定理即可求出图象与坐标轴交点的连线段长度，进而可判断D 项，于是可得答案．【详解】解：A 、因为﹣2＜0，所以y 随x 的增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意； B 、函数22y x =-+的图象经过第一、二、四象限，故本选项说法错误，符合题意； C 、当y=0时，220x -+=，所以x=1，所以图象与x 轴的交点坐标为(1,0)，故本选项说法正确，不符合题意；D 、图象与x 轴的交点坐标为(1,0)，与y 轴的交点坐标为（0，2），所以图象与坐标轴交22125+=故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与坐标轴的交点以及勾股定理等知识，属于基础题目，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，1)，B(3，5)，要在x 轴上找一点P ，使得△PAB的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(43，0)D ．(43，0)或(0，2)C 解析：C【分析】要使得△PAB 的周长最小，实则在x 轴上找到P 点，使得PA PB +最小即可，从而将A 沿x 轴对称至A 1，求解A 1B 的解析式，其与x 轴的交点坐标即为所求．【详解】∵要使得△PAB 的周长最小，A ，B 为固定点，∴在x 轴上找到P 点，使得PA PB +最小即可，∴将A 沿x 轴对称至A 1，则()11,1A -，设直线A 1B 的解析式为：y kx b =+，将()11,1A -，B(3，5)，代入求解得：34k b =⎧⎨=-⎩，则解析式为：34y x =-， 令0y =，解得：43x =， 即4,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，△PAB 的周长最小， 故选：C ．【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，及一次函数与坐标轴得交点问题，能够对题意进行准确分析，建立合适的最短路径模型是解题关键．9．若一次函数()231y m x =-+-的图象经过点()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x <时，12y y >时，则m 的取值范围是（ ）A ．32m >B ．32m >-C ．32m <D ．32m <-B 解析：B【分析】由当x 1＜x 2时y 1＞y 2，利用一次函数的性质可得出-（2m+3）＜0，解之即可得出m 的取值范围．【详解】解：∵当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，∴-（2m+3）＜0，解得：m ＞-32． 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．10．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，而后只出水不进水，直到水全部排出．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （L ）与时间x （min ）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．每分钟的进水量为5升B ．每分钟的出水量为3.75升C ．OB 的解析式为y ＝5x （0≤x≤4）D ．当x ＝16时水全部排出D解析：D【分析】 根据题意和函数图象可知每分钟的进水量和出水量，继而即可求解【详解】解：由题意可得，每分钟的进水量为：20÷4＝5（L ），A 说法正确，不符合题意；∴OB 的解析式为y ＝5x （0≤x≤4）；C 说法正确，不符合题意；每分钟的出水量为：[5×8﹣（30﹣20）]÷8＝3.75（L ），B 说法正确，不符合题意； 30÷3.75＝8（min ），8+12＝20（min ），∴当x ＝20时水全部排出．D 说法错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意和解读函数，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想．二、填空题11．已知关于x ，y 的二元一次方程组1,mx y y nx -=⎧⎨=⎩的解是1,2x y =⎧⎨=⎩则直线1y mx =-与直线y nx =的交点坐标是______；（12）【分析】根据二元一次方程组的解对应的x 和y 值就是对应函数交点的横纵坐标即可得解【详解】解：由可得它的解为故直线与直线的交点坐标是（12）故答案为：（12）【点睛】本题考查一次函数与二元一次方解析：（1,2）【分析】根据二元一次方程组的解对应的x 和y 值，就是对应函数交点的横纵坐标即可得解．【详解】解：由1mx y y nx -=⎧⎨=⎩可得1y mx y nx =-⎧⎨=⎩，它的解为12x y =⎧⎨=⎩， 故直线1y mx =-与直线y nx =的交点坐标是（1,2），故答案为：（1,2）．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组．理解二元一次方程组与一次函数的关系是解题关键．12．已知直线11:n n l y x n n+=-+（n 是不为零的自然数）．当1n =时，直线1:21l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点1A 和1B ，设11AOB （其中0是平面直角坐标系的原点）的面积为1S ；当2n =时，直线2l ：3122y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点2A 和2B ，设22A OB 的面积为2S ；……依此类推，直线n l 与x 轴和y 轴分别交于点n A 和n B ，设n n A OB 的面积为n S ．则1S =________，123n S S S S +++⋅⋅⋅+=________．【分析】首先求得S1S2Sn 的值然后由规律：×＝−求解即可求得答案【详解】当n ＝1时直线l1：y ＝−2x ＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1则A1（0）B1（01）∴S1＝××1=∵当n ＝2时直线l 解析：1422n n + 【分析】 首先求得S 1，S 2，S n 的值，然后由规律：11n +×1n ＝1n −11n +求解即可求得答案． 【详解】当n ＝1时，直线l 1：y ＝−2x ＋1与x 轴和y 轴分别交于点A 1和B 1，则A 1（12，0），B 1（0，1）， ∴S 1＝12×12×1=14， ∵当n ＝2时，直线l 2：y ＝−32x ＋12与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2， 则A 2（13，0），B 2（0，12）， ∴S 2＝12×13×12， ∴直线l n 与x 轴和y 轴分别交于点A n 和B n ，△A n OB n 的面积为S n ＝12×11n +×1n ， ∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝12×12×1＋12×13×12＋…＋12×11n +×1n ＝12×（1−12＋12−13＋…＋1n −11n +）＝12×（1−11n +） ＝22n n +． 故答案为：14，22n n +． 【点睛】此题考查了一次函数的应用．解题的关键是找到规律：△A n OB n 的面积为S n ＝12×11n +×1n 与11n +×1n ＝1n −11n +． 13．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为____．【分析】根据一次函数y=（m-2）x+m －3的图象经过第一二四象限可得函数表达式中一次项系数小于0常数项大于0进而得到关于m 的不等式组解不等式组即可得答案取值范围【详解】∵一次函数的图像经过第一二四 解析：12m <<【分析】根据一次函数y=（m-2）x+m －3的图象经过第一、二、四象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项大于0，进而得到关于m 的不等式组，解不等式组即可得答案取值范围．【详解】∵一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，∴2010m m -<⎧⎨->⎩， 解得：1＜m ＜2，故答案为：1＜m ＜2【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与系数的关系：对于一次函数y=kx+b （k≠0），k ＞0，b ＞0时，图象在一、二、三象限；k ＞0，b ＜0时，图象在一、三、四象限；k ＜0，b ＞0时，图象在一、二、四象限；k ＜0，b ＜0时，图象在二、三、四象限；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．14．在平面直角坐标系中，有直线1l ：25y x =+和直线2l ：1y x 53=+，直线2l 的有一个点M ，当M 点到直线1l M 的横坐标取值范围是________．【分析】利用点到直线的距离公式得到M 的坐标之间的关系式与直线联立解方程组即可得到界点值根据题目要求写出符合题意的范围即可【详解】设点M(mn)直线与坐标轴的交点为EA 与坐标轴的交点为EF 过点A 作AB解析：33m -<<【分析】利用点到直线的距离公式，得到M 的坐标之间的关系式，与直线2l 联立，解方程组即可得到界点值，根据题目要求，写出符合题意的范围即可.【详解】设点M(m ，n)，直线1l 与坐标轴的交点为E ，A ，2l 与坐标轴的交点为E ，F ，过点A 作AB ⊥EF ，垂足为B ，过点M 作MC ⊥EA ，垂足为C ，过点M 作MD ⊥y 轴，垂足为D ，根据题意，得OE=5，OA=52，OF=15，AF=OF-OA=252， ∴=2， ∴1122EF AB AF OE ⋅=⋅，∴11255222AB ⨯=⨯⨯， ∴， ∴sin ∠AEB=AB AE=， ∴∠AEB=45°，∴MC=CE ，∴∴222MD ED ME +=，∴22(5)10m n +-=， ∴221(55)103m m +--=， ∴29m =，∴3m =±，∵M 点到直线1l 的距离小于5，∴点M 的横坐标取值范围是33m -<<.故答案为33m -<<.【点睛】本题考查了交点坐标的确定，图形的面积，三角函数的定义，不等式解集的确定，熟记坐标与线段的关系，三角函数的定义是解题的关键.15．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数1y k x =与2y k x b =+的图象，则关于x 、y 的二元一次方程组12y k x y k x b=⎧⎨=+⎩的解是___________． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题【详解】解：∵一次函数y1=k1x 与y=k2x+b 的图象的交点坐标为（12）∴二元一次方程组的解为故答案是：【点睛】本题考查了一次函解析：12x y =⎧⎨=⎩【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．【详解】解：∵一次函数y 1=k 1x 与y=k 2x+b 的图象的交点坐标为（1，2），∴二元一次方程组12y k x y k x b =⎧⎨=+⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩． 故答案是：12x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．16．已知一次函数3y x 的图像经过点(,)P a b 和(,)Q c d ，那么()()b c d a c d ---的值为____________．-9【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征将点P （ab ）和Q （cd ）代入一次函数的解析式求出a−bc−d 的值然后整体代入所求的代数式并求值【详解】解：∵一次函数y ＝x ＋3的图象经过点P （ab ）和Q解析：-9．【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点P （a ，b ）和Q （c ，d ）代入一次函数的解析式，求出a−b 、c−d 的值，然后整体代入所求的代数式并求值．【详解】解：∵一次函数y ＝x ＋3的图象经过点P （a ，b ）和Q （c ，d ），∴点P （a ，b ）和Q （c ，d ）满足一次函数的解析式y ＝x ＋3，∴b ＝a ＋3，d ＝c ＋3，∴b−a ＝3，c−d ＝−3；∴()()b c d a c d ---＝（b−a ）（c−d ）＝3×（−3）＝-9；故答案为：-9．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，并且一定满足函数的解析式．17．已知一次函数12y kx k =-（k 是常数）和21y x =-+．（1）无论k 取何值，12y kx k =-（k 是常数）的图像都经过同一个点，则这个点的坐标是_______；（2）若无论x 取何值，12y y >，则k 的值是_______．（20）-1【分析】（1）解析式变形为y ＝k （x ﹣2）即可得到无论k 取何值y1＝kx ﹣2k （k 是常数）的图象都经过点（20）；（2）由题意可知y1的图象始终在y2上方得到两函数不相交平行即可得出k ＝解析：（2，0） -1【分析】（1）解析式变形为y ＝k （x ﹣2），即可得到无论k 取何值，y 1＝kx ﹣2k （k 是常数）的图象都经过点（2，0）；（2）由题意可知，y 1的图象始终在y 2上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k ＝﹣1．【详解】解：（1）∵y ＝kx ﹣2k ＝k （x ﹣2），∴当x ＝2时，y ＝0，∴这个点的坐标是（2，0），故答案为（2，0）；（2）∵无论x 取何值，y 1＞y 2，∴y 1的图象始终在y 2上方，∴两个函数平行，∴k ＝﹣1，故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，难度适中．18．请写出一个符合下列要求的一次函数的表达式：_______．①函数值y 随自变量x 增大而增大；②函数的图像经过第二象限．（答案不唯一保证即可）【分析】根据题意和一次函数的性质可以写出符合要求的一个一次函数本题得以解决【详解】解：∵一次函数的函数值y 随自变量x 增大而增大∴k ＞0∵函数的图象经过第二象限∴b ＞0∴符合下列解析：23y x =+（答案不唯一，保证0k >，0b >即可）【分析】根据题意和一次函数的性质，可以写出符合要求的一个一次函数，本题得以解决．【详解】解：∵一次函数的函数值y 随自变量x 增大而增大，∴k ＞0，∵函数的图象经过第二象限，∴b ＞0，∴符合下列要求的一次函数的表达式可以是23y x =+，故答案为：23y x =+（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 19．已知一次函数y ＝ax ＋6，当－2≤x≤3时，总有y ＞4，则a 的取值范围为______．或【分析】分当时和当时两种情况讨论根据函数的增减性以及y ＞4即可求得a 的取值范围【详解】解：当时一次函数y ＝ax ＋6y 随x 增大而减小在x=3时取得最小值此时解得此时；当时一次函数y ＝ax ＋6y 随x 增解析：01a <<或203a <<－【分析】分当0a <时和当0a >时两种情况讨论，根据函数的增减性以及y ＞4即可求得a 的取值范围．【详解】解：当0a <时，一次函数y ＝ax ＋6，y 随x 增大而减小，在x=3时取得最小值，此时364a +>，解得23a >-，此时203a <<－； 当0a >时，一次函数y ＝ax ＋6，y 随x 增大而增大，在x=-2时取得最小值，此时264a -+>，解得1a <，此时01a <<；综上所述，01a <<或203a <<－． 故答案为：01a <<或203a <<－． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，一次函数与一元一次不等式．能分类讨论是解题关键． 20．已知一个一次函数的图象过点(1,2)-，且y 随x 的增大而减小，则这个一次函数的解析式为__________．（只要写出一个）y=-x+1(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b 根据一次函数的性质得k ＜0取k=-1然后把（-12）代入y=-x+b 可求出b 【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b ∵y 随x 的增解析：y=-x+1．(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b ，根据一次函数的性质得k ＜0，取k=-1，然后把（-1，2）代入y=-x+b 可求出b ．【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b ，∵y 随x 的增大而减小，∴k 可取-1，把（-1，2）代入y=-x+b 得1+b=2，解得b=1，∴满足条件的解析式可为y=-x+1．故答案为y=-x+1．(答案不唯一)【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b 的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．三、解答题21．如图直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线32y x =相交于点A ．（1）求A 点坐标；（2）求OAC 的面积；（3）如果在y 轴上存在一点P ，使OAP △是等腰三角形，请直接写出P 点坐标；（4）在直线27y x =-+上是否存在点Q ，使OAQ 的面积等于6？若存在，请求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．解析：（1）(2,3)A ；（2）214；（3）12(0,P P 3(0,6)P ，413(0,)6P ；（4）245(,)77或263(,)77-． 【分析】（1）两条直线的交点即是联立两个解析式的公共解，据此解题；（2）先计算直线27y x =-+与x 轴的交点，解得点C 的坐标，继而得到OC 的长，再结合（1）中结论得到点A 的纵坐标，最后根据三角形面积公式解题即可；（3）由勾股定理解得OA 的长，根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论，①OA=OP ，以点O 为圆心，OA 为半径，作圆，交y 轴于点12,P P ；②OA=AP ，以点A 为圆心，OA 为半径，作圆，交y 轴于点3P ；③OP=PA ，点P 在线段OA 的垂直平分线与y 轴的交点，分别画出相应图形，再根据等腰三角形的性质、勾股定理解题即可；（4）分两种情况讨论，当Q 在线段AB 上，作QD y ⊥轴于点D ；当Q 在线段AC 的延长线上，作QD x ⊥轴于点D ，再分别根据三角形面积的和或差列出方程，解方程即可．【详解】（1）根据题意得，2732y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩①② 把②代入①得，3272x x =-+， 解得2x =把2x =代入②中得，3y =，23x y =⎧∴⎨=⎩(2,3)A ∴；（2）令y=0，得270x -+=，72x ∴= 7,02C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭72OC ∴= (2,3)A1172132224OAC A S OC y ∴=⋅⋅=⨯⨯=； （3）由（1）得，(2,3)A ，根据勾股定理得，OA=222313+=当OAP △是等腰三角形时，分三种种情况讨论，如图，131213),(0,13)P P ∴-； ②OA=AP ，由等腰三角形三线合一的性质，OP=2A y =6，3(0,6)P ∴；③点P 在线段OA 的垂直平分线与y 轴的交点，设点P (0,)y ，由勾股定理得OP=PA2222(3)y y ∴+-=解得136y = 413(0,)6P ∴， 综上所述，符合条件的P 点坐标为：1213),(0,13),P P -3(0,6)P ，413(0,)6P ； （4）存在；令x=0，得2077y =-⨯+=(0,7)B ∴2116,72742AOC AOB S S =<=⨯⨯= Q ∴点有两个位置：Q 在线段AB 上或Q 在AC 的延长线上，设点Q 的坐标为(,)x y ，当Q 在线段AB 上，作QD y ⊥轴于点D ，如图，则QD=x ，761OBQ OAB OAQ S S S ∴=-=-= 112OB QD ∴⋅⋅= 1712x ∴⨯= 27x ∴=把27x =代入27y x =-+，得457y = 245(,)77Q ∴； 当Q 在线段AC 的延长线上，作QD x ⊥轴于点D ，如图，则QD=-y ， 213644OCQ OAQ OAC S S S ∴=-=-= 1324OC QD ∴⋅⋅= 113()224y ∴⨯-= 37y ∴=- 把37y =-代入27y x =-+，得267x = 263(,)77Q ∴-；综上所述，点Q 的坐标为：245(,)77或263(,)77-． 【点睛】 本题考查一次函数的综合，涉及等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，//BC OA ，(8,0)A ，(0,4)C ，5AB =，现有一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AO 方向，经O 点再往OC 方向移动，最后到达C 点.设点P 移动时间为t 秒．（1）求点B 的坐标；（2）当t 为多少时，ABP ∠的面积等于13；（3）在（2）的条件下，取BP 中点M ，在x 轴上找一点N ，使BN MN +和最小，求此时N 点的坐标．解析：（1）(5,4) （2）13 s 4t =或19 s 4t = （3）23,06⎛⎫ ⎪⎝⎭或95,027⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）过点B 作BD OA ⊥于点D ，得出ADB △为直角三角形，利用勾股定理求出AD ，BD 的值，从而可求出点B 的坐标，（2）当点P 运动时间为t 秒时，则2AP t =，由三角形的面积公式建立等量关系即可求出t 的值，（3）结合（2）问，求出点P 的坐标，进而求出BP 中点M 的坐标，再作出点B 关于x 的对称点，求出该对称点与点M 所在直线的的解析式，该直线与x 的交点即为点N ．【详解】（1）过点B 作BD OA ⊥于点D ，∴90BDO ∠=︒，∵四边形OABC 是直角梯形，BCOA ，∴90BCO COD ∠=∠=︒，∴四边形ODBC 为矩形，∵(0,4)C ，(8,0)A ，∴4OC BD ==，8OA =，∵5AB =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AB BD AD =+，∴3AD ==，∴5OD OA AD =-=，∴(5,4)B .（2）当P 点在O 点时，4s t =，当P 点在C 点时，6s 2OA OC t +==， ①当04s t <≤时，由题可知：2AP t =， ∴112441322ABP S AP BD t t =⋅=⨯⨯==△， ∴13s 4t =. ②当46t <≤时，则28OP t =-，4122CP OP t =-=-， ∴ABP AOP BCP OABC S S S S =--△△△梯形()111222OA BC OC OA OP BC CP =+⋅-⋅-⋅ 111(48)48(28)4(122)222t t =⨯+⨯-⨯⨯--⨯⨯- 24832244t t =-+-+324t =-13=.∴419t =，19s 4t =. 故当13s 4t =或19s 4t =时，ABP △的面积是13. （3）由（2）得：①当13s 4t =时，132AP =， ∴32OP =， ∴3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又∵(5,4)B ，M 为BP 的中点， ∴13,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 作B 点关于x 轴对称点B '，则(5,4)B '-，连接MB '交x 轴于点N ，则BN MN B N MN B M ''+=+=.设直线B M '的解析式为(0)y kx b k =+≠，代入B '，M 两点， 得451324k b k b -=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得247927k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线B M '为249277y x =-+， 令0y =，则249277x =，236x =， ∴23,06N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ②当19s 4t =时，3282OP t =-=， ∴30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又∵(5,4)B ，M 为BP 中点，∴511,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 作B 点关于x 轴的对称点B ''，∴(5,4)B ''-，设直线B M ''交x 轴于点N ，则MN BN MN B N MB '''+=+=.设直线B M ''的解析式为()1110y k x b k =+≠，代入M ，B ''得4511542k b k b -=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得2710192k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线B M ''为2719102y x =-+， 令0y =，得19109522727x =⨯=， ∴95,027N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上N 的坐标为23,06⎛⎫⎪⎝⎭或95,027⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查了勾股定理，矩形的判定及性质，点的坐标的确定，以及利用轴对称求最值，待定系数法求一次函数解析式，熟练运用三角形面积，以及利用轴对称方法求最值是解题关键．23．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线2=y ax c +与直线1y x =+相交于,A B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连接,AM BM ，（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）判断ABM ⊿的形状，并说明理由；（3）若将（1）中的抛物线沿y 轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点(2,3)--？解析：（1）21y x =-；（2）△ABM 为直角三角形，见解析；（3）向下平移6个单位过点（-2，-3）【分析】（1）将y=0，x=2，分别代入直线解析式求出x 、y 的值，即求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求解抛物线解析式；（2）令x=0，代入抛物线解析式求得M 坐标，利用两点间的距离公式求得AB 、AM 、BM ，再利用勾股定理的逆定理即可判定△ABM 为直角三角形；（3）设抛物线2=1y x -平移后的解析式为y=x 2-1+m ，将点（-2，-3）代入上式，得到关于m 的方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）当y=0时，有x+1=0，则x=-1．∴A （-1，0），当x=2时，y=2+1=3，∴B （2，3），将A ，B 两点代入2=y ax c +中，得0=34a c a c +⎧⎨=+⎩，解得=11a c ⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为2=1y x -．（2）三角形ABM 为直角三角形，理由如下：在抛物线中，当x=0时，y=-1，∴M （0，-1），又∵A （-1，0），B （2，3）， ∴=32AB ，=2AM =25BM ，又∵22220AM AB BM +==，∴三角形ABM 为直角三角形．（3）设抛物线2=1y x -沿y 轴平移后的解析式为2=1y x m -+，将点（-2，-3）代入上式，得m=-6，则向下平移6个单位过点（-2，-3）．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上的坐标特征、两点间的距离公式及勾股定理的逆定理，解题的关键是（1）求出A 、B 的坐标，（2）求出求得AB 、AM 、BM 的长，（3）正确写出平移后的抛物线解析式，难度适中．24．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足|1|30a b +-=．（1）填空：a =______，b =______．（2）如果在第三象限内有一点(2,)M m -，请用含m 的式子表示ABM 的面积．（3）在（2）条件下，当52m =-时，在y 轴上有一点P ，使得BMP 的面积与ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标． 解析：（1）1-；3；（2）△ABM 的面积为2m -；（3）点P 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据非负数性质可得a 、b 的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可；（3）先根据（2）计算S △ABM ，再分两种情况：当点P 在y 轴正半轴上时、当点P 在y 轴负半轴上时，利用割补法表示出S △BMP ，根据S △BMP =S △ABM 列方程求解可得．【详解】解：（1）∵|1|30a b ++-=，∴10a +=，30b -=，∴1a =-，3b =；（2）如图1所示，过M 作ME x ⊥轴于E ，∵(1,0)A -，(3,0)B ，∴1OA =，3OB =，∴4AB =，∵在第三象限内有一点(2,)M m -，∴||ME m m ==-， ∴114()222ABM S AB ME m m =⨯=⨯⨯-=-． （3）设(0,)P n ，BM 交y 轴于点C ，连接MP ，BP 如下图：设直线BM 的解析式为y kx b =+， 把(3,0)B ，52,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得 30522k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩， 解之得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即1322y x =-， ∴30,2C ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当52m =-时，11545222ABM m S AB y =⋅=⨯⨯=． ∵BMP ABM SS =， ∴()1||52x x B M PC -=， 即13(32)522n ⨯++=， 解之得：12n =或72n =-， 综上，点P 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，利用割补法表示出△BMP 的面积等知识，根据题意建立方程是解题的关键．25．上个周末，姚家中学的李老师开车带着家人从学校出发，沿着图①中的线路去绿博园、中牟黄河滩区游玩、然后去官渡中学探望朋友．李老师一家早上7:30开着电动汽车从学校出发行走一段时间到绿博园，在绿博园游玩了一段时间；又开车去雁鸣湖镇辖区的黄河滩，他们在滩区游玩了1.5h ；然后在中午12:30赶到官渡中学（电动汽车的行驶速度是40km/h ）．图②中的图象表示李老师一家所行驶的路程()km y 与时间()h x 的函数关系．请结合图中信息解答下列问题：（1）点A 的坐标是______，他们在绿博园游玩了_____h ，线段OA 的函数表达式是______；（2）线段OA ，BC ，DE 平行吗？请简单说明理由．（3）请求出线段BC 的函数表达式；（4）如果李辉在11:30骑电动车从官渡中学出发，以20km/h 的速度沿图①中的线路前往黄河滩区游玩，那么李辉在几点钟会和李老师相遇？解析：（1）点1,202A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1.5h ，40y x =；（2）线段,,OA BC DE 平行；理由见解析；（3）线段BC 的函数表达式4060y x =-，（4）李辉在12点10分会和李老师相遇．【分析】（1）用路程除以速度求出A 点的时间，用B 点的时间减去A 点的时间在绿博园游玩时间，OA 的表达式y 用时间x 乘以电动汽车的速度40即可，（2）利用电动汽车速度确定三段函数的k 值，k 相同则线段,,OA BC DE 位置关系即可判断，（3）先求出B 点坐标，设出BC 的解析式，由k 为电动汽车的速度，代入求b 即可，（4）先求李老师从黄河区出发的时间，再列出两者相遇的方程，求出相遇时间，加上李辉出发时的时间即可【详解】（1）20÷40=12，点1,202A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2-12=1.5h ，线段OA 表达式：40y x =； （2）线段,,OA BC DE 平行，因为电动汽车的行驶速度都是40/km h ，三条线段的函数表达式系数k 都是电动汽车的行驶速度，由一次函数的性质，k 相同，直线是平行的；（3）设BC 的函数表达式y kx b =+，由（1）（2）得40k =，又由图象可知，点B 的坐标是()2,20，所以，20402b =⨯+，解得60b =-，所以，线段BC 的函数表达式4060y x =-；（4）设李辉出发a 小时后，两车相遇，李老师所用时间7时30分出发到在黄河区游玩结束11时45分，比李辉晚出发14小时， 根据题意，得12040304a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得23a =， 11时30分出发到相遇用260=403⨯分，即11时70分=12时10分， 所以，他们在12点10分相遇．【点睛】本题考查点的坐标，线段的表达式，线段的位置关系，相遇行程问题，掌握点的坐标求法，线段表达式的求法，会列行程问题应用题，会用数形结合的思想解一次函数中行程问题是解题关键．26．某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服A 和B 共80套，预计前期投入资金不少于20900元，但不超过20960元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表：A B 成本价（元/套）250 280 售价（元/套） 300 340（2）该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？（3）经市场调查，年底前每套B 款校服售价不会改变，而每套A 款校服的售价将会提高。
《常考题》初中八年级数学下册第十九章《一次函数》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．已知函数(0)y kx k =≠中y 随x 的增大而减小，则一次函数23y kx k =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图①，在长方形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿着N P Q M →→→方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为,x MNR ∆的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ）A ．5MN =B ．长方形MNPQ 的周长是18C ．当6x =时，10y =D ．当8y =时，10x =3．如图1，四边形ABCD 是轴对称图形，对角线AC ，BD 所在直线都是其对称轴，且AC ，BD 相交于点E ．动点P 从四边形ABCD 的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P 运动的时间为x ，线段EP 的长为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，则点P 的运动路径可能是（ ）A ．CB A E →→→B ．CDE A →→→ C ．A E C B →→→ D ．A E D C →→→4．如图，在平面直角坐标系中，点()2,A m 在第一象限，若点A 关于x 轴的对称点B 在直线1y x =-+上，则m 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3 5．已知一次函数2y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()2,4-B ．()2,4--C ．()2,4D ．()0,46．已知直线()1:0l y kx b k =+≠与直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M ，若直线1l 与x 轴的交点为()10B ,，则k 的取值范围是（ ） A ．33k -<< B ．03k <<C ．04k <<D ．30k -<< 7．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB=2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD=x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．下列关于一次函数25y x =-+的说法，错误的是（ ）A ．函数图象与y 轴的交点()0,5B ．当x 值增大时，y 随着x 的增大而减小C ．当 5y >时，0x < D ．图象经过第一、二、三象限 9．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y （米）与火车行驶时间x （秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．③④D ．①③④ 10．若点（－2，y 1），（3，y 2）都在函数y ＝－2x ＋b 的图像上，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．无法确定 11．下列图象中，不可能是关于x 的一次函数y ＝px ﹣（p ﹣3）的图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．已知：将直线21y x =-向左平移2个单位长度后得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ）A ．经过第一、二、三象限B ．与x 轴交于()1,0-C ．与y 轴交于()0,1D ．y 随x 的增大而减小 13．关于函数(3)y k x k =-+，给出下列结论：①当3k ≠时，此函数是一次函数；②无论k 取什么值，函数图象必经过点(1,3)-；③若图象经过二、三、四象限，则k 的取值范围是0k <；④若函数图象与x 轴的交点始终在正半轴，则k 的取值范围是03k <<．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②③④ 14．A ，B 两地相距30km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地．如图，反映的是两人行进路程()y km 与行进时间t(h)之间的关系，①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了5个小时到达目的地；③乙比甲迟出发0.5小时；④甲在出发5小时后被乙追上．以上说法正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 15．直线1y x 42=-与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，若点()1,2M m m +-在AOB 内部，则m 的取值范围为（ ）A ．1433m <<B ．17m -<<C ．703m <<D ．1123m << 二、填空题16．函数21x y x =-中自变量x 的取值范围是________． 17．如图在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的对角线交于点E ，//CD x 轴，若AC BD =，6CD =，AED 的面积为6，点A 为(2,)n ，BD 所在直线的解析式为1(0)y kx k k =++≠，则AC 所在直线的解析式为________．18．如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象，若点()4,A m 在直线l 上，则m 的值是____．19．已知y ＝kx+b ，当﹣1≤x≤4时，3≤y≤6，则k ，b 的值分别是_____．20．如图，已知A(8，0)，点P 为y 轴上的一动点，线段PA 绕着点P 按逆时针方向旋转90°至线段PB 位置，连接AB 、OB ，则OB ＋BA 的最小值是__________．21．如图，直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为1231,,,,n P P P P -，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点1231,,,,n T T T T -，用1231,,,,n S S S S -分别表示11212121Rt ,Rt ,,Rt n n n T OP T PP T P P ---△△△的面积，则当n=4时，121n S S S -+++=_______；当n=2020时，1231n S S S S -++++=______．22．如图，直线y ＝﹣43x +8与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∠BAO 的角平分线与y 轴交于点M ，则OM 的长为_____．23．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3．．．在直线l 上，点B 1，B 2，B 3．．在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3．．．，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第2021个等腰直角三角形A 2021B 2020B 2021顶点B 2021的横坐标为__________．24．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为()6,8，点D 是OA 的中点，点E 在线段AB 上，当CDE ∆的周长最小时，点E 的坐标是_______．25．如图，经过点B （﹣4，0）的直线y =kx +b 与直线y =mx 相交于点A （﹣2，﹣4），则关于x 不等式mx ＜kx +b ＜0的解集为______．26．在学校，每一位同学都对应着一个学籍号，在数学中也有一些对应．现定义一种对应关系f ，使得数对(),x y 和数z 是对应的，此时把这种关系记作：(),f x y z =．对于任意的数m ，n （m n >），对应关系f 由如表给出： (),x y(),n n (),m n (),n m (),f x y n m n - m n + 如：1,2213f =+=，2,1211f =-=，1,11f --=-，则使等式()12,32f x x +=成立的x 的值是___________． 三、解答题27．某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服A 和B 共80套，预计前期投入资金不少于20900元，但不超过20960元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表：A B 成本价（元/套）250 280 售价（元/套） 300 340（1）该厂家有几种生产新校服的方案可供选择？（2）该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？（3）经市场调查，年底前每套B 款校服售价不会改变，而每套A 款校服的售价将会提高m 元()0m >，且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？28．如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点E 的坐标为()8,0-，点A 的坐标为()6,0-，点(),P x y 是第二象限内的直线上的一个动点．（1）求k 的值．（2）在点P 的运动过程中，写出OPA 的面积S 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围．（3）已知()0,2Q -，当点P 运动到什么位置时，直线PQ 将四边形EPOQ 分成两部分，面积比为1:2，请直接写出P 点坐标．29．如图，正比例函数3y x =-与一次函数y kx b =+相交于点(),3A a -，并且一次函数y kx b =+经过x 轴上的点0()6,B -．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2结合函数图像，求关于x ，y 的二元一次方程组30x y kx y b +=⎧⎨-=-⎩的解； （3）结合函数图像，求关于x 的不等式(3)0k x b ++≥的解集．30．某水果生产基地销售苹果，提供以下两种购买方式供客户选择:方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克． 方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．设客户购买苹果数量为x (千克)，所需费用为y (元)﹒（1）若客户按方式1购买，请写出y (元)与x (千克）之间的函数表达式．(备注：按方式1购买苹果所需费用=生产基地合作单位会费+苹果成交总价)（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱．。
知识点详解人教版八年级数学下册第十九章-一次函数难点解析试题(含答案解析)
人教版八年级数学下册第十九章-一次函数难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列函数中，一次函数是（）A．y＝－4x＋5 B．y＝x（2x－3）C．y＝ax2＋bx＋c D．y＝1 x2、如果函数y＝(2﹣k)x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是（）A．k≠0B．k＜2 C．k＞2 D．k≠23、一次函数y＝﹣x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4、已知一次函数y＝（1＋2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m≤﹣12B．m≥﹣12C．m＜﹣12D．m＞125、函数yx的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣36、一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝mx +n 的部分自变量和对应函数值如表：则关于x 的不等式kx +b ＞mx +n 的解集是（ ）A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ＜﹣1 D ．x ＞﹣17、甲、乙二人约好同时出发，沿同一路线去某博物馆参加科普活动，如图，x 表示的是行走时间（单位：分），y 表示的是甲到出发地的距离（单位：米），最后两人都到达了目的地．根据图中提供的信息，下面有四个结论：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；②甲先到达目的地；③甲停留10分钟之后提高了行走速度；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④8、如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ）A．3x>-B．3x<-C．2x>D．2x<9、一次函数y＝－25x＋2的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为腰，∠BAC＝90°，在第一象限作等腰Rt△ABC，则直线BC的解析式为（）A．325y x=+B．327y x=-+C．325y x=-+D．327y x=+10、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣2，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（）．A．-2 B．2C．4 D．﹣4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，平面直角坐标系中，直线112y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，在y轴上有一个动点M，当MDC△的周长最小的时候，点M的坐标是______．2、一次函数y＝kx＋b(k≠0)中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：那么关于x的不等式kx＋b≥－1的解集是________．3、甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度y/m与登山时间x/min之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）b＝_______m；（2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则登山_______min时，他们俩距离地面的高度差为70m．4、一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x满足 _____时，y≥1．5、如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、甲、乙两车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点，甲车出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车行驶的速度是千米/小时．（2）求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范用．（3）直接写出两车相距5千米时x的值．2、如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．3、在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象可由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（﹣2，0）．（1）求一次函数y＝kx＋b的表达式；（2）将一次函数y＝kx＋b在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示）．①根据图象，当x＞﹣2时，y随x的增大而；②请再写出两条该函数图象的性质．4、已知y﹣1与x＋3成正比例且x＝﹣1时，y＝5（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（m，3）在这个函数的图象上，求m的值．5、阅读下列一段文字，然后回答问题．已知在平面内两点P1(P1,P1)、P2(P2,P2)，其两点间的距离P1P2=√(P1−P2)2+(P1−P2)2，且当两点间的连线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|P2−P1|或|P2−P1|．（1）已知A、B两点在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为−1，试求A、B两点之间的距离；（2）已知一个三角形各顶点坐标为P(1,6)、P(−2,2)、P(4,2)，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PP+PP的长度最短，求出点P 的坐标以及PP+PP的最短长度．---------参考答案-----------一、单选题1、A【解析】【分析】由题意直接根据一次函数的定义逐个进行分析判断即可．解：A . y ＝－4x ＋5是一次函数，故本选项符合题意；B . y ＝x （2x －3）=2x 2-3x 是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；C . y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ≠0时，y =ax 2+bx +c 是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意；D . y ＝1x是反比例函数，故本选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答此题的关键，注意：形如y =kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的函数叫一次函数．2、C【解析】【分析】由题意()25y x k =-+，y 随x 的增大而减小，可得自变量系数小于0，进而可得k 的范围．【详解】解：∵关于x 的一次函数()25y x k =-+的函数值y 随着x 的增大而减小，20k ∴-<， 2k ∴>．故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性问题，解题的关键是：掌握在y kx b =+中，0k >，y 随x 的增大而增大，0k <，y 随x 的增大而减小．3、A【分析】因为k＝﹣1＜0，b＝﹣2＜0，根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质得到图象经过第二、四象限，图象与y轴的交点在x轴下方，于是可判断一次函数y＝﹣x﹣2的图象不经过第一象限．【详解】解：∵一次函数y＝﹣x﹣2中k＝﹣1＜0，∴图象经过第二、四象限；又∵b＝﹣2＜0，∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第三象限，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象不经过第一象限．故选：A．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．4、C【解析】【分析】利用一次函数的参数k的正负与函数增减性的关系，即可求出m的取值范围．【详解】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0，解得m＜12 ．故选：C．本题主要是考查了一次函数的k 值与函数增减性的关系，0k <，一次函数为减函数，0k >，一次函数为增函数，掌握两者之间的关系，是解决该题的关键．5、B【解析】【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不为0列式计算即可．【详解】解：∵函数y∴3>0x +，解得：x ＞﹣3．故选：B ．【点睛】本题考查函数基本知识，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．6、D【解析】【分析】根据统计表确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．【详解】解：根据表可得y 1＝kx +b 中y 随x 的增大而增大；y 2＝mx +n 中y 随x 的增大而减小，且两个函数的交点坐标是（﹣1，2）．则当x ＞﹣1时，kx +b ＞mx +n ．故选：D ．本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键．7、A【解析】【分析】由图象可得：10分钟到20分钟之间，路程没有变化，可判断①，由甲35分钟时到达目的地，乙40分钟到达，可判断②，分别求解前后两段时间内甲的速度可判断③，由前后两段时间内甲的速度都比乙快，可判断④，从而可得答案.【详解】解：①由图象可得：甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10（分钟），故①符合题意；②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，故②符合题意；③甲前面10分钟的速度为：每分钟7507510=米，甲在停留10分钟之后的速度为：每分钟1500750503520-=-米，所以减慢了行走速度，故③不符合题意；④由图象可得：两段路程甲的速度都比乙快，所以甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，故④符合题意；所以正确的是①②④．故选：A．【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解题意，弄懂图象上点的坐标含义是解本题的关键.8、A【解析】【分析】根据图像的意义当x=-3时，kx+b=2，根据一次函数的性质求解即可．解：∵当x=-3时，kx+b=2，且y随x的增大而减小，∴不等式2kx b+<的解集3x>-，故选A．【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数图像的性质，灵活运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．9、D【解析】【分析】由题意易得B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0），作CE⊥x轴于点E，则有∠ACE＝∠BAO，然后可得△ABO≌△CAE，进而可得C的坐标是（7，5），设直线BC的解析式是y＝kx＋b，最后利用待定系数法可求解．【详解】解：∵一次函数y＝－25x＋2中，令x＝0得：y＝2；令y＝0，解得x＝5，∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．若∠BAC＝90°，如图1，作CE⊥x轴于点E，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAE＝90°，又∵∠CAE＋∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠BAO．在△ABO 与△CAE 中，90BAO ACE BOA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABO ≌△CAE （AAS ），∴OB ＝AE ＝2，OA ＝CE ＝5，∴OE ＝OA ＋AE ＝2＋5＝7．则C 的坐标是（7，5）．设直线BC 的解析式是y ＝kx ＋b ，根据题意得：275b k b =⎧⎨+=⎩，解得372k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式是y ＝37x ＋2．故选：D ．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．10、B【解析】【分析】当直线y =kx −1过点A 时，求出k 的值，当直线y =kx −1过点B 时，求出k 的值，介于二者之间的值即为使直线y =kx −1与线段AB 有交点的x 的值．【详解】解：①当直线y=kx−1过点A时，将A(−2，1)代入解析式y=kx−1得，k=−1，②当直线y=kx−1过点B时，将B(1，2)代入解析式y=kx−1得，k=3，∵|k|越大，它的图象离y轴越近，∴当k≥3或k≤-1时，直线y=kx−1与线段AB有交点．故选：B．【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，解题的关键是掌握AB是线段这一条件，不要当成直线．二、填空题1、（0，114）【解析】【分析】把x=0和y=0分别代入y=12x+1，求出A，B两点的坐标，过D作DE垂直于x轴，证△DEA≌△AOB，证出OA=DE，AE=OB，即可求出D的坐标；先作出D关于y轴的对称点D′，连接CD′，CD′与y轴交于点M，则MD′=MD，求出D′的坐标，进而求出CD′的解析式，即可求解．【详解】解：y=12x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-2，∴点A的坐标为（-2，0）、B的坐标为（0，1），OA=2，OB=1，由勾股定理得：AB过D作DE垂直于x轴，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DEA =∠DAB =∠AOB =90°，AD =AB =CD∴∠DAE +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠DAE =∠ABO ，在△DEA 与△AOB 中，DAE ABO DEA AOB DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEA ≌△AOB （AAS ），∴OA =DE =2，AE =OB =1，∴OE =3，所以点D 的坐标为（-3，2），同理：点C 的坐标为（-1，3），作D 关于y 轴的对称点D ′，连接CD ′，CD ′与y 轴交于点M ，∴MD ′=MD ，MD ′+MC =MD +MC ，此时MD ′+MC 取最小值，∵点D（-3，2）关于y轴的对称点D′坐标为（3，2），设直线CD′解析式为y=kx+b，把C（-1，3），D′（3，2）代入得：3 32k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：14114kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线CD′解析式为y=14-x+114，令x=0，得到y=114，则M坐标为（0，114）．故答案为：（0，114）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，能求与x轴y轴的交点坐标和理解有关最小值问题是解本题的关键，难点是理解MD+MC的值最小如何求．2、x≤1【解析】【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出1y=-时，对应的x的值即可．【详解】解：当1x=时，1y=-，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，∴不等式1kx b +≥-的解集是1x ≤．故答案为：1x ≤．【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．3、 30 3、10、13【解析】【分析】（1）根据路程与时间求出乙登山速度，再求2分钟路程即可；（2）先求甲速度，再求出乙提速后得速度，再用待定系数法求AB 与CD 解析式，根据解析式组成方程组求出相遇时间，利用两函数之差=70建构方程求出相遇后相差70米的时间或乙到终点相距70米的时间即可．【详解】解：（1）02min ~内乙的速度为15÷1=15m/min，∴15230b =⨯=；（2）甲登山上升速度是(300100)2010-÷=（m/min ），乙提速后速度是10330⨯=（m/min ）． 2(30030)3011t ∴=+-÷=（min ）．设甲函数表达式为y kx b =+，把（0，100），（20，300）代入y kx b =+，得10020300b k b =⎧⎨+=⎩解得10,100.k b =⎧⎨=⎩ 10100(020)y x x ∴=+.设乙提速前的函数表达式为(02)m ax x =.把（1，15）代入，得15a =，15m x ∴=设乙提速后的函数表达式为(211)n hx p x =+<，把（2，30），（11，300）代入，得30230011h p h p =+⎧⎨=+⎩解得3030h p =⎧⎨=-⎩ 3030n x ∴=-，当(10100)(3030)70x x +--=时，解得3x =；当(3030)(10100)70x x --+=时，解得10x =；当300(10100)70x -+=时，解得13x =．综上所述：登山3min 、10min 、13min 时，他们俩距离地面的高度差为70m ．【点睛】本题考查一次函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，方程组解法，利用两者间距离建构方程，掌握一次函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，方程组解法，利用两者间距离建构方程是解题关键．4、0x ≤【解析】【分析】直接利用函数的图象确定答案即可．【详解】解：观察图象知道，当x ＝0时，y ＝1，∴当x ≤0时，y ≥1，故答案为：x ≤0．【点睛】本题考查了函数的图象的知识，属于基础题，主要考查学生对一次函数图象获取信息能力及对解不等式的考查．5、2k【解析】【分析】根据正比例函数的性质列不等式求解即可．【详解】解：∵正比例函数y ＝（k ﹣2）x 的的图象经过第二、四象限，∴k ﹣2＜0，解得，k ＜2．故填：k ＜2．【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键．三、解答题1、（1）60；（2）AB 的解析式为y =20x -40（2≤x ≤6.5）；BC 的解析式为y =-60x +480（6.5≤x ≤8）；（3）甲车出发112小时或74小时或94小时或9512小时两车相距5千米．【解析】【分析】（1）利用先出发半小时行驶的路程为30千米，可得答案；（2）分别求出相应线段的两个端点的坐标，再运用待定系数法解答即可；（3）结合运动状态，分四种情况讨论，当甲车出发而乙车还没有出发时，即0≤P ≤0.5, 当乙车追上甲车时，时间为2小时，当0.5<P ≤2时，当乙车超过甲车时，而乙车到达终点时，甲车行驶时间为6.5小时，当2<P ≤6.5时，当乙车到达后，甲车继续行驶，当6.5<P ≤8时，再列方程解方程可得答案．【详解】解：（1）甲行驶的速度为：30÷0.5=60（千米/小时），故答案为：60．（2）如图所示：设甲出发x小时后被乙追上，根据题意得： 60x=80（x-0.5），解得x=2，即甲出发2小时后被乙追上，∴点A的坐标为（2，0），而480÷80+0.5=6.5（时），即点B的坐标为（6.5，90），设AB的解析式为y=kx+b，由点A，B的坐标可得：{2P+P=0 6.5P+P=90，解得{P=20P=−40，所以AB的解析式为y=20x-40（2≤x≤6.5）；∵乙车的速度每小时为60千米∴P PP =−60, 而乙车的行驶时间为：48060=8,∴P (8,0),设BC 的解析式为y =-60x +c ， 则-60×8+c =0，解得c =480，故BC 的解析式为y =-60x +480（6.5≤x ≤8）；（3）根据题意得：当甲车出发而乙车还没有出发时，即0≤P ≤0.5,∴P =560=112, 当乙车追上甲车时，时间为2小时，当0.5<P ≤2时，60P −80(P −0.5)=5,解得：P =74当乙车超过甲车时，而乙车到达终点时，甲车行驶时间为6.5小时，当2<P ≤6.5时， 80(P −0.5)−60P =5,解得：P =94当乙车到达后，甲车继续行驶，当6.5<P ≤8时， 60P =480−5,解得：P =9512答：甲车出发112小时或74小时或94小时或9512小时两车相距5千米．【点睛】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，并与行程问题的路程、时间、速度相结合.读出图形中的已知信息，运用了数形结合的思想解决函数问题是解本题的关键．2、（1）2x（0＜x＜2）；（2）1；（3）y＝6√3P（0＜x≤1）．y＝12√3−6√3P（1＜x＜2）．【解析】【分析】（1）根据点P运动的速度与时间的乘积即可得出AP＝2x（0＜x＜2）；（2）根据△ABC为等边三角形，AB＝AC＝4cm，得出∠ACB＝∠A＝60°，根据PQ⊥AB，当Q与C重合AC＝2，即2x＝2解方程时，△ACP为直角三角形，∠ACP＝30°，根据30°直角三角形性质得出AP＝12即可；（3）分两种情况，点Q在AC上，点Q在BC上，点Q在AC上，当0＜x≤1时，在Rt△APQ中，PQ= 2√3P，根据△PQD为等边三角形，y＝6√3P（0＜x≤1）；点Q在BC上，当1＜x≤2时，BP＝4﹣2x，先求出BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝8﹣4x，在Rt△BPQ中，PQ＝4√3−2√3P，根据△PQD为等边三角形，y＝12√3−6√3P（1＜x＜2）．【详解】解：（1）∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，点P的运动时间是x（s）（0＜x ＜2），∴AP＝2x（0＜x＜2），故答案为2x（0＜x＜2）；（2）如图，∵△ABC为等边三角形，AB＝AC＝4cm，∴∠ACB＝∠A＝60°，∵PQ⊥AB，当Q与C重合时，△ACP为直角三角形，∠ACP＝30°，AC＝2，∴AP＝12即2x＝2，解得x＝1，故答案为1；（3）分两种情况，点Q在AC上，点Q在BC上，当点Q在AC上， 0＜x≤1时，在Rt△APQ中，PQ＝√PP2−PP2=√(2PP)2−PP2=√16P2−4P2=2√3P，∵△PQD为等边三角形，∴y＝3PQ=6√3P．即y＝6√3P（0＜x≤1）．当点Q在BC上，1＜x≤2时，BP＝4﹣2x，∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝8﹣4x，在Rt△BPQ中，PQ＝√PP2−PP2=√(8−4P)2−(4−2P)2=4√3−2√3P，∵△PQD为等边三角形，∴y＝3PQ＝3(4√3−2√3P)=12√3−6√3P，即y＝12√3−6√3P（1＜x＜2）．【点睛】本题考查动点问题，等边三角形性质，30°直角三角形的性质，解一元一次方程，勾股定理，掌握动点问题解题方法，等边三角形性质，30°直角三角形的性质，解一元一次方程，勾股定理是解题关键．3、（1）y＝x+2；（2）①增大；②函数有最小值0；函数图象关于直线x＝﹣2对称【解析】【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点（﹣2，0）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）观察图象即可求得．【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝x的图象平移得到，∴k＝1，又∵一次函数y＝x+b的图象过点（﹣2，0），∴﹣2+b＝0．∴b＝2，∴这个一次函数的表达式为y＝x+2；（2）将一次函数y＝kx+b在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示）．①根据图象，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故答案是：增大；②函数有最小值0；函数图象关于直线x＝﹣2对称．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．4、（1）y＝2x+7；（2）m的值为﹣2．【解析】【分析】（1）设出正比例函数表达式，将x＝﹣1，y＝5代入求出k＝2，化简即可得到y与x之间的函数关系式．（2）将坐标代入函数表达式，求出m的值即可．【详解】解：（1）∵y﹣1与x+3成正比例，∴设出正比例函数的关系式为：y﹣1＝k（x+3）（k≠0），把x＝﹣1，y＝5代入得：5﹣1＝k（﹣1+3），解得k＝2，∴y与x之间的函数关系式为：y﹣1＝2（x+3），即y＝2x+7，故答案为：y＝2x+7；（2）解：∵点（m，3）在这个函数的图象上∴把x＝m，y＝3代入y＝2x+7得：3＝2m+7，解得m＝﹣2．故m的值为﹣2．【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解一次函数解析式以及一次函数图像上的点的特征，熟练掌握利用待定系数法求函数表达式以及一次函数图像上的点的特征，是解决该类问题的关键．,0)，√735、（1）5；（2）能，理由见解析；（3）(134【解析】【分析】（1）根据文字提供的计算公式计算即可；（2）根据文字中提供的两点间的距离公式分别求出DE、DF、EF的长度，再根据三边的长度即可作出判断；（3）画好图，作点F关于x轴的对称点G，连接DG，则DG与x轴的交点P即为使PD+PF最短，然后有待定系数法求出直线DG的解析式即可求得点P的坐标，由两点间距离也可求得最小值．【详解】（1）∵A、B两点在平行于y轴的直线上∴AB=|4−(−1)|=5即A 、B 两点间的距离为5（2）能判定△DEF 的形状由两点间距离公式得：PP =√(−2−1)2+(2−6)2=5，PP =√(4−1)2+(2−6)2=5，PP =|4−(−2)|=6∵DE =DF∴△DEF 是等腰三角形（3）如图，作点F 关于x 轴的对称点G ，连接DG ，则DG 与x 轴的交点P 即为使PD +PF 最小 由对称性知：点G 的坐标为(4,−2)，且PG =PF∴PD +PF =PD +PG ≥DG即PD +PF 的最小值为线段DG 的长设直线DG 的解析式为P =PP +P (P ≠0)，把D 、G 的坐标分别代入得：{P +P =64P +P =−2 解得：{P =−83P =263即直线DG 的解析式为P =−83P +263上式中令y =0，即−83P +263=0，解得P =134 即点P 的坐标为(134,0)由两点间距离得：DG =PP =√(4−1)2+(−2−6)2=√9+64=√73所以PD +PF 的最小值为√73【点睛】本题是材料阅读题，考查了等腰三角形的判定，待定系数法求一次函数的解析式，两点间线段最短，关键是读懂文字中提供的两点间距离公式，把两条线段的和的最小值问题转化为两点间线段最短问题．。
八年级数学下册一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解(含答案)
一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小4．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
(3)用待定系数法求函数解析式。
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：①利用一次函数的定义构造方程组。
②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。
③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程。
二、例题举例：例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。
证明：∵与成正比例，设=a(a≠0的常数),∵y=,=(k≠0的常数),∴y=·a=akx，其中ak≠0的常数，∴y与x也成正比例。
例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
2022年精品解析冀教版八年级数学下册第二十一章一次函数重点解析试题(含详细解析)
八年级数学下册第二十一章一次函数重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()3,44m m -+，一次函数4123y x =+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，若点P 在AOB 的内部，则m 的取值范围为（ ）A ．1m >-或0m <B ．31m -<<C ．10m -<<D ．11m -≤≤2、若一次函数()11y m x =--的图像经过第一、三、四象限，则m 的值可能为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．23、已知点()1,3x -，()2,4x 都在直线21y x =-+上，则1x 与2x 的大小关系为（ ）A ．12x x >B ．12x x =C ．12x x <D ．无法比较4、一次函数23y x =--的图象一定经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限5、把函数y ＝x 的图象向上平移2个单位，下列各点在平移后的函数图象上的是（ ）A ．（2，2）B ．（2，3）C ．（2，4）D ．（2，5）6、巴中某快递公司每天上午7：00﹣8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法正确的个数为（）①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；②乙仓库每分钟派送快件数量为8件；③8：00时，甲仓库内快件数为400件；④7：20时，两仓库快递件数相同．A．1个B．2个C．3个D．4个7、已知一次函数y=mnx与y=mx+n(m，n为常数，且mn≠0)，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（）A．B．C．D．8、下列函数中，属于正比例函数的是（）A ．22y x =+B ．21y x =-+C ．1y x =D ．5x y = 9、直线23y x =-不经过点（ ）A ．（0，0）B ．（﹣2，3）C ．（3，﹣2）D ．（﹣3，2）10、若一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，0k ≠）的图象不经过第三象限，那么k ，b 应满足的条件是（ ）A ．0k <且0b >B ．0k >且0b >C ．0k >且0b ≥D ．0k <且0b ≥第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一次函数y ＝（k ﹣1）x ＋3中，函数值y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是_____．2、某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB 、OC 分别表示每天生产成本1y （单位：元）、收入2y （单位：元）与产量x （单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是______千克．3、函数y ax =和y kx b =+的图象相交于点()2,1A -，则方程ax kx b =+的解为______．4、若点()5,A m 是直线2y x =上一点，则m ＝______．5、根据如图所示的程序计算函数值，若输入x 的值为32，则输出的y 值为_．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、A 、B 两地相距20千米，甲、乙两人某日中午12点同时从A 地出发匀速前往B 地，甲的速度是每小时4千米，如图，线段OM 反映了乙所行的路程s 与所用时间t 之间的函数关系，根据提供的信息回答下列问题：(1)乙由A 地前往B 地所行的路程s 与所用时间t 之间的函数解析式是 ，定义域是 ；(2)在图中画出反映甲所行驶的路程s 与所用时间t 之间的函数图象；(3)下午3点时，甲乙两人相距 千米．2、已知一次函数22y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B(1)求A 、B 两点的坐标；(2)画出函数22y x =+的图象3、为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A ，B 两贫困村的计划．现决定从某地运送168箱小鸡到A ，B 两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批小鸡，已知这两种大、小货车的载货能力分别为10箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如下表：(1)试求这18辆车中大、小货车各多少辆？(2)现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往4村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数表达式，并直接写出自变量取值范围；(3)在（2）的条件下，若运往A 村的小鸡不少于96箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．4、平面直角坐标系内有一平行四边形点()00O ，，()40A ，，()52B ，，()12C ，，有一次函数y kx b =+的图象过点()61P ，(1)若此一次函数图象经过平行四边形OA 边的中点，求k 的值(2)若此一次函数图象与平行四边形OABC 始终有两个交点，求出k 的取值范围5、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，直线13y x b =+分别与x 轴、y 轴交于D 、B 两点，点()3,C m -是BD 上一点．(1)求b 、m 的值；(2)试判断线段CA 与线段BA 之间的关系，并说明理由；(3)如图2，若点()0,1Q -是y 轴上一点，点M 是直线AB 上一动点，点N 是直线BD 上一动点，当MNQ △是以点Q 为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出相应的点M 、N 的坐标．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】 由4123y x =+求出A ，B 的坐标，根据点P 的坐标得到点P 在直线443y x =-+上，求出直线与y 轴交点C 的坐标，解方程组求出交点E 的坐标，即可得到关于m 的不等式组，解之求出答案．【详解】解：当4123y x =+中y =0时，得x =-9；x =0时，得y =12， ∴A （-9，0），B （0，12），∵点P 的坐标为()3,44m m -+，当m =1时，P （3，0）；当m =2时，P （6，-4），设点P 所在的直线解析式为y=kx+b ，将（3，0），（6，-4）代入， ∴4,43k b =-=，∴点P 在直线443y x =-+上， 当x =0时，y =4，∴C （0，4），4123443y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得38x y =-⎧⎨=⎩，∴E （-3，8）， ∵点P 在AOB 的内部，∴3304448m m -<<⎧⎨<-+<⎩， ∴-1<m <0，故选：C ．．此题考查了一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数图象的交点，解一元一次不等式组，确定点P 在直线443y x =-+上是解题的关键． 2、D【解析】【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出m -1＞0，解之即可得出m 的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y =（m -1）x -1的图象经过第一、三、四象限，∴m -1＞0，∴m ＞1，∴m 的值可能为2．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、解一元一次不等式，牢记“k ＞0，b ＜0⇔y =kx +b 的图象经过一、三、四象限”是解题的关键．3、A【解析】【分析】根据一次函数的增减性分析，即可得到答案．【详解】∵直线21y x =-+上，y 随着x 的增大而减小∴12x x >故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的增减性；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．4、C【解析】【分析】k ＜0，函数一定经过第二，四象限，b ＜0，直线与y 轴交于负半轴，所以函数图象过第三象限．【详解】解：∵k =-2＜0，b =-3＜0，∴函数的图象经过第二、三、四象限，故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，k ＞0，函数一定经过第一，三象限，k ＜0，函数一定经过第二，四象限，再根据直线与y 轴的交点即可得出函数所过的象限，这是解题的关键．5、C【解析】【分析】由函数“上加下减”的原则解题．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y ＝x 的图象向上平移2个单位所得直线的解析式为：y ＝x +2，当x＝2时，y＝2+2＝4，所以在平移后的函数图象上的是（2，4），故选：C．【点睛】本题考查函数图象的平移，一次函数图象的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．6、B【解析】【分析】根据图象可知15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而得出8:00时，甲仓库内快件数；由图象可知45分钟，乙仓库派送快件数量为180件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量，进而得出乙仓库快件的总数量，然后根据题意列方程即可求出两仓库快递件数相同是时间．【详解】解：由题意结合图象可知：15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①说法错误；-÷=（件/分），甲仓库揽收快件的速度为：(13040)156+⨯=（件)，故③说法正确；所以8:00时，甲仓库内快件数为：40660400-=（分)，601545即45分钟乙仓库派送快件数量为180件，所以乙仓库每分钟派送快件的数量为：180454÷=（件)，故②说法错误；⨯=（件)，所以乙仓库快件的总数量为：604240设x分钟后，两仓库快递件数相同，根据题意得：-=+，x x2404406解得20x ，即7:20时，两仓库快递件数相同，故④说法正确．所以说法正确的有③④共2个．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合图象，理解图象中点的坐标代表的意义．7、D【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y mx n =+图象分析可得m 、n 的符号，进而可得mn 的符号，从而判断y mnx =的图象是否正确，进而比较可得答案．【详解】A 、由一次函数y mx n =+图象可知0m >，0n <，即0mn <，与正比例函数y mnx =的图象可知0mn >，矛盾，故此选项错误；B 、由一次函数y mx n =+图象可知0m <，0n >，即0mn <，与正比例函数y mnx =的图象可知0mn >，矛盾，故此选项错误；C 、由一次函数y mx n =+图象可知0m >，0n >，即0mn >；正比例函数y mnx =的图象可知0mn <，矛盾，故此选项错误；D 、由一次函数y mx n =+图象可知0m <，0n >，即0mn <，与正比例函数y mnx =的图象可知0mn <，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y =kx +b 的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k ＞0，b ＜0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．8、D【解析】【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；B ．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；C ．是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；D ．是正比例函数，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的函数，叫一次函数，当b ＝0时，函数也叫正比例函数．9、B【解析】【分析】将各点代入函数解析式即可得．【详解】解：A 、当0x =时，0y =，即经过点(0,0)，此项不符题意；B 、当2x =-时，24(2)333y =-⨯-=≠，即不经过点(2,3)-，此项符合题意； C 、当3x =时，2323y =-⨯=-，即经过点(3,2)-，此项不符题意；D 、当3x =-时，2(3)23y =-⨯-=，即经过点(3,2)-，此项不符题意；故选：B ．【点睛】本题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．10、D【解析】【分析】根据一次函数图象与系数的关系解答即可．【详解】 解：一次函数(y kx b k =+、b 是常数，0)k ≠的图象不经过第三象限，0k ∴＜且0b ≥， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，直线y =kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系为：k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b =0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．二、填空题1、k ＜1【解析】【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m 的不等式k -1＜0，然后解不等式即可．【详解】解：∵一次函数y =（k -1）x +3中，y 随x 的增大而减小，∴k -1＜0，解得k ＜1；故答案为：k ＜1．【点睛】本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：k ＞0时，直线必经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；k ＜0时，直线必经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．2、30【解析】【分析】根据题意可设AB 段的解析式为11y k x b =+，OC 段的解析式为22y k x =，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即12y y =，可列出关于x 的等式，解出x 即可．【详解】根据题意可设AB 段的解析式为：11y k x b =+，且经过点A (0，240)，B (60，480)，∴ 124048060b k b=⎧⎨=+⎩， 解得：14240k b =⎧⎨=⎩， ∴AB 段的解析式为：14240y x =+；设OC 段的解析式为：22y k x =，且经过点C (60，720)，∴272060k =，解得：212k =，∴OC 段的解析式为：212y x =．当该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即12y y =，∴424012x x +=，解得：30x =．所以这天的产量是30千克．故答案为：30．【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．3、2-【解析】【分析】由题意知，方程的解为其交点的横坐标，进而可得结果．【详解】解：由题意知ax kx b =+的解为两直线交点的横坐标故答案为：2-．【点睛】本题考查了一次函数图象的交点与一次方程解的关系．解题的关键在于理解一次函数图象的交点与一次方程解的关系．4、10【解析】把点()5,A m 代入解析式，即可求解．【详解】解：∵点()5,A m 是直线2y x =上一点，∴2510m =⨯= ．故答案为：10【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．5、12##0.5【解析】【分析】根据x 的值选择相应的函数关系式求解函数值即可解答．【详解】解：∵x =32，∴1＜x ＜2，∴y =－x +2=－32+2=12，即输出的y 值为12， 故答案为：12．【点睛】本题考查求一次函数的函数值，明确每段函数的自变量取值范围是解答的关键．1、 (1)s ＝103t ；0≤t ≤6 (2)见解析(3)2【解析】【分析】（1）设直线OM 的解析式为s kt =，将(6,20)M 代入即可求出k ，由图象可直接得出t 的范围；（2）根据甲的速度，可得出行驶时间，得到终点时点N 的坐标，作出直线即可；（3）用甲行驶的路程减去乙行驶的路程即可．(1)解：设直线OM 的解析式为s kt =，且(6,20)M ，620k ∴=，解得103k =； 103s t ∴=； 由图象可知，06t ； 故答案为：103s t =；06t ； (2) 解：甲的速度是每小时4千米，∴甲所用的时间2054t ==（小时）， (5,20)N ∴，图象如下图所示：(3)解：下午3点时，甲、乙两人之间的距离为：1043323⨯-⨯=． 故答案为：2．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2、 (1)()1,0A -,()0,2B(2)见解析【解析】【分析】（1）分别令,0x y =，即可求得点,A B 的坐标；（2）根据,A B 两点，作出一次函数的图象即可(1)令0x =，则2y =，即()0,2B ， 令0y =，则1x =-，即()1,0A -(2)过()1,0A -，()0,2B 作直线22y x =+的图象，如图所示，【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，画一次函数图象，掌握一次函数的性质是解题的关键．3、 (1)大货车用12辆，小货车用6辆(2)101240y x =+（4≤x ≤12，且x 为整数）(3)8辆大货车、2辆小货车前往A 村；4辆大货车、4辆小货车前往B 村．最少运费为1320元【解析】【分析】（1）设大货车用a 辆，小货车用b 辆，根据大、小两种货车共18辆，运输168箱小鸡，列方程组求解；（2）设前往A 村的大货车为x 辆，则前往B 村的大货车为（12- x ）辆，前往A 村的小货车为（10- x ）辆，前往B 村的小货车为[6-（10-x ）]辆，根据表格所给运费，求出y 与x 的函数关系式；（3）结合已知条件，求x 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． (1)设大货车用a 辆，小货车用b 辆，根据题意得：18108168a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得：126a b =⎧⎨=⎩． ∴大货车用12辆，小货车用6辆．(2)设前往A 村的大货车为x 辆，则前往B 村的大货车为（12- x ）辆，前往A 村的小货车为（10- x ）辆，前往B 村的小货车为[6-（10-x ）]辆，y =80x +90（12-x ）+40（10-x ）+60[6-（10-x ）]=10x +1240．()1206100x x -≥⎧⎨--≥⎩∴4≤x ≤12，且x 为整数．101240y x ∴=+（4≤x ≤12，且x 为整数）(3)由题意得：10x +8（10-x ）≥96，解得：x ≥8，又∵4≤x ≤12，∴8≤x ≤12且为整数，∵y =10x +1240，k =10＞0，y 随x 的增大而增大，∴当x =8时，y 最小，最小值为y =10×8+1240=1320（元）．答：使总运费最少的调配方案是：8辆大货车、2辆小货车前往A 村；4辆大货车、4辆小货车前往B 村．最少运费为1320元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组、关系式、不等式是解题的关键．4、 (1)k＝14；(2)−1＜k＜12，且k≠0．【解析】【分析】（1）设OA的中点为M，根据M、P两点的坐标，运用待定系数法求得k的值；（2）当一次函数y=kx+b的图象过B、P两点时，求得k的值；当一次函数y=kx+b的图象过A、P两点时，求得k的值，最后判断k的取值范围．(1)解：设OA的中点为M，∵O（0，0），A（4，0），∴OA=4，∴OM=2，∴M（2，0），∵一次函数y=kx+b的图象过M（2，0），P(6，1)两点，∴61 20k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k＝14；(2)如图，由一次函数y=kx+b的图象过定点P，作直线BP，AP与平行四边形只有一个交点，由于直线与平行四边形有两个交点，所以直线应在直线BP，AP之间，当一次函数y=kx+b的图象过B、P两点时，代入表达式y=kx+b得到：61 52k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k=-1，当一次函数y=kx+b的图象过A、P两点时，代入表达式y=kx+b得到：61 40k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k＝12，所以−1＜k＜12，由于要满足一次函数的存在性，所以−1＜k＜12，且k≠0．【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求正比例函数y=kx，只要一对x，y的值；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．5、 (1)2，1(2)垂直且相等，见解析(3)点M、N的坐标分别为622,55⎛⎫⎪⎝⎭、271,55⎛⎫-⎪⎝⎭或1214,55⎛⎫--⎪⎝⎭、97,55⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，将点B坐标代入13y x b=+求得b，从而得直线BD的解析式，再把点C坐标代入BD解析式，从而求出m的值；（2）分别求出AB AC BC===（3）证明△MHQ≌△QGN（AAS），则MH=GQ，NG=QH，即可求解．(1)对于y=2x+2，令x=0，则y=2，令y=0，即y=2x+2=0，解得x=-1，故点A、B的坐标分别为（-1，0）、（0，2），∵直线13y x b=+过点B，将点B坐标代入上式并解得：故b=2，则该直线的表达式为123=+y x，当x=-3时，112=(3)21233y x=+⨯-+=-+=1=m，即点C（-3，1）；故答案为：2，1；(2)由（1）知，点A、B、C的坐标分别为（-1，0）、（0，2）、（-3，1），则AB=同理AC=BC=则AB2+AC2=BC2，故∠BAC为直角，且AC=BA故线段CA与线段BA之间的关系为垂直且相等；(3)当△MNQ是以点Q为直角顶点的等腰三角形时，∠MQN=90°，QM=QN，设点M、N的坐标分别为（s，2s+2）、（t，13t+2），过点Q作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点H，交过点N与y轴的平行线于点G，∵∠NQG+∠MQH=90°，∠NQG+∠QNG=90°，∴∠MQH=∠QNG，∵∠MHQ=∠QGN=90°，MQ=NQ，∴△MHQ≌△QGN（AAS），∴MH=GQ，NG=QH，即2s+2-（-1）=-t（或-1-2s-2=-t），s=13t+2-（-1）（或-s=13t+2+1），解得：{s=65s=−275或12595st⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，点M、N的坐标分别为622,55⎛⎫⎪⎝⎭、271,55⎛⎫-⎪⎝⎭或1214,55⎛⎫--⎪⎝⎭、97,55⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、三角形全等等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
北京市三帆中学(师大二中)八年级数学下册第十九章《一次函数》经典题(含答案解析)
一、选择题1．若关于x 的不等式组20210x x a ->⎧⎨-+<⎩有解，则一次函数()32y a x =-+的图象一定不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若一次函数y kx b =+（k b ，都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y bx k =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知点P （m ，n ）在第二象限，则直线y =nx ＋m 图象大致是下列的（ ） A ． B ．C ．D ．4．若直线y ＝kx+b 经过第一、二、四象限，则函数y ＝bx －k 的大致图像是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．甲，乙两车分别从A ， B 两地同时出发，相向而行．乙车出发2h 后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶．设甲车行驶的时间为x (h )， 甲，乙两车到B 地的距离分别为y 1(km )， y 2(km )， y 1， y 2关于x 的函数图象如图．下列结论：①甲车的速度是45a km /h ；②乙车休息了0.5h ；③两车相距a km 时，甲车行驶了53h ．正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 6．如图，在平面直角坐标系中，点()2,A m 在第一象限，若点A 关于x 轴的对称点B 在直线1y x =-+上，则m 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．37．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，∠D ＝90°，AB ＝4，AD ＝2，点P 从点B 出发，沿B→A→D→C 的路线运动到点C ，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ．若点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则表示y 与x 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知一次函数(6)1y a x =-+经过第一、二、三象限，且关于x 的不等式组1()0232113a x x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪+≥⎪⎩恰有 4 个整数解，则所有满足条件的整数a 的值的和为（ ） A ．9 B ．11 C ．15 D ．189．下列关于一次函数25y x =-+的说法，错误的是（ ）A ．函数图象与y 轴的交点()0,5B ．当x 值增大时，y 随着x 的增大而减小C ．当 5y >时，0x < D ．图象经过第一、二、三象限 10．若点（－2，y 1），（3，y 2）都在函数y ＝－2x ＋b 的图像上，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．无法确定 11．直线y kx b =+经过一、三、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 12．如图，直线y ＝kx （k≠0）与y ＝23x+2在第二象限交于A ，y ＝23x+2交x 轴，y 轴分别于B 、C 两点．3S △ABO ＝S △BOC ，则方程组0236kx y x y -=⎧⎨-=-⎩的解为（ ）A ．143x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩B ．321x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩C ．223x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩D ．3432x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩13．甲、乙两人从公司去健身房，甲先步行前往，几分钟后乙乘出租车追赶，出租车的速度是甲步行速度的5倍，乙追上甲后，立刻带上甲一同前往，结果甲比预计早到4分钟，他们距公司的路程y （米）与时间x （分）间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（ ）①甲步行的速度为100米/分；②乙比甲晚出发7分钟；③公司距离健身房1500米；④乙追上甲时距健身房500米．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．关于x 的一次二项式ax+b 的值随x 的变化而变化，分析下表列举的数据，若ax+b ＝11，则x 的值是（ ）x﹣1 0 1 1.5 ax+b ﹣3 ﹣1 1 2A ．3B ．﹣5C ．6D ．不存在 15．对于实数a 、b ，我们定义max {a ，b }表示a 、b 两数中较大的数，如max {2，5}＝5， max {3，3}＝3．则以x 为自变量的函数y ＝max {－x ＋3，2x －1}的最小值为（ ）． A ．－1 B ．3 C ．43 D ．53二、填空题16．正方形111A B C O 、2221A B C C 、3332A B C C ……按如图的方式放置，点1A ，2A ，3A …和点1C ，2C ，3C …分别在直线()0y kx b k =+>和x 轴上，已知点1(1,1)B ，2(3,2)B ，按此规律，则点4B 的坐标是______．17．已知点)(,A m n 在一次函数53y x =+的图像上，则53n m -+的值是______． 18．已知关于x ，y 的二元一次方程组1,mx y y nx -=⎧⎨=⎩的解是1,2x y =⎧⎨=⎩则直线1y mx =-与直线y nx =的交点坐标是______；19．在平面直角坐标系中，直线6y kx =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若AOB 的面积为12，则k 的值为_________．20．甲，乙两人都要从A 仓库运送货物到B 仓库．甲从A 仓库出发匀速行驶，1小时后乙也从A 仓库出发沿同一线路匀速行驶，当乙先到达B 仓库送完货物后（不考虑货物交接的时间）立刻以原速一半的速度返回并在途中与甲第二次相遇．设甲行驶的时间为()h x ，甲和乙之间的距离为()km y 与甲出发的时间x 的函数关系式如图所示．则甲与乙第二次相遇时到A 仓库的距离为______km ．21．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为____．22．如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象，若点()4,A m 在直线l 上，则m 的值是____．23．某一列动车从A 地匀速开往B 地，一列普通列车从B 地匀速开往A 地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y （千米），如图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图像进行探究，图中t 的值是__．24．已知正比例函数y kx =的图像经过点)(2,5A -，点M 在正比例函数y kx =的图像上，点)(3,0B ，且10ABM S =△，则点M 的坐标为______．25．已知一次函数y kx b =+的图象经过点(4,3)A 且与直线2y x =平行，则此函数的表达式为____．26．平面直角坐标系中，点A 坐标为()23,3，将点A 沿x 轴向左平移a 个单位后恰好落在正比例函数23y x =-的图象上，则a 的值为__________． 三、解答题27．已知一次函数3y kx =+与x 轴交于点()2,0A ，与y 轴交于点B ．（1）求一次函数的表达式及点B 的坐标；（2）画出函数3y kx =+的图象；（3）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且2OP OA =，求ABP △的面积． 28．平面直角坐标系中，直线24y x =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ． （1）直接写出直线AB 关于x 轴对称的直线BC 的解析式______．（2）如图，直线BC 与直线y x =-交于E 点，点P 为y 轴上一点，PE PB =，求P 点坐标．（3）如图，点P 为y 轴上一点，OEB PEA ∠=∠，直线EP 与直线AB 交于点M ，求M 点的坐标．29．已知正比例函数y x =-和一次函数y kx b =+的图象交于点(,2)A a ，一次函数的图象与y 轴交于点(0,4)B ，与x 轴交于点C ．（1）求a 的值和一次函数表达式；（2）求AOC △的面积．30．已知一次函数y kx b =+，在0x =时的值为4，在1x =-时的值为2， （1）求一次函数的表达式．（2）求图象与x 轴的交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求出△AOB 的面积；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次函数复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点3 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0），由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-kb =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-kb ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ．（3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. [分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l ）（6）是正比例函数．例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数？[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k ≠0． 解：∵函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数，∴⎩⎨⎧≠--=-,0)2(,132m m ∴m=-2.∴当m=-2时，函数y=（m-2）x 32-m +（m-4）是一次函数．小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．[分析] （1）弹簧每挂1kg 的物体后，伸长0．5cm ，则挂xkg 的物体后，弹簧的长度y 为（l5+0．5x ）cm ，即y=15+0．5x ．（2）自变量x 的取值范围就是使函数关系式有意义的x 的值，即0≤x ≤18．(3)由y=15+0．5x 可知，y 是x 的一次函数．解：（l ）y=15+0．5x ．（2）自变量x 的取值范围是0≤x ≤18．（3）y 是x 的一次函数．学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s （千米）与行驶时间t （时）之间的函数关系式是 .老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．火车从乌鲁木齐出发，t 小时所走路程为58t 千米，此时，距离库尔勒的距离为s 千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t ．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．［分析］ 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t 的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．答案：102例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；（3）当y=4时，求x 的值．[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式．解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ，∴k ＝2．∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=21. 学生做一做 已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 .老师评一评 由y 与x+1成正比例，可设y 与x 的函数关系式为y=k （x+1）.再把x=5，y=12代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式． 设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）.∵当x=5时，y=12，∴12=（5+1）k ，∴k=2．∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m ﹤O,∴m ＞21，故正确答案为D 项． 学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．（1）写出年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）求5年后的产值．老师评一评 （1）年产值y （万元）与年数x （年）之间的函数关系式为y=15+2x ．（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x ≥0，因此，函数y=15+2x 的图象应为一条射线．画函数y=12+5x 的图象如图11－21所示．（3）当x=5时，y ＝15+2×5=25（万元）∴5年后的产值是25万元．例7 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式． ［分析］ 从图象上可以看出，它与x 轴交于点（-1，0），与y 轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k 为即可．解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，代入到y=kx+b 中，得⎩⎨⎧+=-+-=,03,0b b k ∴⎩⎨⎧-=-=.3,3b k ∴此函数的表达式为y=-3x-3.例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．［分析］ 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b ，再将点（2，-1）代入，求出b 即可．解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b ，∴图象经过点（2，-1），∴-l=2×2+b．∴b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？［分析］判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k为常数，且k ≠0)即可．解：（1）y是x的一次函数．∵y+a与x+b是正比例函数，∴设y+a=k(x+b)（k为常数，且k≠0）整理得y=kx+（kb-a）．∵k≠0，k，a，b为常数，∴y=kx+(kb-a)是一次函数．（2）当kb-a=0，即a=kb时，y是x的正比例函数．例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？［分析］这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．解：（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整数）y2=0．6x（其中x≥0，且x是整数）(2)∵两种通讯费用相同，∴y1=y2，即50+0．4x=0．6x．∴x＝250．∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．（3）当y1=200时，有200=50+0．4x，∴x=375（分）．∴“全球通”可通话375分．当y 2=200时，有200=0．6x ，∴x=33331（分）． ∴“神州行”可通话33331分． ∵375＞33331， ∴选择“全球通”较合算．例10 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值；（5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标．［分析］ 由已知y+2与x 成正比例，可设y+2=kx ，把x=-2，y=0代入，可求出k ，这样即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m ，6）在该函数的图象上，把x=m ，y=6代入即可求出m 的值．解：（1）∵y+2与x 成正比例，∴设y+2=kx （k 是常数，且k ≠0）∵当x=-2时，y=0．∴0+2＝k ·（-2），∴k ＝-1．∴函数关系式为x+2=-x ，即y=-x-2．（2）列表；x0 -2 y -2 0描点、连线，图象如图11－23所示．（3）由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≥0．∴当x ≤-2时，y ≥0．(4)∵点（m ，6）在该函数的图象上，∴6=-m-2,∴m ＝-8．（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，∴A （-2，0），B （0，-2）．∵S △ABP =21·|AP|·|OA|=4， ∴|BP|=428||8==OA . ∴点P 与点B 的距离为4．又∵B 点坐标为(0，-2),且P 在y 轴负半轴上，∴P 点坐标为(0，-6).例11 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（4）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项b ＞O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随x 的增大而减小，说明一次项系数小于0．解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．∴⎩⎨⎧≠-=+-,03,01822k k ∴k ＝-2．∴当k=-3时，它的图象经过原点．（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.∴-2=-2k 2+18，且3-k ≠0，∴k=±10∴当k=±10时，它的图象经过点(0，-2)（3）函数图象平行于直线y=-x ，∴3-k=-1，∴k ＝4．∴当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ．（4）∵随x 的增大而减小，∴3-k ﹤O ．∴k ＞3．∴当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．例12 判断三点A （3，1），B （0，-2），C （4，2）是否在同一条直线上．[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过A ，B 两点的直线的表达式为y=kx+b ．由题意可知，⎩⎨⎧+=-+=,02,31b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k ∴过A ，B 两点的直线的表达式为y=x-2．∴当x=4时，y=4-2=2．∴点C （4，2）在直线y=x-2上．∴三点A （3，1）， B （0，-2），C （4，2）在同一条直线上．学生做一做 判断三点A （3，5），B （0，-1），C （1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x 从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x 哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x 与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x 的函数值先达到30，说明y=6x 比y=2x+8的值增长得快．” 乙生说：“直线y=-x 与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？［分析］ （1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x ＞2时，6x ＞2x+8，所以，y=6x 的函数值先达到30．（2）直线y=-x 与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的．解：这两位同学的说法都正确．例14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x ，甲旅行社的收费为y 甲元，乙旅行社的收费为y 乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．［分析］ 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．解：（1）甲旅行社的收费y 甲（元）与学生人数x 之间的函数关系式为 y 甲=240+21×240x=240+120x. 乙旅行社的收费y 乙（元）与学生人数x 之间的函数关系式为y 乙=240×60％×（x+1）=144x+144．（2）①当y 甲=y 乙时，有240+120x=144x+144，∴24x ＝96，∴x=4．∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以．②当y 甲＞y 乙时，240+120x ＞144x+144，∴24x ＜96，∴x ＜4．∴当x ﹤4时，去乙旅行社更优惠．③当y 甲﹤y 乙时，有240+120x ﹤140x+144，∴24x ＞96，∴x ＞4．∴当x ＞4时，去甲旅行社更优惠．小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法．学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由． 老师评一评 先求出两种购买方案的付款y （元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．（1）甲方案的付款y 甲（元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式为y 甲=9x （x ≥3000）；乙方案的付款y 乙（元）与所购买的水果量x （千克）之间的函数关系式为y 乙=8x+500O （x ≥3000）．（2）有两种解法：解法1：①当y 甲=y 乙时，有9x=8x+5000，∴x=5000．∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．②当y 甲﹤y 乙时，有9x ﹤8x+5000，∴x ＜5000．又∵x ≥3000，∴当3000≤x ≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．③当y 甲＞y 乙时，有9x ＞8x+5000，∴x ＞5000．∴．当x ＞500O 时，乙方案付款少，故采用乙方案．解法2：图象法，作出y 甲=9x 和y 乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y 甲﹤y 乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y 甲﹥y 乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y 甲＞y 乙，即选择乙方案付款最少．【说明】 图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.例15 一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，则这个函数的解析式为 . [分析] 本题分两种情况讨论：①当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b 中可得⎩⎨⎧+=-+-=-,62,35b k b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==,4,31b k ∴函数解析式为y=-31x-4． ②当k ﹤O 时则随x 的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx ＋b 中可得⎩⎨⎧+=-+-=-,65,32b k b b ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,3,31b k ∴函数解析式为y=-31x-3. ∴函数解析式为y=31x-4，或y=-31x-3. 答案：y=31x-4或y=-31x-3. 【注意】 本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.中考试题预测例1 某地举办乒乓球比赛的费用y （元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b （元），另一部分与参加比赛的人数x （人）成正比例，当x=20时y=160O ；当x=3O 时，y=200O ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？[分析] 设举办乒乓球比赛的费用y （元）与租用比赛场地等固定不变的费用b （元）和参加比赛的人数x （人）的函数关系式为y=kx+b （k ≠0）.把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函数关系式，求出k ，b 的值，进而求出y 与x 之间的函数关系式，当x=50时，求出y 的值，再求得y ÷50的值即可．解：（1）设y 1=b ，y 2=kx （k ≠0，x ＞0），∴y=kx+b ．又∵当x=20时，y=1600；当x=30时,y=2000，∴⎩⎨⎧+=+=,302000,201600b k b k ∴⎩⎨⎧==.800,40b k ∴y 与x 之间的函数关系式为y=40x+800（x ＞0）.（2）当x=50时，y=40×50+800=2800（元）．∴每名运动员需支付2800÷50=56（元〕答：每名运动员需支付56元．例2 已知一次函数y=kx+b ，当x=-4时，y 的值为9；当x=2时，y 的值为-3．（1）求这个函数的解析式。