韦达定理及其应用竞赛题
巧用韦达定理解一道竞赛题
数 学 通 讯 2001 年第 6 期
巧用韦达定理解一道竞赛题 3
胡如松
(湘乡市第一中学 ,湖南 湘乡 411400) 中图分类号 :O12 - 44 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2001) 06 - 0046 - 01
题 给定实数 a , b , c , 已知复数 z 1 , z 2 ,
u3
=
z3 z1
,
则 u1 + u2 + u3 = 1
(1)
且| u1| = | u2| = | u3| = 1.
而
u1 u2 +
u2 u3
+
u3 u1
=
1 u1
+
1 u2
+
1 u3
= u1 + u2 + u3 = u1 + u2 + u3 = 1.
即 u1 u2 + u2 u3 + u3 u1 = 1
我在学习过程中发现有一些题目若用辅
助圆来解决则显得简捷 、明朗.
例
1
( 2000
年全国高考试题)
椭圆
x2 9
+
y2 4
=
1
的焦点为
F1 、F2 , 点
P 为其上的动
点 ,当 ∠F1 PF2 为钝角时 , 求点 P 横坐标的
取值范围.
收稿日期 :2000 - 09 - 09 作者简介 :胡如松 ( 1962 —) , 男 , 湖南双峰县人 , 湖南湘乡市第一中学高级教 师 ,学士.
(2)
同时易知 u1 u2 u3 = 1
(3)
由(1) , (2) , (3) 及韦达定理知 : u1 , u2 ,
韦达定理练习题
韦达定理练习题一、选择题A. x1 + x2 = b/aB. x1 x2 = b/aC. x1 x2 = √(b^2 4ac)/aD. x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的两根为x1和x2，则x1 x2的值为？A. 5B. 6C. 5D. 63. 若一元二次方程2x^2 4x + 1 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2的值为？A. 2B. 4C. 2D. 4二、填空题1. 已知一元二次方程x^2 3x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
2. 若一元二次方程3x^2 6x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
3. 已知一元二次方程4x^2 + 8x 9 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
三、解答题1. 已知一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
2. 设一元二次方程x^2 (k+3)x + 2k = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
3. 已知一元二次方程x^2 (a+b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
4. 若一元二次方程x^2 (m+n)x + mn = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
5. 已知一元二次方程x^2 (2a1)x + a^2 a = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
四、应用题1. 在一个一元二次方程中，两根的和是10，两根的积是21，请写出这个方程。
2. 如果一元二次方程的两根分别是方程系数的倒数，且两根的积是1/6，求这个方程。
3. 有一个一元二次方程，它的两根的和是它们积的3倍，且两根的积是12，求这个方程。
韦达定理及其应用竞赛题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，∴2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
解（1）由韦达定理知，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。
于是，得以下七个方程，，，，，0x2=x21x2=+无实数根，舍去。
-，其中01+x2=+，01其余六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
韦达定理全面练习题及答案 (1)
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
八年级数学竞赛专题训练试卷(三)一元二次方程根的判别式与韦达定理
八年级数学竞赛专题训练试卷(三)一元二次方程根的判别式与韦达定理一、选择题(每小题4分，共40分)1．若m ，n 是二次方程x 2+1994x+7=0的两根，那么(m 2+1993m+6)(n 2+1995n+8)等于( )(A)2000 (B)1994 (C)1986 (D)72．若a b ≠1，且有5a 2+2001a+9=0及9b 2+2001b+5=0，则b a的值是 ( ) (A)95 (B)59 (C)20015- (D)20019- 3．已知一元二次方程px 2－qx －p=0有两根a 和b ，则以1a 和1b 为根的一元二次方程是 ( )(A)px 2+qx －p =0 (B)px 2+qx+p=0(C)qx 2+px －q=0 (D)qx 2+px+q=04．已知3m 2－2m －5=0，5n 2+2n －3=0，其中m ，n 为实数，则1m n-= ( ) (A)0 (B)83 (C)53 (D)0或835．方程x 2+px+1997=0有两个正整数根x 1，x 2，则()()1211px x ++= ( )(A)1 (B)－1 (C)－0．5 (D)12 6．两个质数a ，b 恰好是整系数方程x 2－99x+m=0的两个根，则b a a b+的值为 ( ) (A)9413 (B)9413194 (C)941399 (D)9413977．设x 1，x 2是二次方程x 2+x －3=0的两个根，那么3212419x x -+的值等于 ( )(A)－4 (B)8 (C)6 (D)08．若方程8x 2－(m －1)x+(m －7)=0有一个正根，一个负根，则 ( )(A) m ＞7 (B) m ＞1 (C) m ＜1 (D) m ＜79．设关于x 的方程ax 2 +(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x 1，x 2且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是 ( )(A)2275a -<< (B)25a > (C)27a <- (D)2011a -<< 10．已知方程ax 2+bx+c=0的两实根是a ，c(ac ≠0)，则方程9cx 2+3bx+a=0的根的情况是( )(A)必有一根为13 (B)必有一根为19(C)两根分别为13，13- (D)必有一根为13或13- 二、填空题(每小题4分，共40分)11．关于x 的一元二次方程x 2－x+a(1－a)=0有两个不相等的正根，则a 可取值为_________ (只要填写一个可能的数值即可)．12．当m________时，关于x 的方程4x 2－(m 2－m －2)x －m=0的两根互为相反数．13．已知x ，y 满足x 2－7x+1=0，y 2－7y+1=0，则y x x y+=_________． 14．已知方程x 2－x －4=0的两根为x 1，x 2，则x 1 +x 2=________，2112224x x x x -+-=______． 15．已知菱形ABCD 的边长是5，对角线AC 与BD 交于点O ，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2 +(2m －1)x+m 2 +3=0的根，则m 的值为________．16．已知关于x 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项的系数误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项的系数的符号，误求得两根为－1和4，那么23b c a+的值为_______． 17．方程(2002x) 2－2001×2003x －1=0的较大根为a ，x 2 +2002x －2003=0的较小根为b ，则a 2－b=_________．18．已知二次方程(ab －2b)x 2 +2(b －a)x+2x －ab=0有两个相等的实数根，那么11a b+=____． 19．已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=0，a 2 +b 2 +c 2=6，则a 的最大值为_________．20．若α，β为x 2 +2x －5=0的两根，则22ααβα++的值为__________．三、解答题(21题满分10分，22题、23题每题满分15分，共40分)21．已知方程a(2x+a)=x(1－x)的两实数根为x 1，x 2，设S =(1)当a=－2时，求S 的值．(2)当a 取什么整数时，S 的值为1 ?(3)是否存在负数a ，使S 2的值不小于25 ?若存在，请指出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．22．已知方程x 2 +(m+1)x+2m －1=0的两根都是整数，求m 的整数值．23．已知实数a，b，c满足a+b+2c=1，223602a b c+++=，求a，b，c的值．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D ． 9．D 10．D二、填空题11．12a ≠即可． 12．m=2． 13．2或47． 14．1，5． 15．m=－3． 16．6 17．2004． 18．1 19．2． 20．0．三、解答题21．(1)由题意易求得S=3．(2) a 取0时，S=1．(3)存在负数a ，使S 2≥25．因212225S a a =-+≥且a ＜0，所以l －4a ≥25，则a ≤－6．22．m=5或m=3．23．32a b ==，c=－1．。
九年级数学竞赛资料专题(四)——韦达定理的应用下
韦达定理的应用例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p ＋q＞1．(四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2. 掌握韦达定理及其简单的应用；3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式；4. 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a(2) 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
韦达定理及其应用竞赛题
【内容综述】设一元二次方程 宀肚…。
佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。
思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。
解（1）当a=b 时，（2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得.b d _ 盘2 +於 _ ©4对'一M)_ [-餌一*1..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- /L? h ■说明此题易漏解a=b 的情况。
根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。
一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。
其中n 为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。
★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理,这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c称之 b 电等都可以用方的值。
-I-J1 = 1 規=一.+以=强+小晴+沪）5坏-旳知4i （用1尸一 2饷7 - 2伽尸[如+一加用伽+即）]-伽『（K1 +劝L J='[1^ -3（-l ）P 一_彳-1）.1]_（-1『.1彳十1 =332. 构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，贝U 可以利用韦达定理构造以这两个字母为 根的一元二次方程。
初三奥数：韦达定理在竞赛中的应用
韦达定理在初中数学竞赛题中的应用设一元二次方程 ax 2bx c 0(a 0) 的两根为 x 1、 x 2 ，则 x 1 x 2b ，x 2 c这个定理叫韦达定理。
ax 1a韦达定理是初中数学竞赛的重点内容， 题型多样， 方法灵活，触及知识面广。
例 1、 已知实数 a b ，且满足 (a1) 2 3 3(a 1) ， 3(b 1) 3 (b 1) 2则bba a的值为（）（2004 年全国初中数学竞赛试题第 1 题）ab（A ）23 （ B ） -23 （C ）-2（D ）-13解：∵ a 、 b 是关于 x 的方程 ( x 1)23( x1) 3 0 的两个不相等的实数根，整理此方程，得x 25x1 0 ，∵△ =25-4>0∴ a b5， ab 1故 a 、 b 均为负数。
因此bbaab ab a ab = a 2b 2ab = ( a b) 22ab23a ba babab所以选（ B ）例 2、实数 s.t 分别满足 19s 299s 10, t 2 99t 19 0, st1，求st4s 1 的值。
19 0 可化为 19(1)299(1) 1 t解：由题设知 t0 ，∴ t 2 99t 01t t又 st 1，∴ st∴ s ， 1是方程 19x 2 99x 10 的两个不相等的实数根。
t ∴ s199 ， s 11t 19t19st 4s 1 = s 1 4s 1 = 99 4 1=95= 5。
tt t 19 19 19例 3、若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0,9b 22001b5 0 ，则 a的值是（）b（A ）9（B ）5（C ）2001 （D ） 20015 959解：由题设知 b0 ，∴9b22001b 5 0可化为520019 0 b2b又∵ 5a22001a 90 ，且ab 1 ，∴ a, 1是方程5x22001x 90 的两个不相等的实数根。
b∴ a 1=a9 b b5所以选（ A）例 4、已知3m22m50,5n22n30 ，其中 m.n 为实数，求 m 1的值。
初三数学竞赛专题——韦达定理
初三数学竞赛专题——韦达定理一、选择题1．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413B ．1949413C ．999413D ．979413 答案：B2．如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( )A ．22123B ．22125或2C ．22125D ．22123或2(2001年TI 杯全国初中数学竞赛试题)答案：B3．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3答案：C 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤1答案：C5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x答案：C6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 答案：C7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25C ．5D ．2 答案：B二、填空题8．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ． (2003年天津市竞赛题)答案：5．9．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ．(2001年内蒙古中考题)(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．(2003年四川省中考题)答案：（1）2135-≤<-m ；（2）7>m 10．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．(2003年金华市中考题)答案：611．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．(2002年四川省竞赛题) 答案：18211≤<m ． 12．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．(2002年湖北省黄冈市中考题)答案：一313．已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． (2001年浙江省绍兴市竞赛题)答案：014．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)答案：30，2三、解答题15．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． 答案：（1）125≤k ；（2）0=k ． 16．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．(2002年苏州市中考题)答案：（1）△=02)1(22>+-m ；（2）4=m ，51±=x ；0=m ，01=x ，22-=x17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．答案：1222===n m BD AD BC AC ，即m=2n ①，△=4n 2一m 2—8n 十16>0 ②，把①代人②得，n ≤2．又222119)(<-x x ，得4n 2一m 2—8n+4<0③，把①代人③，得n>21，∴221≤<n ， ∴n=l ，2，从而得m=2或4．18．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．(全国初中数学联赛题) 答案：（1）2175-=m ；（2）原式=25)23(22--m ，当1-=m 时，最大值为10．19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；(2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．答案：（1）m=8；（2）BE=2．20．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．(第十六届江苏省竞赛题) 答案：当32=m 时，2221x x +有最小值，这个最小值为98 21．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长． (2003年哈尔滨市中考题) 答案：（1）当m=2时，△=0，∴AB ∥CD 且AB=CD ，故四边形ABCD 是平行四边形．当m>2时，△=m 一2>0，又AB+CD ＝2m>0，047)21(2>+-=⋅m CD AB ，∴AB ≠CD ，而AB ∥CD ，故四边形ABCD 是梯形．（2）12121=-=AB DC PQ ，∴2=-AB DC ，∵AB DC BC DC AB DC ⋅-+=-4)()(22 ，∴)2(4)2(2222+--=m m m ，解得3=m ，从而AB=2，CD=4．22．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．(2000年俄罗斯数学竞赛题)答案：设01121=++ax x ，0121=++c bx x ，得b a c x --=11，由0222=++a x x ，0222=++b cx x ，得12--=c b a x （c ≠1），故121x x =．另一方面由韦达定理知11x 是第一个方程的根，这就表明2x 是方程012=++ax x 和02=++a x x 的公共根．因此两式相减有0)1)(1(2=--x a ，但当1=a 时，这两个方程无实根，故x 2=l ，从而x 1=l ，于是2-=a ，1-=+c b ，所以3-=++c b a23．关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确? 答案：由条件得14)(2+=+ab b a ，又△=0434)(92≥⨯⨯-+ab b a ，∴ab b a 316)(2≥+，即ab ab 31614≥+，∴4ab ≤3，从而4ab+1≤4．即(a+b)2≤4．。
应用高次方程的韦达定理解竞赛题
早维■地2021年第3期-------------------中学数学教学参考（上旬）应用高次方程的韦达定理解竞赛题焦和平（西北工业大学附属中学)文章编号：1002-2171(2021)3-0077-02若关于工的一元”次方程H----h a p+a^CKa^^O)在复数集中的72个根为x!，x2，…，〜，则有2X iXK«'<><"〉:JC i〇C jJC k1an__/__-|n n^0X\X2....:c…=C—1) —〇a…这就是一元n次方程根与系数的关系，亦称韦达 定理，它在多项式问题中有着广泛的应用。
本文举例 说明它在数学竞赛中的应用，供参考。
例1已知a，6,c是三个互不相等的实数，解关 于:c，：y，2：的方程组X=1,X_y y z=1，¥b^+~bX=l〇[7-^+7解析：观察三个方程的结构特征，易知a，6，c是关于f的方程&—#+子=1，即—工=〇的根。
由韦达定理得原方程的解为工=以(：，3；=以+ ^c+ca，z=<2+6+c。
说明：本题的结构比较明显，容易构造一个根为 a，6，c的一兀三次方程。
例2 (2019年白俄罗斯数学奥林匹克试题）设a，6，c为正实数，函数 /(:r)=x3+a:c2+26:r—1 有三 个不同的零点，函数g(x)=2x2+26:r+a没有零点。
证明：a—6>1。
解析：设函数/(：r)的三个零点为^，x2，x3，则由韦达定理，得 A+:c2+13=—+:c2<r3+X3A=所以 x?=O i+:r2+:c3)2—2 (4X2+工2工3 +工3工1 ) =a2 —4心。
由均值不等式，得V —从=X? +d +d > 33v/^vrixT=3〇又由 g(«r)无零点，得 462—8a<0,即 2a—62〉0。
两式相加，得 a2—46+(2a—62)>3,即（a+1)2—(6+2)2〉0,亦即（a+6+3)(a一b_1)〉0。
韦达定理的应用题_证明_公式
韦达定理的应用题_证明_公式(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1．判别式的应用例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+R a=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明△=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△ =（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；此处无图（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△ =k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明不可能分解为两个一次因式之积. 分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证明将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△ =显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积.例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x，y，z是实数，且x+y+z=a，①②求证：0≤x≤0≤y≤0≤z≤分析将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论.证明由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤同理可证：0≤y≤，0≤z≤.例5设a1，a2，a3，b是满足不等式（a1+a2+a3）2≥2（）+4b的实数.求证：a1a2+a2a3+a3a1≥3b.证明由已知可得≤0.设则∵a3是实数，故△≥0，即有（a1+a2）2≥（）-2a1a2+4b+r≥2（）-（a1+a2）2+4b.于是（a1+a2）2≥（）+2b，∴a1a2≥b.同理有a2a3≥b，a3a1≥b.三式相加即得a1a2+a2a3+a3a1≥3b.例6 设a、b、c为实数，方程组与均无实数根.求证:对于一切实数x都有＞证明由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即 4ac-b2＞1.∴＞2．韦达定理的应用例7 （1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题）假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时是方程的根.证明由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0，①a2x2+b2x+c2=0，②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程 a1a2x2+b1b2x+c1c2=0 ③③也有两个负根.证明∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9（1983年上海初中数学竞赛题）对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：+解由韦达定理得=而=（n≥3），∴原式=+=例10（1989年全国初中联赛试题）首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 ①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 ②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由或解得或∴例11 （仿1986年全国高中联赛题）设实数a，b，c满足①②求证:1≤a≤9.证明由①得bc=a2-8a+7.①-②得 b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 （1933年福建初中数学竞赛题）求证：对任一矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k（k≥1）.分析设矩形A及B的长度分别是a，b及x，y，为证明满足条件的矩形B存在，只须证明方程组（k，a，b为已知数）有正整数解即可.再由韦达定理，其解x，y可以看作是二次方程z2-k（a+b）z+kab=0的两根.∵k≥1，故判别式△ =k2（a+b）2-4kab≥k2（a+b）2-4k2ab=k2（a-b）2≥0，∴上述二次方程有两实根z1，z2.又z1+z2=k（a+b）＞0，z1z2=kab＞0，从而，z1＞0，z2＞0，即方程组恒有x＞0，y＞0的解，所以矩形B总是存在的.练习二十一1．填空题（1）设方程的两根为m，n（m＞n），则代数式的值是_____ __;（2）若r和s是方程x2-px+q=0的两非零根,则以r2+和为根的方程是_____ _____;（3）已知方程x2-8x+15=0的两根可以写成a2+b2与a-b,其中a与b是方程x2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________.2.选择题(1)若p,q都是自然数,方程px2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p2+q的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程的较大根为r,的较小根为s,则r-s等于( ).(A) (B)1985 (C) (D)(3)x2+px+q2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x2-qx+p2=0的两个根必为（）.(A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2-2（m +2）x+m=0的实根个数为(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3．（1983年杭州竞赛）设a1≠0，方程a1x2+b2x+c1=0的两个根是1-a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的两个根是和；a1x2+b1x+c1=0的两根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.4.常数a是满足1≤a≤50的自然数.若关于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的两根都是自然数,试求a的值.5.设x2、x2为正系数方程ax2+bx+c=0的两根，x1+x2=m，x1·x2=n2，且m，n.求证:(1) 如果m＜n，那么方程有不等的实数根；(2) 如果m＞n，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足7．（1987年全国初中竞赛题）当a，b为何值时，方程x2+（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实根？8．（1985年苏州初中数学竞赛题）试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式的值.9．（第20届全苏中学生数学竞赛题）方程x2+ax+1=b的根是自然数，证明a2+b2是合数.10．（1972年加拿大试题）不用辅助工具解答：（1）证满足的根在和197.…间；（2）同（1）证＜1..练习二十一1.(1)(2)(3)3.B A.3.=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5.略+2=0.7.因为方程有实根,所以判别式8.设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.10.由，可得x2-198x+1=0,其根。
九年级数学竞赛资料专题(三)——韦达定理的应用上
韦达定理的应用一、典型例题例1：已知关于x 的方程2x －（m ＋1）x ＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。
解：设另一个根为x 1，则相加，得531-=x例2：已知方程x －5x ＋8=0的两根为x 1，x 2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.解：∵ 又 ∴代入得， ∴新方程为例3：判断是不是方程9x －10x －2=0的一个实数根？ 解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为 ∴，。
∴以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。
又a，b为方程两根。
∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S.例6：M 为何值时，方程8x －（m －1）x ＋m －7=0的两根① 均为正数 ②均为负数 ③一个正数，一个负数 ④一根为零 ⑤互为倒数解：①∵ ⎪⎩⎪⎨⎧+≥∆02121＞＞x x xx ∴m>7 ②∵∴不存在这样的情况。
③∴m<7 ④∴m=7 ⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。
6. 已知方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。
7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。
韦达定理练习题
韦达定理练习题韦达定理练习题韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内部的一条线段与三边的长度之间的关系。
通过韦达定理，我们可以解决一些有关三角形的问题，比如求解三角形的面积、判断三角形的形状等等。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用韦达定理的知识。
练习题一：求解三角形的面积已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的面积。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中A、B、C分别为三角形的内角。
现在我们要求解三角形的面积，可以使用海伦公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s为三角形的半周长，可以通过三边长求得：s = (a + b + c) / 2练习题二：判断三角形的形状已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，判断该三角形的形状（等边三角形、等腰三角形、直角三角形或一般三角形）。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC首先，我们可以通过比较三边长的大小来判断是否为等边三角形。
如果a=b=c，则为等边三角形。
其次，我们可以通过比较两条边的长度来判断是否为等腰三角形。
如果a=b或a=c或b=c，则为等腰三角形。
然后，我们可以通过判断三个内角的大小关系来判断是否为直角三角形。
如果A=90°或B=90°或C=90°，则为直角三角形。
最后，如果以上条件都不满足，则为一般三角形。
练习题三：求解三角形的高已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的高。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC现在我们要求解三角形的高，可以使用以下公式：h = 2S / a其中S为三角形的面积，可以通过海伦公式求得。
和韦达定理有关的练习题
和韦达定理有关的练习题一、选择题1. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两根为x1和x2，则下列哪个选项正确地表示了韦达定理？（）A. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aB. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aC. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/aD. x1 + x2 = b/a，x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程2x^2 5x + 3 = 0的两根分别为x1和x2，则x1 x2的值为（）。
A. 3B. 3C. 1.5D. 1.5二、填空题1. 若一元二次方程x^2 4x + 3 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = _______，x1 x2 = _______。
2. 已知一元二次方程3x^2 + 7x 2 = 0的两根分别为x1和x2，且x1 < x2，则x1 = _______，x2 = _______。
三、解答题1. 已知一元二次方程4x^2 12x + 9 = 0的两根为x1和x2，求x1和x2的值。
2. 已知一元二次方程5x^2 7x + 2 = 0的两根之和为4，求该方程的两根之积。
3. 已知一元二次方程2x^2 (4k + 1)x + 2k = 0的两根之积为k，求k的值。
4. 设一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为x1和x2，若x1 + x2 = 5，x1 x2 = 6，求该方程的解。
5. 已知一元二次方程x^2 (2a + 1)x + a^2 = 0的两根均为正数，求a的取值范围。
6. 已知一元二次方程x^2 (k + 3)x + 2k = 0的两根分别为x1和x2，且x1 < x2，求x1和x2的值。
7. 设一元二次方程x^2 (a + b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求证：x1和x2是正数的充分必要条件是a和b均为正数。
8. 已知一元二次方程x^2 (2k + 1)x + k^2 = 0的两根之差为1，求k的值。
九年级数学竞赛题：韦达定理
九年级数学竞赛题：韦达定理一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 求根公式是：1x =1x a ba b a ac b b ac b b x x -=-=---+-+-=+2224)(42221ac a ac a ac b b x x ==---=⋅2222221444)4()(这表明一元二次方程两根的和与积，可用一元二次方程系数表示，“acx x a b x x =-=+2121,”被称为一元二次方程的根与系数的关系，常常被称为韦达定理，这是因为该定理是16世纪最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式里包含了丰富的数学内容，在以下方面有广泛的应用： （1）求代数式的值；（2）确定方程中参数的值；（3）结合根的判别式，讨论根的符号特征； （4）逆用构造一元二次方程辅助解题等．例1 （1）若方程042=+-c x x 的一个根为2_______，c =______． （2）已知方程0532=-+x x 的两根为x 1、x 2，则=+2221x x _________．（3）已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则ααβα22++的值为__________．例2 若关于x 的一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实数根为x 1、x 2，且42121-+>x x x x ，则实数m 的取值范围是（ ）．A 、35->m B 、21≤m C 、35-<m D 、2135≤<-m 例3 已知关于x 的方程0122=-+-m mx x 的两个实数根的平方和为23，求m 的值． 例4已知关于x 的一元二次方程)0(02=/=-+a a x ax （1）求证：对于任意非零实数a ，该方程恒有不等两实根； （2）设x 1、x 2 是该方程的两个根，若a x x 求,4||||21=+的值．例5（1）△ABC 的一边长为5，另两边长恰为01222=+-m x x 的两根，求m 的取值范围． （2）已知1≠xy ，且有yxy y x x 求,0520019,092001522=++=++的值． （3）已知x 、y 均为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x ，求432234y xy y x y x x ++++的值．1．若x 1、x 2是方程0132=+-x x 的两个实数根，则2111x x +的值是____________． 2．已知关于x 的方程032=+-m x x 的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为___________． 3．已知关于x 的方程02)(2=-++-ab x b a x ，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）21x x =/，（2）ab x x >21，（3）222221b a x x +>+，则正确结论的序号是__________． （在横线上填上所有正确结论的序号）．4．已知x 1、x 2是方程032=--x x 的两根，那么2221x x +的值是（ ）． A ．1 B ．5 C ．7 D ．7495．已知α、β是关于x 的一元二次方程0)32(22=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足111-=+βα，则m 的值是（ ）．A ．3或-1B ．3C ．1D ．-3或16．在Rt △ABC 中c b a C 、、,90 =∠分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边，b a 、是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长为（ ）． A ．23 B ．25C ．5D ．2 7．已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x k kx 有两个不相等的实数根x 1、x 2 ． （1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使11121=+x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．8．已知关于x 的一元二次方程0241)2(22=-++-m x m x ． （1）当m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根x 1、x 2 满足182221=+x x ，求m 的值．9．若整数m 使方程020062=++-m mx x 的根为非零数，则这样的整数m 的个数为___________．10．设x 1、x 2是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是___________．11．已知1=/ab 且 有08199552=++a a 及05199582=++b b ，则=ba___________． 12．已知实数b a =/，且满足22)1(3)1(3),1(33)1(+-=++-=+b b a a ，则baaa b b +的值为（ ）．A ．23B ．-23C ．-2D ．-1313．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）． A ．10≤≤m B ．43≥m C ．143≤<m D ．143≤≤m14．若一元二次方程02=++q Px x 的两个根为p 、q ，则pq 等于（ ）． A ．0 B ．1 C ．0或-2 D ．0或115．已知关于x 的方程0122=++px x 的两个实数根一个大于1，另一个小于1，求实数p 的取值范围．16．已知x 、y 是正整数，并且的值求2222,120,23y x xy y x y x xy +=+=++．17．已知四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过P 作D EF AD MN C //,//，分别交AB 、CD 、AD 、BC 于点M 、N 、E 、F ，设PF PN b PE PM a ⋅=⋅=,解答下列问题：（1）当四边形ABCD 是矩形时，见图1，请判断a 与b 的大小关系，并说明理由； （2）当四边形ABCD 是平行四边形，且∠ A 为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）在（2）的条件下，设,k PDBP=是否存在这样的实数k ，使得94ABD PEAM =∆S S 平行四边形? 若存在，请求出满足条件的所有是的值；若不存在，请说明理由．。
数学竞赛专题之韦达定理练习
数学竞赛专题之韦达定理练习一．选择题（共9小题）3．如果a，b为质数，且a2﹣13a+m=0，b2﹣13b+m=0，那么的值为（）．或2 C D．或24．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分5．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x﹣7x+c+7=0的两根，．C6．方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是（）D．7．两个质数a、b恰好是整系数方程x2﹣99x+m=0的两个根，则的值是（）C D．D．＜m≤1 D．≤m≤110．已知α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根，则代数式α2+α（β2﹣2）的值为_________．11．（1）已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是_________；（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是_________．12．已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3﹣α2β﹣αβ2+β3=0，求证：p=0，q＜0．13．CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2﹣6x+4=0的两根，则△ABC的面积为_________．14．已知方程x2+px+q=0的两根均为正整数，且p+q=28，那么这个方程两根为_________．15．已知α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根，则α4+3β的值为_________．16．△ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x2﹣12x+m=0的两个根，则m的取值范围_________．三．解答题（共5小题）17．已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2．18．设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．19．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求k的值．20．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．21．设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．数学竞赛专题之韦达定理练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）y= y=3．如果a，b为质数，且a2﹣13a+m=0，b2﹣13b+m=0，那么的值为（）或2 D或2，则∴4．设x1，x2是关于x的方程x+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x+qx+p=0的两根，则p，q的值分解得．边上的中线长是．6．方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是（）D∴﹣7．两个质数a、b恰好是整系数方程x2﹣99x+m=0的两个根，则的值是（）D ∴+，∴=，故选D2＜m≤1 D≤m≤1＞∴22211．（1）已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是﹣＜m≤；2．=∵，∴＞﹣﹣；∴故答案为﹣≤∴，CD=×16．△ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x2﹣12x+m=0的两个根，则m的取值范围＜m≤18．，；＜三．解答题（共5小题）17．已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；，（，≤，．2222=2+≤∴﹣＞×+=19．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（，∴时，方程有两个实数根；k=时，有＞k=矛盾，k=20．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x+2（m﹣2）x+m﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．∴，∴=21．设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x+ax+1=0和x+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x+x+a=0 2（，∴。
韦达定理练习(培优竞赛题)
第三讲 充满活力的韦达定理知识纵横一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．例题求解【例1】(1)已知21x x 是方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且0)(22121>++∙x x x x ，那么实数m 的取值范围是_________（河南省中考题）(2) 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．（绍兴市竞赛题）思路点拨 对于（1），运用根与系数关系建立m 的不等式，但要注意判别式的制约；对于（2） 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。
【例2】如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数m 的取值范围是( )A ．10≤≤mB ．43≥m C ．143≤<m D ．143≤≤m（全国初中数学联赛题）思路点拨 设方程的根分别为1、2/1x x ，由三角形三边关系定理、韦达定理建立m 的不等式组。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．（苏州市中考题）思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．（第16届江苏省竞赛题）思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．根的分布【例5】c b a 、、为实数，ac<0,且,0532=++c b a 证明一元二次方程c bx ax ++2有大于53而小于 1 的根。
初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)韦达定理是物理学中的一个重要定理，用于求解力学问题。
它是基于能量守恒和功的定义推导出来的。
韦达定理的表达式为：\[W = \Delta KE \]其中，W表示外力做的功，\(\Delta KE\)表示物体动能的变化。
韦达定理可以应用于各种力学问题，帮助我们分析和计算物体的运动情况和动能的变化。
下面是一些韦达定理的练题及答案，供参考：1. 一个质量为2kg的物体在力为10N的作用下沿着力的方向移动了5m，求外力所做的功。
解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。
由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。
根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的质量和加速度未知，无法直接计算动能的变化。
但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。
根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 10N \cdot 5m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。
2. 一个质量为1kg的物体从静止开始，受到一个恒力为5N的作用力，沿着力的方向移动了10m，求外力所做的功和物体的末速度。
解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。
由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。
根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的初始速度为零，加速度未知，无法直接计算动能的变化。
但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。
根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 5N \cdot 10m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。
根据动能定理，可以得到：\[W = \Delta KE = \frac{1}{2} mv^2 - 0\]由此可以求解出物体的末速度：\[50 = \frac{1}{2} \cdot 1kg \cdot v^2\]\[v^2 = 100\]\[v = 10m/s\]所以物体的末速度为10米每秒。
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韦达定理及其应用
【内容综述】
设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】
1．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，
；
（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得
，ab=1.
说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用
方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定
理，得
，
∴
2．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和
为根的一元二次方程； （2）若以
和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方
程。
解 （1）由韦达定理知
，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得
解之可得由②得
，
分别讨论
（p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。
于是，得以下七个方程
，
，
，
，
，
01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。
其余六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★ 例4 已知a ，b ，c 为实数，且满足条件：
，
，求证a=b 。
证明由已知得，。
根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为
①
由a，b为实数知此方程有实根。
c2 ，故c=0，从而。
这表明①有两个相等实根，即有a=b。
∴0
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。
另外在求得c=0后，由恒等式
可得，即a=b。
此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。
4．研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。
⑴二根均大于1；
⑵一根大于1，另一根小于1。
思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。
解设此方程的二根为，，则
，。
⑴方程二根均大于1的条件为
解之得
3a 7-≤<-
⑵方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为
⎪⎩⎪⎨⎧<+---=-->--=∆.01)a 2(a 6)1x )(1x (,0)a 6(4a 421
2
解之得。
7a -<。
说明 此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。
此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。
5．求参数的值与解方程
韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。
★★★例6 解方程。
解：原方程可变形为。
令，。
则
,。
由韦达定理逆定理知，以a ，b -为根的一元二次方程是。
解得
，。
即a=8-或a=9。
或
通过
求解x 结果相同，且严谨。
，（舍去）。
解之得
，。
此种方法应检验：是或否成立
强化训练
A 级
★★1.若k 为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则
k 的值为________________。
★★2.若，
，则_______________。
★★★3 .已知和是方程的二实根，则_____________。
★★★4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。
Ｂ级
★★★★5.已知：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。
求证：，是方程的实根。
★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足，试求k的值。
参考答案
1．2
提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。
所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。
故k=2。
2．提示：由x，y为方程的二根，知，。
于。
3．21
提示：由，，知，
4．设二个不等的正整数根为，，由韦达定理，有
消去m ，得。
即。
则且。
，。
故。
5．由韦达定理有，。
又，。
二式相减得。
，。
将
代入有。
从而 ，
同理
和是方程的根。
6．当β=α时，可知1=β=α，所以2k 13k 124=⇒⨯=+，当β≠α时，易证得。
从而
，
为方程的二不同实根。
，。
于是，
，。
当
时，方程为。
解得或
取，即能符合题意，故k的值为。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文
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