【文库精品】九年级数学上册矩形的性质与判定课时练习 (新版)北师大版

合集下载

1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册

B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．

∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，

∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，

即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》同步练习(解析版) (5)

矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一．选择题（共15小题）1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（）A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm22．下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、P D．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．184．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2D．36．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形；B．对角线互相垂直的四边形是矩形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC=∠ACB；B．∠BAC=∠ACD；C．∠BAC=∠DAC；D．∠BAC=∠ABD9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC10．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90°C．AB=CD，∠B=∠C=90°D．AB=CD，AC=BD11．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形12．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．B．C．D．13．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．414．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC15．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形二．填空题（共6小题）16．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则AC=，矩形的面积为．17．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）18．如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1S2．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=5cm，BC=12cm，则EF=cm．20．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．21．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三．解答题（共5小题）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积．23．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．24．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，C A．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．25．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．26．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC+S△PAD=BC•PF+AD•PE=BC（PF+PE）=BC•EF=S矩形ABC D．（1）请补全以上证明过程．（2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、S PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．参考答案一．选择题（共15小题）1．B．2．D．3．C．4．D．5．C．6．C．7．C．8．D．9．B．10．D．11．D．12．D．13．C．14．D．15．A．二．填空题（共6小题）16．5，12．17．AC=BD18．=．19．．20．AC⊥B D．21．．三．解答题（共5小题）22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ADO=30°∴AB=B D．在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD===3∴S=AB•AD=3×3=9．矩形ABCD23．（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=A C．∵DB=AC，∴DB=E C．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）证明：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC，∵BC=DE，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．24．证明：（1）∵BF=BA，BE=BC，∴四边形AEFC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，∴BE=BF，∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，∴四边形AEFC为矩形；（2）连接DB，由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，∴四边形AEBD为平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形AEBD为菱形，∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，∴AG=2，AE=4，∴在Rt△AEG中，EG=2，∴ED=4．25．（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．26．证明：（1）∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PC D．证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF=AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCDS△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD∴S△PBC=S△PAC+S△PC D．矩形的性质与判定专项训练（典型题汇总）一、填空题：1．矩形的对边，对角线且，四个角都是，即是图形又是图形。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-2矩形的性质与判定》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④2．下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度3．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．5．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°6．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（）A．B．4C．4.5D．5二．填空题7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．8．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是．9．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF 有最大值时，则点F的坐标为．10．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．11．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为．13．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N 运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．三．解答题14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．（1）求证：AD∥CF；（2）求证：四边形ADCF是矩形．16．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．18．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形OCFD是矩形．20．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．21．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．参考答案一．选择题1．解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．2．解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．3．解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD 的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．4．解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．故选：C．6．解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x，∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD＝BC＝6，C′D＝3．在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3，∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5．故选：D．二．填空题7．解：连接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．8．解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形.理由如下：∵E、F、G、H分别为各边中点∴EF∥GH∥AC，EF＝GH＝AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵DB⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵EH＝BD＝3cm，EF＝AC＝4cm，∴HF＝＝5cm．故答案为：5cm．9．解：当点D与点A重合时，如图：∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，∴S矩形OABC＝12，∵C点坐标为（0，3），∴OC＝3，∴OA＝4，∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，则MF＝BC＝2，OM＝＝，∴OF的最大值＝OM+BC＝+2，即O、M、F三点共线，设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，∴（2x）2+（3x）2＝（+2）2，解得：x＝（负值舍去）∴2x＝+2，3x＝+3∴点F坐标（，+3）故答案为：（，+3）10．解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝1，∴CH＝＝＝，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴OH＝AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为OH+CH＝+1，故答案为：+1．11．解：∵点E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF＝EG，AF＝DG＝，∵CE⊥EF，∴CF＝CG＝5，∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，∴EG2＝DG•CG＝，∴EG＝＝EF，故答案为．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，∵∠ADH＝2∠CDH，∴∠CDH＝30°，∠ADH＝60°，∵DH⊥AC，∴∠DHA＝90°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝3，故答案为：3．13．解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，∵在矩形ABCD中，AD＝AB，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAO＝∠NOA＝30°，∴AN＝ON＝DN，∵AN+DN＝AD，∴AN＝AD，当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，∴M点运动的距离是MM'＝AB，N点运动的距离是NN'＝＝＝AD，又∵AD＝AB，∴NN'＝×AB＝AB＝MM'，∴N点的运动速度是M点的，故①正确，当M在M'位置时，∵∠OM'A＝90°，∠N'AB＝90°，∠M'ON'＝90°，∴四边形AM'ON'是矩形，∴此时S△AMN＝S△MON，故②正确，令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，则N点运动的距离为x，∴AN＝AD+x＝+x，∴S△AMN＝AM•AN＝（AB﹣BM）•AN＝（1﹣x）（+x）＝﹣x2，∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数﹣x2的图象随x增加而减小，∴S△AMN逐渐减小，故③正确，∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB•BM+BM2+AD2﹣2AD•DN+DN2＝（AB2﹣2AB•BM+3AB2﹣2•DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2，∵AN＝AD+BM＝AB+BM，∴DN＝AD﹣AN＝AB﹣（AB+BM）＝AB﹣BM，∵2AB•DN＝2AB×（AB﹣BM）＝4AB2﹣2AB•BM，∴MN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，故④正确，方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM＝DM'，OM＝OM'，连接NM'，∵NO⊥MM'，则MN＝NM'，∵NM'2＝DN2+DM'2，∴MN2＝BM2+DN2，故④正确，故答案为：①②③④．三．解答题14．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．15．证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点，∴EG是△ACD的中位线，∴EG∥AD，∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF，∴AD∥CF；（2）由（1）得：AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF，∴四边形ADCF是平行四边形，又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．18．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．19．证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCFD是矩形．20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵O为BD的中点，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．21．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．。

1.2 矩形的性质和判定课时练习(含答案解析)

北师大版数学九年级上册第一章第二节矩形的性质与判定课时练习一、单选题（共15题）1.如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变答案：C解析：解答：∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，∴AD=BC，AB=DC，∴四边形变成平行四边形，故A正确；BD的长度增加，故B正确；∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，∴面积变小了，故C错误；∵四边形的每条边的长度没变，∴周长没变，故D正确，故选C．分析: 由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 答案：D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=12AC，OB=12BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误，故选：D．分析: 矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论3.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．20答案：D解析：解答: ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=12CD=2.5，AC=22512=13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=12AC=6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选：D．分析: 本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好4. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm 答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．分析:根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可5.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（）A．8 B．10 C．12 D．18答案:C解析：解答: ∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，∴OA=OB=12 AC，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=2×6=12．故选C．分析: 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1答案:A解析：解答: 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．分析: 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答7.一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A．602B．702 C．1202 D．1402答案:A解析：解答：∵黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%；∴矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（2）．故选：A．分析: 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，用除法即可得出矩形的面积8.如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=3，则OE=（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:A解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=3，∠OAD=60°，∴∠OAE=30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A分析: 先根据等边三角形的性质得出OA=3，根据△OAE是一个含30°的直角三角形，进而得出OE的长度9.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A．16 B．22或16 C．26 D．22或26答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，①当AE=3，DE=5时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；②当AE=5，DE=3时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=5，即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；即矩形的周长是22或26分析: 根据矩形性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，求出AE=AB，分为当AE=3或AE=5两种情况，求出即可10.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等答案:A解析：解答: ∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．分析: 根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案．注意矩形与菱形都是平行四边形．11.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A．16cm B．22cm C．26cm D．22cm或26cm答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．分析: 根据矩形的性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，推出∠AEB=∠CBE，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB，推出AB=AE=CD，分为两种情况，代入求出即可12. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A．57.5°B．32.5°C．57.5°，23.5°D．57.5°，32.5°答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=12×（180°-∠AOB）=12×（180°-65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．分析: 根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，推出OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，求出∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，根据三角形内角和定理求出即可13.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直答案:A解析：解答：矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；根据矩形和菱形的性质得出：矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等；故选：A．分析: 根据矩形好菱形的性质，容易得出结论．14.过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A．对角线相等的四边形B．对角线垂直的四边形C．对角线互相平分且相等的四边形D．对角线互相垂直平分的四边形答案:B解析：解答：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选：B．分析: 由矩形的性质得出∠E=90°，由平行线的性质得出∠EAO=∠EBO=90°，证出四边形AEBO是矩形，得出∠AOB=90°即可15. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（）A．80°B．60°C．45°D．40°答案:A解析：解答：图形中∠1=40°，∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选A．分析: 根据矩形的性质，得△BOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质进行答题．二、填空题（共5题）16.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．答案: AC=BD．答案不唯一解析：解答: 添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一分析:根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可17.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________答案:①⑤解析：解答: 要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可分析：四边形ABCD是平行四边形，要成为矩形加上一个角为直角或对角线相等即可18.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．答案:∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）解析：解答: 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD分析: 根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）答案：∠DAB=90°解析：解答：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°分析: 根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定20.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）答案：合格解析：解答：∵AB=DC=8cm，BC=AD=15cm，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=17cm，AB=8cm，BC=15cm，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，即四边形是长方形，故答案为：合格．分析: 先退出思想是平行四边形，根据勾股定理的逆定理求出∠B=90°，根据矩形的判定推出即可三、解答题（共5题）21.如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；答案：解答: （1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形答案：解答: （2）证明：连接BD，AC．∵AH=AE，AD=AB，∴AH AE AD AB∴HE∥BD，同理可证，GH∥AC，∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形解析：分析: （1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE 是矩形． 22.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，AD 为BC 边上的高，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AC ，AE 与DE 交于点E ，AB 与DE 交于点F ，连结BE ．求四边形AEBD 的面积答案: 解答：∵AE ∥BC ，BE ∥AC ，∴四边形AEDC 是平行四边形．∴AE =CD ．在△ABC 中，AB =AC ，AD 为BC 边上的高，∴∠ADB =90°，BD =CD ． ∴BD =AE ．∴平行四边形AEBD 是矩形．在Rt △ADC 中，∠ADB =90°，AC =5，CD =12BC =3， ∴AD =2253 =4．∴四边形AEBD 的面积为：BD •AD =CD •AD =3×4=12．解析：分析：利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD 是矩形．在Rt △ADC 中，由勾股定理可以求得AD 的长度，由等腰三角形的性质求得CD （或BD ）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD •BD =AD •CD23.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．求证：四边形ABCD 是矩形答案：解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，21世纪教育网∴四边形ABCD是矩形．解析：分析: 欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角24.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？答案：AD＝140cm．解析：解答：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°-150°=30°，∴∠MCD=60°-30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．分析: 过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM 求出即可25.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案：见解答解析：解答：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=12（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．分析: 先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC 的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论。

1.2矩形的性质与判定+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册

2．(2023·呼和浩特市中考)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直
平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为
( A )
A．2 3
B．3
C．2 5
D．3 2
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．有一点P从点B沿着
BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交
证明： ∵∠ABO ＝ ∠DCO ＝ 90° ， OB ＝
OC，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC．
∴OA＝OD．
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
1
1
∴OE＝ OA，OF＝ OD．
2
2
∴OE＝OF．
2．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO
＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是
AO，DO的中点．

2．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量
湖泊两侧C，M两点间的距离，若测得AM的长为2.5 km，则M，C两点
间的距离为
( A )
A．2.5 km
B．3 km
C．4.5 km
D．5 km
3．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角
18
三角形的面积是______．
下列结论一定正确的是
( C )
A．AC平分∠BAD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．AC⊥BD
【变式1】矩形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的对角线长为
10
_____cm．
知识点2 直角三角形斜边上的中线性质
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中

【数学九年级上】北师大版矩形性质与判定课后练习题

△ANM，若 AN 平分∠MAB，则折痕 AM 的长为(
)
A．3
B．2 3
C．3 2
D．6
7. 如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，连接 AC，AF，CE，当 CA＝CB 时，
判断四边形 AECF 是(
)
A．平行四边形
B．矩形
C的顶点 A，C 分别在直线 a，b 上，且 a∥b，∠1＝60°，则∠2 的度
7 12 13 14
A. B. C. D.
55
5
5
5．如图，BD 是矩形 ABCD 的一条对角线，点 E，F 分别是 BD，DC 的中点．若 AB＝8，BC＝6，则 AE＋EF 的值为（） A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，已知四边形 ABCD，E，F，G，H 分别是四边的中点，若使四边形 EFGH 是矩形．则需要再满足的条件是( ) A．AC＝BD B．BC∥AD C．AB=BC D．AC⊥BD
A．60°
B．75°
C．72°
D．90°
9．矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH．若 BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则 GH＝（）
3
A．1
B．
C．
D．
10. 如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB，CD 交
AD，AC 于点 E，O，连接 CE，则 CE 的长为(
)
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
3．如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，且 BE∶EC＝2∶3，若 CE＝6，则
CD 的长为(

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。

北师大版数学九年级上册：1.2.1 矩形的定义及性质同步练习(含答案)

1.2.1 矩形的定义及性质一、选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等2.如图K-4-1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.已知∠AOB=60°,AC=16,则图中长度为8的线段的条数为()图K-4-1A.4B.6C.8D.103.如图K-4-2,在△ABC中,∠A+∠B=90°,D为AB上一点,AD=DB,CD=3,则AB的长度为()图K-4-2A.3B.4C.5D.64.如图K-4-3,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是CD边的中点.若AB=12,OM=92,则线段OB的长为()图K-4-3A.7B.8C.152D.1725.如图K-4-4,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则FC'的长为()图K-4-4A.10B.4C.4.5D.53二、填空题6.如图K-4-5,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD=°.图K-4-57.如图K-4-6,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F,已知AD=4 cm,图中阴影部分的面积为6 cm2,则对角线AC的长为cm.图K-4-68.如图K-4-7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是直线BC上一点,且BE=OB,连接AE,若∠BAC=60°,则∠CAE的度数是.图K-4-79.如图K-4-8,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,点A也随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=4,BC=2,运动过程中点D到点O的最大距离是.图K-4-8三、解答题10.如图K-4-9,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.图K-4-911.如图K-4-10,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,且BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.图K-4-1012.如图K-4-11,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,且E是AB的中点,CE∥AD.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AC=6,CE=5,求四边形ABCD的面积.图K-4-1113.如图K-4-12,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.图K-4-1214.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图K-4-13①所示,两阴影部分面积相等)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据图①完成这个推论的证明过程.证明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(+),易证S△ADC=S△ABC,=,=,可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.图K-4-13[变式]如图②,P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为.参考答案1.B2.B [解析] 根据题意可知,△AOB 和△COD 都是边长为8的等边三角形,所以长度为8的线段有6条.3.D [解析] ∵在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°. ∵AD=DB ,∴CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴AB=2CD=6.故选D .4.C [解析] ∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是CD 边的中点, ∴OM 是△ADC 的中位线,∴AD=2OM=9.∵四边形ABCD 是矩形,AB=12,∴∠D=∠ABC=90°,CD=AB=12, ∴AC=2+CD 215,∴OB=12AC=152.故选C .5.D [解析] 设FC'=x ,则FC=x ,FD=9-x.∵BC=6,四边形ABCD 为矩形,C'为AD 的中点,∴AD=BC=6,C'D=3,∠D=90°.在Rt △FC'D 中,∠D=90°,FC'=x ,FD=9-x ,C'D=3,∴FC'2=FD 2+C'D 2,即x 2=(9-x )2+32,解得x=5.故选D . 6.357.5 [解析] ∵图中阴影部分的面积为6 cm 2,AD=4 cm,则12AD ·CD=12×4×CD=6,∴CD=3(cm).在Rt △ACD 中,AD=4 cm,CD=3 cm,由勾股定理得AC=5 cm,即对角线AC 的长为5 cm . 8.15° [解析] ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,OA=OC ,OB=OD ,AC=BD ,∴OA=OB. 又∵∠BAC=60°,∴△AOB 是等边三角形, ∴AB=OB.又∵BE=OB ,∴AB=BE , ∴△ABE 是等腰直角三角形,∴∠BAE=45°,∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-45°=15°.故答案为15°. 9.2+2√210.解:(1)证明:在矩形ABCD 中,AD=BC ,∠A=∠B=90°. ∵E 是AB 的中点,∴AE=BE.在△ADE与△BCE中,∵AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,∴△ADE≌△BCE(SAS).(2)由(1),知△ADE≌△BCE,∴DE=CE.AB=3,在Rt△ADE中,AD=4,AE=12由勾股定理,知DE=√AD2+AE2=√42+32=5,∴△CDE的周长=DE+CE+CD=2DE+AB=2×5+6=16.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF.在△AOE和△COF中,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD.又∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,BC=√AC2-AB2=6√3,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6√3=36√3.12.解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,E是AB的中点,AB,∴四边形AECD是菱形.∴CE=AE=12(2)由(1)知AB=2CE=10.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,∴BC=√AB2-AC2=8,∴S △ABC =12BC ·AC=24.∵E 是AB 的中点,四边形AECD 是菱形, ∴S △AEC =S △EBC =S △ACD =12, ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =36.13.[解析] (1)根据“矩形的对角线相等”可得AC=BD ,然后证明四边形ABEC 是平行四边形,再根据“平行四边形的对边相等”可得AC=BE ,从而得证;(2)根据矩形的对角线相等且互相平分求出BD 的长度,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD 的长度,然后利用勾股定理求出BC 的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AC=BD ,AB ∥CD. 又∵BE ∥AC ,∴四边形ABEC 是平行四边形, ∴AC=BE , ∴BD=BE.(2)∵在矩形ABCD 中,BO=4, ∴BD=2BO=2×4=8. ∵∠DBC=30°,∠DCB=90°, ∴CD=12BD=12×8=4, ∴AB=CD=4,∴DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8.在Rt △BCD 中,BC=√BD 2-CD 2=√82-42=4√3, ∴AD=BC=4√3,∴四边形ABED 的面积=12×(4+8)×4√3=24√3.14.S △AEF S △FCM S △ANF S △AEF S △FGC S △FCM变式 16。

北师大版2022年九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题

九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为34．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD.∴∠MAB ＝∠NCD. 在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO. ∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A，C两点，过A，C两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD 是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ，即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形．在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE 的长是10．4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或33．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠EDC. ∵DE 平分∠ADC，∴∠ADE ＝∠EDC. ∴∠AED ＝∠ADE.∴AE＝AD. ∵AE ＝AF ，∴AF ＝AD. ∵AF ＝DH ，∴AD ＝DH. 又∵∠GAD＝∠DHM＝90°， ∴△DAG ≌△DHM(SAS)． ∴∠ADE ＝∠HDM，∠AGD ＝∠M. ∴∠EDC ＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM. ∵AF ∥DH ，∴∠AGD ＝∠GDH. ∴∠CDM ＝∠M.∴CD＝CM ＝CH ＋HM. ∵AB ＝CD ，CH ＝BF ，HM ＝AG ， ∴AB ＝BF ＋AG.1、在最软入的时候，你会想起谁。

2023学年九年级上学期数学同步精讲精练(北师大版)1-2 矩形的性质与判定(习题)(含详解)

1.2矩形的性质及判定分层训练提分要义【基础题】1．下列说法中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm ，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm ，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 6. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )A.0B.1C.2D.37. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°8．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD 的面积为8，则BE＝( )2A.2B.3C.22D.39.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A. 2aB. 22a C. 3a D.10.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4C.D.【中档题】11．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．12. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．13.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.14.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.15.在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD 的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【综合题】18. 如图在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,M,N在对角线AC上,且AM＝CN,E,F分别是AD,BC的中点.(1)求证:△ABM≌△CDN;(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF＝90°,求AG的长.19．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．1.2矩形的性质及判定分层训练提分要义【基础题】1．下列说法中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分【答案】D；【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.4．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45° C．60° D．75°【答案】C．【解析】过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 【答案】D ；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.6. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】C ；【解析】当BP=AB 或BP=BC 时，∠APE 是直角.7. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°【答案】B ；【解析】∠EMF ＝∠EMB ′＋∠FMB ′＝21∠BMC ′＋21∠CMC ′＝21×180°＝90°. 8．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )A.2B.3C.22D.32【答案】C ；【解析】过点C 做BE 垂线，垂足为F ，易证△BAE ≌△CBF ，所以BF ＝AE ，BE ＝CF ，所以总面积＝AE ×BE ＋CF ×EF ＝ AE ×BE ＋BE ×（BE －AE ）＝28BE =，22BE =.9.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（）A. 2aB. 22a C. 3a D.【答案】 B 【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵CD ⊥AB ，CD=DE=a ，∴CE= a ，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，点E 是AB 的中点，∴AB=2CE=2 a ，故选B ．【分析】根据勾股定理得到CE= a ，根据直角三角形的性质即可得到结论10.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM=3，BC=10，则OB 的长为（）A. 5B. 4C.D.【答案】 D 【考点】矩形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∴OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC==2 ， ∴BO= AC= ，故选D ．【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【中档题】11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______．【答案】136；【解析】设AE ＝CE ＝x ，DE ＝3x -，()22232x x =-+，136x =. 12. 如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4cm ，则矩形对角线AC 长为________cm ．【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC ＝2AO ＝2AB ＝8cm ．14. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为_______.【答案】6；【解析】设AB ＝AF ＝x ，BE ＝EF ＝3，EC ＝5，则CF ＝4，()22284x x +=+，解得6x =.14.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是边AD 上的动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为_________. 【答案】125；【解析】BD ＝5，利用面积法，PE ＋PF ＝△AOD 中OD 边上的高＝345⨯. 15.在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝3，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A '，当点E 、A '、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为．【答案】1或11；【解析】在旋转过程中A 有两次和E ，C 在一条直线上，第一次在EC 线段上，第二次在CE 线段的延长线上，利用平行的性质证出CF ＝CE ，即可求解；如图1：将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A '，∴∠AEF ＝∠EA 'F ，AE ＝A 'E ，∵AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴CF ＝CE ，∵AB ＝6，AD ＝3，AE ＝2，∴CF ＝CE ＝6﹣DF ，A 'E ＝2，BE ＝4，BC ＝3，∴EC ＝5，∴6﹣DF ＝5，∴DF ＝1；如图2：由折叠∠FEA '＝∠FEA ，∵AB ∥CD ，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴CF＝5，∴DF＝11；故答案为1或11；16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【答案】见解析。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。

北师大版九年级上册数学课后辅导专练：1.2 矩形的性质与判定(课内精炼课时达标)

1.2 矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1．有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．2．矩形的四个角都是__直角__；矩形的对角线__相等__．3．直角三角形斜边上的中线__等于斜边的一半__．知识点一：矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．矩形具有而菱形不具有的性质是(B)A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(C)A．30°B．60°C．90°D．120°,第3题图),第4题图) 4．(2014·宜宾)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，且∠DOC＝120°，DC＝3，则图中长度为1的线段共有(D)A．3条B．4条C．5条D．6条5．(2014·黔东南)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为(D)A．6 B．12 C．2 5 D．4 5,第5题图),第6题图) 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC 于点F，EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是__12__．7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.求证：四边形DOCE 是菱形．解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DB＝AC，DO＝OB，AO＝OC，∴DO＝OC，∵EC∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，∴▱DOCE是菱形知识点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半8．(易错题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA 的中点，若EF＝4 cm，则CD＝__4__cm.9．如图，“人字形屋梁”中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE，AD，DF共有__9__米．10．直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是__30_cm2__．11．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__20__．12．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)A．18°B．36°C．45°D．72°,第12题图),第13题图) 13．(2014·青岛)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为(A)A．4 B．3 2 C．4.5 D．514．(2014·凉山)顺次连接矩形各边中点所形成的四边形是__菱形__．15．如图所示，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中：①GE＝GD；②GF⊥DE；③GF平分∠DGE；④∠DGE＝60°.其中正确的是__①②③__．(填写序号)16．(2014·湘潭)如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在点E处，BE与CD相交于点F，若AD＝3，BD＝6.(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC的度数．解：(1)证明：由折叠的性质可得，DE ＝BC ，∠E ＝∠C ＝90°，在△DEF 和△BCF 中⎩⎨⎧∠DFE ＝∠BFC ，∠E ＝∠C ，DE ＝BC∴△DEF ≌△BCF (AAS ) (2)在Rt △ABD 中，∵AD ＝3，BD ＝6，∴∠ABD ＝30°，由折叠的性质可得；∠DBE ＝∠ABD ＝30°，∴∠EBC ＝90°－30°－30°＝30°17．如图所示，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为点E ，∠1＝∠2，OB ＝6 cm.(1)求∠BOC 的度数； (2)求△DOC 的周长．解：(1)∵AE ⊥BD, ∴∠AEO ＝∠AEB ＝90°，又∵AE ＝AE ，∠1＝∠2，∴△AEO ≌△AEB.∴AB ＝AO.又∵OA ＝OB, ∴△AOB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠BOC ＝120° (2)由矩形的性质可得△OCD ≌△OAB ，∴OC ＝OA ＝OB ＝6 cm. ∴△DOC 的周长为18 cm18．(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点，将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴∠EBD ＝∠FDB ，∴EB ∥DF ，∵ED ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形 (2)∵四边形BFDE 为菱形，∴BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝30°，∵∠A ＝90°，AB ＝2，∴AE ＝233，BF ＝BE ＝2AE ＝433，∴菱形BFDE 的面积为：433×2＝833第2课时矩形的判定对角线__相等__的平行四边形是矩形；有__三__个角是直角的四边形是矩形．知识点一：对角线相等的平行四边形是矩形1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD 是矩形的是(B)A．AO＝CO，BO＝DOB．AO＝BO＝CO＝DOC．AC＝BD，AO＝COD．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD2．下列关于矩形的说法中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．矩形的对角线相等且互相平分3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为(C)A．4B．3C．2D．1,第3题图),第4题图) 4．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__∠ABC＝90°或AC＝BD(不唯一)__．(添加一个条件即可)5．(易错题)如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__60__度时，四边形ABFE为矩形．6．(原创题)已知，如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△OAB是等边三角形，若▱ABCD的面积是163，求对角线AC的长．解：∵△OAB是等边三角形，∴OA＝OB，∠OAB＝60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，BC＝3AB，∴AB·3AB＝163，∴AB＝4，∴AC＝8知识点二：有三个角是直角的四边形是矩形7．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( C )A ．测量对角线是否互相平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量其中三个角是否都为直角D ．测量对角线是否相等8．如图，直角∠AOB 内的一点P 到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为__12__.9．如图，点M 是矩形ABCD 的边AD 的中点，点P 为BC 上一点，PE ⊥MC 于点E ，PF ⊥MB 于点F ，当AB ，BC 满足条件__BC ＝2AB __时，四边形PEMF 为矩形．10．已知▱ABCD 的对角线交于点O ，分别添加下列条件：①∠ABC ＝90°；②AC ⊥BD ；③AC ＝BD ；④OA ＝OD .使▱ABCD 是矩形的条件的序号是__①③④__.11．如图，点E ，F 分别△ABC 的边BC ，CA 的中点，延长EF 到点D ，使得DF ＝EF ，连接DA ，DC ，AE .(1)求证：四边形ABED 是平行四边形；(2)若AB ＝AC ，求证：四边形AECD 是矩形．解：(1)证明：∵AF ＝CF ，DF ＝EF ，∴四边形AECD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝CE ，又∵BE ＝CE ，∴AD ＝BE ，∴四边形ABED 是平行四边形(2)∵AB ＝AC ，BE ＝CE ，∴AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴▱AECD 是矩形12．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点．(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OA ＝12BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由．解：(1)证明：∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴∠BEO ＝∠DFO ＝90°，∵点O 是EF 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠DOF ＝∠BOE ，∴△BOE ≌△DOF (ASA )(2)四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB ＝OD ，又∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵OA ＝12BD ，OA ＝12AC ，∴BD ＝AC ，∴▱ABCD 是矩形13．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，DE ＝BC 且∠BAD ＝∠CAE ，求证：四边形BCDE 是矩形．解：证明：∵AC ＝AB ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠CAD ＝∠BAD －∠CAB ＝∠CAE －∠CAB ＝∠BAE.∴△ADC ≌△AEB.∴DC ＝BE ，∠ABE ＝∠ACD.又∵DE ＝BC ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝ACB ，∴∠ABC ＋∠ABE ＝∠ACB ＋∠ACD ，即∠EBC ＝∠DCB ＝90°.∴四边形BCED 为矩形14．(教材例4变式题)如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.连接AE ，AF.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ，∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO.∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE.∴OE ＝OF (2)由(1)知：OF ＝OC ，OC ＝OE ，∴∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC.∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.而∠OCF ＋∠OCE ＋∠OFC ＋∠OEC ＝180°，∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°，∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13.∴OC ＝12EF ＝132(3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF是矩形．.理由如下：由(1)知OE ＝OF, 当点O 移动到AC 中点时有OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵∠ECF ＝90°， ∴平行四边形AECF 是矩形第3课时矩形的性质与判定的综合运用1．矩形的性质：(1)矩形具有__平行四边形__的一切性质；(2)矩形的四个角都是__直角__；(3)矩形的对角线__相等__．2．矩形的判定：(1)有一个角是__直角__的平行四边形是矩形；(2)有三个角是__直角__的__四边形__是矩形；(3)对角线__相等__的__平行四边形__是矩形．知识点：矩形的性质与判定的综合运用1．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(B)A．S1>S2B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2,第1题图),第2题图) 2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(B)A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．24 cm3．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于(D)A.7 B．2 2C．2 3 D.104．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，下列条件中不能判定四边形ABCD 是矩形的是(C)A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOCD．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝__75__度．,第5题图),第6题图) 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为__(1＋23，2)__．7．平行四边形的四个内角平分线相交，如果能构成四边形，则这个四边形是__矩形__．8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA ＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°.这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD 是矩形，如①②⑤⇒四边形ABCD 是矩形，请再写出符合要求的两个：__①②⑥⇒四边形ABCD 是矩形；③④⑤⇒四边形ABCD 是矩形；(另外③④⑥，②③⑤⇒四边形ABCD 是矩形)__．9．如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BE ∥AC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：BD ＝BE ；(2)若∠DBC ＝30°，BO ＝4，求四边形ABED 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ，AB ∥CE ，又∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴BE ＝AC ，∴BD ＝BE (2)S 四边形ABED ＝12(AB ＋DE )·BC ＝12(4＋8)×43＝24310．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为( C )A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.811．矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若OE ∶ED ＝1∶3，AE ＝3，则BD ＝5．12．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 上的一点，且BO ＝2AE ，∠AOD ＝120°，求证：BE ⊥AC .解：证明△AOB 为等边三角形，点E 是OA 的中点即可 13．如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 为矩形ABCD 外一点，若AE ⊥CE ，求证：BE ⊥DE .解：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∵AE⊥CE ，∴OE ＝12AC ，∴OE ＝12BD ，∴OE ＝OB ＝OD ，可证∠BED ＝90°，∴BE ⊥DE14．如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，AB ，BC ，CD 的中点． (1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若菱形ABCD 的面积是50，求四边形EFGH 的面积．解：(1)∵点E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF 綊12DB ，同理GH 綊12DB ，∴EF綊GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥AC ，∴FG ⊥EF ，∴∠GFE ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形 (2)由(1)知EF ＝12DB ，FG ＝12AC ，∴S 矩形EFGH ＝EF·FG ＝14AC·BD ＝12·(12·AC·BD )＝12×50＝2515．如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC . (1)求证：CD ＝AN ；(2)若∠AMD ＝2∠MCD ，求证：四边形ADCN 是矩形．解：(1)证△AMD ≌△CMN 得AD ＝CN ，又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形，∴CD ＝AN (2)∵∠AMD ＝2∠MCD ，∠AMD ＝∠MCD ＋∠MDC ，∴∠MCD ＝∠MDC ，∴MD ＝MC ，由(1)知四边形ADCN 是平行四边形，∴MD ＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC ＝DN ，∴▱ADCN 是矩形16．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N .(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ANM ＝∠CMN ，由折叠知∠CNM ＝∠ANM ，∴∠CNM ＝∠CMN ，∴CN ＝CM (2)∵AD ∥BC ，S △CMN ∶S △CDN ＝3∶1，∴CM ∶DN ＝3∶1，设DN ＝x ，则CM ＝3x ，过点N 作NK ⊥BC 于点K ，∵DC ⊥BC ，∴NK ∥DC ，又∵AD ∥BC ，∴CK ＝DN ＝x ，MK ＝2x ，由(1)知CN ＝CM ＝3x ，∴NK 2＝CN 2－CK 2＝(3x )2－x 2＝8x 2，∴MN ＝MK 2＋NK 2＝（2x ）2＋8x 2＝23x ，∴MN DN ＝23xx＝23。

数学九年级上学期《矩形的性质与判定》同步练习

北师大新版数学九年级上学期《1.2矩形的性质与判定》同步练习一．选择题（共10小题）1．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°2．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（）A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对边相等3．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．4．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定5．如图，在矩形ABCD中，AD=30，AB=20，若点E、F三等分对角线AC，则△ABE的面积为（）A．60 B．100 C．150D．2006．如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状，得到▱A1BCD1，若▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，则∠ABA1的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=4cm，则矩形ABCD的面积为（）A．12cm2B．4cm2C．8cm2D．6cm28．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=2，则AC的长是（）A．4 B．6 C．8D．109．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为对角线AC的中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减小10．如图，矩形ABCD由3×4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（）A．34个B．36个C．38个D．40个二．填空题（共6小题）11．如果▱ABCD成为一个矩形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．12．如图，在平行四边形中，∠B=60°，AB=4，AD=6，动点F从D出发，以1个单位每秒的速度从D向A运动，同时动点E以相同速度从点C出发，沿BC方向在BC的延长线上运动，设运动时间为t，连接DE、CF．探究：①当t=s，四边形DECF是菱形；②当t=s，四边形DECF是矩形．13．的平行四边形是矩形（填一个合适的条件）．14．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是．16．如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM 的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30．则（1）PQ=；（2）第n个矩形的边长分别是．三．解答题（共5小题）17．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E，试说明AC=CE．18．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC上，∠AEF的平分线与边AD交于点G，线段EG的反向延长线与∠EFB的平分线交于点H．（1）当∠BEF=50°（图1），试求∠H的度数．（2）当E，F在边AB和BC上任意移动时（不与点B重合）（图2），∠H的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠H的度数．19．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、G分别在AD、BC上，且DE=BG=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFGH是什么特殊四边形？并证明你的判断．20．已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF=AB．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE=AD，又DF⊥AE于点F（1）求证：CE=EF；（2）若EF=2，CD=4，求矩形ABCD的面积．参考答案与试题解析一．选择题1．A分析:依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ2+80°﹣θ1，∠BCD=θ3+130°﹣θ4，再根据矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°．2．B分析:举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．3．C分析:过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD=3，首先证明△AEB≌△GED，由全等三角形的性质可得到AE=EG，设AE=EG=x，则ED=4﹣x，在Rt△DEG中依据勾股定理列方程求解即可．4．C分析:首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．△AOD的面积，然后由S△AOD5．B分析:先求出矩形的面积，根据矩形得到△ABC≌△CDA，即可求出△ABC的面积，根据等底等高的三角形的面积相等即可求出答案．6．D分析:过A1作A1H⊥BC于H，根据▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，求出A1H=A1B，根据含30度角的直角三角形性质求出∠A1BH=30°即可．7．B分析:根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB，进而利用勾股定理得出BC，利用矩形的面积公式解答即可．8．A分析:由四边形ABCD为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得OA=OB，又∠AOB=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为60°可得出∠BAO为60°，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的半径，由AB的长可得出AC的长．9．C分析:根据矩形对角线将矩形分成了面积相等的四部分，找到三个分界处P与Q 点的位置及面积的变化，作对比，进行比较可得结论．10．D分析:解答此题要从矩形的两边长进行分类分析，在由3×4个小正方形组成矩形ABCD中，不是正方形的矩形的两边长存在以下几种情况：2、1；3、1；4、1；3、2；3、4；4、2．二．填空题11．∠A=90°分析:根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．12．①4；②2．分析:根据平行四边形的性质可得出DF∥CE，由点D、C的运动速度可得出DF=CE，从而得出四边形DECF为平行四边形．①利用菱形的判定定理可得出：当DF=CF时，平行四边形DECF为菱形．由CF=DF 结合∠ADC=60°可得出△CDF为等边三角形，进而可得出DF=4，此题得解；②利用矩形的判定定理可得出：当∠CFD=90°时，平行四边形DECF为矩形．通过解直角三角形可得出DF=2，此题得解．13．有一个角是直角（答案不唯一）分析:根据矩形的判定添上即可，答案不唯一：如①有一个角是直角，②对角线相等等．14．DF=DE且DF⊥DE分析:如图，连接AD．欲证明DF=DE，只要证明△ADF≌△CDE即可．15．≤AM＜2分析:首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP=EF，即AP=2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，可求得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围．16．10×，5×分析:（1）AM⊥MB，且M为CD的中点，AM=MB，可得∠DAM=∠DMA，可得AD=DM=CD，再根据矩形ABCD的周长为30，可求的CD的长，进而得出PQ．（2）由第一问求得：第一个矩形的长为：10，宽为5，根据三角形中位线定理，PQ=5，则宽为，由此以此类推可得第n个矩形的边长．三．解答题17．分析:由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=CE，证BD=CE即可．可通过证四边形BDEC是平行四边形，从而得出BD=CE的结论．解答: 解：在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC．又∵CE∥DB，∴四边形BDEC是平行四边形．∴BD=EC，∴AC=CE．18．分析:（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠EFB=40°，所以∠EFH=20°，又由平角定义，可求∠AEF=130°，所以∠GEF=65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可得∠H=45度．（2）运用（1）中的计算方法即可得到，∠H的大小不发生变化．解答: 解：（1）∵∠B=90°，∠BEF=50°，∴∠EFB=40°．∵GE是∠AEF的平分线，HF是∠BFE的平分线，∴∠GEF=65°，∠EFH=20°．∵∠GEF=∠H+∠EFH，∴∠H=65°﹣20°=45°．（2）不变化．∵∠B=90°，∴∠EFB=90°﹣∠BEF．∵GE是∠AEF的平分线，HF是∠BFE的平分线，∴∠GEF=∠AEF=（180°﹣∠BEF），∠EFH=∠EFB=（90°﹣∠BEF）．∵∠GEF=∠H+∠EFH，∴∠H=∠GEF﹣∠EFH=（180°﹣∠BEF）﹣（90°﹣∠BEF）=45°．19．分析:（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBG和AECG，推出EH∥FG，EF∥HG，推出平行四边形EFGH，根据矩形的判定推出即可．解答:解：（1）△BEC是直角三角形：理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．（2）四边形EFGH为矩形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BG，∴四边形DEBG是平行四边形，∴BE∥DG，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BG，∴AE=CG，∴四边形AECG是平行四边形，∴AG∥CE，∴四边形EFGH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．20．分析:根据矩形性质得出∠B=∠DFA=90°，AD∥BC，求出∠DAF=∠AEB，△AFD≌△EBA，根据全等得出即可．解答:证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠DFA=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，在△AFD和△EBA中，∴△AFD≌△EBA（AAS），∴DF=AB．21．分析:（1）连接DE，利用矩形的性质，则可证得Rt△ABE≌Rt△DFA，进一步可证得Rt△DFE≌Rt△DCE，则可证得结论；（2）设BE=x，则AF=x，AE=x+2，在Rt△ABE中，利用勾股定理，可求得AE，则可求得BC的长，可求得矩形ABCD的面积．解答:证明：（1）如图，连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°．又∵AD=AE，∴Rt△ABE≌Rt△DFA．∴AB=CD=DF．又∵∠DFE=∠C=90°，DE=DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE．∴EC=EF；（2）∵EF=EC=2，CD=AB=4，∴设BE=x，则AF=x，AE=x+2．在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，∴42+x2=（x+2）2．解这个方程得：x=3，∴BC=5．∴矩形ABCD的面积=5×4=20．北师大新版数学九年级上学期《1.3正方形的性质与判定》同步练习一．选择题（共10小题）1．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④S △CEF =2S △ABE ，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．正方形ABCD 中，点P ，Q 分别是边AB ，AD 上的点，连接PQ 、PC 、QC ，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB +QD=PQ ；②若AP=AQ=，∠PCQ=36°，则；③若△PQC 是正三角形，若PB=1，则AP=．其中正确的说法有（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个3．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠AEB 的度数为（）A ．10°B ．12.5°C ．15°D ．20°4．下列说法错误的是（）A ．平行四边形的内角和与外角和相等B ．一组邻边相等的平行四边形是菱形C ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D ．四条边都相等的四边形是正方形5．在3×4的方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉（）枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不够成正方形的四个顶点．A ．2B ．3C ．4D ．5 6．下列命题正确的是（）A ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B ．对角线相等的四边形一定是矩形C ．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D ．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形7．直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，DC ＜AB ，AB=AD=12，E 是边AD 上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（）A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或78．下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等9．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（）A．四边形AEDF一定是平行四边形B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形D．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形10．在△ABC中，AC=AB，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，则下列结论中一定正确的是（）A．四边形DEBF是矩形B．四边形DCEF是正方形C．四边形ADEF是菱形D．△DEF是等边三角形二．填空题（共6小题）11．如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，F是DE的中点，BE、AF相交于点G，连接DG，若正方形ABCD的面积为36，则BG=．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是形；（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是形；（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是形．13．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．14．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为．15．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为．16．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为．三．解答题（共4小题）17．在正方形ABCD中，CE⊥DF．（1）如图1，证明：BE=CF．（2）如图2，设正方形对角线交点为O，连接EO，FO猜想：OE与OF之间的关系．并说明理由．（3）在（2）中，若OE=，FC=1，求正方形的边长．18．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．19．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF．（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；（2）直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？20．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？参考答案一．选择题1．D．2．A．3．C．4．D．5．C．6．D．7．B．8．D．9．B．10．C．二．填空题11．3．12．矩形；菱形；正方形．13．914．10．15．2．16．．三．解答题17．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵CE⊥DF，∴∠CDF+∠DCE=90°，又∵∠BCE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠CDF，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（ASA），∴BE=CF；（2）OE=OF；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，在△OEB和△OCF中，∴△OEB≌△OCF（SAS），∴OE=OF；（3）解：如图，连接EF，∵△OEB≌△OCF，∴∠EOB=∠FOC，OE=OF=∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°，∴EF==，又∵BE=CF=1∴BF==3∴BC=BF+FC=3+1=4；即正方形的边长是4．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，∵∠DBC=45°，∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE，∴BE=BC=，在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，∴DE=BD﹣BE=2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF=90°，∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE，∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF=DE=2﹣；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE=BF=2﹣，由（1）知：BE=BC=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴△DGE∽△BFE，解得：DG=3﹣4．19．解：（1）四边形AEDF是菱形，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形；（2）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．20．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．数学九年级上册同步练习1.3 正方形的性质与判定学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形2．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A．B．C．1 D．1﹣4．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使EF过点A，若DE=9，那么DG的长为（）A．3 B．3 C．4 D．45．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（）A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90°D．OD=AC9．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形10．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法判断11．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，得到下面四个结论：①OA=OD ；②AD ⊥EF ；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE 2+DF 2=AF 2+DE 2．其中正确的是（）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①③④12．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF ；小何：四边形DFBE 是正方形；小夏：S 四边形AFED =S 四边形FBCE ；小雨：∠ACE=∠CAF ．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨二．填空题（共6小题）13．如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F 的坐标为．14．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是度．15．如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为．16．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．18．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．三．解答题（共5小题）19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．20．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．21．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．22．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．23．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．参考答案一．选择题（共12小题）1．D．2．B．3．A．4．C．5．D．6．B．7．C．8．C．9．B．10．B．11．C．12．B．二．填空题（共6小题）13．（﹣1，5）．14．67.5．15．．16．①②．17．3．18．9三．解答题（共5小题）19．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．20．解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．21．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；（2）BH=AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM=AE，∴BH=AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=HN=AE．22．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．23．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP，∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，∴∠QEF=∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD，∴EF=ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，∵EC=，∴AE=CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°综上所述，∠EFC=120°或30°．。

2021-2022学年九年级数学北师大版上册《矩形的性质与判定》训练含答案

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》训练一．矩形的性质1．菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线长度相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分2．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．邻角互补C．对边相等D．对角线相等3．在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N．下面四个推断：①EF＝MN；②EN∥MF；③若▱ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．其中，所有正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．②④4．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（）A．B．C．2D．25．如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（）A．4B．2C．5D．46．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA ＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（）A．2B．2C．4D．7．如图，在▱ABCD中，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，作矩形DEBF，则其对角线EF的长为（）A．8B．9C．10D．118．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝5cm，AC，BD交于点O，∠AOD＝2∠AOB＝120°，则BC＝（）A．5cm B．5cm C．5cm D．5cm9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8B．10C．12D．2010．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH 的面积（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，再减小11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝1，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD边上的中点，P是AB边上的一动点，M、N分别是PE、PC的中点，则线段MN的长为．二．矩形的判定14．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（）A．AB＝AD B．∠AOB＝60°C．AC⊥BD D．∠OBC＝∠OCB三．矩形的判定与性质15．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形16．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.517．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B 重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长．20．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求AB的长．21．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．（1）求证：四边形OBEC为矩形；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若FG＝5，EF＝4，求CG的长．23．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD，DC，CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．24．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．26．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB中点，∠BNC＝2∠DCM，BN＝2，求CN的长参考答案一．矩形的性质1．解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，故选：D．2．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．故选：D．3．解：如图，连接EN，MF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，在△EAO和△FCO中，，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴EO＝FO，同理可得OM＝ON，∴四边形EMFN是平行四边形，∴EN∥MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，若四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），∴∠EOM＜∠AOD＝90°，∴不存在四边形ENFM是菱形，故③错误，当EO＝OM时，则EF＝MN，又∵四边形ENFM是平行四边形，∴四边形ENFM是矩形，故④正确，故选：D．4．解：设矩形的长、宽分别为a、b，∵矩形的对角线为1，面积为m，∴a²+b²＝1，ab＝m，∴a+b＝＝＝，∴矩形的周长为2（a+b）＝2，故选：C．5．解：连接AC，∵点A（4，﹣2），点C（1，2），∴AC＝＝5，∵四边形ABCO是矩形，∴OB＝AC＝5，∴点B的横坐标为5，故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC＝AC＝4，∴EC＝DC＝2，故选：B．7．解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，∴DB＝8，∵矩形DEBF，∴EF＝DB＝8，故选：A．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝2∠AOB＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝5cm，∴AC＝2OA＝10（cm），∴BC＝＝＝5（cm），故选：C．9．解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，CE，则BE＝2AB＝8，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，∴CE＝＝＝10，∴PC+PB的最小值为10，即PC+QD的最小值为10，故选：B．10．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），同理Rt△AEH≌Rt△GFC，∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝（a﹣2c）x+bc，∵E是AB的中点，∴a＝2c，∴a﹣2c＝0，∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，故选：C．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵OE⊥BC，∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，又∵BC＝2AF，∵AF＝BE，在Rt△AFO和Rt△BEO中，，∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），∴∠AOF＝∠BOE，∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，∴∠BOE＝60°，∵OB＝OD＝6，∴BE＝OB•sin60°＝6×＝3，故答案为：3．12．解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，FB＝1，∴BE＝，AF＝2，∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝，∴∠ADF＝∠FEB＝30°，∵EF＝＝＝2，DF＝＝＝4，∴OE＝OF＝EF＝2，∴△OEF是等边三角形，∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，∴FP1＝2，FP2＝4，FP3＝2，故答案为2或4或2．13．解：连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠D＝90°，∵E是AD边上的中点，∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝2，∵M，N分别是PE、PC的中点，∴MN是△PCE的中位线，∴MN＝CE＝，故答案为：．二．矩形的判定14．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．三．矩形的判定与性质15．解：A、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、∵矩形的对角线相等，∴选项C符合题意；D、∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴选项D不符合题意；故选：C．16．解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．17．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．18．解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，当CD⊥AB时，∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．19．（1）证明：AE∥BC，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90，∴四边形AEBD是矩形；（2）解：连接AG，∵F是AB的中点，GF⊥AB，∴GA＝GB，∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4，∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4，设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x，∵四边形AEBD是矩形，∴∠E＝90°，在Rt△AEG中，∵EA2+EG2＝AG2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即EG＝3．20．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四边形DFBE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴四边形DFBE是矩形；（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，∴AE＝，DE＝AE＝，∵四边形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝，∵AF平分∠DAB，∴∠F AB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，∴AB＝BF＝．21．（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形OBEC为矩形，∴OE＝CB，设OC＝x，则OB＝2x，∴BC＝＝＝x，∵BC＝OE＝2，∴x＝2，∴OC＝2，OB＝4，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OB＝8，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×8＝16．22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∵E是AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE∥CD，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥CD，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OEFG是矩形，∴OE＝FG＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝DE＝5，CD＝AD＝2OE＝10，在Rt△DEF中，DF＝＝＝3，∴CG＝CD﹣FG﹣DF＝10﹣5﹣3＝2．23．证明：（1）∵OC＝AO，OD＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接OE交AB于F，∵EC⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE∥BO，∴∠AEC＝∠CFD＝90°，即△AEC是直角三角形，∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，∴EO＝AO，∵四边形AEBO是平行四边形，∴OB＝AE，∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠OAE＝60°，∵∠OAE+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴平行四边形AMCN是矩形；（2）解：由（1）得：MN＝AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝45°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴MN＝2．25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝4，∴AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×4×4＝8．26．证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）如图2，延长BA，CM交于点E，∵M为AD的中点，N为AB中点，∴AN＝BN＝2，AM＝MD，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DMC（AAS），∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．。

九年级数学上册《第一章矩形的性质与判定》同步练习题及答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章矩形的性质与判定》同步练习题及答案（北师大版）1．如图，点E为矩形ABCD内一点，且EA＝EB．求证：∠ECD＝∠EDC．2．如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM＝AB，BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝3，MN＝1，求AB的长．3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．6．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）求证：四边形ABCD是矩形．7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．9．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．10．如图，在矩形ABCD中，E为DC边的中点，连接AB，AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）连接AC，与BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求矩形ABCD的面积．11．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O作直线分别与矩形的边AB，CD交于E，F 两点，连接BF，DE．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若AD＝1，AB＝3，且EF⊥BD，求AE的长．12．已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）当△ABC的边AC、BC满足什么数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．13．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：OC＝BC．（2）四边形ABCD是矩形．14．已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点，连接AC，DE交于点F，AB＝AC，AF＝CF．（1）如图1，求证：四边形AECD是矩形；（2）如图2，连接BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△BEF面积相等的三角形．15．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1（1）判断△BEC的形状，并说明理由；（2）求证：四边形EFPH是矩形．17．如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．18．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向点O运动．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；（2）若AC＝16cm，BD＝12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P 作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．21．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA 方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）当x为何值时，点的运动停止？（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？22．如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．23．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线D→C→B→A→D方向以2cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？24．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3秒时，求△ABP的面积；（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．参考答案1．证明：∵EA＝EB∴∠EAB＝∠EBA在矩形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，AD＝BC ∴∠DAB﹣∠EAB＝∠CBA﹣∠EBA即∠EAD＝∠EBC在△ADE和△BCE中{AD=BC∠DAE=∠CBE EA=EB∴△ADE≌△BCE（SAS）．∴ED＝EC∴∠ECD＝∠EDC．2．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB ∴∠BAN＝∠AMD∵BN⊥AM∴∠BNA＝90°在△ABN和△MAD中{∠BAN=∠AMD ∠BNA=∠D=90°AB=AM∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD∴BN＝AD＝3∵AB2＝AN2+BN2∴AB2＝（AB﹣1）2+9∴AB＝53．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA∵点O是AC的中点∴AO＝CO在△AEO和△CFO中{∠DAC=∠ACB AO=CO∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO（ASA）；（2）解：如图，连接AF∵AO＝CO，EF⊥AC∴AF＝FC∵AF2＝AB2+BF2∴CF2＝（16﹣CF）2+64∴CF＝10．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC＝AB∵FC＝AE∴CD﹣FC＝AB﹣AE即DF＝BE∴四边形DEBF是平行四边形又∵DE⊥AB∴∠DEB＝90°∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB∴∠DAF＝∠BAF∵DC∥AB∴∠DF A＝∠BAF∴∠DF A＝∠DAF∴AD＝DF＝5在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=√AD2−AE2=√52−32=4由（1）得：四边形DEBF是矩形∴BF＝DE＝4．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∵EF＝DA∴EF＝BC，EF∥BC∴四边形BCEF是平行四边形又∵CE⊥AD∴∠CEF＝90°∴平行四边形BCEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD＝AB＝3∵CF＝4，DF＝5∴CD2+CF2＝DF2∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°∴△CDF的面积=12DF×CE=12CF×CD∴CE=CF×CDDF=4×35=125由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形∴∠FBC＝90°，BF＝CE=12 5∴BC=√CF2−BF2=√42−(125)2=165∴EF=16 5．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝FD∴AE+EF＝FD+EF即AF＝DE在△ABF和△DCE中{AB=CD BF=CE AF=DE∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE∴∠A＝∠D∵AB∥CD∴∠A+∠D＝180°∴2∠A＝180°∴∠A＝90°∴▱ABCD为矩形．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AE∥BC∵CE∥BD∴四边形BCED是平行四边形∴CE＝BD．∵CE＝AC∴AC＝BD．∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°∴BD=√AB2+AD2=√42+32=5．∵四边形BCED是平行四边形∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16．8．（1）证明：∵AD∥BC∴∠ABC+∠BAD＝180°∵∠ABC＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC∴∠CDE＝∠CED＝45°∴EC＝DC又∵∠BDE＝15°∴∠CDO＝60°又∵矩形的对角线互相平分且相等∴OD＝OC∴△OCD是等边三角形∴∠DOC＝∠OCD＝60°∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°∵CO＝CE∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；（3）解：作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD ∴AO＝BO＝CO＝DO∴BF＝FC∴OF=12CD＝1∵∠OCB＝30°，AB＝2∴BC＝2√3∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°∴∠EDC＝45°在Rt△EDC中，EC＝CD＝2∴△BOE的面积=12•EB•OF=12×（2√3−2）×1=√3−1．9．证明：（1）∵AD∥BC∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°∵∠ABC ＝∠ADC∴∠BAD ＝∠BCD∴四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC =12AC ，OB ＝OD =12BD∵OA ＝OB∴AC ＝BD∴四边形ABCD 是矩形；（2）如图，连接OP∵AD ＝12，AB ＝5∴BD =√AB 2+AD 2=√144+25=13∴BO ＝OD ＝AO ＝CO =132 ∵S △AOD =14S 矩形ABCD =14×12×5＝15∴S △AOP +S △POD ＝15∴12×132×FP +12×132×EP ＝15 ∴PE +PF =6013．10．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥CB ，AD ＝BC∴∠D ＝∠FCE ；∵E 为DC 中点∴ED ＝EC在△ADE 与△FCE 中{∠D =∠FCE DE =CE ∠AED =∠FEC∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CD ，AB ＝DC∴AB EC =BG EG ，S △ABGS △CEG =（AB EC ）2∵DE ＝CE∴AB ＝2CE∴BG EG =2，S △ABGS △CEG =（AB EC ）2＝4∵△GEC 的面积为2∴S △BGC ＝2S △CEG ＝4，S △ABG ＝4S △CEG ＝8∴S △ABC ＝S △BGC +S △ABG ＝4+8＝12∴矩形ABCD 的面积＝2S △ABC ＝24．11．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CD∴∠OBE ＝∠ODF∵O 为对角线BD 的中点∴OB ＝OD在△OBE 和△ODF 中{∠OBE =∠ODF OB =OD ∠BOE =∠DOF∴△OBE ≌△ODF （ASA ）∴BE ＝DF又∵BE ∥DF∴四边形BEDF 为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°由（1）得：四边形BEDF 为平行四边形∵EF ⊥BD∴平行四边形BEDF 为菱形∴BE ＝DE设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝3﹣x在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2+AE 2＝DE 2即12+x 2＝（3﹣x ）2解得：x =43即AE 的长为43． 12．（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ＝CD ，AB ∥CD∵M ，N 分别为AB 和CD 的中点∴AM =12AB ，CN =12CD∴AM ＝CN∵AB ∥CD∴四边形AMCN 是平行四边形；（2）解：AC ＝BC 时，四边形AMCN 是矩形证明∵AC ＝BC ，且M 是BC 的中点∴CM ⊥AB即∠AMC ＝90°∴四边形AMCN 是矩形．13．证明：（1）∵CE 平分∠ACB∴∠OCE ＝∠BCE∵BO ⊥CE∴∠CFO ＝∠CFB ＝90°在△OCF 与△BCF 中{∠OCE =∠BCE CF =CF ∠CFO =∠CFB△OCF ≌△BCF （ASA ）∴OC ＝BC ；（2）∵点O 是AC 的中点∴OA ＝OC∵AD ∥BC∴∠DAO ＝∠BCO ，∠ADO ＝∠CBO在△OAD 与△OCB 中{∠DAO =∠BCO OA =OC ∠ADO =∠CBO∴△OAD ≌△OCB （ASA ）∴AD ＝BC∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形∵OE ⊥AC∴∠EOC ＝90°在△OCE 与△BCE 中{CE =CE ∠OCE =∠BEC OC =BC∴△OCE ≌△BCE （SAS ）∴∠EBC ＝∠EOC ＝90°∴四边形ABCD 是矩形．14．（1）证明：∵AD ∥BC∴∠F AD ＝∠FCE ，∠FDA ＝∠FEC在△ADF 和△CEF 中{∠FAD =∠FCE ∠FDA =∠FEC AF =CF∴△ADF ≌△CEF （AAS ）∴AD ＝CE∵AD ∥CE∴四边形AECD 为平行四边形∵AB ＝AC ，点E 为BC 的中点∴AE ⊥BC∴∠AEC ＝90°∴平行四边形AECD 为矩形；（2）解：图2中与△BEF 面积相等的三角形为△AEF ，△ADF ，△CDF ，△CEF ．理由如下：∵点E为BC的中点∴S△CEF＝S△BEF∵AF＝CF∴S△AEF＝S△CEF，S△ADF＝S△CDF由（1）可知，四边形AECD是矩形∴EF＝DF∴S△AEF＝S△ADF∴S△CEF＝S△BEF＝S△AEF＝S△ADF＝S△CDF即与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．15．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形∴AB∥DE，AB＝ED∵DC＝ED∴DC＝AB，DC∥AB∴四边形ABCD是平行四边形∵DE⊥AD∴∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；（2）解：过O作OF⊥CD于F∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO ∴OD＝OC∵OF⊥CD∴DF＝CF=12CD=12×2=1∴OF=12BC=12×4=2，EF＝DE+DF＝2+1＝3∴OE=√EF2+OF2=√32+22=√13．16．解：（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2由勾股定理得：CE=√CD2+DE2=√22+12=√5同理BE＝2√5∴CE2+BE2＝5+20＝25∵BC2＝52＝25∴BE2+CE2＝BC2∴∠BEC＝90°∴△BEC是直角三角形．（2）∵矩形ABCD∴AD＝BC，AD∥BC∵DE＝BP∴四边形DEBP是平行四边形∴BE∥DP∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP∴AE＝CP∴四边形AECP是平行四边形∴AP∥CE∴四边形EFPH是平行四边形∵∠BEC＝90°∴平行四边形EFPH是矩形．17．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6∵MN∥BC∴∠1＝∠5，∠3＝∠6∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴EO＝CO，FO＝CO∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°∵CE＝4，CF＝3∴EF=√42+32=5∴OC=12EF=52；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO∵EO＝FO∴四边形AECF是平行四边形∵∠ECF＝90°∴平行四边形AECF是矩形．18．解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD；∵E、F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向点O运动∴AE＝CF；∴OE＝OF；∴BD、EF互相平分；∴四边形DEBF是平行四边形；（2）四边形DEBF能是矩形．理由：∵四边形DEBF是平行四边形∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；∵BD＝12cm∴EF＝12cm；∴OE＝OF＝6cm；∵AC＝16cm；∴OA＝OC＝8cm；∴AE＝2cm由于动点的速度都是1cm/s所以t＝2（s）故当运动时间t＝2s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．19．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ∴DQ＝PQ，PC＝DC∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3∴PC＝5在Rt△PBC中，PB=√PC2−BC2=4∴P A＝AB﹣PB＝5﹣4＝1设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x在Rt△P AQ中，（3﹣x）2＝x2+12解得x=4 3∴AQ=4 3．（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB ∵MD⊥MP∴∠PMD＝90°∴∠PME+∠DMF＝90°∵∠FDM+∠DMF＝90°∴∠MDF＝∠PME∵M是QC的中点∴DM=12QC，PM=12QC∴DM＝PM在△MDF和△PME中{∠MDF=∠PME ∠DFM=∠MEP DM=PM∴△MDF≌△PME（AAS）∴ME＝DF，PE＝MF∵EF⊥CD，AD⊥CD∴EF∥AD∵QM＝MC∴DF＝CF=12DC=52∴ME=5 2∵ME是梯形ABCQ的中位线∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3∴AQ＝2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点∴DM＝CM∴∠DMQ＝2∠DCQ∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点∴MP＝CM∴∠PMQ＝2∠PCQ∵∠DMP＝90°∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3∵∠CPQ＝90°∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ∴AQ＝AP＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC∴∠ABE＝∠CDF∵点E，F分别为OB，OD的中点∴BE=12OB，DF=12OD∴BE＝DF在△ABE和△CDF中{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB∴AB＝OA∵E是OB的中点∴AG⊥OB∴∠OEG＝90°同理：CF⊥OD∴AG∥CF∴EG∥CF由（1）得：△ABE≌△CDF∴AE＝CF∵EG＝AE∴EG＝CF∴四边形EGCF是平行四边形∵∠OEG＝90°∴四边形EGCF是矩形．21．解：（1）由题意得x2＝20∴x＝2√5∴当x为2√5时，点的运动停止；（2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20解得x＝2√21−1或﹣1﹣2√21（舍去）当点Q与点M相遇时，x+3x＝20解得x＝5当x＝5时，x2＝25＞20∴点Q与点M不能相遇；（3）∵当点N到达A点时，x2＝20∴x＝2√5∴BQ＝2√5cm，CM＝6√5cm∵BQ+CM＝8√5＜20∴此时M点与Q点还未相遇∴点Q只能在点M的左侧①如图，当点P在点N的左侧时20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）解得x＝0（舍去）或x＝2∴当x＝2时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；②如图，当点P在点N的右侧时20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20解得x＝4或﹣10（舍去）∴当x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形综上，当x＝2或4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．22．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AB∥CD∴∠BAE＝∠DCF又∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠AEB＝∠CFD＝90°在△ABE和△CDF中{∠AEB=∠CFD ∠BAE=∠DCF AB=CD∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF∴BE＝DF又∵BE⊥AC，DF⊥AC∴BE∥DF∴四边形BFDE是平行四边形．23．解：（1）设t秒时两点相遇根据题意得，t+2t＝2（4+8）解得t＝8答：经过8秒两点相遇；（2）观察图象可知，点M不可能在AB或DC上．①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形得：8﹣t＝9﹣2t解得t＝1∵t ＝1时，点M 还在DC 上∴t ＝1舍去；②如图2，点M 在E 点左侧时，当AN ＝ME 时，四边形AEMN 为平行四边形得：8﹣t ＝2t ﹣9解得t =173．所以，经过173秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形．24．解：（1）当t ＝3时，点P 的路程为2×3＝6cm∵AB ＝4cm ，BC ＝6cm∴点P 在BC 上∴S △ABP =12AB ⋅BP =4（cm 2）．（2）（Ⅰ）若点P 在BC 上∵在Rt △ABP 中，AP ＝5，AB ＝4∴BP ＝2t ﹣4＝3∴t =72；（Ⅱ）若点P 在DC 上则在Rt △ADP 中，AP 是斜边∵AD ＝6∴AP ＞6∴AP ≠5；（Ⅲ）若点P 在AD 上AP ＝5则点P 的路程为20﹣5＝15∴t=15 2综上，当t=72秒或t=152时，AP＝5cm．（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上∵BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t∴AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2由题意，有AD2+CP2＝AP2∴62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2∴t=133＜5即t=13 3．。

北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。

2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

2021-2022学年北师大版九年级数学上册试题一课一练《矩形的性质与判定》习题(含答案)

1.2 《矩形的性质与判定》习题2一、选择题1．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝50°，则∠BGE＝( )A．100°B．90°C．80°D．70°2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是( )A．110°B．120°C．140°D．150°3．在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：甲：将矩形按图1所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；乙：将矩形按图2所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形．对于这两人的操作，以下判断正确的是( )A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．甲不正确、乙正确D ．甲正确、乙不正确4．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°5．如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF 丄 EC ，DE =2，矩形的周长为16，则AE 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．76．如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，将ABCD 绕点B 顺时针旋转90°到GBEF 位置，H 是EG 的中点，若AB ＝6，BC ＝8，则线段CH 的长为( )A ．BC ． D7．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E 、F ，则PE PF +的值为( )A ．10B ．4.8C ．6D ．58．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是斜边BC 上动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，EF 与AP 相交于点O ，则OF 的最小值是( )A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.29.如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°．G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ，下列说法不正确的是( )A ．四边形CEDF 是平行四边形B ．当CE ⊥AD 时，四边形CEDF 是矩形C ．当∠AEC ＝120°时，四边形CEDF 是菱形D ．当AE ＝ED 时，四边形CEDF 是菱形10.如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是( )A ．AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ＝BDB ．AC ＝BD ，∠B ＝∠C ＝90° C ．AB ＝CD ，∠B ＝∠C ＝90° D ．AB ＝CD ，AC ＝BD11.如图，在ABC 中，90,28ACB B ∠=︒∠=︒．分别以点,A B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点D 和E ，直线DE 交AB 于点F ，连结CF ，则AFC ∠的度数为( )A．62B．60︒C．58D．56︒12.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A．20 B．12 C．14 D．1313.如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA ，M是OP 的中点，DM=4 cm．若点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( )cm．A．7 B．6 C．5 D．414.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离( )A．变小B．不变C．变大D．无法判断二、填空题1.如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，DE ⊥AC 于点E ，若∠AOD ＝110°，则∠CDE ＝________°．2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，AE 交BC 于E ，则∠BOE 的大小为______．3.如图，矩形ABCD 中，5cm AB =，点E 在AD 上，且3cm AE =，连接EC ，将ABE ∆沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A '处，则A C '=_________cm ．4.如图，D 是△ABC 中BC 边中点，∠EDF ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，若EF ＝4，则BC ＝__．5.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若2CD =，则线段EF 的长是__________．三、解答题1.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△BCD沿BD所在直线翻折，使点C落在点F上，如果BF交AD于E．(1)求证：△ABE≌△FDE；(2)求AE的长．2.如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．(1)求证：AF＝CE；(2)连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．3.如图，矩形ABCD 中，2AC AB =，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形AB C D '''，使点B 的对应点B '落在AC 上，B C ''交AD 于点E ，在B C ''上取点F ，使B F AB '=．(1)证：AE C E '=．(2)FBB '∠的度数．(3)知2AB =，求BF 的长．4.如图，在▱ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接BD ，EC ．(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(2)若∠A=50°,则当∠BOD=___°时，四边形BECD 是矩形.5.如图，在平行四边形ABCD中，2=，E是CD的中点，连接AE、BE.AB AD(1)求证：AE平分DAB∠；(2)过点A作AF∥BE，过点B作BF∥AE，AF、BF交于点F，连接EF，求证：EF AB=．6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE;(2)四边形OCFD是矩形。

数学北师大版九年级上册第1章1.2矩形的性质与判定(3)同步训练(含解析)

数学北师大版九年级上册第1章1.2矩形的性质与判定（3）同步训练（含解析）B.C. 3D.5.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DC= ，则BE的长为（）A.B.C.4D.26.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB ＝120°，AD＝2，点E是BC的中点，连结OE，则OE 的长是（）A.B. 2C.2D.47.如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A.AC＝DEB.AB＝ACC.AD＝ECD.OA＝OE8.如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：①m+n=q+p；②m+p=n+q；③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；④若m=n，则E点一定在BD上．其中正确结论的序号是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④9.如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）A.15B.20C.35D.4010.如图，在中，是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于( )A.2B.C.D.二、填空题11.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E为边CD 的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF 长为________.12.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为________．13.如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为________．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC ＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．15.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为________．16.如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过点O 且EF⊥AC 分别交DC 于点F ，交AB 于点E ，点G 是AE 中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°；②△AEF 是等边三角形；③AC=3OG；④S △AOG = 61 S △ABC其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题17.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE 的长．18.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，EF⊥CE 且与AB 相交于点F ，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF ，求AE的长。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

矩形的性质与判定
一．填空题（共6小题）
1．如果▱ABCD成为一个矩形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．
2．如图，在平行四边形中，∠B=60°，AB=4，AD=6，动点F从D出发，以1个单位每秒的速度从D向A运动，同时动点E以相同速度从点C出发，沿BC方向在BC的延长线上运动，设运动时间为t，连接DE、CF．
探究：①当t= s，四边形DECF是菱形；
②当t= s，四边形DECF是矩形．
3．的平行四边形是矩形（填一个合适的条件）．
4．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是．
6．如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30．则（1）PQ= ；（2）第n个矩形的边长分别是．
二．选择题（共10小题）
7．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，
∠CPD=50°，则（）
A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30° B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°
C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°
8．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（）
A．对角相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对边相等
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）
A． B．C． D．
10．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）
A． B． C． D．不确定
11．如图，在矩形ABCD中，AD=30，AB=20，若点E、F三等分对角线AC，则△ABE的面积为（）
A．60 B．100 C．150 D．200
12．如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状，得到▱A1BCD1，若▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，则∠ABA1的度数是（）
A．15° B．30° C．45° D．60°
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=4cm，则矩形ABCD的面积为（）
A．12cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．6cm2
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=2，则AC的长是（）
A．4 B．6 C．8 D．10
15．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为对角线AC的中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC 上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小
16．如图，矩形ABCD由3×4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（）
A．34个 B．36个 C．38个 D．40个
三．解答题（共5小题）
17．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E，试说明AC=CE．
18．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC上，∠AEF的平分线与边AD交于点G，线段EG的反向延长线与∠EFB的平分线交于点H．
（1）当∠BEF=50°（图1），试求∠H的度数．
（2）当E，F在边AB和BC上任意移动时（不与点B重合）（图2），∠H的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠H的度数．
19．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、G分别在AD、BC上，且DE=BG=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFGH是什么特殊四边形？并证明你的判断．
20．已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，
求证：DF=AB．
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE=AD，又DF⊥AE于点F
（1）求证：CE=EF；
（2）若EF=2，CD=4，求矩形ABCD的面积．
参考答案与试题解析
一．填空题
1．∠A=90°
2．①4；②2．
3．有一个角是直角（答案不唯一）
4．DF=DE且DF⊥DE
5．≤AM＜2
6．10×，5×
二．选择题
7．A
8．B
9．C
10．C
11．B
12．D
13．B
14．A
15．C
16．D
三．解答题
17．
分析:由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=CE，证BD=CE即可．可通过证四边形BDEC是平行四边形，从而得出BD=CE 的结论．
解答: 解：在矩形ABCD中，AC=BD，
AD∥BC．
又∵CE∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
∴BD=EC，
∴AC=CE．
18．
分析:（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠EFB=40°，所以∠EFH=20°，又由平角定义，可求∠AEF=130°，所以∠GEF=65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可得∠H=45度．
（2）运用（1）中的计算方法即可得到，∠H的大小不发生变化．
解答: 解：（1）∵∠B=90°，∠BEF=50°，
∴∠EFB=40°．
∵GE是∠AEF的平分线，HF是∠BFE的平分线，
∴∠GEF=65°，∠EFH=20°．
∵∠GEF=∠H+∠EFH，
∴∠H=65°﹣20°=45°．
（2）不变化．
∵∠B=90°，
∴∠EFB=90°﹣∠BEF．
∵GE是∠AEF的平分线，HF是∠BFE的平分线，
∴∠GEF=∠AEF=（180°﹣∠BEF），∠EFH=∠EFB=（90°﹣∠BEF）．
∵∠GEF=∠H+∠EFH，
∴∠H=∠GEF﹣∠EFH=（180°﹣∠BEF）﹣（90°﹣∠BEF）=45°．
19．
分析:（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBG和AECG，推出EH∥FG，EF∥HG，推出平行四边形EFGH，根据矩形的判定推出即可．
解答:解：（1）△BEC是直角三角形：理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE===，
同理BE=2，
∴CE2+BE2=5+20=25，
∵BC2=52=25，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）四边形EFGH为矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BG，
∴四边形DEBG是平行四边形，
∴BE∥DG，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BG，
∴AE=CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AG∥CE，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形．
20．
分析:根据矩形性质得出∠B=∠DFA=90°，AD∥BC，求出∠DAF=∠AEB，△AFD≌△EBA，根据全等得出即可．解答:证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，
∴∠B=∠DFA=90°，AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
在△AFD和△EBA中，
，
∴△AFD≌△EBA（AAS），
∴DF=AB．
21．
分析:（1）连接DE，利用矩形的性质，则可证得Rt△ABE≌Rt△DFA，进一步可证得Rt△DFE≌Rt△DCE，则可证得结论；
（2）设BE=x，则AF=x，AE=x+2，在Rt△ABE中，利用勾股定理，可求得AE，则可求得BC的长，可求得矩形ABCD 的面积．
解答:证明：
（1）如图，连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°．
又∵AD=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△DFA．
∴AB=CD=DF．
又∵∠DFE=∠C=90°，DE=DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE．
∴EC=EF；
（2）∵EF=EC=2，CD=AB=4，
∴设BE=x，则AF=x，AE=x+2．
在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，
∴42+x2=（x+2）2．
解这个方程得：x=3，
∴BC=5．
∴矩形ABCD的面积=5×4=20．。

【文库精品】九年级数学上册 矩形的性质与判定课时练习 (新版)北师大版