线段的垂直平分线的性质与判定
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质和判定定理》教案、教学设计
2.加强直观演示，利用教具、多媒体等教学手段，帮助学生形象地理解线段垂直平分线的性质和判定定理。
3.引导学生主动参与课堂，鼓励学生提问、发表见解，培养学生的自主学习能力和思考习惯。
4.拓展课堂练习，设计具有梯度、挑战性的习题，使学生在解决问题的过程中，巩固所学知识，提高综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过实际操作、观察和分析，引导学生发现线段垂直平分线的性质和判定定理。
-教师可以组织学生进行小组讨论、合作探究，通过观察线段垂直平分线的实例，引导学生发现性质和判定定理。
-学生在自主探究过程中，培养观察、分析、总结的能力。
2.运用数形结合的方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
5.练习巩固，拓展提高。
-设计形式多样的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
-通过练习，让学生在巩固知识的同时，提高解决问题的能力，拓展思维深度和广度。
6.反馈评价，总结反思。
-教学结束后，组织学生进行自我评价和同伴评价，反思学习过程中的收获和不足。
-教师根据学生的反馈，进行教学反思，调整教学策略，以促进教学效果的提升。
-学生可以通过写学习心得、画思维导图等方式，对自己的学习进行梳理和总结。
6.预习任务：
-布置下一节课的预习任务，让学生提前了解下节课将要学习的内容，为课堂学习做好准备。
2.提高题：设置一些有一定难度的题目，让学生在小组内合作完成，培养学生的团队协作能力。
3.拓展题：设计一些富有挑战性的题目，激发学生的思维潜能，提高学生的创新能力。
（五）总结归纳
1.学生总结：教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结线段垂直平分线的性质和判定定理。
线段垂直的性质和判定
线段垂直的性质和判定1、线段垂直平分线的性质及判定1线段的垂直平分线穿过线段中点并垂直于线段的直线称为线段的垂直平分线，也称为“垂直线”。
垂直平分线可视为一组与线段两端距离相等的点。
垂直平分线是线段的对称轴。
2自然（1）垂直平分线是垂直的，平分线是它的线段；（2）垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等；（3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，称为外圆心，该点到三个顶点的距离相等；三。
垂直平分线的确定同时必须满足以下要求：（1）直线通过线段中点；（2）直线与线段垂直。
2、线段垂直平分线性质的几个例子以下陈述中什么是正确的___A.如果$AP=-压裂12AB$，则点$p$是线段$AB的中点$B.如果$AP=Pb$，则点$p$是线段$AB的中点$C.如果$AB=2PB$，则点$p$是线段$AB的中点$D.如果$AP=Pb=-压裂12AB$，则点$p$是线段$AB的中点$答案：D分析：如果一个点是线段的中点，它必须同时有两个条件：（1）该点必须在线段上；（2）它把线段分成两条相等的线。
在a中，如果点$p$不在线段$AB$上，尽管它满足$AP=-frac12AB$，但点$p$不是线段$AB$的中点，a是错误的；在B中，如果点$p$不在线段$AB$上，虽然满足$AP=Pb$，但点$p$不是线段$AB$的中点，B是错误的；在C中，如果点$p$不在线段$AB$上，虽然满足$AB=2PB$，但点$p$不是线段的中点段$AB$，C是错误的，所以选择D。
2、线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。
判定方法1.当一条直线垂直于一个平面时,则这条直线垂直于平面上的任何一条直线,简称线面垂直则线线垂直。
2.由三垂线定理平面上的一条线和过平面上的一条斜线的影垂直,则这条直线与斜线垂直。
性质①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直一定会出现90°②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
线段垂直平分线的性质和判定(分层作业)(解析版)
13.1.2线段垂直平分线的性质和判定夯实基础篇一、单选题：1．如图，△AB C中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】设边AB的垂直平分线交AB于点E，∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案为：B.【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键.2．如图，在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠AC B．若BE=2，则AE的长为（）AB．1C D．2【答案】B【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=12CE=1．故选B．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1．3．如图所示，在△AB C中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE.下列结论中，错误的是()A．AD=CD B．BE>CDC．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD【答案】D【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：由作图可得，DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD，∴点D为AB的中点.∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD为Rt△ABC的边AB上的中线，∴CD=AD=BD，故A选项正确；∵DE⊥AB，∴Rt△ADE中，AE＞A D.∵AE＞AD。
八年级垂直平分线知识点
八年级垂直平分线知识点垂直平分线是初中数学重要的知识点之一，其在几何问题中有着广泛的应用。
本篇文章将为大家详细介绍关于八年级垂直平分线的知识点。
一、垂直平分线的定义垂直平分线是指一条线段将另一条线段垂直平分的直线。
简单来说，就是把一条线段分成两段长度相等且垂直的线段。
二、如何求垂直平分线1、传统方法传统方法是一种利用勾股定理进行求解的方法。
假设线段AB 的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），垂直平分线上的点为P（x，y）。
则有以下公式：(x - (x1+x2)/2)² + (y - (y1+y2)/2)² = ((x2-x1)/2)² + ((y2-y1)/2)²该公式中等号右边是线段AB长度的一半，等号左边是线段AP 长度的平方与线段PB长度的平方之和。
2、向量法向量法是一种可以简化计算的方法。
如果线段AB的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则垂直于AB的向量为(-（y2-y1），x2-x1)。
具体操作如下：首先，将线段AB的中点的坐标求出来，记为C(xc,yc)然后，将AB的两个端点坐标作为一个向量，记为u(x2-x1,y2-y1)接着，求出u的一个垂直向量v，记为v(-（y2-y1），x2-x1)最后，直线的方程为(PC)·v=0，即[(x-xc)(-（y2-y1）)+(y-yc)(x2-x1)]=0三、垂直平分线的性质1、垂直平分线上的点到AB两个端点的距离相等。
2、垂直平分线上任意一点与AB两个端点之间的两条线段的长度相等。
3、垂直平分线将线段AB分成的两个线段长度相等。
4、线段垂直平分线的两个部分互为相反数。
四、垂直平分线的应用垂直平分线在几何问题中有着广泛的应用。
举例如下：1、判断点C是否在直线AB的逆时针方向我们可以通过垂直平分线来解决。
如果点C在直线AB的逆时针方向，则垂直AB且平分AB的线段的中点在C的左侧。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。
性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。
性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。
第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。
判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。
2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。
方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。
第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。
3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。
3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。
第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。
4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。
4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。
第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。
5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案第一章：引言1.1 课程导入利用多媒体展示线段的垂直平分线的实例，引导学生观察和思考。
提问：什么是线段的垂直平分线？它有什么特殊的性质和应用？1.2 学习目标让学生了解线段的垂直平分线的定义和性质。
培养学生运用线段的垂直平分线解决实际问题的能力。
第二章：线段的垂直平分线的性质2.1 性质1：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等通过实际例子，引导学生发现并证明线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
2.2 性质2：垂直平分线与线段垂直通过几何画图软件展示垂直平分线与线段的垂直关系，引导学生理解和证明。
2.3 性质3：垂直平分线上的任意一点到线段的另一端点的距离等于线段的长度的一半通过实际例子，引导学生发现并证明垂直平分线上的任意一点到线段的另一端点的距离等于线段的长度的一半。
第三章：线段的垂直平分线的判定3.1 判定1：如果一条直线垂直平分一条线段，这条直线是该线段的垂直平分线通过实际例子，引导学生理解和证明判定1。
3.2 判定2：如果一条直线与一条线段垂直且通过线段的中点，这条直线是该线段的垂直平分线通过实际例子，引导学生理解和证明判定2。
第四章：线段的垂直平分线的应用4.1 应用1：线段的长度计算引导学生运用线段的垂直平分线的性质计算线段的长度。
4.2 应用2：线段的垂直平分线与线段的交点求解引导学生运用线段的垂直平分线的性质求解线段的垂直平分线与线段的交点。
第五章：总结与拓展5.1 总结让学生回顾本节课学习的线段的垂直平分线的性质和判定，巩固知识点。
5.2 拓展引导学生思考线段的垂直平分线在实际问题中的应用，提升学生的解决问题的能力。
第六章：例题解析6.1 例题1：已知线段AB，求其垂直平分线的方程引导学生利用性质1和性质2，通过给定的线段AB的两个端点坐标，求出其垂直平分线的方程。
6.2 例题2：已知线段AB的垂直平分线方程，求线段AB的中点坐标引导学生利用判定1和判定2，通过已知的线段AB的垂直平分线方程，求出线段AB的中点坐标。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 导入：引入线段的垂直平分线的概念，让学生直观地了解垂直平分线的作用和意义。
1.2 教学内容：1.2.1 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直平分线是线段上一点到线段两端点的距离相等的直线。
1.2.2 垂直平分线的性质：引导学生探究垂直平分线的性质，如垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，垂直平分线与线段垂直相交等。
1.3 教学活动：1.3.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线概念的理解。
1.3.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的性质，并找出相关的证据和证明方法。
1.4 作业布置：布置一些有关垂直平分线性质的练习题，巩固所学知识。
第二章：垂直平分线的判定2.1 教学内容：2.1.1 垂直平分线的判定方法：介绍垂直平分线的判定方法，即如果一条直线垂直平分一条线段，则该直线满足一定的条件。
2.1.2 判定条件的应用：引导学生理解和掌握判定条件，并能够运用到实际问题中。
2.2 教学活动：2.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线判定方法的理解。
2.2.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的判定条件的应用，并找出相关的证据和证明方法。
2.3 作业布置：布置一些有关垂直平分线判定的练习题，巩固所学知识。
第三章：垂直平分线的性质与判定综合应用3.1 教学内容：3.1.1 综合应用：引导学生将垂直平分线的性质与判定方法综合运用到实际问题中，解决一些与垂直平分线相关的问题。
3.1.2 问题解决：让学生尝试解决一些与垂直平分线相关的问题，如寻找线段的垂直平分线、判断直线是否为线段的垂直平分线等。
3.2 教学活动：3.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，理解综合应用的意义和方法。
3.2.2 小组讨论：让学生分组讨论如何综合运用垂直平分线的性质与判定方法解决实际问题，并找出相关的证据和证明方法。
线段的垂直平分线的性质(评课)
线段的垂直平分线的性质（评课）1.垂直性质：垂直平分线是线段的垂直平分线，即将一条线段分为两段等长的线段，且这两段线段互相垂直。
2.等长性质：垂直平分线把一条线段分成两段相等的线段，即这两段线段的长度相等。
3.对称性质：线段与其垂直平分线的交点，可以将线段分为两部分，分别与垂直平分线两端的交点对称。
4.唯一性质：任意一条线段都有唯一的垂直平分线。
这些性质使得垂直平分线在几何学中有广泛的应用和重要的意义。
首先，垂直平分线的垂直性质使得它在解决几何问题时非常有用。
例如，在绘制正方形时，可以通过线段的垂直平分线来确定正方形的边界，保证四个角是直角。
在绘制正多边形时，也可以利用垂直平分线来确定多边形的中心和边的方向。
其次，垂直平分线的等长性质使得它在测量和构造线段时非常重要。
在实际生活中，我们常常需要将一段线段分成两段相等的线段。
通过画出线段的垂直平分线，我们可以利用其等长性质来划分线段。
另外，垂直平分线的对称性质使得它在对称构造中非常有用。
通过线段与其垂直平分线的交点，我们可以将线段分成两部分并实现对称。
这对于构造对称图形和解决对称问题非常有帮助。
在工程设计和建筑中，对称性也是非常重要的考虑因素。
最后，垂直平分线的唯一性质使得它的应用更加具体和准确。
通过唯一性质，我们可以确保要分割的线段只能通过一条线来进行分割，而不会引起混淆和误解。
综上所述，线段的垂直平分线具有垂直性质、等长性质、对称性质和唯一性质等重要性质。
这些性质使得垂直平分线在几何学中得到广泛应用，对于实际生活和工程建设中的测量、构造、对称等问题有着重要的意义。
《线段的垂直平分线》
习题二：求解矩形中垂直平分线的长度问题
总结词
求解矩形中垂直平分线的长度问题，需要理解矩形的性质以及矩形中垂直平分线的定义和性质。
详细描述
首先，我们需要明确矩形的性质。在矩形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，并且AC=BD。接着，我们可以利用 矩形的性质来求解垂直平分线的长度问题。具体地，由于AC是BD的垂直平分线，我们可以得到AB=AD， BC=DC。因此，我们可以得到矩形中垂直平分线的长度为AC或BD的长度。
《线段的垂直平分线》
2023-11-08
目 录
• 定义与性质 • 定理与推论 • 垂直平分线的判定 • 垂直平分线的作法 • 垂直平分线的应用 • 习题与解析
01
定义与性质
定义
垂直平分线
一条直线把线段分成两段，其中每段与原线段的两个端点之间的线段相等，这 条直线叫做这条线段的垂直平分线。
中垂线
06
习题与解析
习题一
总结词
证明三角形中垂直平分线的性质定理，需要理解三角 形中线、高线的概念以及它们与垂直平分线的关系。
详细描述
首先，我们需要明确三角形的中线与垂直平分线的定 义。在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，则有 AB=AC，BD=DC，AD垂直平分BC。接着，我们可以 利用三角形全等的证明方法来证明垂直平分线的性质 定理。具体地，由于三角形ABD与三角形ACD全等， 我们可以得到角BAD=角CAD，从而证明AD是角BAC 的角平分线。此外，我们还可以证明AD是BC的高线。 因此，我们证明了三角形中垂直平分线的性质定理。
总结词
经过一个已知点作一条线段的垂直平分线， 方法有多种，其中一种是利用中垂线的性质 。
详细描述
首先，需要明确线段的中点，然后过该中点 作一条与原线段垂直的直线，即为所求的垂 直平分线。
线段垂直平分线的性质和判定
垂直平分，垂足为点 O.
(1) 找出图中相等的线段；
(2) 若 OE，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段，
试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1) 由垂直平分线的性质可得 出相等的线段；
EC
(2) 由条件可证明△AOC≌△AOD，A
O
B
可得 AO 平分∠DAC，根据角平分线 的性质可得 OE＝OF.
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 E ，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则 △BCE 的周长 是 16 cm.
A
D E
B
C
6. 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB
于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系.
方法总结：三角形任意两边的垂直平分线的交点到 三角形三个顶点的距离相等.
例4 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中
点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于
点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD. 解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADC＝∠ECF， 再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，A D
C. 三条高的交点
D. 三边垂直平分线的交点
3. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合有 无数 种.
4. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA＝
EB，PA＝PB； ② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB； ③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点； ④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB． 其中正确的有 ①②③ (填序号).
平面几何中的垂直平分线有哪些性质
平面几何中的垂直平分线有哪些性质在平面几何中，垂直平分线是指同时垂直于某条线段且将该线段平分成两等分的线。
垂直平分线是一个非常重要的概念，在数学和几何学中有广泛的应用。
本文将介绍垂直平分线的性质，以及它在几何学中的应用。
一、垂直平分线的性质1. 垂直性：垂直平分线与所平分的线段垂直相交。
这是垂直平分线最基本的性质之一，也是其命名的来源。
在平面几何中，两条互相垂直的线段具有特殊的位置关系，可以相互平分对方。
2. 等分性：垂直平分线将线段平分成两等分。
具体来说，从线段的两个端点到垂直平分线的距离相等，使得线段被平分成两个相等的部分。
3. 独特性：垂直平分线是唯一的。
对于任意给定的线段，存在且仅存在一条垂直平分线。
这是因为垂直平分线同时满足垂直性和等分性，只有满足这两个条件的直线才能称为垂直平分线。
二、垂直平分线的应用1. 构造垂直平分线：利用垂直平分线的性质，我们可以通过一些简单的几何构造来绘制垂直平分线。
其中一种方法是使用圆和直线相交的原理，利用圆上的点到圆心的距离相等的特点，可以构造出垂直平分线。
2. 证明两条线段垂直：通过证明两条线段的垂直平分线相交于一点，可以推断出这两条线段是互相垂直的。
这种方法在几何证明中经常被用到，是判断线段垂直性的重要手段之一。
3. 确定不同图形的性质：垂直平分线的性质在确定不同图形的性质时起着重要作用。
例如，在研究三角形的外接圆时，三角形的三条边的垂直平分线可以交于一点，这个点即是三角形外接圆的圆心。
4. 解决几何问题：在解决几何问题时，垂直平分线的性质常常被用来简化问题，并得出准确的结论。
例如，利用垂直平分线的性质可以求解线段的中点、确定多边形的对称中心等。
总之，垂直平分线是平面几何中一个重要的概念，具有垂直性、等分性和独特性等基本性质。
垂直平分线在几何学中有广泛的应用，可以用于构造、证明、确定图形的性质以及解决各种几何问题。
通过深入理解和应用垂直平分线的性质，我们可以更好地理解和掌握平面几何的知识，并应用于实际问题中。
垂直平分线定义性质及判定
2、如图; NM是线段AB的中垂线
下列说法正确的有：①②③&
①AB⊥MN,②AD=DB， ③
MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是
A
MN的垂直平分线
A
D
C
M
D
B
N
如图;若AC=12，BC=7，AB的垂直平分
线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长
A
& 解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
在何处？你的方案是什么?
B
P30：7题
L
高速公路
7、如图;已知∠AOB和定点P、Q，求作：点M，使 PM=MQ，且点M到∠AOB两边的距离相等&
思考：生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活;计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等&
l是AB的垂直平分线;观察P1A和
P3
P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之
P2
间的关系？
P1
A
B
l
求证：
线段垂直平分l 线上的点到这条线段两端的距离相等
P
A C
能不能写出已知求证并 B 证明呢？
已知：直线m是线段AB的垂直平分线;
P为直线m上的任意一点；
m
P
求证：PA=PB.
证明：通过证明两个三角形全等．
与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平分 线上&
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等（性质
点到线段两个 端点距离相等
PA=PB
P 与一条线段两个端点距离相 等的点;在这条线段的垂直平 分线上（判定
垂直平分线的性质与判定
垂直平分线的性质与判定垂直平分线是几何图形中的一种重要类型，其几何图形的性质与判定与内聚离散几何形式有关。
本文将详细讨论垂直平分线的性质与判定，以及其在实际应用中的重要性。
首先，我们来看看垂直平分线是什么。
垂直平分线又称为垂直线，它是在某一条直线上，将该直线分成两等份的一种几何线段。
它以线段AB为基础，由点C在AB上垂直到AB上，AB分割成AC和CB两段等长的线段。
点C就是垂直平分线的交点。
其次，垂直平分线的性质与判定。
由定义可知，AB的垂直平分线的性质是：它在AB上垂直分割AB，使AB的两段等长，AB的中点即AB的垂直平分线的交点。
显然，垂直平分线的性质是由它是AB上垂直分割AB，使AB的两段等长而决定的。
判定垂直平分线是否存在可以依据它是AB上垂直分割AB，使AB的两段等长的性质，通过直线AB的斜率来进行判定。
如果两条直线的斜率相乘结果为-1，则说明两条直线是垂直的，也就说它们存在一个交点，而这个交点就是垂直平分线的交点。
因此，可以得出结论：当两条直线的斜率相乘结果为-1时，两条直线有一个公共点，这个公共点就是垂直平分线的交点。
最后，重点谈一谈垂直平分线在实际应用中的重要性。
垂直平分线在实际应用中有着广泛的用途。
其一，垂直平分线有助于定位几何图形等内聚离散几何形式，从而更好地掌握和表示几何空间信息；其二，垂直平分线构成的三角形可以用作测量和计算面积，从而更好的应用于科学计算、工程设计、地理测量等；其三，垂直平分线在机械自动化系统中有着重要的作用，它可以作为机械机构的基础支撑，从而增强机械机构的稳定性与耐久性。
综上所述，垂直平分线在几何图形中具有重要的性质与判定以及在实际应用中的重要性，它是几何图形中一种重要类型。
因此，我们应该深入研究垂直平分线的性质与判定，掌握其在实际应用中的重要性，以期更好地应用它，促进科学研究的进步与发展。
垂直平分线性质与判定应用
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
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线段的垂直平分线的性质与判定
教学目标：
1、掌握线段垂直平分线的性质和判定。
2、理解线段垂直平分线的性质的推导过程。
3、培养学生逆向思维能力和严谨的学习品质。
重点与难点：
重点：线段垂直平分线的性质与判定。
难点：理解线段垂直平分线的性质的推导过程。
教学过程：
＜一＞创设情境
线段AB的垂直平分线与线段AB的对称轴有什么关系？
＜二＞探究新知
1.直线l是线段AB的垂直平分线，P是l上一点，试观察PA.PB的长度有什么关系？
2.不论P点在直线l上怎样移动，上述结论还成立吗？你能说一说理由吗？
说明：1、因为l是线段AB的直平分线，从而点A与点B关于直线l对称，于是沿l折叠时A与B重合，又P对称在对称轴l上，所以PA=PB.
2、在探究新知问题2的过程要培养学生用运动的、变化观点来分析事物，让P点在L上移动，在这个过程中采用让学生量一量，测一测，运用由“特殊”到“一般”的思维方法来实现这一教学目标。
3、通过上述分析，你能得出什么结论？
由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的端点的距离相等。
阅读与分析
反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段的直平分线上？设P点和A，B两点的距离相等，作∠APB的平分线PC（由折叠得到）。
在关于直线PC的轴反射下，射线PB与PA重合，又由于PA ＝PB。
因此B点与A重合。
从而A，B两点关于直线PC对称，因此PC是线段AB的垂直平分线。
（1）你能根据上述短文画出几何图形？
（2）通过上述的阅读与分析你得到什么结论？
由此得出：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
<三>应用新知
1.尺规作图是把限定用直尺和圆规来画图。
下面是用尺规作图的方法作线段AB的垂直平分线的步骤。
(1)分别以点A和B为圆心，以大于1/2AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和D。
(2)作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
问题＜一＞：请根据上述步骤作出AB的垂直平分线。
问题＜二＞：你能说出上述作图的根据吗？
理由：
因为两点确定一条直线，所以要作出线段AB的垂直平分线，只要找
出线段AB的垂直平分线上任意两点就可以了。
根据“和一条线段两端距离相等的点，在这条垂直平分线上”。
反馈练习：
1、线段AB、BC的垂直平分线相交于点P，试问线段PA、PB、PC 的长度是否相等？你能说一说理由吗？
2、有一家工厂的三栋厂房形成了一个三角形，为方便职工生活，准备建一个食堂，请问食堂建在什么位置才能使三栋厂房内的工人走的路相等？
小结：
1. 线段垂直平分线有哪些性质？
2.如何判定一条直线是否为线段的垂直平分线?。