初中数学竞赛教程8、三角形的初步知识
三角形的基本认识和性质
三角形的基本认识和性质三角形是初中数学中的基础知识之一，是由三条边和三个内角组成的多边形。
在几何学中，三角形有着独特的性质和特点。
本文将介绍三角形的基本认识和性质。
一、三角形的基本元素三角形由三条边和三个内角组成。
根据三角形的边长，我们可以将其分类为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
等边三角形的三条边长度相等；等腰三角形的两条边长度相等；一般三角形的三条边长度都不相等。
二、三角形的内角和外角三角形的三个内角之和为180度。
其中，当一个内角大于90度时，该角称为钝角；当一个内角等于90度时，称为直角；当一个内角小于90度时，称为锐角。
与内角对应的是三角形的外角，外角是指与三角形的一个内角相邻且不重合的角。
三角形的外角和等于360度。
三、三角形的周长和面积三角形的周长是指三个边长的总和。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，则周长可以表示为P=a+b+c。
三角形的面积是指三角形所围成的空间。
常用的计算三角形面积的公式是海伦公式和面积公式。
海伦公式适用于已知三边长的情况，可以表示为S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是三边长之和的一半。
面积公式适用于已知底边和高的情况，可以表示为S=1/2×底边×高。
四、三角形的重要性质1. 三角形内任意两边之和大于第三边。
这是三角形存在的基本条件。
2. 等边三角形三个内角都是60度，等腰三角形的两个底角相等。
3. 锐角三角形的三个内角都是锐角；直角三角形的两条直角边满足勾股定理；钝角三角形的一个内角是钝角。
4. 底边相等的等腰三角形的顶角相等；底边相等的等腰三角形的两腰相等。
5. 边长相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边和对应角都相等。
6. 三角形的中线相等并且平行于底边的两边平分对底角；三角形的高线相等并垂直于底边；三角形的角平分线可以平分对应的内角。
五、应用举例三角形的性质在几何学中有着广泛的应用。
例如，通过三角形的面积公式，我们可以计算出塔楼的高度；通过三角形的全等性质，我们可以判断两个图形是否相等；通过三角形的角平分线性质，我们可以找到图形的对称轴等。
三角形初步知识点
第一单元知识点1.1 认识三角形（1）1.三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的三边关系：（1）三角形任何两边的和大于第三边（2）三角形任何两边的差小于第三边1.1 认识三角形（2）1.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180０2. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3. 三角形的中线：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线4. 三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线三角形的角平分线，中线，高线都是线段1.2 定义与命题（1）1、能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2、判断某一件事情正确或不正确的句子叫做命题。
3、我们在数学上学习的命题一般由条件和结论两部分组成。
条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。
这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论1.2 定义与命题（2）1、正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题2、人们经过长期实践后公认为正确的命题称为基本事实3、用推理的方法判断为正确命题叫做定理1.3 证明（1）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
1.3证明（2）三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角叫做该三角形的外角。
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
1.4全等三角形（1）能够重合的两个图形称为全等图形。
能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
三角形的基本概念和性质
三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段相连而成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用三角形。
一、基本概念1. 三角形定义：三角形是由三条线段组成的图形，三条线段分别称为三角形的边。
三个顶点将边相连，形成三个内角和三个外角。
2. 顶点：三角形的顶点是三个不共线的点，它们确定了三角形的形状和大小。
3. 边：三角形的边是连接顶点的线段，它们是三角形的基本构成元素。
4. 内角：三角形的内角是由两条边相交所形成的角，共有三个内角。
5. 外角：三角形的外角是由一条边和延长线所形成的角，共有三个外角。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角也相等，都是60度。
5. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则该三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角也相等。
6. 直角三角形：如果一个三角形拥有一个直角（90度），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的两条边平方和等于斜边平方，即a² + b² = c²。
7. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则该三角形是锐角三角形。
8. 钝角三角形：如果一个三角形中有一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。
三、应用三角形的基本概念和性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。
1. 测量：三角形的性质使得它成为测量地理距离、高度以及倾斜角度的重要工具。
2. 工程设计：在建筑和工程设计中，三角形的性质用于计算角度、边长和面积，保证结构的稳定和准确。
初中数学点知识归纳三角形的概念和性质
初中数学点知识归纳三角形的概念和性质初中数学点知识归纳：三角形的概念和性质三角形是初中数学中的重要概念之一，它不仅有着丰富的性质，还有着广泛的应用。
本文将对三角形的概念和性质进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、三角形的定义和基本要素三角形是由三条线段组成的图形，它是几何形状中最简单的多边形之一。
在三角形中，我们通常用大写字母A、B、C来表示三个顶点，用小写字母a、b、c来表示它们所对应的边长。
根据三角形的边长，我们可以将三角形划分为以下几种类型：1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形，记作△ABC。
2. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形，记作△ABC。
3. 直角三角形：其中一条角为直角（90°）的三角形，记作△ABC。
4. 钝角三角形：其中一条角大于90°的三角形，记作△ABC。
5. 锐角三角形：其中三个角都小于90°的三角形，记作△ABC。
二、三角形的性质1. 三角形内角和定理：任意三角形的内角和等于180°。
即∠A +∠B + ∠C = 180°。
这个定理的证明可以通过利用平行线、相似三角形等几何性质进行推导。
此外，我们还可以通过实际测量和验证来理解这个性质。
2. 三角形的外角性质：一个三角形的外角等于它所对应的两个内角的和。
即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A，其中∠D为三角形外角，∠A、∠B、∠C为三角形内角。
这个性质可以通过绘制三角形的外角，并找出它与内角之间的关系进行观察和验证。
3. 三角形的边长关系：（1）三角形两边之和大于第三边：对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AB + AC > BC，BC + AC > AB。
这个性质也被称为三角形的三边关系定理，可以通过绘制三角形、实际测量和验证来加深理解。
（2）等边三角形的边长关系：对于等边三角形△ABC，它的三个边长a、b、c相等。
八年级三角形知识点归纳
八年级三角形知识点归纳三角形是中学数学中比较基础的一个概念，也是数学中常见的一种图形。
在初中数学中，三角形是一个非常重要的知识点，今天我们来回顾一下八年级阶段所学的三角形知识点。
一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段的交点被称为一个顶点。
三角形是由三个顶点和三个边组成的，且三角形的边和顶点是一一对应的。
根据三角形的边长关系和角度关系，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长关系：等边三角形：三边相等的三角形。
等腰三角形：至少有两边相等的三角形。
普通三角形：三边均不相等的三角形。
2. 根据角度关系：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
直角三角形：其中一个角是直角的三角形。
钝角三角形：至少有一个角是钝角的三角形。
二、三角形的基本性质1. 三角形的内角和等于180度。
即三角形的三个角的度数之和为180度。
可以用以下公式表示：a + b + c = 180其中，a、b、c分别表示三角形的三个角的度数。
2. 等边三角形的三个角都是60度。
因为等边三角形的三边相等，所以三个角都必须相等。
而三个相等的角的度数之和必须为180度，因此每个角的度数都是60度。
3. 等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的两边相等，所以两个底角也必须相等。
4. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b² = c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边的长度，c为直角三角形的斜边长度。
5. 三角形的面积可以用海伦公式和正弦定理来计算。
海伦公式：若a、b、c分别为三角形的三个边长，p为三角形半周长，则三角形面积S可以用以下公式计算：S = √(p × (p - a) × (p - b) ×(p - c))正弦定理：若a、b、c分别为三角形的三个边长，A、B、C分别为三角形的三个角，则有以下公式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。
三角形的初步认识
三角形的初步认识三角形是初中数学中的基础概念之一。
它是由三条线段连接在一起形成的，并且围成了一个封闭的区域。
在这篇文章中，我们将探讨三角形的性质和应用。
一、三角形的定义三角形是由三个顶点和它们之间的三条线段组成的图形。
每个顶点都由两条线段相交而成，并且这些线段称为三角形的边。
三角形中的任何两个边都会在它们的端点处相交，并且它们形成的角度称为三角形的角。
每个三角形都有三个角和三个边。
二、三角形的分类按照三边的长度，三角形可分为三类。
等边三角形是指三边的长度相等。
等腰三角形是指有两条边的长度相等。
其它三边不等的三角形被称为普通三角形。
按照角度的大小，三角形也可以被分类为三类。
直角三角形是指一个角为90度，且其他两个角之和为90度。
锐角三角形是指每个角的大小都小于90度。
钝角三角形是指至少有一个角的大小大于90度。
三、三角形的性质一个三角形的内角之和总是等于180度。
这个定理被称为“三角形内角和定理”。
三边形中，任意两边之和都大于第三边。
这个定理被称为“三角形两边之和大于第三边定理”。
对于等边三角形，其内部的每个角都是60度。
对于等腰三角形，其底部的两个角是相等的。
四、三角形的应用三角形有许多应用，包括三角函数、三角测量和三角形面积的计算。
三角函数是指依据三角形中的角度来计算三角形中各个边的长度比例的函数。
在三角函数中，包括三角正弦、三角余弦和三角切线等。
三角测量是指利用三角形的性质来测量距离或高度的过程。
在实际生活中，三角测量被广泛应用于建筑、测量和地理领域等。
三角形的面积可以通过使用海龙公式来计算。
海龙公式是指通过三角形的三个边长来计算其面积的公式。
总之，在数学中，三角形是一个基础概念，并且它有着广泛的应用。
学习三角形的性质和应用是数学学习的关键，而本文所提供的信息提供了三角形的初步认识，是学生们所需掌握的知识。
初中数学知识归纳三角形的概念和性质
初中数学知识归纳三角形的概念和性质三角形是初中数学中一个基础而重要的几何概念。
在学习三角形的过程中，我们要掌握三角形的概念和基本性质。
本文将对初中数学中三角形的概念和性质进行归纳总结。
一、三角形的定义三角形是由三个线段组成的图形，它的三条边和三个内角都具有一定的关系。
任意两边之和大于第三边，任意两角之和小于180度。
根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等不同类型。
二、三角形的分类1. 根据边的关系分类(1) 等边三角形：三条边的长度都相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角的关系分类(1) 直角三角形：一个角为直角（90度）。
(2) 钝角三角形：一个角大于90度。
(3) 锐角三角形：三个角都小于90度。
3. 根据边和角的关系分类(1) 正三角形：三个角都是锐角，三条边长相等。
(2) 直角等腰三角形：一个角为直角，两条边相等。
(3) 任意两边相等的三角形：两条边相等。
三、三角形的性质1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。
即∠A+∠B+∠C=180°。
2. 三角形两边之和大于第三边的定理两边之和大于第三边，即AB+AC>BC， AB+BC>AC，AC+BC>AB。
这一性质是判断一个图形是否为三角形的基本条件。
3. 三角形两角之和小于180度的定理两角之和小于180度，即∠A+∠B<180°，∠A+∠C<180°，∠B+∠C<180°。
这一性质也是判断一个图形是否为三角形的基本条件。
4. 等腰三角形的性质在等腰三角形中，底边上的两个角相等，两边相等。
5. 等边三角形的性质在等边三角形中，三个角都相等，每个角都为60度。
6. 直角三角形的性质在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即AB²+AC²=BC²，AB²+BC²=AC²，AC²+BC²=AB²。
三角形的初步认识重要知识点总结
初中一年级数学（下）跟踪辅导讲义（一）三角形的初步认识重要知识点总结一、三角形的基本概念三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。
二、三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。
三、三角形的基本性质1.三角形的内角和是180°（总结发现）。
2.三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）。
3.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和（教材P7做一做）。
四、几条重要的直线1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分线上的点到角两边的距离相等）；2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；3.三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。
锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。
而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。
4.中垂线：结合了高和中线的性质在一起。
中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
5.线段的垂直平分线：垂直平分线到线段两端的距离相等。
五、全等三角形1.全等图形：能够完全重合的两个图形。
2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形（教材经典例题P26）。
3.对应边：能够相互重合的顶点；对应顶点：相互重合的边；对应角：相互重合的角。
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
注意“对应”二字。
*4.全等三角形的条件（判定）三边对应相等SSS；一个角和夹这个角的两边对应相等SAS；两个角和这两个角的夹边对应相等ASA；两个角和其中一个角的对边对应相等AAS。
问题：为什么SSA不可以判定？六、做三角形做法：教材28注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。
尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。
初中数学知识归纳三角形的性质与判定
初中数学知识归纳三角形的性质与判定三角形是初中数学中的基本图形之一，它具有许多特性和性质。
掌握三角形的性质和判定方法对于解题和证明来说是至关重要的。
本文将对初中数学中常见的三角形性质和判定方法进行归纳总结。
一、三角形的基本概念在深入探讨三角形的性质之前，我们首先需要了解三角形的基本概念。
1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间的组合被称为三角形的边，而相交的端点称为三角形的顶点。
2. 分类：根据三角形的边长关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
二、三角形的性质1. 三角形的内角和性质：三角形的内角和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B和∠C分别表示三角形的三个内角。
2. 三角形的外角性质：三角形的一个内角的补角，就是其对应的外角。
即∠D = 180° - ∠A，∠E = 180° - ∠B，∠F = 180° - ∠C。
3. 三角形的两边之和大于第三边：设三角形的三边长分别为a、b和c，则a + b > c，a + c > b，b + c > a。
如果三条边长中有任意一组边长不满足这个条件，则无法构成三角形。
4. 三角形的两角之和大于第三角：设三角形的三个内角的度数分别为∠A、∠B和∠C，则∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
如果三个内角的度数中有任意一组不满足这个条件，则无法构成三角形。
5. 等边三角形的性质：等边三角形是指三条边的边长相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角的度数都是60°，且三条高度、角平分线和中线的长度都相等。
6. 等腰三角形的性质：等腰三角形是指两条边的边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角的角度相等，而顶角的角度则小于两个底角。
另外，等腰三角形的高度、角平分线、中线都有一些特殊性质。
三角形的初步知识
三角形的初步知识
三角形
1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
2.分类
按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；
按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形、钝角三角形统称为斜角形。
3．一般三角形的性质
(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。
(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
4. 全等三角形
两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。
判定两个三角形全等的公理或定理：
①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS；
注意:SSA、AAA是错误的。
②直角三角形还有HL
1。
三角形的初步认识知识点总结
三角形的初步认识【概念】不在同一条直线．．．．．．．上的三条线段首尾．．．．．．顺次．．相接．．所组成的图形。
用符号“△”表示。
三边：AB 、AC 、BC 。
有时也用a 、b 、c 表示，顶点A 所对应的边BC 用a 表示，顶点B 所对应的边AC 用b 表示，顶点C 所对应的边AB 用c 表示。
三个内角：∠A 、∠B 、∠C 。
【分类】三角形{三边都不相等等腰三角形{底边和腰不相等等边三角形 三角形{直角三角形斜三角形{锐角三角形钝角三角形【基本性质】1、三角形内角和为180°。
2、三边关系 文字语言数学语言理论依据应用两边之和大于第三边在△ABC 中，a+b>c ；b+c>a ；a+c>b 。
两点之间，线段最短。
1、判断是否能组成三角形。
2、已知两边，求第三边取值范围。
两边之差小于第三边在△ABC 中，|a −b |<c ；|b −c |<a ；|a −c |<b 。
3、三角形的稳定性：当三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定。
4、三角形外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
【重要的线段】定义角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
中线 连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段。
高线从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
ABabcC“三线”交点中垂线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
【全等三角形】1、定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
符号：≌（全等于）2、性质：对应边相等，对应角相等。
3、判定：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
第1章三角形的初步知识
第1章三角形的初步知识三角形是数学中基础的图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
在本章中，我们将介绍三角形的初步知识，包括其定义、分类、角度、边长关系以及常见的定理和推论。
一、三角形的定义与分类三角形是由三条线段组成的闭合图形。
它的三个顶点以及相应的线段分别叫做三角形的顶点和边。
我国古代数学家张丘建在《算经》中首次提出了三角形的定义：“有三正角者谓之三角。
” 这个定义说明了三角形的特点：三个内角之和为180度。
根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三边相等，等腰三角形的两边相等，普通三角形的三边都不相等。
二、三角形的角度关系除了边长关系，三角形的角度关系也是研究的重点。
三角形的三个内角之和固定为180度，这就是三角形角度和定理。
根据角度关系，我们可以进一步推导出一些定理和推论。
1. 三角形内角的性质三角形的任意两个内角之和大于第三个内角，也即两边之和大于第三边。
这个性质是由三角形的定义所推导出来的。
利用这个性质，我们可以判断一个三角形是否存在，比如当两边之和等于第三边时，三角形是退化成一条直线。
2. 三角形的外角三角形的每个内角都对应一个外角，外角等于它所对应的两个内角的和。
这个关系常用于解决三角形内角问题。
三、常见定理与推论在三角形的研究中，有一些重要的定理和推论常常被使用。
在这一部分，我们将介绍其中一些。
1. 三角形的中线定理三角形中线定理指出，在三角形的一侧上，连接该侧中点与对边顶点的线段称为中线，三角形的三条中线交于一点，且该点到各顶点的距离相等，即把三角形划分成面积相等的三个小三角形。
2. 三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理指出，三角形的内角的平分线所构成的线段交于一点，该点到各边的距离与边的长度成一定比例。
这个定理常用于几何证明和计算问题中。
3. 三角形的勾股定理勾股定理是三角形中最重要的定理之一。
它说明了直角三角形的边长关系，即直角边的平方等于斜边两边的平方和。
初中数学竞赛教程8三角形的初步知识
2013年暑期初一数学竞赛第八讲：三角形的初步知识【例题解析】例1、在△ABC中，若∠A＝70°－∠B，则∠C等于（）A、35°B、70°C、110°D、140°1、如图．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．2、若三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、无法确定3、如果α、β、γ分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的外角，且α：β：γ=4：2：3，则∠BAC等于（）A、20°B、40°C、60°D、80°4、如图，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．求∠F的度数．5、在△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，则这个三角形的所有内角之和为（）A、360°B、900°C、1260°D、1440°例2、周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？1、现有长度分别为2cm、3cm、4 cm、5 cm的线段，从中任取三条，能组成三角形的个数是。
2、用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不允许火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个OCBAEBD CA3、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，则这样的不同三角形共有（ ） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个5、三角形三条边a 、b 、c 都是质数，且16a b c ++=，则这个三角形是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等边三角形 D 、直角三角形或等腰三角形6、现有11根火柴，用火柴棒首尾连接构成三角形（这11根火柴可以不用完，但不能折 断），则可以搭成的互不全等的三角形个数为（ ） A ．11个 B ．14个 C ．15个 D ．18个例3、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相较于点O ，若△ABC 不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC 的度数。
八年级三角形知识点归纳总结
八年级三角形知识点归纳总结一、三角形的概念。
1. 定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三条边、三个顶点和三个内角。
2. 表示方法。
- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
二、三角形的分类。
1. 按角分类。
- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形可以用“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中∠C = 90°，直角所对的边称为斜边，夹直角的两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
2. 按边分类。
- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都是60°。
三、三角形的性质。
1. 三角形的三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边，即a + b>c，a + c>b，b + c>a。
- 三角形两边之差小于第三边，即a - b<c，a - c<b，b - c<a。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B + ∠C=180°。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，例如∠ACD = ∠A+∠B。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4. 三角形的稳定性。
- 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
例如自行车的车架做成三角形形状是利用了三角形的稳定性。
四、三角形中的重要线段。
1. 三角形的中线。
- 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 性质：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。
三角形初步知识点
三角形初步知识点三角形是几何学中一个常见的形状，具有广泛的应用领域。
本文将介绍三角形的基本定义、性质和分类。
一、三角形的定义和基本性质1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间都连接在一起，形成了三个内角和三个外角。
三角形的三个线段称为边，三个内角称为内角，三个外角则包围整个三角形。
2. 内角和：任意三角形的内角和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
3. 外角和：任意三角形的外角和等于360度。
即∠A' + ∠B' + ∠C'= 360°，其中∠A'、∠B'、∠C'表示三角形每个内角对应的外角。
4. 三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。
即对于三角形ABC，AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小，可以将三角形分为以下几种常见类型：1. 根据边长分类：a) 等边三角形：三条边长相等的三角形，记作△ABC，其中AB = BC = AC。
b) 等腰三角形：两条边长相等的三角形，记作△ABC，其中AB= AC或BC = AC或AB = BC。
c) 普通三角形：三条边长都不相等的三角形，记作△ABC，其中AB ≠ BC ≠ AC。
2. 根据角度大小分类：a) 直角三角形：其中一个内角为直角（90度），记作△ABC，其中∠C = 90°。
b) 钝角三角形：最大的内角大于90度，记作△ABC，其中∠C > 90°。
c) 锐角三角形：三个内角都小于90度，记作△ABC，其中∠A、∠B、∠C均小于90°。
关于三角形的分类，还有一些特殊的组合，如：等边且等角的三角形是正三角形，有一个角为直角的等腰三角形是等腰直角三角形等。
初中数学知识归纳三角形的基本概念
初中数学知识归纳三角形的基本概念三角形，作为几何学的基础概念之一，在初中数学中具有重要的地位和意义。
掌握三角形的基本概念，对于学生进一步学习和理解几何学知识以及解题提供了良好的基础。
本文将对初中数学中三角形的基本概念进行归纳总结。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。
三角形由三个顶点、三条边和三个内角组成。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长的分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等。
b. 等腰三角形：两条边的长度相等。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角度的分类：a. 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
b. 钝角三角形：其中一个角大于90度。
c. 锐角三角形：其中所有角都小于90度。
3. 根据边长和角度的组合分类：a. 等腰直角三角形：两条等长边构成直角。
b. 等腰锐角三角形：两条等长边构成锐角。
c. 等腰钝角三角形：两条等长边构成钝角。
三、三角形的性质1. 三角形的内角和为180度：三角形的三个内角之和等于180度。
2. 三角形的外角和：三角形的一个内角的外角和等于360度。
3. 三角形的外角和与内角和的关系：一个三角形的内角和与其对应外角和的差为180度。
四、三角形的重要定理1. 直角三角形的勾股定理：对于直角三角形ABC，设斜边为c，直角边为a和b，则有c²=a²+b²。
2. 正弦定理：对于三角形ABC，边长分别为a、b和c，对应的角度为A、B和C，则有sinA/a=sinB/b=sinC/c。
3. 余弦定理：对于三角形ABC，边长分别为a、b和c，对应的角度为A、B和C，则有c²=a²+b²-2abcosC。
五、三角形的应用1. 测量不可直接到达的高度：利用直角三角形的性质，可以通过测量斜边和与斜边夹角的方式间接测量不可直接到达的高度。
八年级认识三角形知识点
八年级认识三角形知识点认识三角形知识点在初中数学中，三角形是一个很重要的概念，因此八年级学生需要深入了解三角形的知识点。
本文将对八年级认识三角形的知识点进行介绍。
三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形。
这三条线段被称为三角形的边，它们的交点称为三角形的顶点。
通常用大写字母表示三角形的顶点，例如 ABC。
三角形的分类在三角形的边的长度及内角的大小可以作为分类的依据。
按边的长度来分，可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
按内角的大小来分，可以分为锐角三角形（三个内角均小于90度）、直角三角形（其中一个内角为90度）、钝角三角形（其中一个内角大于90度）。
三角形的性质三角形有很多重要的性质，下面我们来逐一了解。
内角和三角形的三个内角加起来等于180度。
可以用下面的公式表示：∠A + ∠B + ∠C = 180度外角三角形的三个外角加起来恰好等于一个圆周角（360度）。
这指的是三角形外面的角度，而不是在三角形内部的角度。
等边三角形等边三角形的三条边均相等。
这意味着由三个等边构成的正三角形是一种等边三角形。
等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形。
这意味着它有两个内角相等。
在一个等腰三角形中，可以把这两条边称为腰，而第三条边称为底。
直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
直角三角形的最长边被称为斜边，而另外两条边被称为直角边。
直角三角形中的直角边相加等于斜边的平方。
勾股定理勾股定理是一个可以用来解决直角三角形问题的定理。
勾股定理指的是，三角形中，斜边的平方等于直角边的平方之和。
其公式如下所示：斜边的平方 = 直角边 1 的平方 + 直角边 2 的平方三角形的周长和面积三角形的周长是指三条边的长度之和。
而三角形的面积可以由两条直角边的乘积的一半计算得出。
公式如下所示：三角形的面积 = 1/2 ×直角边 1 ×直角边 2结论以上是八年级学生需要了解的三角形的重要知识点。
八年级数学三角形基础知识点归纳总结
三角形是初中数学中的重要内容，掌握好三角形的基础知识对于进一步学习几何学和解决实际问题都至关重要。
下面是关于八年级数学三角形基础知识的归纳总结。
一、三角形的定义与分类1.三角形是由三条线段（边）组成的图形。
2.根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形。
二、三角形的性质1.三角形的内角和为180度。
2.在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3.在等边三角形中，三边相等；在等腰三角形中，两边相等；在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
4.三角形的高是一个垂直与底边的线段，三角形的底边可以是任意一条边。
5.对于等腰三角形，高线也是对称轴。
三、三角形的角度与边的关系1.三角形两个锐角之和大于90度，两个锐角之差小于90度。
2.锐角三角形中，最大的角对应最长的边，最长的边对应最大的角；钝角三角形中，最大的边对应最小的角，最小的边对应最大的角。
3.三角形的边长与角度的正弦、余弦、正切关系。
正弦：sinA = 对边 / 斜边；余弦：cosA = 邻边 / 斜边；正切：tanA = 对边 / 邻边。
四、三角形的相似与全等1.相似的三角形具有对应角相等和对应边成比例的特点。
2.全等的三角形具有对应边相等和对应角相等的特点。
3.两个直角三角形的斜边和一个锐角对应相等，则这两个直角三角形全等。
4.两个边长相等的三角形，如果它们对应的角相等，则这两个三角形全等。
5.两个角相等的三角形，如果它们对应的边成比例，则这两个三角形相似。
五、勾股定理和角平分线定理1.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.角平分线定理：角的平分线将对应的边分成的线段，满足相等比例关系。
六、三角形的面积1.三角形的面积=底边长×高/22.三角形面积的计算公式：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三边长。
八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念
八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念一、知识结构：1、三角形的定义；2、三角形的角平分线、中线、高；3、三角形的三边之间的关系；4、三角形的内角和定理及其推论；5、同一个三角形中边与角之间的关系；6、三角形的分类；二、典型例题：1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( )A.三边不相等的三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.任意三角形2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,222ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( )A.不等边三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.任意三角形3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ）A 、17B 、22C 、12或22D 、204、下面四个命题中不正确的是（ ）A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60°B ．在△ABC 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形；C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180°D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多；5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长；6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数；7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？A C8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数；9、已知三角形的一边是另一边的3倍，求证：它的最小边在它的周长的81与61之间；10、已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有多少个？11、设△ABC 的三边a,b,c 的长度均为自然数，且a ≤b ≤c ，a+b+c=13,则以a,b,c 为三边长且彼此不全等的三角形共有多少个？12、有多少个边长为整数且周长为2000的等腰三角形？13、三角形的三个内角分别为α，β，γ，且α≥β≥γ，α=2γ，求β的取值范围；14、已知三角形中两角之和为n °，最大角比最小角大24°，求n 的取值范围；15、不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是（ ）A ．143<<k B ．131<<k C ．1＜k ＜2 D ．121<<k16、如图：O 为△ABC 内的一点，求证：（1） OA+OB+OC ＞21（AB+BC+AC ）； （2） OB+OC ＜AB+AC ； （3） OA+OB+OC ＜AB+AC+BC ；作业题：1、已知三角形两边的长的差是5，若此三角形的周长是偶数，则求第三边的最小值？2、将三边长为a 、b 、c 的三角形记作（a ，b ，c ），写出周长为20、各边长为正整数的所有不同的三角形；3、不等边三角形的三条边长都是自然数，其中两条边长是3、4、5中的某两个数，求符合条件的三角形的周长的所有不同数值；AOB C4、如图，△ABC 内有一点D ，AD 、BD 、CD 分别平分∠A 、∠B 、∠C ，E 为△ABD 内一点，AE 、BE 、DE 分别平分△ABD 的各内角；F 为△BDE 内一点，BF 、EF 、DF 分别平分△BDE 的各内角。
八年级数学竞赛例题三角形的基本知识专题讲解
八年级数学竞赛例题三角形的基本知识专题讲解专题13三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________. （“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.【例4】在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C ＝7∠A，求∠B的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm的铁丝，要截成小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为，，，且，由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围，从而可以确定整数的值.对于（2），因段之和为定值150cm，故欲使尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A级1.设，，是△ABC的三边，化简=____________.2.三角形的三边分别为3，，8，则的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________.（“缙云杯“试题）（第4题）（第5题）（第6题）5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.（第7题）（第9题）6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（）A.B.C.D.7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H.下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个9.如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）A.∠A=∠1+∠2B.∠A=（∠1+∠2）C.∠A=（∠1+∠2）D.∠A=（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（）A.1个B.3个C.5个D.7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.（河南省竞赛试题）12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N （如图2），求∠ANC.图1图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.（1）证明：AB+AE＞DB+DE；（2）证明：AB+AC＞DB+DC；（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论；（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）B级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B 的最大值是，最小值是，则___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE=，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.（山东省竞赛试题）（第4题）（第5题）5.如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是（）A.3°B.5°C.8°D.19.2°6.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P.∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEB+∠PFC=136°.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④7.三角形的三角内角分别为，，，且，，则的取值范围是（）A.B.C.D.（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（）A.4个B.5个C.6个D.7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设，，均为自然数，满足且，试问以，，为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A为轴负半轴上一点，B为轴正半轴上一点，C（0，-2），D （-2，-2）.（1）求△BCD的面积；（2）如图2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交轴于P，交BC于Q.求证：∠CPQ=∠CQP；（3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点B在轴正半轴上运动，∠ACB的平分线交直线AD于E，DF∥AC交轴于F，FM平分∠DFC交DE于M，的值是否发生变化？证明你的结论.13.如图1，，.且，满足.（1）求A，B的坐标；（2）C为轴正半轴上一动点，D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C，使∠D=∠COB.若存在，求C点坐标；（3）如图2，C为轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交轴于E，∠CAB和∠CEB平分线交于F，点C在运动过程中的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.。
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2013年暑期初一数学竞赛第八讲：三角形的初步知识
【例题解析】
例1、在△ABC中，若∠A＝70°－∠B，则∠C等于（）
A、35°
B、70°
C、110°
D、140°
1、如图．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．
求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
2、若三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、无法确定
3、如果α、β、γ分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的外角，且α：β：γ=4：2：3，则∠
BAC等于（）
A、20°
B、40°
C、60°
D、80°
4、如图，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．
求∠F的度数．
5、在△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形，如
果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，则这个三角形的所有内角之和
为（）
A、360°
B、900°
C、1260°
D、1440°
例2、周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
1、现有长度分别为2cm、3cm、4 cm、5 cm的线段，从中任取三条，能组成三角形的个数
是。
2、用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不允许火柴棒折断，并且全部用完），能
摆出不同形状的三角形的个数是（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
O
C
B
A
E
B
D C
A
3、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
4、已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，则这样的不同三角形共有（ ） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个
5、三角形三条边a 、b 、c 都是质数，且16a b c ++=，则这个三角形是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等边三角形 D 、直角三角形或等腰三角形
6、现有11根火柴，用火柴棒首尾连接构成三角形（这11根火柴可以不用完，但不能折 断），则可以搭成的互不全等的三角形个数为（ ） A ．11个 B ．14个 C ．15个 D ．18个
例3、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相较于点O ，若△ABC 不是直角三角形，且
∠A=60°，求∠BOC 的度数。
1、如图，CD 是△ABC 的AB 边上的高，CB 是△ADC 的中线， 已知AD=10，CD=6，求△ABC 的面积.
2、如图，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，∠ADB=105°，∠ACB=65°， CE 是AB 边上的高。
求∠BAC ，∠BCE 的度数。
3、已知：如图，AD 是∆ABC 的BC 边上高，AE 平分∠BAC 。
求证：()∠=∠-∠EAD C B 1
2
例4、（1）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平方线交于O 点，
求证：∠BOC=
1
2
∠A+90°；
A
B
C
D
O
E
D C
B
A
O
D
C
B
A
A
B
C
D
F
G
E
P
G
F
E
D
C B
A
E
D A
D
N
M
C
B
A
O
（2）如图，若O 为△ABC 两外角平分线的交点时，（1）中的关系式是否
成立？若成立，请证明；若不成立，∠BOC 与∠A 又有怎样的关系？ 说明理由；
（3）如图，当OB 是内角∠ABC 平分线，OC 是外角∠ACD 的平分线时，∠BOC 与∠A 又有
怎样的关系？说明理由；
1、如图，△ABC 中，∠ABD=∠DBE=∠EBC ，∠ACD=∠DCE=∠ECB ， 若∠BEC=145°，则∠BDC 等于（ ）
A 、100°
B 、105°
C 、110°
D 、115°
2、如图，BP 平分∠ABC 交CD 于F ，DP 平分∠ADC 交AB 于E ， AB 与CG 交于点G ，若∠A=42°，∠C=38°，则∠P 的 度数为 。
3、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是两组对边延长线的交点，
EG 、FG 分别平分∠AEB 、∠AFD ，已知∠ABC=
88， ∠ADC =
72，则∠EGF 的度数为 度． 4、如图，已知∠MON=α，点A 、B 分别在射线ON 、OM 上 移动（不与O 重合），AC 平分∠OAB ，DB 平分∠ABM ， 直线AC 、BD 交于点C 。
试问：随着A 、B 点的移动变化， ∠ACB 的大小是否也随之变化？若改变，说明理由； 若不改变，求出其值。
例5、锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ）
A 、1020︒<<︒∠
B B 、2030︒<<︒∠B
C 、3045︒<<︒∠B
D 、4560︒<<︒∠B
1、在△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A<∠B<∠C ，4∠C=7∠A ，则∠B 的度数是 。
E
D C B
A
E
D
C
B A
2、若三角形的三个内角A 、B 、C 的关系满足3A>5B ，3C ≤2B ，则这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定
【拓展训练】
1．在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
2．以下列各组线段为边，不能构成三角形的是（ ）
A
1 B ．3，4，5 C ．1，5，6 D ．32，3，52
3．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是中线AD 上的一点， 且AE 与DE 的长度之比是1：2，则△ACE 与△ABC 的 面积之比是（ ）
A 、1：4
B 、1：3
C 、1：6
D 、1：4
4．下列说法中，正确的个数是（ ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．如图，∠A ，∠1，∠2的大小关系是（ ）
A ．∠2>∠1>∠A
B ．∠1>∠2>∠A
C ．∠A>∠2>∠1
D ．∠A>∠1>∠2
6．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A ．一处 B ．两处 C ．三处 D ．四处
7．∆ABC 中，∠∠ABC ACB 、的平分线交于P 点，∠=︒BPC 134，则∠=BAC （ ） A ．68° B ．80° C ．88° D ．46°
8．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ：∠B=1：2，则∠A=_______．
9．在△ABC 中，∠C=100°，∠A 和∠B 的角平分线相交于点O ，则∠BOC= °． 10．已知：三角形的三边长为3，8，12+x ，求x 的取值范围。
11．如图，已知△ABC ，完成下列作图（作图工具不限）； （1）作出AB 边上的高CE ； （2）BC 的垂直平分线MN ；
（3）∠ACB 的平分线交AB 于点F ； （4）AC 边上的中线BG ．
12．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，CE 平分∠ACB ， 已知∠ACB=98°，∠B=30°，求∠ECD 的度数．。