高考数学专题03最有可能考的30题(理)-高考数学走出题海之黄金30题系列(解析版)

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列一、选择题1．已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为()A.}1,1{-B.}3{C.}3,2{D.}3,2,1{ 【答案】D【解析】zxxk 学科网试题分析：}1{<∈=x R x B ,则AB =}1{-,阴影部分表学科网示的集合为}3,2,1{，选D.【考点定位】1.绝对值不等式的解法；2.集合的运算. 2．“a b >”是“11a b<”的（） A.充分必要条件B.必要不充分条件 C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】3．.已知i 是虚数单位，11iz =+，则z = A.0B.1C.2D.2 【答案】C 【解析】试题分析：1i 2z z =-⇒= 【考点定位】复数的运算和复数的模.4．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =（）A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．15．已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是()【答案】B6．在锐角ABC ∆中，AB=3，AC=4，其面积33ABC S ∆=BC=()A ．5B ．13或37C ．37D ．13 【答案】D 【解析】【考点定位】余弦定理三角形面积正余弦关系zxxk 学科网 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将g(x)=sin2x 的图象（）A.向右平移6π个长度单位B.向左平移6π个长度单位 C.向右平移3π个长度单位D.向左平移3π个长度单位 【答案】Bzxxk 学科网 【解析】8．已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) (A)322(B)3152(C)-322(D)-3152【答案】A【解析】AB=(2,1),CD=(5,5),设AB,CD的夹角为θ,则AB在CD方向上的投影为|AB|cosθ=AB CDCD⋅=1552=322.故选A.【考点定位】向量的坐标运算及向量的投影.9．设各项为正的等比数列{a n}的公比q≠1,且a3,a5,a6成等差数列,则3546a aa a++的值为( )(A)512+(B)512-(C)12(D)210．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量(,)m a b=与向量(1,1)n=-垂直的概率为（A）16（B）13（C）14（D）12【考点定位】古典概型11．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【答案】B【考点定位】三视图及几何体的体积.12．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l与β斜交．【考点定位】空间直线与平面的位置关系.zxxk学科网13．已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( ) 3636【答案】B【考点定位】双曲线.14．实验测得四组(x,y)的值分别为(1,2),(2,3),(3,4),(4,4)，则y与x间的线性回归方程是（）A．y＝－1＋xB．y＝1＋xC．y＝1.5＋0.7xD．y＝1＋2x【答案】C【解析】15．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（）A．3B．126C．127D．128【答案】C【解析】zxxk学科网试题分析：根据框图的循环结构，依次2213x =-=；3217x =-=；721127x =-=；跳出循环速输出127x =。

【考点定位】算法、程序框图。

二、填空题16．在203x x ⎛+ ⎪⎭的展开式中，x 的有理项共有_________项．【答案】四 【解析】【考点定位】三角函数求值.18．已知点()4,2A ，向量()3,4a =，且2AB a =，则点B 的坐标为 。

20．设实数x,y 满足条件：10,0x y ≥≥；2360x y --≤；320x y -+≥，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23ab+的最小值是 【答案】256【解析】试题分析：约束条件036020x y ox y x y ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪--≤⎪-+≥⎪⎩的可行域如图所示，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=632b -，（23a b+）（2a+3b ）,4+9+66b a a b +25≥，（当56a b ==时，等号成立），所以23a b +256≥，即23a b +的最小值是256.【考点定位】1.线性规划；2.基本不等式的性质.zxxk 学科网21．如图，已知球O 的面上有四点,,,A B C D ，DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===,则球O的体积与表面积的比为．【答案】1:3zxxk 学科网 【解析】三、解答题22．某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口。

安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作。

假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵。

逃犯在每层选择出口是等可能的。

已知他被三楼警员抓获的概率为91。

（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。

设抓到逃犯时，他已下了ξ层楼，写出ξ的分布列，并求ξE 。

【答案】（1）3=n zxxk 学科网 （2）ξ0 1 2 3 4 5p31 92 91 121 241 24572137245524141213912921310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE【解析】试题分析：解：（1）设四层下到三层有n个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。

所以，分布列为………………………………………….10分72137245524141213912921310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE…………………………….12分【考点定位】分布列和期望值23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos22C＋c cos22A＝32b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）3ξ0 1 2 3 4 5p319291121241245【解析】(1)a cos22C ＋c cos 22A ＝a ·1 2cos C ＋＋c ·1 2cos A ＋＝32b ，24．已知函数f (x )＝2cos22x－3sin x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若α为第二象限角，且f ()3πα-＝13，求21 2 2cos cos sin ααα＋－的值． 【答案】（1）最小正周期为2π，值域为[－1,3]（2）122－ 【解析】(1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ()3x π+，25．已知数列}{n a 的前n 项和是n S ，且)(121*N na S n n ∈=+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设*31log (1)()nn b S n N +=-∈，求适合方程512511113221=+⋅⋅⋅+++n n b b b b b b 的正整数n 的值． 【答案】（1）12()3n n a =•；（2）100n =. 【解析】试题分析：本题考查数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识，考查思维能力、分析问题与解决问题的能力.第一问，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解，可以推出{}n a 为等比数列；第二问，先利用已知把n S 求故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅)(*∈N n 7分 （2）111()23n n n s a -==，13131log (1)log ()13n n n b s n ++=-==--9分 11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++11分zxxk 学科网1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++13分解方程11252251n -=+，得100n =14分 【考点定位】1.已知n S 求n a ；2.等比数列的通项公式；3.裂项相消法求和.26．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n nn c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<. 【答案】（1）12n n a -=，1(1)221n b n n =+-⨯=-；（2）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力.第一问，先利用n a 是n S 和1的等差中项，得到21n n S a =-，由n S 求n a ，注意1n =的情况，不要漏掉，会得到{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式，求和公式直接写出n a 和n S ，再利用已知求出1,b d ，写出等差数列的通项公式；第二问，先化简n c 表达式，利用裂项相消法求和求设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-6分 （2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+zxxk 学科网7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++9分 ∵*n N ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭10分 ()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+-∴数列{}n T 是一个递增数列∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤<12分zxxk 学科网 【考点定位】1.等差中项；2.由n S 求n a ；3.等比、等差数列的通项公式与求和公式；4.裂项相消法求和.27．平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD ==且60,BAD ∠=以BD 为折线，把ABD ∆折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，连接.AC（1）求证：AB DC ⊥；（2）求二面角B AC D --的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）14zxxk 学科网 【解析】则D （0，0，0），B （3，0，0），C （0，1，0），A （3，0，1） 设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =， 而(0,0,1),(3,1,0),BA BC ==-由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：0,30z x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取(1,3,0),n =再设平面DAC 的法向量为(,,),m x y z '''=而(3,0,1),(0,1,0),DA DC ==由00m DA m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：30,0x z y ⎧''+=⎪⎨'=⎪⎩取(1,0,3),m =-zxxk 学科网 所以1cos ,,4n mn m n m ⋅==即二面角B-AC-D 的余弦值是1;4【考点定位】1.线线垂直的判定.2.面面垂直性质.3.二面角的求法.4.空间坐标系的应用.5.法向量的求法.28．设椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O为坐标原点），如图.若抛物线2C ：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过1F 、2F 两点．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设4(0,)5M -，N 为抛物线2C 上的一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22154x y +=；（Ⅱ）MPQ ∆105．zxxk 学科网【解析】试题解析：（Ⅰ）由题意可知B （0，1），则A （0，2），故b=2．2分令y=0得210x -=即1x =±，则F 1(1，0)，F 2（1，0），故c=1．4分zxxk 学科网所以2225a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为：22154x y +=．6分 （Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-．即221y tx t =--．7代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,zxxk 学科网222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t ++=+,221225(1)204(15)t x x t +-=+,9分故2221212121414.()4PQ tx t x x x x =+-=++-【考点定位】圆锥曲线的综合，椭圆的标准方程．29．已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()xg x e '=，且(0)(1)g g e '=，其中e 为自然对数的底数．（1）求()f x 的极值；（2）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x x<成立，试求实数m 的取值范围； （3）当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-． 【答案】(1)当0a ≥时，()f x 没有极值； 当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大. (2)3m <. (3)见解析.【解析】zxxk 学科网试题分析：(1)首先确定函数()f x 的定义域为(0,)+∞，求导数1()f x a x'=+(0)x >．为确定函数的极值，应讨论0a ≥，0a <的不同情况.若1(0,)x a ∈-时，()0f x '>；若1(,)x a∈-+∞时，()0f x '< ()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大综上可知：当0a ≥时，()f x 没有极值；当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大zxxk 学科网4分(2)函数()g x 的导函数()xg x e '=，()xg x e c ∴=+(0)(1)g g e '=，(1)c e e ∴+=0c ⇒=，()x g x e =5分 (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x x<成立， ∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e x <-成立，(1)10e ϕ'=->，1()202e ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2tt e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()22 2.252022tx t e t e ϕϕ∴==+->+->-=()()2f x g x ∴<-14分zxxk 学科网【考点定位】应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，应用导数证明不等式. 30．已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝a ＋ln(x ＋1)的图象与g (x )＝13x 3－12x 2＋bx 的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)证明：不等式f (x )≤g (x )对一切x ∈(－1，＋∞)恒成立； (2)设－1＜x 1＜x 2，当x ∈(x 1，x 2)时，证明：1212()()()()f x f x f x f x x x x x －－＞－－.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】(1)由题意得f ′(x )＝11x+，g ′(x )＝x 2－x ＋b ，x ＞－1， 则(0)(0)(0)(0)f g f g ⎧⎨''⎩＝，＝，解得01a b =⎧⎨=⎩由①②得1212()()()()f x f x f x f x x x x x －－＞－－.【考点定位】导数与不等式.zxxk 学科网。