(四川专版)2019高考数学二轮复习 专题十六 椭圆、双曲线、抛物线练习 理
高中数学高考试卷考点之椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用知识汇总,带参考答案共五十六页
数学高考试卷椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用，带参考答案本文收集整理了高中数学高考试卷椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，并配上详细参考答案，内容全共五十六页。
同学们认真完成这些练习，并对过答案，对学习高中椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，一定有很大的帮助，希望大家喜欢这份文档。
一、椭圆知识1．（2018全国Ⅱ，12）已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13 D ．141.答案：D 因为△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为√36得，tan∠PAF 2=√36,∴sin∠PAF 2=√13cos∠PAF 2=√12√13，由正弦定理得PF 2AF 2=sin∠PAF 2sin∠APF 2,所以2c a+c =1√13sin(π3−∠PAF 2)1√13√32⋅√12√13−12⋅1√1325∴a =4c,e =14，选D.2.（2017•新课标Ⅲ,10）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1 ， A 2 ， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切，则C 的离心率为（ ）A. B. C. D.2. 答案：A 以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a ，化为：a 2=3b 2 ． ∴椭圆C 的离心率e= = = ．故选A ．3.（2017•浙江,）椭圆+=1的离心率是（ ）A. B. C. D.3. 答案：B 椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为： =．故选B ．4.(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜14.答案： A [由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.] 5.(2016·全国Ⅲ，11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345.A [设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.]6.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6.A [由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.]7．（2018浙江，17）已知点P (0，1)，椭圆x24+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．7.5 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得−x 1=2x 2,1−y 1=2(y 2−1),∴−y 1=2y 2−3, 因为A ,B 在椭圆上,所以x 124+y 12=m,x 224+y 22=m, ∴4x 224+(2y 2−3)2=m,∴x 224+(y 2−32)2=m4，与x 224+y 22=m 对应相减得y 2=3+m 4,x 22=−14(m 2−10m +9)≤4，当且仅当m =5时取最大值.8.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.8.63 [联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2,C ⎝⎛⎭⎫32a ，b2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 9.(2014·辽宁，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.9.12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.] 10.(2014·安徽，14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________. 10.x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.] 11.(2014·江西，15)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 11.22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.] 12．（2018全国Ⅲ，20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB的中点为M(1 ， m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列，并求该数列的公差． 12.（1）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减，并由y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ，于是k =−34m .①由题设得0<m <32，故k <−12. （2）由题意得F(1,0)，设P(x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0).由（1）及题设得x 3=3−(x 1+x 2)=1,y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0. 又点P 在C 上，所以m =34，从而P(1,−32)，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32. 于是|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12. 同理|FB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2−x 22.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4−12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d|=||FB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=12|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =−1.所以l 的方程为y =−x +74，代入C 的方程，并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128，代入②解得|d|=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或−3√2128. 13．（2018天津，19）设椭圆22221x x a b+= (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的点A 的坐标为(),0b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ： (0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠ (O 为原点) ，求k 的值. 13.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得， FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）． 由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22{ 194y kx x y =+=，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0， 由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为12或1128．14.（2017•江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1 ， 过点F 2作直线PF 2的垂线l 2 ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 1 ， l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．14.（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =， 228a c =，解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=. （2）由（1）知， ()11,0F -， ()21,0F . 设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时， 2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥， 22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程： ()0011x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程： ()0011x y x y -=--. ② 由①②，解得2001,x x x y y -=-=，所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即2201x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=. 由22002201{ 143x y x y-=+=，解得00x y ==； 220022001{ 143x y x y +=+=，无解.因此点P的坐标为⎝⎭15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.15.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1,A (-2,0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).16.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. 16.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.17.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .17.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而 |PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|QF 1|＋|QF 2|＝2a , 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|,有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3. 18.(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.18.解 法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0.所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)， 故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以|GH |＞|AB |2.故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 19.(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程.19.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a,由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20.(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2). 21.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ,求直线AB 的方程. 21.解 (1)由题意,得c a ＝22且c ＋a 2c＝3,解得a ＝2,c ＝1,则b ＝1,所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB ＝2,又CP ＝3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0, 则x 1,2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2,且 AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2,则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）,从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ,所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2,解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.二、双曲线知识1．（2018浙江，2）双曲线x 23−y 2=1的焦点坐标是( ) A ．(−√2，0)，(√2，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，−√2)，(0，√2) D ．(0，−2)，(0，2)1.B 因为双曲线方程为x 23−y 2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2=a 2+b 2=3+1=4,c =2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B. 2．（2018全国Ⅰ，11）已知双曲线C ：x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=( ) A ．32 B ．3 C ．2√3 D ．42.B 根据题意，可知其渐近线的斜率为±√33，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON =30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y =√3(x −2)，分别与两条渐近线y =√33x 和y =−√33x 联立，求得M(3,√3),N(32,−√32)，所以|MN |=2)√2)=3，故选B.3．（2018全国Ⅱ，5）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±√22x D ．y =±√32x 3.A ∵e =ca =√3,∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3−1=2,∴ba =√2,因为渐近线方程为y =±ba x ，所以渐近线方程为y =±√2x ，选A. 4．（2018全国Ⅲ，11）设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=√6|OP |，则C 的离心率为( ) A ．√5 B ．√3 C ．2 D ．√24.B 由题可知|PF 2|=b,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中，cos∠PF 2O =|PF 2||OF 2|=bc, ∵在△PF 1F 2中,cos∠PF 2O =|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2−(√6a)22b∙2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e =√3.故选C.5．（2018天津，7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=5.C 设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设： 22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为： 0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得： 23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择C 选项.6.（2017•新课标Ⅱ,9）若双曲线C ： ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.6. A 双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得：，可得e 2=4，即e=2．故选A ．7.（2017•新课标Ⅲ,5）已知双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y= x ，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C 的方程为（ ）A.﹣ =1B.﹣ =1C.﹣=1 D.﹣=17. B 椭圆 +=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： ﹣ =1．故选B ．8.（2017·天津,5）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，离心率为 ．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A.=1 B.=1 C.=1 D.=18. B 设双曲线的左焦点F （﹣c ，0），离心率e= =，c=a ，则双曲线为等轴双曲线，即a=b ， 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ，则经过F 和P （0，4）两点的直线的斜率k= =，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B ．9.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)9.A [∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.]10.(2016·全国Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D.210.A [离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.]11.(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.311.B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ,∵|PF 1|＝3,∴P 在左支上,∵a ＝3,∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]12.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝112.C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]13.(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝1 13.B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.] 14.(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 314.D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.]15.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 15.D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0),则|AB |＝2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1，y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 16.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 16.A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.] 17.(2014·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 17.A [由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2且左焦点为(-5,0),所以a 2＋b 2＝c 2＝25,解得a 2＝5,b 2＝20,故双曲线方程为x 25－y 220＝1.选A.]18.(2014·广东，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等18.D [由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.]19.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C.3m D.3m19.A [∵双曲线的方程为x 23m －y 23＝1，∴焦点F 到一条渐近线的距离为 3.]20.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3 20.B [由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ,所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|-|PF 2|)2＝9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2-9b a －4＝0,则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.]21.(2014·山东，10)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝021.A [椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.]22.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24 D.2322.A [由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＝2|AF 2|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a . ∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴|F 1F 2|＝4a .∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2|·|F 1F 2|＝（2a ）2＋（4a ）2－（4a ）22×2a ×4a＝14，故选A.]23．（2018江苏，8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值是________．23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y =±ba x,即bx ±ay =0的距离为√a 2+b2=bc c=b,所以b =√32c ，因此a 2=c 2−b 2=c 2−34c 2=14c 2, a =12c,e =2.24.（2017•山东,14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．24. y=± x 把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y2﹣2pb 2y+a 2b 2=0，∴y A +y B =，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A +y B +2× =4× ，∴ =p ，∴ = ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x ．故答案为：y=± x ．25.（2017•北京,9）若双曲线x 2﹣=1的离心率为 ，则实数m=________．25.2 双曲线x 2﹣=1（m ＞0）的离心率为 ，可得： ，解得m=2．故答案为：2．26.（2017•江苏,8）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 26.2双曲线﹣y 2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y= x ，所以P （ ， ），Q （ ，﹣ ），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是： =2．故答案为：2．27.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.27.2 [由已知得|AB |＝2b 2a ,|BC |＝2c ,∴2×2b 2a ＝3×2c ,又∵b 2＝c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去).] 28.(2015·浙江，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.28.23 y ＝±22x [由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .]29.(2015·北京，10)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.29.33 [双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33.] 30.(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.30.5 [不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.]31.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 31.22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] 32.(2014·浙江，16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________. 32.52 [联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±bax 可解得交点为 ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB ＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.]33.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值.33.(1)解 设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0. 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.三、抛物线1．（2018全国Ⅰ，8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．81.D 根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为y =23(x +2)，与抛物线方程联立{y =23(x +2)y 2=4x ，消元整理得：y 2−6y +8=0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2),FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，从而可以求得FM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×3+2×4=8，故选D. 2.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.B [不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0),如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.]3.(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3.D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.] 4.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋14.A [由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |-1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.]5．（2018全国Ⅲ，16）已知点M(−1 ， 1)和抛物线C ： y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．5.2 设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1y 22=4x2,所以y 12−y 22=4x 1−4x 2,所以k =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2.取AB 中点M′(x 0，y 0),分别过点A,B 作准线x =−1的垂线，垂足分别为A ′,B′,因为∠AMB =90°,∴|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB′|),因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴,因为M(-1,1),所以y 0=1，则y 1+y 2=2即k =2.6.（2017•新课标Ⅱ,16）已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN|=________．6. 6 抛物线C ：y 2=8x 的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．7.(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. 7.9 [抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0).准线为x ＝-1,由M 到焦点的距离为10,可知M 到准线x ＝-1的距离也为10,故M 的横坐标满足x M ＋1＝10,解得x M ＝9,所以点M 到y 轴的距离为9.] 8.(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.8.22 [由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.]9.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ， b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.9.1＋2 [由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝⎛⎭⎫p 2，0，F ⎝⎛⎭⎫p2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p⎝⎛⎭⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a＝1－2(舍去)，所以ba ＝1＋ 2.]10.(2014·上海，3)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________. 10.x ＝-2[∵c 2＝9-5＝4,∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0),∴p2＝2,即p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝-2.]。
2019年高考数学大二轮复习专题六解析几何6.2椭圆、双曲线、抛物线课件
题型一
题型一 圆锥曲线的定义及标准方程
圆锥曲线的定义、标准方程
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义 标准方程
|PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|) ax22＋by22＝1(a>b>0)
||PF1|－|PF2||＝ 2a(0<2a<|F1F2|) ax22－by22＝1(a>0，b>0)
|PF|＝|PM|点 F 不在直 线 l 上，PM⊥l 于 M
又ac＝ ac22＝ 方程为x32－y92＝1.
a2＋a2 b2＝
1＋ba22＝2，所以 b2＝3a2，得 a2＝3.所以双曲线的
答案： (1)D (2)C
1．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方 程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的 a2，b2 或 p.另外，当焦点位置无法 确定时，抛物线常设为 y2＝2ax 或 x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)， 双曲线常设为 mx2－ny2＝1(mn>0)． 2．[警示] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
y2＝2px(p>0)
图 形
(1)(2018·惠州市第二次调研)设 F1，F2 为椭圆x92＋y52＝1 的两个焦点，点
P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则||PPFF12||的值为(
)
5 A.14
B．59
4 C.9
D．153
(2)(2018·天津卷)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且
高考数学热点练习：椭圆、双曲线、抛物线
2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为( )
A.x2＋y2＝1 2
B.x2＋y2＝1 32
C.x2＋y2＝1 43
D.x2＋y2＝1 54
【训练 1】 (1)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，
B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
Hale Waihona Puke (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使得 PB2⊥QB2，求直线 l 的
方程.
【训练 3】 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p>0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求|OH|；
(1)(2019·河南八市联考)设双曲线
C：x2－y2＝1 8m
的左、右焦点分别为
F1，F2，过
F1
的直线与双曲
线 C 交于 M，N 两点，其中 M 在左支上，N 在右支上.若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝( )
A.8
B.4
C.8 2
D.4 2
(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若|AF2|＝
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
真题感悟
1.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 x2 ＋y2＝1 的一个焦点，则 p＝( ) 3p p
A.2 B.3 C.4
2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练：六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练16(含答案)
专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全国Ⅱ,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C. D.-16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.213.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.A解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴,解得a=3c.∴e=,故选A.4.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.D解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴c+c=2a,即(+1)c=2a.∴e=-1.6.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7. 2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=.由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.解析在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解(1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),.由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.二、思维提升训练12.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.13.C解析设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.2解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线二轮复习专题练习(三)含答案高中数学
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 （ ）A ．23B ．2C ．3D ．12．（汇编年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．316B ．38C ．233D ．4333．（汇编大纲文）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y +=答案C4．(汇编山东理)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)45．（1994山东理8) 设F 1和F 2为双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是 ( )(A) 1 (B)25(C) 2 (D) 5 6．（汇编）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A ．43B ．75C ．85D ．37．（汇编山东理）13.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( ) (A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③8．(汇编湖北理)已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ） A ．59 B ．3 C ．779 D ．499．若方程x 2k －4－y 2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为 ( )A ．(2k,0)，(－2k,0)B ．(0，2k )，(0，－2k )C ．(2|k |，0)，(－2|k |，0)D ．由k 的取值确定解析：若焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0k ＋4>0即k >4，且c ＝2k .若焦点在y 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4<0k ＋4<0即k <－4，且c ＝－2k ，故选D.10．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3 C.4D. 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 512．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 .13． 与与椭圆221244x y +=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程为 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到一条渐近线l 的距离为4，若渐近线l 恰好是曲线3232y x x x =-+在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 _______________ ．15．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ．16．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22所围成的三角形区域(包括边界)为E ，P (x ，y )为该区域内的一动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________． 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，则其与直线x ＝22的交点为⎝⎛⎭⎫22，22和⎝⎛⎭⎫22，－22，所以可求得目标函数z ＝x －2y 的最小值为－22.评卷人得分三、解答题17．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB >2(其中O为原点)，求k 的取值范围．18．如图, 椭圆C ：162x +42y =1的右顶点是A ，上下两个顶点分别为B 、D ，四边形DAMB 是矩形（O 为坐标原点），点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点。
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线一．选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=（p>0）是1322=+p y p x 的一个焦点，则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C ：12222=-by a x （a>0,b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点，若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C ：12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上，O 为坐标原点，△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为0130，则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且OF AB 4=(O 为原点）则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax （a>0）的离心率是5，则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二．填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△F MF 21为等腰三角形，则M 的坐标为（ ） ()222210,0x y C a b a b-=>>：。
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。
当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。
2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。
椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。
椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。
(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十六 椭圆、双曲线、抛物线课件 理
[答案]
2 5 5
2 1 [解析] 由题设条件知，点 M 的坐标为（3a，3b） ，又 5 b 5 kOM＝ 10 ， 从而2a＝ 10 ， c＝5， 进而得 a＝ 5b， c＝ a2－b2 c 2b 2 5 ＝2b，故 e＝a＝ ＝ 5 . 5b
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第16讲
椭圆、双曲线、抛物线
核 心 知 识 聚 焦
AB＝8，则直线 AB 的倾斜角为( 若
)
π 5π A． 6 或 6 π 2π C． 3 或 3
π 3π B． 4 或 4 π D． 2
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第16讲
椭圆﹑双曲线﹑抛物线
(2)当直线 l 垂直于实轴时，易知 F1，F2 在线段 AB 的垂直平分线上；当直线 l 不垂直于实轴时，不妨设双 曲线焦点在 x 轴上， F1 ， F2 分别为双曲线的左、 右焦点， AF －|AF |＝ 且 A，B 都在右支上，由双曲线定义知， 1 2 BF － BF ＝ 2a ，则 AF － BF ＝ AF － BF 2a ， 1 2 2 2 1 1 AB，故由双曲线定义可知，F ，F 在以 A， < B 为焦点 1 2
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第16讲
椭圆、双曲线、抛物线
核 心 知 识 聚 焦
9．[2015· 全国卷Ⅱ改编] 已知 A，B 为双曲线 E 的左、右顶 点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为 120° ， 则 E 的离心率为________．
[答案]
2
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高中数学高考二轮复习椭圆、双曲线、抛物线理教案含答案(全国通用)
专题六解析几何
第二讲椭圆、双曲线、抛物线
1．椭圆的定义．
平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．
(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.
(2)2a＞|F1F2|.
1．双曲线的定义．
平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
(2)2a＜|F1F2|.
3.等轴双曲线． 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2
＝λ(λ≠0)，离心率e
y ＝±x ．
1．抛物线的定义．
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
若二元方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，或曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：
1．曲线上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的解(纯粹性)．
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性)．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(³)
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)
(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(³)。
2019高考数学理二轮冲关演练-椭圆、双曲线、抛物线
2019高考数学理二轮冲关演练-椭圆、双曲线、抛物线(本栏目内容，在学生用书以独立形式分册装订！)【一】选择题1、抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，那么该抛物线的标准方程可能是()A 、x 2＝4yB 、x 2＝－4yC 、y 2＝－12xD 、x 2＝－12y 解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，应选D. 答案：D2、假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，那么该椭圆的方程是()A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D 、x 2＋y 23＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，那么依题意知椭圆右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：A3、(2017·辽宁卷)F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34 B 、1 C.54 D.74 解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：C4、双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线l ：2x ＋y ＋1＝0垂直，那么此双曲线的离心率是()A.52B.32 C 、4 3 D. 5解析：由题知意，双曲线的渐近线方程为kx 2－y 2＝0，即y ＝±kx .由题知直线l 的斜率为－2，那么可知k ＝14，代入双曲线方程kx 2－y 2＝1，得x 24－y 2＝1，于是，a 2＝4，b 2＝1，从而c ＝a 2＋b 2＝5，所以e ＝52.答案：A5、(2017·全国新课标卷)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，那么曲线Γ的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，可设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，假设圆锥曲线为椭圆，那么2a ＝6k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝12.假设圆锥曲线为双曲线，那么2a ＝4k －2k ＝2k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝32. 答案：A6、从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，那么△PFM 的面积为()A 、5 6B 、6 5C 、10 2D 、5 2解析：抛物线的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2.设P (m ，n )，那么|PM |＝m ＋2＝5，解得m ＝3.代入抛物线方程得n 2＝24，故|n |＝26，那么S △PFM ＝12|PM |·|n |＝12×5×26＝5 6.答案：A【二】填空题7、双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，那么其渐近线方程为________、解析：由a ＋2＝3，可得a ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，∴其渐近线方程为x ±y2＝0，即y ＝±2x .故填y ＝±2x .答案：y ＝±2x8、经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，83，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________、解析：设双曲线方程为x 2－9y 2＝λ，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，83 ∴λ＝36∴双曲线方程为x 236－y 24＝1. 答案：x 236－y 24＝19、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72，假设△F 1MF 2的面积为14，那么双曲线的渐近线方程为________、解析：由题意，得12·2c ·72＝14，所以c ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|MF 1|2＋|MF 2|2＝82，12·|MF 1|·|MF 2|＝14.所以a ＝2，b ＝14.所以渐近线方程为y ＝±7x . 答案：y ＝±7x . 【三】解答题10、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上、(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程、解析：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px ，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x＋y －12＝0.11、设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点、(1)设椭圆C 上点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32到两点F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是椭圆C 上的动点，求线段KF 1的中点B 的轨迹方程、解析：(1)由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，得32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)、(2)设KF 1的中点为B (x ，y )，那么点K 的坐标为(2x ＋1,2y )，把点K 的坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 得2x ＋124＋2y23＝1，所以线段KF 1的中点B 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y234＝1.12、设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)假设直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值、解析：(1)双曲线的离心率为2，那么椭圆M 的离心率为e ＝c a ＝22， 圆x 2＋y 2＝4的直径为4，那么2a ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4c a ＝22b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2c ＝2b ＝2，所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)直线AB 的方程：y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜2 2.∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44. ∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝3·4－m 22. 又点P 到AB 的距离d ＝|m |3. 那么S △ABP ＝12|AB |d ＝12·3·4－m 22·|m |3＝12m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 22＝122m 28－m 2≤122·m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号、。
2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线练习
地地道道的达到 第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位1. 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的要点，多以选择题、 填空题或解答题的一问的形式命题； 2 直线与圆锥曲线的地点关系是命题的热门，特别是相关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转变化归与分类议论思想方法的考察 .真题感悟1.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 双曲线x 222－y2＝ 1( >0， >0) 的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )ababA. y ＝± 2xB. y ＝± 3x23C.y ＝± 2 xD. y ＝± 2 xc22b分析 法一 由题意知， e ＝a ＝ 3 ，所以 c ＝ 3 a ，所以 b ＝ c － a ＝ 2a ，即 a ＝ 2，所b以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .cb 2bb法二 由 e ＝ a ＝ 1＋ a ＝ 3，得 a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .答案 A222.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设抛物线 C ： y ＝ 4x 的焦点为 F ，过点 ( －2， 0) 且斜率为 3的直线与 C → → )交于 M ， N 两点，则 FM · FN ＝ ( A.5B.6C.7D.8( x ＋2) ，由 y 2x ＋ 2），过点 ( － 2， 0) 且斜率为2 的直线的方程为 y ＝ 2 ＝ （分析 3得 x 2－ 5x33 y2＝4 ，x＋4＝ 0. 设 M ( x ， y ) ， N ( x， y ) ，则 y>0， y >0，依据根与系数的关系，得x ＋x ＝ 5， x x2112212121＝4. 易知 (1 ， 0) ，所以 →＝ (x 1－ 1， 1) ，→＝(x 2－1， 2) ，所以 → · → ＝(x 1－ 1)(2－ 1)F FM y FNyFM FN x＋y 1y 2＝ x 1x 2－ ( x 1＋ x 2 ) ＋ 1＋ 4 x 1x 2＝ 4－ 5＋ 1＋ 8＝ 8.答案Dx 2 y 23.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， A 是 C 的左极点，呵呵复生复生复生3点 P 在过 A 且斜率为 6 的直线上， △PF 1F 2 为等腰三角形， ∠ F 1F 2P ＝120°， 则 C 的离心率为()2 1 1 1 A.B.C.D.3234分析由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，以下图，设| F 1F 2| ＝ 2c ，∵△ PF 1F 2 为等腰三角形，且∠ F 1F 2P ＝120°，∴ | PF 2| ＝ | F 1F 2| ＝ 2c .∵| OF 2| ＝ c ，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠ PF 2E ＝60°，所以 F 2E ＝c ，PE ＝ 3 c ，即点 P (2 c ， 3c ). ∵点 P 在过点 A ，且斜率为 33c3 6的直线上，∴ 2c ＋ a ＝6 ，解得c 1 1＝，∴＝.a 4e 4答案D2x24.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设椭圆 C ： ＋ y ＝ 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2 ， 0).(1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2) 设 O 为坐标原点，证明：∠ OMA ＝∠ OMB .(1) 解 由已知得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 x ＝ 1.把 x ＝ 1 代入椭圆方程x 2y 2A 的坐标为2 2＋＝ 1，可得点1， 或 1，－ .22 222又 M (2 ， 0) ，所以 AM 的方程为 y ＝－ 2 x ＋2或 y ＝ 2 x － 2.(2) 证明 当 l 与 x 轴重合时，∠ OMA ＝∠ OMB ＝0°.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直均分线，所以∠ OMA ＝∠ OMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y＝ ( － 1)( k ≠0)， (， y ) ， ( ， y ) ，12 2 1则 x < 2，x< 2，直线 MA ， MB 的斜率之和为y 1y 2k ＋ k ＝x －2＋ x － 2.12MAMB由 y 1＝ k ( x 1－ 1) ， y 2＝ k ( x 2－1) 得2kx x － 3k （x ＋ x ）＋ 4kk MA ＋ k MB ＝ 1 21 2.（ x 1－ 2）（ x 2－ 2）将 y＝ ( －1)代入x 2 ＋ y 2＝1 得k x2呵呵复生复生复生(2 k 2＋ 1) x 2－ 4k 2x ＋ 2k 2－ 2＝0.4k 22k 2－ 2所以， x 1 ＋ x 2＝2k 2＋ 1， x 1x 2＝2k 2＋ 1.则 2 1 x 2 －3(1＋ 2) ＋4k 4k 3－ 4k － 12k 3＋ 8k 3＋ 4k kxk x x2k ＋1进而 k MA ＋ k MB ＝ 0，故 MA ， MB 的倾斜角互补 .所以∠ OMA ＝∠ OMB .综上，∠ OMA ＝∠ OMB .考点整合1. 圆锥曲线的定义(1) 椭圆： | MF 1| ＋ | MF 2| ＝2a (2 a ＞| F 1F 2|) ；(2) 双曲线： || MF 1| － | MF 2|| ＝ 2a (2 a ＜ | F 1F 2|) ；(3) 抛物线： | MF | ＝ d ( d 为 M 点到准线的距离 ).温馨提示应用圆锥曲线定义解题时，易忽略定义中隐含条件致使错误 .2. 圆锥曲线的标准方程x 2 y 2 y 2 x 2(1) 椭圆： a 2＋b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；x 2 y 2y 2 x 2(2) 双曲线：a 2－ b 2＝ 1( a ＞0，b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2－ b 2＝1( a ＞ 0，b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；(3) 抛物线： y 2＝ 2px ，y 2＝－ 2px ， x 2＝ 2py ，x 2＝－ 2py ( p ＞ 0). 3. 圆锥曲线的重要性质(1) 椭圆、双曲线中 a ， b ， c 之间的关系222cb 2①在椭圆中： a ＝ b ＋ c ；离心率为 e ＝ a ＝ 1－ a 2.②在双曲线中：2 22c ＝b 2c ＝ a ＋ b ；离心率为 e ＝1＋2.aa (2) 双曲线的渐近线方程与焦点坐标x 2 y 2b①双曲线 a－b ＝ 1( a>0，b>0) 的渐近线方程为 y ＝± a x ；焦点坐标 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0).2212y 2 x 2a②双曲线 a 2 －b 2 ＝ 1( a >0，b >0) 的渐近线方程为 y ＝± b x ，焦点坐标 F 1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ). (3) 抛物线的焦点坐标与准线方程2pp ①抛物线 y ＝2px ( p >0) 的焦点 F 2， 0 ，准线方程 x ＝－ 2.2pp②抛物线 x ＝2 py ( p >0) 的焦点 F 0， 2 ，准线方程 y ＝－ 2.4. 弦长问题呵呵复生复生复生(1) 直线与圆锥曲线订交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入. 即当斜率为 k ，直线与圆锥曲线交于 A ( x 1，y 1) ，B ( x 2， y 2) 时， | AB | ＝ 1＋ k 2| x 1－x 2| ＝ 1＋ k 2 （x 1＋ x 2） 2－ 4x 1x 2.(2) 过抛物线焦点的弦长2112212 p21 2 2抛物线 y ＝ 2px ( p >0) 过焦点 F 的弦 AB ，若 A ( x ， y ) ， B ( x ， y ) ，则 x x ＝ 4 ， y y ＝－ p ， 弦长 | AB | ＝x 1＋ x 2＋ p .热门一圆锥曲线的定义及标准方程x 2 y 2【例 1】 (1)(2018 ·天津卷 ) 已知双曲线 a 2 －b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点 . 设 A ， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1 和 2 ，且 d 1＋ 2＝ 6，则双曲线的方程为()ddx 2 y 2 x 2 y 2A. 4－ 12＝ 1B. 12－ 4＝1x 2 y 2x 2 y 2C. 3－ 9＝1D. 9－ 3＝1(2)(2018 ·烟台二模 ) 已知抛物线 C ： x 2＝ 4 y 的焦点为 F ，M 是抛物线 C 上一点，若 FM 的延 长线交 x 轴的正半轴于点 N ，交抛物线 C 的准线 l→ →NT | ＝ ________.于点 T ，且 FM ＝ MN ，则 | 分析12x 2(1) 由 d ＋ d ＝ 6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以 b ＝ 3. 因为双曲线 a 2－ y 2 c a 2＋ b 2a 2＋ 9 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以 a ＝2，所以 a 2 ＝ 4，所以a2＝ 4，解得 a ＝ 3，所x 2 y 2以双曲线的方程为3－ 9＝1.(2) 由 x 2＝ 4y ，知 F (0 ，1) ，准线 l ： y ＝－ 1.设点 M ( x 0， y 0) ，且 x 0>0，y 0>0.→ → FN 的中点， N 是 FT 中点， 利用抛物线 由FM ＝ MN ，知点 M 是线段定义，| |＝| ′| ＝ 0 ＋1，且 | ′|＝2| ′| ＝2. 又 2( y 0＋1) ＝|′|＋| ′|＝3，MFMMyFFNNFFNN113知 y 0＝ 2. ∴ | MF | ＝ 2＋ 1＝ 2，进而 | NT | ＝ | FN | ＝ 2| MF | ＝ 3.答案(1)C (2)3研究提升1. 凡波及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转变成到准线的距离办理. 如本例 (2) 中充分运用抛物线定义实行转变，使解答简捷、明快.呵呵复生复生复生2. 求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算” . 所谓“定型”， 就是指确定种类，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a 2， b 2， p 的值，最后辈入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 .x 2 y 2【训练 1】 (1)(2017 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一条渐近线方程为5 x 2 y 2y ＝ 2 x ，且与椭圆 12＋ 3 ＝ 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ()A. x 2 y 2 x 2y 2－ ＝ 1B. － ＝18 10 45 C. x 2 y 2x 2y 2－ ＝ 1D. － ＝15 443(2)(2018 ·衡水中学调研x 2212) P 为椭圆 C ： 2 ＋y＝ 1 上一动点， F ，F 分别为左、右焦点，延伸1 至点 ，使得 || ＝| 2| ，记动点 Q 的轨迹为 Ω ，设点 B 为椭圆 C 短轴上一极点，直线F P Q PQ PFBF 2 与 Ω 交于 M ， N 两点，则 | MN |＝ ________.b5分析 (1) 由题设知 a ＝ 2 ，①x 2 y 2又由椭圆 12＋ 3 ＝ 1 与双曲线有公共焦点，易知 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 9，②由①②解得 a ＝ 2， b ＝ 5，则双曲线 C 的方程为x 2 y 24－ 5＝ 1. (2) ∵ | PF | ＋| PF | ＝ 2a ＝2 2，且 | PQ | ＝| PF | ，122∴| F 1Q | ＝ | F 1P | ＋ | PF 2| ＝ 2 2.∴Ω 为以 F 1( － 1， 0) 为圆心， 2 2为半径的圆 .∵ | BF 1| ＝ | BF 2| ＝ 2， | F 1F 2| ＝ 2，∴ BF 1⊥ BF 2，故| MN |＝ 2 | F 1M | 2－ | BF 1| 2＝ 2 （2 2）2－（ 2） 2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6 热门二圆锥曲线的几何性质x 2 y 2【例 2】 (1)(2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ：a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，则点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为 ()A. 2B.23 2 D.22C.2x 2 y 2x 2y 2若双曲线 N(2)(2018 ·北京卷改编 ) 已知椭圆 M ： 2＋2＝ 1( a >b >0) ，双曲线 N ： 2－ 2＝1.a bm n的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的极点， 则椭圆 M呵呵复生复生复生地地道道的达到的离心率为 ________.分析 (1) 法一由离心率 e ＝ c＝ 2，得 c ＝ 2a ，又 b 2＝ c 2－ a 2，得 b ＝a ，所以双曲线 Ca的渐近线方程为4＝y ＝± x . 由点到直线的距离公式， 得点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为1＋ 12 2.法二 离心率 e ＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y ＝± x ，∴点 (4 ， 0) 到 C 的渐近线的距离为4＝2 2.1＋ 1(2) 设椭圆的右焦点为 F ( c ， 0) ，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A ，由题意可知A c ， 3c，22c 23c 2 2 22222由点 A 在椭圆 M 上得， 4a2＋4b 2＝ 1，∴ b c ＋ 3a c ＝ 4a b ，∵b 2＝ a 2－c 2，∴ ( a 2－ c 2) c 2＋ 3a 2c 2＝ 4a 2( a 2－ c 2) ，则 4a 4－ 8a 2c 2＋ c 4＝ 0，e 4－8 2 ＋ 4＝ 0，∴ e 2＝4＋2 3( 舍)，2＝ 4－2 3. 由 0< <1，得 ＝ 3－1.eeee答案 (1)D (2) 3－ 1研究提升 1. 剖析圆锥曲线中 a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性责问题的要点.2. 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其要点就是确定一个对于a ，b ，c 的方程 ( 组 )或不等式 ( 组 ) ，再依据 a ，b ，c 的关系消掉 b 获得 a ，c 的关系式 . 成立对于 a ，b ，c 的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3. 求双曲线渐近线方程要点在于求 b a1”变成“ 0”， 然a 或b 的值，也可将双曲线等号右侧的“后因式分解获得 .x 2 y 2【训练 2】 (1)(2018 ·成都质检 ) 设椭圆 C ： a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1， F 2， 点 E (0 ， t )(0< t <b ). 已知动点 P 在椭圆上，且点 P ，E ，F 2 不共线，若△ PEF 2 的周长的最小值 为 4 ，则椭圆C 的离心率为 ()b3213 A. 2B. 2C. 2D. 32 2(2) 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 x2－ y2＝ 1( a＞ 0， ＞ 0) 的右支与焦点为F 的抛物线x 2a bb＝2py ( p ＞ 0) 交于 A ，B 两点，若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ，则该双曲线的渐近线方程为 ________.分析(1) 由椭圆的定义及对称性，△ PEF 的周长的最小值为 2a . ∴ 2a ＝ 4b ， a ＝ 2b ，则 c ＝2呵呵复生复生复生22c 3a －b ＝ 3b ，则椭圆 C 的离心率 e ＝ a ＝ 2 . (2) 设 A ( x 1， y 1 ) ， B ( x 2， y 2) ，x 2 y 2＝ 1，消去 x 得 a 2y 2－ 2pb 2y ＋ a 2b 2 ＝0，联立方程：a 2－b2x 2 ＝2py ，2b 2由根与系数的关系得y 1＋ y 2＝ a 2 p ，又∵ | AF | ＋| BF | ＝ 4| OF | ，∴ y1＋ p ＋ 2＋p ＝4× p，即 y 1 ＋ 2 ＝ ，y22y p22b 2 b 21 b 2∴ a 2 p ＝ p ，即 a 2＝ 2 a ＝2.2∴双曲线渐近线方程为y ＝± 2 x .2答案(1)A(2) y ＝± 2 x热门三直线与圆锥曲线考法 1直线与圆锥曲线的地点关系【例 3－1】 (2016 ·全国Ⅰ卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y ＝ t ( t ≠0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C ： y 2＝ 2px ( p >0) 于点 P ， M 对于点 P 的对称点为 N ，连结 ON 并延伸交 C 于点 H .| OH |(1) 求| ON |；(2) 除 H 之外，直线 MH 与 C 能否有其余公共点？说明原因 .t 2解 (1) 如图，由已知得 M (0 ，t ) ， P 2p ， t ，t 2又 N 为 M 对于点 P 的对称点，故 N p ， t ，p故直线 ON 的方程为 y ＝ t x ，将其代入 y 2＝2px 整理得 px 2－ 2t 2x ＝ 0，2t 22t 2解得 x 1＝ 0， x 2 ＝ p ，所以 Hp ， 2t .| OH |所以 N 为 OH 的中点，即 | ON |＝ 2.(2) 直线 MH 与 C 除 H 之外没有其余公共点，原因以下：直线的方程为y － ＝ p ，即x ＝ 2t ( y － ).MH t 2t xp t代入 y 2＝ 2px 得 y 2－ 4ty ＋4t 2＝ 0，呵呵复生复生复生解得 y 1＝ y 2＝ 2t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 之外，直线 MH 与 C 没有其余公共点 .研究提升1. 此题第 (1) 问求解的要点是求点， H 的坐标 . 而第 (2) 问的要点是将直线 的NMH方程与曲线 C 联立，依据方程组的解的个数进行判断 .2. 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组获得交点坐标， 也可利用消元后的一元二次方程的鉴别式来确定，需注意利用鉴别式的前提是二次项系数不为 0. 而且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练 3】 (2018 ·潍坊三模 ) 已知 M 为圆 O ： x 2＋ y 2＝1 上一动点， 过点 M 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A ，B ，连结 BA 延伸至点 P ， 使得 | PA | ＝2，记点 P 的轨迹为曲线 C . (1) 求曲线 C 的方程；(2) 直线 l： ＝ kx ＋ 与圆 O 相切，且与曲线 C交于 ，两点，直线 l 1 平行于 l 且与曲线Cy mD ES2相切于点 Q ( O ， Q 位于 l 双侧 ) ， △ ODE＝ ，求 k 的值 .S △ QDE 322解 (1) 设 P ( x ， y ) ， A ( x 0， 0) ，B (0 ， y 0) ，则 M ( x 0， y 0) 且 x 0＋ y 0＝ 1，由题意知 OAMB 为矩形，∴ | AB | ＝ | OM |＝ 1，→ →y ) ＝ 2( x 0，－ y 0) ，∴AP ＝ 2BA ，即 ( x － x 0， x－ yx 2y 2∴x 0＝ 3， y 0＝ 2 ，则 9 ＋ 4 ＝ 1，x 2 y 2故曲线 C 的方程为＋ ＝ 1.94(2) 设 l 1： y ＝kx ＋ n ，∵ l 与圆 O 相切，||∴圆心 O 到 l1m22＋ 1，①的距离 d ＝＝ 1，得 m ＝ kk 2＋ 1∵ l 1 与 l 距离d | m － n |，②2＝k 2＋ 11| · 1|△ ODE 2 DE d 1 | m| ＝2，∵S ＝＝d ＝ S △ QDE 1d 2 | m － n | 32| DE | · d 22∴m ＝－ 2n 或 m ＝ 5n ，又 ， 位于 l 双侧，∴ ＝2 ，③O Qm 5n呵呵复生复生复生x 2 y 2联立 9 ＋ 4＝1，消去 y 整理得 y ＝kx ＋ n ，(9 k 2＋ 4) x 2＋ 18knx ＋ 9n 2－36＝ 0， 由＝ 0，得 n 2＝ 9k 2＋ 4，④3 11 由①③④得k ＝±.11考法 2相关弦的中点、弦长问题x 2 y 2【例 3－ 2】 (2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： 4 ＋ 3 ＝ 1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1 ， m )( m >0).1(1) 证明： k <－ 2；→ → → → → →(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP ＋FA ＋ FB ＝ 0. 证明： | FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列，并求该数列的公差.(1) 证明设 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2) ，2222x 1y 1 x 2y 2则 4＋ 3＝1， 4＋3＝1.两式相减，并由 y 1－ y 2得x 1＋ x 2 y 1＋y 2＝ 0.＝ ＋·12k43kx － xx 1 ＋x 2＝ 1， y 1＋ y 23 . ①由题设知 22 ＝m ，于是 k ＝－4mx 2 y 2因为点 M (1 ， m )( m >0) 在椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 内，123 1m∴ 4＋ 3 <1，解得 0<m <2，故 k <－2. (2) 解 由题意得 F (1 ， 0). 设 P ( x 3， y 3) ，则( x 3－ 1， y 3) ＋( x 1－ 1， y 1) ＋ ( x 2－ 1， y 2) ＝ (0 ，0).由(1) 及题设得x ＝3－ ( x ＋ x) ＝ 1， y ＝－ ( y ＋ y ) ＝－ 2m <0.3123123又点 P 在 C 上，所以 m ＝ 4，1，－ 3→3进而 P 2 ，| FP | ＝2.→2x 1于是 | | ＝ （ 2 y 2（2x 1 1－1） ＋ 1＝1－1） ＋3 1－＝2－ .FAxx42同理 | →| ＝ 2－ x 2.FB2所以 |→| ＋| →| ＝ 4－1(x1＋ 2) ＝3.FAFB 2 x故 2|→| ＝|→| ＋| →|，FP FA FB→ → →即| FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列 .设该数列的公差为d ，则→ →12| d | ＝ || FB | － | FA || ＝2| x 1－ x 2|11221 2② ＝ 2 （ x ＋x ） － 4x x . 3将 m ＝ 4代入①得 k ＝－ 1.所以 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 7，代入 C 的方程，并整理得 7 2－14 x ＋ 1＝0.4x 41 3 21故 x 1＋ x 2＝ 2， x 1x 2＝ 28，代入②解得 | d | ＝ 28 .3 21 3 21 所以该数列的公差为 28或－28.研究提升1. 在波及弦长的问题中，应娴熟地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝ 1＋ k 2| x 2 －x 1| ，设而不求计算弦长；波及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算 .2. 对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件>0，在用“点差法”时，要查验直线与圆锥曲线能否订交 .22【训练 4】 (2018 ·天津卷 ) 设椭圆x2＋ y2＝ 1(> >0) 的左焦点为，上极点为，已知椭圆a ba bF B5的离心率为 3 ，点 A 的坐标为 ( b ， 0) ，且 | FB | ·|AB | ＝ 6 2.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线 l ：y ＝ kx ( k >0) 与椭圆在第一象限的交点为| AQ | P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q . 若||＝PQ5 2 k 的值 .sin ∠( 为原点 ) ，求4 AOQOc 2 5解 (1) 设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 a 2＝ 9，又由 a 2＝ b 2＋ c 2，可得 2a ＝ 3b .由已知可得， | FB | ＝a ， | AB | ＝ 2b ，由| FB | ·|AB | ＝ 6 2，可得 ab ＝ 6，进而 a ＝ 3， b ＝2.x2y2所以，椭圆的方程为＋＝1.9 4(2)设点 P的坐标为( x1， y1)，点 Q的坐标为( x2， y2). 由已知有 y1>y2>0，故| PQ|sin ∠AOQ＝y1－y2.又因为 | AQ| ＝y2 π，而∠ OAB＝4，sin ∠OAB故| AQ| ＝ 2y .2| AQ| 5 2sin 1 2由| |＝ 4 ∠ AOQ，可得5y ＝ 9y .PQy＝ kx，6k由方程组 2 y 2 1x 消去 x，可得 y ＝ 2 .9＋4＝ 1，9k ＋ 4 易知直线 AB的方程为 x＋ y－2＝0，y＝ kx， 2k由方程组x＋y－2＝0，消去x，可得y2＝k＋1.代入 5y1＝ 9y2，可得 5( k＋ 1) ＝ 3 9k2＋ 4，将等式两边平方，整理得56k2－50k＋ 11＝ 0，111解得 k＝2或 k＝28.111所以， k 的值为2或28.1.椭圆、双曲线的方程形式上可一致为Ax2＋ By2＝1，此中 A，B 是不等的常数， A＞ B＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆； B＞ A＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆； AB＜0时表示双曲线.2. 对波及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰入采用定义解题，会成效显然，定义中的定值是标准方程的基础.c3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a， c，计算 e＝a；法二：依据已知条c件确定 a，b， c 的等量关系，而后把 b 用 a， c 代换，求a.4.弦长公式对于直线与椭圆的订交、直线与双曲线的订交、直线与抛物线的订交都是通用的，此公式能够记忆，也能够在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1) 点差法，设弦的两头点坐标分别为( x1，y1) ， ( x2，y2) ，分别代入圆锥曲线方程，两式作y 1－ y 2差，式中含有x 1＋ x 2，y 1＋y 2， 三个量，则成立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直x 1－ x 2线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2) 根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题2 21.(2018 ·合肥调研 ) 已知双曲线： y2－ x 2＝ 1( >0， b >0) 的一条渐近线与直线2 x － ＋1＝0C ab ay垂直，则双曲线 C 的离心率为 ()A.2B. 2C.3D. 5ab 22分析 依题意， 2· － b ＝－ 1，∴ b ＝ 2a . 则 e ＝ 1＋ a ＝ 5，∴ e ＝ 5. 答案 D2.(2018 ·南昌质检 ) 已知抛物线： 2＝ 4 y ，过抛物线C 上两点 ， B 分别作抛物线的两条切C xA线 PA ， PB ， P 为两切线的交点，→ →O 为坐标原点，若 PA · PB ＝0，则直线 OA 与 OB 的斜率之积 为()11A.－ 4B. －3C. －8D.－ 422分析 设x A，x B ， x B，由 2＝，得 ′＝ x 所以 AP ＝ A B→·→＝ ，A x A ，B 4 x 4y y k x ， BP ＝ x，由4 2. 2 k2PAPB 0得 ⊥ . ∴x·x＝－ 1，则 A · B ＝－ 4，又 OA · OB ＝ x22＝－1.·x＝x xPA PBABx xkk A BA B2 24x A 4x B16 4答案A22y3.(2017 ·全国Ⅰ卷 ) 已知 F 是双曲线 C ： x － ＝ 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1 ， 3) ，则△ APF 的面积为 ()1 123 A.B.C.D.3232分析 由 c 2＝a 2＋ b 2＝ 4 得 c ＝ 2，所以 F (2 ，0) ，2y 2将 x ＝ 2 代入 x － 3 ＝ 1，得 y ＝± 3，所以 | PF | ＝ 3.又 A 的坐标是 (1 ，3)， 故△ APF 的面积为1×3×(2 － 1) ＝ 3 . 2 2答案D地地道道的达到：x224. 已知椭圆 2＋y2＝ 1( > >0) 的左、右焦点分别为 1， 2， O 为坐标原点， A 为椭圆上一C aba bF F点，∠ F AF ＝ ，连结 AF 交 y 轴于 点，若 3| |＝ | | ，则该椭圆的离心率为()12π 2221 3510 A. 3B. 3C. 8D. 4分析设 | AF 1| ＝ m ， | AF 2| ＝ n .以下图，由题意可得∵ R t △ F 1AF 2∽ Rt △ MOF 2.∴ |AF 1|＝ | OM |＝ 1，则 n ＝ 3m . 又 | AF 1| ＋ | AF 2| ＝m ＋n ＝ 2a ， AF 2| | OF 2| 3|a 3 ∴m ＝ 2， n ＝ 2a .22 210 22在 Rt △ F 1AF 2 中， m ＋ n ＝ 4c ，即 4 a ＝ 4c ，2 c 2 10 10 ∴e ＝ a 2＝ 16，故 e ＝ 4 . 答案 D1， 2 分别为双曲线x225.(2018 ·石家庄调研 ) 已知 2－y2＝ 1( a >0， >0) 的左、右焦点，P 为双FFabb曲线上一点， PF 与 x 轴垂直，∠PFF ＝30°，且虚轴长为 2 2，则双曲线的标准方程为()21 2A. x 2－ y 2＝ 1B. x 2－ y 2 ＝14232222C.x－ y＝ 1D. x 2－ y＝14 8 2 分析 如图，不如设点 P ( x ， y ) 在第一象限，则 PF ⊥ x 轴，2在 Rt △ PF 1F 2 中，∠ PF 1F 2＝30°， | F 1F 2| ＝ 2c ，2 34 3c2c13 ，则| PF | ＝3 ，| PF | ＝2 3又因为 | PF 1| －| PF 2| ＝ c ＝ 2a ，即 c ＝ 3a .3又 2b ＝ 2 2，知 b ＝ 2，且 c 2－ a 2＝ 2，进而得 a 2＝1， c 2＝ 3.x 2y 2故双曲线的标准方程为 － 2＝1.答案 D 二、填空题6.(2018 ·北京卷 ) 已知直线 l 过点 (1 ， 0) 且垂直于 x 轴 . 若 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ________.分析 由题意知， a >0，对于 y 2 ＝4ax ，当 x ＝ 1 时， y ＝±2 a ，因为 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截 得的线段长为 4，所以 4 a ＝4，所以 a ＝ 1，所以抛物线的焦点坐标为(1 ，0).答案 (1 ，0)x 2 y 27.(2018 ·江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 a 2 － b 2＝ 1( a >0， b >0) 的右焦点 F ( c ，0) 到一条渐近线的距离为 3 ，则其离心率的值是 ________.2 cb分析 不如设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ a x ，| bc |32223 2所以 a 2＋ b 2 ＝ b ＝ 2 c ，所以 b ＝ c － a ＝ 4c ，得 c ＝ 2a ，c所以双曲线的离心率e ＝ a ＝ 2.答案 28. 设抛物线 x 2＝ 4y 的焦点为 F ， A 为抛物线上第一象限内一点，知足| AF | ＝ 2；已知 P 为抛物线准线上任一点，当 | PA | ＋| PF | 获得最小值时，△ PAF 的外接圆半径为 ________. 分析 由 x 2＝4 y ，知 ＝ 2，∴焦点 (0 ，1) ，准线 y ＝－ 1.pF依题意，设 A ( x 0， y 0)( x 0>0) ，p由定义，得 | AF | ＝ y 0＋2，则 y 0＝ 2－ 1＝ 1，∴ AF ⊥ y 轴 .易知当 P (1 ，－ 1) 时， | PA | ＋| PF | 最小，∴ | PF | ＝ 12＋（－ 1－ 1） 2＝ 5. 由正弦定理， 2 ＝ |PF |＝ 5 ＝ 5， R sin A 2 255所以△ PAF 的外接圆半径R ＝4.答案54三、解答题9.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 设抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k ( k >0) 的直线 l 与 C 交 于 A ，B 两点， | AB | ＝8.(1) 求 l 的方程；(2) 求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .解(1) 由题意得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 y ＝ k ( x －1)( k >0).设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2).y ＝ k （x － ）， 由y 2＝ 4x1得 k 2x 2－ (2 k 2＋4) x ＋ k 2＝ 0.2 2＋4＝ 16k 2＋ 16>0，故 x 1＋x 2＝k2.k所以 | AB | ＝| AF | ＋ | BF | ＝ ( x ＋ 1) ＋ ( x ＋ 1) ＝4k 2＋ 4 .212k由题设知 4k 2＋4k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1( 舍去 ) ， k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝x － 1.(2) 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3 ， 2) ，所以 AB 的垂直均分线方程为 y － 2＝－ ( x － 3) ，即 y ＝－ x ＋ 5.设所求圆的圆心坐标为( x 0， y 0) ，则0 ＝－ x 0y ＋ 5，2（ x 0＋ 1） 2＝（y － x ＋1）＋16.2x 0＝ 3， x 0＝11，解得或y 0＝ 2y 0＝－ 6.所以所求圆的方程为 ( x － 3) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16 或 ( x － 11) 2＋ ( y ＋ 6) 2＝144.10.(2017 ·北京卷) 已知椭圆 C 的两个极点分别为 A ( － 2， 0) ， B (2 ，0) ，焦点在 x 轴上，离3心率为2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不一样的两点 M ， N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E . 求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4∶ 5.(1) 解 设椭圆C 的方程为 x2y 2＝ 1( > >0).2＋ 2a b a ba ＝ 2，由题意得 c3 解得 c ＝ 3. 所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1. a＝2，x 22所以椭圆 C 的方程为 4＋ y ＝ 1.(2) 证明 设 ( ，)，则 ( ，0)， ( ，－ ).M m nD m N mn由题设知 ≠± 2，且n ≠0.m地地道道的达到n直线 AM 的斜率 k AM ＝，m ＋ 2故直线 DE 的斜率 k DE ＝－n .m ＋ 2所以直线 DE 的方程为 y ＝－ n( x － m ).直线 BN 的方程为 y ＝n( x －2).2－ mm ＋ 2 y ＝－n（ x － m ），联立ny ＝（ x － 2），2－ m2n （ 4－m ）解得点 E 的纵坐标 y E ＝－2 2.4－ m ＋ n22由点 M 在椭圆 C 上，得 4－ m ＝ 4n ，4En .所以 y ＝－5 12又 S △ BDE ＝2| BD | ·|y E | ＝ 5| BD | ·|n | ，1S △ BDN ＝ 2| BD | ·|n |.所以△与△ 的面积之比为 4∶ 5.BDE BDN11. 设 F ，F 分别是椭圆 C ：a22＋ b＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， M 是椭圆 C 上一点，且 MF 与 x12x 2y223 3轴垂直，直线 MF 1 在 y 轴上的截距为 4 ，且 | MF 2| ＝ 5| MF 1|. (1) 求椭圆 C 的方程；22→ →(2) 已知直线 l ：y ＝ kx ＋t 与椭圆 C 交于 E 、F 两点，且直线 l 与圆 7x ＋ 7y ＝12 相切，求OE · OF 的值 ( O 为坐标原点 ). 解 (1) 设直线1与 y 轴的交点为，则 || ＝ 3 .MFNON 4∵MF 2⊥ x 轴，∴在△ F 1F 2M 中， ON 綉1MF 2，23则| MF 2| ＝ 2.3又| MF 2| ＋ | MF 1| ＝ 2a ， | MF 2| ＝ 5| MF 1| ，33∴ | MF 2| ＝ 4a ＝2，∴ a ＝2.2又| MF 2| ＝ b，∴ b 2＝ 3.a地地道道的达到∴椭圆 C 的标准方程为x 2＋ y 2＝ 1.4 3(2) 设 E ( x 1， y 1 ) ， F ( x 2， y 2) ，y ＝ kx ＋ t ，联立 x 2 y 2 消 y 得(3 ＋ 4k 2) x 2＋ 8ktx ＋ 4t 2 －12＝ 0.＋ ＝ 1，438kt4t 2－ 12∴x 1＋ x 2＝－ 3＋ 4k 2， x 1x 2＝ 3＋ 4k 2 ，＝ (8 kt ) 2－4(3＋ k2t 2－12)>0 ，得 t2＋ k 2，(*)4 )(4<34→ →x ＋ y y ＝ xx ＋ ( kx ＋t )( kx ＋ t )则OE · OF ＝ x1 1 21 21 22＝ (1 ＋ k 2) x 1x 2＋ kt ( x 1＋ x 2) ＋ t 2（ 1＋ k 2）（ 4t 2－ 12） 8k 2t 2 t 2（ 3＋ 4k 2）＝3＋4k 2 － 3＋ 4k 2＋ 3＋ 4k 2 7t 2－ 12（ 1＋ k 2） ＝ 3＋ 4k 2. 又直线 l 与圆 7x 2＋ 7y 2＝12 相切，| t |1227 2∴ 1＋ k2＝7 ，则 1＋ k ＝12t 知足 (*) 式，7t 2 －12× 7 t 2→ → 12 故OE · OF ＝ 3＋4 2 ＝ 0.k呵呵复生复生复生。
3、2019年高考文数二轮复习精品资料专题14+椭圆、双曲线、抛物线(教学案)
1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质(0，【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．高频考点一 椭圆的定义及其方程 例1．（2018年全国I 卷） 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.【变式探究】【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得223a b =，即即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率，故选A.【变式探究】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A 【解析】由题意知，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又=，故121e e >．故选A ．【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1 ②①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0， 即b 2a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12.又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.答案 D高频考点二 椭圆的几何性质例2．（2018年全国卷Ⅱ）已知，是椭圆的两个焦点，P 是C 上的一点，若，且，则C 的离心率为 A.B.C.D.【答案】D 【解析】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.【变式探究】【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】，选B ．【变式探究】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为，分别令x c =-与0x =得，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则，则，即，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ． 【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称， 所以B (m ，－n )． 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．高频考点三 双曲线的定义及标准方程例3．（2018年天津卷）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A 选项.【变式探究】【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】由得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为，选D ．【变式探究】已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴，∴，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【变式探究】若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.【变式探究】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =即A 点纵坐标为,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知, ,即,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.【变式探究】已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝11. （2018年浙江卷）双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.2. （2018年全国卷Ⅱ）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.3. （2018年全国III卷）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离4. （2018年全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.5. （2018年北京卷）若双曲线的离心率为，则a=_________.【答案】4【解析】在双曲线中，，且6. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率。
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（四川专版）2019高考数学二轮复习 专题十六 椭圆、双曲线、抛物线练习 理(时间：5分钟＋40分钟)基础演练夯知识1. 下列双曲线不是以2x ±3y ＝0为渐近线的是( ) A.x 29－y 24＝1 B.y 24－x 29＝1 C.x 24－y 29＝1 D.y 212－x 227＝1 2. 抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则实数a 的值为( )A ．4 B.14C ．－14D ．－43. 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交该抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．若x 1＋x 2＝6，则||AB ＝ ( )A. 4 B ．6 C. 8 D ．104. 已知双曲线 x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长为2，则该双曲线的离心率为( )A.22 B. 52C. 5D. 25. 已知双曲线 x 29－y 2m＝1(m >0)的一个焦点在圆 x 2＋y 2－4x －5＝0 上，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y ＝±34x B ．y ＝±43xC. y ＝±223xD. y ＝±324x提升训练强能力6. 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y7. 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2C. 115D ．38. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 9. 设P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上除顶点外的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2相切于点M ，则F 1M →·MF 2→＝( )A ．a 2B ．b 2C ．a 2＋b 2D.12b 2 10. 已知F 1 ，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2 B.7C.13D. 1511. 已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1和C 2的方程分别为x 24＋y 2＝1和 y 216＋x 24＝1，射线OA 与椭圆C 1和C 2分别交于A ，B 两点，且 OB →＝2OA →，则射线OA 的斜率为________．13. 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为________．14. 已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点A (2，3)在椭圆C 1上，又抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的通径所在直线被椭圆C 1所截得的线段长为4333.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．(2)过点A 的直线L 与抛物线C 2交于B 、C 两点，抛物线C 2在点B 、C 处的切线分别为l 1、l 2，且l 1与l 2交于点P .是否若存在满足|PF 1|＋|PF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标)，若不存在，说明理由．15. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F (2，0)，且离心率为63.(1)求椭圆的方程；(2)斜率为k 的直线l 过点F 且与椭圆交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程.16. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，e )和⎝⎛⎭⎪⎫e ，32，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，取点A (0，2)，E (x 0，0)，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于原点的对称点，证明：直线QG 与椭圆C 只有一个公共点．专题限时集训(十六)【基础演练】1．C [解析] A 中双曲线以2x ±3y ＝0为渐近线；同理B 、D 中双曲线也是以2x ±3y ＝0为渐近线；C 中双曲线以3x ±2y ＝0为浙近线，答案选C.2．C [解析] 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，2p ＝1a，又p ＝2，因此a ＝－14. 3．C [解析] 由抛物线的性质知，||AB ＝x 1＋x 2＋2＝8.4．D [解析] 易知2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝2，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝ 2. 5．B [解析] 易知圆x 2＋y 2－4x －5＝0与x 轴的交点为(－1，0)，(5，0)．由于双曲线中c >a ＝3，所以c ＝5，所以m ＝25－9＝16，所以双曲线方程为x 29－y 216＝1，故其渐近线方程为y ＝±43x .【提升训练】6．D [解析] 依题意得2c ＝4a ，因此b ＝3a ，从而双曲线的渐近线为y ＝±3x ，又抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由条件得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪±3×0－p 23＋1＝2，解得p ＝8，所以抛物线的方程为x 2＝16y .7．B [解析] 由题可知，直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线．设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到直线l 2的距离等于||PF ，故动点P 到直线l 1 和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.8．D [解析] 易知直线AB 的斜率为k ＝0＋13－1＝12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得x 1＋x 2a 2＋y 1＋y 2b 2·y 1－y 2x 1－x 2＝0，将中点坐标和斜率代入得1a 2－12b2＝0.又c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，可解得a 2＝18，b 2＝9.故选D.9．B [解析] 不妨设P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，由圆的切线长定理得|F 1M |－|MF 2|＝2a ，又|F 1M |＋|MF 2|＝2c ，因此|F 1M |＝c ＋a ，|MF 2|＝c －a ，F 1M →·MF 2→＝(c ＋a )(c －a )＝c 2－a 2＝b 2.10．B [解析] 依题意可得，|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|.因为|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝2a .又因为|AF 2|－|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a .故在△BF 1F 2中，|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.由余弦定理可得c 2＝7a 2，所以该双曲线的离心率为 7.11．57 [解析] 在△PF 1F 2中由正弦定理得|F 1F 2|sin （α＋β）＝|PF 1|sin β＝|PF 2|sin α＝|PF 1|＋|PF 2|sin α＋sin β，因此2c sin （α＋β）＝2a sin α＋sin β，所以e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β，由cosα＝55得sin α＝255＞sin(α＋β)，因此cos(α＋β)＝－45，sin β＝sin[(α＋β)－α]＝11525，从而e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝35255＋11525＝57.12．±1 [解析] 设点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，由OB →＝2OA →，得x 2＝2x 1，y 2＝2y 1.∵点B 在椭圆C 2上，∴y 2216＋x 224＝1，∴y 214＋x 21＝1①.又∵点A 在椭圆C 1上，∴x 214＋y 21＝1②. 由①②可得y 1x 1＝±1，∴射线OA 的斜率为±1.13． 5 [解析] 设切点为P (x 0，x 20＋1)，斜率为y ′＝2x 0，则切线方程为y －x 20－1＝2x 0(x －x 0)，整理得y ＝2x 0x －x 20＋1.因为双曲线的焦点在x 轴上，切线与双曲线的渐近线重合，所以切线过原点，将(0，0)代入切线方程得x 0＝±1，所以切线的斜率k ＝±2，所以b a＝2，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋4＝ 5.14．解： (1)设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆的定义得2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝8，即a ＝4.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝12，∴椭圆C 1的方程为x 216＋y 212＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 2，x 216＋y212＝1可得x 2＝16－13p 2，则所截得的弦长为216－13p 2＝4333，解得p ＝2，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)设B ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，14x 21，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14x 22，由于直线L 的斜率存在，所以可设直线L 的方程为y ＝k (x －2)＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）＋3，x 2＝4y消去y ，得x 2－4kx ＋8k －12＝0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k －12.由x 2＝4y 可得y ′＝12x .∴抛物线C 1在点B 处的切线l 1的方程为y －x 214＝x 12(x －x 1)，化简得y ＝x 12x －14x 21.同理，抛物线C 2在点C 处的切线l 2的方程为y ＝x 22x －14x 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －14x 21，y ＝x 22x －14x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝2k ，y ＝x 1x 24＝2k －3.即P (2k ，2k －3)，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|，∴点P 在椭圆C 1上，故（2k ）216＋（2k －3）212＝1，化简得7k 2－12k －3＝0，(*)则Δ＝122－4×7×(－3)＝228＞0，所以方程(*)有两个不等的实数根．∴满足条件的点P 有两个． 15．解：(1)依题意有c ＝2，c a ＝63，可得a 2＝6，b 2＝2. 故椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(2)易知直线l 的方程为y ＝k (x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 26＋y22＝1，消去y 并整理得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 23k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－63k 2＋1，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝26（k 2＋1）3k 2＋1. 设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝6k 23k 2＋1，y 0＝－2k3k 2＋1.因为直线MP 的斜率为－1k，且 x P ＝3，所以||MP ＝1＋1k2·||x 0－x P ＝k 2＋1k 2·3（k 2＋1）3k 2＋1. 因为△ABP 为等边三角形，所以|MP |＝32|AB |， 即k 2＋1k 2·3（k 2＋1）3k 2＋1＝32·26（k 2＋1）3k 2＋1， 解得k ＝±1.故直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.16．解： (1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，e )和⎝⎛⎭⎪⎫e ，32，∴⎩⎨⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e 2a 2＋34b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋c 2a 2b 2＝1，c 2a 4＋34b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明：设D (x 1，0)． ∵A (0，2)，E (x 0，0)． ∴AE →＝(x 0，－2)，AD →＝(x 1，－2)． 由题意知，AE 与AD 垂直，所以有 AE →·AD →＝x 1·x 0＋2＝0，∴x 1＝－2x 0，又点G 是点D 关于原点的对称点， ∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0，0，∴k QG ＝y 0－0x 0－2x 0＝y 0·x 0x 20－2＝x 0－2y 0， ∴l QG ：y －y 0＝－x 02y 0(x －x 0)， 整理得y ＝2－x 0·x2y 0，(*)将(*)式代入椭圆方程得x 2＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 0·x 2y 02＝2.整理得2x 2－4x 0·x ＋2x 20＝0，∴Δ＝(－4x 0)2－4·2·2x 2＝16x 20－16x 20 ＝0.∴直线QG 与椭圆C 只有一个公共点．。