试验五 几何变换
几何变换的认识和基本原理
几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。
在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。
本文将介绍几何变换的认识和基本原理。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。
平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。
旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。
缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。
四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。
对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。
五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。
仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。
数学几何变换的方法
数学几何变换的方法几何变换是数学中一项重要的研究内容，通过对图形进行不同的操作，可以实现平移、旋转、缩放等效果。
这些变换方法不仅在几何学中有着广泛的应用，还在计算机图形学、机器人学等领域发挥着重要作用。
本文将介绍几何变换的常见方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定方向上移动一定距离的操作。
其数学表达式为：平移后的坐标 = 原坐标 + 平移矢量平移矢量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
平移变换常用于游戏开发、图像处理等领域，可以实现图形的移动、平移动画效果等。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按一定角度进行旋转的操作。
其数学表达式为：旋转后的坐标 = 中心点坐标 + R * (原坐标 - 中心点坐标)其中，R为旋转矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行旋转。
旋转变换常用于计算机图形学中，实现图像的旋转、三维模型的变换等。
三、缩放变换缩放变换是指改变图形的尺寸大小的操作。
其数学表达式为：缩放后的坐标 = 原坐标 * 缩放因子缩放因子可以是一个比例因子，用于确定缩放的大小，也可以是一个矩阵，对各个坐标轴进行不同程度的缩放。
缩放变换常用于计算机辅助设计、图像处理等领域，可以实现图形的放大、缩小、图像的拉伸等效果。
四、对称变换对称变换是指将图形绕着中心轴进行镜像翻转的操作。
其数学表达式为：对称后的坐标 = 中心轴坐标 + S * (原坐标 - 中心轴坐标)其中，S为对称矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行对称。
对称变换常用于图像处理中，实现图像的镜像翻转、对称图案的生成等。
五、投影变换投影变换是指将三维物体投影到二维平面上的操作，常见的有透视投影和正交投影两种形式。
投影变换常用于计算机图形学中，实现三维物体的绘制和显示。
总结：数学几何变换的方法包括平移、旋转、缩放、对称和投影等。
这些变换方法在各个领域中都有重要应用，比如游戏开发、图像处理、计算机辅助设计等。
掌握几何变换的方法对于理解和应用相关领域的技术具有重要意义。
几何变换的概念和性质
几何变换的概念和性质几何变换是指在平面或空间中，通过对图形进行一系列操作，使得图形发生形状、位置、大小等方面的改变。
在几何学中，几何变换是一项重要的研究内容，对于理解和应用几何学具有重要意义。
本文将介绍几何变换的概念、常见的几何变换形式及其性质。
一、几何变换的概念几何变换是指通过对几何图形进行一系列的操作和变化，使得图形发生改变。
在几何学中，几何变换包括平移、旋转、镜像和放缩等操作，通过这些变换，我们可以改变图形的位置、形状和大小。
1. 平移平移是指在平面或空间中，将图形沿着一定的方向和距离进行移动，仅仅改变了图形的位置，而不改变其形状和大小。
平移变换可以用向量来表示，对于平面上的点P(x, y)，进行平移变换后的坐标为P'(x+a,y+b)，其中(a, b)是平移的向量。
2. 旋转旋转是指将图形绕着某个点旋转一定的角度，使得整个图形围绕这个点旋转。
旋转变换也可以用向量来表示，对于平面上的点P(x, y)，绕着原点逆时针旋转θ角度后的坐标为P'(x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ +y*cosθ)。
3. 镜像镜像是指将图形沿着某条直线进行对称操作，使得图形关于这条直线对称。
镜像变换的特点是保持图形的大小和形状不变，只是位置发生了改变。
镜像变换可以通过将图形上的点与镜像轴的垂直距离保持不变来进行计算。
4. 放缩放缩是指对图形进行拉伸或缩小的操作，使得图形的大小发生改变。
放缩操作可以通过改变图形上每个点与一个参考点的距离来实现，放缩时需要指定一个比例因子。
二、几何变换的性质几何变换具有一些重要的性质，下面将介绍一些常见的性质。
1. 结合性几何变换满足结合性，即对于任意三个几何变换A、B和C，它们的复合变换(A∘B)∘C等于A∘(B∘C)。
这意味着几何变换的执行顺序不影响结果。
2. 逆变性几何变换具有逆变性，对于任意一个几何变换A，存在一个逆变换A^-1，使得复合变换A∘A^-1等于恒等变换。
实验报告几何变换实验
实验报告几何变换实验实验报告：几何变换实验引言：几何变换是计算机图形学中的重要概念，它可以改变图像的形状、位置和大小。
在本次实验中，我们将通过对几何变换的实际操作，深入了解几何变换的原理和应用。
一、实验目的本次实验的主要目的是探究几何变换在图像处理中的应用，具体包括平移、旋转、缩放和翻转等几何变换操作。
通过实际操作和观察，我们将了解几何变换对图像的影响，并学习如何使用计算机编程实现这些变换。
二、实验材料和方法1. 实验材料：- 一台计算机- 图像处理软件（如Photoshop、GIMP等）- 编程软件（如Python、MATLAB等）2. 实验方法：- 步骤一：选择一张图片作为实验对象，并导入到图像处理软件中。
- 步骤二：使用图像处理软件进行平移操作，观察图像的位置变化。
- 步骤三：使用图像处理软件进行旋转操作，观察图像的旋转效果。
- 步骤四：使用图像处理软件进行缩放操作，观察图像的大小变化。
- 步骤五：使用图像处理软件进行翻转操作，观察图像的翻转效果。
- 步骤六：使用编程软件编写程序，实现上述几何变换操作，并观察结果。
三、实验结果与分析1. 平移操作：在实验中，我们发现通过平移操作，可以将图像在水平和垂直方向上进行移动。
通过调整平移的距离和方向，我们可以改变图像在画布上的位置。
这种操作常用于图像的对齐和拼接等应用中。
2. 旋转操作：旋转操作可以改变图像的角度和方向。
通过调整旋转的角度和中心点，我们可以使图像以不同的角度进行旋转。
这种操作常用于图像的矫正、仿射变换等应用中。
3. 缩放操作：缩放操作可以改变图像的大小。
通过调整缩放的比例，我们可以使图像变得更大或更小。
这种操作常用于图像的放大、缩小、裁剪等应用中。
4. 翻转操作：翻转操作可以改变图像的方向。
通过水平或垂直翻转，我们可以使图像在左右或上下方向发生镜像反转。
这种操作常用于图像的镜像处理、对称效果等应用中。
四、实验总结通过本次实验，我们深入了解了几何变换在图像处理中的应用。
几何变换的基本概念和性质
几何变换的基本概念和性质几何变换是指平面或空间中的图形在不同的变化规则下发生的形态变化。
在数学和计算机图形学中，几何变换是一个重要的概念，它被广泛应用于各种领域，包括计算机视觉、机器人学、游戏开发和工程设计等。
几何变换包括平移、旋转、缩放和镜像四种基本类型。
每种变换都有其独特的性质和特点。
1. 平移（Translation）平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向移动一定距离。
平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变了其位置。
平移的变换规则是通过坐标的加减运算来实现的。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕着某个点进行旋转运动。
旋转可以使图形沿着一个轴线旋转一定角度。
旋转不改变图形的大小和形状，但会改变其方向。
旋转的变换规则是通过坐标的旋转公式来实现的。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形按照一定的比例进行放大或缩小。
缩放可以改变图形的大小和形状，但不改变其方向。
缩放的变换规则是通过坐标的乘除运算来实现的。
4. 镜像（Reflection）镜像是指将图形按照某条直线或平面进行对称反转。
镜像可以改变图形的方向，但不改变其大小和形状。
镜像的变换规则是通过坐标的变号来实现的。
这些几何变换具有一些重要的性质。
例如，平移和旋转是可逆的，即可以通过逆变换将图形恢复到原来的位置和方向；缩放和镜像也是可逆的，但镜像时需要注意选择合适的对称轴；任意两个几何变换都可以通过组合来实现更复杂的变换效果。
总之，几何变换是数学和计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和镜像等变换可以实现对图形的形态变化。
掌握几何变换的基本概念和性质对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
参考资料：。
几何变换的基本定义
几何变换的基本定义几何变换是指通过改变图形的位置、形状、大小或方向来实现对图形的转换。
在数学和几何学中，几何变换是广泛应用于图像处理、计算机图形学和几何推理等领域的重要概念。
本文将简要介绍几何变换的基本定义，包括平移、旋转、缩放和对称变换。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行于原始位置的直线方向移动一定距离。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了其位置。
设图形上的点坐标为(x, y)，平移变换后的新坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。
在平面几何中，平移变换可以通过将所有点坐标加上相同的位移矢量来实现。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某一点或绕原点按一定角度旋转。
旋转变换改变了图形的方向和位置，但不改变其大小和形状。
设图形上的点坐标为(x, y)，旋转中心为(cx, cy)，旋转角度为θ，则旋转变换后的新坐标为(x', y')，可以通过以下公式计算：x' = (x - cx) * cosθ - (y - cy) * sinθ + cxy' = (x - cx) * sinθ + (y - cy) * cosθ + cy其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度的余弦和正弦值。
通过调整旋转角度可以实现图形的顺时针或逆时针旋转。
三、缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来实现对图形的变换。
缩放变换可以使图形变大或变小，但图形的形状和位置保持不变。
设图形上的点坐标为(x, y)，缩放中心为(cx, cy)，水平和垂直缩放比例分别为sx和sy，则缩放变换后的新坐标为(x', y')，计算公式如下：x' = (x - cx) * sx + cxy' = (y - cy) * sy + cy通过调整sx和sy的值，可以实现图形的水平或垂直方向上的缩放。
几何变换学习几何变换的基本概念
几何变换学习几何变换的基本概念几何变换是数学中一个重要的概念，它在几何学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍几何变换的基本概念，包括平移、旋转、缩放和对称等常见的变换方式。
一、平移平移是指在平面上将一个对象沿着指定的方向进行移动，移动的距离由向量表示。
平移变换可以用一个向量来描述，向量的长度代表了平移的距离，而向量的方向表示了移动的方向。
对于平面上的一个点P(x, y)，进行平移变换时，可以通过将原点O(x0, y0)与点P的连接向量OP与平移向量的和来得到新的位置P'(x', y')，其中(x', y') = (x + a, y + b)，其中a和b分别表示在x和y方向上的平移距离。
二、旋转旋转是指将一个对象围绕某个点或某个轴进行旋转操作，旋转的角度由角度值表示。
旋转变换也可以用一个向量来描述，该向量为旋转轴的方向向量，其长度代表了旋转的角度。
对于平面上的一个点P(x, y)，绕点O(x0, y0)进行旋转变换时，可以通过将点P相对于原点O的向量OP绕旋转向量逆时针旋转θ度来得到新的位置P'(x', y')。
三、缩放缩放是指将一个对象按照指定的比例进行放大或缩小的操作，缩放的比例由比例因子表示。
缩放变换可以用一个数值来描述，该数值为缩放比例因子。
对于平面上的一个点P(x, y)，进行缩放变换时，可以通过分别将点P的x和y坐标分别与缩放因子s相乘得到新的位置P'(x', y')，其中(x', y') = (s*x, s*y)。
四、对称对称是指将一个对象在指定的轴上进行镜像反转的操作，对称轴可以是水平轴、垂直轴或对角线等。
对称变换可以用一条线来描述，该线为对称轴的方向线。
对于平面上的一个点P(x, y)，绕对称轴进行对称变换时，可以通过将点P关于对称轴的垂线的交点与对称轴的向量之和得到新的位置P'(x', y')。
几何变换的认识与计算
几何变换的认识与计算几何变换是指在平面或者空间中对图形进行平移、旋转、缩放、镜像等操作，通过改变图形的位置、形状和方向来达到特定的目的。
在计算机图形学和计算机视觉等领域中，几何变换是一项重要且常用的技术，用于实现图像处理、模式识别、机器学习等应用。
本文将介绍几何变换的基本概念、常用方法和计算原理。
一、几何变换的基本概念几何变换包括平移、旋转、缩放和镜像四种基本操作。
它们可以分别对二维和三维空间中的图形进行变换。
1. 平移平移是指将图形沿着指定方向和距离进行移动，图形上的所有点都按照相同的方式移动。
平移变换通过改变图形的位置，而不改变其形状、大小和方向。
2. 旋转旋转是指将图形绕指定的旋转中心点按照指定的角度进行旋转。
旋转变换通过改变图形的方向，保持其形状和大小不变。
3. 缩放缩放是指将图形按照指定的比例进行放大或缩小，图形的所有点都按照相同的比例进行变换。
缩放变换通过改变图形的大小，保持其形状和方向不变。
4. 镜像镜像是指将图形绕指定的镜像轴进行对称变换，图形的每个点关于镜像轴的位置和距离与其对称。
镜像变换通过改变图形的方向，但保持其形状和大小不变。
二、几何变换的常用方法在计算机图形学和计算机视觉领域中，实现几何变换通常使用矩阵运算和坐标变换等方法。
1. 矩阵运算矩阵是一种方便描述和运算图形变换的数学工具。
通过定义不同类型的矩阵，可以实现平移、旋转、缩放和镜像等变换操作。
变换前的图形可以表示为一个向量，通过与变换矩阵相乘，可以得到变换后的图形向量。
2. 坐标变换坐标变换是指将图形上的点从一个坐标系统映射到另一个坐标系统。
通过设定不同的坐标系和坐标变换关系，可以实现平移、旋转、缩放和镜像等变换操作。
三、几何变换的计算原理几何变换的计算原理基于矩阵运算和向量变换的数学理论。
通过定义变换矩阵和变换向量，可以将图形的坐标进行变换，从而实现几何变换操作。
1. 平移计算平移变换只改变图形的位置，而不改变其形状和方向。
几何变换知识点总结
几何变换知识点总结几何变换是数学中一个重要的研究领域，它涉及到几何图形在平面上的移动、旋转、缩放和翻转等操作。
在这篇文章中，我将对几何变换相关的知识点进行总结和介绍。
一、平移变换平移是指将一个几何图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离，保持图形的形状和大小不变。
平移变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，进行平移变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = x + ay' = y + b其中a和b分别为平移的位移量。
二、旋转变换旋转是指将一个几何图形围绕某个点或者某条轴线进行旋转。
旋转变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，绕原点进行逆时针旋转θ度，则旋转后的坐标为P'(x', y')，其中：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这是一个二维的旋转变换，需要注意的是，参数θ的单位为弧度。
三、缩放变换缩放是指改变几何图形的大小，使其变大或者变小。
缩放变换可以用矩阵表示，对于平面上的点P(x, y)，进行缩放变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = kxy' = ky其中k为缩放的比例因子，当k>1时，图形被放大；当0<k<1时，图形被缩小。
四、翻转变换翻转是指将几何图形以某条轴线或者某个点进行对称镜像。
翻转变换分为水平翻转和垂直翻转两种类型。
1. 水平翻转：对于平面上的点P(x, y)，进行水平翻转变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = -xy' = y即原来的x坐标变为相反数，而y坐标保持不变。
2. 垂直翻转：对于平面上的点P(x, y)，进行垂直翻转变换时，坐标变为P'(x', y')，其中：x' = xy' = -y即原来的y坐标变为相反数，而x坐标保持不变。
几何变换概念
几何变换概念几何变换是指平面上的图形在不同的变换规律下发生形状、位置或尺寸的改变。
几何变换包括平移、旋转、镜像和伸缩等基本变换方式，它们在数学以及计算机图形学等领域有着广泛的应用和深入的研究。
一、平移平移是指图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
平移不改变图形的形状和大小，只是将图形整体移动到新的位置上。
平移变换通过向量的概念来描述，可以用坐标表示。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形平移d个单位长度，则平移后的点P'(x',y')的坐标为x'=x+d，y'=y+d。
二、旋转旋转是指图形围绕某个中心点按一定角度进行转动。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
旋转变换同样涉及到坐标的变化。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形绕原点顺时针旋转θ角度，则旋转后的点P'(x',y')的坐标为x'=x*cosθ-y*sinθ，y'=x*sinθ+y*cosθ。
三、镜像镜像是指图形沿着一个直线进行翻转。
直线称为镜像轴，镜像轴可以是任意一条线段，即使不在图形内部也可以。
镜像变换同样可以通过坐标来描述。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形关于镜像轴进行翻转，则镜像后的点P'(x',y')的坐标根据镜像轴的位置不同而有所区别。
四、伸缩伸缩是指图形在某个中心点按一定比例进行放大或缩小。
伸缩变换可以分为两种情况：等比例伸缩和非等比例伸缩。
等比例伸缩保持图形的形状不变，只改变尺寸大小；非等比例伸缩则同时改变图形的形状和尺寸。
伸缩变换同样可以使用坐标来表示。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形以中心点O为中心进行放大/缩小，比例为r，则伸缩后的点P'(x',y')的坐标为x'=r*x，y'=r*y。
综上所述，几何变换是数学中重要的概念，它是对图形进行形状、位置或尺寸改变的方式。
Opengl实验报告及源代码实验五 几何变换
实验报告学生姓名：学号：专业班级：实验类型：□验证□综合□设计□创新实验日期：2018.11 实验成绩：一、实验名称实验五几何变换二、实验内容1.编写程序绘制若干三维物体，将其放置在场景的不同位置，并让物体绕自身的某条轴做旋转运动；2.编写一个可在三维场景中自由移动和改变观察方向的摄像机，利用键盘和鼠标控制摄像机实现三维场景的动态漫游。
三、实验目的1.了解缩放、平移和旋转等模型变换的实现原理，掌握模型变换矩阵的使用方法，能够利用模型变换建立三维场景；2.了解视点变换的实现原理，掌握视点变换与摄像机功能的具体关系和利用视点变换矩阵构造摄像机的具体方法。
3.了解投影变换和视口变换的实现原理，掌握投影变换与视口变换在场景缩放和显示中的作用。
四、实验步骤1.建立立方体几何模型。
定义立方体顶点的位置坐标和纹理坐标，设置不同立方体在世界坐标系中的位置。
// Set up vertex data and attribute pointersGLfloat vertices[] = {-0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.0f, 0.0f,0.5f, -0.5f, -0.5f, 1.0f, 0.0f,0.5f, 0.5f, -0.5f, 1.0f, 1.0f,0.5f, 0.5f, -0.5f, 1.0f, 1.0f,-0.5f, 0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f,-0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.0f, 0.0f,-0.5f, -0.5f, 0.5f, 0.0f, 0.0f,0.5f, -0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,0.5f, 0.5f, 0.5f, 1.0f, 1.0f,0.5f, 0.5f, 0.5f, 1.0f, 1.0f,-0.5f, 0.5f, 0.5f, 0.0f, 1.0f,-0.5f, -0.5f, 0.5f, 0.0f, 0.0f,-0.5f, 0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,-0.5f, 0.5f, -0.5f, 1.0f, 1.0f,-0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f,-0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f,-0.5f, -0.5f, 0.5f, 0.0f, 0.0f,-0.5f, 0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,0.5f, 0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,0.5f, 0.5f, -0.5f, 1.0f, 1.0f,0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f,0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f,0.5f, -0.5f, 0.5f, 0.0f, 0.0f,0.5f, 0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,-0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f,0.5f, -0.5f, -0.5f, 1.0f, 1.0f,0.5f, -0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,0.5f, -0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,-0.5f, -0.5f, 0.5f, 0.0f, 0.0f,-0.5f, -0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f,-0.5f, 0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f,0.5f, 0.5f, -0.5f, 1.0f, 1.0f,0.5f, 0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,0.5f, 0.5f, 0.5f, 1.0f, 0.0f,-0.5f, 0.5f, 0.5f, 0.0f, 0.0f,-0.5f, 0.5f, -0.5f, 0.0f, 1.0f };// World space positions of our cubes glm::vec3 cubePositions[] = {glm::vec3(0.0f, 0.0f, 0.0f),glm::vec3(2.0f, 5.0f, -15.0f),glm::vec3(-1.5f, -2.2f, -2.5f),glm::vec3(-3.8f, -2.0f, -12.3f),glm::vec3(2.4f, -0.4f, -3.5f),glm::vec3(-1.7f, 3.0f, -7.5f),glm::vec3(1.3f, -2.0f, -2.5f),glm::vec3(1.5f, 2.0f, -2.5f),glm::vec3(1.5f, 0.2f, -1.5f),glm::vec3(-1.3f, 1.0f, -1.5f)};2.加载立方体模型的顶点数据。
计算机图形学实验报告几何变换
计算机图形学实验报告计算机图形学实验报告姓名徐沛华班级1011 学号20101851 成绩实验名称二维图形的几何变换1．对平面图形进行平移、缩放、旋转、对称实验目的实验步骤算法分析：图形变换是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。
图形变换既可以看作坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化；也可以看作图形不动而坐标系变动，变动后，该图形在新的坐标系下具有新的坐标值。
设（x,y）为图形原坐标值，经几何变换后坐标值变为（**,x y）。
以下为四种常用的几何变换公式。
(a) 平移变换：平移变换在前面的任务中已经用到过，它的变换公式为：[]**100,,1,,1010,,11x yx yx y x y x T y TT T⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(b) 旋转变换：绕原点旋转的变换公式为：[][] **cos sin0,,1,,1sin cos0cos sin,sin cos,1001x y x y x y x yθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-=⋅-⋅⋅+⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(c) 放缩变换：[]**00,,1,,100,,1001xy x ySx y x y S S x S y⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦几种变换可以组合在一起形成复合变换。
例如平移变换与旋转变换组合得到：(d) 相对点00(,)x y的旋转变换：[]**0000cos sin0 ,,1,,1sin cos0(1cos)sin(1cos)sin1 x y x yx y y xθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⋅+⋅-⋅-⋅⎣⎦ii、算法程序：void CZhouView::pingyi(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.x+100,m_nPoint1.y+100);dc.LineTo(m_nPoint2.x+100,m_nPoint2.y+100);}void CZhouView::xuanzhuan(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo((m_nPoint1.x*cos(0.5))-(m_nPoint1.y*sin(0.5)),(m_nPoint 1.x*sin(0.5))+(m_nPoint1.y*cos(0.5)));dc.LineTo((m_nPoint2.x*cos(0.5))-(m_nPoint2.y*sin(0.5)),(m_nPoint2 .x*sin(0.5))+(m_nPoint2.y*cos(0.5)));}void CZhouView::bili(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.x*2,m_nPoint1.y*2);dc.LineTo(m_nPoint2.x*2,m_nPoint2.y*2);}void CZhouView::XCQ(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x+100,m_nPoint2.y);}void CZhouView::DC(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.y,m_nPoint1.x);dc.LineTo(m_nPoint2.y,m_nPoint2.x);}dc.MoveTo(m_nPoint1.y,m_nPoint1.x);dc.LineTo(m_nPoint2.y,m_nPoint2.x);}void CZhouView::YCQ(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y+100); }//OnLButtonUp(UINT nFlags, CPoint point) case 8:pingyi();break;case 9:xuanzhuan();break;case 10:bili();break;case 11:XCQ();break;case 12:YCQ();break;case 13:DC();break;编译，运行：平移：。
几何变换的性质与规律
几何变换的性质与规律几何变换作为数学中的一项重要内容，研究的是平面或空间中的图形在变换后的性质与规律。
几何变换包括平移、旋转、对称和相似变换等，每一种变换都有其独特的性质与规律。
本文将对几何变换的性质与规律展开讨论，以帮助读者更好地理解和应用几何变换。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行方向移动，保持图形的大小、形状和内部角度不变。
平移变换的性质与规律如下：1. 平移变换后的图形与原始图形全等。
2. 平移变换不改变图形的边长、对角线长度和角度大小。
3. 平移变换后的图形保持与坐标轴平行。
平移变换应用广泛，例如在地图制作中，通过平移变换可以将地图图形移动到指定的位置；在机器人运动规划中，平移变换可以实现机器人在平面上的移动。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕一个固定点旋转一定角度，使得图形保持大小和形状不变。
旋转变换的性质与规律如下：1. 旋转变换后的图形与原始图形相似。
2. 旋转变换不改变图形的边长和角度大小，但会改变图形的方向。
3. 旋转变换可以分为顺时针和逆时针两种方向。
旋转变换在几何学和物理学中应用较多，例如在三维视图的旋转操作中，通过旋转变换可以改变视角和观察方向；在天文学中，旋转变换可以描述行星绕轨道公转的过程。
三、对称变换对称变换是指将图形围绕一个轴线对称折叠，使得图形的对应部分重合。
对称变换的性质与规律如下：1. 对称变换后的图形与原始图形全等。
2. 对称变换不改变图形的大小和内部角度，但会改变图形的方向。
3. 对称变换可以分为关于直线对称和关于点对称两种情况。
对称变换在几何学中有广泛应用，例如关于点对称的例子可以是人的左右对称、花朵的对称等；关于直线对称的例子可以是字母"X"关于纵轴对称等。
四、相似变换相似变换是指对图形进行平移、旋转或等比例变换后得到与原图形相似的图形。
相似变换的性质与规律如下：1. 相似变换后的图形与原始图形相似，两者的形状相同但大小可能不同。
几何变换的基本概念与操作
几何变换的基本概念与操作几何变换是计算机图形学中的重要概念，它可以将一个图形对象从一个位置、方向或大小变换到另一个位置、方向或大小，通过不同的变换操作，可以实现各种形状和位置的变化。
本文将介绍几何变换的基本概念和操作，包括平移、旋转、缩放和反射四种变换。
一、平移平移是指将图形对象按照指定的向量在平面内沿着直线移动，其作用是改变图形对象的位置而不改变其形状和大小。
平移操作可以用一个向量表示，向量的坐标分别表示在x轴和y轴方向上的移动距离。
平移操作的数学表达式如下：```P' = P + T```其中，P表示原始点的坐标，P'表示平移后点的坐标，T表示平移向量的坐标。
二、旋转旋转是指将图形对象按照指定的角度围绕一个中心点旋转，其作用是改变图形对象的方向而不改变其形状和大小。
旋转操作可以用一个角度表示，角度的正负决定了旋转的方向。
旋转操作的数学表达式如下：P' = R * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示旋转后点的坐标，R表示旋转矩阵。
三、缩放缩放是指将图形对象按照指定的比例在水平和垂直方向上进行放大或缩小，其作用是改变图形对象的大小而不改变其形状。
缩放操作可以用一个缩放因子表示，缩放因子大于1表示放大，缩放因子小于1表示缩小。
缩放操作的数学表达式如下：```P' = S * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示缩放后点的坐标，S表示缩放矩阵。
四、反射反射是指将图形对象按照指定的轴线进行镜像翻转，其作用是改变图形对象的位置和方向而不改变其形状和大小。
反射操作可以用一个轴线表示，轴线可以是水平、垂直或任意一条直线。
反射操作的数学表达式如下：P' = M * P```其中，P表示原始点的坐标，P'表示反射后点的坐标，M表示反射矩阵。
综上所述，几何变换是计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和反射四种基本操作，可以实现对图形对象的位置、方向和大小的变化。
利用几何变换解决实际问题
利用几何变换解决实际问题几何变换是数学中的一个重要概念，它可以用来描述平面或者空间中的图形在位置、大小、形状等方面的变化。
在实际生活中，我们经常会遇到一些与几何相关的问题，而利用几何变换的方法可以帮助我们更好地解决这些问题。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，而保持其大小和形状不变。
这种变换在实际生活中非常常见。
比如，我们在设计家具布局时，经常需要将家具沿着墙壁移动一段距离，以便腾出更多的空间。
这时，我们可以利用平移变换的方法，将家具的位置进行调整，而无需改变家具的大小和形状。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个点或者某个轴旋转一定的角度，而保持其大小和形状不变。
这种变换在实际生活中也非常常见。
比如，我们在拍摄照片时，经常需要调整照片的角度，使其更加美观。
这时，我们可以利用旋转变换的方法，将照片绕着某个点或者某个轴旋转一定的角度，从而得到我们想要的效果。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形在平面上或者空间中按照一定的比例进行放大或者缩小，而保持其形状不变。
这种变换也经常在实际生活中出现。
比如，我们在设计海报时，经常需要调整文字的大小，使其更加突出。
这时，我们可以利用缩放变换的方法，将文字按照一定的比例进行放大或者缩小，从而达到我们想要的效果。
四、镜像变换镜像变换是指将一个图形按照某条直线或者某个平面进行翻转，而保持其形状不变。
这种变换在实际生活中也非常常见。
比如，我们在设计标志牌时，经常需要将文字或者图形进行镜像处理，使其更加对称。
这时，我们可以利用镜像变换的方法，将文字或者图形按照某条直线或者某个平面进行翻转，从而得到我们想要的效果。
利用几何变换解决实际问题的方法并不复杂，但是需要我们对几何变换的概念和原理有一定的了解。
在实际操作中，我们可以通过计算和推导来确定变换的参数，然后利用计算机软件或者数学工具进行实际的变换操作。
总之，几何变换是一个非常有用的工具，可以帮助我们更好地解决实际生活中与几何相关的问题。
几何变换的基本概念与方法
几何变换的基本概念与方法几何变换是指通过一定的操作将图形或空间中的点、线、面等按照一定规律进行改变的过程。
几何变换在数学、计算机图形学、物理学等领域都有广泛的应用。
下面将介绍几何变换的基本概念和常用的方法。
一、基本概念1. 平移变换：平移变换是指通过平移向量对图形中的每个点进行位移，使得整个图形整体移动到新的位置上，而形状和大小不变。
平移变换可以用矩阵形式表示为：(x', y') = (x, y) + (dx, dy)其中，(x, y)是原始点的坐标，(dx, dy)是平移向量，(x', y')是平移后点的坐标。
2. 旋转变换：旋转变换是指通过旋转中心和旋转角度对图形中的每个点进行旋转，使得整个图形绕着旋转中心进行旋转。
旋转变换可以用矩阵形式表示为：(x', y') = (x, y) * R其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是旋转后点的坐标，R是旋转矩阵，可以通过求解得到。
3. 缩放变换：缩放变换是指通过缩放因子对图形中的每个点进行缩放，使得整个图形按照一定比例进行放大或缩小。
缩放变换可以用矩阵形式表示为：(x', y') = (x, y) * S其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是缩放后点的坐标，S是缩放矩阵，可以通过求解得到。
4. 对称变换：对称变换是指通过对称轴将图形中的每个点映射到对称位置，使得整个图形关于对称轴对称。
对称变换可以用矩阵形式表示为：(x', y') = (x, y) * M其中，(x, y)是原始点的坐标，(x', y')是对称后点的坐标，M是对称矩阵，可以通过求解得到。
二、常用方法1. 坐标变换法：将原始图形的每个点的坐标进行变换，根据不同的变换方式，选择相应的变换矩阵进行计算，得到变换后的图形。
2. 向量变换法：将原始图形看作由线段或向量组成，通过对每个线段或向量进行变换，得到变换后的线段或向量，并重新组合为变换后的图形。
教学实例小学数学的几何变换与体积应用与解答与应用
教学实例小学数学的几何变换与体积应用与解答与应用教学实例：小学数学的几何变换与体积应用与解答与应用在小学数学教学中，几何变换与体积应用是一个重要的内容。
通过学习几何变换和体积应用，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。
本文将结合几个实例，介绍小学数学中的几何变换与体积应用的相关内容，并提供解答和应用方法。
一、几何变换几何变换是指在平面或空间中，根据一定的规则，通过平移、旋转、翻转等方式改变图形的位置、形状或方向的操作。
几何变换是培养学生观察、分析和判断能力的有效途径之一。
实例一：平移变换小明要将一张正方形纸片平移5个单位向右，如何画出平移后的图形？解答与应用：首先，在一个正方形纸片上，确定一个顶点为初始点，根据给定的向右平移5个单位的要求，用尺子将初始点向右平移5个单位，然后在连接初始点和平移后的点之间画线，得到平移后的正方形图形。
实例二：旋转变换小红有一个图形，她要将图形按顺时针方向旋转90度，如何进行旋转变换？解答与应用：首先，在纸上画出原始图形，然后选取旋转中心，将图形以旋转中心为基准，顺时针旋转90度。
旋转后的图形可以通过直观观察得到。
二、体积应用体积是描述三维物体所占空间的度量，对于小学生而言，通过实际问题的应用，可以更好地理解和运用体积的概念。
实例三：立方体的体积计算小华有一个边长为3厘米的立方体，他想知道立方体的体积是多少？解答与应用：立方体的体积可以通过边长的立方来计算，即体积等于边长的立方。
根据题目给出的边长3厘米，计算出立方体的体积为3^3 = 27立方厘米。
实例四：问题解答A市公园有一个长方体儿童游乐池，长为4米，宽为3米，深为1.5米。
游乐池里的水已经注满了，小明想知道游乐池中水的体积是多少？解答与应用：长方体的体积可以通过长、宽、高的乘积来计算。
根据题目给出的数据，将长、宽、高代入体积公式，计算出游乐池中水的体积为4 * 3 * 1.5 = 18立方米。
几何变换的实际应用实践将几何变换运用到实际生活中的问题的实践方法
几何变换的实际应用实践将几何变换运用到实际生活中的问题的实践方法几何变换是数学中研究图形的一种重要方法，通过对图形进行平移、旋转、缩放等操作，可以产生新的图形，并且能够解决许多实际生活中的问题。
本文将介绍几何变换在现实生活中的实际应用，并探讨几何变换的实践方法。
一、地图的缩放与平移地图是我们生活中常用的导航工具，而地图的缩放与平移正是几何变换的应用之一。
在导航软件中，我们可以通过手指在手机或者平板上的操作，实现地图的缩放和平移。
当我们需要查看更大范围的地图时，可以将地图进行缩放，以便清晰地观察每个地区的细节；当我们需要找到具体的地点时，可以通过平移地图，使目标地点居中显示。
这种实际应用中，几何变换能够帮助我们方便地获取所需信息。
实践方法：在设计导航软件时，首先需要确定图形变换的中心点和缩放比例，然后根据用户的手势动作，通过计算坐标的变换实现图形的缩放与平移。
同时，还需要采取合适的算法来避免图形的形变和失真，以提供准确的导航信息。
二、图像处理中的几何变换图像处理是几何变换在实际应用中的又一个重要领域。
通过对图像进行平移、旋转、翻转等几何操作，可以实现图像的修复、改变角度或者镜像等目的。
例如，我们在拍摄照片时，有时候会因为角度不正或者拍摄瞬间手抖导致图像出现倾斜，此时可以借助几何变换进行图像矫正；又如，在美颜相机中，我们可以通过图像缩放等几何变换操作来实现对脸部特征的调整，使得人物更加美观。
实践方法：在图像处理中，需要通过计算图像的任意点坐标变换来实现几何变换。
比如，对于图像的平移，可以通过将每个像素点的坐标进行平移操作来实现；对于图像的旋转，则需要计算每个像素点的新坐标，并通过插值算法进行像素值的计算。
不同的几何变换需要采用不同的算法和模型，以保证图像处理的准确性和效果。
三、三维模型的变换与仿真在三维建模和动画制作中，几何变换被广泛应用于三维模型的变换与仿真。
通过对三维模型进行旋转、平移、缩放等操作，可以实现物体的移动、变形和动画效果。
几何变换mathematica
北京建筑工程学院理学院 实验报告课程名称 数学实验 实验名称 几何变换 实验地点 基c425 日期 07.01 姓名 周盈海 班级 信131 学号 201307010137 指导教师 高雁飞 成 绩1、 线性变换与仿射变换的了解。
2、 线性变换的特征向量。
3、 射影变换的了解。
【实验要求】1、 (1)任选一个角度α，决定一个线性变换)','(),(:y x y x →ϕ使ααsin cos 'y x x -=，ααcos sin 'y x y +=。
画一个由平面直线段或曲线段组成的图形C ，再画出它在上述变换下的象)(C ϕ。
观察变换后的现象。
（2）任选一个变换矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211b a b a A ，决定线性变换ϕ。
画一个由平面直线段或曲线段组成的图形C ，再画出它在上述变换下的象)(C ϕ。
观察变换后的现象。
2、选取自然数n,在单位圆周上依次取n 个点。
设是P i 在变换A 下的象。
用一种颜色画出从原点O 到每个P i 的线段并适当延长，用另一种颜色画出从每个P i 到P i ’的线段。
观察比较与方向的差异。
3、定义平面上的变换)','(),(:y x y x →ϕ使'x ，'y 之间的函数关系为1'-=x x x ，1'-=x y y 。
画一个由平面直线段或曲线段组成的图形C ，再画出它在上述变换下的象)(C ϕ。
观察变换后的现象。
【实验内容】（主要包含问题分析、计算过程、实验结果等，按课程要求完成）问题的分析1、（1）在同一平面内，画图形C 。
取一个角度4πα=，决定一个线性变换)','(),(:y x y x →ϕ使ααsin cos 'y x x -=，ααcos sin 'y x y +=。
在另一平面内画出C 在上述变换下的象)(C ϕ。
该变换属于旋转变换，所以只有图像的角度发生改变，其他性质均未改变。
几何变换和平移
几何变换和平移在我们日常生活和数学世界中，几何变换和平移是非常重要的概念。
它们不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中的建筑设计、计算机图形学、物理学等领域也发挥着关键作用。
先来说说几何变换。
几何变换，简单来讲，就是对几何图形进行某种操作或改变，使其位置、形状或大小发生变化。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和反射等。
平移，是几何变换中最基础也最常见的一种。
想象一下，你在一张纸上画了一个三角形，然后你把这张纸沿着某个方向移动了一段距离，纸上的三角形也跟着移动了相同的距离，这个过程就是平移。
平移的特点是，图形的形状、大小和方向都不会改变，只是位置发生了变化。
比如说，在建筑工地上，工人师傅要把一块预制板从一个地方搬到另一个地方，这就是一个平移的过程。
在计算机游戏中，当游戏角色在屏幕上移动时，其实也是在进行平移操作。
还有，在地图导航中，我们把地图平移来查看不同的区域，也是平移的应用。
平移在数学中的表示通常是通过向量来实现的。
向量可以告诉我们平移的方向和距离。
假设我们有一个点的坐标为（x, y) ，要将其沿向量（a, b) 进行平移，那么平移后的点的坐标就变成了（x ＋ a, y ＋ b) 。
那平移到底有什么用呢？它在解决几何问题时可大有用处。
比如说，我们要证明两个图形全等，如果能通过平移将它们重合，那就可以很直观地证明了。
再从物理学的角度来看，平移也有其身影。
比如，一个物体在水平面上匀速直线运动，我们就可以把它的运动看作是在空间中的平移。
而且，平移在艺术创作中也能带来独特的效果。
一些艺术家会通过巧妙地运用平移元素，创造出富有动感和节奏感的作品。
在数学的更高层次，比如在向量空间和线性代数中，平移的概念被进一步拓展和深化。
它与其他数学概念相互结合，为解决更复杂的数学问题提供了有力的工具。
除了平移，其他几何变换也各有特点和用途。
旋转是让图形围绕一个中心点转动一定的角度；缩放是改变图形的大小；反射则是像镜子成像一样，将图形沿着某条直线翻转。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
地理信息科学专业实验报告
（2013 —2014学年第2学期）
课程名称：GIS基础应用技能四
班级：地信122
姓名：
学号：**********
*******
实验名称
实验五 几何变换
实验时间
2014.5.9
实验地点
地信楼403
实验成绩
实验目的
要求对一个扫描产生的图像文件进行仿射变换，进行栅格数据的矢量化，栅格数据矢量化是一种重要的数据输入方式，是对一幅卫星影像进行仿射变换。
图3 转换投影
其次对 rec_cedarbt.tif 中的栅格线条进行矢量化并将结果保存为 cedarbt_trace.shp。针对cedarbt.tif 有4 个 Tics，由左上角开始依次顺时针编号，这 4个 Tics的 UTM 坐标为：
6：仿射变换的总均方差是多少？
7：在对 rec_cedarbt.tif进行矢量化的过程中有没有遇到什么问题？
实验数据
EX05_data
实验步骤
1第一次尝试时总均方差是多少？
答：第一次尝试时总均方差是1.2153
2第一条记录的残差值为多少？
答：第一条记录的残差值为1.2157
3 Generate Features工具将中心线添加到 hoytmtn_trace.shp，为何这些线被称为中心线？
答：由于在矢量化过程中所有矢量的图层线都必须是依照原有的栅格图层的中心位置进行的，所以这些线必须是中心线。
答：在批量进行矢量化时要注意参数的设置
实验总结
完成了数据输入与编辑的实验，掌握软件的基本操作能力，完成了相关实验的任务，该实验显示了版本的更新，会产生较大的差异。
教师评价
4除了批处理之外还有那些其他的矢量化方式？
答：ArcGIS中除了提供上述的Arcscan矢量化二值化后的栅格图层，还可以直接根据栅格图层直接进行手动矢量化。
5使用这4 个初始关联点所产生的总均方差是多少？
答：使用这4 个初始关联点所产生的总均方差是3.53523.
挑arbt.tif，二值扫描的土壤图。本挑战要求执行 2 项操作：首先将扫描文件转换为 UTM 坐标系统（NAD 1927 UTM Zone 12N）并将结果保存为 rec_cedarbt.tif，如图3