对称变换的研究

数学10903班 郑庆庆 200905461 20号
正多边形的对称变换
探究：1、你能给出正五边形、正六边形的对称变换吗？
一、问题分析：对于上述问题，我们要用到对称变换的相关知识，我们知道，正方形有8个对称变换，这8个对称变换都保持正方形的中心不动，而把它的顶点仍然映成顶点，把这8个对称变换组成的集合记做D 4，即： D 4={}1234123,,,,,,,I r r r r ρρρ，
事实上，正n 边形的对称变换都保持它的对称中心不动，而把它的n 个顶点仍然映成顶点。

二、问题解答：
如图，先画一个正五边形，在它的顶点标上1、2、3、4、5和中心o ，我们来做它的对称变换：
()1恒等变换，记做I
()2关于对称轴1r 所在的直线的反射，记做1r ：（见上图） ()3关于对称轴2r 所在直线的反射，记做2r ：
（见图三）
()4关于对称轴3r 所在直线的反射，记做3r ：
（见图四） ()5关于对称轴4r 所在的直线的反射，记做4r ：
（见图五）
4
3
2
4（3）
3（4）
2（5）
图三
5
4（5）
3（1）
2（2）
图4
2（4）
3（3）
4（2）
()6关于对称轴5r 所在直线的反射，记做5r ：
（见图六） ()7以点o 为中心，旋转108︒，记做
1ρ：
（见图7）
()8以o 为中心，旋转216︒，记做2ρ：
（见图8） ()9以o 为中心，旋转324︒，记做3ρ：
（见图9） ()10以o 为中心，旋转432︒，记做4ρ：
（见图10）
图五
2（1）3（5）
4（4）
图六
2（3）
3（2）
4（1）
5
2（3）
3（4）
4（5）
5图7
图8
54（1）
3（5）
2（4）
2（5）
3（1）
4（2）
5图9
2（5）
3（1）
4（2）
5图10
结论：通过以上分析，我们可以得到，正五边形对称变换组成的集合为：
{}5123451234=,,,,,,,,,D I r r r r r ρρρρ
类似的，我们可以得到，正六边形的对称变换组成的集合为：
{}612345,,,,,,D I r r r r r ={}612345612345=,,,,,,,,,,,D I r r r r r r ρρρρρ
三、小结：
正多边形的对称变换都是以其中心o 为不动点的平面刚体运动，因此只有两类——或是
以o 为中心的对称变换，或是关于经过o 点的直线的反射的变换。

直角坐标系与极坐标系的比较
探究：2、在极坐标系中，由三条直线=0=cos sin 13
π
θθρθρθ+=，，围成图形
的面积是多少？
一、问题分析：
我们已经知道，对于平面上任意一点M ，用ρ表示OM 的长度，用θ表示OX 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序对(),ρθ就叫做M 的极坐标，由极径的意义可知0ρ≥，当极角θ的取值范围是[]0,2π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标(),ρθ建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径0ρ=，极角是任意角，对于上述问题，我们可以用两种思想进行解答，方法一：在极坐标系中，建立方程，进行求解。

方法二：在直角坐标系中，建立方程求解。

二、问题求解：
方法一：建立极坐标系.
我们知道cos 1ρθ=的图像如图一，
而cos sin 1,cos 14πρθρθθ⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭
即cos 4y πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像为将cos y ρθ=的图像逆时针旋转4π，故我们可以
画出cos sin 1ρθρθ+=的图像，如图二。

我们将三条直线的图像画在极坐标系中，如图三。

当3
π
θ=
时，代入cos sin 1ρθρθ+=
得ρ=
故，阴隐区域的面积为：1123s π=
⨯=
方法二：建立直角坐标系。

由x cos ,sin y ρθρθ==得，三条曲线在直角坐标系中的方程分别为：
0;;y y ==1x y +=
将他们的图像画在直角坐标系中，得到图四：
我们可以求出曲线y 与曲线1x y +=的焦点为
13,22⎛- ⎝⎭
故阴隐部分的面积为
112s ==
三、小结：
通过对比，我们可以发现，在此题目中，用极坐标解题明显复杂些，但是，极坐标与直角坐标系是一一对应的关系，所以，可以用直角坐标系解题的也可以用极坐标系来做，在三角函数那部分，运用极坐标系，明显容易些。

图一
图三
cos sin 1ρθρθ+=。