对称矩阵与对称变换.
第六节对称变换
阵 A 的全部特征值．
例 3 已知实二次型
f ( x1 , x 2 , x3 ) = 4 x1 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 + 4 x3 + 4 x 2 x3
2 2 2
试用正交线性替换化为 f ( x1 , x 2 , x3 ) 标准形．
1）求出 A 的全部不同的特征值 λ1 , λ 2 , L , λ r ；
2）对每个特征值，逐个地代入齐次线性方程组 (λE − A) X = 0 ，求 出 一 个 基 础 解 系 ． 由 这 组 向 量 出 发 ， 求 出 Vλi 的 一 组 标 准 正 交 基
η i1 ,η i 2 , L ,η ik ；
第九章欧几里得空间6对称变换一对称变换定义定义12设v是欧氏空间a?lv若????v有a???a?则称a是对称变换二对称变换的性质定理7设v是有限维欧氏空间a?lv则下列命题等价
第九章 欧几里得空间
§6对称变换 对称变换
一、对称变换定义
定义 12 设 V 是欧氏空间，/A ∈ L（V） ，若 ∀α ， β ∈ V 有 （/A（ α ） β ）=（ α ，/A（ β ） ， ） 则称/A 是对称变换
例2设
4 2 2 A = 2 4 2 2 2 4
求一个正交矩阵 T 使 T ′AT 为对角阵．
四、实二次型的正交线性替换
定理 13 实二次型 f ( x1, , x 2 , L x n ) = Χ ′ΑΧ 都可以经过正交的线性替 换变成标准形 λ1 y1 + λ 2 y 2 + L + λ n y n ，其中 λ1 , λ 2 , L , λ n 是实对称矩
对称变换和对称矩阵.
由复数共轭的性质及 A A得
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( A ) ( A ) A A A
T T T
T
T
T
T
(C1 ,C2
CCn )
所以
A ( C1 , C 2
c1 c2 Cn ) = (C1 ,C 2 cn
n } y
前页 后页 返回
于是
( ) {1 , 2 n } A ( ) {1 , 2 n } AY
其中 A ， AY 分别是 ( ) ， ( ) 关于标准正交 基{1 , 2
n }的坐标列向量，因此
( ), ( A)T Y T ATY
c1 c2 Cn ) cn
c1 c1 c2 c2 又因为 A 即 A = cn cn
前页 后页 返回
所以
(C1 ,C 2
c1 c2 Cn ) A =(C1 ,C 2 cn c1 c2 Cn ) cn
a ji aki k , j ( i ), j i , ( j )
i , akj k aij
k 1
n
前页 后页 返回
因此，A 是对称矩阵.
充分性 设 关于V 的标准正交基{1 , 2 矩阵是 A= ( aij ) 是实对称矩阵，即
3 ( x1 , x2 , x3 ) ( x2 , x1 , x3 )
3、对称变换与对称矩阵的关系
定理 7.5.1
n 维欧氏空间V 中的线性变换 是对
称变换的充分必要条件是： 关于任意一个正交基 的矩阵是实对称矩阵 .
矩阵分析 第三章 第6节
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。 （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9： 酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是： 在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角 矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵 正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
对称变换、反对称变换及其矩阵的一些刻画
质定理提供 了解决 高等代数 问题 的捷径 ，且容 易被 掌握。
关键 词 ：对称 变换 ；反 对 称 变换 ；矩 阵
中图分类号 ：０ １ ５ １ ． ２ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ４—０ ０ ９ ２（ ２ ０ １ ３ ）０ ６—０ ０ １ ９—０ ５
对称变换与反对称变换都是欧氏空间中的线性
基本贯穿了高等代数始终 ，相关问题的研究也引起 １ ２ ２ ＜ ， ｏ ｒ （ ｐ ） ＞ ，其 中 ｃ ｌ ， ｃ ２ ∈ Ｒ ， 那么 ｏ ｒ 是欧 氏空 间
注 ：当条 件 ｃ １ ＝ ０ ， ｅ ２ ＝ ｌ 时 ，有 ＜ ｒ（ ｏ ） ， ｐ＞ ＝ ＜ ，
盯（ ｐ ） ＞ ；当 ｅ ｌ ＝ ０ ， Ｃ ２ ＝ １ 时 ，有 ＜ ｒ（ ｏ 仅） ， ｐ＞ ＝ 一 ＜ 仅， １ ３ ＂ （ Ｂ ） ＞ 。从 而 有
子 空 间及 其 正 交补 空 间的 直 和分 解 、二次 型 等 等 ， 了 一些 学 者 的兴 趣 ，并 得 到 了若 干有 意 义 的成 果 。 张海 山【 时 反 对称 矩阵 的性 质作 了比较全 面 的研究 ， 杨 善林 论 了实 反对 称 矩 阵 的标 准 型 ，邹 本 强 Ｃ ３ ］ ，
点 ，在 近几 年 的试题 中 占有一 定 的 比重 。
１ 对称变换 、反对 称变换
１ ． １ 对称 变换 、反 对称 变换 的原 始定 义
本 文 中 ，Ｖ表 示 ｎ维欧 氏空 间 。 定 义 １ 欧 氏空 间 ｖ 中的线 性 变 换 ｏ ｒ 称 为 对 称 的 ，如果 对任 意 ｏ Ｌ ， ｐ ∈Ｖ，有 ＜ｏ ｒ（ 仅） ， ｐ＞ ＝ ＜ ， ｒ（ ｏ ｐ） ＞ 。 定 义 ２ 欧 氏空 间 ｖ 中的 线 性 变 换 ｏ ｒ 称 为 反
对称变换
故
0 ( , ) ( , )
即 M ,故 M 为
子空间.
在V的一组标准正交基,使 在该基下的矩阵为对角
阵.
2018/2/20
定理9.5.7 设 是n维欧氏空间V的对称变换,则存
证:对维数n进行数学归纳. n=1时命题成立.设维数为n-1时成立,则维数为n时 由推论9.5.3,
数学科学学院
孔祥智
定义9.5.1设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足
( ), , ( ) ,
则称 为对称变换．
, V ,
定理9.5.2 设是n维欧氏空间V的对称变换当且仅当 它在标准正交基下的矩阵为对称矩阵. 证:设 1 , 2 , n 为V的标准正交基.
②
X 0 AX 0 0 X 0 X 0
2018/2/20
③
由② ,③得
0 X 0 X 0 0 X 0 X 0
X 0 X 又 0 0 从而
0 0 ,即 0 为实数.
推论9.5.4 n 维欧氏空间 V 的对称变换 一定有 n
个特征值.
2018/2/20
为 R n 的标准正交基,设为
( 1 ,, n ) ,则
T ( 1 ,, n ) 且
1 1 T AT k k
2018/2/20
1)求的特征值
1 ,, k ;
2)解 (i E A) X 0 得基础解系:
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1 Er1 E k r k
例: 设
0 1 A 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
数学中的对称性与变换的性质与应用
电磁波：对称性在电磁波的传播和散射中的应用
相对论：对称性与时空结构的关系
对称性与化学分子的关系
对称性在化学分子中具有重要应用，可以预测分子的性质和行为。
对称性可以用于描述化学反应的过程和机制，帮助理解反应机理。
对称性在化学合成中具有指导作用，可以预测化合物的合成路线和产物结构。
对称性在化学分析中也有应用，可以通过对称性分析确定化合物的晶体结构和分子结构。
拉普拉斯变换：将时域函数转换为复平面上的函数，用于求解微分方程、控制系统等领域
Z变换：将离散信号转换为连续信号，用于数字信号处理、离散控制系统等领域
小波变换：用于多尺度分析、信号处理和图像压缩等领域
变换在几何学中的应用：刚体变换、仿射变换等
投影变换：将三维图形投影到二维平面上，包括正投影、斜投影和透视投影等。
对称性在几何学中的其他应用：除了对称空间和对称流形外，对称性在几何学中还有许多其他应用，如对称函数、对称群等。这些应用在数学和物理学等领域有广泛的应用。
对称性在数学中的重要性：对称性是数学中的重要概念之一，它在数学各个分支中都有广泛的应用。通过对称性的研究，可以深入了解数学对象和数学结构的基本性质和特点，为数学的发展和应用提供重要的理论支持和实践指导。
对称性在分析学中的应用：对称函数、对称级数等
对称函数：具有对称性质的函数，如正弦函数、余弦函数等
对称积分：利用对称性简化积分的计算，如奇偶函数积分性质等
对称微分：利用对称性简化微分方程的求解，如对称变换求解微分方程等
对称级数：具有对称性质的级数，如正项级数、交错级数等
对称性在几何学中的应用：对称空间、对称流形等
常见的变换包括平移、旋转、缩放、镜像反射等，这些变换在几何、代数和微积分等领域有着广泛的应用。
对称矩阵与对称变换.
f
y12
y
2 2
y32
3
y
2 41P AP Nhomakorabea1
1
3
思考题
• 正交矩阵的特征值是否全是实数? • 用特征值给出二次型为正定二次型
的充分必要条件.
• 作业:P396~16、17、18、19、20
1 (1,1,0,0),2 (1,0,1,0),3 (1,0,0,1)
标准正交化, 得
11
p1 (
, 2
,0,0), 2
1 12
1113
p2 (
, 6
, 6
6 ,0), p3 (
, 12
, 12
, 12
) 12
属于特征值3的特征向量是p4
1 (1,1,1,1) 2
令P ( p1 , p2 , p3 , p4 ), P是正交矩阵,经正 交变换X PY, 二次型化成标准形
（σ(ξ)，η）＝（ξ，σ（η）） 成立，那么就称σ是一个对称变换。 ▲ 对称变换的充要条件 σ关于Ｖ的任意标准正交基的矩阵是对称矩阵。
•对称变换与对称矩阵的关系：
设n维欧氏空间中的线性变换A在任意标准正交 基下的矩阵为A，则A是对称矩阵的充分必要条 件是A为实对称矩阵. 对任意对称矩阵A，必有n阶正交矩阵T，使得
因为σ（α1），…，σ（αn）线性 相关，所以存在一组不全为零的数
k1, k2 ,, kn
n
使 ki (i ) 0
n
即 ( aii ) 0
i 1
i 1
n
于是当σ是单射时有
ai i 0
i 1
Theorem7. 对于任意一个n级实对称 矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T ,
对称矩阵与对称变换的性质与应用
对称矩阵与对称变换的性质与应用对称矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和广泛的应用。
本文将深入探讨对称矩阵的性质以及对称变换的应用。
一、对称矩阵的定义和基本性质对称矩阵是一种特殊的方阵，它满足矩阵的主对角线元素对称，并且对称位置上的元素相等。
设A=(aij)是一个n阶矩阵，若对任意i与j都有aij=aji，则A为对称矩阵。
对称矩阵具有以下基本性质：1. 对称矩阵的主对角线元素一定是实数。
2. 若A和B都是对称矩阵，则A+B和kA(k为常数)也是对称矩阵。
3. 对称矩阵的转置仍为对称矩阵。
4. 对称矩阵一定是方阵。
二、对称矩阵的特征与特征向量对称矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
对于任意一个n阶对称矩阵A，都存在n个实数特征值和n个线性无关的实特征向量。
对称矩阵的特性可用于解决许多实际问题。
例如，在电力系统中，可以使用对称矩阵的特征值和特征向量来分析系统的稳定性和动态响应。
三、对称变换的定义和性质对称变换是指对向量空间中的向量进行一种操作，使其经过变换后，保持与原来的向量之间的某种关系。
对称变换具有保持长度不变和保持角度不变的性质。
设T为一个线性变换，对于向量V，若T(V)=V，则称T为对称变换。
对于平面上的向量，对称变换通常是针对某个中心进行的轴对称变换。
四、对称变换的应用对称变换在几何学和物理学中有广泛的应用。
1. 几何学中的对称变换：对称变换可以用于描述图形的对称性质。
例如，平移、旋转和镜像等都是对称变换的特例，这些变换被广泛应用于艺术、建筑设计等领域。
2. 物理学中的对称性：对称变换在现代物理学中具有重要的地位。
例如，守恒定律即是由对称性所决定的，粒子物理学中的对称性研究对于揭示基本粒子的性质具有重要作用。
总结：对称矩阵和对称变换是线性代数中的重要概念，它们具有独特的性质和广泛的应用。
通过对对称矩阵的研究，我们可以深入理解矩阵的运算规律和特征性质；而对称变换则能够帮助我们研究和描述几何图形的对称性质以及物理系统的对称性。
对称矩阵与对称变换.
◆ ｎ维欧氏空间的一个对称变换 属于不同特征根的特征向量彼此 正交
从而 1 , 2 ,, n 线性相关的结论，即
•σ（α1），…，σ（αn）线性 相关 (σ单射) → α1，…，αn 线性相关
•所以同构映射不仅保持线性相关， 而且保持线性无关，也就是说，同构 映射保持线性相关性。 •一般线性映射只保持线性相关。 •反例：零映射。
,
是实数.
用类似的方法可以证明 : * 正交基的特征根的模为 1, 即 1; * 实反对称矩阵的特征根 或为零, 或为纯虚数, 即 0,
◆ 对称变换σ满足：任意α， β ∈V, (σ(α),β)=(α,σ(β)) ◆ σ是对称变换,V1是σ-不变子空间, 则V1⊥也是σ-不变子空间
1 1 P AP 1 3
思考题
• 正交矩阵的特征值是否全是实数? • 用特征值给出二次型为正定二次型 的充分必要条件.
• 作业:P396~16、17、18、19、20ຫໍສະໝຸດ •对称变换与对称矩阵的关系：
设n维欧氏空间中的线性变换A在任意标准正交 基下的矩阵为A，则A是对称矩阵的充分必要条 件是A为实对称矩阵. 对任意对称矩阵A，必有n阶正交矩阵T，使得
T
1
AT T AT
是对角矩阵
结论：任意一个实二次型都可以经过正交变换 可化成标准形。
◆ 实对称矩阵的特征根都是实数
• 结合二次型理论我们得到利用正交变换 化二次型为标准形方法 • Theorem 8 :任意一个实二次型都可以经 过正交变换,变成标准形,且平方项的系数 恰好是二次型矩阵的特征值.
Ex . 用正交变换化二次型 f 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x1 x 4 2 x 2 x 3 2 x 2 x 4 2 x 3 x 4 型为标准形, 并写出正交变换矩阵 .
9-5 对称矩阵与对称变换我们已学习了欧氏空间的重要线性变换.
•对称变换与对称矩阵的关系：
设n维欧氏空间中的线性变换A在任意标准正交 基下的矩阵为A，则A是对称矩阵的充分必要条 件是A为实对称矩阵. 对任意对称矩阵A，必有n阶正交矩阵T，使得
T
1
AT T AT
是对角矩阵
结论：任意一个实二次型都可以经过正交变换 可化成标准形。
◆ 实对称矩阵的特征根都是实数
◆ ｎ维欧氏空间的一个对称变换 属于不同特征根的特征向量彼此 正交
从而 1 , 2 ,, n 线性相关的结论，即
•σ（α1），…，σ（αn）线性 相关 (σ单射) → α1，…，αn 线性相关
•所以同构映射不仅保持线性相关， 而且保持线性无关，也就是说，同构 映射保持线性相关性。 •一般线性映射只保持线性相关。 •反例：零映射。
如果σ（α1），…，σ（αn）线性相关， 希望α1，…，αn线性相关， 那么要求σ 具备什么条件呢？ 因为σ（α1），…，σ（αn）线性 相关，所以存在一组不全为零的数 k1 , k 2 ,, k n
使
即 ( a i i ) 0 k ( ) 0 i i
i 1
i 1
,
是实数.
用类似的方法可以证明 : * 正交基的特征根的模为 1, 即 1; * 实反对称矩阵的特征根 或为零, 或为纯虚数, 即 0,
◆ 对称变换σ满足：任意α， β ∈V, (σ(α),β)=(α,σ(β)) ◆ σ是对称变换,V1是σ-不变子空间, 则V1⊥也是σ-不变子空间
0 1 1 1 1 0 1 1 解 : 二次型矩阵A 1 1 0 1 1 1 1 0 | E A | ( 1) 3 ( 3)特征值为 1,3 属于1的特征方程的基础解系 : 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0), 3 ( 1,0,0,1) 标准正交化, 得 p2 ( 1 6 , 1 6 , p1 ( 2 6 1 2 , 1 2 ,0,0), 1 , 1 , 1 , 3 12 )
84 对称变换和对称矩阵
令 ci 表示ci 的共轭复数。
即:
（ 3）
a c c
i 1 j 1 ij i
n n ij i
n
n
j
ci ci
i 1
n
n
等式（3）两端取轭复数，注意 a ij 是实数。得
（ 4）
a c c
i 1 j 1
j
ci ci
i 1
又因为 a ji 等，因此
aij 且等式（3）与等式（4）左端相
（ 2）
用矩阵 c1 , c2 ,, cn 左乘（2）的两边得
c1 c1 c2 c2 c1 , c2 ,, cn A c1 , c2 ,, cn c c n n
1 , 2 把正交化，得 再
对于特征根8,
3 1 3 1 3 1 3
求出属于它的一个单位特征向量
第三步，以 1 , 2 , 3 为列，作一个矩阵
1 2 1 U 2 0 1 6 1 2 6 1 3 1 3 1 3
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换在正交基下的矩阵----对称矩阵 定理8.4.1 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换,
1 , 2 ,, n 是V的一个标准正交基. A aij 是σ
关于这个基的矩阵.则 A A
证明:易知 ( j ) akj k 所以 a ji
n
1 j n
对称变换和对称矩阵
定理8.4.4：n维欧氏空间V的一个对 称变换 的属于不同的本征值的本征 向量彼此正交。
n 定理8.4.5：设 是 维欧氏空间V
的一个对称变换，则存在V的一个规范 正交基，使得 关于该基的矩阵是对 角矩阵。 定理8.4.6：设A是 n 阶实对称 矩阵，那么存在一个 n 阶正交矩阵 U AU U 使得 是对角矩阵。
对称变换和对称矩阵
， V 性变换。如果
定义1：设 是欧氏空间V的一个线
，有 （）， ，（） ， 则称 是一个对称变换。 欲证 是对称变换，即证： 是线性变换； （1） ， V ，有 （）， ，（） 。 （2）
定义2：设A是数域F上的 n阶矩阵， A ,则称 A A是一个对称矩阵。 如果
n 定理8.4.2：设 是 维欧氏空间V的 一个线性变换。如果 关于V的任意一 个规范正交基的矩阵是对称矩阵，则
是一个对称变换。
n 维欧氏空间V的 定理8.4.1+8.4.2： 一个线性变换是对称变换的充要条件 是 关于V的任意一个规范正交基的矩 阵是实对称矩阵。
定理8.4.3：实对称矩阵的特征根都 是实数。
，求一个正交
矩阵 U ，使得 UAU，会根据所给的内积 判断是否作成欧氏空间。 n 2、欧氏空间 R 的内积法则。 3、欧氏空间内积的性质（5条）。 4、长度、夹角、正交、距离的定义。 5、定理8.1.1—8.1.2及证明。
二、正交基 1、正交组、规范正交组、正交基 、 规范正交基的联系与区别。 2、会求一个基的规范正交基和会证 明规范正交基。 3、正交矩阵、同构的定义。 4、定理8.2.1—8.2.7及部分证明。
例1、设
4 A 2 2
2 4 2
2 ，求一个正 2 4
矩阵与行列式的复数对称型与应用
实对称矩阵的性质：实对称矩阵一定是方阵，且其对角线元素均为实数。此外，实对称矩 阵的特征值也是实数。
复对称矩阵的性质：复对称矩阵的元素可以取复数，因此其特征值也可以是复数。此外， 复对称矩阵不一定是方阵。
应用：特征值和 特征向量在矩阵 的应用中非常重 要，例如在解决 微分方程、线性 动态系统、矩阵 分解等领域中都 有广泛的应用。
复数对称型的应 用：在复数对称 型中，可以利用 特征值和特征向 量的性质，对矩 阵进行分类和简 化，从而更好地 理解和应用复数
对称型。
矩阵的相似变换
定义：将矩阵A通过 一系列可逆线性变 换化为对角矩阵B的 过程
矩阵的微分与积分
矩阵的微分：对矩阵元素进行微分运算，用于求解矩阵函数的导数 矩阵的积分：对矩阵元素进行积分运算，用于求解矩阵函数的定积分 复数对称型在矩阵中的应用：利用复数对称型简化矩阵运算，提高计算效率 矩阵的微分与积分在科学计算中的应用：在数值分析、线性代数等领域有广泛应用
复数对称型在行列 式中的应用
THANK YOU
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行列式的定义与性质
添加标题
行列式的定义：由n阶方阵的元素按照一定顺序 排列而成的代数式，具有n阶方阵的所有行或所 有列的线性组合的代数和。
添加标题
行列式的计算方法：通过展开定理和代数余子式 等方法进行计算。
添加标题
行列式的性质：行列式具有转置性质、乘法性质、 代数余子式性质等。
添加标题
行列式的应用：行列式在数学、物理、工程等领 域都有广泛的应用，特别是在解决线性方程组、 向量空间、微积分等问题中发挥着重要的作用。
高等代数对称变换的定义
高等代数对称变换的定义高等代数对称变换的定义一、引言高等代数是数学中的一个重要分支，它研究各种数学结构及其之间的关系。
其中，对称变换是高等代数中一个重要的研究内容。
本文将从以下几个方面来详细介绍高等代数对称变换的定义。
二、基本概念在介绍对称变换之前，需要先了解一些基本概念。
1.线性空间线性空间是指一个集合V和一个域K上的向量加法和标量乘法，满足以下条件：（1）向量加法满足交换律、结合律和存在零向量；（2）标量乘法满足分配律和结合律；（3）标量乘法与向量加法有如下关系：a(bv)=(ab)v, (a+b)v=av+bv, 1v=v。
2.线性变换线性变换是指将一个线性空间V中的向量映射到另一个线性空间W中的映射f，满足以下条件：（1）f(u+v)=f(u)+f(v)；（2）f(au)=af(u)，其中u,v∈V，a∈K。
3.特殊线性群特殊线性群SL(n,K)是指所有n阶行列式为1的实数或复数矩阵的集合。
其中，n表示矩阵的阶数，K表示域。
三、对称变换的定义在了解了上述基本概念之后，我们可以来介绍对称变换的定义。
1.对称变换的概念对称变换是指一个线性空间V到自身的线性变换T，满足以下条件：（1）T是可逆的；（2）T是自伴随的，即T* = T。
其中，可逆指T存在逆变换，即存在一个线性变换S使得TS=ST=I （单位矩阵），*表示共轭转置。
2.对称群对称群Sym(V)是指所有V到自身的对称变换构成的集合。
其中，V是一个有限维向量空间。
3.特殊正交群特殊正交群SO(n)是指所有n阶实数或复数矩阵A满足AAT=ATA=I 和det(A)=1构成的集合。
其中，n表示矩阵的阶数。
4.特殊正交群与对称群之间的关系特殊正交群SO(n)与对称群Sym(V)之间有如下关系：（1）当n为偶数时，SO(n)与Sym(V)同构；（2）当n为奇数时，SO(n)是Sym(V)的双覆盖群。
其中，同构指两个群之间存在一一映射和运算的对应关系，并且保持运算结构不变。
要求与x轴对称的矩阵变换方程
要求与x轴对称的矩阵变换方程矩阵变换是在几何变换中的一种重要内容，它能实现原有坐标系中的坐标系向新的坐标系的变换。
其中，要求坐标系与x轴对称时，需要使用到要求与x轴对称的矩阵变换方程。
要求与x轴对称的矩阵变换方程，其坐标变换关系如下：若在原坐标(x, y)中，则在新坐标(x', y')中有 $$x'=x$$ $$y'=-y$$把上述变换表达式用矩阵的形式来表达出来即可得到矩阵变换的表达式：$$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] $$ 即， $$X'=AX$$其中，矩阵A为：$$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] $$ 是仿射矩阵，A的秩为2。
从上面的数学表达式可以看出，要求与x轴对称的矩阵变换方程是一种特殊的仿射变换。
在这一变换下，只有x轴是不变的，经过变换后，原点（0，0）以及x轴上的点会被保持不变，其他点的变换时，沿着x轴上的中心点，x坐标不变，而y坐标变为相反数。
当如果求出新的的坐标，必须要使用到要求与x轴对称的矩阵变换方程，将原来的坐标按照上面的矩阵变换方程进行计算即可获得新坐标，从而实现与x轴对称的变换。
对于一些特定的应用，比如做一些几何图形图像的分析，如果需要做统一描述，便可以使用这种要求与x轴对称的矩阵变换方程，将几何图形进行某种统一的变换，从而获得更规范的描述。
总的来说，要求与x轴对称的矩阵变换方程是一种可以较好的实现与x轴对称的一种变换，它可以将原有的坐标系变化为满足**对称性**的坐标系，从而实现相应的变换要求，在几何变换中有较重要的作用。
对称变换和对称矩阵
7.5 对称变换和对称矩阵授课题目：7.5 对称变换和对称矩阵 教学目的： 1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题．2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质．3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 T AT '为对角形授课时数：3学时 教学重点：对称变换的特征根、特征向量的性质; 对实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使T AT '为对角形教学难点：定理7.5.4的证明 教学过程： 一、 对称变换1、一个问题问题：欧氏空间V 中的线性变换σ应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？V 满足：V∈>>=<<βαβσαβασ,,)(,），（2、对称变换的定义设σ是欧氏空间V 中的线性变换，如果V ∈∀βα,都有、>>=<<)(,βσαβασ），（则称σ是V 的一个对称变换例1 以下3R 的线性变换中,指出哪些是对称变换?1123122331(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++21231323123(,,)(,2,2);x x x x x x x x x x σ=+--+ 3123213(,,)(,,)x x x x x x σ=--3、对称变换与对称矩阵的关系Th1：n 维欧氏空间V 中的线性变换σ是对称变换的充分必要条件是：关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵证：必要性：设σ是对称变换，σ关于V 的标准正交基},{21n ααα 的矩阵是A=)(),(R n ij u A a ∈即=))()(),((21n ασασασ },{21n ααα A则k nk kii aαασ∑==1)( ni ≤≤1因σ是对称变换，},{21n ααα 是标准正交基，所以ijk nk kj i j i j i j k nk ki ji a a a a >==<>>=<>=<=<∑∑==ααασααασαα11,)(,),(,因此，A 是对称矩阵充分性 设σ关于V 的标准正交基},{21n ααα 的矩阵是A=)(ij a 是实对称矩阵，即=))()(),((21n ασασασ },{21n ααα A ，A=⊥A对任意V ∈βα,，有=+++=n n x x x αααα 2211},{21n ααα X=+++=n n y y y αααβ 2211},{21n ααα y于是=)(ασ},{21n ααα A X=)(βσ},{21n ααα A -y其中A X ，A -y分别是)(βσ，)(βσ关于标准正交基},{21n ααα 的坐标列向量，因此AYAY Y A Y A TTT T T X =X >=<X =X >=<)()(,)(),(βσαβασ因A=⊥A 故><βασ),(= ><)(,βσα二、对称变换的基本性质1、特征根的性质Th2 实对称矩阵的特征根都是实数证明：设A= )(ij a 是一个n 阶实对称矩阵，λ是A 在复数域内的任意一个特征根，n n c c c c ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 21ξ是A 的属于特征根λ的特征向量，于是有ξλλλξξ==≠，为了证且A 0记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--=n ij c c c a A 21,),(ξξ)(R n u ，λξξ==A A A ，在故两端取共轭转置，由复数共轭的性质及A A =得 AA A A A TT T T T T T ξξξξξ====)()(),()()(),(2121n TTn C C C A C C C λξλλξ====所以A ),(21n C C C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=),(21n C C C λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21又因为λξξ=A 即A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以11221212(,) =(,) n n n n c c c c C C C A C C C c c λ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1212(,)n n c c C C C c λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11221212(,)(,)n n n n c c c c C C C C C C c c λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即)()(1111n n n n c c c c c c c c ++=++ λλ100,nk k k c c ξλλλ=≠∴≠=∑因从而由消去律得，即为实数对称变换的特征多项式在C 内的根都是实根 2、特征向量的性质 Th3：n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根向量彼此正交。
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*正交基的特征根的模为1,即 1;
* 实反对称矩阵的特征根或为零, 或为纯虚数,
即 0,
◆ 对称变换σ满足：任意α， β ∈V, (σ(α),β)=(α,σ(β))
◆ σ是对称变换,V1是σ-不变子空间, 则V1⊥也是σ-不变子空间
◆ ｎ维欧氏空间的一个对称变换 属于不同特征根的特征向量彼此 正交
用正交变换,把对称矩阵A正交化的步骤:
1.求A的全部特征值;
2.对每一个特征值,求对应的齐次线性方 程组的基础解系,并利用schimidt 得到标 准正交向量组;
3.利用上面的正交组,构造正交矩阵P,满足 P`AP是对角矩阵
• 结合二次型理论我们得到利用正交变换 化二次型为标准形方法
• Theorem 8 :任意一个实二次型都可以经 过正交变换,变成标准形,且平方项的系数 恰好是二次型矩阵的特征值.
证明: 设A为实对称矩阵, 为A的特征根,则存在 X C n , X 0,使得 AX X 两边取共轭, 得 AX X , 左乘X XAX XX 两边取转置, 得 XA X, 右乘X , XAX XX 从而, 得 XX XX, 由于X 0, XX 0. 必有 , 是实数.
•对称变换与对称矩阵的关系：
设n维欧氏空间中的线性变换A在任意标准正交 基下的矩阵为A，则A是对称矩阵的充分必要条 件是A为实对称矩阵. 对任意对称矩阵A，必有n阶正交矩阵T，使得
T 1 AT T AT 是对角矩阵
结论：任意一个实二次型都可以经过正交变换 可化成标准形。
◆ 实对称矩阵的特征根都是实数
Ex . 用正交变换化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2x1 x4 2 x2 x3 2x2 x4 2x3 x4 型为标准形,并写出正交变换矩阵.
0 1 1 1
解
:
二次型矩阵A
1 1 1
0 1
1
1 0 1
1 01
| E A | ( 1)3 ( 3)特征值为1,3
属于1的特征方程的基础解系:
从而 1,2,,n 线性相关的结论，即
•σ（α1），…，σ（αn）线性 相关 (σ单射) → α1，…，αn 线性相关
•所以同构映射不仅保持线性相关， 而且保持线性无关，也就是说，同构 映射保持线性相关性。
•一般线性映射只保持线性相关。 •反例：零映射。
如果σ（α1），…，σ（αn）线性相关， 希望α1，…，αn线性相关， 那么要求σ 具备什么条件呢？
1 (1,1,0,0),2 (1,0,1,0),3 (1,0,0,1)
标准正交化, 得
11
p1 (
, 2
,0,0), 2
1 12
1113
p2 (
, 6
, 6
6 ,0), p3 (
, 12
, 12
, 12
) 12
属于特征值3的特征向量是p4
1 (1,1,1,1) 2
令P ( p1 , p2 , p3 , p4 ), P是正交矩阵,经正 交变换X PY, 二次型化成标准形
因为σ（α1），…，σ（αn）线性 相关，所以存在一组不全为零的数
k1, k2 ,, kn
n
使 ki (i ) 0
n
即 ( aii ) 0
i 1
i 1
n
于是当σ是单射时有Biblioteka ai i 0i 1
Theorem7. 对于任意一个n级实对称 矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T ,
使得 T AT T 1 AT 成对角矩阵
f
y12
y
2 2
y32
3
y
2 4
1
P AP
1
1
3
思考题
• 正交矩阵的特征值是否全是实数? • 用特征值给出二次型为正定二次型
的充分必要条件.
• 作业:P396~16、17、18、19、20
9-5 对称矩阵与对称变换
我们已学习了欧氏空间的重要线性变换正交变换, 而对称变换是欧氏空间的另一类重要的线性变换， 它使得Ｖ有一个由σ的特征向量所组成的正交基。 ▲对称变换的定义 设σ是欧氏空间Ｖ的一个线性变换，如果对于Ｖ 中任意向量ξ,η,等式
（σ(ξ)，η）＝（ξ，σ（η）） 成立，那么就称σ是一个对称变换。 ▲ 对称变换的充要条件 σ关于Ｖ的任意标准正交基的矩阵是对称矩阵。