2.3.4 平面与平面垂直的性质
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
回顾
1.面面垂直的定义：
两个平面相交，
如果它们所成的二面
角是直二面角，就说
这两个平面互相垂直。
回顾
2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平面 垂直。
a
a a
探究
A1 A
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
1 （锥体体积公式： V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高） 3
C A C1 A1 P
D B D1 B1
练习：
1、下列命题中错误的是（ B ） A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 线都垂直于平面 β
α 内一定存在 α 内所有直 α 一
的中点， P 是线段 AD 的中点． （Ⅰ） 在平面 ABC 内， 试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ， 说明理由，并证明直线 l 平面 ADD1 A1 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二 面角 A A1M N 的余弦值．
C A C1 A1 P D1 D B B1
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 α 与 β 交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（B ）个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线；
例2、如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕， 使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD 与平面ABC所成的角。
D
D
折成
A
O
C A O B
C
B
例3、如图，矩形ABCD中，AB=2BC以矩形ABCD 的对角线AC为折痕，使得D在平面ABC内射影 在AB上，求二面角B-AC-D的平面角的正切值.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线 必垂直于另一个平面。
A 3
B
2
C 1
D
0
19．如图，在三棱柱 ABC A1 B1C 中，侧棱 AA1 底面 ABC ，
AB AC 2 AA1 ，BAC 120 ，D, D1 分别是线段 BC , B1C1
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
思考：设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平面 的垂线a，直线a与平 面 具有什么位置关系?
α P b
β
α a b
a
β
P
直线a在平面 内
面面垂直的性质
面面垂直性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直。
β a l α A
l a a al
面面垂直线面垂直
例 1、如图所示,P 是四边形 ABCD 所在 平面外的一点,ABCD 是∠DAB＝60° 且边长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平面 垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中点． (1)求证：BG⊥平面 PAD;(2)求证：AD⊥PB.
D A B C
折成
D
A
C
E
B
19 、 如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC A1 B1C 中 ， 侧 棱 AA1 底 面 ABC ，
AB AC 2 AA1 2 ，BAC 120 ， D, D1 分别是线段 BC , B1C1 的中
点， P 是线段 AD 上异于端点的点。 （Ⅰ）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ，说明 理由，并证明直线 l 平面 ADD1 A1 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 交 AC 于点 Q ，求三棱锥 A1 QC1 D 的体积。
1.面面垂直的定义：
两个平面相交，
如果它们所成的二面
角是直二面角，就说
这两个平面互相垂直。
回顾
2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平面 垂直。
a
a a
探究
A1 A
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
1 （锥体体积公式： V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高） 3
C A C1 A1 P
D B D1 B1
练习：
1、下列命题中错误的是（ B ） A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 线都垂直于平面 β
α 内一定存在 α 内所有直 α 一
的中点， P 是线段 AD 的中点． （Ⅰ） 在平面 ABC 内， 试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ， 说明理由，并证明直线 l 平面 ADD1 A1 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二 面角 A A1M N 的余弦值．
C A C1 A1 P D1 D B B1
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 α 与 β 交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（B ）个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线；
例2、如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕， 使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD 与平面ABC所成的角。
D
D
折成
A
O
C A O B
C
B
例3、如图，矩形ABCD中，AB=2BC以矩形ABCD 的对角线AC为折痕，使得D在平面ABC内射影 在AB上，求二面角B-AC-D的平面角的正切值.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线 必垂直于另一个平面。
A 3
B
2
C 1
D
0
19．如图，在三棱柱 ABC A1 B1C 中，侧棱 AA1 底面 ABC ，
AB AC 2 AA1 ，BAC 120 ，D, D1 分别是线段 BC , B1C1
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
思考：设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平面 的垂线a，直线a与平 面 具有什么位置关系?
α P b
β
α a b
a
β
P
直线a在平面 内
面面垂直的性质
面面垂直性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直。
β a l α A
l a a al
面面垂直线面垂直
例 1、如图所示,P 是四边形 ABCD 所在 平面外的一点,ABCD 是∠DAB＝60° 且边长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平面 垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中点． (1)求证：BG⊥平面 PAD;(2)求证：AD⊥PB.
D A B C
折成
D
A
C
E
B
19 、 如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC A1 B1C 中 ， 侧 棱 AA1 底 面 ABC ，
AB AC 2 AA1 2 ，BAC 120 ， D, D1 分别是线段 BC , B1C1 的中
点， P 是线段 AD 上异于端点的点。 （Ⅰ）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ，说明 理由，并证明直线 l 平面 ADD1 A1 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 交 AC 于点 Q ，求三棱锥 A1 QC1 D 的体积。