平面与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面的垂直的性质
性质
若两个平面垂直,则在一个平面内 性质定理：
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β 的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE ∴AB⊥β
A
D C B
E
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
举例
例： 已知
l , , ,
判定定理 判定定理
线线垂直
定义
线面垂直
性质定理
面面垂直
作业 1. 求证：两条异面直线不能同时
和一个平面垂直；
2. 求证：三个两两垂直的平面的 交线两两垂直.
平面与平面 垂直的性质
先直观感受平面与平面 垂直的情形
复习
1.定义：两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质:
1.凡是直二面角都相等； 2.两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一 个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角.
复习
若一个平面经过另一个平面 2.判定定理： 的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
D
A垂直
思考
(1) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能 否在黑板上画一条直线与地面垂直? (2) 如图,长方体中, 平面A1ADD1与平面 ABCD垂直,直线A1A A1 垂直于其交线AD,平 面A1ADD1内的直线 A A1A与平面ABCD垂 直吗？ D1 B1 D B C C1
求证： l
l
m
n
a
b P
证明：在平面 a m，b n
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直面面垂直）
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上。
1。
平面与平面垂直的性质定理
C
平面PAC∩平面ABC＝AC,
Байду номын сангаас
BC 平面ABC
A
O
B
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。
（1）若b ,则b 。× （2）若 =l,b l则b 。×
√ （3）若b ,则b垂直于平面内的无数条直线。
l
例2： 如图，在两个互相垂直的平面α 和β 的
交线上有两个点A、B，AC、BD分别是在两个面
内，且垂直于AB，已知AB=4cm，AC=3cm，
BD=12cm，求CD的长.
又 AOB 90 即b OB而b l b
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平
面内垂直于交线的直线
与另一个平面垂直.
符号表示：
b
l
bl
b
简述为：
面面垂直
bl
线面垂直
四、知识应用举例
例1、已知：两个平面与 互相垂直，判断下列命题是否正确：
一个命题：
b
b
该命题正确吗？
b
Ⅰ. 观察实验
两个平面垂直，其 中一个平面的直线 不一定垂直于另一 个平面。
平面与平面垂直的性质
面面垂直 图形表示:
C
线面垂直
A D
B
符号表示:
CD AB
AB AB CD AB CD B
定理剖析
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的 一条直线）
α
C
2）它为判定和作出线面垂直提供依据。
求证 : AB .
证明:在平面 内作BE⊥CD,
A D
垂足为B.
则∠ABE就是二面角 -CD- 的平面角 ∵
B C
E
, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
∴AB⊥ (直线与平面垂直的判定定理)
定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直．
D
C
B
定理的应用,你也可以
a. 求证: a
如图,已知 ,
b , , c ,
a
证明:过平面 内一点P作PA⊥ b 于A,作PB⊥ c 于B. ∵
a
∴PA⊥
∴a
A P
b
c
B
又
∴PA⊥ a
∵PB PA=P, PA , PB
3、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
4、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示：
该命题正确吗？
b
b b
面面垂直的性质
, b
又 a , a / / b
a
b
即直线a与平面 平行
a / /
a ,b
探究: 已知平面 ， ，直线a ，且 ，
=AB,a // ,a AB , 试判断 直线a与平面 的位置关系.
思考1：对于三个平面 α ，β ，γ ，若α γ ， β γ ，α β l，那么直线l与平面γ 的位 置关系如何？为什么？
β
l
α b
a
γ
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。 已知平面α ⊥平面β ,α ∩ β ＝l 下列命题
(1)平面α 内的任意一条直线必垂直于平面β （×） (2)垂直于交线l 的直线必垂直于平面β （× ）
3：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB， P 垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
E
(1)EF//PD
A
F
D C
作业： p74，第3题
(2)BF⊥平面PAD
B
A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面α 内一定存在直 线平行于平面 β
B如果平面α ⊥平面 β ,那么平面α 内所有直线都垂 直于平面 β C如果平面α 不垂直于平面 β，则平面 α 内一定不 存在直线垂直于平面 β D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 交于直线 a，则 a ⊥平面M
α与
面面垂直性质
面面垂直性质
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平
面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
面面垂直
定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两
个平面互相垂直。
性质定理
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于
第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于
第三个平面。
4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
线面垂直
定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与
此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立
体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
面面垂直的性质
面面垂直的性质
面面垂直性质定理如下：
性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。
其判定定理是：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。
即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。
面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
垂直的性质是如下：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直一定会出现90°。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
垂直是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。
通常用符号“⊥”表示。
对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。
平面与平面垂直的判定与性质
面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直 面面垂 直） 面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面 面垂直 线面垂直） 性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法： 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中 要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理， 在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三 者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂 直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利 用空间向量．
常用结论： （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内，此结论可以作为性质定理用， （2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这 条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
平面与平面垂直的性质定理
A D B C E
∵α⊥β, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
∴AB⊥α(直线与平面垂直的判定定理)
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直． 符号表示:
B
∴AF⊥平面PBC
∩
例3．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。 求证：AB⊥BC。 S
证明：过A点作AD⊥SB于D点. ∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC， ∴ AD⊥BC.
A D C
又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
2.3.4 平面与平面垂直的性质
复习回顾：
平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
A D
B C
E
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则 这两个平面垂直。
符号表示：
b β α β b α
面面垂直
线面垂直
考思
α P
B
D C A
β
过P做PD⊥AB，垂足为D。 ∵PD⊥AB，∴PD⊥面β。 ∵过一点只能做一条直线与平面垂直。 ∴PC与PD必重合，即PC在面α内。
例1：如图:已知平面α，β， ⊥β,直线a满足 a⊥ β， a ，判断直线a与平面 的位置关系。
解:在 内作垂直于 与β 交线的直线b。 ∵ ⊥β ∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理)
β ∵ ⊥β ∴a//b(直线与平面垂直的性质定理) 又∵a ∴a// (直线与平面平行的判定定理) 即直线a与平面 平行。
2.3.4平面与平面垂直的性质
平面和平面垂直的性质定理 平面和平面垂直的性质定理 和平面垂直的性质
如果两个平面相互垂直， 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
αபைடு நூலகம்
A O
l
β
B
符号表示： 符号表示： α ⊥ β
b ⊂α ⇒b ⊥ β α Iβ = l b ⊥l
例八 如图:已知平面α， ， ⊥ ,直线a满足 如图:已知平面 ，β， α β,直线 满足 a⊥β， ⊥ ， α a ，判断直线a与平面 的位置关系。 判断直线 与 的位置关系。 ⊄α 交线的直线b。 解:在 α 内作垂直于 α 与β交线的直线 。 ∵ α ⊥β ∴b ⊥β(平面与平面垂直的性质定理) ( ∵ α ⊥β ∴a//b(直线与平面垂直的性质定理) ( 又∵a ⊄ α ∴a// α (直线与平面平行的判定定理) 即直线a与平面 α 平行。 即直线 与平面 平行。
已知两个平面垂直, 已知两个平面垂直,则: 5)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线 (×) 有可能平行,相交但不垂直,异面。 有可能平行,相交但不垂直,异面。 6)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 的无数条直线 (√) 7)一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平 面 (× ) 可能平行,可能相交但不垂直,可能在平面内。 可能平行,可能相交但不垂直,可能在平面内。 8)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 过一个平面内任意一点作交线的垂线 线必垂直于另一个平面 (√)
平面与平面垂直的性质
SUCCESS
THANK YOU
2024/1/5
B
C
又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC
∴AF⊥平面PBC
课堂小结
平面和平面垂直的性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直
线面垂直
证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
高考链接
1（2008 辽宁）如图，在棱长为1的正方体ABCD ABCD
的任意一条直线 (×) 有可能平行,相交但不垂直,异面。
6)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面
的无数条直线 (√)
7)一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平
面 (×)
可能平行,可能相交但不垂直,可能在平面内。
8)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂 线必垂直于另一个平面 (√)
2.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形， AB=2，BC 2，侧面PAB是等边三角形，且侧面 PAB⊥底面ABCD。 （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角。
中，AP=BP=b（ 0<b<1），截面PQEF∥ AD 截面
PQGH∥AD 。 (Ⅰ)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直； (Ⅱ)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并 求出这个值； (Ⅲ)若与平面PQEF所成的角为45°，求与平面PQGH所 成角的正弦值.
【解析】
习题答案
α P
B β
DC
A 过P做PD⊥AB，垂足为D。 ∵PD⊥AB，∴PD⊥面β。 ∵过一点只能做一条直线与平面垂直。 ∴PC与PD必重合，即PC在面α内。
面面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
性质定理∶如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
一、面面垂直
（一）定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
（二）性质定理
1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
二、线面垂直
（一）定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二
维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的"桥梁"。
（二）判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）∶一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1∶如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2∶如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
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2.思想方法
面面垂直
线面垂直或线线垂直
作业
正确的是 (3)(4) 。
(1 )a ,a b,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
(3 )a//,b ,则 b a (4 )a ,b ,则 b a
巩固练习
3 请在下面的横线上填上适当的条 件,使结论成立。
am,an
bm,bn
，
①
,则 a∥b
①m与n相交 ②m与n异面 ③m与n不平行
4 如图，已知 l,CA
复习回顾
1. 直线和平面垂直的定义如何？
如果一条直线和一个平面相交,并且
和这个平面内的任意一条直线都垂直,则
称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点
叫做垂足.
有定义可得：
若l , b
则l b.
l
bA
α
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都
β
E D
A B α C
两个平面垂直的性质
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l
A α
a
l
a
a l
Hale Waihona Puke 面面垂直线面垂直若α⊥β，过平面α内一点A作平面β
的垂线a，那么垂线a与平面α具有什么样
的位置关系?
α A
反证法证明点B 在两个平面的交
线上
β
∴过点o的两条直线 b和
b’都垂直平面α , 这不可能!
∴a∥b .
b b’ o
巩固练习
1.判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2.若a,b表示直线, 表示平面，下列命题
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P
D A E
B
C
对于三个平面、、，如果，，β，
= l ，那么直线l与平面 的位置关系如何？为什么？
β 解答：在内分别
l
作平面的垂线a、b，
α
则a l,b l, a与
a
b
b必相交. 所以l⊥
1.知识小结
小结
几个结论和性质的应用
垂直，则该直线与此平面垂直。
图形表示
符号表示
m ,n
a
m
On
m nO
a
a m,a n
线线垂直 线面垂直
新知探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考2
于点A，CB 于点B，a,aAB,
求证：a / / l .
C β
B
α
l
Aa
2.3.4 平面与平面垂直的性质
复习1
两个平面相互垂直
三个平面两两垂直
α
l β
α
β
l γ
复习2 两个平面垂直的判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直．
α
l β
1.黑板所在平面与地面所在平面垂直， 在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在， 怎样画线？
B
B’
注意：过一点只能
作一条直线垂直于
已知平面.
结论 如果两个平面互相垂直，那么经过
一个平面内一点且垂直于另一个平面 的直线，必在这个平面内.
α A
B β
例1.如图，已知α⊥β，a⊥β， a，试判断直线a与平面α的位置关
系，并说明理由.
α
b
a
l
β
A
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， BC 2,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面 ABCD.
α
β
2.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面 A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线 A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂 直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B A
3. 设 ,CD ，AB ,AB CD,
垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为 什么？
如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那 么直线a，b的位置关系如何？
l
a
b
相交
l
ab
平行
b
l
a
异面
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
a
则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α.
α