2.1.1合情推理(1)—归纳推理
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
2013-2014学年高二数学1-2导学案：2.1.1合情推理-归纳推理
成立。上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？
【课后巩固】 1 、
2
2 2 3 3 4 4 2 , 3 3 , 4 4 , 若 3 3 8 8 15 15
8
。
b b 8 , ， a a
（ a N , b N ）则 a =
，b =
2、 sin 30 sin 90 sin 150
2 0 2 0 2 0
3 3 2 0 2 0 2 0 ， sin 5 sin 65 sin 125 2 2
观察上述两等式的规律，写出一个一般性的命题，并加以证明。
2 例 1、已知数列｛ an ｝的每一项都是正数， a1 =1,且 a 2 n1 an 1, n 1,2,
试归纳出数列｛ an ｝的一个通项公式。
1
例 2、观察下列式子，归纳出一般的结论： 13 =12 13+23= (1 2) 2 13+23 +33= (1 2 3) 2 13+23 +33+43= (1 2 3 4) 2 结论： … … …
例 3、 观察下面等式,并归纳出一般结论
1 1 2 3 6 1 12 2 2 2 3 5 6 1 12 2 2 3 2 3 4 7 6 1 12 2 2 3 2 4 2 4 5 9 6 12
2 2 2 2 结论： 1 2 3 n
课题：2.1.1 合情推理 班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【学习目标】 （1） 、理解归纳推理的思想； （2） 、能够通过观察一些等式，猜想、归纳出它们的变化规律。 【课前预习】 一、问题情境 1、瑞雪兆丰年：今年下几场大雪，明年就会有大丰收 2、一叶知秋：从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体 3、统计初步中通过样本估计总体：通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验， 进而对整体做出推断。 二、建构新知： 1、前提：当 n=0 时，n2-n+11=11 当 n=1 时，n2-n+11=11 当 n=2 时，n2-n+11=13 当 n=3 时，n2-n+11=17 当 n=4 时，n2-n+11=23 11、11、13、17、23、31 都是质数 结论：对于所有的自然数 n， 的值都是质数 2、前提：
2.1.1合情推理-类比推理2
例3、试将平面上的圆类比空间的球. 1.定义的类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合. 2.圆的元素 类比 得出球的元素
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
3.圆的性质类比得出球的性质 球的概念和性质 圆的概念和性质
类比推理
一.复习:
1.归纳推理是从 个别 事实中概括出 一般 结论 的一种推理模式.归纳推理的思维过程大致是: 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
以下哪项最可能是爸爸讲给儿子们听的话？
A. 一个人的爱好是会变化的。爸爸小时候很爱吃糖，你奶 奶管也管不住。到现在，你让我吃我都不吃。
B. 什么事儿都有两面性。咱们家养了猫，耗子就没了。但 是，如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的。 C. 动物有时也通人性。有时主人喂它某种饲料吃得很好， 若是陌生人喂，怎么也不吃。
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦 球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半 径的圆的方程 为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案
2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…， 猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。
2.1.1合情推理
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
小结：
(1)合情推理的含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、 分析、比较 、联想 ，再进行 归纳 、类比 ，然后提出猜想 的推 理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程：
从具体问题出发
类比推理
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特 征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
类比推理
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
距圆心较近的弦较长
截面圆不等，距球心较近的
截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半 球的切面垂直于过切点的半
径；经过圆心且垂直于切线 径；经过球心且垂直于切面
的直线必经过切点
的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直 经过切点且垂直于切面的直
线必经过圆心
线必经过球心
类比推理
“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往 往有赖于平面几何的类比问题.”
所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
§2.1.1 合情推理(1)
使用时间：2012.03.06 课题：§2.1.1 合情推理（1）适用范围：高二文科学习目标：1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 学案编制人学案审核人教学设计一、课前准备（预习教材P28~ P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.※典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且n n n a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.※ 动手试试练1. 应用归纳推理猜测11112222- 的结果.练2. 在数列{n a }中，11a =，122n n na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.A.()f n 可以为偶数B. ()f n 一定为奇数C. ()f n 一定为质数D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+ 4.已知111()1()23f n n N n+=+++⋅⋅⋅+∈，则=)2(f ______，=)4(f ______，=)8(f ______，=)16(f ______，=)32(f ______，...........................猜测当2n ≥时，有__________________________.5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ .课后作业1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n nS a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.【课外导学】请学有余力的同学选作《新课堂》内容。
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
2.1.1合情推理
2.1.1合情推理预习案一、【教材知识梳理】1．合情推理包括 和 ．2．归纳推理：（1）概念：根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理叫做归纳推理。
（2）特点：归纳推理是从 到 的过程。
（3）归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3．类比推理：（1）概念：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物 的推理，叫做类比推理． （2）类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 二、【预习检测】 1、从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是 ． 2．下列说法正确的是（ ）A ．类比推理一定是一般到一般的推理B ．类比推理一定是个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是个别到一般的推理 3．球心到球面上每一点的距离相等。
类比到平面，有_______________ _____ ４．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为______________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为________________探究案一、【典例解析】例1 已知数列{}n a 的第1项11a =，且()11,2,1n n na a n a +==+…，试归纳出这个数列的通项公式．例2．观察下面几个算式，找出规律：1+2+1=4； 1+2+3+2+1=9； 1+2+3+4+3+2+1=16； 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25；…利用上面的规律，请你算出1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1= 。
合情推理(第一课时)
第二章合情推理与演绎推理§2.1.1.1合情推理(第一课时)一、教学目标：1、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
2、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
3、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
二、教学重点：归纳推理及方法的总结。
三、教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
四、教学过程：（一）问题情境：1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
③思考：整个过程对你有什么启发？④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2、数学皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
这是世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是一位著名的数学家。
据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。
思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。
（二）推进新课1、归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
2.1.1合情推理
金片
…
移动 次数
1
3
7
15 31
63
… …
推测 an=
经测算相当要移动 5845.54亿年
五、总结归纳
谈一谈你本节课的收获
五、总结归纳
定义： 部分推出全部，
归
个体概括一般.
纳
数学思想方法：归纳推理
推
数形结合
理
思考：归纳推理的结论
一定正确吗？
作业一：
在意大利馆，他发现地砖按如下规律拼成的图 案, 请观察下面三个图案中分别有多少块白色地 砖？
称为归纳推理(简称归纳).
说一说：根据概念归纳推理的方法是什么？
部分推出全部 个别概括一般
归纳推理的一般步骤
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
三、概念深化
例1 观察图2.1-1，可以发现：
1 23456 7
1+3=4， 1+3+5=9， 1+3+5+7=16， 1+3+5+7+9=25，
针上从下到上地穿好了由大到小的64块金片，
这就是所谓的汉诺塔。
四、应用探索 不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的 法则移动这些金块：
1、每次只能移动一块金片。 2、可以借助B针作辅助用，不能移其他处。 3、移动时，小金片必须在大金片上面。
僧侣们预言，当64块金片都从A针移到C针时， 世界末日__块白色地砖. 第10个图案中有 ______块白色地砖. 第n个图案中有 ______块白色地砖.
谢谢大家！
130m
你是怎么推测出来 的？
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：2.1.1合情推理
【解题探究】写出前4项，通过观察，发现相应的规律．
【解析】(1)由已知，可得 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想 an＝2n＋1－1，n∈N*.
(2)由已知，可得a1＝a，a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa，a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 猜想an＝n－n－1－n－n1－a2a(n∈N*)． (3)∵2 Sn＝an＋1，∴2 S1＝a1＋1，即2 a1＝a1＋1. ∴a1＝1.又2 S2＝a2＋1，∴2 1＋a2＝a2＋1. ∵对一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7.猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
【答案】（1）C （2）f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x 【解析】（1）利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1 ＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18， a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝ 76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为 前两组结果的和．
长，h是该边上的高，则三角形的面积是 12 ah，如果把扇形的弧
长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积
为
1 2
lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…
＋(2n－1)＝n2.(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、类比推理
a.在正四面体ABCD内有
2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1第1课时归纳推理课后
第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后篇巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(n∈N*)B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*)C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(n∈N*)D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2(n∈N*),各等式的左边是2n-1(n∈N*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.2.已知不等式1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+122+132+142+152+162<()A.95B.115C.116D.136,第n(n∈N*)个不等式的左边=1+122+132+…+1(n+1)2,右边=2(n+1)-1n+1,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162<116.3.如图是元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所形成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是(),该五角星对角上的两盏灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,则下一个呈现出来的图形是A中的图形.故选A.4.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2n n2+n n(n∈N*),则可归纳猜想{a n}的通项公式为()A .a n =2nB .a n =2n +1 C .a n =1nD .a n =1n +1a 1=1,a 2=2n 12+n 1=23,a 3=2n 22+n 2=432+23=24,a 4=2n 32+n 3=2×122+12=25,……由此可猜想a n =2n +1(n ∈N *).5.设f (x )=1+n1-n ,记f 1(x )=f (x ),若f n+1(x )=f (f n (x )),则f 2 016(2 016)等于( ) A .2 016 B .-12016 C .-10091008D .10081009f 1(x )=1+n1-n ,f 2(x )=-1n ,f 3(x )=n -1n +1,f 4(x )=x ,f 5(x )=1+n1-n ,f 6(x )=-1n,f 7(x )=n -1n +1,f 8(x )=x ,……可得f n (x )是以4为周期的函数,因此f 2016(x )=f 504×4(x )=f 4(x )=x ,故f 2016(2016)=2016.6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,……如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( ) A .6(66-1)6-1只 B .66只 C .63只D .62只,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只),第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只),……故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B .7.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律,依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为( )A.81B.121C.364D.1 093,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形中小三角形个数的3倍加1,设第n 个黑色三角形内去掉小三角形的个数为a n ,则n=1时,a 1=1;n=2时,a 2=3×1+1=4;n=3时,a 3=3×4+1=13;n=4时,a 4=3×13+1=40;n=5时,a 5=3×40+1=121;n=6时,a 6=3×121+1=364.故选C .8.给出若干个数:√2+23,√3+38,√4+415,√5+524,……由此可猜测第n (n ∈N *)个数为 .,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n 个数为√n +1+n +1(n +1)2-1.n +1+n +1(n +1)2-19.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°; ②sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; ③sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°; ④sin 2(-18)°+cos 248°-sin(-18)°cos 48°; ⑤sin 2(-25)°+cos 255°-sin(-25)°cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.选择②式计算如下:sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=34.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证法一:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α(cos30°·cos α+sin30°sin α) =sin 2α+34cos 2α+√32sin αcos α+14sin 2α-√32sin αcos α-12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α=34.故上式成立.证法二:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos2n2+1+cos(60°-2n )2-sin α(√32cos n +12sin n )=1+12[12cos2n +√32sin2n -cos2n ]−√34sin2α-14(1-cos2α) =1-14cos2α-14+14cos2α=1-14=34.故上式成立. 10.已知下列等式成立:122-1=13,122-1+142-1=25,122-1+142-1+162-1=37,122-1+142-1+162-1+182-1=49,……试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.:第1个等式左边有1项,右边为12×1+1;第2个等式左边有2项,右边为22×2+1;第3个等式左边有3项,右边为32×3+1;第4个等式左边有4项,右边为42×4+1,由此可以归纳得出一般性的结论为122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=n2n +1(n ∈N *).以下用数列的方法证明该等式成立:122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n +1) =1211−13+13−15+15−17+…+12n -1−12n +1=12(11-12n +1)=n2n +1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2.1.1合情推理
(4)
(5)
3 2 1
431
5 4 1
第n个图形的点数 n(n 1) 1 n2 n 1
3.(05年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且
仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点
.若用f(n)表示这n条直线交点的个数.
当n ≥3 时, f(n)=
.(用n表示)
一切金属 都能导电.
第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
第n个 数为
整 体 2n.
第四个数为8
个别
三角形内角和
为 180
凸四边形内角
和为 360
凸n边形 内角和为
n 2180 .
凸五边形内角
和为 540
一般
第一个芒果是
甜的
第二个芒果是 甜的
这个果园 的芒果都 是甜的
第三个芒果是 甜的
鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿， 来做一件边缘带有细齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更 快、更好吗？鲁班忘记疼痛，转身下山，做起试验来。在金 属工匠的帮助下，鲁班做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班 将这件工具拿去锯树，果然又快又省力。锯子就这样发明了。
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
归哥纳德巴推赫理猜想的的过过程程：：
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
铜能导电
铝能导电 金能导电 银能导电
一切金属 都能导电.
第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6 第四个数为8
第n个 数为 2n.
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后来人们发现 226 1,227 1,228 1都是合数.
新的猜想：形如 22n 1（ n 5 ）的数都是合数.
例1 已知数列 {的an首} 项 ，a1且有1
an1
an 1 an
(n 1, 2,3,…) •
试归纳出这个数列的通项公式。
……
凸n边形有多少条对角线？
猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线。由此，凸n边形 对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2).
小结
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
作业
1、完成课本 P83 A组 1—3
推理: 从一个或几个已知命题 另一个新命题
前提 －－－推理所依据的命题. 推理
结论 －－－根据前提所得到的命题.
已知 判断
前提
新的 判断
结论
推理案例：
1：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟 是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、 海龟、蜥蜴都是爬行动物。 由此猜想： 所有的爬行动物 都是用肺呼吸的
2、观察下面的“三角阵”，找出相邻两行数之间的关系
1
11 121
1.首项均为1
1331 1 46 4 1
……
1 10 45 … 45 10
2.第二项为nபைடு நூலகம்1
3.相邻两项之和等
1 于下面的数
3. 凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条； 凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
2：三角形的内角和是180度，凸四边形的内角 和是360度，凸五边形的内角和是540度，…… 由此猜想：凸n边形的内角和是(n-2) ×1800
思考：这两个推理案例有何特点？ 由部分到整体、由个别到一般的推理 归纳推理
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了 1200个小时，完成了四色猜想的证明.
观察下列等式
3+7=10， 10=3+7 ，
3+17=20， 20=3+17，
13+17=30， 30=13+17. 归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:
选做
孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想; 费马最后定理; 七桥问题;欧拉回路(选择两个猜想探究来源)
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
你能举出归纳 推理的例子吗?
每幅地图可以用 四种颜色着色，使得 有共同边界的相邻区 域着上不同色.
1852年，英国人 弗南西斯·格思里为 地图着色时，发现了 四色猜想.
用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区 域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记， 而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
陈氏定理
2n p1 p2 p3
221 1 5,
222 1 17,
223 1 257, 224 1 65537,
都是质数
猜想：22n 1是质数.
归纳推理的 一般步骤
实验观察
大胆猜想
半个世纪之后，欧拉发现：