2-1-1 合情推理
讲练测·三位一体春高中数学人教A版选修1-2教学课件：2-1-1《合情推理》
∴g(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋1
＝n(n＋2 1)＋1＝n2＋2n.＋2
第二章 推理与证明
[点评] 在几何中随着点、线、面等元素的增加，探
究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推 人 教
A
理解决，分析时递推关系的寻找是重点．
版
数
学
第二章 推理与证明
[例 3] 已知 O 是△ABC 内任意一点，连结 AO、BO、
去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.
第二章 推理与证明
(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角
度，把各数改写为
23，1，32，94，287
人
可以发现：
教 A
版
数
1÷23＝32，32÷1＝32，
学
94÷32＝32.287÷94＝32. 后一个数是前一个数的32倍，按照这个规律，括号中的
版 数 学
∴OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH ＝VO－BCD＋VO－VBC＋VO－VCD＋VO－VBD
VV－BCD
＝VVVV－－BBCCDD＝1.
第二章 推理与证明
[点评] 在类比推理中，找出两类事物之间的相似性
或一致性，特别是由平面向空间类比中，注意研究空间和 人 教
A
平面的根本区别．
版
数
第二章 推理与证明
人 教 A 版 数 学
第二章 推理与证明
[例1] 下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填
上适当的数：
(1)1,5,9,13,17，( )；
人 教
A
版
(2)23，1,112，214，338，( )；
数 学
(3)34，58，12，292，3112，( )；
2.1.1合情推理-类比推理2
例3、试将平面上的圆类比空间的球. 1.定义的类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合. 2.圆的元素 类比 得出球的元素
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
3.圆的性质类比得出球的性质 球的概念和性质 圆的概念和性质
类比推理
一.复习:
1.归纳推理是从 个别 事实中概括出 一般 结论 的一种推理模式.归纳推理的思维过程大致是: 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
以下哪项最可能是爸爸讲给儿子们听的话？
A. 一个人的爱好是会变化的。爸爸小时候很爱吃糖，你奶 奶管也管不住。到现在，你让我吃我都不吃。
B. 什么事儿都有两面性。咱们家养了猫，耗子就没了。但 是，如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的。 C. 动物有时也通人性。有时主人喂它某种饲料吃得很好， 若是陌生人喂，怎么也不吃。
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦 球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半 径的圆的方程 为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
2.1.1-合情推理-12
例1：观察下列等式： 1=12，
1等于1的平方；
1＋3＝4=22，
前2个奇数的和等于2的平方；
1＋3＋5＝9＝32 1＋3＋5＋7＝42，
1＋3＋5＋7+9＝25=52，
……
前3个奇数的和等于3的平方； 前4个奇数的和等于4的平方； 前5个奇数的和等于5的平方；
你能猜想到一个怎样的结论？ ……
解：将上述叙述后 猜想：
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？
猜想：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
动手练一练
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的
x的值是 ___2_1____
2、根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试画出
第6个图形并写出有 31 个点.
等.
类比推理的结论不一定成立.
1．点P是三角形ABC内切圆的圆心，半径是r，三角形
ABC的面积是
1 2
(AB＋BC＋CA)r.类比三棱锥SABC的一个相似的
结论．
答案：假设点P是三棱锥S－ABC内切球的球心，半径是R， 则三棱锥S－ABC体积是 (S△13 SAB＋S△SBC＋S△SCA＋S△ABC)R.
当n＝3时，a3＝
1＋2 12＝13
；
当n＝4时，a4＝
1 1＋3 13＝14
；
观察可得，数列的前4项等于相应的序号的倒数．由此猜想，这个
数列的通项公式为
an＝
1 n
.
合作学习
2、一同学在电脑中打出如下若干个圆
若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆,
那么在前2015个圆中有___6_2____个黑圆.
原创4：2.1.1合情推理
这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：“是不是袋里都是玻璃球？”
但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；这时我们会
有第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续
加以检验
• 在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对
鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的;
狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物；
由此我们猜想:
所有的动物都是有骨骼的。
归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？
前提 当=0时，2-+11=11
当=1时，2-+11=11
当=2时，2-+11=13
当=3时，2-+11=17
当=4时，2-+11=23
２
３
４
５
６
７
十六进位
８
９
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
十进位
８
９
１０
１１
１２
１３
１４
１５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（
Ａ．６E Ｂ．７２
Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
Ａ
）
例4:已知两个圆①2+2=1:与②2+(-3)2=1,则由①式减去②
式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆
的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命
3
球的体积
S =πR 2
球心与不过球心的截面(圆面)的
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直
圆点的连线垂直于截面
于弦
2.1.1合情推理-归纳推理[1]
![2.1.1合情推理-归纳推理[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/86cf83f90975f46527d3e175.png)
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想（找反例或证明）。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
an = 1 + an
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
…
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
要说明猜想错误，只要一个反例。说明正 确就要证明。可是，几百年也没有找到反例。 而为了证明这个猜想，数学家们作了很多努力。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年 的结果，称为陈氏定理(Chen„s Theorem) “任 何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之 和，而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常 都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ” 的形式。哥德巴赫猜想还是猜想，有志于此乎？
作业：1、《三维设计》P42，题组 集训1、2、3、4、5
2、课本P84B组第1题
2.1合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理
问题：在“狼来了”故事中，那 个小孩最后喊“狼来了”时，听 到的人们是怎样想的？为什么会 这样想？
请列举生活中推理的例子。
如：锯子的发明传说；警察办 案；天气预报; 文物考察；数 学命题探索论证等等
歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”
定义：由某类事物的部分对象具有某些 特征,推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结 论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个理解;
2.1.1合情推理(2)
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等, 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x 为圆心, r为半径 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x (x+(y的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x 为球心, r为半 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x (x+(y径的球的方程为(x-x0)2+(y+(zy0)2+(z-z0)2 = r2
:(2001年上海) 2001年上海 =1:与 例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 +(y②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程. 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广, 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题, 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 设圆的方程为① 一个特例, 一个特例,推广的命题为------------------------(x- +(y(x- +(y(x -----a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 则由①式减去② b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 --------------------------------------------------------- 方程. 方程. ----------------------------------------------------------------. --------.
十六进位 十进位 十六进位 十进位
2.1.1合情推理
2、类比推理
考察以下事例中的推理： （1）1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸 的原因，接着，通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因， 据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的； （2）我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构 类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着 丰富的石油；
…
----歌德巴赫猜想
归纳推理的一般步骤： 1.通过观察个别情况发现某些相同性质； 2.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。 一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的 一般性命题就越可能为真。
(二)活学活用:
例1 用推理的形式表示等差数列1，3，5，---，（2n-1），---的前 n项和Sn的归纳过程。 解：对等差数列1，3，5，---，（2n-1），---的前1，2，3，4， 5，6项和分别进行计算： S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = 1=12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1+3+5+7+9= 25 = 52 1+3+5+7+9+11=36=62
, f (9) 9 2 9 41 131 , f (10) 102 10 41 151
43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数。 ----------------------------------------------------------------------
2.1.1合情推理(一)
2
1
3
13
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1 ＝1 n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3.
前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
a n＝3时， 3 ＝7
前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
猜想 an= 2n -1
大胆猜想 小心求证
16
3.(05年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且 若用f(n)表示这n条直线交点的个数. 当n ≥3 时, f(n)= .(用n表示)
仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.
1 2 ( n n 2) 2
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
2
1
3
14
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。 （但要注意，结论可能为真，也可能为假。）
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如 的数都是质数 这就是著名的"费马猜想"
半个世纪后,欧拉发现第5个费 马数
欧拉
15
宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为 一个求质数的公式.以后,人们又陆续发现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说 目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是 质数.
an 且 an 1 ( n ＝1，2，3，·· ·)， 1 an
1 an 请归纳出这个数列的通项公式为________. n
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
10
2.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.
高中数学《2.1.1合情推理》教案2 新人教A版选修1-2
12.1.1 合情推理（二）教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.二、讲授新课： 1. 教学概念：① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. ② 类比练习：(i )圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？(ii )平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ (iii )由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表） 小结：平面→空间，圆→球，线→面.③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题：.思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比.3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.三、巩固练习：1. 练习：教材P 38 3题. 2. 探究：教材P 35 例5 3.作业：P 44 5、6题.。
高中数学《2.1.1合情推理》导学案 新人教A版选修1-2
§2.1.1 合情推理（1）1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.※ 典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， ……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且nn n a a a +=+11(1,2,3.)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.※ 动手试试练1..练2. 在数列{n a }中，11a =，122n n na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升 ※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想. 2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22xf x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+4.111()1()23f n n N n+=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n nS a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.。
2.1.1合情推理(二)类比推理
Ｂ A
a
Ｃ
c b
Ａ B
s1 os2 s3
C
直角三角形
3个面两两垂直的四面体
∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝90°
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜 边c
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1 个“斜面” S
13
c2=a2+b2 猜想 S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
nm
商
和
积
① a n = a m· qn-m ② an÷ am= qn-m
质
③若m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq ④若 p+q=2n,ap+ aq= 2an
③若m＋n＝p＋q， 则 a m· a n＝ a p· aq
④若 p+q=2n,ap· aq= 12 a n2
例3.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中， 1 h1 V 3S△BCD· OE h1 O－BCD ＝ ＝＝ ＝ . VE h 1 VV－BCD h 3S△BCD· OF VO－VBC OG VO－VCD OH VO－VBD 同理有：DF＝ ； BG ＝ ；CH ＝ ， VD－VBC VB－VCD VC－VBD OE OF OG OH ∴ VE ＋DF＋ BG ＋CH VO－BCD＋VO－VBC＋VO－VCD＋VO－VBD VV－BCD ＝ ＝ ＝1. VV－BCD VV－BCD
22
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
2.1.1合情推理(二)
5
4、在研究球体时,自然联想到圆.
试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
圆
球
弦 截面圆 . . 大圆 直径 周长 表面积 面积 体积 探究：类比圆的特征，说说球的相关特征，并说 明推理的过程。 6
利用圆的性质类比得出求的性质
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称 鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的.
2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇.
18
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
19
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
20
小结
3
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
4
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
则四面体的内切球半径 R ________________ .
2.1.1合情推理-类比推理
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通 常简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ” 的形式。
,
a2 c2 a2 b2
S 2 PE2PF2 sin2 EPF a2b2 a2c2 b2c2
4
4
S12 S22 S32.
S2
S12
S
2 2
S32 .
例3：(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢１６进１的计算制，采用数字０９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符 号与十进制的数的对应关系如下表；
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
圆的面积 S r 2
球的体积 V r3
圆心与弦（非直径）中心的连线垂 球心与截面（不经过球心的小截面
直于弦
圆）圆心的连线垂直截面圆
与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两个截面圆面积
心距离不相等的两弦不等,距圆心 相等;与球心距不相等的两个截面
较近的弦长.
圆面积不相等,距球心较近的截面
2-1-1 合情推理
1．等差数列有如下性质：若数列{a n}是等差数列，则当b n＝a1＋a2＋…＋a nn时，数列{b n}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{c n}是正项等比数列，则当d n＝________时，数列{d n}也是等比数列．[答案]nc1c2…c n[解析]类比等差数列与等比数列的性质，可猜测d n＝nc1c2…c n，{d n}为等比数列．2．(2013·陕西文)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n个等式可为________________________．[答案](n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)[解析]本题考查了逻辑推理能力．观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，右侧分两部分，一部分是2n，另一部分为1×3×…(2n－1)．3．根据等差数列的性质，利用类比方法试写出等比数列的一些性质.等差数列性质{a n}，公差d 等比数列性质{b n}，公比q若m＋n＝p＋q则a m＋a n＝a p＋a q①若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p②a k，a k＋m，a k＋2m，…构成公差为md的等差数③列S n为前n项和，则S n，S2n－S n，S3n－S2n成公④差为n2d的等差数列a m＝a n＋(m－n)d ⑤[解析]由等差数列，等比数列性质，不难类比得到①－⑤的性质：①若m＋n＝p＋q，则b m·b n＝b p·b q；②若m＋n＝2p，则b m·b n＝b2p；③b k，b k＋m，b k＋2m……构成公比为q m的等比数列；④公比q≠－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等比数列，公比为q n；⑤b m＝b n·q m－n.。
福建省晋江市季延中学人教版高中数学选修1-2课件：2.1.1合情推理
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦（非直径）中点的连线 垂直于弦
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面)的 圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等
与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相等, 与球心距离不相等的两截面面积不
n ＝1时， a1＝1 第1个圆环从1到3.
2
1
3
第三十页，编辑于星期日：十九点 四十一分。
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时， a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
第三十一页，编辑于星期日：十九点 四十一分。
abc
分析：面积法
由12r(a+b+c)=S 2S
r=a+b+c
21
第二十一页，编辑于星期日：十九点 四十一分。
变式：已知 ABC三边长为a, b, c,面积为S,则
ABC内切圆半径r= 2S . abc
根据类比推理的方法, 若一个四面体A-BCD四个面的 A
面积分别为S1, S2 , S3 , S4 ,体积为V， 则四面体的内切球半径
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功 能.
第二十五页，编辑于星期日：十九点 四十一分。
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
注意
以旧的知识为基础,推测新的
结果，具有发现的功能
2.1.1合情推理
引入1.数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
观察下列等式 3+7=10， 3+17=20， 13+17=30， 10=3+7 ， 20=3+17， 30=13+17.
归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
任何一个不小于 6的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
后来人们发现 2 1,2 1,2 1都是合数.
26 27 28
新的猜想： 形如 2
2n
1（ n 5 ） 的数都是合数.
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一位 富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他:" 要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了果园, 园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝一个看 ."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个个都尝 过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己动手摘 芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去,富翁 见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
当n=2时,a2= 3
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 1 21 1 当n=1时,a1=1 3 22 1 猜想 an= 2n -1 当n=2时,a2= 3 3 7 2 1 当n=3时,a3= 7
( n≥2 )，
请归纳出这个数列的通项公式为________.
统计初步中的用样本估计总体
通过从总体中抽取部分对象进
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能力拓展提升
一、选择题
11．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数
目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是(
)
A．27 B．28
C．29 D．30
[答案] B
[解析]后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.
12．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2 010到2 012的箭头方向依次为()
14→58→912
↓↑↓↑↓↑……
2→36→7 10→11
A．↓→B．→↓
C．↑→D．→↑
[答案] D
[解析]根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2010÷4＝502余2，故从2010到2012与从2到4的方向一致，故选D.
13．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()
A．白色B．黑色
C．白色的可能性大D．黑色的可能性大
[答案] A
[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是() A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
[答案] C
[解析]本题主要考查数形的有关知识．
图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，
以上累加得a n－a1＝2＋3＋…＋n，a n＝1＋2＋3＋…＋na n＝n·(n＋1)
2，图2中满足b n＝n
2，
一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；
一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．
∵1225＝352＝49×50
2，∴选C.
二、填空题
15．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．
[答案]a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
[解析]等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
16．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD －A1B1C1D1中，可写出类似的命题：_______________________________
___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
[答案]长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与棱AB、
BB 1、BC 所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2
(或：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若对角线BD 1与平面ABCD 、ABB 1A 1、BCC 1B 1所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2或sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1)．
三、解答题
17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n
＋2＝0(n ≥2)，计算S 1、S 2、S 3、S 4，并猜想S n 的表达式．
[解析] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；
当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13
； 当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53；∴S 3＝－35
； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57
. 猜想：S n ＝－2n －32n －1
(n ∈N *)． 18．若a 1、a 2↔R ＋
，则有不等式a 21＋a 222≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．
[解析] 本例可以从a 1、a 2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33
)2， a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44
)2，…， a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n
)2；
第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n 1＋a n 22
≥(a 1＋a 22
)n ； 第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33
)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a m n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n
)m . 上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。