2.1.1合情推理
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课件6：2.1.1 合情推理
(2)分成两列数，奇数位的数：32,16，( )，4,2.偶数位的 数：31,26，( )，16,11，所以括号中的数依次是 8,21.
2．观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<54，1＋212＋312＋412 <78，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.
【答案】1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112<2n2＋n 1(n∈N*) 【解析】不等式的左边是i12的前 n＋1 项和，右边的分母是 2n， 分子是 2n＋1，故一般性的结论是 1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112 <2n2＋n 1(n∈N*)．
2.1.1 合情推理
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的_部__分___对__象__具有某些特征，推出该类事物的 __全__部__对__象__都具有这些特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 _一__般__结__论___的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由___部__分___到__整__体___、由__个__别___到__一__般___的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁 都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 __归__纳__推__理__．
新知导学
3．类比推理 由 两 类 对 象 具 有 _某__些__类__似__特__征___ 和 其 中 一 类 对 象 的 __某__些__已__知__特__征__，推出另一类对象也具有_这__些__特__征___的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊__到__特__殊__ 的推理．
5．归纳推理是由部分到_整__体___，由具体到_抽__象___，由特 殊到_一__般___，从个别事实中概括出_一__般__结__论___的思维模式． 类比推理是在__两__类__不__同__的事物之间进行对比，找出若干相同 或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相__同__或__相__似___
2．观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<54，1＋212＋312＋412 <78，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.
【答案】1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112<2n2＋n 1(n∈N*) 【解析】不等式的左边是i12的前 n＋1 项和，右边的分母是 2n， 分子是 2n＋1，故一般性的结论是 1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112 <2n2＋n 1(n∈N*)．
2.1.1 合情推理
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的_部__分___对__象__具有某些特征，推出该类事物的 __全__部__对__象__都具有这些特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 _一__般__结__论___的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由___部__分___到__整__体___、由__个__别___到__一__般___的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁 都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 __归__纳__推__理__．
新知导学
3．类比推理 由 两 类 对 象 具 有 _某__些__类__似__特__征___ 和 其 中 一 类 对 象 的 __某__些__已__知__特__征__，推出另一类对象也具有_这__些__特__征___的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊__到__特__殊__ 的推理．
5．归纳推理是由部分到_整__体___，由具体到_抽__象___，由特 殊到_一__般___，从个别事实中概括出_一__般__结__论___的思维模式． 类比推理是在__两__类__不__同__的事物之间进行对比，找出若干相同 或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相__同__或__相__似___
课件11：2.1.1 合情推理
类比对象较合适
()
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
【解析】从构成几何图形的几何元素的数目、位置关
系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体
的类比对象较为合适．
【答案】C
4．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规 律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈．
解：方法一：图(1)中的圆圈数为12－0； 图(2)中的圆圈数为22－1， 图(3)中的圆圈数为32－2， 图(4)中的圆圈数为42－3， 图(5)中的圆圈数为52－4… 故猜测第(n)个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
小结：
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比， 找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存 在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确 是需要证明的.
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
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2.1.1 合情推理
学习目标： 1．了解合情推理的含义及合情推理在数学发现中的作用； 2．理解归纳推理与类比推理的含义及它们的异同点． 3.理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的 推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
新知识·预习探究 知识点一：归纳推理 1．概念 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推 理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中， 1
OVEE＝hh1＝＝313SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVOD－－VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD， ∴OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH ＝VO－BCD＋VO－VVBCV＋－BVCDO－VCD＋VO－VBD＝VVVV－－BBCCDD＝1.
课件6：2.1.1 合情推理
二是研究数列中的相邻两项或几项的关系，这样，知 道了最初的几项后，后面的项就可按照已找出的关系 顺次写出来． (2)这个数列的一般项可以写成： a2n＝1＋2(1＋2＋…＋n)＝n2＋n＋1； a2n－1＝1＋2(1＋2＋…＋n－1)＋n＝n2＋1(n∈N＋)．
跟踪训练 3.如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点” 表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构， 第 n 个图有________个原子，有________个化学键．
解：(1)由已知有 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜测出 an＝2n＋1－1，n∈N* .
(2)由已知有 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 猜测出 an＝(n－n－1)(－n－(n1－)a2)a，n∈N*.
…， 所以，第 20 个拐弯处的数是 a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10) ＝1＋2(1＋2＋…＋10)＝111.
第 25 个拐弯处的数是 a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13) ＝1＋2(1＋2＋…＋12)＋13＝170.
方法总结 (1)寻找数列的排序规律，常用两种方法： 一是考察数列的“项”与它所在的位置，即“项数” 之间的关系，一般的数列写作：a1，a2，a3，…， an，….这里的an是数列的“项”，n是“项数”，若能 找到“项”与“项数”的关系，则知道了项数n，也就 知道了它所对应的项an.
解：如图，设 O 为四面体 V－BCD 内任意一点，连接 VO、BO、CO、DO 并延长交对面于 V′、B′、C′、D′， 类比关系为OVVV′′＋OBBB′′＋OCCC′′＋ODDD′′＝1.
人教版选修2-2《2.1.1合情推理》课件(共23张PPT)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体86Fra bibliotek12五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
7.利用等差数列性质类比等比数列性质
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
18 =7+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
课件11：2.1.1 合情推理
题型三 类比推理及其应用 例 3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面 体性质的猜想．
解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2；
类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P-DEF 中，如图(2)， 猜想：S2＝S21＋S22＋S23(S、S1、S2、S3 分别是四面体 PDEF 的 面△PEF、△DEF、△PFD、△PDE 的面积)．
2．已知△ABC 的边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，用 S△ABC 表示△ABC 的面积，则 S△ABC＝12r(a＋b＋c)．类比这一结论 有：若三棱锥 A-BCD 的内切球半径为 R，求三棱锥 A-BCD 的体积． 解：内切圆半径 r―类―比→内切球半径 R， 三角形的周长：a＋b＋c―类―比→三棱锥各面的面积和： S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面积公式系数12 ―类―比→三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积 VABCD＝13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
象具有某种性质，推出这 些__类__似__ (或__一__致__)性，推测其
定义 类事物的_所__有___对象都具 中一类事物具有与另一类事物类
有这种性质的推理，叫做 似(或相同)的性质的推理，叫做类
归纳推理
比推理
归纳是从特殊到一般的过 特征
程
类比是从特殊到特殊的过程
初试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( × ) (2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( √ ) (3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( × )
2．数列 5，9，17，33，x，…中的 x 等于( )
课件1：2.1.1合情推理
此 凸 n 边 形 的 对 角 线 条 数 为 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ … ＋ (n － 2) ＝ n(n －
3)(n≥4，n∈N*)．
在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸
六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
总结规律：在几何中，随点、线、面等元素的增加，探究相应的线
2．类比推理的关键是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，为了
提高所得结论的准确性，常采用下列技巧
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
典例展示
等差数列、等比数列的性质类比问题
• 言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
做一做
下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的
是(
)
• A．三角形
B．梯形
• C．平行四边形
D．矩形
解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平
面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
3．合情推理
• 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分
•
例4
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1
＋a2＋…＋a19－(＜19，∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在
等比数列{bn}中，若b10＝1，则有等式________成立．
【解析】
等差数列→用减法定义→性质用加法表述
(若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq)；
积等．
(2)在推导空间中的结论时，可利用类似平面结论的推导方
2.1.1 合情推理
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2 |归纳推理 1.定义:由某类事物的④ 部分对象 具有某些特征,推出该类事物的 ⑤ 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由⑥ 个别事实 概括出 一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 2.特征:归纳推理是由⑦ 部分到整体 、由⑧ 个别到一般 的推理.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 特别提醒 经过归纳推理、猜想得出的结论不一定正确,例如:由an=(n2-5n+5)2得到a1=a2=a3= a4=1,由此猜想an=1是错误的,事实上,a5=25.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
(★★☆)(1)发现问题 如图①,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.求 ∠AEB的度数及线段AD、BE之间满足的数量关系.
图①
图②
(2)拓展探究
如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在
同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.求∠AEB的度数及线段CM、
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2 |类比推理 类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,它以 旧的认识为基础,类比出新的结果; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它具有发现的功能.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
1 |归纳推理 归纳推理的四个特点 (1)前提:几个已知的特殊现象. (2)结论:归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围, 具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理的结 论不能作为数学证明的工具. (3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别的、特殊性的事实作为前提,然后才能进 行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行. (4)作用:归纳推理是具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结 论,归纳推理是科学发现的重要手段.
课件10：2.1.1 合情推理
【答案】 b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N*)
跟踪训练
4．若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算， 即 a*b＝a＋2 b,则两边均含有运算符号“*”和“＋”,且对于 任意 3 个实数 a，b，c 都能成立的一个等式可以是 _______．
【解析】由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需 要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一，解决这道试 题要把握住 a*b＝a＋2 b，还要注意到试题的要求不仅类比推 广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可 容易得到 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
做一做
下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合
适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
【解析】因为平行六面体相对的两个面互相平行，
类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
【答案】C
3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、比较、联想，再进行_归__纳____、__类__比___,然后提 出_猜__想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地 说，合情推理是指“___合__乎__情__理____”的推理．
跟踪训练 3．在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC， 且 SA、SB、SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1、α2、α3， 三侧面△SBC、△SAC、△SAB 面积分别为 S1、S2、S3， 类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解：在△DEF 中，由正弦定理得sindD＝sine E＝sinf F. 于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体中，我们猜想sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3成立．
跟踪训练
4．若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算， 即 a*b＝a＋2 b,则两边均含有运算符号“*”和“＋”,且对于 任意 3 个实数 a，b，c 都能成立的一个等式可以是 _______．
【解析】由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需 要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一，解决这道试 题要把握住 a*b＝a＋2 b，还要注意到试题的要求不仅类比推 广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可 容易得到 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
做一做
下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合
适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
【解析】因为平行六面体相对的两个面互相平行，
类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
【答案】C
3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、比较、联想，再进行_归__纳____、__类__比___,然后提 出_猜__想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地 说，合情推理是指“___合__乎__情__理____”的推理．
跟踪训练 3．在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC， 且 SA、SB、SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1、α2、α3， 三侧面△SBC、△SAC、△SAB 面积分别为 S1、S2、S3， 类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解：在△DEF 中，由正弦定理得sindD＝sine E＝sinf F. 于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体中，我们猜想sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3成立．
课件5：2.1.1 合情推理
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中
的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，… 的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳 得到结果．
跟踪练习 4 已知 a1＝3，an＋1＝a2n(n＝1,2，…)，试通过归纳推理得出 数列{an}的通项公式，并给出证明． 解：由 a1＝3，an＋1＝an2，得 a2＝32，a3＝(32)2＝322， a4＝(322)2＝323， a5＝(323)2＝324，…，an＝32n－1(1,2，…)． 证明如下：
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中，设底面 BCD 上的高分别为 h′，h，则
1 OVEE＝hh′＝＝331SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVOD－ －VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD，
cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1. 于是把结论类比到四面体 P－A′B′C′中，我们猜想，三棱 锥 P－A′B′C′中，若三个侧面 PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互 相垂直，且分别与底面所成的角为 α，β，γ，则 cos2α＋cos2β ＋cos2γ＝1.
学科核心素养 归纳推理在数列中的应用
__类__比______)
新知导入 1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
特
归 纳 推 理 是 由 _部__分___ 到 _整__体___ 、 由 __个__别__ 到
类比推理是由__特__殊__到
征 _一__般___的推理
_特__殊___的推理
2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过
原创2：2.1.1合情推理
类比推理的结论不一定成立.
(3) ＞＞;等等。
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体
性质的猜想．
A
Ｂ
c2=2+b2
c
a
o s2
s1
s3
Ｃ
猜想:
b
Ａ
B
S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
C
总结：
1.进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
2
D1
D
C
A1
B1
A
C
D
B
A
C1
B
类比推理
类比推理
由特殊到特殊的推理
以旧的知识为基础,推测新的结果，
具有发现的功能
注意
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;
以观察分析为基础,推测新的结论;
具有发现的功能;
结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理;
以旧的知识为基础,推测新的结果；
2.1.1合情推理
第
二
章
：
推
理
与
证
明
推理
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维
过程就叫推理.
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10
3＋17＝20
13＋17＝30
6＝3+3，
8＝3+5,
10＝5+5,
……
1000＝29+971，
1002=139+863,
2.1.1合情推理
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知整体. 实例
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后 探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
凸多面体
面数（F） 6
顶点数（V） 8
棱数（E） 12
4
8 5 5
4
6 6 5 9
6
12 9 8 16
9
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2
欧拉公式
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还 常常应用类比。例如：
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
和蝗虫的牙齿,发明了锯． 2.人们仿照鱼类的外型和它们在
球的体积 V = πR 3
圆心与弦(非直径)中点连线垂 直于弦.
与球心距离相等的两截面圆面积 与圆心距离相等的两弦相等 相等; 与圆心距离不等的两弦不 与球心距离不等的两截面圆面 等,距圆心较近的弦较长. 积不等,距球心较近的截面圆面 积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 2 2 2 圆的方程为(x-x0) ＋(y-y0) =r . (x-x )2+(y-y )2+(z-z )2=r2. 0 0 0
（2）类比推理的结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后 探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
凸多面体
面数（F） 6
顶点数（V） 8
棱数（E） 12
4
8 5 5
4
6 6 5 9
6
12 9 8 16
9
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2
欧拉公式
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还 常常应用类比。例如：
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
和蝗虫的牙齿,发明了锯． 2.人们仿照鱼类的外型和它们在
球的体积 V = πR 3
圆心与弦(非直径)中点连线垂 直于弦.
与球心距离相等的两截面圆面积 与圆心距离相等的两弦相等 相等; 与圆心距离不等的两弦不 与球心距离不等的两截面圆面 等,距圆心较近的弦较长. 积不等,距球心较近的截面圆面 积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 2 2 2 圆的方程为(x-x0) ＋(y-y0) =r . (x-x )2+(y-y )2+(z-z )2=r2. 0 0 0
（2）类比推理的结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
课件9：2.1.1 合情推理
答 1.归纳推理 特殊 一般 2.类似特征 已知特征 这些特征 特殊
案 3.事实 比较 联想 归纳 类比
名师讲解
1. 归纳推理 (1) 归纳推理的分类 ①完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论，显然 该结论一定正确． ②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．该 结论不一定正确．
(2) 归纳推理的一般步骤 第一步：观察、分析所有特殊情况的共性，如图形中的 点、线的个数、位置关系，数列中项的变化规律，一系 列式子的运算特点等． 第二步：把第一步观察到的共性进行推广，形成一般化 的结论． 如数列的通项公式，式子的运算结果等等．
2.1.1 合情推理
自学引导
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的 推理.
课前热身
1. 归纳推理． 由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这种特征的推理，称为 ________．概括为由________到________的推理．
2. 类比推理． 由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些 ________，推出另一类对象也具有________的推理称为类 比推理，其特征是由________到特殊的推理． 3. 合情推理． 根据已有的________，经过观察、分析、________、 ________，再进行________、________，然后提出猜想的 推理，统称为合情推理.
规律技巧 利用直角三角形的有关性质，通过观察四面 体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类 比出四面体的相似命题提出猜想.结论中 S2＝S21＋S22＋S23 为真命题.
变式训练2 通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1， 32－22＝2×2＋1， 42－32＝2×3＋1， …… (n＋1)2－n2＝2n＋1，
《2.1.1 合情推理》PPT课件(安徽省市级优课)
答：C60分子中有90条棱．
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
“世界末日”的传说．
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放 着三根宝石针，据说印度教的主神梵天在创造世界时，在 其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金 片．每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律， 不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移 动一片，且不论在那根针上“，较小的金片只能放在较大的 金片上．当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的 那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临．
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
an
1 n
.
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
应用示例：
例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予 对发现C60有重大贡献的三位科学 家．C60是有60 个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状．这个多面 体有60个顶点，各面的形状只有五边 形或六边形两种．其中五边形和六边 形的面各有12个和20个．
由此猜想，n为任何正整数时 f(n)=n2+n+41都是质数
n=40呢？
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
“世界末日”的传说．
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放 着三根宝石针，据说印度教的主神梵天在创造世界时，在 其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金 片．每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律， 不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移 动一片，且不论在那根针上“，较小的金片只能放在较大的 金片上．当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的 那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临．
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
an
1 n
.
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
应用示例：
例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予 对发现C60有重大贡献的三位科学 家．C60是有60 个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状．这个多面 体有60个顶点，各面的形状只有五边 形或六边形两种．其中五边形和六边 形的面各有12个和20个．
由此猜想，n为任何正整数时 f(n)=n2+n+41都是质数
n=40呢？
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
2.1.1合情推理
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
在研究球体时,自然联想到圆.
试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它 们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇. 仿生学中许多发明的最初构想 都是类比生物机制得到的.
苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是“天然导航仪”， 人们模仿它制成了“振动陀螺仪”.这种仪器目前已 经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。 苍蝇的眼睛是一种“复眼”，由3000多只小眼 组成，人们模仿它制成了“蝇眼透镜” ，一次就能 照出千百张相同的相片。
本章我们将学习两种基本的推理
合情
推理和演绎推理 .合情推理具有猜测和发 现新结 论、探索和提供 解决问题的思路 和方向的作用 ; 演绎推理则起证明结论作用。
3
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
课件4：2.1.1 合情推理
点评：以上归纳推出一般性结论的方法称作不完 全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定正 确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．
命题方向：归纳推理在几何问题中的应用
例2：数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱 数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
【解析】仔细观察，通过几何图形的构造特征，找出 三者之间的关系． 解：各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.
所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故选A. 【答案】A
2．由170>58，191>180，1235>291，…若 a>b>0，m>0，则ba＋ ＋mm
与ba之间的大小关系为
()
A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
【解析】∵170＝58＋＋22>58，191＝180＋＋11>180， 1235＝291＋＋44>291，…都成立， ∴猜想：若 a>b>0，m>0，则ab＋＋mm>ba，下面证明 ∵ba＋＋mm－ba＝ab＋aam(a－＋amb)－bm＝ma((aa＋－mb))>0， ∴ba＋＋mm>ba，故应选 B.
多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 正方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
面数(F) 4 5 5 6 6 8 7 7 9
顶点数(V) 4 5 6 6 8 6 10 10 9
棱数(E) 6 8 9 10 12 12 15 15 16
观察其数字特征：
4＋4－6＝2；
5＋5－8＝2；
5＋6－9＝2; 6＋6－10＝2；
个别事实 概括出 一般结论 的推理，称为归纳推理 (简称归纳)．简言之，归纳推理是由 部分 到 整体、由 个别 到一般 的推理．归纳推理包括 不完全归纳法 和 完全归纳法．
2.1.1合情推理课件人教新课标
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
归纳推理
定义
特征
由某类事物的_部__分__对__象__具有某些特征， 归纳推理是由
推出该类事物的__全__部__对__象__都具有这些 _部__分__到__整__体___、
特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 由_个__别__到__一__般___
方法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5 ＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5 ＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项， 4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋ 5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．类比推理的特点及适用前提 (1)类比推理的特点 ①类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，估计 正在研究的事物的属性，提出新问题，作出新发现． ②类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功 能．
数学 选修2-2
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合情推理
1．合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_视__察___、 _分__析____、_比__较___、___联__想_，再进行__归__纳___、_类__比___，然后提 出__猜__想___的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．合情推理的过程
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
2.1.1合情推理
540
n 2180 .
凸n边形 内角和为
第一个芒果是 甜的 第二个芒果是 甜的 第三个芒果是 甜的
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
在研究球体时,自然联想到圆.
试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
本章我们将学习两种基本的推理
合情
推理和演绎推理 .合情推理具有猜测和发 现新结 论、探索和提供 解决问题的思路 和方向的作用 ; 演绎推理则起证明结论作用。
3
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
只要你在思考数学，你就在 分析、推理……
37
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
课件8：2.1.1 合情推理
数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n×(n＋1)， 即43n(n＋1)． 【答案】43n(n＋1)
(2)解：当 n＝1 时，a1＝1；
当 n＝2 时，a2＝1＋1 1＝12；
1 当 n＝3 时，a3＝1＋2 12＝13；
1 当 n＝4 时，a4＝1＋3 13＝14.
通过观察可得数列的前 n 项都等于下标序号的倒数， 因此 an＝1n.
圆
空间几何体 三维空间
面 相应面的面积 相应几何体的体积 两平面的二面角
面垂直 面平行 四面体
球
变式训练 在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，AC＝b，
BC＝a，则△ABC 的外接圆半径为 r＝
a2＋b2 2.
试把上面的结论类比到空间，写出相应的结论．
解：取空间中三条侧棱两两垂直的三棱锥ABCD，
思考尝试 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体， 这种估计属于归纳推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．( ) (3)归纳推理是由个别得到一般的推理．( ) (4)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( )
【解析】(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般， 所以，这种估计属于归纳推理． (2)错，类比推理的结论不一定正确. (3)对，由归纳推理的概念知说法正确． (4)对，归纳推理得出的结论不一定正确． 【答案】(1)√ (2)× (3)√ (4)√
类型 3 类比推理 典例 3 已知在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D， 有A1D2＝A1B2＋A1C2成立．那么在四面体 ABCD 中，类 比上述结论，你能得到怎样的猜，可以猜想四面体 ABCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD， 则A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2.
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猜想：把n个金属片从1号针移到3号针，最少要移动 2n 1 次
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
类比推理
“类比是一个伟大的引路人,求 解立体几何往往有赖于平面几何的 类比问题.”
数学中的著名猜想： • 哥德巴赫猜想
• 费马猜想 • 地图的“四色猜想” • 哥尼斯堡七桥猜想 ……
你知道这些数学猜想是怎样提出来的吗？
歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
几何中常见的类比对象
平面几何 点
线 圆 三角形 立体几何 线 面 球 四面体（各面均为三角形）
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等 数 有限 相等
例2:类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果
仍然是一个实数。 （2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
一.归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理（归纳）.
归纳推理是由 部分 到 整体 , 由 个别 到 一般
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的事例进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的一般结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
条对角线。由此，凸n边形对角线条数为 2+3+4+5+…+(n-2). n(n 3) 2
练习3.
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: VP ABC PA PB PC
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
3.潜水艇 人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明 了潜水艇.
这几个推理的过程是归纳推理吗？
不是
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还 常常应用类比。
二.类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理. (简称：类比)
三、 合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 方程 a＋x=0
ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1(a≠0）
x 1 a
（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运 算是减法，乘法的逆运算是除法。
解
a=－x
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的 积都等于原来的数，即 a 1 a a+0=a
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
对比两个推理
归纳推理： 由部分到整体、特殊到一般的推理; 结论不一定成立.
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
类比推理： 由特殊到特殊的推理; 结论不一定成立.
观察、比较 联想、类推 猜测新的结论
A )
情景创设2：
1. 春秋时代鲁国的鲁班， 一次去林中砍树时被一株齿形的 茅草割破了手，这桩倒霉事却使 他发明了锯子.
他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
2.火星生命
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
例如:
由铜、铁、金等金属能导电,归纳出: 一切金属都能导电 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角 和为180度,归纳出: 三角形的内角和为180度.
你还能举一 些归纳推理 的例子吗?
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。
（但要注意，结论可能为真，也可能为假。）
2. 一同学在电脑中打出如下若干个圈: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○● … 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系 列的圈,那么在前120个圈中的●的个( C ) (A)12 (B) 13 (C)14 (D)15 3. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14, x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( (A)42,41,123; (B)13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, „， 1000＝29+971， 1002=139+863, …
这是正确 的吗？
通过对一些偶数的验证，他发现 它们总可以表示成两个奇质数之 和，而且没有出现反例。
例4：如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多 少次? 解:设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 圆有切线 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2 球有切面
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1=2-1=21-1 当n=2时,a2= 3 =4-1=22-1 当n=3时,a3= 7 =8-1=23-1 当n=4时,a4= 15 =16-1=24-1
由此归纳 : 数列1， 3， 7， 15的通项公式为an 2n 1
……
六条直线相交，最多有几个交点？
……
n条直线相交，最多有几个交点？
n(n 1) f(n)=1+2+3+…+（n-1）= 2
练习2. 凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条； 凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
……
猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2
2
E
M
F
△PEF的面积为S
2 1
2 2
2 3
证明：设ED a, DF b, DP c,
2 2
1 1 1 2 2 由题知, EF a c , s3 ac EF DM a c DM 2 2 2 ac DM , PM DM 2 PD 2 ( ac )2 b 2 a2 c2 2 a2 c2 1 2 ac 1 2 2 S EF PM (a c ) [( )2 b 2 ] 4 2 a2 c2 2 2 1 2 a c 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (a c ) ( 2 b ) a c a b b c s1 s2 s3 4 a c2 4 4 4
2.1.1 合情推理
情景创设1： 世界近代三大数学难题之一 四色猜想问题：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不 相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3， 4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两 个区域得到相同的数字。” ”
2n
21
2 1 17 2 1 257 2 1 65 537
24 23
22
F5 2 1 4 294 967 297 641 6 700 417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
25
练习1. 在同一平面内，两条直线相交，有一个交点； 三条直线相交，最多有几个交点？ 四条直线相交，最多有1=1，且 an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式. 分别把n=2,3,4代入 an 1
1 1 a2 11 2
1 a3 1 3 1 2 1 2
an 得: 1 an
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
类比推理
“类比是一个伟大的引路人,求 解立体几何往往有赖于平面几何的 类比问题.”
数学中的著名猜想： • 哥德巴赫猜想
• 费马猜想 • 地图的“四色猜想” • 哥尼斯堡七桥猜想 ……
你知道这些数学猜想是怎样提出来的吗？
歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
几何中常见的类比对象
平面几何 点
线 圆 三角形 立体几何 线 面 球 四面体（各面均为三角形）
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等 数 有限 相等
例2:类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果
仍然是一个实数。 （2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
一.归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理（归纳）.
归纳推理是由 部分 到 整体 , 由 个别 到 一般
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的事例进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的一般结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
条对角线。由此，凸n边形对角线条数为 2+3+4+5+…+(n-2). n(n 3) 2
练习3.
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: VP ABC PA PB PC
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
3.潜水艇 人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明 了潜水艇.
这几个推理的过程是归纳推理吗？
不是
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还 常常应用类比。
二.类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理. (简称：类比)
三、 合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 方程 a＋x=0
ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1(a≠0）
x 1 a
（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运 算是减法，乘法的逆运算是除法。
解
a=－x
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的 积都等于原来的数，即 a 1 a a+0=a
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
对比两个推理
归纳推理： 由部分到整体、特殊到一般的推理; 结论不一定成立.
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
类比推理： 由特殊到特殊的推理; 结论不一定成立.
观察、比较 联想、类推 猜测新的结论
A )
情景创设2：
1. 春秋时代鲁国的鲁班， 一次去林中砍树时被一株齿形的 茅草割破了手，这桩倒霉事却使 他发明了锯子.
他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
2.火星生命
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
例如:
由铜、铁、金等金属能导电,归纳出: 一切金属都能导电 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角 和为180度,归纳出: 三角形的内角和为180度.
你还能举一 些归纳推理 的例子吗?
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。
（但要注意，结论可能为真，也可能为假。）
2. 一同学在电脑中打出如下若干个圈: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○● … 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系 列的圈,那么在前120个圈中的●的个( C ) (A)12 (B) 13 (C)14 (D)15 3. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14, x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( (A)42,41,123; (B)13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, „， 1000＝29+971， 1002=139+863, …
这是正确 的吗？
通过对一些偶数的验证，他发现 它们总可以表示成两个奇质数之 和，而且没有出现反例。
例4：如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多 少次? 解:设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 圆有切线 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2 球有切面
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1=2-1=21-1 当n=2时,a2= 3 =4-1=22-1 当n=3时,a3= 7 =8-1=23-1 当n=4时,a4= 15 =16-1=24-1
由此归纳 : 数列1， 3， 7， 15的通项公式为an 2n 1
……
六条直线相交，最多有几个交点？
……
n条直线相交，最多有几个交点？
n(n 1) f(n)=1+2+3+…+（n-1）= 2
练习2. 凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条； 凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
……
猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2
2
E
M
F
△PEF的面积为S
2 1
2 2
2 3
证明：设ED a, DF b, DP c,
2 2
1 1 1 2 2 由题知, EF a c , s3 ac EF DM a c DM 2 2 2 ac DM , PM DM 2 PD 2 ( ac )2 b 2 a2 c2 2 a2 c2 1 2 ac 1 2 2 S EF PM (a c ) [( )2 b 2 ] 4 2 a2 c2 2 2 1 2 a c 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (a c ) ( 2 b ) a c a b b c s1 s2 s3 4 a c2 4 4 4
2.1.1 合情推理
情景创设1： 世界近代三大数学难题之一 四色猜想问题：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不 相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3， 4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两 个区域得到相同的数字。” ”
2n
21
2 1 17 2 1 257 2 1 65 537
24 23
22
F5 2 1 4 294 967 297 641 6 700 417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
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练习1. 在同一平面内，两条直线相交，有一个交点； 三条直线相交，最多有几个交点？ 四条直线相交，最多有1=1，且 an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式. 分别把n=2,3,4代入 an 1
1 1 a2 11 2
1 a3 1 3 1 2 1 2
an 得: 1 an