动态规划解0-1规划
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。
但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
0 1规划求解方法
0 1规划求解方法0-1规划（0-1 integer programming）是一种数学优化问题，它的模型形式是在一组约束条件下，找到一组0-1变量的取值，使得目标函数取得最小或最大值。
在0-1规划中，变量的取值只能是0或1，不能是其它实数或整数。
0-1规划在实际生活和工程中有广泛的应用，例如资源分配、排产计划、物流运输等等。
0-1规划的求解方法包括暴力搜索、分支定界法、动态规划和启发式算法等。
下面将对这几种求解方法进行详细介绍。
1. 暴力搜索法：暴力搜索法是最简单也是最直观的求解0-1规划的方法。
其基本思想是穷举所有可能的解，并计算出每个解对应的目标函数值，然后找出最优解。
虽然暴力搜索法可以得到最优解，但是随着问题规模的增大，搜索空间呈指数级增长，计算复杂度非常高，不适用于大规模问题。
2. 分支定界法：分支定界法是一种基于树状结构的搜索算法，用于求解0-1规划问题。
它根据目标函数值的上下界对搜索空间进行限制，并逐步缩小搜索范围，直到找到最优解为止。
分支定界法的核心思想是通过分支操作将问题分解为更小的子问题，然后利用界限函数对子问题进行剪枝，从而减少搜索的时间复杂度。
3. 动态规划：动态规划是一种通过拆分问题为更小的子问题，并解决子问题的方法，适用于满足最优子结构性质的问题。
0-1规划满足最优子结构性质，因此可以使用动态规划进行求解。
动态规划的核心思想是将原问题拆解为多个子问题，然后通过递推关系式计算每个子问题的最优解，并用表格记录中间结果，最终得到原问题的最优解。
动态规划方法具有较高的求解效率，但对于大规模问题的计算复杂度依然很高。
4. 启发式算法：启发式算法是一种基于经验和启发知识的搜索算法，通过指导搜索方向和策略来减少搜索空间并找到近似最优解。
启发式算法的求解过程类似于人类的思维方式，它通过不断调整搜索方向和策略，试图找到最优解。
常用的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。
启发式算法不保证能找到最优解，但在大规模问题和复杂问题中具有较好的求解能力。
一种求解分组0—1背包问题的动态规划法
ｌ 次背 包 问题 Ｌ 、 目标 ０ 二 ６多 ］ —１ 背包 问题 ［ 、 维 ７多 ］
全 部取完 并且 总价值 最 大． 选择 装 人 背 包 的 物 品 在
＊ 收 稿 日期 ：０ １１—１ ２ １ —２３ 基 金 项 目 ； 南 省 科 技计 划 资 助 项 目（０ １ Ｊ０ ６ 湖 ２ １Ｆ ３ ６ ） 作 者 简介 ； 亚 军 （ ９ ５ ）男 ， 南 永 州人 ， 教 授 ， 士 蒋 １ ７一 ， 湖 副 博
１ 引 言
０ —１背 包 问题 属 于 ＮＰ完 全 问 题 ， 以 表 述 可 为： 已知 个 物 品和一 个 承 重量 为 Ｗ 的背 包 ， 个 每 物品 ｉ 的重 量为 Ｗ ， 价值 为 （ 一 １ ２ … ， ， ， ， ） 现要
术 意义．
本文将 传统 的 ０ ｌ 一 背包 问题扩展 为 分组 ０ １ —
Ｅ ｍａ ： ｊｌ １ ３ ｃ ｍ － ｉ ｊ ａ ＠ ６ ．ｏ ｌｙ ｌ
一
７ ～ ６
经 济 数 学
第 ２ 卷 ９
时 ， 每个 物 品只有两种 选择 ， 对 即装入 背包或不装 入
ｐ —ｌ ， 幻，
，
＜
，
背包 ． 能将物 品装入 背包多 次 ， 不 也不 能只装入 部分
为 了用动 态规划 法求解 分组 。 １ 一 背包 问题 ， 可
Ｍ ［ ，］满足相应 的最 大价值 ：
１ ）当 ｚ １时（ ＝ 对应 （，）一 （ ，） ， 知对 于 Ｊ １１） 易
任 意 七 由公式 （ ） 出的 Ｍ（ ［ ，］ 足最 大价值 ． ， １给 ” １七 满
当Ｚ ＝２时（ 对应 （，） （ ，） ， ＝ ２ １ ） 易知对 于任 意
0_1背包问题的多种解法
、问题描述0/1背包问题：现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W,价值为正整数V，背包能承受的最大载重量为正整数V，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)、算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i Wi i ⑴X i {0,1(1 i n)nmax v i x (2)i 1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1)，并使目标函数式(2)达到最大的解向量首先说明一下0-1背包问题拥有最优解假设(X1, X2,X3,……,X n)是所给的问题的一个最优解，则 (X2,X3,……,X n)是下面问题的一个最优解:nWi 2X i {0,1}(2W1X1 maxi n) inv i X。
如果不是的话，设(y2> y3>....2..,y n)是这个问题的一个最优解，则n nV i y i V i X ii 2 i 2，且 W1X1n nW i y i W。
因此，V1X1 V i y ii 2 i 2n nV1X1V j X VX i，这说明i 2 i 1(X1,y2,y3, ....... , y n)是所给的0-1背包问题比(X1,X2,X3, ............ , X n)更优的解，从而与假设矛盾穷举法:用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集)，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
由于精品(X1, X2,X3,……X n)。
程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
(a)四个物品和一个容量为10的背包(b)用回溯法求解0-1背包问题的过程递归法：在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n个物品看起。
动态规划求解01背包问题
动态规划求解01背包问题问题给定n种物品和⼀个背包，物品(1<=i<=n)重量是w I ，其价值v i,背包容量为C,对每种物品只有两种选择：装⼊背包和不装⼊背包，即物品是不可能部分装⼊，部分不装⼊。
如何选择装⼊背包的物品，使其价值最⼤？想法该问题是最优化问题，求解此问题⼀般采⽤动态规划（dynamic plan），很容易证明该问题满⾜最优性原理。
动态规划的求解过程分三部分：⼀：划分⼦问题：将原问题划分为若⼲个⼦问题，每个⼦问题对应⼀个决策阶段，并且⼦问题之间具有重叠关系⼆：确定动态规划函数：根据⼦问题之间的重叠关系找到⼦问题满⾜递推关系式（即动态规划函数），这是动态规划的关键三：填写表格：设计表格，以⾃底向上的⽅式计算各个⼦问题的解并填表，实现动态规划过程。
思路：如何定义⼦问题？0/1背包可以看做是决策⼀个序列（x1,x2,x3,…,xn）,对任何⼀个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装⼊容量为C的背包时背包所获得的的最⼤价值，显然初始⼦问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装⼊容量为j的背包中，这些情况背包价值为0即V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C接下来考虑原问题的⼀部分，设V(I,j)表⽰将前i个物品装⼊容量为j的背包获得的最⼤价值，在决策xi时，已经确定了(x1,x2,…,xi-1)，则问题处于下列两种情况之⼀：1. 背包容量不⾜以装⼊物品i，则装⼊前i-1个物品的最⼤价值和装⼊前i个物品最⼤价值相同，即xi=0，背包价值没有增加2. 背包容量⾜以装⼊物品i，如果把物品i装⼊背包，则背包物品价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；如果第i个物品没有装⼊背包，则背包价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j的背包中所取得的价值，显然，取⼆者最⼤价值作为把物品i装⼊容量为j的背包中的最优解，得到如下递推公式为了确定装⼊背包中的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V（n，C）>V(n-1,C),则表明第n个物品被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C的背包中，依次类推，直到确认第⼀个物品是否被装⼊背包中代码C++实现1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。
用动态规划法求解0-1背包问题
０ — １背包 问题 的解 决 方法 多 种 多样 ，常用 的算法 有贪 心算 法 、 回溯法 、 分 枝一限界法 等 。本文 采用 动态
规 划 原理 来 求 解 ０ 一 ｌ背 包 问题 也不 失 为 一 种 简单 明 了、 清 晰 易懂 的方法 。 参考 文献 ：
［ １ ］ 王 晓东． 计算机 算法设计与分析 ［ Ｍ］ ． 北京： 电子 工业 出版社
ｗ ｈ ｉ ｌ ｅ（ ｍ【 ｉ Ⅱ ｃ 】 ＝ ＝ ｍ［ ｉ 一 １ ］ ［ ｃ ］ ） ｉ － － ； ｗ ｈ ｉ ｌ ｅ（ ｉ ＞ ０ ） ｛ ｊ ＝ ｉ 一 １ ； ｗ ｈ ｉ ｌ ｅ（ ｍ『 ｊ １ ［ ｃ ］ 一 ｍ ［ ｊ 】 【 ｃ ］ ！＝ ｖ ｉ ｉ － １ ］ ＆ ＆－ ｊ ＞ ０ ）
［ ｉ ］ ［ ｊ 】 是 下 面两 个 量 的最 大值 ： ｍ［ ｉ ＋ １ ］ ［ ｊ ］ 和 ｍ【 ｉ ＋ １ 】 【 ｊ — ｗ ［ ｉ 】
］ ＋ Ｖ 嘲
｝
｛
ｆ ｏ ｒ （ ｊ ＝ ０ ； ｊ ＜ ＝ ｃ ； ｊ ＋ ＋ ） ｐ ｒ ｉ ｎ ｔ ｆ （ ” ％３ ｄ ． ｔ ， ｍ ｆ ｉ １ 【 ｊ 】 ） ； ｐ ｉ ｆ ｎ ｆ （ ” ＼ Ｉ １ ” ） ；｝
等于 ｖ 『 ｎ １ ；
ｋ ｎ ａ ｐ ｓ ａ ｃ ｋ （ ） ；ｄ ｉ ｓ ｐ Ｏ ； ｐ ｒ ｉ ｎ ｔ ｆ （ ” 最 大价值＝ ％ｄ ＼ ｎ ” ， ｍ 【 ｎ ］ ［ ｃ 】 ） ；
ｏ ｆ ｒ （ ｉ ＿ ０ ； ｉ ＜ ＝ ｎ ； ｉ ＋ ＋ ）
②当前的背包容量 Ｊ 大于等于物品重量 ｗ ［ ｉ ］ 时， ｍ
２ ０ ０７ ．
ｉ ｎ ｔ ｎ ， Ｃ ， ｗ ［ Ｍ Ａ Ｘ ］ ， ｖ ［ ＭＡ Ｘ ］ ， ｍ ［ ＭＡ ｘ】 ［ ＭＡ ｘ 】 ＝ ｛ ０ ｝ ； ｖ ｏ ｉ ｄ ｋ ｎ ａ ｐ ｓ ａ ｃ ｋ ０ ｛ｉ ｎ ｔ ｉ ；
0-1背包问题-贪心法和动态规划法求解
实验四“0-1”背包问题一、实验目的与要求熟悉C/C++语言的集成开发环境；通过本实验加深对贪心算法、动态规划算法的理解。
二、实验内容:掌握贪心算法、动态规划算法的概念和基本思想，分析并掌握“0-1”背包问题的求解方法，并分析其优缺点。
三、实验题1.“0-1”背包问题的贪心算法2.“0-1”背包问题的动态规划算法说明：背包实例采用教材P132习题六的6-1中的描述。
要求每种的算法都给出最大收益和最优解。
设有背包问题实例n=7，M=15,，(w0,w1,。
w6)=（2,3,5,7,1,4,1），物品装入背包的收益为：（p0，p1，。
，p6）=（10,5,15,7,6,18,3）。
求这一实例的最优解和最大收益。
四、实验步骤理解算法思想和问题要求；编程实现题目要求；上机输入和调试自己所编的程序；验证分析实验结果；整理出实验报告。
五、实验程序// 贪心法求解#include<iostream>#include"iomanip"using namespace std;//按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ); //获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u);int main(){float w[7]={2,3,5,7,1,4,1}; //物品重量数组float p[7]={10,5,15,7,6,18,3}; //物品收益数组float avgp[7]={0}; //单位毒品的收益数组float x[7]={0}; //最后装载物品的最优解数组const float M=15; //背包所能的载重float ben=0; //最后的收益AvgBenefitsSort(avgp,p,w);ben=GetBestBenifit(p,w,x,M);cout<<endl<<ben<<endl; //输出最后的收益system("pause");return 0;}//按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ) {//求出物品的单位收益for(int i=0;i<7;i++){arry_avgp[i]=arry_p[i]/arry_w[i];}cout<<endl;//把求出的单位收益排序，冒泡排序法int exchange=7;int bound=0;float temp=0;while(exchange){bound=exchange;exchange=0;for(int i=0;i<bound;i++){if(arry_avgp[i]<arry_avgp[i+1]){//交换单位收益数组temp=arry_avgp[i];arry_avgp[i]=arry_avgp[i+1];arry_avgp[i+1]=temp;//交换收益数组temp=arry_p[i];arry_p[i]=arry_p[i+1];arry_p[i+1]=temp;//交换重量数组temp=arry_w[i];arry_w[i]=arry_w[i+1];arry_w[i+1]=temp;exchange=i;}}}}//获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u) {int i=0; //循环变量ifloat benifit=0; //最后收益while(i<7){if(u-arry_w[i]>0){arry_x[i]=arry_w[i]; //把当前物品重量缴入最优解数组benifit+=arry_p[i]; //收益增加当前物品收益u-=arry_w[i]; //背包还能载重量减去当前物品重量cout<<arry_x[i]<<" "; //输出最优解}i++;}return benifit; //返回最后收益}//动态规划法求解#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 6void DKNAP(int p[],int w[],int M,const int m); void main(){int p[n+1],w[n+1];int M,i,j;int m=1;for(i=1;i<=n;i++){m=m*2;printf("\nin put the weight and the p:");scanf("%d %d",&w[i],&p[i]);}printf("%d",m);printf("\n in put the max weight M:");scanf("%d",&M);DKNAP(p,w,M,m);}void DKNAP(int p[],int w[],int M,const int m) {int p2[m],w2[m],pp,ww,px;int F[n+1],pk,q,k,l,h,u,i,j,next,max,s[n+1];F[0]=1;p2[1]=w2[1]=0;l=h=1;F[1]=next=2;for(i=1;i<n;i++){k=l;max=0;u=l;for(q=l;q<=h;q++)if((w2[q]+w[i]<=M)&&max<=w2[q]+w[i]){u=q;max=w2[q]+w[i];}for(j=l;j<=u;j++){pp=p2[j]+p[i];ww=w2[j]+w[i];while(k<=h&&w2[k]<ww){p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next++;k++;}if(k<=h&&w2[k]==ww){if(pp<=p2[k])pp=p2[k];k++;}else if(pp>p2[next-1]){p2[next]=pp;w2[next]=ww;next++;}while(k<=h&&p2[k]<=p2[next-1])k++;}while(k<=h){p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next=next+1;k++;}l=h+1;h=next-1;F[i+1]=next;}for(i=1;i<next;i++)printf("%2d%2d ",p2[i],w2[i]);for(i=n;i>0;i--){next=F[i];next--;pp=pk=p2[next];ww=w2[next];while(ww+w[i]>M&&next>F[i-1]){next=next-1;pp=p2[next];ww=w2[next];}if(ww+w[i]<=M&&next>F[i-1])px=pp+p[i];if(px>pk&&ww+w[i]<=M){s[i]=1;M=M-w[i];printf("M=%d ",M);}else s[i]=0;}for(i=1;i<=n;i++)printf("%2d ",s[i]);}六、实验结果1、贪心法截图：七、实验分析。
动态规划中的0-1背包模型
动态规划中的0-1背包模型 看完题后能否形成⼀个清晰思路的关键就在于能否根据题意的描述构建出⼀个恰当的模型，适合这道题⽬本⾝同时⼜能联系⾃⼰之前头脑库中的模型。
⽽对于01背包这类模型来说，形成的关键思维就在想最后⼀个n，即⽤⼀种抽象的语⾔把最终的结果给描述出来。
01背包的例⼦就不举了，这⾥先给出⼀个简单的01背包变形的例⼦： 按照之前的逻辑，我们⽤抽象的语⾔描述这道题的结果就是：给定⼀个长度为n的数列，问从这n个数中获取某些的数的和，使这个和最⼤同时⼜不超过某个值k，问能取⼏个或者这个和是多少。
话说到这⾥，就很容易和0-1背包⼀⼀对应起来了，这个k就是0-1中的最⼤背包容量，某些数的最⼤和就是0-1背包中所有物品的最⼤价值。
不过0-1背包中的value和weight两个量在这道题⽬中缩成了num这⼀个变量。
下⾯给出两个例题，都是这样的思路。
饭卡Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 18818 Accepted Submission(s): 6584Problem Description电⼦科⼤本部⾷堂的饭卡有⼀种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。
如果购买⼀个商品之前，卡上的剩余⾦额⼤于或等于5元，就⼀定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则⽆法购买（即使⾦额⾜够）。
所以⼤家都希望尽量使卡上的余额最少。
某天，⾷堂中有n种菜出售，每种菜可购买⼀次。
已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。
Input多组数据。
对于每组数据：第⼀⾏为正整数n，表⽰菜的数量。
n<=1000。
第⼆⾏包括n个正整数，表⽰每种菜的价格。
价格不超过50。
第三⾏包括⼀个正整数m，表⽰卡上的余额。
m<=1000。
n=0表⽰数据结束。
0-1背包问题动态规划详解及代码
0/1 背包问题动态规划详解及C代码动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。
其关键是发现子问题和记录其结果。
然后利用这些结果减轻运算量。
比如01背包问题。
/* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
输入格式：M,NW1,P1W2,P2......输出格式：X*/因为背包最大容量M未知。
所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。
比如，开始任选N 件物品的一个。
看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。
怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。
测试数据：10,33,44,55,6c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。
加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。
总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。
最右下放的数据就是最大的价值了。
(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)从以上最大价值的构造过程中可以看出。
f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?下面是实际程序（在VC 6.0环境下通过）:#include<stdio.h>int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/int knapsack(int m,int n){int i,j,w[10],p[10];printf("请输入每个物品的重量,价值：\n");for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);for(i=0;i<10;i++)for(j=0;j<100;j++)c[i][j]=0;/*初始化数组*/for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++){if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/{if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])/*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*//*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];elsec[i][j]=c[i-1][j];}else c[i][j]=c[i-1][j];}return(c[n][m]);}int main(){int m,n;int i,j;printf("请输入背包的承重量,物品的总个数：\n");scanf("%d,%d",&m,&n);printf("旅行者背包能装的最大总价值为%d",knapsack(m,n)); printf("\n");return 0;}。
0-1规划
0-1规划0-1规划（Zero-One Programming）是一种最优化问题求解方法。
它是一类离散规划问题的特例，通过将问题转化为一个整数规划问题，通过寻找满足一系列约束条件的0-1变量取值，来求解最优解。
0-1规划是一种非常重要的数学模型，可以用来解决许多实际问题。
它通常应用于资源分配、项目选择、生产排程等领域。
其目标是在满足约束条件的情况下，使得某个目标函数取得最大值或最小值。
在0-1规划中，变量只能取0或1两个值，这种限制使得问题变得更有挑战性。
为了将问题转化为0-1规划问题，需要将问题中的决策变量转化为二进制变量，并构建一个合适的目标函数和约束条件。
0-1规划的解决方法主要包括贪婪算法、动态规划和分支定界法等。
其中，贪婪算法是最简单、最直观的方法，但不一定能得到最优解；动态规划是一种递推求解的方法，可以解决一些特殊问题；而分支定界法是一种逐步逼近最优解的方法，具有较高的求解精度。
0-1规划的一个经典例子是背包问题。
假设有一个背包，容量为W，现在有n个不同重量和价值的物品，需要选择哪些物品放入背包，使得背包中的物品总重量不超过W，同时使得物品的总价值最大化。
对于这个问题，可以将每个物品的选择状态表示为一个0-1变量。
如果选择放入背包，变量取值为1；如果不选择放入背包，变量取值为0。
然后可以设置目标函数为物品的总价值，约束条件为物品的总重量不超过背包容量。
这个问题可以通过分支定界法求解。
首先，将问题分解为一个个子问题，然后通过计算上界和下界，逐步减小解空间。
最终可以找到一个近似最优解。
总之，0-1规划是一种重要的最优化问题求解方法。
虽然在实际应用中，由于问题的复杂性，往往需要使用更加复杂的算法来求解，但0-1规划的基本思想和方法依然具有广泛的应用。
通过合理地构建目标函数和约束条件，可以帮助我们在资源有限的情况下，做出最优的决策。
动态规划算法0-1背包问题课件PPT
回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来 找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物 品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品 无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支 。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历 所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间 复杂度较高。对于状态转移方程的确 定和状态空间的填充需要仔细考虑， 否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总 重量不超过j的情况下，能够获得 的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对 于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历， 因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此 空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个 背包，每个物品有各自的重量和价值， 每个背包有各自的容量，目标是选择物 品，使得在不超过背包容量限制的情况 下，所选物品的总价值最大。
0-1背包问题之动态规划法_-
1.5 无后效性原则
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：
某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不 再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与 过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结， 此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演 变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后， 阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态 转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发 生的状态没有关系，这就是无后效性。
2.
组合问题中的动态规划法
2.1 2.2 0/1背包问题 最长公共子序列问题
2.1 0/1背包问题
给定 n 种物品和一个背包， 物品i的重量是wi，其价值为 v i ，背包的容量为 C 。背包 问题是如何选择装入背包的 物品，使得装入背包中物品 的总价值最大 ? 如果在选择 装入背包的物品时，对每种 物品 i 只有两种选择：装入 背包或不装入背包，即不能 将物品 i 装入背包多次，也 不能只装入物品 i 的一部分， 则称为0/1背包问题。
可以用动态规划法求解的问题除了能够分解为相互重叠的 若干子问题外，还要满足最优性原理（也称最优子结构性 质），这类问题具有如下特征：该问题的最优解中也包含 着其子问题的最优解。在分析问题是否满足最优性原理时， 通常先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的， 然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更 好的解，从而导致矛盾。 动态规划法利用问题的最优性原理，以自底向上的方 式从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。应用 动态规划法设计算法一般分成三个阶段： （1）分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题； （2）分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划 函数的递推式； （3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。
(完整版)动态规划问题常见解法
(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题，解决的是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索是一种自顶向下的解法，通过保存子问题的解来避免重复计算，提高效率。
动态规划是一种自底向上的解法，通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化，且每种物品可以选择任意个。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似，只是在状态转移方程上有所不同。
二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。
常见的解法有两种：递归和动态规划。
递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模，直至问题规模减小到边界情况。
动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
常见的解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是通过维护一个距离表，不断选择距离最短的顶点来更新距离表，直至找到目标顶点。
Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作，逐步缩小问题规模，直至找到目标顶点或发现负权环。
总结：动态规划是一种解决最优化问题的常见方法，它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式，来得到整个问题的最优解。
在解决动态规划问题时，可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略，具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。
0—1型整数规划问题的求解方法
0—1型整数规划问题的求解方法0-1型整数规划问题是一类特殊的整数规划问题，其中变量只能取0或1，即变量是二进制的。
这类问题在实际应用中具有广泛的应用，如装配线平衡、员工调度、货物装载等。
求解0-1型整数规划问题可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的方法。
1.枚举法：枚举法是最朴素的解法，它列举出了所有可能解，并通过穷举所有解的方式找到最优解。
这种方法适用于问题规模较小且没有明显的约束条件，但对于大规模问题不适用。
2.分支定界法：分支定界法是一种广泛应用于整数规划的方法。
它从原问题形成一个目标函数较小的松弛问题开始，通过分支操作将问题分解为一系列子问题，每次选择一个变量分支，并根据问题的特性设置相应的约束条件。
通过逐步分解问题，最终获得最优解。
3.动态规划法：动态规划法通过构建状态转移方程的方式，将问题分解为多个子问题，并利用子问题之间的关系求解最优解。
对于0-1型整数规划问题，可以使用动态规划来解决。
首先定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入背包容量为j的情况下的最大价值。
然后根据背包容量逐步求解，最后得到最优解。
4.启发式算法：启发式算法是一类基于经验和直觉的算法，通过评估当前解的优劣性来寻找最优解。
对于0-1型整数规划问题，可以使用启发式算法如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等进行求解。
这些算法通过随机和逐步优化的方式，可以在较短时间内找到较好的解。
以上是常用的几种0-1型整数规划问题的求解方法，根据问题的规模、约束条件和求解的要求选择合适的方法。
在实际应用中，通常会根据问题的特性选择相应的算法，并结合数学模型和计算机编程进行求解。
0-1背包问题的递归方法
0-1背包问题的递归方法0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用递归方法求解。
定义一个函数`knapsack(weights, values, capacity, n)`，其中`weights`和`values`分别代表物品的重量和价值，`capacity`代表背包的容量，`n`代表当前考虑的物品个数。
递归的思路是对于每个物品，有两种选择：放入背包中或者不放入背包中。
1. 如果第`n`个物品的重量大于背包的容量`capacity`，则不放入背包中，返回`0`；2. 否则，有两种选择：- 选择放入第`n`个物品，则总价值为第`n`个物品的价值加上考虑前`n-1`个物品，背包容量减去第`n`个物品重量的最优解； - 不放入第`n`个物品，则总价值为考虑前`n-1`个物品，背包容量不变的最优解。
代码如下所示：```pythondef knapsack(weights, values, capacity, n):if n == 0 or capacity == 0:return 0if weights[n-1] > capacity:return knapsack(weights, values, capacity, n-1)else:return max(values[n-1] + knapsack(weights, values, capacity-weights[n-1], n-1),knapsack(weights, values, capacity, n-1))```可以通过调用`knapsack`函数来求解0-1背包问题，如下所示：```pythonweights = [2, 3, 4, 5]values = [3, 4, 5, 6]capacity = 5n = len(weights)result = knapsack(weights, values, capacity, n)print(result)```以上代码会输出最优解的总价值。
动态规划求解0—1背包问题的教学探索
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｇｉ ｅ ｌ ｔ ｅ ｄ ｆ ｃ ｌｉｓｉ ｅ ｃ ｉ ｇ ａ ｏ ｓｎ ｙ ａ ｃ ｐ ｏ ｒ ｍｍｉｇ ｔ ｎ ｈ ｐ— ｓ ｒ ｃ ： ｖ ｎ ａｌ ｈ ｉ ｕ ｔ ｎ ｔａ ｈ ｎ ｂ ｕｔｕ ｉ ｇ ｄ ｎ ｍｉ ｒ ｇ ａ ｉ ｅ ｎ ｏ ｆ ｄ ｔ ｅ ０ ｉ ｔｍａ ａｕ ｏ ｈ ｉ ｌｖ ｌ ｅｆ ｒｔ ｅ ０—１ ｋ ａ ｓ ｃ ｒ ｂｅ ，ｗｅ ｉ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ ｏ ｐ ｉ ｌｖ ｌ ｅ ｃ ｌｕ ａ ｎ ｐ ａ ｋ ｐ ｏ ｌｍ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ｌ ｏ ｉ ｈ ｆｒｏ ｔｍａ ａｕ ａｃ ｌ — ｔｏ ｎ ｃ ｍｂ ｎ ｔｏ ｔ ｈ ｏ ｅ ｓ ａ ｄ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉ ｓ ｏ ｅ ｃ ｉ ｇ Ｗ ｉ ｈ ｏ ｓｓｅ ｃ ｔ ｉｎ ｉ ｏ ｉ ａ ｉｎ ｗｉｈ ｔ ｅ ｐｒ ｃ ｓ ｎ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔ ｆｔ ａ ｈ ｎ ． ｃ ｔ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉｔ ｎ ｅ ｗｉｈ ｈ ｔ ｅ ｒ ｃ ｒｉ ｅｆ ｒ ｌ ｒｔ ｅ ｏ ｉ ｌｖ ｕ ｉ ｔｉ ｅ ｈ ｅ ｕ ｓｖ ｏｍｕ ａ ｆ ｈ ｐｔ ｏ ｍａ ａ ｅ ｍａ ｎ ａｎ ｄ，ｗｅ ｓｍｐｌ ｉｄ ｔ ｅ ｉ ｒ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ ａ ｄ ｌ ｉ ｉ ｅ ｈ ｔ ａ ｉ ｒ ｃ ｓ ｎ ｆ ｅ ｖ ｒ ｍｏ ｅ ｇ ｒｔ ｍ ｋ ｌｓ ｈ ｒ ｂ ｎ ｒ ａ ｉ ｇ ｔ ｅ ｃ ｍｐｌ ｎ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｈ ｒ ｎ ｅ ｏ ｈ ｌ ｏ ｉ ｅ ｖｄａ ｏｉ ｌ ｈ ｓ ｉｌ ，ｔ ｅ ｅ ｙ ｉ ｃ ｅ ｓｎ ｈ ｏ ｉ ｃ ｎ ｈ ｏ ｅ ｅ ｅ ｆｔ包 问题 的 教 学探 索
李 志 洁 ， 海旭 郑
（ 大连 民族 学 院 计 算机科 学 与工程 学院 ， 宁 大连 １６ ０ ） 辽 １６５
0-1规划
6
3
6
5
然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
5 2 0 3 10 8 2 0 5 0 0 0 7 0 2 0 2 4
9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
5 2
3 10 8
2 0 5 0
0 0 7 0
2 0 2 4
9
Ø
6
3
6
5
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
任务 人员 甲 乙
E 2 10
J 15 4
G 13 14
R 4 15
丙
丁
9
7
14
8
16
11
13
9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经 变换，在各行各列中都出现0元素： 从系数矩阵的每行元素减去该行的 最小元素。 再从所得系数矩阵的每列元素减去 该列的最小元素。 若某行已经有0元素，就不必再减了。
称为过滤性条件。初看起来，增 加约束条件需增加计算量，实际 减少了计算量。
最优解（1，0，1） Z=8
循环 1 2
(X1,X2,X3)
s.t. 0 0 5
s.t. s.t. s.t. s.t. 1 2 3 4 -1 1 1 0 2 1 5 1 2 6 1 1 0 1 0 1
满 足 no yes
Z 值 5
注意：
改进过滤性条件，在计算 过程中随时调整右边常数。
价值系数按递增排列。
以上两种方法可减少计算量。
循 环 1 2
(X2,X1,X3) s.t. s.t. s.t s.t s.t 满
(0,0,0) (0,0,1)
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
0-1选址法例题
0-1选址法例题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：0-1选址法是一种运用动态规划思想解决最优选址问题的方法。
它的基本思想是根据不同位置的成本和收益来选择最优的位置，从而使得整体收益最大化。
在实际应用中，0-1选址法被广泛应用于各种领域，如城市规划、生产布局等。
为了更好地理解0-1选址法的应用，下面我们来看一个例题。
假设有一个城市需要建设若干个服务站，且每个服务站的成本和收益都不相同。
现在要求选择其中的几个位置建设服务站，以达到整体收益最大化的目标。
给定的问题是：总共有n个潜在的服务站位置，每个位置的成本和收益分别为Ci和Pi。
现在需要选择k个位置建设服务站，求这k个位置的成本加上收益的总和的最大值。
为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的思想进行求解。
具体的步骤如下：1. 定义状态：我们可以用dp[i][j]来表示在前i个位置选择j个位置建设服务站时，总成本加收益的最大值。
0<=i<=n，0<=j<=k。
2. 状态转移方程：对于dp[i][j]，我们可以分为两种情况来考虑：选择第i个位置建设服务站和不选择第i个位置建设服务站。
具体的转移方程如下：dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+Pi-Ci}Pi-Ci表示在第i个位置建设服务站的收益减去成本。
3. 边界条件：当i=0或j=0时，dp[i][j]都为0，即没有位置可选或建设的服务站数量为0时，总成本加收益为0。
通过以上步骤，我们可以得到在给定的n个位置中选择k个位置建设服务站时，总成本加收益的最大值。
这个问题可以通过动态规划的方式高效求解，对于大规模的问题也可以有效处理。
0-1选址法是一种非常实用的方法，能够帮助我们在实际应用中做出最优的选择。
通过以上例题的介绍，希望读者能更好地理解和掌握这种方法，进而在实际问题中灵活运用。
【2000字】第二篇示例：0-1选址法是一种常用的数学方法，用来解决一些优化问题，特别是在选址问题上。