高数下册常用常见知识点
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高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数
（一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =
，),,(z y x b b b b = ，
则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±
, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：
2
22z y x r ++=
；
2） 两点间的距离公式：
2
12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=
3）
方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,
4） 方向余弦：r
z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos
1cos cos cos 222=++γβα
5） 投影：ϕcos Pr a a j u
=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积
1、 数量积：θcos b a
b a
=⋅ 1）2a a a =⋅
2）⇔⊥b a 0=⋅b a
z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅
2、 向量积：b a c
⨯=
大小：θsin b a
，方向：c b a
,,符合右手规则 1）0 =⨯a a
2）b a //⇔0 =⨯b a
z y x
z
y x
b b b a a a k j i
b a
=⨯
运算律：反交换律 b a a b
⨯-=⨯
（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：
0),,(:=z y x f S
2、
旋转曲面：（旋转后方程如何写）
yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，
绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕
z 轴旋转一周：
0),(22=+±z y x f
3、 柱面：（特点）
0),(=y x F 表示母线平行于z
轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x F 的柱面
4、
二次曲面（会画简图）
1） 椭圆锥面：2
22
22z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z
b y a x 旋转椭球面：122
2222=++c
z a y a x 3） *单叶双曲面：122
2222=-+c z b y a x 4） *双叶双曲面：122
2222=--c z b y a x 5） 椭圆抛物面：z b
y a x =+22
22
6）
*双曲抛物面（马鞍面）：z b y
a x =-22
22 7）
椭圆柱面：122
22=+b y a x 8）
双曲柱面：122
22=-b y a x 9） 抛物柱面：
ay x =2
（四） 空间曲线及其方程
1、
一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F
2、
参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt
z t a y t a x sin cos
3、
空间曲线在坐标面上的投影
⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x H
（五） 平面及其方程（法向量） 1、
点法式方程：
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
法向量：),,(C B A n =
，过点),,(000z y x
2、
一般式方程：
0=+++D Cz By Ax （某个系数为零时的特点）
截距式方程：
1=++c
z
b y a x
3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n =
，
22
22222121212
12121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=
θ
⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A
⇔∏∏21//
2
1
2121C C B B A A ==
4、
点
),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：
2
2
2
000C
B A D
Cz By Ax d +++++=
（六） 空间直线及其方程（方向向量）
1、
一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A
2、 对称式（点向式）方程：
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-
方向向量：),,(p n m s =
，过点),,(000z y x
3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt
y y mt x x 000
4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =
，
22
22222121212
12121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=
ϕ ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m
⇔21//L L
21
2121p p n n m m ==
5、
直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
2
2
2
2
2
2
sin p
n m C B A Cp
Bn Am ++⋅++++=
ϕ
⇔∏//L 0=++Cp Bn Am
⇔∏⊥L
p
C n B m A ==
第九章 多元函数微分法及其应用