大一下高数下册知识点

高等数学（下）知识点

高等数学下册知识点

第八章 空间解析几何与向量代数

（一）向量及其线性运算

1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、线性运算：加减法、数乘；)

,,(z y x b b b b =r

3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、利用坐标做向量的运算：设，，

),,(z y x a a a a =r 则 , ；

),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±r

r ),,(z y x a a a a λλλλ=r 5、向量的模、方向角、投影：

1）向量的模：；

222z y x r ++=r 2）两点间的距离公式：212212212)

()()(z z y y x x B A -+-+-=3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γ

βα,,4）方向余弦：r

z r y r x r r r ===γβαcos ,cos ,cos 1

cos cos cos 222=++γβα5）投影：，其中为向量与的夹角。ϕcos Pr a a j u r r r =ϕa r u r （二）数量积，向量积1、数量积：θ

cos b a b a r r r r =⋅1）2

a

a a r r r =⋅2）⇔⊥

b a r r 0

=⋅b a r

r

高等数学（下）知识点z

z y y x x b a b a b a b a ++=⋅r r 2、向量积：b

a c r

r r ⨯=大小：，方向：符合右手规则

θsin b a r r c b a r r r ,,1）0

r

r r =⨯a a 2）b a r

r //⇔0r r r =⨯b a z

y x z

y x b b b a a a k j i b a r r r r r =⨯运算律：反交换律 b

a a

b r

r r r ⨯-=⨯（三）曲面及其方程

1、曲面方程的概念：0

),,(:=z y x f S

2、旋转曲面：面上曲线，

yoz 0),(:=z y f C 绕轴旋转一周：y 0),(22=+±z x y f 绕轴旋转一周：z 0

),(22=+±z y x f 3、柱面：

表示母线平行于轴，准线为的柱面0),(=y x F z ⎪⎩⎪⎨⎧==0

0),(z y x F 4、二次曲面

1）椭圆锥面：22

222z b y a x =+2）椭球面：122

2222=++c z b y a x 旋转椭球面：122

2222=++c

z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+c

z b y a x 4）双叶双曲面：122

2222=--c z b y a x 5）椭圆抛物面：z b y a x =+22

226）双曲抛物面（马鞍面）：z b

y a x =-22227）椭圆柱面：122

22=+b

y a x 8）双曲柱面：12222=-b

y a x 9）

抛物柱面：ay x =2（四）空间曲线及其方程

1、一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0

),,(0

),,(z y x G z y x F

2、参数方程：，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt

z t

a y t a x sin cos 3、空间曲线在坐标面上的投影

，消去，得到曲线在面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F z xoy ⎪⎩⎪⎨⎧==0

0),(z y x H （五）平面及其方程

1、点法式方程：0

)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：，过点),,(C B A n =r )

,,(000z y x 2、一般式方程：0

=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++c

z b y a x 3、两平面的夹角：，，

),,(1111C B A n =r ),,(2222C B A n =r 22

22222121212

12121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ ⇔∏⊥∏210

212121=++C C B B A A ⇔∏∏21//2

12121C C B B A A ==4、点到平面的距离：

),,(0000z y x P 0=+++D Cz By Ax 2

22000C B A D

Cz By Ax d +++++=（六）空间直线及其方程

1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程：p

z z n y y m x x 000-=-=- 方向向量：，过点),,(p n m s =r )

,,(000z y x 3、参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt

z z nt y y mt x x 0004、两直线的夹角：，，

),,(1111p n m s =r ),,(2222p n m s =r 22

22222121212

12121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ ⇔⊥21L L 0

212121=++p p n n m m ⇔21//L L 2

12121p p n n m m ==5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

2

22222sin p n m C B A Cp

Bn Am ++⋅++++=ϕ ⇔∏//L 0

=++Cp Bn Am ⇔∏⊥L p

C n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用

（一）基本概念