高数下册总复习知识点归纳(1)

第八、九章向量代数与空间解析几何总结

○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；

○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；

○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章总结

无穷级数常

数

项

级

傅

立

叶

级

幂

级

数

一

般

项

级

正

项

级

用收敛定义，

n

n

s

∞

→

lim存在

常数项级数的基本性质

常数项级数的基本性质

○若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛?

○两个收敛级数的和差仍收敛?

注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.

○去掉、加上或改变级数有限项?不改变其收敛性?

○若级数收敛?则对这级数的项任意加括号后所成

的级数仍收敛，且其和不变。

推论?如果加括号后所成的级数发散?则原来级数

也发散?注：收敛级数去括号后未必收敛.

○（必要条件）如果级数收敛?则0

lim

=

→

n

n

u

莱布尼茨判别法若1+

≥

n

n

u

u且0

lim=

∞

→

n

n

u，则∑∞

=

-

-

1

1

)1

(

n

n

n u收敛

n

u

∑和

n

v

∑都是正项级数，且

n

n

v

u≤.若

n

v

∑收敛，则

n

u

∑也收敛；若

n

u

∑发散，则

n

v

∑也发散.

比较判别法

比较判别法

的极限形式

n

u

∑和

n

v

∑都是正项级数，且l

v

u

n

n

n

=

∞

→

lim，则○1若

+∞

<

0,

n

u

∑与

n

v

∑同敛或同散;○2若0

=

l,

n

v

∑收

敛,

n

u

∑也收敛；○3如果+∞

=

l，

n

v

∑发散，

n

u

∑也发散。

比值判别法

根值判别法

n

u

∑是正项级数，ρ

=

+

∞

→

n

n

n u

u

1

lim,ρ

=

∞

→

n

n

n

u

lim,则1

<

ρ时

收敛；1

>

ρ(ρ=+∞)时发散；1

=

ρ时可能收敛也可能发收

敛

性

和

函

数

展

成

幂

级

数

n

n

n

x

a

∑∞

=0

,

ρ

=

+

∞

→

n

n

n a

a

1

lim

,1,0;,0;0,.

R R R

ρρρ

ρ

=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径

)

(x

s的性质○在收敛域I上连续;○在收敛域)

,

(R

R

-内可导，且可逐项求导;○和函数)(x

s在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).

直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式

⎰-

=π

π

π

nxdx

x

f

a

n

cos

)

(

1

⎰-

=π

π

π

nxdx

x

f

b

n

sin

)

(

1收敛定

理

x是连续点,收敛于)(x

f;x是间断点,收敛于

)]

(

)

(

[

2

1

+

-+x

f

x

f

周

期

)

(x

f为奇函数，正弦级数，奇延拓；)

(x

f为偶函数，余弦级数、偶延拓.

交

错